Las integrales impropias son límites de integrales definidas cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real, infinito o menos infinito. Pueden ocurrir cuando la función no es continua en todo el intervalo o cuando tiene discontinuidades o asíntotas verticales en los límites. Algunos ejemplos son la función gamma, definida como una integral impropia de primera especie, y la función beta, definida como una integral impropia de segunda especie.

1. LAS INTEGRALES IMPROPIAS
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o
ambos extremos del intervalo de integración se acercan a un número real específico, a ∞, o a
−∞. Además una integral definida es impropia cuando la función integrando de la integral
definida no es continua en todo el intervalo de integración. También se pueden dar ambas
situaciones.
Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad en c,
especialmente en la forma de una asíntota vertical, o sic = ∞, entonces la integral
Punto singular en c.
Puede ser más conveniente redefinirla de la siguiente forma:
En algunos casos, la integral de a a c ni siquiera está definida, puesto que las
integrales de la parte positiva y negativa de f(x) dx entre a y c son ambas infinitas, sin
embargo el límite puede existir. Estos casos corresponden a las llamadas "integrales
impropias", es decir, aquellas cuyos valores no pueden definirse excepto como límites.
Integrales impropias de primera especie.
Convergencia. Sea f (x) continua x a. Si existe f (x) dx, se dice
que f tiene una integral impropia convergente en [a, + ), y definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a,
+ ).
De igual modo, definimos también f (x) dx = f (x) dx, y

2. f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx, si los límites existen.
Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = con el eje X, a partir
de x = 1.
dx = dx = = - (- 1) = 1
Integrales impropias de segunda especie.
Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a. Si existe f (x) dx,
definimos:
f (x) dx = f (x) dx
Si el límite no existe, diremos que f (x) dx es divergente.
Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el
área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:
ln x dx = ln x dx = x ln x - x = - 1 - ln = -1
Limites infinitos de integración
Las integrales impropias más básicas son integrales como:
Como dijimos anteriormente éstas no necesitan ser definidas como una integral
impropia, ya que pueden ser construidas como una integral de Lebesgue. Sin embargo,
para propósitos de calcular esta integral, es más conveniente tratarla como un integral
impropia, i.e., evaluarla cuando el límite superior de integración es finito y entonces
coger el límite ya que este límite se acerca a ∞. La primitiva de la función que está
siendo integrada es arctan x. La integral es
por lo que el área bajo la curva nunca puede ser definida de forma verdadera.

3. Asíntotas verticales en los límites de integración
Considera
Esta integral involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.
Uno puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces
tomando el límite como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior
función es
la cual puede ser evaluada por sustitución directa para dar el valor
El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.
Las funciones gamma y beta de Euler
La función gamma es una de las funciones más importantes del Análisis. Esta
función se define mediante una integral impropia de primera especie que depende de un
parámetro.
Definición: (La función gamma de Euler)
Proposición: (Algunas propiedades de la función gamma)
1.
2.
3.
No menos importante es la función beta. Esta función se define mediante una integral
impropia de segunda especie que depende de dos parámetros.
Definición: (La función beta de Euler)
La siguiente identidad revela una estrecha relación entre ambas integrales eulerianas.
Proposición: