Una integral impropia es una integral definida cuyo intervalo de integración incluye un límite infinito o donde la función no es continua en todo el intervalo. Se evalúa como el límite de integrales definidas finitas a medida que uno o ambos límites se acercan al infinito. Las integrales impropias más básicas tienen un límite infinito y se calculan evaluando la integral con límites finitos y tomando el límite cuando el límite superior se acerca a infinito. Una integral impropia puede ser convergente o divergente dependiendo

1. Integrales Impropias

2. Que es la integral impropia?
Una integral impropia es el limite de una integral definida cuando uno o ambos
extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a
∞, ó a −∞. Además una integral definida es impropia cuando la función
integrando de la integral definida no es continua en todo el intervalo de
integración. También se pueden dar ambas situaciones.
 

b
a
x dxf

3. Limites infinitos de integración
Las integrales impropias más básicas son integrales como:
0
 𝑑𝑥
𝑥2 + 1
éstas no necesitan ser definidas como una integral impropia, ya que pueden ser construidas como
una integral de Lebesgue. Sin embargo, para propósitos de calcular esta integral, es más
conveniente tratarla como un integral impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de
integración es finito y entonces coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la
función que está siendo integrada es arctan x. La integral es
lim
𝑏→ 0
𝑏
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
= lim
𝑏→
arctan 𝑏 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛0 =
𝜋
2
− 0 =
𝜋
2
por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera

4. Carácter y Valor de las Integrales
Impropias
Si la integral que nos ocupa es de fácil resolución podemos determinar su carácter
mediante el cálculo de la integral impropia. Según el resultado que obtengamos
sabremos si es convergente o divergente.
A continuación veremos un breve ejemplo de los 3 casos →

5. Dada la Interal 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , se pueden presentar tres casos:
Si el limite superior se convierte en mas infinito (b = + ), nos queda
𝑎
+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑏→+ 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si el límite inferior se convierte en infinito (a = - ), nos queda
−
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→− 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Si ambos límites se convierten en infinito ( b = +  ) y ( a = -  ), debemos recordar que el
intervalo de integración son todos los reales, por lo tanto se puede dividir en una serie de
intervalos, integrar y luego sumar cada uno de ellos. En este caso lo dividimos en dos intervalos
para no hacer tan tedioso el cálculo, tomamos un valor “c” como punto intermedio, de tal
manera que “c” esté dentro del intervalo (- , +  ). Para simplificar los cálculos, se escoge el
valor c = 0.
−
+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→− 𝑎
𝑐
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim
𝑏→ + 𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑠𝑖 𝑐 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
−
+
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑎→− 𝑎
0
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + lim
𝑏→+ 0
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

6. Esto ha sido todo, espero que les sirva
de ayuda.