Este documento presenta la resolución de tres ecuaciones diferenciales parciales mediante el método de factores integrales. La primera ecuación se resuelve dependiendo de x + y, la segunda de xy y la tercera también de xy. Cada ecuación se transforma en una ecuación exacta cuya solución general involucra funciones arbitrarias de una variable.

1. JAWABAN TUGAS DARI KELOMPOK 6(FAKTOR INTEGRASI)
1. Tentukan solusi umum dari persamaan berikut (faktor integrasi bergantung dari x+y)
(5 x 2
2 xy 3 y 3 )dx 3( x 2
xy 2
2 y 3 )dy
0
2. Tentukan solusi umum dari persamaan berikut (faktor integrasi bergantung dari xy)
(2 y 3 4 x 2 y )dx (4 xy 2
2 x 3 )dy
0
3. Tentukan solusi umum dari persamaan berikut (faktor integrasi bergantung dari xy)
( xy 2
y )dx ( x 2 y
x)dy
0

2. 1.(5 x 2
2 xy 3 y 3 )dx 3( x 2
M ( x, y )
5x
2
2 xy 3 y
xy 2
2 y 3 )dy
3
2
N ( x, y ) 3 x 3 xy 2 6 y 3
M
2x 9 y 2
y
N
6x 3y 2
x
M
N
(persamaan non eksak)
y
x
M
N
1d
y
x
dz
N M
1d
dz
3x 2
2 x 9 y 2 (6 x 3 y 2 )
3 xy 2 6 y 3 5 x 2 2 xy 3 y 3
4x 6 y 2
3 xy 2 3 y 3
1d
dz
2x 2
1d
dz
4x 6 y 2
2 x( x y ) 3 y 2 ( x
2 xy
y)
2( 2 x 3 y 2 )
( 2 x 3 y 2 )( x y )
1d
2
dz x y
1
2
d
dz, z x y
x y
1
2
d
dz
z
1
2
d
dz
z
ln
2 ln z
1d
dz
e ln
e ln z
z2
2
(x
y ) 2 ..........
..........
..........2)
(
0..........1)
(

3. Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
y) 2 (5 x 2
(x
(x 2
y 2 )(5 x 2
2 xy
(5 x
4
(3 x
4
2 xy 3 y 3 )dx ( x
3
2
2 x y 3x y
3
3x y
2
2 xy 3 y 3 )dx ( x 2
3
2
6x y
y ) 2 (3 x 2
3
2
2
10 x y
3
2
3
4x y
3
6x y 6x y
2 x 3 y 3x 2 y 3 10 x 3 y
N ( x, y )
3x 4
3x 3 y 2
M
y
N
x
M
y
8x 2 y
0
y 2 )(3 x 2
3 xy 2
4
2
3
12 xy
5x 4
6 y 3 )dx
2 xy
6 xy
M ( x, y )
6x 2 y 3
3xy 2
5x y
4
2
2
3x y
4x 2 y 2
2 xy
2
3xy
6 y 3 )dx
0
5
3 y )dx
4
6 y 5 )dy
0
6 xy 4
5x 2 y 2
2 xy 3
3y5
6 x 3 y 6 x 2 y 3 12 xy 4
3x 2 y 2
3 xy 4
6y5
2x 3
9x 2 y 2
10 x 3
24 xy 3 10 x 2 y 6 xy 2
12 x 3
9x 2 y 2
12 xy 3 18x 2 y 12 xy 3 12 y 4
15 y 4
6 xy 2
3y 4
N
(persamaan eksak)
x
F ( x, y )
M ( x, y )
5 x 4 2 x 3 y 3 x 2 y 3 10 x 3 y 4 x 2 y 2 6 xy 4 5 x 2 y 2 2 xy 3 3 y 5 .......... 3)
.....(
x
F ( x, y )
N ( x, y )
3 x 4 3 x 3 y 2 6 x 2 y 3 6 x 3 y 6 x 2 y 3 12 xy 4 3 x 2 y 2 3xy 4 6 y 5 .......... 4)
....(
y
F ( x, y )
5 x 4 2 x 3 y 3 x 2 y 3 10 x 3 y 4 x 2 y 2 6 xy 4 5 x 2 y 2 2 xy 3 3 y 5
x
F ( x, y ) (5 x 4 2 x 3 y 3x 2 y 3 10 x 3 y 4 x 2 y 2 6 xy 4 5 x 2 y 2 2 xy 3 3 y 5 ) x
(5 x 4
F ( x, y )
F ( x, y )
x5
F ( x, y )
x5
F ( x, y )
y
3x 4
1 4
x y
2
6 4
x y
2
2 x 3 y 3x 2 y 3 10 x 3 y
x3 y3
x3 y3
3x 3 y 2
10 4
x y
4
9 3 2
x y
3
6x 2 y 3
4x 2 y 2
6 xy 4
4 3 2
x y
3
3x 2 y 4
3x 2 y 4
x2 y3
5x 2 y 2
5 3 2
x y
3
2 xy 3
x2 y3
3y5 ) x
3 y 5 x h( y )
3 y 5 x h( y )
6 x 3 y 6 x 2 y 3 12 xy 4
3x 2 y 2
3xy 4
6 y 5 ..........
..........
.......... 5)
.(

4. (x5
3x 4 y
x3 y3
3x 4
3x 3 y 2
6x 2 y 3
3x 4
3x 3 y 2
6 x 3 y 12 x 2 y 3
3x 4 3x 3 y 2 6 x 2 y 3
h( y )
6y5
y
h( y )
h( y )
3x 3 y 2
3x 2 y 4
y
x2 y3
6 x 3 y 6 x 2 y 3 12 xy 4
3 x 2 y 2 15xy 4
6 x 3 y 6 x 2 y 3 12 xy 4
3 y 5 x h( y ))
3 x 2 y 2 3 xy 4
h( y )
y
6y5
3x 2 y 2
6y5
3 xy 4
6y5 y
6y5 y
h( y ) y 6 c..........
.......... 6)
.(
subtitusi persamaan (6) ke persamaan (5)
F ( x, y )
x5
3x 4 y
x3 y3
3x 3 y 2
3x 2 y 4
x2 y3
3y5 x
y6
c

5. 2.(2 y 3
4 x 2 y ) dx
M ( x, y )
2y
N ( x, y )
M
y
N
x
M
y
4 xy
6y2
1 d
dz
6y2
y ( 4 xy 2
1 d
dz
2y2
2 xy 3
1 d
dz
2y2
xy ( 2 y 2
1
ln
ln
3
2y2
xy ( 2 y 2
d
y
3
N
( non eksak)
x
M
N
y
x
y.N
x.M
4 xy
d
2x
0......( )
1
6x 2
1 d
dz
1
4x
2
2
2 x 3 ) dy
4x 2
4y2
1 d
dz
3
( 4 xy 2
4x 2
2x 3 )
2y2
2x 3 y
(4 y 2
6x 2 )
x(2 y 3
4 x 2 y)
2x 2
2 xy 3
4x 3 y
2x 2
2x 3 y
2x 2
2x 2 )
2x 2
dz
2x 2 )
2y2
xy ( 2 y 2
2x 2
dz, dimana z
2x 2 )
xy
1
dz
z
ln z
e ln
e ln z
z
xy......( )
2
subtitusi persamaan 2 ke persamaan1
( 2 xy 4
4 x 3 y 2 ) dx
(4 x 2 y 3
2 x 4 y ) dy
0
M
8 xy 3
8x 3 y
y
N
8 xy 3
8x 3 y
x
M
N
( persamaan eksak)
y
x
F ( x, y )
M ( x, y )
2 xy 4
4 x 3 y 2 .......( )
3
x
F ( x, y )
M ( x, y )
4x 2 y 3
2 x 4 y.......( )
4
x

6. F ( x, y )
2 xy 4 4 x 3 y 2
x
F ( x, y ) (2 xy 4 4 x 3 y 2 ) x
(2 xy 4 4 x 3 y 2 ) x
F ( x, y )
F ( x, y ) x 2 y 4
F ( x, y )
y
( x 2y 4
x4 y2
h( y )......... 5)
..(
4x2 y3 2x4 y
x4 y2
y
h( y ))
4x2 y3 2x4 y
4x2 y3 2x4 y
h( y )
y
4x2 y3 2x4 y
h( y )
0
y
h( y ) 0 y
h( y )
h( y )
0 y
c..........
..........
..........6)
(
subtitusi ke persamaan 5
F ( x, y ) x 2 y 4
x4 y2 c
3.
( xy 2
y )dx ( x 2 y x)dy
M ( x, y )
xy 2
N ( x, y )
x2 y x
M
y
N
x
M
y
y
2 xy 1
2 xy 1
N
(non eksak)
x
0..........1)
(

7. M
N
y
x
y.N x.M
2 xy 1 (2 xy 1)
y ( x 2 y x) x( xy 2 y )
2
2 2
x y xy x 2 y 2 xy
2
2 xy
1
xy
1
dz, xy z
xy
1
dz
z
ln z
1d
dz
1d
dz
1d
dz
1d
dz
1d
dz
1
d
1
d
ln
e ln
e ln z
1
1
..........2)
(
xy
subtitusi persamaan 2 ke persamaan1
1
1
(y
)dx ( x
)dy 0
x
y
1
M ( x, y ) y
x
1
N ( x, y ) x
y
M
1
y
N
1
x
M
N
(persamaan eksak)
y
x
z
1

8. F ( x, y )
1
y
.......... 3)
..(
x
x
F ( x, y )
1
N ( x, y )
x
.......... 4)
...(
y
y
F ( x, y )
1
y
x
x
1
F ( x, y ) ( y
) x
x
1
F ( x, y )
(y
) x
x
F ( x, y ) xy ln x h( y )......... 5)
......(
M ( x, y )
F ( x, y )
y
1
)
y
1
F ( x, y ) ( x
) y
y
1
F ( x, y )
(x
) y
y
F ( x, y )
ln y c..........
.......... 6)
.(
(x
subtitusi persamaan (6) ke persamaan (5)
F ( x, y )
xy ln x ln y c