INTEGRALES IMPROPIAS

2. El concepto de integral definida se
refiere a funciones acotadas en
intervalos cerrados [a, b], con a, b ∈ R.
Este concepto se puede extender
eliminando estas restricciones.
Ello da lugar a las integrales impropias.
Llamaremos integral impropia de
primera especie aquella cuyo intervalo
de integración es infinito, ya sea de la
forma (a,∞), (−∞, b) o bien (−∞,∞), pero
la función está acotada.

3. Se dice que la integral impropia
correspondiente es convergente si el
límite existe y es finito y divergente
en caso contrario.
1. Funciones definidas en intervalos
no acotados: integrales impropias
de primera especie.
2. Funciones no acotadas: integrales
impropias de segunda especie.

4. Integrales impropias
de primera especie:
Las integrales de este tipo
son de la forma
siendo f acotada en
el intervalo correspondiente.

5. PROPIEDADES
Impropias de primera especie
(1) La convergencia de la integral no depende
del límite de integración real. Es decir,
(2) Homogénea. Si es convergente,
entonces es convergente, para todo λ ∈ R
y se cumple:

6. PROPIEDADES
Impropias de primera especie
(3) Aditiva. Si convergen,
entonces converge
y además

7. PROPIEDADES
Impropias de primera especie
(4) Integración por partes. Si f y g tienen derivadas
de primer orden continuas en [a,∞)
y dos de los tres limites
existen, entonces el tercero también existe y se tiene
que

8. PROPIEDADES
(5) Si converge,
entonces converge.
Esta ultima propiedad permite definir el concepto
de convergencia absoluta para el caso en que
la función integrando no tenga signo
constante en [a,∞).

9. Ejercicio #1:

10. Ejercicio #2:

11. Integrales impropias
de segunda especie:
Si una función y = f(x) no está
acotada en un intervalo [a, b], no
tiene
sentido el concepto de integral
definida de f en [a, b].
Esta situación da lugar a las
integrales impropias de segunda
especie; para ello, se distinguen los
siguientes criterios:

12. CRITERIOS
Impropias de segunda especie
(1) Criterio de comparaci´on. Si f y g son
funciones continuas en [a, r], ∀r < b y 0 ≤ f(x) ≤
g(x), ∀x ∈ [a, r], entonces:
(2) Comparación por paso al límite. Sean f y g
continuas y no negativas
en [a, r], ∀r < b.

13. CRITERIOS
Impropias de segunda especie
a) Si λ finito, entonces
converge converge
b) Si entonces
converge converge

14. CRITERIOS
Impropias de segunda especie
(3) Sea f una función continua y no negativa en
[a, r], ∀r < b
a) Si finito, entonces
b) Si entonces converge
c) Si entonces diverge

15. EJERCICIO #1:

16. EJERCICIO #2:
Solución:
El integrando presenta una discontinuidad
esencial en x = 3. Resulta entonces: