Este documento define e ilustra tres tipos de integrales impropias. Las integrales impropias de primera especie ocurren cuando un extremo del intervalo de integración se acerca a un número real o infinito. Las integrales impropias de segunda especie ocurren cuando la función no está acotada en algún punto del intervalo. Las integrales impropias de tercera especie presentan características de ambos tipos anteriores.

1. Universidad Fermín Toro
Departamento de Formación General
Escuela de Ingeniería Eléctrica
Cabudare Edo – Lara
Identidades Impropias
Jonathan Lucena
26.800.408

2. Integrales Impropias

3. Definición
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral
definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración
se acercan a un número real específico, a ∞, o a −∞. Además una
integral definida es impropia cuando la función integrando de la
integral definida no es continua en todo el intervalo de integración.
También se pueden dar ambas situaciones.
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4. • También se puede definir integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o
a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.
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• Integrales impropias de primera especie. Convergencia. Sea f (x) continua x≥ ≥ a. Si existe
f (x) dx, se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:
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• f (x) dx = f (x) dx
• Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, + ).
• De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y
• f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.
• Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir de x = 1.
• dx = dx = = - (- 1) = 1 u.a.
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5. • Integrales impropias de segunda especie. Sea f (x) continua en (a, b], y no
acotada en a. Si existe f (x) dx, definimos:
• f (x) dx= f (x) dx
• Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.
• Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos
el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
• ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = - 1.
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6. Tercera especie
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los
extremos de integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del
intervalo de integración.
Este tipo de integrales impropias se pueden dividir en suma de dos integrales: una
de primera especie y otra de segunda especie. Por lo tanto deberemos seguir los
pasos anteriores para determinar su carácter, y tener en cuenta que para que sea
convergente tanto la integral de primera especie como la de segunda especie
tienen que ser convergentes, si no, en cualquier otro caso, diverge.
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7. Integrales

11. Integrales Impropias de Primera Especie

15. Integrales Impropias de Segunda Especie