Este documento presenta una introducción a las integrales impropias. Explica que son integrales de funciones sobre intervalos ilimitados o funciones no acotadas. Describe tres tipos de integrales impropias dependiendo de si presentan asíntotas horizontales, verticales o una mezcla. Luego, ofrece ejemplos de cómo calcular este tipo de integrales utilizando límites y evaluando primero la integral sobre intervalos finitos. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como aplicación de los conceptos.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA
Integrales Impropias
AUTORA: VARGAS, ANDREA
Cabudare, Marzo 2016.

2. INTEGRALES IMPROPIAS
Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de
funciones que no están acotadas en un intervalo.
Una breve explicación:
Si la función f al ser integrada de a a c tiene una discontinuidad
en c, especialmente en la forma de una asíntota vertical, o si c = ∞,
entonces la integral es más conveniente redefinirla de la
siguiente forma:
En algunos casos, la integral
de a a c ni siquiera está definida,
puesto que las integrales de la parte
positiva y negativa
de f(x) dx entre a y c son ambas
infinitas, sin embargo el límite puede
existir. Estos casos son llamadas
"integrales impropias", cuyos valores
no pueden definirse excepto como
límites.La integral se puede interpretar como:
pero
desde el punto de vista del análisis matemático, no
es obligatorio interpretarla de tal manera, ya que puede
interpretarse como una integral de Lebesgue sobre el intervalo (0,
∞).
En contraste al caso anterior, no
puede ser interpretada como una integral de
Lebesgue, ya que Ésta es
una "verdadera" integral impropia, cuyo valor
está dado por
Tales integrales son frecuentemente escritas en forma
simbólica de igual forma que una integral definida,
utilizando un infinito como límite de integración.

3. ASÍNTOTAS VERTICALES EN LOS LIMITES DE
INTEGRACIÓN
Considera Esto involucra una función con una asíntota vertical en x = 0.
Se puede obtener el valor de esta integral evaluándola desde b a 1, y entonces tomando el límite
como b tendiendo a 0. Nótese que la anti-derivativa de la anterior función es la cual puede ser evaluada
por sustitución directa para dar el valor El límite cuando b → 0 es 3 − 0 = 3.
LÍMITES INFINITOS
DE INTEGRACIÓN
Las integrales
impropias más
básicas son
integrales como:
No necesitan ser definidas como una
integral impropia, ya que son
construidas como una integral de
Lebesgue. Sin embargo, para calcular
esta integral, es conveniente tratarla
como un integral impropia, i.e.,
evaluarla cuando el límite superior de
integración es finito y entonces coger
el límite ya que este límite se acerca a
∞. La primitiva de la función que está
siendo integrada es arctan x. La integral
es:

4. VALORES PRINCIPALES DE CAUCHY
Considera la diferencia en los valores de dos límites:
La primera es el valor principal de Cauchy
Similarmente, tenemos pero
La primera es el valor principal
Todos los límites anteriores son casos de la forma indeterminada ∞ − ∞.

5. Integrales Impropias de Primera Especie:
Son del tipo : o Presentan una asíntota horizontal.
Son del tipo: y que no está definida en el intervalo de integración o en cualquier punto
del dominio o los extremos de integración.
Presentan una asíntota vertical.
CÁRACTER Y VALOR DE LAS INTEGRALES
IMPROPIASó
Integrales Impropias de Segunda Especie:
Son mezclas de los dos tipos anteriores, es decir, que presentan un infinito en los extremos de
integración y la función se hace infinito en uno o más puntos del intervalo de integración.
Integrales Impropias de Tercera Especie:

6. EJERCICIOS DE INTEGRALES
IMPROPIAS

7. Grisolía
(2007)
Solución:
PRIMER EJERCICIO
Piaget
(2007)
Serrano citado por
Santana (2007)

8. SEGUNDO EJERCICIO
Solución:

9. TERCER EJERCICIO
Solución:

10. CONTINUACION DEL EJERCICIO

11. CUARTO EJERCICIO
Solución:

12. CONTINUACION DEL EJERCICIO

13. Solución:
QUINTO EJERCICIO