El documento describe los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. El método de análisis de nodos involucra escribir ecuaciones de corriente de Kirchhoff (KCL) para cada nodo para encontrar los voltajes de nodo, mientras que el método de análisis de mallas involucra escribir ecuaciones de voltaje de Kirchhoff (KVL) para un conjunto mínimo de lazos para encontrar las corrientes de lazo. El documento también discute las diferentes formas en que se pueden cone
Este documento describe cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicados a problemas eléctricos usando las leyes de Kirchhoff. Presenta dos ejemplos numéricos que involucran dos y tres ecuaciones lineales respectivamente, mostrando cómo reducir el sistema a uno de menor tamaño y resolverlo para encontrar valores desconocidos como corrientes y voltajes. También propone cuatro problemas adicionales para que los estudiantes practiquen resolviendo sistemas de ecuaciones en contextos eléctricos.
Este documento describe el método de análisis de nodos para determinar las tensiones desconocidas en un circuito eléctrico. Explica que el análisis de nodos utiliza la ley de corrientes de Kirchhoff para escribir una ecuación por cada nodo con tensiones desconocidas, relacionando las corrientes que entran y salen del nodo con la tensión desconocida. También cubre conceptos como nodos de referencia, supernodos y cómo resolver sistemas de ecuaciones para encontrar las tensiones desconocidas.
1. El documento describe conceptos fundamentales de topología de redes eléctricas como nodos, ramas, redes planas, lazos y mallas. 2. Explica los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. 3. Define conceptos como supernodos, divisores de tensión y corriente, y diferentes tipos de fuentes eléctricas.
Este documento presenta una introducción a la cristalografía y la física del estado sólido. Explica que los sólidos cristalinos tienen una estructura ordenada periódica, mientras que los sólidos amorfos son desordenados. Define una red cristalina como un conjunto ordenado de puntos en el espacio tridimensional, y describe las celdas unitarias, vectores primitivos, y clasificación de las redes cristalinas. También cubre conceptos como planos cristalinos, índices de Miller, distancias inter
Este documento describe los conceptos básicos de los sistemas secuenciales. Explica que la lógica secuencial permite modelar sistemas que requieren estados internos, a diferencia de la lógica combinacional. Describe los biestables como dispositivos clave para almacenar estados en los sistemas secuenciales síncronos, y explica los modelos de Moore y Mealy para representar sistemas secuenciales.
Este documento presenta los pasos para realizar un análisis de nodos en circuitos eléctricos. Explica que un análisis de nodos involucra definir ecuaciones para cada nodo basadas en la ley de corrientes de Kirchhoff, y luego resolver el sistema de ecuaciones para encontrar las tensiones en cada nodo. Provee un ejemplo numérico para ilustrar los pasos, que incluyen enumerar los nodos, elegir un nodo de referencia, definir las tensiones nodales, aplicar la ley de Kirchhoff, y resolver el
Este documento explica cómo utilizar mapas de Karnaugh para simplificar circuitos electroneumáticos. Introduce los mapas de Karnaugh y cómo se pueden aplicar a circuitos que incluyen cilindros neumáticos y válvulas. Luego proporciona un ejemplo completo de cómo desarrollar un circuito electroneumático utilizando un mapa de Karnaugh, incluida la secuencia, el mapa, las ecuaciones y el circuito resultante. Finalmente, compara el circuito simplificado con uno desarrollado de forma empírica para
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Este documento presenta los métodos de análisis de circuitos eléctricos conocidos como análisis de nudos y análisis de mallas. El análisis de nudos utiliza las tensiones de nudo como variables, mientras que el análisis de mallas usa las corrientes de malla. Se describen los pasos para aplicar cada método y se resuelven ejemplos ilustrativos de circuitos con y sin fuentes de tensión/corriente.
Este documento presenta un cuestionario sobre el principio de superposición en circuitos eléctricos. Se realizaron mediciones en tres circuitos diferentes y se comprobó que los resultados obtenidos al aplicar el principio de superposición eran próximos a los valores reales medidos, validando así el principio. También se explican las pequeñas divergencias entre los valores teóricos y experimentales.
TABLA PERIODICA Y CONFIGURACIÓN ELECTRONICAMiriam Gil
En esta presentación tiene informacion referente a la manera como los electrones en el atomo de un elemento se acomodan en orden creciente de energía, también tiene información del surgimiento de la tabla periodica y como los elementos son ubicados en ésta.
Este documento presenta información sobre osciladores. Define un oscilador como un circuito que genera una señal periódica sin necesidad de una entrada periódica. Explica que los osciladores se clasifican en armónicos o de relajación dependiendo de si la salida es sinusoidal u onda cuadrada. Además, describe varios tipos comunes de osciladores como osciladores a cristal, controlados por tensión, Colpitts y Hartley. Finalmente, explica el criterio de Barkhausen para analizar las condiciones de oscilación de un circuit
Diagramas de bloque y funciones de transferencia Utpl Eet 2010 V1 0Jorge Luis Jaramillo
Este documento presenta los diagramas de bloque y funciones de transferencia. Explica los diferentes tipos de eslabones dinámicos como el ainercial, aperiódico, integrador y oscilador. También describe cómo conectar eslabones en forma secuencial, paralela o mixta. Además, discute la retroalimentación positiva y negativa. Por último, provee un ejemplo práctico del modelo matemático de un motor de CD usando eslabones dinámicos.
Presentacion 2 - Maquinas de Estado Finitojunito86
Presentacion del grupo 2 sobre Maquinas de Estado Finito, para el curso de Matematicas Discretas Avanzadas.
Por
Xaimara Perez
Antonio Caban
Andrea Pena
Jose A. Valentin
Practica 1 de ingeniería de control: Análisis de la respuesta transitoria de ...SANTIAGO PABLO ALBERTO
Este documento describe un experimento para analizar la respuesta transitoria de sistemas de primer y segundo orden. Se analizará experimentalmente y con Matlab la respuesta de un circuito RC (primer orden) y un circuito RLC (segundo orden). Se medirán parámetros como el período de la respuesta, tiempo de retardo, elevación y establecimiento para diferentes valores de amortiguamiento y se compararán con los resultados de Matlab.
El documento explica conceptos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sus definiciones, métodos de resolución como el método de Gauss-Jordan, y aplicaciones en diferentes campos como la fabricación, circuitos eléctricos, transmisión de calor y equilibrio de pesos.
El documento describe los métodos de análisis por nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. El análisis por nodos involucra el uso de la ley de Kirchhoff de corrientes en los nodos para determinar los voltajes de nodo, mientras que el análisis por mallas usa la ley de Kirchhoff de voltajes en lazos para encontrar las corrientes de lazo. El documento explica cómo aplicar estos métodos sistemáticamente para obtener un conjunto de ecuaciones linealmente independientes igual al número de incógnitas
Análisis de circuitos eléctricos y electrónica: Análisis por nodos y mallasSANTIAGO PABLO ALBERTO
El documento presenta los métodos de análisis por nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. Explica que el método de nodos involucra escribir ecuaciones de corriente en cada nodo, mientras que el método de mallas usa ecuaciones de voltaje en cada lazo. Proporciona ejemplos para ilustrar cómo identificar nodos, ramas, lazos y mallas en un circuito, y cómo escribir el sistema de ecuaciones correspondiente a cada método.
Este documento presenta diferentes métodos para analizar circuitos eléctricos en corriente continua y alterna, incluyendo el método de las corrientes de malla y el método de las tensiones de nodo. Explica que estos métodos permiten obtener un conjunto de ecuaciones cuya resolución proporciona los valores de las corrientes y tensiones en el circuito. También introduce conceptos como impedancia de malla, impedancia mutua y corrientes de malla independientes.
Este documento explica el método de análisis de mallas para resolver circuitos eléctricos. Se asigna una corriente de lazo a cada bucle cerrado e independiente del circuito. Luego, se define la polaridad de cada resistor según la dirección de la corriente de lazo y se aplica la ley de Kirchhoff de voltaje a cada lazo. Esto genera ecuaciones que pueden resolverse para encontrar las corrientes de lazo desconocidas. El documento también cubre cómo manejar fuentes de corriente dentro del circuito.
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Este documento presenta los métodos para analizar circuitos eléctricos en corriente continua y alterna, incluyendo el método de las mallas y el método de los nodos. Explica conceptos como corriente de malla, impedancia de malla, y aplica los teoremas de Kirchhoff para desarrollar ecuaciones que permitan resolver circuitos. Finalmente, generaliza el método de las mallas para su aplicación a cualquier circuito eléctrico.
Este documento compara los métodos de mallas y nodos para resolver circuitos eléctricos. El método de mallas involucra asignar corrientes a cada malla y establecer ecuaciones basadas en las leyes de Kirchhoff. El método de nodos implica determinar las tensiones en cada nodo tomando uno como referencia y estableciendo ecuaciones basadas en la ley de corrientes de Kirchhoff para cada nodo. Ambos métodos son útiles para hallar corrientes e intensidades, dependiendo de la situación, por lo que aprender ambos es
El análisis de mallas es una técnica para determinar la tensión o corriente en un circuito plano basada en la ley de Kirchhoff. Involucra asignar corrientes imaginarias a cada malla, y plantear ecuaciones para cada malla en términos de estas corrientes. Resolver el sistema de ecuaciones da las corrientes de malla y permite calcular cualquier tensión o corriente en el circuito.
El documento presenta los conceptos fundamentales del análisis de circuitos resistivos, incluyendo el método de mallas y nodos, teoremas como el de superposición y Thevenin-Norton, y el concepto de máxima transferencia de potencia. Explica cómo determinar el número de incógnitas e identificar ecuaciones para resolver circuitos mediante el uso de álgebra topológica.
Este documento describe dos métodos para analizar circuitos eléctricos: el análisis de nodos y el análisis de mallas. El análisis de nodos determina los voltajes en cada nodo mediante la aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff. El análisis de mallas usa corrientes independientes en cada lazo o malla del circuito y aplica la ley de tensiones de Kirchhoff para resolver el circuito.
El documento trata sobre teoremas de circuitos eléctricos. Explica el teorema de Boucherot sobre el cálculo de potencias en circuitos de corriente alterna, y analiza receptores en serie y paralelo. También cubre transformaciones estrella-triángulo y cálculos de tensión, corriente e impedancia.
1. El documento describe conceptos fundamentales de topología de redes eléctricas como nodos, ramas, redes planas, lazos y mallas. 2. Explica los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. 3. Define conceptos como supernodos, divisores de tensión y corriente, y diferentes tipos de fuentes eléctricas.
Presentación de Analisis de redes para ElectrónicosSantosRiosJoel
El documento describe los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. El análisis de nodos determina los voltajes de nodos mediante ecuaciones que relacionan los voltajes. El análisis de mallas determina las corrientes de mallas mediante ecuaciones que relacionan las corrientes. Ambos métodos resuelven sistemas de ecuaciones para encontrar las variables desconocidas y calcular voltajes, corrientes y potencias en los elementos del circuito.
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Análisis de circuitos eléctricos y electrónica: Análisis por nodos y mallasSANTIAGO PABLO ALBERTO
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Este documento describe dos métodos para analizar circuitos eléctricos: el análisis de nodos y el análisis de mallas. El análisis de nodos determina los voltajes en cada nodo mediante la aplicación de la ley de corrientes de Kirchhoff. El análisis de mallas usa corrientes independientes en cada lazo o malla del circuito y aplica la ley de tensiones de Kirchhoff para resolver el circuito.
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1. El documento describe conceptos fundamentales de topología de redes eléctricas como nodos, ramas, redes planas, lazos y mallas. 2. Explica los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. 3. Define conceptos como supernodos, divisores de tensión y corriente, y diferentes tipos de fuentes eléctricas.
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El documento describe los métodos de análisis de nodos y mallas para resolver circuitos eléctricos. El análisis de nodos determina los voltajes de nodos mediante ecuaciones que relacionan los voltajes. El análisis de mallas determina las corrientes de mallas mediante ecuaciones que relacionan las corrientes. Ambos métodos resuelven sistemas de ecuaciones para encontrar las variables desconocidas y calcular voltajes, corrientes y potencias en los elementos del circuito.
1) El documento define los conceptos de nodo, rama, red plana, lazo y malla que son elementos básicos en el análisis de circuitos eléctricos.
2) Explica los métodos de análisis de nodos y mallas, aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes y tensiones respectivamente.
3) Detalla los pasos para resolver sistemas de ecuaciones resultantes y calcular voltajes e intensidades en cada elemento del circuito.
Estudio experimental del método de las corrientes de mallasDiego Carpio
El documento describe un experimento para verificar el método de las corrientes de mallas. Se construye un circuito eléctrico con varias mallas y fuentes y se miden experimentalmente las corrientes de las mallas y ramas, comparándolas con los valores teóricos calculados. Los resultados experimentales se encuentran dentro de un error del 10% en relación a los valores teóricos, validando así el método de las corrientes de mallas para resolver circuitos eléctricos.
El documento presenta los conceptos y metodología del análisis de nodos para circuitos eléctricos. Explica la diferencia entre voltaje de rama y voltaje nodal, y describe los pasos para aplicar el análisis de nodos, incluyendo la formación de ecuaciones nodales y el uso de supernodos. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular cualquier tensión en un circuito usando esta técnica.
El documento describe el método de análisis de mallas para resolver redes eléctricas. Se asignan corrientes de lazo a cada bucle cerrado e independiente. Luego, se aplica la ley de Kirchhoff de voltaje a cada lazo para establecer ecuaciones que relacionan las corrientes de lazo. Finalmente, se resuelven las ecuaciones para encontrar las corrientes en cada rama. El método elimina la necesidad de sustituir corrientes en las ecuaciones de Kirchhoff.
El documento describe el método de análisis de mallas para resolver redes eléctricas. Se asignan corrientes de lazo a cada bucle cerrado e independiente. Luego, se aplica la ley de Kirchhoff de voltaje a cada lazo para establecer ecuaciones que relacionan las corrientes de lazo. Finalmente, se resuelven las ecuaciones para encontrar las corrientes en cada rama. El método se ilustra resolviendo varios problemas de redes eléctricas.
Este documento presenta el método de análisis nodal para circuitos eléctricos. Explica cómo escribir ecuaciones de nodos para circuitos con fuentes independientes y dependientes de corriente y voltaje. También introduce los conceptos de supernodo y análisis de supernodos para circuitos que contienen fuentes entre nodos.
Similar a ingeniería electromecánica 03 analisis por_nodos_y_mallas (20)
1. Introduccion a las excavaciones subterraneas (1).pdfraulnilton2018
Cuando las excavaciones subterráneas son desarrolladas de manera artesanal, se conceptúa a la excavación como el “ que es una labor efectuada con la mínima sección posible de excavación, para permitir el tránsito del hombre o de
cémilas para realizar la extracción del material desde el
frontón hasta la superficie
Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
concepto de “ que abarca,
globalmente, al proceso de excavación, control de la periferia, sostenimiento, revestimiento y consolidación de la excavación
La energía radiante es una forma de energía que
se transmite en forma de ondas
electromagnéticas esta energía se propaga a
través del vacío y de ciertos medios materiales y
es fundamental en una variedad naturales y
tecnológicos
Los puentes son estructuras esenciales en la infraestructura de transporte, permitiendo la conexión entre diferentes
puntos geográficos y facilitando el flujo de bienes y personas.
1. Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 35
3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
3.1. INTRODUCCIÓN
Conocer para cada una de las ramas de un circuito sus voltajes de rama y sus
corrientes de rama permite realizar todos los cálculos requeridos en el circuito. Una
manera de calcular estos valores es la aplicación de las leyes de Kirchhoff, la ley
de Ohm y el principio de conservación de potencia.
En el circuito de la Figura 3-1 tenemos siete ramas y seis nodos. Por tanto
tendremos catorce variables: siete voltajes de rama y siete corrientes de rama. Si
una de las variables de las ramas es conocida, por ejemplo si la rama AD
corresponde a una fuente de voltaje conocida y las demás son resistencias
conocidas, tendríamos trece incógnitas. De manera que debemos escribir trece
ecuaciones. Para obtenerlas podemos hacer: dos de KVL para los dos caminos
cerrados ABCDA y BEHCB, seis de KCL para los seis nodos, seis de la ley de
Ohm para las seis ramas (resistencias) y una para la conservación de potencia.
Esto nos da un total de 21 ecuaciones. Entre todas estas posibilidades, ¿cuáles
seleccionar par atener un conjunto de trece ecuaciones linealmente independientes
con trece incógnitas?
Figura 3-1
Los métodos de análisis de nodos y mallas son herramientas que permiten la
aplicación organizada y sistemática de las leyes de Kirchhoff (KVL o KCL) para
resolver problemas complejos con un número de incógnitas y ecuaciones
linealmente independientes muy reducido.
En el método de análisis de nodos nos interesa conocer los voltajes de nodo para
cada nodo del circuito. En el método de análisis de mallas nos interesa conocer las
corrientes de malla para cada malla del circuito. A partir de estas variables
2. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
36 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
calculadas (voltaje de nodos o corrientes de malla) se pueden calcular todos los
voltajes de rama y todas las corrientes de rama: los voltajes de rama se calculan
como la diferencia entre los voltajes de nodos de los dos nodos de la rama; las
corrientes de rama como la suma algebraica de las corrientes de lazo que pasan
por la rama.
En el ejemplo de la Figura 3-1, por el método de análisis de nodos, tendríamos seis
incógnitas (seis nodos), los cuales se convierten en cinco si uno de los nodos es el
de referencia. Por el método de lazos con tan solo dos incógnitas (corrientes de las
dos mallas) y dos ecuaciones sería suficiente.
Es importante anotar que con ninguno de los dos métodos tenemos el total de las
variables directamente, pero se pueden calcular fácilmente a partir de ellas
utilizando KVL y KCL.
3.2. ANÁLISIS POR NODOS
En el análisis por nodos se parte de la aplicación de KCL a cada nodo del circuito
para encontrar al final todos los voltajes de nodo del circuito. Para que el sistema
de ecuaciones sea consistente debe haber una ecuación por cada nodo. Así el
número de incógnitas (voltajes de nodo) es igual al número de ecuaciones (una por
nodo).
De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccione el nodo de referencia
se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes:
• Fuentes de corriente independientes
• Fuentes de corriente controladas
• Fuentes de voltaje independientes a tierra
• Fuentes de voltaje independientes flotantes
• Fuentes de voltaje controladas a tierra
• Fuentes de voltaje controladas flotantes
Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de
nodos.
El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de
corriente independientes y fuentes de voltaje independientes a tierra. Este método
NO aplica a los circuitos que tienen:
1. fuentes flotantes de voltaje (se usa el método de supernodos)
2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las
ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora)
Si el circuito solo tiene fuentes de corriente independientes entonces se aplica el
método general por el sistema llamado de inspección.
3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
En el análisis de mallas se parte de la aplicación de KVL a un conjunto mínimo de
lazos para encontrar al final todas las corrientes de lazo. A partir de las corrientes
de lazo es posible encontrar todas las corrientes de rama. El número de lazos que
se pueden plantear en un circuito puede ser muy grande, pero lo importante es que
el sistema de ecuaciones represente un conjunto mínimo de lazos independientes.
3. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 37
Este conjunto mínimo es cualquiera en el cual todos los elementos (ramas) hayan
sido tenidos en cuenta en al menos una malla. Las otras posibles mallas serán
entonces redundantes. Aquí también el número de incógnitas (corrientes de lazo)
debe ser igual al número de ecuaciones (una por malla del conjunto mínimo).
De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccionen las mallas se
pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes:
• Fuentes de corriente controladas
• Fuentes de voltaje independientes
• Fuentes de voltaje controladas
• Fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas
• Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas
Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de
mallas.
El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de
voltaje independientes y fuentes de corriente independientes no compartidas por
varias mallas. Este método NO aplica a los circuitos que tienen:
1. Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas (se
usa el método de supermalla)
2. fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las
ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora)
Si el circuito solo tiene fuentes de voltaje independientes entonces se aplica el
método general por el sistema llamado de inspección.
El número mínimo de lazos independientes que hay que definir para tener un
sistema de ecuaciones linealmente independientes que se deben tener está dado
por la siguiente relación:
# Lazos independiente = # ramas – # nodos + 1
Para que un conjunto de lazos sea independiente se requiere que en cada uno de
ellos exista al menos un elemento que haga parte de los otros lazos.
Ejemplo 3-1. Identificación de Lazos y Mallas.
a. Para el circuito de la Figura 3-2:
b. Identificar los nodos y las ramas.
c. Dibujar o identificar todos los lazos diferentes posibles.
d. Dibujar o identificar todas las mallas.
e. Dibujar o identificar un conjunto de lazos independientes que sea diferente al
conjunto de mallas.
4. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
38 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Figura 3-2
Solución
Figura 3-3
Parte a)
Este circuito tiene cuatro nodos que hemos denominado en la Figura 3-3 A, B, C y
D. Nótese que los quiebres de las líneas no constituyen necesariamente nodos,
pues no siempre hay unión de dos o más ramas.
Tenemos seis ramas: AD, AB, AC, BC, CD y BD.
Parte b)
Los lazos son los caminos cerrados del circuito. En este caso serían: ABDA,
ABCA, CBDB, ACDA, ACBDA, CABDC, ADCBA.
Parte c)
El número de mallas es igual al de lazos independientes:
# mallas = # lazos independientes = # ramas – # nodos + 1 = 6 – 4 + 1 = 3
Estas mallas son los lazos que no contienen otros lazos a su interior: ABDA, ABCA
y CBDB.
Parte d)
Para tener un conjunto de lazos independientes se requiere que al menos una
rama de cada lazo no pertenezca a los otros lazos que conformarán los lazos
independientes. Como nos piden un conjunto de lazos independientes ya sabemos
que deben ser tres (como el número de mallas). Podemos comenzar por
seleccionar un lazo cualquiera y luego ir buscando otros que sean independientes.
5. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 39
Vamos a seleccionar el lazo inicial ABDA. Como no hemos adicionado ningún otro
lazo al conjunto es evidente que este es independiente.
Ahora seleccionamos el segundo lazo independiente haciendo que una de sus
ramas no esté en el primer lazo ABDA. Un candidato puede ser ABCA ya que la
rama BC no está en el primer lazo.
Ahora hay que seleccionar un tercer lazo que tenga una rama que no esté en los
dos primeros. El lazo exterior ACDA tiene la rama CD que no está en los dos lazos
anteriores, de manera que así tenemos el conjunto deseado de tres lazos
independientes.
Evidentemente este método para encontrar los lazos independientes es más
complejo que el de la mallas.
Ejemplo 3-2. Análisis por Mallas.
Encontrar un sistema de ecuaciones de mallas para el siguiente circuito.
Figura 3-4
Solución
Malla 1:
0
=
+
+
+ BE
DB
AD
EA V
V
V
V
0
2
1 =
+
⋅
+
⋅
+
− S
DB
AD
S V
I
R
I
R
V
( ) ( ) 0
2
2
1
1
1 =
+
−
⋅
+
⋅
+
− S
S V
I
I
R
I
R
V
( ) ( ) 0
2 2
2
1
1 =
+
−
⋅
+
⋅
+
− S
S V
R
I
R
I
V
( ) ( ) 2
1
2
1
2 S
S V
V
I
R
I
R −
=
⋅
−
+
⋅
Malla 2:
0
=
+
+
+ CE
DC
BD
EB V
V
V
V
0
3
2 =
+
⋅
+
⋅
+
− S
DC
BD
S V
I
R
I
R
V
( ) ( ) 0
3
2
2
1
2 =
+
⋅
+
+
−
⋅
+
− S
S V
I
R
I
I
R
V
( ) ( ) 0
2 3
2
1
2 =
+
⋅
+
−
⋅
+
− S
S V
R
I
R
I
V
( ) ( ) 3
2
2
1 2 S
S V
V
I
R
I
R −
=
⋅
+
⋅
−
6. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
40 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Ecuación Matricial:
( ) ( ) 2
1
2
1
2 S
S V
V
I
R
I
R −
=
⋅
−
+
⋅
( ) ( ) 3
2
2
1 2 S
S V
V
I
R
I
R −
=
⋅
+
⋅
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
3
2
2
1
2
1
2
2
S
S
S
S
V
V
V
V
I
I
R
R
R
R
Solución Ecuación Matricial:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
3
2
2
1
1
2
1
2
2
S
S
S
S
V
V
V
V
R
R
R
R
I
I
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
4
1
S
S
S
S
V
V
V
V
R
R
R
R
R
R
I
I
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
2
1
2
1
2
1
1
2
3
1
S
S
S
S
V
V
V
V
R
I
I
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
2
1
2
2
3
1
S
S
S
S
S
S
V
V
V
V
V
V
R
I
I
( )
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
R
V
V
V
R
V
V
V
I
I
S
S
S
S
S
S
3
/
2
3
/
2
3
2
1
3
2
1
2
1
D
E
AD
EA
ED V
V
V
V
V −
=
+
=
EA
AD
D V
V
V −
−
=
)
(
)
( 1
S
AD
D V
I
R
V −
−
⋅
−
=
1
1 S
D V
I
R
V +
⋅
−
=
( )
[ ] 1
3
2
1 3
/
2 S
S
S
S
D V
R
V
V
V
R
V +
−
−
⋅
−
=
( )
[ ] 1
3
2
1 3
/
2 S
S
S
S
D V
V
V
V
V +
−
−
−
=
( ) 3
/
3
2
1 S
S
S
D V
V
V
V +
+
=
Ejemplo 3-3. Análisis por Mallas.
Encontrar el sistema de ecuaciones de mallas para el siguiente circuito.
Figura 3-5
7. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 41
Solución
Malla 1:
0
=
+
+ BE
AB
EA V
V
V
0
2
1
0 =
⋅
+
⋅
+
− BE
AB I
R
I
R
V
( ) ( ) 0
2
1
2
1
1
0 =
−
⋅
+
⋅
+
− M
M
M I
I
R
I
R
V
( ) ( ) 0
2
2
2
1
1
0 =
−
+
+
+
− R
I
R
R
I
V M
M
( ) ( ) 0
2
2
2
1
1
V
R
I
R
R
I M
M =
−
+
+
Malla 2:
0
=
+
+ CE
BC
EB V
V
V
0
3
1
2 =
⋅
+
+
⋅ CE
EB I
R
V
I
R
( ) ( ) 0
3
2
3
1
1
2
2 =
−
⋅
+
+
−
⋅ M
M
M
M I
I
R
V
I
I
R
( ) ( ) ( ) 1
3
3
3
2
2
2
1
V
R
I
R
R
I
R
I M
M
M −
=
−
+
+
+
−
Malla 3:
0
=
+
+ DE
CD
EC V
V
V
0
2
4
3 =
−
⋅
+
⋅ V
I
R
I
R CD
EC
( ) ( ) 0
2
3
4
2
3
3 =
−
⋅
+
−
⋅ V
I
R
I
I
R M
M
M
( ) ( ) 2
4
3
3
3
2 V
R
R
I
R
I M
M =
+
+
−
En forma matricial:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
−
−
+
2
1
0
3
2
1
4
3
3
3
3
2
2
2
2
1
0
0
V
V
V
I
I
I
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
M
M
M
Ejemplo 3-4. Análisis por Lazos, Mallas (supermalla) y Variable Auxiliar.
Para el circuito de la Figura 3-6 encontrar un sistema de ecuaciones y calcular la
corriente IM1 por los siguientes métodos:
a. Para la figura (a) hacerlo usando las dos mallas y la variable auxiliar Vx.
b. Para la figura (b) hacerlo usando las corrientes de malla y la supermalla
indicadas.
c. Para la figura (c) usar las corrientes de lazo indicadas.
8. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
42 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
(a)
(b)
(c)
Figura 3-6
Solución
Parte a)
Se define una variable auxiliar de voltaje Vx en la fuente de corriente compartida
por las dos mallas y se plantean las siguientes ecuaciones:
Restricción:
1
2 m
m
L I
I
I −
=
Malla 1:
0
1
1 =
+ X
m V
R
I
Malla 2:
2
2
2
2 0
R
I
V
R
I
V
m
X
m
X
=
=
+
−
Reemplazando Vx en la malla 1 tenemos:
0
2
2
1
1 =
+ R
I
R
I m
m
Esta ecuación más la de la restricción en forma matricial será:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
0
1
1
2
1
2
1
L
M
M I
I
I
R
R
9. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 43
Parte b)
Se tienen dos ecuaciones: una de la restricción de corriente en la fuente y otra
calculando KVL para el camino definido por la supermalla pero usando las
corrientes de malla definidas.
Restricción:
1
2 m
m
L I
I
I −
=
Supermalla:
0
2
2
1
1 =
+ R
I
R
I m
m
Forma matricial:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡−
0
1
1
2
1
2
1
L
M
M I
I
I
R
R
Ahora podemos calcular Im1 así:
2
1
2
1
2
1
1
1
0
1
R
R
R
I
R
R
R
I
I L
S
L
M
+
−
=
−
=
2
1
2
1
R
R
R
I
I L
M
+
−
=
Parte c)
Malla 1:
( )
( ) 0
0
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
=
+
+
=
+
+
R
I
R
R
I
R
I
I
R
I
m
m
m
m
m
Malla 2:
L
m I
I =
2
Forma matricial:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
L
M
M
I
I
I
R
R
R 0
1
0 2
1
2
2
1
10. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
44 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Ahora podemos calcular Im1 así:
2
1
2
2
1
2
1
1
0
1
0
R
R
R
I
R
R
R
I
R
I L
S
L
M
+
−
=
+
=
2
1
2
1
R
R
R
I
I L
M
+
−
=
Nótese que en los tres casos la corriente Im1 vale lo mismo y corresponde a la
corriente por R1. Sin embargo en el caso (c) la corriente por R2 corresponde a la
suma de dos corrientes de lazo (Im1 + Im2), mientras que en (a) y (b) corresponde
directamente a la corriente de malla que pasa por ella (Im2).
Ejemplo 3-5. Análisis por Nodos.
Encontrar un sistema de ecuaciones de nodos para el circuito mostrado en la
siguiente figura.
Figura 3-7
Solución
Como se verá los nodos A, B, C y E no requieren la aplicación de KCL y sus
valores se calculan directamente. De manera que solo hay que escribir una
ecuación de nodos para el nodo D.
Nodo E:
Tomamos como referencia el nodo E: 0
=
E
V
Nodo A:
A
E
A
AE
S V
V
V
V
V =
−
=
=
1
Nodo B:
B
E
B
BE
S V
V
V
V
V =
−
=
=
2
11. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 45
Nodo C:
C
E
C
CE
S V
V
V
V
V =
−
=
=
2
Nodo D:
0
=
+
+ CD
BD
AD I
I
I
0
=
+
+
R
V
R
V
R
V CD
BD
AD
0
=
+
+ CD
BD
AD V
V
V
( ) ( ) ( ) 0
=
−
+
−
+
− D
C
D
B
D
A V
V
V
V
V
V
0
3 =
−
+
+ D
C
B
A V
V
V
V
C
B
A
D V
V
V
V +
+
=
3
3
C
B
A
D
V
V
V
V
+
+
=
Ejemplo 3-6. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje a Tierra.
Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el circuito de la Figura 3-8.
Figura 3-8
Solución
Dado que la referencia es el nodo C y que las fuentes de voltaje están a tierra, solo
se requiere aplicar KCL a los nodos A y B.
Nodo C:
Se toma como referencia 0
=
C
V
Nodo D:
D
C
D
DC V
V
V
V
V =
−
=
=
0
Nodo E:
L
E V
V =
12. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
46 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Nodo A: (corrientes que salen igual a cero)
1
0
2
2
4
1
4
1
2
4
2
1
2
4
1
2
4
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
R
V
R
V
R
R
R
V
R
V
R
V
R
V
R
R
R
V
R
V
V
R
V
V
R
V
V
R
V
R
V
R
V
I
I
I
B
A
C
D
B
A
B
A
C
A
D
A
AB
AC
AD
AB
AC
AD
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
−
+
−
+
−
=
+
+
=
+
+
Nodo B: (corrientes que salen igual a cero)
3
5
3
2
2
1
1
1
1
0
R
V
R
R
R
V
R
V
I
I
I
L
B
A
BE
BC
BA
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
+
+
En forma matricial tenemos:
( )
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
−
+
+
3
1
5
3
2
2
2
4
2
1
/
/
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
R
V
R
V
V
V
R
R
R
R
R
R
R
R
L
O
B
A
Ejemplo 3-7. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje a Tierra y Fuentes de Corriente.
Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el circuito de la Figura 3-9.
Figura 3-9
Solución
Nodo C:
Se toma como referencia 0
=
C
V
Nodo D:
D
V
V =
0
En este caso solo los nodos A y B requieren aplicar KCL.
13. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 47
Nodo A: (corrientes que salen igual a cero)
( ) ( ) ( )
1
0
2
4
2
1
4
1
2
2
4
1
2
4
1
2
4
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
R
V
R
V
R
R
R
V
R
V
R
V
R
V
R
R
R
V
R
V
V
R
V
V
R
V
V
R
V
R
V
R
V
I
I
I
B
A
C
D
B
A
B
A
C
A
D
A
AB
AC
AD
AB
AC
AD
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
−
+
−
+
−
=
+
+
=
+
+
Nodo B: (corrientes que salen igual a cero)
( )
L
B
A
L
C
B
A
B
L
BC
AB
I
R
R
V
R
V
I
R
V
V
R
V
V
I
I
I
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
+
−
=
−
+
+
5
2
2
5
2
1
1
1
0
0
En forma matricial tenemos:
( )
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
+
L
O
B
A
I
R
V
V
V
R
R
R
R
R
R
R 1
5
2
2
2
4
2
1 /
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
/
1
Ejemplo 3-8. Análisis por Nodos – Fuentes de Corriente a Tierra o Flotantes.
Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el circuito de la Figura 3-10.
Figura 3-10
Solución
En este caso solo los nodos A, B y D requieren aplicar KCL.
14. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
48 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Nodo C: Se toma como referencia 0
=
C
V
Nodo A: (corrientes que salen igual a cero)
X
D
A
X
A
D
A
X
C
A
D
A
X
AC
AD
AB
AC
AD
I
R
V
R
R
V
I
R
V
R
V
V
I
R
V
V
R
V
V
I
R
V
R
V
I
I
I
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
+
−
=
+
−
+
−
=
+
+
=
+
+
1
4
1
4
1
4
1
4
1
1
1
1
0
0
0
0
Nodo B: (corrientes que salen igual a cero)
L
X
B
L
X
C
B
L
BC
X
BC
BC
BA
I
I
R
V
I
I
R
V
V
I
R
V
I
I
I
I
+
=
+
=
−
=
−
+
−
=
+
+
5
5
5
2
1
0
0
Nodo D: (corrientes que salen igual a cero)
0
1
1
1
0
1
1
0
0
I
R
V
R
V
R
V
V
I
I
I
D
A
A
D
DA
DC
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
−
+
=
+
En forma matricial:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
O
L
X
X
D
B
A
I
I
I
I
V
V
V
R
R
R
R
R
R
1
/
1
0
1
/
1
0
5
/
1
0
1
/
1
0
4
/
1
1
/
1
15. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 49
Ejemplo 3-9. Análisis por Nodos – Fuentes de Voltaje Flotantes.
Encontrar el sistema de ecuaciones de nodos para el siguiente circuito.
(a) (b)
Figura 3-11
Solución
En este caso se tienen cuatro nodos, de manera que al seleccionar el nodo C
como referencia el sistema se reduce a tres nodos: A, B y D. Para el nodo D se
escribe la ecuación correspondiente a KCL de la manera tradicional. Sin embargo
para los nodos A y B no se puede hacer lo mismo, de manera que tenemos tres
incógnitas y una ecuación.
Para encontrar dos ecuaciones adicionales se procede a escribir la ecuación de
KCL del supernodo (corrientes que entran en la curva gaussiana mostrada) en
función de los voltajes de nodo de los nodos A, B y D. La tercera ecuación resulta
de la restricción que impone el supernodo: la caída de voltaje en la fuente
corresponde a la diferencia de potencial entre los dos nodos A y B.
Nodo D: (corrientes que salen igual a cero)
0
1
1
1
0
1
1
0
0
I
R
V
R
V
R
V
V
I
I
I
D
A
A
D
DA
DC
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
+
=
+
KCL en el supernodo: (corrientes que salen igual a cero)
L
D
B
A
L
B
A
D
A
L
C
B
C
A
D
A
L
BC
AC
AD
I
R
V
R
V
R
R
V
I
R
V
R
V
R
V
V
I
R
V
V
R
V
V
R
V
V
I
I
I
I
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
+
+
−
=
−
−
+
−
+
−
=
−
+
+
1
5
4
1
5
4
1
5
4
1
1
1
1
1
0
0
Restricción en el supernodo:
X
B
A V
V
V −
=
−
16. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
50 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
En forma matricial:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
−
X
L
O
D
B
A
V
I
I
V
V
V
R
R
R
R
R
R
0
1
1
1
/
1
5
/
1
4
/
1
1
/
1
1
/
1
0
1
/
1
Ejemplo 3-10. Análisis por Nodos – Supernodos con fuente controlada.
Plantear las ecuaciones de nodos para el circuito de la Figura 3-12.
Figura 3-12
Solución
Dado que el nodo D es tierra y que las fuentes de voltaje (independiente y
controlada) tienen una conexión directa a ese nodo las dos fuentes de voltaje son
flotantes. Por tanto es necesario plantear un supernodo.
Como muestra la siguiente figura un supernodo que tome las dos fuentes al tiempo
puede servir.
Figura 3-13
Nodo D:
0
=
D
V
17. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 51
KCL en el supernodo: (corrientes que salen igual a cero)
2
3
2
2
2
3
2
2
3
2
1
1
1
0
0
0
I
R
V
R
V
R
V
I
R
V
R
V
V
I
R
V
V
I
I
I
C
B
B
C
D
B
D
C
BD
BD
CD
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
+
−
=
−
+
−
−
=
+
+
Restricciones:
1)
2
/ R
V
I B
X −
=
2)
0
1
0
2
2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=
+
−
−
=
=
−
R
k
V
V
R
V
k
V
V
R
V
k
kI
V
V
B
A
B
B
A
B
X
B
A
3)
1
V
V
V C
B =
−
Poniendo en forma matricial:
( )
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
1
2
2
3
2
0
1
1
0
0
1
/
1
/
1
/
1
0
V
I
V
V
V
R
k
R
R
C
B
A
Ejemplo 3-11. Análisis por Nodos y Mallas.
Plantear las ecuaciones en forma matricial para el circuito de la Figura 3-14 por los
siguientes métodos:
a. Análisis de mallas.
b. Análisis de nodos.
18. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
52 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Figura 3-14
Solución
Parte a)
Figura 3-15
En este circuito tenemos dos mallas posibles, de manera que debemos tener un
sistema de ecuaciones de 2x2.
Vamos a utilizar las dos mallas mostradas en la Figura 3-15 con sus respectivas
corrientes de malla. Dado que las dos mallas tienen una fuente de corriente
compartida debemos tener una restricción en esta fuente y hacer una supermalla
(camino cerrado externo del circuito).
Por otra parte, dado que hay una fuente controlada se debe calcular primero la
variable controladora en términos de las variables del sistema (corrientes de malla).
Restricción en la fuente compartida:
Figura 3-16
1
2 m
m I
I
Io −
=
Calculo de variable controladora Vx en R2:
Figura 3-17
Teniendo en cuenta la convención pasiva de signos la ley de Ohm en R2 será:
19. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 53
[ ] 0
2
1
2 =
−
= m
m
X I
I
R
V
KVL en la Supermalla:
0
2 1
0
1
1
0 =
+
+
+
− m
X
m I
R
V
I
R
V
[ ]
( ) 0
2 1
0
2
1
2
1
1
0 =
+
−
+
+
− m
m
m
m I
R
I
I
R
I
R
V
Poniendo la restricción y la supermalla en forma matricial tenemos:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
+
0
0
2
1
2
2
1
0
0
1
2
2
I
V
I
I
R
R
R
R
m
m
Parte b)
Figura 3-18
En este circuito tenemos cinco nodos, los cuales se muestran en la Figura 3-18.
Seleccionando el nodo E como referencia ( 0
=
E
V ) se conoce el nodo A ya que la
fuente Vo estaría a tierra: ( 0
V
VA = ). De manera que de los cinco nodos nos
quedan tres por calcular (sistema de 3x3).
La fuente de voltaje controlada será una fuente flotante y se calcula con KVL en un
supernodo y genera una restricción.
Nuevamente se debe calcular la variable controladora Vx pero esta vez en función
de los voltajes de nodos que la definen en R2.
Calculo de variable controladora Vx en R2:
C
B
X V
V
V −
=
Restricción en la fuente flotante:
X
D
B V
V
V 2
=
−
( )
C
B
D
B V
V
V
V −
=
− 2
0
2 =
−
+
− D
C
B V
V
V
KVL en nodo C:
0
0
2
=
+
−
I
R
V
V C
B
0
2
0 =
+
− R
I
V
V C
B
20. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
54 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
2
0 R
I
V
V C
B −
=
−
Supernodo:
Figura 3-19
0
0
0
1
0
=
−
+
−
R
V
R
V
V D
B
1
0
0
1 R
V
R
V
R
V D
B
−
=
−
−
En forma matricial tenemos:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
−
1
0
2
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
2
1
R
V
R
I
V
V
V
R
R
D
C
B
Ejemplo 3-12. Análisis por Nodos y Mallas.
Plantear las ecuaciones de nodos y mallas para el circuito de la Figura 3-20 por los
siguientes métodos:
a. Análisis de nodos.
b. Análisis de mallas.
Figura 3-20
21. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 55
Solución
Definimos los nodos y mallas que vamos a utilizar en la Figura 3-21:
Figura 3-21
Parte a)
Nodo D: Tierra: 0
=
d
V
Nodo A: V
5
=
a
V
Nodo B: V
10
−
=
b
V
Nodo C:
KLC:
3
5
0
10
0
5
0
−
=
=
−
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
c
c
c
c
c
b
c
d
c
a
V
R
V
R
V
R
V
R
V
V
R
V
V
R
V
V
Parte b)
Malla a: ( ) ( )
5
2
0
5
−
=
+
−
=
+
−
+
+
c
b
a
b
a
c
a
RI
RI
RI
I
I
R
I
I
R
22. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
56 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Malla b:
x
b kI
I =
c
a
x I
I
I +
=
0
=
+
−
+
=
c
b
a
c
a
b
kI
I
kI
kI
kI
I
Malla c:
( )
( ) ( )
10
2
10
0
10
=
+
+
=
+
+
+
=
−
+
+
c
b
a
b
c
c
a
b
c
x
RI
RI
RI
I
I
R
I
I
R
I
I
R
RI
A partir de las ecuaciones de mallas se obtiene la siguiente matriz:
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
10
0
5
2
1
2
c
b
a
I
I
I
R
R
R
k
k
R
R
R
Ejemplo 3-13. Análisis por Nodos y Mallas.
Para el circuito de la Figura 3-22:
a. Seleccionar un nodo de referencia y plantear los valores o ecuaciones para
los demás nodos para poder describir completamente el sistema. Resolver
las ecuaciones resultantes.
b. Plantear un sistema de ecuaciones de malla que permita describir el
sistema. Resolver las ecuaciones.
c. Plantear un sistema de ecuaciones de corrientes de lazo de manera que
pase una sola corriente de lazo por la fuente de corriente.
Figura 3-22
23. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 57
Solución
Parte a)
En la Figura 3-23 se muestran los nodos empleados, se elige como nodo de
referencia el nodo B.
Figura 3-23
Ecuaciones de nodos:
Nodo B: Tierra: 0
=
b
V
Nodo A: 0
V
Va =
Nodo C: 1
V
Vc −
=
Nodo D:
KLC:
( )
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
0
1
1
0
V
I
R
R
R
R
V
R
V
I
R
R
R
R
R
V
R
V
I
R
R
R
R
R
V
R
V
I
R
R
R
R
V
R
V
R
R
V
I
R
V
V
R
V
V
I
d
d
d
c
d
c
d
c
d
b
d
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
=
−
+
−
+
Parte b)
En la Figura 3-23 se muestran las mallas a utilizar para resolver el sistema.
24. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
58 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
Ecuaciones de mallas:
Malla a:
0
1
0
1
0
0 0
R
V
V
I
V
V
I
R
a
a
+
−
=
=
+
+
Restricción:
2
I
I
I b
c =
−
Supermalla:
1
1
2
1
2
1 0
V
I
R
I
R
I
R
I
R
V
b
c
b
c
=
+
=
+
+
−
En forma matricial:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ +
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
1
2
0
1
0
2
1
0
1
1
0
0
0
1
V
I
R
V
V
I
I
I
R
R c
b
a
Parte c)
En la siguiente figura se muestran las mallas a utilizar para resolver el sistema.
Aquí Ic es la única corriente de lazo que pasa por la fuente de corriente.
Figura 3-24
Ecuaciones de mallas:
Malla a:
0
1
0
1
0
0 0
R
V
V
I
V
V
I
R
a
a
+
−
=
=
+
+
25. 3.3. ANÁLISIS POR MALLAS
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 59
Malla c:
2
I
Ic =
Malla b:
( )
( )
( )
( )
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
2
1
0
0
0
R
R
I
R
V
I
I
R
V
R
R
I
I
R
R
R
I
V
I
R
I
I
R
V
I
R
I
I
R
V
b
b
b
b
b
b
c
b
+
−
=
−
=
+
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
=
+
+
+
−
Ejemplo 3-14. Análisis por Mallas.
Para el circuito de la Figura 3-25 encontrar un sistema matricial de mallas de la
forma:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
22
21
12
11
V
V
I
I
Z
Z
Z
Z
Figura 3-25
Solución
Las corrientes empleadas para plantear las ecuaciones de mallas se presentan en
la Figura 3-26
Figura 3-26
Ecuaciones de mallas:
26. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
60 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
2
1
I
I
I
I
b
a
=
=
Malla a:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) )
1
(
0
1
1
V
Z
Z
I
Z
I
Z
Z
I
I
I
I
Z
I
I
Z
V
B
A
c
A
b
B
A
a
c
b
a
A
c
a
B
=
+
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
Malla b:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) )
2
(
0
2
2
V
Z
Z
I
Z
Z
I
Z
I
I
I
I
Z
I
I
Z
V
B
A
c
B
A
b
A
a
c
a
b
A
c
b
B
=
−
−
+
+
+
−
=
−
−
+
−
+
−
Malla c:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
)
3
(
2
0
2
0
2
0
0
a
b
c
c
b
a
B
A
c
B
A
b
B
A
a
B
A
B
A
c
B
A
b
B
A
a
b
c
B
b
a
c
A
a
c
B
c
A
I
I
I
I
I
I
Z
Z
I
Z
Z
I
Z
Z
I
Z
Z
Z
Z
I
Z
Z
I
Z
Z
I
I
I
Z
I
I
I
Z
I
I
Z
I
Z
−
=
=
+
−
=
+
+
+
−
+
=
+
+
+
+
−
−
+
+
=
−
+
−
+
+
+
+
Reemplazando (3) en (1)
( ) ( ) ( )
)
4
(
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
V
Z
Z
I
Z
Z
I
V
Z
Z
Z
I
Z
Z
Z
Z
I
V
Z
Z
I
I
Z
I
Z
Z
I
A
B
b
B
A
a
B
A
A
b
B
A
B
A
a
B
A
a
b
A
b
B
A
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
=
+
−
+
−
+
+
Reemplazando (3) en (2)
( ) ( ) ( )
)
5
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V
Z
Z
I
Z
Z
I
V
Z
Z
Z
Z
I
Z
Z
Z
I
V
Z
Z
I
I
Z
Z
I
Z
I
B
A
b
A
B
a
B
A
B
A
b
B
A
A
a
B
A
a
b
B
A
b
A
a
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
=
−
−
−
+
+
+
−
Con las ecuaciones (4) y (5) se obtiene el siguiente sistema matricial:
( ) ( )
( ) ( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
+
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
V
V
I
I
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
B
A
A
B
A
B
B
A
27. 3.4. SIMULACIONES
Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes 61
3.4. SIMULACIONES
3.4.1. ANÁLISIS POR NODOS
Figura 3-27
Descripción
Esta simulación ilustra el método de análisis de circuitos por el método de nodos,
basado en la aplicación de la Ley de Corrientes de Kirchhoff, para llegar a
encontrar los voltajes de nodo. El estudiante podrá ver como cambia la dirección
de la corriente real y como las corrientes toman valores positivos a negativos con
respecto a la dirección definida inicialmente como positiva y como la suma de tales
corrientes siempre es cero. Podrá comprobar también que las corrientes en las
resistencias se pueden calcular a partir de los voltajes de los nodos.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de nodo, voltaje, corriente y leyes
de Kirchhoff, interactúan con el recurso estableciendo los valores de los voltajes y
corrientes de las fuentes, para luego visualizar las direcciones reales del flujo de
corriente en el circuito y el voltaje que adquiere cada nodo analizado. Se pueden
plantear ejercicios en los que el estudiante deba comparar la simulación ante
diferentes valores de voltajes, con el fin de comprobar lo enunciado en la Ley de
Corrientes de Kirchhoff.
28. 3. ANÁLISIS POR NODOS Y MALLAS
62 Antonio José Salazar Gómez – Universidad de los Andes
3.4.2. ANÁLISIS POR MALLAS
Figura 3-28
Descripción
Esta simulación pretende mostrar la relación entre corriente de rama y corrientes
de malla. A partir de la observación de las corrientes de malla podrá deducir las
corrientes de rama y ver cuándo toman estas corrientes valores positivos o
negativos. Adicionalmente puede observar como para una malla la suma de caídas
de voltaje siempre vale cero. Un análisis de KVL para las dos mallas permite
explicar el método de análisis por mallas.
Uso educativo
Esta simulación se presenta como un complemento a la clase presencial, para
estudiantes de primeros semestres de Ingeniería Eléctrica, Electrónica y Mecánica.
Una vez los estudiantes manejan los conceptos de malla, voltaje, corriente de rama
y corriente de malla y KVL, interactúan con el recurso estableciendo los valores de
los voltajes en un circuito para luego visualizar el valor de las corrientes en las
mallas y ramas. Finalmente, como aplicación de la Ley de Voltajes de Kirchhoff, el
estudiante puede ver el valor total de las corrientes en las mallas que componen el
circuito. Como un ejercicio que acompaña la simulación, se puede proponer al
estudiante realizar manualmente el ejercicio resolviendo las ecuaciones de las
mallas y la ecuación matricial resultante, para finalmente comparar su resultado
con la simulación.