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1 
Problemas resueltos de derivadas 
Derivada de una constante 
Derivada de las potencias 
Derivada del producto de una función por una constante 
Derivada de la suma 
Derivada del producto 
Derivada del cociente 
Segunda derivada y derivadas de orden superior 
Derivadas de las funciones trigonométricas 
• Derivada del seno 
La regla de la cadena 
Problemas de razones de cambio 
Problemas de aplicación de máximos y mínimos 
Erving Quintero Gil 
Ing. Electromecánico 
Bucaramanga – Colombia 
2010 
Para cualquier inquietud o consulta escribir a: 
0H0H0H0H0H0Hquintere@hotmail.com 
1H1H1H1H1H1H1H1Hquintere@gmail.com 
2H2H2H2H2H2H2H2Hquintere2006@yahoo.com
2 
DERIVADA DE UNA CONSTANTE 
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces 
f’ (x) = 0 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 
f(x) = 5 
f’ (x) = 0 
DERIVADA DE LAS POTENCIAS 
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos 
Si n es un entero negativo y x ≠ 0 
d = ⎟⎠ 
xn n xn-1 
dx 
⎞ 
⎛ 
⎜⎝ 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 
f(x) = x8 
d (x8 ) = 
8 x8-1 
dx 
f ' (x)= 8 x7 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 
f(x) = x 
d (x) = 
x1-1 
dx 
f ' (x)= x0 
f’ (x) = 1 
Derivada del producto de una función por una constante 
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por 
g (x) = c f(x) 
y si f ’existe, entonces 
g’ (x) = c f ’ (x) 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 
f(x) = 5 x7 
d ( 5 x 7 ) = 
5 d 
(x)7 
dx 
dx
3 
f ' (x)= 5 (7) x7-1 
f ' (x)= 35 x6 
DERIVADA DE LA SUMA 
Si f y g son funciones y si h es la función definida por 
h(x) = f(x) + g(x) 
y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces 
h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 
f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5 
( ) ( ) ( ) ( x ) d 
(5) 
dx 
8 d 
dx 
d 3 
x - 2 d x 
dx 
7 x - 2 x 8 x 5 7 d 
dx 
dx 
4 3 + + = 4 + + 
f ' (x)= 7 (4)(x)4-1 - 2 (3)(x)3-1 + 8 (1)(x)1-1 + 0 
f ' (x)= 28 (x)3 - 6 (x)2 + 8 (x)0 + 0 
f ' (x)= 28 x3 - 6 x 2 + 8 
Calcular la derivada 
y = 3 x -4 + 3 x 4 
( - 4 ) d ( 3x 
4 
) 
dx 
y' d 3x 
= + 
dx 
y’= (3) (-4) x -4 -1 + (3) (4) x 4 -1 
y’= -12x -5 + 12x 3 
ordenando 
y'=12x3 - 12 
5 x 
DERIVADA DEL PRODUCTO 
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la 
derivada de la primera. 
Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es, 
( ) 
d uv = u dv 
+ 
v du 
d 
dx 
dx 
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.
4 
En notación prima, (u v) 
’ = u v 
’ + v u 
’ 
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 
Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) 
Primer termino = (2x3 – 4x2) 
Segundo termino = (3x5 + x2) 
[( 3 2 )( 5 + 2 
)] 
( ) h ' x d 2 x - 4x 3 x x 
dx 
= 
' ( 3 2 ) [ 5 2 ] ( 5 2 ) [2 x3 4 x2 ] 
h (x) = 2 x - 4 x d 3 x + x + 3 x + x d 
− 
dx 
dx 
h' (x) = (2 x3 - 4 x 2 )[3 (5) x5-1 + 2 x 2-1]+ (3 x5 + x2 )[2 (3) x3-1 - 4 (2) x 2-1] 
⎥⎦ ⎤ 
h'(x) = 2x3 - 4x2 15 x4 2 x 3x5 x2 6 x2 - 8 x 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ + ⎥⎦ ⎤ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎢⎣ ⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
Resolviendo el polinomio 
h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4 x4 - 8 x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3 
h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4x4 - 8x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3 
Reduciendo términos semejantes 
h'(x) = 48 x7 - 84 x6 +10x4 -16x3 
Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 
Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) 
Primer termino = (3 x – 2 x2) 
Segundo termino = (5 + 4 x) 
[( 2 )( )] 
( ) + x 
f ' x d 3 x - 2 x 5 4 
dx 
= 
' ( 2 ) [ ] ( ) [3 2 x2 ] 
f (x) = 3 x - 2 x d 5 + 4 x + 5 + 4 x d 
x − 
dx 
dx 
f ' (x) = (3 x - 2 x2 )[ 4]+ (5 + 4 x)[3 - 2 * 2 x2-1] 
f ' (x) = (3x - 2x2 )[ 4]+ (5 + 4x)[3 - 2* 2x1] 
f ' (x) = [12 x - 8 x 2 ]+ (5 + 4 x)[3 - 4 x] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 +12 x - 20 x -16 x2 ) 
Reduciendo términos semejantes
5 
f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 - 8 x -16 x 2 ) 
f ' (x) = 12x - 8x2 +15 - 8x -16x2 
f ' (x) = 4 x - 24 x2 +15 
Ordenando 
f ' (x) = - 24 x2 + 4 x +15 
Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132 
Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1) 
Primer termino = (1 + x - 1) 
Segundo termino = (x - 1) 
[( + -1 )( ( ) = x 
− 
)] 
f ' x d 1 x 1 
dx 
' ( -1) [ ] ( ) [1 x-1] 
f (x) = 1+ x d x − 1 + x -1 d 
+ 
dx 
dx 
' ( -1) [x 1] (x -1)[1 x-1-1] 
f (x) = 1+ x d − + + 
dx 
f ' (x) = 1+ x-1 1 x -1 -1 x- 2 
[ ] ( ) ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
f ' (x) = (1+ x-1)+ (x -1)[- x- 2 ] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = (1+ x-1)+ [-1 x-1 + x- 2 ] 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) =1+ x-1 - x-1 + x-2 
f ' (x) =1 + x-2 
x 1 
2 
2 
f (x) 1 1 
2 
' 
x 
x 
+ 
= + = 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 4 
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1) 
Primer termino = (x2 – 2x + 1) 
Segundo termino = (x3 - 1) 
[( 2 + )( 3 )] 
( ) − 
= x 
( ) [ ] ( ) [ x - 2 x 1] 
f ' x d x - 2 x 1 1 
dx 
f ' (x) = x 2 - 2 x +1 d x 3 − 1 + x 3 − 1 d 
2 + 
dx 
dx
6 
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)[(2) x 2-1 - 2 x1-1 +1] 
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)(2)[ x1 - 2 x0 ] 
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[3x2 ]+ (x3 −1)[ 2 x - 2] 
Resolviendo el polinomio 
f ' (x) = (3 x4 - 6 x3 + 3 x2 ) + [2 x 4 - 2 x - 2 x3 + 2] 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = 3x4 - 6x3 + 3x2 + 2x4 - 2x - 2x3 + 2 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = 5 x4 - 8 x3 + 3 x 2 - 2 x + 2 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 5 
Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5) 
Primer termino = (x3 – 3 x) 
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5) 
[( 3 )( 2 )] 
( ) + + 
= x x 
( ) [ ] ( ) [ x - 3 x] 
f ' x d x - 3x 2 3 5 
dx 
2 x 3 x 5 2 x 3 x 5 d 
f ' (x) = x3 - 3 x d 2 + + + 2 + + 3 
dx 
dx 
f ' (x) = (x3 - 3 x )[(2) x2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x2 + 3 x + 5)[(3) x3-1 - 3 x1-1] 
f ' (x) = (x3 - 3 x )[4 x + 3]+ (2 x2 + 3 x + 5)[3 x2 - 3] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [4 x 4 -12 x2 + 3 x3 - 9 x]+ (6 x 4 + 9 x3 +15 x 2 - 6 x 2 - 9 x -15) 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = 4x4 -12x2 + 3x3 - 9x + 6x4 + 9x3 +15x2 − 6x2 - 9x -15 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) =10 x4 +12 x3 − 3 x2 -18 x -15 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 6 
Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2) 
Primer termino = (x – 1) 
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)
7 
[( )( 2 )] 
( ) + + 
= x x 
( ) [ ] ( ) [ x -1] 
f ' x d x -1 2 3 2 
dx 
f ' (x) = x -1 d 2 − + + 2 − + 
x 3 x 2 x 3 x 2 d 
dx 
dx 
f ' (x) = (x -1 )[(2) x2-1 − 3 x1-1]+ (x2 − 3 x + 2)[ x -1] 
f ' (x) = (x -1 )[2 x − 3]+ (x2 − 3 x + 2) [1] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [2x2 − 2x - 3x + 3]+ (x2 − 3x + 2) 
Reduciendo términos semejantes f ' (x) = [2x2 − 5 x + 3]+ (x 2 − 3 x + 2) 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = 2x2 - 5x + 3 + x2 - 3x + 2 
f ' ⎟⎠ 
⎟ (x) = 3 x2 - 8 x + 5 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. 
Problema 7 
⎛ 
⎞ 
Hallar la derivada de f(x) ( x 3 x ) 1 
⎜ ⎜⎝ 
= − 
2 
5 
x 
Primer termino = (x5 – 3 x) 
Segundo termino = ⎟ ⎟⎠ 
⎞ 
⎛ 
x2 
⎜ ⎜⎝ 
1 
( ) 
( ) 
⎡ 
⎛ 
d x - 3 x 1 
⎞ 
5 ⎥⎦ 
dx 
f ' x 
2 
⎤ 
⎢⎣ 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
= x 
( ) ⎞ 
[ x - 3x] 
⎛ 
+ ⎥⎦ 
⎡ 
f (x) x - 3 x d d 
5 
= 
dx 
( ) [ ] [ x - 3 x] 
1 
x 
1 
x 
dx 
2 2 
' 5 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
⎤ 
⎢⎣ 
⎞ 
⎛ 
f (x) x - 3 x d d 
5 
dx 
x 1 
x 
dx 
2 
' 5 - 2 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
= + 
⎞ 
⎛ 
+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ 
d 
f ' (x) x5 - 3x - 2 x- 2-1 1 
= x5 - 3x 
( ) ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
dx 
x2 
( )( )[ ] ⎛ 
[( ) 5-1 1-1 ] 
f (x) x - 3 x - 2 x 1 ⎟ ⎟⎠ 
' 5 - 2-1 5 x - 3 x 
2 
x 
⎞ 
⎜ ⎜⎝ 
= + 
( )[ ] ⎛ 
⎞ 
[5 x - 3] 
f (x) x - 3 x - 2x 1 4 
x 
2 
' 5 - 3 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
= + 
Resolviendo el polinomio
8 
( ) ⎞ 
[5 x - 3] 
⎛ 
+ ⎥⎦ 
⎡ 
f (x) x - 3 x - 2 1 
4 
x 
x 
3 2 
' 5 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
⎤ 
⎢⎣ 
= 
⎛ 
+ 
⎤ 
⎡ + 
= 
f (x) - 2 x 6 x 2 
5 x - 3 
x 
x 
4 
3 
5 
' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎥ ⎥⎦ 
⎢ ⎢⎣ 
5 5 
⎡ + + 
= 
f (x) - 2x 6x 5x - 3x 3 
x 
' 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
Reduciendo términos semejantes 
5 
⎡ + 
= 
f (x) 3 x 3 x 3 
x 
' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎢ ⎢⎣ 
f (x) 3 x 3 3 
3 x 
x 
x 
5 
' = + 
f (x) 3 x 32 
x 
' = 2 + 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 14 
Hallar la derivada de f(x) = 3 x ( x + 3) 
f(x) = 6 x2 * x3 + 3 3 x 
f(x) = 6 x5 + 33 x 
1 
3 
5 
6 
f(x) = x + 3 x 
Se convierte en una suma 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
5 
f (x) d 3 
⎢ ⎢ 
x d 
= 3 x 
⎣ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
dx 
dx 
1 
6 
' 
- 2 
3 
- 1 ' *3 x 
x 6 
1 
6 
3 
f (x) = 5 + 
Resolviendo el polinomio 
- 2 
3 
-1 
f (x) = 5 + 
' x 6 
x 
6 
1 
2 
3 
f (x) = 5 + 
1 
6 
' 
x 
6x
9 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 16 
Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2 
h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1) 
Primer termino = (x2 – 1) 
Segundo termino = (x2 – 1) 
[( 2 )( 2 )] 
( ) − 
= x 
( ) [ ] ( ) [ x -1] 
h ' x d x - 1 1 
dx 
h' (x) = x2 -1 d x 2 − 1 + x 2 − 1 d 
2 
dx 
dx 
[ ] [ ] 2x 1 2 x 2x 1 - 2 x x) ( ' h ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− + ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Reduciendo términos semejantes 
h' (x) = 2 (x 2 -1) [2 x] 
Resolviendo el polinomio 
h' (x) = (x2 -1)[4 x] 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. 
Problema 17 
Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2 
h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2) 
Primer termino = (s3 – 2) 
Segundo termino = (s3 – 2) 
[( 3 )( 3 )] 
( ) − 
= s 
( ) [ ] ( ) [s - 2] 
h ' s d s - 2 2 
dx 
h' (s) = s3 - 2 d s 3 − 2 + s 3 − 2 d 
3 
dx 
dx 
h' (s) = (s3 - 2)[3s2 ]+ (s3 − 2)[3s2 ] 
Reduciendo términos semejantes 
h' (s) = 2 (s3 - 2)[3s2 ] 
Resolviendo el polinomio 
h' (s) = (s3 - 2)[6 s2 ]
= x x x 
( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) (x x 1) 
f ' (x) = x2 +1 x2 + x +1 d 2 − + 2 − 2 + + 2 + + 2 2 + 2 + + 
10 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. 
Problema 20 
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1) 
Primer termino = (x2 – x) 
Segundo termino = (x2 + 1) 
Tercer termino = (x2 + x + 1) 
( ) [( 2 )( 2 + )( 2 + + 
)] 
f ' x d x - x 1 1 
dx 
x 1 x - x x 1 d 
dx 
x x x x x x 1 d 
dx 
dx 
[ ] [ ] ( ) 1 2x 1 2 x x - 2 x 2x 1 x 2 x x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1 2 x x) ( ' f + ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ + ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− + − ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ + ⎟⎠ ⎞ 
⎝ ⎛ 
= + 
⎜ 
Resolviendo el polinomio 
f ' (x) = (x4 + x2 + x3 + x + x2 +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = (x4 + 2x2 + x3 + x +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = (2x5 + 4x3 + 2x4 + 2x2 + 2x - x4 - 2x2 - x3 - x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x4 − x3 + x3 - x2 + x2 - x) [ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x4 - x3 + x2 - x) (2x +1) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - 2x4 + 2x3 - 2x2 + x4 - x3 + x2 - x) 
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - x4 + x3 - x2 - x) 
f ' (x) = 2x5 + 3x3 + x4 + x -1 + 2x5 - 2x2 + 2x5 - x4 + x3 - x2 - x 
f ' (x) = 6 x5 + 4 x3 - 3 x 2 -1
11 
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. 
Problema 21 
Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1) 
Primer termino = (3x3 + 4x) 
Segundo termino = (x - 5) 
Tercer termino = (x + 1) 
[( 3 + )( ( ) − )( = x x 
+ 
)] 
f ' x d 3 x 4 x 5 1 
dx 
( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( x 1) 
f ' (x) = x - 5 x +1 d 3 + + 3 + + x - 5 + 3x 3 + 4x x - 5 d 
+ 
dx 
3x 4x 3x 4x x 1 d 
dx 
dx 
f ' (x) = (x - 5 )(x +1)[9 x 2 + 4 ]+ (3 x3 + 4 x)(x +1)[1]+ (3 x3 + 4 x)(x - 5)(1) 
f ' (x) = (x2 - 5x + x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4 x)(x +1) + (3 x3 + 4 x)(x - 5) 
f ' (x) = (x2 - 4x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) 
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 45x2 + 4x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) 
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) 
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x3 + 4x)(x - 5) 
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x4 + 4x2 -15x3 - 20x) 
f ' (x) = 9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 + 3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x + 3x4 + 4x2 -15x3 - 20x 
f ' (x) =15x4 - 48x3 - 33x2 - 32x - 20 
Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 
Derivar y = (2x2 )( 2 - x ) 
Primer termino = (2x2 ) 
Segundo termino = ( 2 - x ) 
( ) [( )( )] 
y ' x d 2 2 - x 
dx 
x2 = 
' ( 2 ) [ ] ( ) [2x2 ] 
y = 2x d − + − 
2 x 2 x d 
dx 
dx 
' ( 2 ) [ ]1 2 ( ) [2x2 ] 
y = 2x d − + − 
2 x 2 x d 
dx 
dx 
La derivada interna es (-1)
12 
( ) *(-1)*[2 x] ( 2 x )[ 4x] 
y' = 2x2 1 − -1 2 + − 
2 
Cancelando términos semejantes y' = (- x2 )[2 − x]-1 2 + ( 2 − x )[ 4x] 
y - x 1 2 
( ) 
( 2 x )[ 4x] 
2 - x 
2 
' = + − 
[ ] 
y - x 2 - x 4x 2 x 1 2 
(2 - x) 
2 
' + − 
= 
( )[ ] 
(2 - x) 
2 
y ' + 
= 
- x 2 - x 4x 1 2 
8x - 5x 
2 2 
y - x 8x - 4x 
' = 
( ) 2 - x 
2 - x 
2 
1 2 
+ 
= 
⎟⎠ 
Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 
Derivar f ( x ) = ( x ) ⎛ 3 - 2x2 
⎞ 
⎜⎝ 
⎟⎠ 
Primer termino = x 
Segundo termino = ⎛ 3 - 2x2 
⎞ 
⎜⎝ 
( ) 
⎛ 
( ) 
⎡ 
d 3 - 2x 
dx 
f ' x 
2 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
= 
x 
⎛ 
⎡ 
f ' x x d ⎟ ⎟⎠ 
3 2x2 3 2x2 d 
( ) ( ) [ x] 
dx 
= − 
dx 
⎞ 
− + ⎥⎦ 
⎜ ⎜⎝ 
⎤ 
⎢⎣ 
⎛ 
f ' x x d ⎟ ⎟⎠ 
3 2x2 d 
( ) ( ) [ x] 
dx 
2 1 2 3 2x 
dx 
⎞ 
− + ⎥⎦ ⎤ 
⎜ ⎜⎝ 
⎢⎣ ⎡ 
= − 
La derivada interna es (- 4x) 
( ) ( ) ( ) 2 ⎞ 
3 2x d 
[ x] 
dx 
2 -1 2 * - 4x 3 2x 
2 
⎛ 
f ' x x 1 + − ⎟⎠ 
⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡ 
⎜ ⎜⎝ 
= − 
⎟⎠ 
f ' ( - 1 2 x ) = - 2x 2 [ 3 − 2 x 2 ] + ⎛ 3 − 
2x 2 ⎞ 
⎜⎝ 
f ( x ) = - 2x + ⎛ 3 − 
2x 
2 
3 - 2x 
2 
2 
⎞ 
' ⎟⎠ 
⎜⎝
13 
( ) 
⎛ − ⎟⎠ 
+ ⎛ 
2 2 2 
- 2 x 3 - 2x 3 2x 
3 2x 
f x 
2 
' 
− 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎜⎝ 
= 
2 ( 2 
) 
( ) f x - 2 x + 
3 - 2x 
3 2x 
2 
' 
− 
= 
2 2 
+ 
f ( x ) 
- 2 x 3 - 2x 
3 2x 
2 
' 
− 
= 
f ( x ) 
3 - 4x 
2 
3 2x 
2 
' 
− 
= 
Ejemplo # 6 Leythold. 
Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2) 
Primer termino = (2x 3 – 4x2) 
Segundo ( termino = (3x5 + x2) ' 3 2 ) [ 3x 5 2 ] ( 3x 5 x 2 ) d 
[2x3 - 4x2 ] 
h (x) = 2x - 4x d + x + + 
dx 
dx 
h' (x) = (2x3 - 4x2 )[15x4 + 2x]+ (3x5 + x2 )[6x2 - 8x] 
Resolviendo [el polinomio h' (x) = 30x7 - 60x6 + 4x4 - 8x3 ]+ [18x7 + 6x4 - 24x6 - 8x3 ] 
Reduciendo términos semejantes 
h' (x) = 30x7 +18x7 - 60x6 - 24 x6 + 4x4 + 6x4 - 8x3 - 8x3 
Reduciendo términos semejantes 
h' (x) = 48x7 - 84 x6 +10x4 -16x3 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema #19 
Hallar la derivada de f(s) = 3 (s3 - s2 ) 
f(s) = 3 (s3 - s2 )= 3s3 − 3s2 
f '(s) = 3 3s2 − 2 3s 
f '(s) = 3 * s(3s − 2) 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema #20 
Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1) 
Primer termino = (2x2 + 5)
14 
Segundo termino = (4x – 1) 
g' ( x ) = ( 2x2 + 5 ) d [ 4 x − 1 ] + ( 4 x − 1 ) d 
[2x 2 + 
5] 
dx 
dx 
g' (x)= (2x2 + 5)[4]+ (4x −1)[ 4x] 
g' (x)= 8x2 + 20 +16x2 − 4x 
g' (x)= 24x2 + 20 − 4x 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema #21 
Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x) 
Primer termino = (2x4 - 1) 
Segundo termino = (5x3 + 6x) 
f ' ( x ) = ( 2x4 −1 ) d [ 5 x3 + 6 x ] + ( 5 x3 + 6 x ) d 
[2x 4 
-1] 
dx 
dx 
f ' (x)= (2x4 −1)[15x2 + 6]+ (5x3 + 6x)[8x3 ] 
f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + (40x6 + 48x4 ) 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + 40x6 + 48x4 
f ' (x)= 76x6 −15x2 + 60x4 − 6 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema #22 
Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2 
f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3) 
Primer termino = (4x2 + 3) 
Segundo termino = (4x2 + 3) 
( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d 
[4x 3] 
f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 + 
dx 
dx 
f ' (x) = (4x2 + 3 )[8x]+ (4x2 + 3)[ 8x] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x] 
Reduciendo términos semejantes
15 
f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x] 
f ' (x) = 64x3 + 48x 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema # 23 
Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2 
G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3) 
Primer termino = (7 – 3y3) 
Segundo termino = (7 – 3y3) 
( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d 
[4x 3] 
f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 + 
()[dx 
dx 
f ' (x) = 4x2 + 3 8x]+ (4x2 + 3)[ 8x] 
Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x] 
Reduciendo términos semejantes f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x] 
f ' (x) = 64x3 + 48x 
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold 
Problema #24 
Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t) 
Primer termino = (t3 – 2t + 1) 
Segundo termino = (2t2 + 3t) 
( ) [ 2t 3t ] ( 2t 3t ) d 
[ t 2 1] 
F' (t) = t3 − 2t +1 d 2 + + 2 + 3 − t + 
dx 
dx 
F' (t) = (t3 − 2t +1 )[4t + 3]+ (2t 2 + 3t)[3t 2 − 2] 
Resolviendo el polinomio F' (t) = [4t4 - 8t2 + 4t + 3t3 - 6t + 3]+ [6t 4 + 9t3 - 4t2 - 6t] 
Reduciendo términos semejantes 
F' (t) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t3 - 4t 2 - 6t 
F' (t) = 10t 4 −12t2 - 8t +12t3 + 3 
Ejemplo Calculo Purcell pag 111.
16 
Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x) 
Primer termino = (3x2 - 5) 
Segundo termino = (2x4 - x) 
( ) [ 2x - x ] ( 2x - x ) d 
[3x 5] 
F' (x) = 3x2 − 5 d 4 + 4 2 − 
dx 
dx 
F' (x) = (3x2 − 5 )[8x3 -1]+ (2x4 - x)[ 6x] 
Resolviendo el polinomio 
F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2 
Reduciendo términos semejantes 
F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2 
F' (x) = 36x5 - 40x3 - 9x2 + 5 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 23 
Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1) 
Primer termino = (x) 
Segundo termino = (x2 + 1) 
( ) [ x 1 ] ( x 1 ) d 
[ x] 
dx 
f ' (x) = x d 2 + + 2 + 
dx 
f ' (x) = (x)[2x]+ (x2 +1)[1] 
Resolviendo el polinomio 
f ' (x) = 2x2 + x2 +1 
Reduciendo términos semejantes 
f ' (x) = 2x2 + x2 +1 
f ' (x) = 3x2 +1 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 24 
Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1) 
Primer termino = (3x) 
Segundo termino = (x3 - 1) 
( ) [ x -1 ] ( x -1 ) d 
[ 3x] 
dx 
y' = 3x d 3 + 3 
dx
17 
y' = (3x)[3x2 ]+ (x3 -1)[ 3] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 9x3 + 3x3 − 3 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 9x3 + 3x3 − 3 
y' =12x3 − 3 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 26 
Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2 
y = (- 3x + 2) (- 3x + 2) 
Primer termino = (- 3x + 2) 
Segundo termino = (- 3x + 2) 
- 3x 2 - 3x 2 d 
y' = - 3x + 2 d + + + + 
y' = (- 3x + 2)[- 3]+ (- 3x + 2)[ - 3] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 2 (- 3x + 2)[- 3] 
Reduciendo términos semejantes 
y' = (- 3x + 2)[- 6] 
y' = 18x -12 
( ) [ ] ( ) [ - 3x 2] 
dx 
dx 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 27 
Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1) 
Primer termino = (x2 + 2) 
Segundo termino = (x3 + 1) 
[( 2 + )( 3 ( ) + 
)] 
= x 
( ) [ ] ( ) [ x 2] 
y ' x d x 2 1 
dx 
x 1 x 1 d 
y' = x2 + 2 d 3 + + 3 + 2 + 
(2)[dx 
dx 
y' = x2 + 3x2 ]+ (x3 +1)[ 2x] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x
18 
y' = 5x4 + 6x2 + 2x 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 28 
Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1) 
Primer termino = (x4 - 1) 
Segundo termino = (x2 + 1) 
[( 4 )( 2 )] 
( ) + 
= x 
( ) [ ] ( ) [ x 1] 
y ' x d x - 1 1 
dx 
x 1 x 1 d 
y' = x4 −1 d 2 + + 2 + 4 − 
(1)[dx 
dx 
y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ] 
Resolviendo (1)[el polinomio y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ] 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 2x5 - 2x + 4x5 + 4x3 
y' = 6x5 - 2x + 4x3 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 29 
Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1) 
Primer termino = (x2 + 17) 
Segundo termino = (x3 – 3x + 1) 
[( 2 + )( 3 ( ) − + 
)] 
= x x 
( ) [ ] ( ) [ x 17] 
h ' x d x 17 3 1 
dx 
x 3x 1 x - 3x 1 d 
y' = x2 +17 d 3 − + + 3 + 2 + 
(17)[dx 
dx 
y' = x2 +3x2 − 3]+ (x3 - 3x +1)[ 2x] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x 
y' = 5x4 + 42x2 - 3x2 - 51 + 2x 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 30 
Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1) 
Primer termino = (x4 + 2x)
19 
Segundo termino = (x3 +2x2 + 1) 
( ) [ x 2x 1 ] ( x 2x 1 ) d 
[ x 2x] 
y' = x4 + 2x d 3 + 2 + + 3 + 2 + 4 + 
(2x)[dx 
dx 
y' = x4 + 3x2 + 4x]+ (x3 + 2x2 +1)[4x3 + 2] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2 
y' = 7x6 +12x3 +12x5 +12x2 + 2 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 31 
Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1) 
Primer termino = (5x2 -7) 
Segundo termino = (3x2 -2x + 1) 
( ) [ 3x - 2x 1 ] ( 3x 2x 1 ) d 
[5x 7] 
y' = 5x2 - 7 d 2 + + 2 − + 2 − 
(7)[dx 
dx 
y' = 5x2 - 6x - 2]+ (3x2 − 2x +1)[10x] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x 
y' = 60x3 - 32x - 30x2 +14 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 32 
Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1) 
Primer termino = (3x2 +2x) 
Segundo termino = (x4 - 3x + 1) 
( ) [ x - 3x 1 ] ( x 3x 1 ) d 
[3x 2x] 
y' = 3x2 + 2x d 4 + + 4 − + 2 + 
(2x)[dx 
dx 
y' = 3x2 + 4x3 - 3]+ (x4 − 3x +1)[ 6x + 2] 
Resolviendo el polinomio 
y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2 
Reduciendo términos semejantes
20 
y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2 
y' =18x5 +10x4 - 27x2 - 6x + 2 
Sección 3.2 Calculo Thomas. 
Problema # 13 
Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1) 
Primer termino = (3 - x2) 
Segundo termino = (x3 - x + 1) 
' ( 2 ) [ x 3 - x 1 ] ( x 3 x 1 ) d 
[3 - x2 ] 
y = 3 - x d + + − + 
y' = (3 - x2 )[3x2 -1]+ (x3 − x +1)[ - 2x] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x 
y' =12x2 - 5x4 - 3 - 2x 
dx 
dx 
Sección 3.2 Calculo Thomas. 
Problema # 14 
Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1) 
Primer termino = (x - 1) 
Segundo termino = (x2 + x + 1) 
( ) [ x x 1 ] ( x x 1 ) d 
[ x -1] 
y' = x -1 d 2 + + + 2 + + 
y' = (x -1 )[2x +1]+ (x2 + x +1)[1] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1 
y' = 3x2 
Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1) 
Primer termino = (x3 - 1) 
Segundo termino = (x3 + 1) 
( ) [( )( )] 
dx 
dx 
3 3 + 
= x 
y ' x d x - 1 1 
dx
21 
( ) [ ] ( ) [ x -1] 
y' = x3 -1 d x 3 + 1 + x 3 + 1 d 
3 
()[dx 
dx 
y' = x3 -1 3 x3-1 ]+ (x3 +1)[3 x3-1] y' = (x3 -1 )[3 x2 ]+ (x3 +1)[3 x2 ] 
Resolviendo el polinomio 
y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2 
Reduciendo términos semejantes 
y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2 
y' = 6 x5 
DERIVADA DEL COCIENTE 
Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y 
- u dv 
dx 
(v) 
dx 
v du 
u 
v 
d 
dx 
2 
⎞ 
= ⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 
Problema 17 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
+ 
y 2x 5 
3x - 2 
= 
+ 
d ⎛ 2x 5 
3 x - 2 
dx 
y' 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
= 
( ) ( ) ( ) ( ) 
- 2x 5 d 3x - 2 
⎡ + 
3x - 2 d 2x 5 
+ ⎡ ⎥⎦ 
(3x - 2)2 
dx 
dx 
y' 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎤ 
⎢⎣ 
= 
( )[ ] ( )[ ] 
y' 3x - 2 2 - 2x 5 3 2 
(3x - 2) 
+ 
= 
Cancelando términos semejantes 
y' 6x - 4 - 6x _ 15 2 
(3x - 2) 
= 
y' -19 2 
(3x - 2) 
= 
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 
Problema 18 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
+ 
y 2x 1 2 
x -1 
=
22 
⎛ + 
d 2x 1 
x -1 
dx 
y' 
⎞ 
2 ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
( ) ( ) 
2 
⎡ + 
x2 -1 d 2x 1 
⎤ 
x2 -1 
d x2 -1 
dx 
- 2x 1 
dx 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
x2 -1 2 - 2x 1 2 x 2 1 
[ ] ( + )[ ]( ) 
⎟⎠ ⎞ 
− 2 
x2 -1 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( 2 )[ ] ( + 
)[ ]( ) 
y' x -1 2 - 2x 1 2 x 2 2 
(x -1) 
= 
2 + 
( )( ) 
(x -1) 
y' = 
2x - 2 - 2x 1 2x 2 2 
y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x 
2 
x2 -1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Cancelando términos semejantes 
y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x 
2 
x2 -1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
y' - 2x2 - 2 - 2x 
2 
x2 -1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
- 2 x2 x 1 
2 
x2 -1 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
+ + 
= 
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 
Problema 19 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
( ) 
g x x2 - 4 
x + 
0,5 
= 
( ) 
⎛ 
d x - 4 
x 0,5 
dx 
g' x 
2 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
( ) 
⎡ 
d ( x 2 
) ( ) - 4 
⎤ 
x 0,5 - ( x 2 
- 4 ) ⎡ d ( x + 
0,5 
) 
(x 0,5) 
dx 
dx 
g' x 2 
+ 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
+ 
=
23 
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 
2-1 2 
+ 
g' x x 0,5 2 x - x - 4 1 2 
(x 0,5) 
+ 
= 
( ) ( )[ ]( ) ( ) 
g' x x 0,5 2 x - x - 4 
(x 0,5) 
2 
2 
+ 
+ 
= 
( + )( ) 
x2 + 
g ( x ) ' x 0,5 2x - 4 
(x + 
0,5)2 
= 
Cancelando términos semejantes 
( ) 
2x2 + g' x x - x2 + 
4 
(x + 
0,5)2 
= 
x2 + + 
g' ( x ) 
x 4 
(x + 
0,5)2 
= 
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 
Problema 20 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
( ) 
f t t2 -1 
t2 + 
t - 2 
= 
( ) 
d t2 -1 
t2 t - 2 
dx 
f ' t 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
( ) 
2 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d t2 -1 
⎤ 
t2 t - 2 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d t2 t - 2 
dx 
- t2 -1 
dx 
t2 t - 2 
f ' t 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) 
2 2-1 2 2 1 
[ ] [ ]( ) 
t t - 2 2 t - t -1 2 t 1 
f ' t 2 2 
t t - 2 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
− 
( ) 
2 2 
[ ]( ) [ ]( ) 
t t - 2 2 t - t -1 2 t 1 
f ' t 2 2 
t t - 2 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) 
2 2 
( ) ( ) 
t t - 2 2t - t -1 2t 1 
f ' t 2 2 
t t - 2 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
Cancelando términos semejantes
24 
3 2 3 2 
f ' ( t ) 
2t + 2t - 4t - 2t + 2t - t + 
1 2 2 
t t - 2 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
2 
( ) ( t -1 )( t -1 
) 
[( )( )] 
( )( ) 
t -1 t -1 
f ' t t - 2t 1 
2 2 t 2 t -1 
2 ( t 2 )2 ( t -1 
)2 
t t - 2 
+ 
= 
+ 
= 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
f ' ( t ) 
1 + 2 
(t 2) 
= 
Calcular la derivada 
y = 5 
x2 
y = 5x -2 
( ) 
y' d 5x 
- 2 
dx 
= 
y’= (-2) (5) x -2-1 
y’= -10x -3 
y'= - 10 
x3 
Otra forma (aplicando cocientes) 
y = 5 
x2 
⎛ 
d 5 
x2 
dx 
y' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
( ) 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d x2 
⎤ 
2 2 x 
dx 
- 5 
x2 d 5 
dx 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
= 
x2 0 - 5 2 x2-1 
[ ] 
x2 x2 
y' 
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
=
25 
[ ] [ ] 
(x )(x ) 
2 
y' = 
x 0 - 5 2 x 2 2 
[ ] 
4 x3 
-10 
y'= - 10x = 
x 
y'= -10 
x3 
Calcular la derivada 
y = 1 
3x2 
y = 1 
x- 2 
3 
d 1 
x- 2 
3 
dx 
y' 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
= 
y’= (-2) (1/3) x -2-1 
y’= - 2/3 x -3 
y'= - 2 
3 x3 
Otra forma (aplicando cocientes) 
y = 1 
3x2 
⎛ 
d 1 
3 x2 
dx 
y' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
( ) 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d 3x2 
3x2 d 1 
⎤ 
2 2 3x 
dx 
-1 
dx 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
= 
[ ] [( )( ) ] 
(3x )(3x ) 
2 2-1 
y' 3x 0 -1 2 3 x 2 2 
= 
( )[ ] [( )( )( )] 
(3x )(3x ) 
2 x = 
y' 3x 0 -1 2 3 2 2
26 
[ ] 
- 6x 
- 2 
4 4 3x3 
y'= -1 6x = = 
9x 
9x 
y'= - 2 
3x3 
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 
Ejemplo 2 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
( ) 
2 x3 + 
f x 4 
x2 + 
1 
= 
( ) 
2 x3 + 
d 4 
x2 1 
dx 
f ' x 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
( ) 
2 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d 2 x3 4 
⎤ 
x2 1 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d x2 1 
dx 
- 2 x3 4 
dx 
x2 1 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) 
x2 1 [ 2 ]( 3 )( x ) 3-1 - 2 x3 4 [ 2 ]( x ) 
2 1 
+ ⎟⎠ ⎞ 
2 
x2 1 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
− ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) 
x2 1 6 x2 - 2 x3 4 2 x 
+ ⎟⎠ ⎞ 
2 
x2 1 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
f ' ( x ) 
6 x4 6 x2 - 4 x4 - 8x 
2 
x2 1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
Cancelando términos semejantes 
( ) 
f ' x 2 x4 6 x2 - 8x 
2 
x2 1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 
Ejemplo 3 
Hallar la derivada (aplicando cocientes) 
x = 3 
x5
27 
⎛ 
d 3 
x5 
dx 
x' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
( ) ( ) 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
⎤ 
5 2 x 
d x5 
dx 
- 3 
x5 d 3 
dx 
x ' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
= 
x5 0 - 3 5 x5-1 
[ ] ( ) ( ) 
x5 x5 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎢⎣ ⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎥⎦ ⎤ 
= 
- 3 5 x4 
( ) ( ) 
x5 x5 
y' 
⎥⎦ ⎤ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
-15 x4 y' 
x5 x5 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
-15 
x6 
y' -15 = 
x x5 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Calcular la derivada 
y 2 + 2 
= 
x 
( ) 1 
⎛ 
d 2 
( 1 
) 
dx 
y' 
⎞ 
2⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= x 
⎡ - 2 
d x + 
1 2 ( ) ( ) ( ) 
x 1 2 d 2 
⎤ 
( ) 2 2 1 
dx 
dx 
y' 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
⎥⎦ 
+ ⎡ 
⎢⎣ 
= 
x 
x + 1 2 0 - 2 2 + 1 2 − 
1 
( ) ( ) ( )( ) 
[( 1)]4 
y' 
+ 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
= 
x 
x 
[( )( )] 
[( 1)]4 
y' - 2 2 1 
+ 
+ 
= 
x 
x 
( ) 
- 4 
( ) (x 1)3 
y' - 4 x 1 
1 4 
+ 
= 
+ 
+ 
= 
x
28 
y' - 4 
(x + 
1)3 
= 
Calcular la derivada 
y x 2 − 
x 1 
= 
⎛ 
d x 
x2 1 
= − 
dx 
y' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
( ) 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
d x2 1 
2 
x2 1 d x 
⎤ 
x2 1 
dx 
- x 
dx 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
x 2 1 [ 1 ] - x ( 2 ) 
x 2-1 
2 
x 2 1 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
y' x 2 -1- x 2x 
[ ] 
2 
x 2 1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
reduciendo términos semejantes 
2 2 
y' = 
x -1- 2x(2 
x 2 − 
1) 
- x 2 1 
2 
2 1 
2 
-1- x 2 y' 
x 2 1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
x 
2 
x2 + 
y' - 1 
2 1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
x
29 
Calculo Thomas
30 
SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la 
derivada en si bien puede ser una función diferenciable. 
31 
d y 
2 
' 2 
⎥⎦ 
y '' 
dy = dx 
dy 
dx 
d 
= = ⎡ 
dx 
dx 
⎤ 
⎢⎣ 
Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x. 
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130 
Ejemplo 4 
Encuentre todas las derivadas. 
f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7 
f ‘ (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0 
f ‘ (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x 
f ‘‘ (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1 
f ‘‘ (x) = 96 x2 + 30 x – 2 
f ‘‘‘ (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0 
f ‘‘‘ (x) = 192 x + 30 
f 4 (x) = 192 x1-1 + 0 
f 4 (x) = 192 
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 
DERIVADA DEL SENO 
En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno. 
d (sen x) = 
cos x 
dx 
Calcular la derivada 
y = x3 sen x 
Aplicando la derivada del producto 
Primer termino = (x3) 
Segundo termino = (sen x) 
( 3 
) 
dx 
y d x sen x 
' = 
' ( 3 ) [ sen x ] ( sen x ) d 
[x3 ] 
y = x d + 
y' = (x3 )[cos x]+ (sen x)[3x2 ] 
y' = x3 cos x + 3x2senx 
dx 
dx
32 
Calcular la derivada 
y = (x sen x)3 
( ) 
dx 
y d x sen x 
3 
' = 
' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d 
[x3 ] 
dx 
y = x d + 
dx 
[ ] ( ) 
y' = 3 x sen x 3−1 d x sen x 
dx 
[ ] ( ) 
y' = 3 x sen x 2 d x sen x 
dx 
Aplicando derivada del producto 
[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 
⎤ 
⎥⎦ 
y' ⎡ 
= 3 x sen x 2 x d senx 
+ senx ⎛ 
d x 
y' = 3[x sen x]2[(x)cos x + (senx)(1)] 
y' = 3[x sen x]2[x cos x + senx] 
Otra forma (aplicando la derivada interna) 
y = (x sen x)3 
y = x3 (sen x)3 
Aplicando la derivada del producto 
Primer termino = (x3) 
Segundo termino = (sen x)3 
⎢⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
dx 
dx 
[ ( ) ] 
dx 
y d x 
3 3 
' = senx 
' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d 
[x3 ] 
dx 
y = x d + 
dx 
y' = (x3 )3(cos x)[sen x]3 -1 + (sen x)3 3 [x3 -1] 
La derivada interna de (sen x)3 es: cos x 
y' = 3 x3(cos x)[sen x]2 + (sen x)3 3 x2 
y' = 3 x3(cos x)sen2 x + 3x2 sen3 x 
Factor común 
y' = 3 x2 sen2 x[x cosx + sen x] 
Calcular la derivada 
y = sen x 
y = sen x = (sen x )1 2
33 
[( ) ] 
y' d sen x 
dx 
1 2 
= 
( ) [( )] 
sen x d sen x 
2 
dx 
y'= 1 1 2−1 
y'= 1 1 2−1 
(sen x) *(1)cos x 
2 
y'= 1 −1 2 
(sen x) (cos x) 
2 
y' 1 1 2 
( ) 
(cos x) 
2 sen x 
= 
cos x 
y' cos x 1 2 
= = 
( ) 2 sen x 
2 sen x 
y'= cos x 
2 sen x 
Calcular la derivada 
y ln x 
1 
− 
= 
x 
x 
dx 
1 
d 
y' 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
= x − 
( ) ( ) ( ) 
- ln x d x -1 
x -1 d ln x 
⎤ 
[ ] 1 
dx 
dx 
⎡ 
y' − 2 
⎤ 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
= 
x 
( ) ⎞ 
⎡ 
d ( x 
) [ ] 
[ ] 1 
- ln x 1 
dx 
x -1 1 
x 
⎛ 
y' − 2 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
= 
x 
x -1 1 
⎞ 
⎛ 
( ) [ ] 
1 - ln x 
x 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
y' − 2 
[ ] 1 
= 
x 
- ln x 
x -1 
⎞ 
⎟⎠ 
[ ] 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) x(x -1) 
x -1- x ln x 
x -1 - x ln x 
x x -1 
x -1 - x ln x 
x 
x -1 
1 
x 
⎛ 
= 
y' = = = 
2 2 2 2 
− 
⎜⎝ 
x 
x(x -1) 
y' = 
x -1- x ln x 2 
Calcular la derivada 
y = tag (2x + 1)
34 
[ ( )] 
y' d tag 2x +1 
dx 
= 
y' = sec2 2x +1 d + 
y' = sec2 (2x +1)[2] 
y' = 2 sec2 (2x +1) 
Calcular la derivada 
( ) [2x 1] 
dx 
y 1 
cos 
x 
= 
sec x 
y = 1 = 
x 
( ) 
dx 
cos 
y'= d sec x 
( ) 
dx 
y'= sec x tag x d x 
y' = sec x tag x (1) 
y' = sec x tag x 
Otra forma (utilizando el cociente) 
y 1 
cos 
x 
= 
d 1 
cos x 
dx 
y' 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
= 
( ) ( ) 
-1 d cos x 
cos x d 1 
⎡ 
⎤ 
( ) 
dx 
dx 
⎡ 
y' cos x 2 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
= 
[ ] [ ] 
( ) 
− 
y' cos x 0 -1 sen x cos x 2 
= 
[ ] 
sen x 
1 
( x) ( ) * cos x 
cos x 
y' -1 sen x sen x cos 2 
= = 
cos x cos x 
− 
= 
tag x sec x 
y'= tag x * 1 = 
cos 
x 
y' = sec x tag x 
Otra forma (utilizando el exponente) 
y 1 
cos 
x 
= 
y = 1 = − 
(cos x) 1 
x 
( ) 
dx 
cos 
y' d cos 
−1 
= x 
( )( ) ( ) 
y'= -1 cos x -1-1 d cos x 
dx 
( )( ) ( ) 
y'= -1 cos x -2 d cos x 
dx 
= x 
y' -1 2 
( ) 
( ) 
dx 
d cos 
cos x 
y' -1 2 
( ) 
*(- sen x) 
cos x 
= 
y' sen x2 
(cos x) 
= 
* 1 
sen x 
y'= sen x = 
( cos x )( cos 
x 
) cos x 
cos x 
y' = tag x sec x 
Hallar la derivada de y = (x5) (esen x) 
Primer termino = (x5) 
Segundo termino = (esen x) 
[( ) ( )] 
5 esenx = 
dx 
y' d x 
' ( 5 ) [ ] ( e sen x ) d 
[x5 ] 
dx 
y = x d esenx + 
dx
35 
( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ 
e senx d senx 
y' = x5 esen x 5 x5-1 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
+ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
dx 
( ) ( ) 
⎥⎦ ⎤ 
e senx x d x 
y' = x5 cos 5 esen x x 4 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎤ 
+ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
dx 
⎤ 
y' = x5 e senx cos x 1 5 esen x x 4 
( )( ) ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎥⎦ 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
y' = x5 cos x esen x 5x 4 esen x 
( ) ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
[ ] 5 x cos x sen x e 4 x ' y + ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Calcular la derivada 
y = sen 1- 2x 
y = sen 1- 2x = sen (1- 2x)1 2 
x 1 2 d 1- 2 
dx 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
sen 
dx 
1 2 
⎡ 
d 1 2 
x 1 2 y' cos 1- 2 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
− 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
x 
⎛ ⎟⎠ ⎞ 
( ) 
d x 
1 2 
y' cos 1- 2x 1 
1 2 1 2 
2 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= − − 
dx 
x 
⎟⎠ 
y' = cos 1- 2x ⎛ 
1 (1 − 2 x ) − 1 2 − 2 x 
ln 2 
⎞ 
2 
⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
( )( 2 ln 2) 
⎛ 
y' cos 1- 2x 1 
= − x 
2 1- 2x 
⎞ 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
⎛ ⎟⎠ ⎞ 
- 2x ln 2 
2( 1- 2x ) 
y' cos 1- 2x 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
⎛ 
- 2x ln2 cos 1- 2x 
2 1- 2x 
y' 
⎞ 
⎟ ⎟⎠ 
⎜ ⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
=
36 
Calcular la derivada 
y = cos x 
y = cos x = cos (x)1 2 
d cos x 1 2 
( ) 
dx 
y' 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
= 
⎟⎠ 
y' = - sen ( x ) 1 2 ⎛ 
1 ⎞ 
(x) 
1 2−1 2 
⎜⎝ 
y' ⎟⎠ 
= - sen x ⎛ 
1 ⎞ 
(x) 
-1 2 2 
⎜⎝ 
1 
1 ⎛ 
⎞ 
y' - sen x 2 
x 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
y' = - sen x 
2 x 
Calcular la derivada 
y = (x) (sen x)3 
Primer termino = (x) 
Segundo termino = (sen x)3 
[( )( ) ] 
dx 
y d x 
3 
' = senx 
( ) [( sen x ) ] ( sen x ) d 
[x] 
dx 
y' = x d 3 + 3 
dx 
( )( ) [(x) ] (sen x) [1] 
y' = x cos x 3 d 3 + 3 
dx 
y' = (x)(cos x)3[(3)(x)3−1]+ (sen x)3 
y' = (x)(cos x)3[(3)(x)2 ]+ (sen x)3 
y' = 3 (x)(x)2 (cos x)3 + (sen x)3 
y' = 3 x3 (cos x)3 + (sen x)3 
Calcular la derivada 
y = ln [sen (x2 + 5)]
37 
[ ( ( ))] 
y d ln 5 
dx 
2 
' + 
= sen x 
y 1 
( ) 
( ( )) 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ + 
⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
d sen x 5 
dx 
sen x 5 
2 
2 
' 
⎤ 
⎡ − ⎟⎠ ⎞ 
= cos x2 5 2 x 2 1 
( )( ) ⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
sen x2 5 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
y' 1 
⎤ 
= cos x2 5 2 x 
( )( )⎥⎦ 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
⎢⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
sen x2 5 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
y' 1 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎛ ⎟⎠ ⎞ 
2x cos x 2 5 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
sen x 2 5 
y' 
( 2 
) 
( 5) 
y ' 
2x cos x 5 2 
+ 
+ 
= 
sen x 
y' = (2x)cot (x2 + 5) 
Calcular la derivada 
y ln 
1 + 
x2 1 − x 
2 
= 
d ln 
1 + 
x 
2 1 2 
dx 
y' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
− 
= 
x 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1 2 
⎛ 
− 
d x 
1 2 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
y' 1 
1 + 
x2 
= 
x 
dx 
1- x2 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1 2 
⎛ 
− 
d x 
1 2 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
x 
dx 
1 x2
38 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎛ ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ ⎟⎠ ⎞ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
d 1- x 2 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 1- x 
dx 
- 1 x 2 
1 x2 
1- x 2 
1 x2 
dx 
d 
1- x2 2 x 2-1 - 1 x2 2 x 2 1 
+ ⎟⎠ ⎞ 
( )( ) ( )( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− − ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 1- x 
1 x2 
1- x2 2 x - 1 x2 2 x 
+ ⎟⎠ ⎞ 
( )( ) ( )( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 1- x 
1 x2 
1- x2 2 - 1 x2 2 
+ ⎟⎠ ⎞ 
( ) ( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 1- x 
1 x2 
x x 
1- x2 2 1 x2 2 
+ + ⎟⎠ ⎞ 
( ) ( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
1- x2 y' 
⎛ 
+ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 1- x 
1 x2 
x x 
⎤ 
3 3 
2x - 2x 2x 2x 
( ) ⎦ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
+ + 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
+ 
y' 1- x 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 2 
2 
2 
1- x 
1 x 
⎤ 
4x 
( ) ⎦ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
+ 
y' 1- x 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
2 
2 2 2 
1- x 
1 x 
4x - 4x3 y' 
2 2 1 x2 1 x 
⎟⎠ ⎞ 
− ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
Calcular la derivada 
y = e1 x 
d e1 x 
dx 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
d 1 
x 
⎛ 
dx 
y' e1 x 
⎟⎠⎞ 
⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 
=
39 
d 1 
dx 
y' e1 x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
x 
( )( ) 1 - 1 - x 1 - x 1 e y' ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
y'= (e1 x )(-1)(x)-2 
1 x 
y' - e 2 
x 
= 
LA REGLA DE LA CADENA 
Si y = f(u) es función derivable de u y 
u = g(x) es función derivable de x 
entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
d = ’ 
[f (g(x))] f '(g(x))g'(x) 
dx 
Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y = (x2 + 1)3 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
Se halla primero 
dy 
du 
3 
x 2 1 
d 
du 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
( ) 3 1 
3 x 2 1 
dy − 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
( ) 2 
3 x 2 1 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
Después se halla 
du 
dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (x2 + 1)
40 
y = (x2 + 1)3 = (u)3 
2x2-1 
d x2 1 
du = 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
2 x2-1 
du = 
dx 
du = 
2 x 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
2 
3 x 2 1 
( ) (2x) 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
(6x) 
2 
x 2 1 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. 
Problema # 25 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y = (2x + 1)2 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
Se halla primero 
dy 
du 
dy = d 
+ 
(2 x 1)2 
du 
du 
dy = + − 
(2)(2 x 1)2 1 
du 
dy = + 
(2)(2 x 1) 
du 
Después se halla 
du 
dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (2 x + 1) 
y = (2 x + 1)2 = (u)2
41 
( ) 2x1-1 
dx 
d 2 x 1 
du = 
dx 
+ 
= 
2 x0 
du = 
dx 
du = 
2 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy = + 
(2)(2x 1 )(2) 
dx 
dy = + 
4 (2 x 1 ) 
dx 
Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93 
Derivar s = (t2 – 3)4 
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t) 
s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t) 
s’ = (t2 – 3)3 (8t) 
Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 
Derivar y = (1 – 5x)6 
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5) 
y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5) 
y ’ = (1 – 5x)5 (- 30) 
Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 
Derivar y = (3x – x3 + 1)4 
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 ) 
y ’ = (3x – x3 + 1)4 
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 ) 
Factor común 3 
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 ) 
y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 ) 
Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 
Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝= ⎛ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx
42 
Se halla primero 
dy 
du 
1 
2 
3 4 x - x 2 
d 
du 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
1 
1 
dy − 
2 
3 4 x - x 2 
1 
2 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
1 
2 
dy − 
3 4 x - x 2 
1 
2 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
1 
2 1 2 2 3 4x - x 
dy 
du 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
Después se halla 
du 
dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (3 + 4x – x2 ) 
y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2 
d 3 4 x - x2 
du ⎟⎠ ⎞ 
dx 
dx 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
4x1-1 - 2 x 2-1 
du = 
dx 
4x 0 - 2 x1 
du = 
dx 
4 - 2 x 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
(4 - 2x ) 
1 
2 1 2 2 3 4x - x 
dy 
dx 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
=
43 
( ) 
2 2 - x 
(2) 3 4x - x 2 1 2 
4 - 2x 
2 1 2 2 3 4x - x 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) 
2 - x 
2 1 2 3 4x - x 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS 
Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces 
⎞ 
n u x n-1 du 
= ⎛ 
( ) [ ] ⎟⎠ 
⎜⎝ 
dx 
dy 
dx 
O lo que es lo mismo 
d = ⎥⎦ ⎤ 
u n n [u]n-1 u' 
dx 
⎢⎣ ⎡ 
Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
f (x) = (3x – 2x2)3 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
Se halla primero 
dy 
du 
2 3 3x - 2x 
d 
du 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( ) 2 3 1 3 3x - 2x 
dy − 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( ) 2 2 3 3x - 2x 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Después se halla 
du 
dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (3x – 2x2) 
y = (3x – 2x2)3 = (u)3
44 
3 x1-1 - 2 (2)x 2-1 
d 3x - 2x 2 
du = 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
3 - 4 x 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
2 2 3 3x - 2x 
( ) (3 - 4x) 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
(9 -12x) 
2 2 3x - 2x 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
3 2 
2 2 x y ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
2 3 
2 2 x y ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
Se halla primero 
dy 
du 
2 3 
x 2 2 
d 
du 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
2 3 1 
dy − 
x 2 2 
2 
3 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
1 3 
dy − 
x 2 2 
2 
3 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
2 
3 3 x 2 2 
1 3 
2 
3 x 2 2 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
Después se halla 
du 
dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (x2 + 2)
45 
y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3 
du = + 
2 x 2-1 0 
d x 2 2 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
2 x 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
(2x) 
2 
3 3 x 2 2 
dy 
dx 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
+ 
= 
4 x 
3 3 x 2 2 
dy 
dx 
+ 
= 
Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
( ) 
g t = - 7 
(2t - 3)2 
g(t) = (-7) (2t – 3)- 2 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero: du 
dy = d 
− − 
( 7)(2t - 3) 2 
du 
du 
dy = − − 
(- 7)(- 2)(2t - 3 ) 2 1 
du 
dy = − 
(14)(2t - 3 ) 3 
du 
14 
(2t - 3)3 
dy = 
du 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (2t - 3)
46 
y = (2t - 3)-2 = (u)-2 
( ) 2 t1-1 - 0 
dx 
du = d 2t - 3 
= 
dx 
2 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
14 
( ) 
(2) 
2t - 3 3 
dy 
dx 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
= 
⎢ ⎢ 
⎣ 
28 
(2t - 3)3 
dy = 
dx 
Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
f (x)= x 2 1- x 2 
( ) 2 1 2 x - 1 2 x x f ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Primer termino = (x2) 
Segundo termino = 
2 1 2 x - 1 ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
1- x2 1 2 d 
f ' x x 2 d 
= x2 
( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
dx 
2 1 2 1- x 
dx 
La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x) 
La derivada de (x2) es (2x) 
( ) ( ) ( ) 1 2 -1 1 2 - 2x 1- x 
2 1- x 
2 [2x] 
f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞ 
2 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
2 1 2 1- x 
2 -1 2 - 2x 1- x 
f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞ 
⎞ 
= ⎛ 
( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x) 
( ) ( ) ( ) [2x] 
2 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
x 2 2 x x ' f ⎟⎠ 
2 1- x2 
⎞ 
+ ⎛ 
⎜⎝ 
− 
= 
x 2 x x ' f ⎟⎠ 
( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x) 
1- x2 
⎞ 
+ ⎛ 
⎜⎝ 
− 
=
47 
( ) 
⎛ 
⎞ 
+ ⎛ 
- x3 1- x2 ( 2x ) 
1- x2 
1- x2 
f ' x 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
= 
( ) 
- x3 1- x2 2x 
( ) 
1- x2 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
f ' ( x 
) 
- x3 + 
2x - 2x3 1- x2 
= 
3x3 f ' ( x ) 
- 2x = 
2x - 3x3 
1- x2 
+ 
1- x2 
= 
( ) 
x 2 - 3x2 
( ) 
1- x2 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
( ) 
f x x 
3 x2 + 
4 
= 
En este caso se utiliza la derivada del producto 
f ( x ) ( ) x2 − 
1 3 
x 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= + 
Primer termino = (x) 
Segundo termino = 
1 3 
x2 4 
− 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
-1 3 d 
f ' x x d ⎟⎠ ⎞ 
( ) ( ) [ x] 
dx 
x2 4 
-1 3 
x2 4 
dx 
+ + ⎥⎦ ⎤ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ ⎡ 
= + 
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) 
La derivada de (x) es (1) 
( ) ( ) ( ) -1 3 
[1] 
f ' x x 1 ⎟⎠ ⎞ 
x2 4 
-1 3 -1 
2x x2 4 
3 
⎜⎝ ⎛ 
+ + ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛− 
⎜⎝ 
( ) ( ) -1 3 
f ' x x - 2x ⎟⎠ ⎞ 
x2 4 
- 4 3 
x2 4 
3 
+ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ ⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ ' ⎛ 
x2 ⎞ 
f x = 
- 2 ( ) -1 3 
x2 4 
- 4 3 
x2 4 
3 
+ + ⎥⎦ ⎤ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝
48 
⎛ 
f ' ( x 
) 
- 2 x2 1 
3 x2 4 
4 3 
3 x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎛ 
f ' ( x 
) 
- 2 x2 1 
3 x2 4 
3 4 
3 x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
f ' ( x 
) 
2 x2 1 
3 x2 4 
3 4 
3 x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
− 
= 
( ) 
- 2x2 + 3x2 + 
12 
3 3 x2 4 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
2 x2 3 x2 4 
3 4 
3 x2 4 
f ' x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
− + + 
= 
x2 f ' ( x ) 
12 
3 3 x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
( ) 
f x x 
3 x2 + 
4 
= 
f ( x ) 
x 
1 3 
x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
En este caso se utiliza la derivada del cociente 
( ) 
⎛ 
d x 
dx 
1 3 
x2 4 
f ' x 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
( ) ( ) 
⎡ 
1 3 2 
1 3 d x 
⎤ 
x2 4 
dx 
1 3 
d x2 4 
- x 
dx 
x2 4 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢⎣ ⎡ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ + 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) 
La derivada de (x) es (1)
49 
1 - x 1 
[ ] ( ) 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
1 3 -1 d x2 4 
1 3 2 
⎞ 
⎛ 
x 2 4 
dx 
x2 4 
3 
1 3 
x2 4 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
1 - x 1 
⎞ 
⎛ 
[ ] ( ) [ ] 
1 3 2 
x2 4 
2x 
1 3 -1 
x 2 4 
3 
1 3 
x2 4 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
[ ] 
1 3 2 
- x 
⎞ 
⎛ 
x2 4 
2x 
-2 3 
x2 4 
3 
1 3 
x2 4 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
2 x2 - 
⎞ 
1 3 2 
⎛ 
x2 4 
-2 3 
x2 4 
3 
1 3 
x2 4 
y' 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎡ 
⎜⎝ ⎛ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
+ ⎟⎠ ⎞ 
2 3 
x 2 4 
2 3 
3 x2 4 
- 2x2 
1 3 
x2 4 
2 3 
⎡ 
3 x2 4 
⎛ 
2 x2 - 
2 3 
x2 4 
2 3 
3 x2 4 
1 3 
x2 4 
y' 
⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥ ⎥⎦ 
⎢ ⎢⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
Producto de extremos es igual al producto de medios 
2 3 
3 x2 12 - 2x2 
x 2 4 
2 3 
3 x2 4 
⎡ ⎟⎠ ⎞ 
3 x2 4 - 2x2 
2 3 
⎛ + 
x2 4 
2 3 
3 x2 4 
y' 
⎟⎠ ⎞ 
+ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎤ 
⎥⎦ 
⎢⎣ 
⎜⎝ 
= = 
y' x2 12 
4 3 
x2 4 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= = 
Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
2 
⎞ 
⎛ 
y 3x -1 ⎟ ⎟ 
x2 3 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
=
50 
En este caso se utiliza la derivada del cociente 
( ) 
⎛ 
d 3x -1 
= + 
dx 
2 
x2 3 
f ' x 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎛ 
x2 + 3 
Es necesario hallar la derivada interna de ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
3x -1 
⎛ 
2 3x -1 
( ) 
3x -1 
+ ⎟ ⎟ 
⎠ 
x2 3 
d 
dx 
x2 3 
dy 
dx 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
3x -1 
+ ⎟ ⎟ 
⎠ 
x2 3 
d 
dx 
6x - 2 
x2 3 
dy 
dx 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
3x -1 - 3x -1 d 
x2 3 d 
( ) ( ) 
⎟⎠ ⎞ 
+ ⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎫ 
⎪ ⎪ 
⎬ 
⎪ ⎪ 
⎭ 
⎧ 
⎪ ⎪ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
6x - 2 
+ 
= 
2 
x2 3 
x2 3 
dx 
dx 
x2 3 
dy 
dx 
x2 3 3 - 3x -1 2x 
( ) ( )( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
6x - 2 
+ 
= 
2 
x2 3 
x2 3 
dy 
dx 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
3x2 + 9 - 6x2 + 
2x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
6x - 2 
+ 
= 
2 
x2 3 
x2 3 
dy 
dx 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
- 3x2 + 9 + 
2x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
6x - 2 
+ 
= 
2 
x2 3 
x2 3 
dy 
dx 
⎛ 
2 3x -1 
( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
- 3x2 + 9 + 
2x 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
+ 
= 
2 
x 2 3 
x2 3 
dy 
dx 
2 3x -1 - 3x2 9 2x 
( )( ) 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
+ + 
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 
+ 
= 
3 
x2 3 
dy 
dx 
2 3 x -1 - 3x2 9 2x 
( )( ) 
3 
x2 3 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ + 
⎟⎠ ⎞ 
+ + 
= 
Problema 10.37 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
51 
⎞ 
f x = x -1 ⎛ x2 − 2x + 2 
Derivar ( ) ( ) ⎟⎠ 
⎜⎝ 
Primer termino = (x – 1) 
Segundo termino = 
1 2 
2 2x - 2 x 2 2 2 x ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎞ 
+ = ⎟ ⎟⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜⎝ 
− x + 
( ) ( ) [ ] [ x -1] 
f ' x x -1 d 2 1 2 2 ⎟⎠ 
x - 2x 2 x - 2x 2 d 
dx 
= + + ⎛ + 
dx 
⎞ 
⎜⎝ 
La derivada interna es (2x - 2) 
( ) ( ) *(2x - 2)[x - 2x 2] x - 2x 2 [1] 
f ' x x -1 1 2 -1 2 2 ⎟⎠ 
= + + ⎛ + 
2 
⎞ 
⎜⎝ 
( ) ( )( ) x - 2x 2 
f x x -1 2 2 2 
+ ⎛ + 
' ⎟⎠ 
2 
2 x - 2x 2 
⎞ 
⎜⎝ 
+ 
− 
= x 
( ) 
− + + ⎛ + 
( )( ) 
2 2 
x -1 2 2 2 x - 2x 2 x - 2x 2 
2 x - 2x 2 
f x 
2 
' 
+ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
= 
x 
( ) ( )( ) ( 2 
) 
x -1 2 − + f x 2 2 x - 2x + 
2 
2 
2 x - 2x 2 
' 
+ 
= x 
2 2 
f ( x ) 
2x - 2x - 2x + 2 + 2x - 4x + 
4 
2 
2 x - 2x 2 
' 
+ 
= 
2 
f ( x ) 
4x - 8x 6 
2 
+ 
2 x - 2x 2 
' 
+ 
= 
2 
f ( x ) 
2(2x - 4x 3) 
2 
+ 
2 x - 2x 2 
' 
+ 
= 
f ' ( x ) 
2 x2 - 4x + 
3 
x2 - 2 x + 
2 
= 
Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 
Descomposición de una función compuesta 
y = f(g(x)) u = g(x) Y = f(u) 
y 1 
= u = x + 1 
x + 
1 
y = 1 
u 
y = sen 2x u = 2x y = sen u 
y = 3x2 − x +1 u = 3x2 –x + 1 y = u 
y = tg2 x u = tg x y = (u)2
52 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2 
y = f(g(x)) u = g(x) y = f(u) 
y = (6x - 5)4 u = 6x -5 y = (u)4 
y 1 
= u = x + 1 
x + 
1 
y = 1 
u 
y = x2 −1 u = x2 - 1 y = u 
2 
y 3x ⎟⎠ 
u = ⎛ 
3x y = ( u 
)2 ⎛ = ⎟⎠ 
2 
⎞ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎜⎝ 
2 
y = (x2 - 3x + 4)6 u = (x2 - 3x + 4) y = (u)6 
y = (5x - 2)3/2 u = (5x - 2) y = (u)3/2 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 7 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y = (2x - 7)3 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero: du 
d 
(2x - 7)3 
du 
dy = 
du 
dy = − 
(3)(2x - 7 )3 1 
du 
(3)(2x - 7)2 
dy = 
du 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (2x – 7) 
y = (2x – 7)3 = (u)3 
( ) 2 x - 0 
dx 
du = d 2x - 7 
= 1-1 
dx 
2 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝⎛ 
⎟⎠⎞ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx
53 
dy = 2 
(3)(2x - 7 ) (2) 
dx 
dy = 2 
(2x - 7 ) (6) 
dx 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 8 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y = (3 x2 + 1)4 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero du 
(3x2 1)4 
du 
dy = d 
+ 
du 
(4)(3 x2 1 )4 1 
dy − 
du 
= + 
(4)(3 x2 1)3 
dy = + 
du 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (3 x2 + 1) 
y = (3 x2 + 1)4 = (u)4 
( ) 2 (3) x 0 
dx 
du d 3 x 1 
2-1 
dx 
2 
= + 
+ 
= 
du = 
6 x 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
(4)(3 x 1 ) (6x) 
dy = 2 + 3 
(3 x 1 ) (24x) 
dx 
dx 
dy = 2 + 3 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 9 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
54 
g (x) = 3 (9x - 4)4 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero du 
d 
3 (9 x - 4)4 
du 
dy = 
du 
dy = − 
(3)(4)(9 x - 4)4 1 
du 
(12)(9 x - 4)3 
dy = 
du 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (9 x - 4) 
y = (9x - 4)4 = (u)4 
( ) 9 x - 0 
dx 
du = d 9x - 4 
= 1-1 
dx 
du = 
9 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy = 3 
(12)(9x - 4 ) (9) 
dx 
dy = 3 
(9 x - 4 ) (108) 
dx 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 10 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
f (x) = 2 (x2 - 1)3 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero du 
2 3 2 x -1 
d 
= ⎛ 
du 
dy 
du 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝
55 
( )( ) 3 1 
2 3 x 2 -1 
dy − 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( ) 2 
6 x 2 -1 
dy 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = ( x2 - 1) 
y = (x2 - 1)2 = (u)2 
2 x 2-1 - 0 
d x 2 -1 
du = 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
2x 
du = 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
2 
6 x 2 -1 
( ) (2 x) 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
(12 x) 
2 
x 2 -1 
dy 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 11 
Hallar la derivada 
y 1 
x − 
2 
= 
d 1 
x - 2 
dx 
y' 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
= 
1 - 1 d 
x 2 d 
( ) ( ) ( ) ( ) 
(x - 2)2 
x - 2 
dx 
dx 
y' 
− 
= 
( )( ) ( )( ) 
y' x 2 0 - 1 1 
(x - 2)2 
− 
= 
y' − 
1 
(x - 2)2 
= 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
56 
Problema # 12 
Hallar la derivada 
s (t) 1 
t 2 + 3t − 
1 
= 
⎛ 
d 1 
t 2 3t -1 
= + 
dx 
s' 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
1 - 1 d 
( ) ( ) 
⎟⎠ ⎞ 
+ 2 
t2 3t 1 d 
t2 3t -1 
t2 3t -1 
dx 
dx 
s' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
⎜⎝ ⎛ 
+ − 
= 
t2 3t 1 0 - 1 2 t 3 
+ ⎟⎠ ⎞ 
( ) ( )( ) 
2 
t2 3t -1 
s' 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
⎜⎝ ⎛ 
+ − 
= 
( ) 
2 
s' - 2 t 3 
t2 3t -1 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
+ 
+ 
= 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 13 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
2 
( ) 
⎟⎠ 
f t = ⎛ 
1 ⎞ 
t - 3 
⎜⎝ 
En este caso se utiliza la derivada del cociente 
( ) 
d 1 
dx 
2 
t - 3 
f ' t 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
= 
⎞ 
⎜⎝⎛ 
1 
Es necesario hallar la derivada interna de ⎟⎠ 
t - 3 
f ' t 2 1 ⎟⎠ 
( ) = ( ) 
⎛ 
( ) 
1 
t - 3 
d 
dx 
t - 3 
⎞ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
1 
f ' t 2 ⎟⎠ 
t - 3 
d 
dx 
t - 3 
⎞ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
f ' ( t ) 
2 
1 - 1 d 
t - 3 d 
( ) ( ) ( ) ( ) 
(t - 3)2 
t - 3 
dx 
dx 
t - 3 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪⎪⎨ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝
57 
( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1 )( 1 
) 
(t - 3)2 
f ' t 2 
t - 3 
⎪⎭ 
⎪⎬ ⎫ 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1 
) 
(t - 3)2 
f ' t 2 
t - 3 
⎪⎭ 
⎪⎬ ⎫ 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
( ) - ( 1 
) 
(t - 3)2 
f ' t 2 
t - 3 
⎪⎭ 
⎪⎬ ⎫ 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎛ 
f ' t 2 ⎟ ⎟ 
( ) 
-1 
(t - 3)2 
t - 3 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
f ' ( t ) 
= - 2 
( ) 
(t - 3)(t - 3)2 
f ' t = - 2 
(t - 3)3 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 14 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y - 4 
(t + 
2)2 
= 
la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente) 
⎡ 
d - 4 
t 2 2 
( ) 
dx 
y ' 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
+ 
= 
Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2) 
- 4 - - 4 d 
t 2 d 
( ) ( ) ( ) ( ) 
⎡ + 
⎫ 
⎪ ⎪ 
⎧ 
⎪ ⎪ 
+ + 
y' ⎥⎦ 
( ) 
d 
(t 2) 
dx 
2 2 t 2 
t 2 2 
dx 
dx 
⎤ 
⎢⎣ 
⎬ 
⎪ ⎪ 
⎭ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
+ 
= 
t 2 0 - - 4 2 t 2 d 
+ + ⎛ + 
( )( ) ( )( )( ) ( ) 
[ ] 
⎫ 
⎪ ⎪ 
[1] 
t 2 4 
t 2 
dx 
y' 
⎬ 
⎪ ⎪ 
⎭ 
⎧ 
⎪ ⎪ 
⎨ 
⎪ ⎪ 
⎩ 
+ 
⎟⎠⎞ 
⎜⎝ 
= 
( )( ) 
[t 2]4 
y' 8 t 2 1 
⎪⎭ 
⎪⎬ ⎫ 
⎪⎩ 
⎪⎨ ⎧ 
+ 
+ 
= 
( ) 
(t 2)4 
y' 8 t 2 
+ 
+ 
= 
y' 8 
(t + 
2)3 
=
58 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 14 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
y - 4 
= 
(t + 
2)2 
(Recomendable utilizar la regla del exponente) 
y = - 4 (t + 2) - 2 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero du 
dy = + − 
- 4 ( t 2) 2 
d 
du 
du 
dy = + − − 
(- 4)(- 2)(t 2) 2 1 
du 
dy = + − 
(8)(t 2) 3 
du 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = ( t + 2) 
y = (t + 2) - 2 = (u) - 2 
( ) x1-1 0 
dx 
d t 2 
du = + 
dx 
+ 
= 
( ) 1 
dx 
d t 2 
du = 
dx 
+ 
= 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy = + 
(8)(t 2 )- 3 (1) 
dx 
dy = + 
(8)(t 2 )- 3 
dx 
8 
(t 2)3 
dy 
dx 
+ 
= 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 15 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
59 
f ( x ) 
= 3 
(x3 - 4) 
(Recomendable utilizar la regla del exponente) 
F (x) = 3 (x3 - 4) - 1 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy 
Se halla primero du 
1 
dy d 
− 
3 x3 - 4 
du 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( )( ) 1 1 
3 -1 x3 - 4 
dy − − 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
( ) 2 
- 3 x3 - 4 
dy − 
du 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
= 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (x3 - 4) 
y = (x3 - 4) - 1 = (u) - 1 
du = − 
(3) x3-1 0 
d x3 4 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
3 x2 
d x3 4 
du = 
dx 
dx 
⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
− 
= 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
dy = + 
(8)(t 2 )- 3 (1) 
dx 
dy = + 
(8)(t 2 )- 3 
dx 
8 
(t 2)3 
dy 
dx 
+ 
= 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 17 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
60 
⎟⎠ 
f(x) = x2 (x - 2)4 
(Recomendable utilizar la regla del producto) 
( ) ⎛ 
⎞ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
f ' x = ⎛ 
dy 
⎜⎝ 
du 
dx 
du 
dy 
Se halla primero du 
f ' x d 
= x2 x - 2 4 
du 
⎜⎝ ⎛ 
( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ 
x - 2 4 x 2 4 d 
f ' x x2 d 
= x2 
⎜⎝ ⎛ 
( ) ( ) + ( − ) ⎟⎠ ⎞ 
⎞ 
⎟⎠ ⎜⎝ ⎛ 
dx 
du 
f '(x)= x2 (4)(x − 2)4-1 + (x − 2)4 (2)(x)2−1 
f '(x)= 4x 2 (x − 2)3 + (x − 2)4 (2)(x) 
f '(x)= 4x2 (x − 2)3 + (2x)(x − 2)4 
Factor común 
2x(x – 2)3 
( ) ( ) ( ) [ ] 2 x 2x 3 2 x 2x x ' f − + ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
= − 
( ) ( ) [ ] 2 - x 2x 3 2 x 2x x ' f + ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
= − 
( ) ( ) [ ] 2 - 3x 3 2 x 2x x ' f ⎥⎦ ⎤ 
⎢⎣ ⎡ 
= − 
f '(x)= (2x)(x - 2)3 [3x - 2 ] 
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 
Problema # 19 
Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 
f (t)= 1- t 
f (t)= 1- t = (1- t)1 2 
(Recomendable utilizar la regla del exponente) 
( ) ⎟⎠ 
⎞ 
⎜⎝⎛ 
⎞ 
⎟⎠ 
f ' t = ⎛ 
dy 
⎜⎝ 
du 
dx 
du 
dy 
Se halla primero du
61 
= 1- t 1 2 
du 
( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ 
⎜⎝ ⎛ 
f ' t d 
⎟⎠ 
f ' t = ⎛ 
1 − − ( ) (1 - t) 1 2 1 
2 
⎞ 
⎜⎝ 
⎟⎠ 
f ' t = ⎛ 
1 − ( ) (1 - t) 1 2 
2 
⎞ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎛ 
= 
f ' t 1 ⎟ ⎟ 
( ) 
2 (1- t)1 2 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
du 
Después se halla: dx 
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) 
la función interior u = (1 - t) 
f (t)= (1- t)1 2 
f (t)= (u)1 2 
( ) 1 
dx 
du = d 1- t 
= − 
dx 
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
du 
dx 
dy 
du 
dy 
dx 
1 
( ) 
(-1) 
2 1- t 1 2 
dy = 
dx 
-1 
2 (1- t)1 2 
dy = 
dx 
-1 
2 1- t 
dy = 
dx 
PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO 
Sección 3.7 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 153 
Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas 
(fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es 
120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.? 
si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece 
a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio 
del radio es: 
cm 
seg 
dr = 30 
dt
62 
r = 120 cm. 
dA 
Calcular dt 
cuando el radio = 120 cm. 
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario 
utilizar una ecuación que relacione el área de la onda 
circular con el radio. 
A = π r2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
dA = π 
2 r d r 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
dr = 30 
cm 
dt 
seg 
r = 120 cm. 
Reemplazando 
dA = π 
2 r d r 
( ) 
d t 
dt 
cm2 2 120 30 
dA = π 
( ) ( )( ) 
seg 
dt 
cm2 7200 
dA = π 
( ) 
seg 
dt 
cm2 22619,46 
seg 
dA = 
dt 
Sección 3.7 Ejemplo 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 154 
Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio 
cuando este es de 2 cm. 
Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen 
cm3 4,5 
min. 
dV = 
dt 
d r 
Calcular dt 
cuando el radio = 2 cm. 
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el 
volumen del globo con el radio. 
3 cm3 r 
V = 4 π 
3 
min. 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
63 
dV = π 
3 4 
( ) 
r2 d r 
dt 
3 
dt 
Cancelando términos semejantes. 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt 
d r 
Despejamos dt 
d r 
dt 
1 dV 
= 
π 
dt 
4 r2 
cm3 4,5 
dV = radio = 2 cm. 
Pero: dt 
min. 
Reemplazando 
1 = 
π 
( ) 
( ) dt 
4,5 d r 
( ) 
dt 
4 2 2 
d r 
4,5 = 
π 
4 4 
4,5 
50,265 
d r = 
dt 
0,089 cm 
min 
d r = 
dt 
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 
Problema # 5 
El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando 
a) r = 6 cm 
b) r = 24 cm 
d r = 
2 cm 
dt 
min 
A = π r2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
r = 6 cm 
Reemplazando
64 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
cm2 2 6 2 
dA = π 
( ) ( )( ) 
min 
dt 
cm2 24 
min 
dA = π 
dt 
b) r = 24 cm 
el área del circulo es: 
A = π r2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
r = 24 cm 
Reemplazando 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
cm2 2 24 2 
dA = π 
( ) ( )( ) 
min 
dt 
cm2 96 
min 
dA = π 
dt 
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 
Problema # 5 
El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando 
a) r = 6 cm. 
b) r = 24 cm. 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
el área de la esfera es: 
A = 4 π r2 (cm)2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2 4 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt
65 
Pero: 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
r = 6 cm 
Reemplazando 
2 4 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
cm2 2 4 6 2 
dA = π 
( ) ( )( ) 
min 
dt 
cm2 96 
min 
dA = π 
dt 
b) r = 24 cm. 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
el área de la esfera es: 
A = 4 π r2 (cm)2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2 4 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
2 cm 
d r = 
dt 
min 
r = 24 cm 
Reemplazando 
2 4 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
cm2 2 4 24 2 
dA = π 
( ) ( )( ) 
min 
dt 
cm2 384 
min 
dA = π 
dt 
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 
Problema # 9 
Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el 
radio es 
a) 1 pie 
b) 2 pies?
66 
a) 1 pie 
pies3 20 
min. 
dV = 
dt 
d r 
Calcular dt 
cuando el radio = 1 pie. 
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el 
volumen del globo con el radio. 
3 pie3 r 
V = 4 π 
3 
min. 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
3 4 
dV = π 
( ) 
r2 d r 
dt 
3 
dt 
Cancelando términos semejantes. 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt 
d r 
Despejamos dt 
d r 
dt 
1 dV 
= 
π 
dt 
4 r2 
pies3 20 
dV = radio = 1 pie. 
Pero: min. 
dt 
Reemplazando 
1 = 
π 
( ) 
20 d r 
( ) 
dt 
4 1 2 
Cancelando términos semejantes. 
5 = d r 
π 
dt 
5 pies 
seg 
d r 
dt 
π 
= 
b) 2 pies? 
pies3 20 
min. 
dV = 
dt 
d r 
Calcular dt 
cuando el radio = 2 pie. 
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el 
volumen del globo con el radio. 
3 pie3 r 
V = 4 π 
3 
min. 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
67 
3 4 
dV = π 
( ) 
r2 d r 
dt 
3 
dt 
Cancelando términos semejantes. 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt 
d r 
Despejamos dt 
d r 
dt 
1 dV 
= 
π 
dt 
4 r2 
pies3 20 
dV = radio = 2 pie. 
Pero: min. 
dt 
Reemplazando 
1 = 
π 
( ) 
20 d r 
( ) 
dt 
4 2 2 
Cancelando términos semejantes. 
d r 
dt 
5 = 
π 
4 
pies 
seg 
5 
4 
d r 
dt 
π 
= 
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 
Problema # 10 
La formula para el volumen de un cono es: 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
d v 
Hallar la razón de cambio del volumen dt 
2 pulg. 
d r si = dt 
min 
y h = 3 r cuando: 
a) r = 6 pulg. 
b) r = 24 pulg. 
a) r = 6 pulg. 
El volumen del cono es: 
π 
V 
= 
r2 h 
3 
h = 3 r 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
(r)2 (3 r) 
3 
V 
π 
= 
h = 3 r 
r
68 
V 3 
π 
(r)3 
3 
= 
Cancelando términos semejantes. 
V = π r3 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 
3 r2 d r 
d V = π 
( ) 
dt 
dt 
2 pulg. 
d r = 
r= 6 pulg. min 
dt 
d V = π 
(3) (6)2 (2) 
dt 
pulg3 216 
min 
d V = π 
dt 
b) r = 24 pulg. 
El volumen del cono es: 
π 
V 
= 
r2 h 
3 
h = 3 r 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
(r)2 (3 r) 
3 
V 
π 
= 
V 3 
π 
(r)3 
3 
= 
Cancelando términos semejantes. 
V = π r3 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 
3 r2 d r 
d V = π 
( ) 
dt 
dt 
2 pulg. 
d r = 
r= 6 pulg. min 
dt 
d V = π 
(3) (6)2 (2) 
dt 
pulg3 216 
min 
d V = π 
dt
69 
Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 
Problema # 11 
Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es 
aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando 
su altura es 15 pies? 
pies3 10 
min 
d V = 
dt 
h = 15 pies. 
El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono 
como el diámetro = 2 radio 
2 radio = 3 altura del cono 
altura del cono = 1/3 * 2 radio 
h = 2 
r 
3 
Despejamos el radio 
r = 3 
h 
2 
Elevamos al cuadrado 
2 
h 
2 
⎟⎠ 
r2 = ⎛ 
3 ⎞ 
⎜⎝ 
r2 = 9 
el volumen del cono es: 
π 
= 
Pero: 
r2 h 
3 
V 
r2 = 9 
h2 
4 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
9 
h2 (h) 
4 
= ⎛ 
V ⎟⎠ 
3 
⎞ 
⎜⎝ 
π 
Cancelando términos semejantes. 
h3 
V 3 
π 
= 
4 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d V π 
( ) 
h2 d h 
4 
dt 
3 3 
dt 
= 
h = 15 pies 
r 
h2 
4
70 
Reduciendo términos semejantes. 
h2 d h 
4 
dt 
9 
d V π 
dt 
= 
d h 
Despejamos dt 
d V 
dt 
4 
9 h2 
d h 
dt 
π 
= 
Pero: h = 15 pies. 
pies3 10 
min 
d V = 
dt 
d V 
4 
9 h 2 
( ) dt 
d h 
dt 
π 
= 
4 
( ) 
(10) 
9 15 2 
d h 
dt 
π 
= 
pies 
8 
8 
40 
40 
= = = = 
( ) ( 9 ) ( 225 
) ( 9 ) ( 45 
) 405 
min. 
9 15 2 
d h 
dt 
π π π π 
pies 
min. 
8 
405 
d h 
dt 
π 
= 
Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5 
metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del 
liquido esta a 10 m de altura. Hallar: 
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
20 m r 
A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros? 
m3 1 
d V = 
dt 
min 
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA) 
h = 20 metros 
r = 5 metros 
10 m 
r 20 m 
5 m 
10 m 
5 m
71 
h = 4 r 
Despejando r 
r = h 
4 
Elevamos al cuadrado 
2 
⎟⎠ 
r2 = ⎛ 
h ⎞ 
4 
⎜⎝ 
r 2 h2 = 
16 
el volumen del cono es: 
π 
= 
Pero: 
r2 h 
3 
V 
2 h2 r = 
16 
se reemplaza 
h 
h2 
⎞ 
⎛ 
V ⎟ ⎟ 
16 
3 
⎠ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
π 
π 
V 
= 
h3 
48 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d V π 
( ) 
h2 d h 
48 
dt 
3 
dt 
= 
Reduciendo términos semejantes. 
h2 d h 
dt 
d V π 
= 
dt 16 
d h 
Despejamos dt 
d V 
h2 
dt 
16 
d h 
dt 
π 
= 
Pero: h = 10 m. 
m3 1 
min 
d V = 
dt 
d V 
h2 
dt 
16 
d h 
dt 
π 
= 
16 
( ) 
(1) 
10 2 
d h 
dt 
π 
=
SEMEJANZA DE TRIANGULOS 
72 
0,05 m 
16 
16 
16 
d h = = = = 
( ) ( 100 
) 314,15 
min. 
10 2 
dt 
π π 
0,05 m 
d h = 
dt 
min. 
El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min. 
h = 4 r 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
4 d r 
dt 
d h = 
dt 
d r 
Despejamos dt 
d r 
dt 
1 = 
d h 
4 
dt 
0,05 m 
d h = 
Pero: min. 
dt 
d h 
4 
dt 
1 
d r = 
dt 
1 
(0,05) 
4 
d r = 
dt 
0,0125 m 
min 
d r = 
dt 
A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido? 
La superficie libre del líquido es: 
A = π r2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
0,0125 m 
d r = 
dt 
min 
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA) 
5 
20 = 
10 
r 
Despejando 
20 r = 50 
r = 50 
20 
r = 5 
metros 
2 
Reemplazando 
5 m 
20 m r 
10 m
73 
2 r d r 
dA = π 
( ) 
d t 
dt 
m2 0,0125 
2 5 
⎞ 
= π ⎛ 
( ) ( ) 
min 
2 
dA 
dt 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
m2 5 0,0125 
dA = π 
( )( ) 
min 
dt 
m2 5 0,0125 
dA = π 
( )( ) 
min 
dt 
m2 0,196 
dA = 
dt 
min 
la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min. 
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior? 
P = 2 π r 
2 d r 
d t 
d P = π 
dt 
Pero: 
0,0125 m 
min 
d r = 
dt 
Reemplazando 
2 d r 
d t 
d P = π 
dt 
d P = π 
2 (0,0125) 
dt 
0,078 m 
d P = 
dt 
min 
El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min. 
A que velocidad aumenta el área mojada ? 
POR PITAGORAS 
L = h2 + r2 
El área mojada por el liquido es: 
A = π r L 
A =π r h2 + r2 
A ⎟⎠=π r ⎛ h 2 1 2 + 
r 2 ⎞ 
⎜⎝ 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
74 
( ) ( ) ( ) 
⎭ ⎬ ⎫ 
⎩ ⎨ ⎧ 
⎤ 
⎥⎦ 
dA ⎡ 
2 2 1 2 -1 2 2 1 2 
π r 1 
= ⎛ 
⎢⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
h r 2h dh 
+ ⎛ + ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎜⎝ 
dt 
2r dr 
dt 
dr 
2 
dt 
( ) ( ) ( ) 
⎭ ⎬ ⎫ 
⎩ ⎨ ⎧ 
⎤ 
⎥⎦ 
dA ⎡ 
π 2 2 -1 2 2 2 1 2 
r 1 
= ⎛ 
⎢⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
h r 2h dh 
+ ⎛ + ⎟⎠ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎜⎝ 
dt 
2r dr 
dt 
dr 
2 
dt 
2h dh 
2 
dA ⎞ 
2 2 1 2 
= ⎛ 
2r dr 
( ) ( ) 
( ) 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪ ⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪ ⎪⎨ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ 
⎜⎝ 
+ 
+ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
dt 
h r 
dt 
dt 
r 1 
dt 
2 2 1 2 
π 
+ 
r dr 
h dh 
2 
( ) ( ) ( ) 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪ ⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪ ⎪⎨ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
dA 2 2 1 2 
r 1 
= ⎛ 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ 
⎜⎝ 
+ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
dt 
h r 
dt 
dt 
2 
dt 
2 2 
π 
h dh 
r 
dA 2 2 
( ) 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪ ⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪ ⎪⎨ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ 
⎜⎝ 
+ 
+ 
= 
dt 
r dr 
h r 
dt 
dt 
dt 
2 2 
π 
pero: 
L = h2 + r2 
L2 = 102 + 2,52 
L2 = 100 + 6,25 
L2 = 106,25 
L = 106,25 
L= 10,3 metros 
h2 + r2 =10,3metros 
r = 2,5 metros 
h = 10 metros 
0,05 m 
min. 
d h = 
dt 
0,0125 m 
min 
d r = 
dt 
reemplazar 
h dh 
r 
dA 2 2 
( ) 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪ ⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪ ⎪⎨ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
h r dr 
+ + ⎛ 
⎜⎝ 
+ 
+ 
= 
dt 
r dr 
h r 
dt 
dt 
dt 
2 2 
π 
r = 2,5 m 
L 
10 m
75 
( ) 
2,5 dr 
10 dh 
( ) ( ) 
10,3 dr 
+ ⎛ 
( ) 
⎫ 
⎪ ⎪⎭ 
⎪ ⎪⎬ 
⎧ 
⎪ ⎪⎩ 
⎪ ⎪⎨ 
⎤ 
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 
dA π 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
+ 
= 
dt 
10,3 
dt 
dt 
2,5 
dt 
( )( )( ) ( )( ) ( )( )⎭ ⎬ ⎫ 
⎩ ⎨ ⎧ 
⎤ 
⎥⎦ 
dA π 
⎡ 
⎢⎣ 
+ 
+ 
2,5 10 0,05 2,5 0,0125 
= 10,3 0,0125 
10,3 
dt 
( )( ) ( ) ( ) 
⎭ ⎬ ⎫ 
⎩ ⎨ ⎧ 
⎤ 
⎥⎦ 
dA π 
⎡ 
⎢⎣ 
+ 
+ 
2,5 0,5 0,031 
= 0,128 
10,3 
dt 
( )( ) ( ) 
⎭ ⎬ ⎫ 
⎩ ⎨ ⎧ 
⎤ 
⎥⎦ 
dA π 
⎡ 
2,5 0,531 
= + 0,128 
⎢⎣ 
10,3 
dt 
dA = π + 
{ [(2,5)(0,051) (0,128) ]} 
dt 
dA = π + 
{ [(0,128) (0,128) ]} 
dt 
dA = π 
{ [(0,256) ]} 
dt 
dA 2 
0,8 m 
min 
dt 
= 
El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min 
Problema 3.32 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg. 
Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros. 
Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del 
dV cm3 volumen = 
4 
dt 
seg. 
d r 
Calcular dt 
cuando el diámetro = 4 m. 
Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm 
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el 
volumen del globo con el radio. 
3 cm3 r 
V = 4 π 
3 
min. 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
dV = π 
3 4 
( ) 
r2 d r 
dt 
3 
dt 
Cancelando términos semejantes. 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt 
d r 
Despejamos dt
76 
d r 
dt 
dV 
1 = 
π 
dt 
4 r2 
cm3 - 4 
dV = radio = 200 cm. 
Pero: dt 
seg. 
Reemplazando 
1 = 
( ) 
- 4 d r 
( ) 
dt 
4 π 
200 2 
Cancelando términos semejantes. 
-1 = 
d r 
π 
( 40000 
) dt 
-1 
125663,706 
d r = 
dt 
7,95 x 10- 6 cm 
seg 
d r = 
dt 
Problema 3.71 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a 
razón de 3 cm /min. 
A que velocidad aumenta el volumen ? 
Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio 
3 cm 
min. 
d r = 
dt 
d V 
Calcular dt 
cuando el radio = 10 cm. 
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del 
globo con el radio. 
3 cm3 r 
V = 4 π 
3 
min. 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
dV = π 
3 4 
( ) 
r2 d r 
dt 
3 
dt 
Cancelando términos semejantes. 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt 
d r = 3 cm 
radio = 10 cm. 
Pero: dt 
min. 
Reemplazando 
dV = π 
4 r2 d r 
( ) 
dt 
dt
dV = 
El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min. 
A que velocidad aumenta la superficie? 
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo 
con el radio. 
La superficie de la esfera es: 
A = 4 π r2 
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 
77 
cm3 4 10 2 3 
dV = π 
( ) ( ) ( ) 
min 
dt 
dV = π 
(4) (10)2 (3) 
dt 
dV = π 
(4) (100)(3) 
dt 
cm3 1200 
dV = π 
( ) 
min 
dt 
cm3 3769,91 
min 
dt 
dA = π 
2 4 r d r 
( )( ) 
d t 
dt 
dA = π 
8 r d r 
( ) 
d t 
dt 
Pero: 
d r = 
3 cm 
dt 
min. 
cuando el radio = 10 cm. 
Reemplazando 
dA = π 
8 r d r 
( ) 
d t 
dt 
cm2 8 10 3 
dA = π 
( ) ( )( ) 
min 
dt 
cm2 240 
dA = π 
( ) 
seg 
dt 
cm2 753,98 
seg 
dA = 
dt 
La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.
Sección 3.7 Ejemplo 5 calculo Larson Edic 5 Pág. 156 
Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura 
del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura. 
h = 1,5 metros 
radio del cono = altura del cono 
r = h 
78 
m3 2 
min 
d V = 
dt 
el volumen del cono es: 
π 
V 
= 
r2 h 
3 
radio del cono = altura del cono 
r = h 
r2 = h2 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
(h)2 (h) 
3 
V 
π 
= 
(h)3 
3 
V 
π 
= 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 
d V π 
h 2 d h 
3 
( ) ( ) 
dt 
3 
dt 
= 
Cancelando términos semejantes. 
h2 d h 
dt 
d V =π 
dt 
d h 
Despejamos dt 
d V 
h2 
dt 
1 
d h 
dt 
π 
= 
radio del cono = altura del cono = 1,5 metros 
m3 2 
min 
d V = 
dt 
1 
( ) 
(2) 
1,5 2 
d h 
dt 
π 
= 
h 
r
79 
0,2829 metros 
d h = 2 
= 2 
= 
( 2,25 
) 7,068 
min. 
dt 
π 
Problema 3.21 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica 
en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera 
parte del diámetro de la base. 
Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5 
dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento 
en que alcanza el nivel del orificio. 
dm3 720 
min 
d V = 
dt 
h = 5 dm. 
altura del cono = 1/3 del diámetro de la base 
como el diámetro = 2 radio 
altura del cono = 1/3 * 2 radio 
h = 2 
r 
3 
Despejamos el radio 
r = 3 
h 
2 
Elevamos al cuadrado 
2 
h 
2 
r2 3 ⎟⎠ 
⎞ 
= ⎛ 
h2 
4 
⎜⎝ 
r2 = 9 
el volumen del cono es: 
π 
= 
Pero: 
r2 h 
3 
V 
r2 = 9 
h2 
4 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
9 
h2 (h) 
4 
= ⎛ 
V ⎟⎠ 
3 
⎞ 
⎜⎝ 
π 
Cancelando términos semejantes. 
h3 
V 3 
π 
= 
4 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 
h = 5 dm. 
r
80 
d V π 
( ) 
h2 d h 
4 
dt 
3 3 
dt 
= 
Reduciendo términos semejantes. 
d V π 
h2 d h 
4 
dt 
9 
dt 
= 
d h 
Despejamos dt 
d V 
dt 
4 
9 h2 
d h 
dt 
π 
= 
h = 5 dm. 
dm3 720 
min 
d V = 
dt 
d V 
4 
9 h 2 
( ) dt 
d h 
dt 
π 
= 
4 
( ) 
(720) 
9 5 2 
d h 
dt 
π 
= 
4,07 dm 
d h = 2880 
= 2880 
= 2880 
= 
( ) ( 9 ) ( 25 
) 706,85 
min. 
9 5 2 
dt 
π π 
De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo 
cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando 
tiene 4 dm. De altura? 
dm3 16 
seg 
d V = 
dt 
h = 4 dm. 
altura del cono = 1/4 del diámetro de la base 
como el diámetro = 2 radio 
altura del cono = 1/4 * 2 radio 
h = 1 
r 
2 
Despejamos el radio 
r = 2 h 
Elevamos al cuadrado 
r2 = (2 h)2 
r2 = 4 h2 
el volumen del cono es: 
h = 4 dm. 
r
81 
π 
= 
Pero: 
r2 = 4 h2 
r2 h 
3 
V 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
4 h2 (h) 
V ⎟⎠ ⎞ 
3 
⎜⎝ ⎛ 
= 
π 
h3 
V 4 
π 
= 
3 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d V π 
( ) 
h2 d h 
3 
dt 
3 4 
dt 
= 
Reduciendo términos semejantes. 
d V = π 
4 h2 d h 
dt 
dt 
d h 
Despejamos dt 
d V 
dt 
1 
4 h2 
d h 
dt 
π 
= 
h = 4 dm. 
dm3 16 
seg 
d V = 
dt 
d V 
dt 
1 
4 h2 
d h 
dt 
π 
= 
1 
( ) 
(16) 
9 4 2 
d h 
dt 
π 
= 
0,035 dm 
d h = 16 
= 16 
= 1 
= 1 
= 
( ) ( 9 ) ( 16 
) ( 9 
) 28,27 
seg. 
9 4 2 
dt 
π π π 
Problema 3.145 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora. 
el cual va formando una pila cónica. 
El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo 
constante con la horizontal de 600. 
Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de 
1,2 metros?
82 
El volumen de aceite contenido en el cono 
Para un radio ( r) y una altura ( h) es: 
π 
V 
= 
r2 h 
3 
Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion 
Entre la altura ( h) y elredio ( r) es: 
μ = tag 600 = h 
r 
3 = h 
r 
r = h 
3 
r = ( h 
2 )2 
3 
2 
r 2 
= h 
3 
se reemplaza 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
(h) 
h 
3 
= ⎛ 
3 
V 
2 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
π 
V 3 π 
h 
9 
= 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d V π 2 
( ) 
h d h 
9 
dt 
3 
dt 
= 
Reduciendo términos semejantes. 
d V π 2 
h d h 
dt 
= 
dt 3 
d h 
Despejamos dt 
d V 
dt 
3 
h 
d h 
dt 
π 2 
= 
h = 1,2 m = 120 cm. 
d V 3 
2800 cm 
hora 
dt 
= 
Ө = 600 
h = 1,2 m 
r
83 
3 
( ) 
(2800) 
120 
d h 
dt 
π 2 
= 
8400 
8400 
d h = = 
( ) 45238,934 
14400 
dt 
π 
0,1856 cm 
hora 
d h = 
dt 
μ = tag 600 = h 
r 
μ = 3 = h 
r 
h = 3 r 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
3 d r 
dt 
d h = 
dt 
d r 
Despejar dt 
d h 
3 
dt 
1 
d r = 
dt 
Pero: 
0,1856 cm 
hora 
d h = 
dt 
1 
(0,1856) 
3 
d r = 
dt 
d r = 
0,1071 cm 
dt 
hora 
La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora 
Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de 
altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el 
nivel del liquido esta a 10 metros de altura 
Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? 
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? 
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. 
A que velocidad aumenta el área mojada? 
A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? 
el volumen del liquido es: 
r2 h 
3 
V 
π 
= ecuación 1
84 
Por semejanza de triángulos 
5 
20 = 
h 
r 
20 r = 5 h 
4 r = h 
Despejando el radio (r) 
r = h 
4 
h 
16 
r h 
4 
2 2 
⎞ 
= ⎛ 
2 = ⎟⎠ 
⎜⎝ 
r h 
2 
2 = Ecuación 2 
16 
Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1. 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
h 
h 
16 
3 
V 
2 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
= 
π 
h 
V h 
2 
48 
=π 
V 3 π 
h 
48 
= 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d V π 2 
( ) 
h d h 
48 
dt 
3 
dt 
= 
Reduciendo términos semejantes. 
d V π 2 
h d h 
dt 
= 
dt 16 
d h 
Despejamos dt 
dv 
dt 
16 
h 
d h 
dt 
π 2 
= 
d v 3 
1 m 
Cuando h= 10 metros dt 
min 
= 
16 
( ) 
(1) 
10 
d h 
dt 
π 2 
= 
r 
5 m 
h = 20 m 
h = 20 m. 
5 m
85 
16 
314,15 
d h = 16 
= 
100 
dt 
π 
0,05 m 
min 
d h = 
dt 
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? 
La superficie libre del líquido es: 
A = π r2 
2 h 
2 
Pero: r = 
16 
A h 
2 
16 
=π 
= ⎛ 
( ) 
h dh 
dt 
16 
2 
d A 
dt 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
π 
h dh 
dt 
d A 
= ⎛ 
dt 8 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
π 
0,05 m 
d h = 
Cuando h = 10 metros dt 
min 
(10)(0,05) 
d A 
= ⎛ 
dt 8 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
π 
1,5707 
8 
d A 
dt 
⎞ 
⎟⎠ 
= ⎛ 
⎜⎝ 
d A 2 
0,196 m 
min 
dt 
= 
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. 
p = 2 π r 
r = h 
pero; 4 
p = 2 π h 
4 
p = π h 
2 
dh 
dt 
dp π 
= 
dt 2 
0,05 m 
d h = 
Pero dt 
min
86 
(0,05) 
dp π 
= 
dt 2 
0,078 m 
min 
dp = 
dt 
A que velocidad aumenta el área mojada? 
r = h 
4 
r = 10 
4 
r = 2,5 metros 
l2 = r2 + h2 
l = r2 +h2 
l2 = 2,52 + 102 
l2 = 6,252 + 100 
l2 = 106,25 
l = 106,25 
l = 10,3 cm. 
A = π r l 
r2 + 
h2 Pero: l = A =π (r) r2 +h2 
r = h 
Pero: 4 
r h 
2 
16 
2 = 
h2 ⎞ 
+ 
⎛ 
A h h2 
4 
16 
⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
=π ⎛ 
⎜⎝ 
A h 
4 
17 h2 
16 
⎞ 
⎟ ⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎜ ⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
=π ⎛ 
⎜⎝ 
⎛ 
A h ( ⎟ ⎟ h ) 
17 
4 
4 
⎠ 
⎞ 
⎜ ⎜ 
⎝ 
⎞ 
⎟⎠ 
=π ⎛ 
⎜⎝ 
h2 
A 17 ⎟⎠ ⎞ 
16 
⎜⎝ ⎛ 
= 
π 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
r 
h = 10 m l
87 
h dh 
dA ( ) π ( ) 
17 
dt 
16 
2 
dt 
= 
h dh 
dA π ( ) 
17 
dt 
= 
dt 8 
Pero h = 10 metros 
d h m 
Pero = 
0,05 dt 
min 
dA π 17 
(10) (0,05) 
= 
dt 8 
(0,05) 
129,53 
8 
dA = 
dt 
16,191(0,05) 
dA = 
dt 
m2 0,8095 
seg. 
dA = 
dt 
Problema 3.67 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө. 
Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo 
mitad Ө es de 300. 
Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son: 
sen θ = r 
4 
r = 4 sen Ө 
r2 = (4 sen Ө)2 
r2 = 16 sen2 Ө (ecuación 1) 
cosθ = h 
4 
h = 4 cos Ө (ecuación 2) 
El volumen del cono es: 
Reemplazar: 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
π 
= 
(16 sen )(4 cos ) 
3 
V 2 θ θ 
(sen )(cos ) 
π 
V 64 2 θ θ 
= 
3 
Derivada de un producto 
2Ө 
l = 4 m. 
h 
r
88 
[( )( )( )( ) ( )( )] dt 
dV 2 θ 
2 sen cos cos - sen sen d 
64 
3 
dt 
θ θ θ θ θ 
π 
= + 
( )( )( ) ( ) dt 
dV 2 2 θ 
2 sen cos - 64 
sen sen d 
3 
64 
3 
dt 
θ θ 
π 
θ θ 
π 
⎤ 
⎥⎦ 
= ⎡ 
⎢⎣ 
dV 2 3 θ 
( )( ) 
sen d 
3 
dt 
sen cos - 64 
128 
3 
dt 
θ 
π 
θ θ 
π 
⎤ 
⎥⎦ 
= ⎡ 
⎢⎣ 
Pero Ө = 300 
2 grados 
seg 
d θ 
= 
dt 
2π rad 3600 
X 20 
0,0349065 rad. 
dV π 2 π 3 θ 
( )( ) 
sen 30 d 
3 
dt 
sen 30 cos30 - 64 
128 
3 
dt 
⎤ 
⎥⎦ 
= ⎡ 
⎢⎣ 
(0,0349065) 
2 
dV 1 
3 2 
- 64 
π π 
3 
3 
2 
1 
2 
128 
= ⎛ 
3 
dt 
⎤ 
⎥ ⎥ 
⎦ 
⎡ 
⎢ ⎢ 
⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎛ 
⎜⎝ 
⎞ 
⎟ ⎟ 
⎠ 
⎛ 
⎞ 
⎜ ⎜ 
⎟⎠ 
⎝ 
⎜⎝ 
( ) 1 
(0,0349065) 
8 
- 64 
= ⎛ 
3 
128 3 
24 
dV 
dt 
⎤ 
⎥⎦ 
⎡ 
⎢⎣ 
⎞ 
⎟⎠ 
⎜⎝ 
π π 
(0,0349065) 
- 64 
24 
384 
24 
dV 
dt 
⎤ 
⎥⎦ 
= ⎡ 
⎢⎣ 
π π 
(0,0349065) 
320 
24 
dV 
dt 
⎤ 
⎥⎦ 
= ⎡ 
⎢⎣ 
π 
41,887 (0,0349065) 
dV = 
dt 
dV 3 
1,46 m 
seg 
dt 
= 
Problema 3.109 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) 
Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80 
cm y su altura es 1,4 metros. 
Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una 
velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a : 
0,08 h m 
3 
min 
Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura 
del liquido sea de 50 cm?
89 
El volumen de aceite contenido en el cono 
Para un radio ( r) y una altura ( h) es: 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
Por semejanza de triángulos 
r = h 
0,8 1,4 
1,4 r = 0,8 h 
r = 0,8 h 
1,4 
r = 0,571428 h 
r 2 = (0,571428 h)2 
r 2 = 0,3265 h2 
reemplazando 
r2 h 
3 
V 
π 
= 
(0,3265 h )h 
3 
V 2 π 
= 
V = 0,3419 h3 
derivamos 
dV = 2 
0,3419 ( 3 ) 
h dh 
dt 
dt 
dV = 2 
1,0257 h dh 
dt 
dt 
Pero h = 0,5 metros 
0,08 h 
dV = 
dt 
0,08 0,5 
dV = 
dt 
0,08 (0,7071) 
dV = 
dt 
dV 3 
0,056 m 
min 
dt 
= 
dV = 2 
1,0257 h dh 
dt 
dt 
0,056 =1,0257 ( 0,5 ) 
2 dh 
dt 
h = 1,4 m. 
.80 m 
r 
0,80 m 
h = 1,4 m 
h
90 
0,2184 m 
dh = 0,056 
= 0,056 
= 
( ) 0,2564 
min 
1,0257 0,25 
dt 
Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 
0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el 
ángulo entre los lados es de π/3. 
0,06 rad 
seg 
d θ 
= 
dt 
π 1800 
π/3. x 
( ) 
600 
180 
x = 3 = 
π 
π 
sen θ = h 
5 
Despejamos la altura del triangulo 
h = 5 sen Ө ecuación 1 
El área del triangulo es: 
A = 1 
(base )(altura) 
2 
A = 1 
(4 )(h) 
2 
A = 1 θ 
(4 )(5 sen ) 
2 
Reduciendo términos semejantes. 
A = 10 sen Ө 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d A θ 
10 cos d 
dt 
dt 
= θ 
Pero: 
Ө = 600 
0,06 rad 
seg 
d θ 
= 
dt 
d A θ 
10 cos d 
dt 
dt 
= θ 
10 cos 60 (0,06) 
d A = 
dt 
0,6 cos 60 
d A = 
dt 
5 m 
h 
4 m 
Ө
91 
0,6 (0,5) 
d A = 
dt 
m2 0,3 
seg 
d A = 
dt 
h = 5 sen Ө ecuación 1 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
d h θ 
5 cos d 
dt 
dt 
= θ 
Pero: 
Ө = 600 
0,06 rad 
seg 
d θ 
= 
dt 
d h θ 
5 cos d 
dt 
dt 
= θ 
5 cos 60 (0,06) 
d h = 
dt 
0,3 cos 60 
d h = 
dt 
0,3 (0,5) 
d h = 
dt 
0,15 m 
seg 
d h = 
dt 
Problema 27 calculo Larson Edic 8 
Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la 
tercera base esta corriendo a 28 pies/seg. 
A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción? 
Por Pitágoras 
S2 = X2 + 902 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
2x d x 
dt 
2S d S = 
dt 
S d S = 
Despejamos 
x d x 
dt 
dt 
x 
d x 
S 
dt 
d S = 
dt 
Por Pitágoras 
S2 = X2 + 902 
3 BASE 
2 BASE 
X = 30 pies 
S 
90 pies 90 pies 
1 BASE
92 
Pero X = 30 metros 
S2 = X2 + 902 
S2 = 302 + 902 
S2 = 900 + 8100 
S2 = 9000 
S = 9000 
S = 94,868 pies 
28 pies 
seg 
d x = 
dt 
x 
d x 
S 
dt 
d S = 
dt 
(28) 
30 
94,868 
d S = 
dt 
8,85 pies 
seg 
d S = 
dt 
Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160 
Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a 
una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la 
base de la farola 
5 pies 
seg 
d x = 
dt 
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? 
d y = 
dt 
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? 
y – x es la longitud de la sombra 
Por semejanza de triángulos 
6 
y - x 
15 = 
y 
15 (y – x) = 6 y 
15 y – 15x) = 6 y 
15 y – 6 y = 15x 
9 y = 15x 
Despejamos y 
y = 15 
(x) 
9 
y = 5 
(x) 
3 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
6 pies 
15 pies 
x y - x 
y
93 
d x 
3 
dt 
5 
d y = 
dt 
Pero: 
5 pies 
seg 
d x = 
dt 
5 
(5) 
3 
d y = 
dt 
pies 
3 
seg 
25 
d y = 
dt 
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? 
y – x es la longitud de la sombra 
( ) 
- d x 
dt 
d y 
dt 
d y - x = 
dt 
Pero: 
pies 
3 
seg 
25 
d y = 
dt 
d x = 
5 pies 
dt 
seg 
( ) 25 
- 5 
3 
d y - x = 
dt 
( ) 
pies 
3 
seg 
10 
d y - x = 25 
- 15 
= 
dt 
3 
3 
( ) 
pies 
3 
seg 
10 
d y - x = 
dt 
Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que 
esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces: 
Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a 
9 metros? 
d y Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra? = 
dt 
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su 
sombra mide 1,8 metros de largo? 
0,6 m 
seg 
d x = 
dt 
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? 
y – x es la longitud de la sombra 
Por semejanza de triángulos 
1,8 
y - x 
9 = 
y 
9 (y – x) = 1,8 y 
Ө 
1,8 m 
9 m 
x y - x 
y
94 
9 y – 9x) = 1,8 y 
9 y – 1,8 y = 9 x 
7,2 y = 9 x 
Despejamos y 
y = 9 
(x) 
7,2 
y =1,25 (x) 
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 
1,25 d x 
dt 
d y = 
dt 
Pero: 
0,6 m 
seg 
d x = 
dt 
1,25 (0,6) 
d y = 
dt 
0,75 m 
seg 
d y = 
dt 
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su 
sombra mide 1,8 metros de largo? 
La longitud de la sombra es: ver grafica 
y – x = 1,8 metros 
tgθ = opuesto 
adyacente 
tgθ = 1,8 
y - x 
y - x = 1,8 
tgθ 
y - x =1,8 (tgθ )−1 
tgθ = opuesto 
adyacente 
tgθ = 1,8 = 
1 
1,8 
tg Ө = 1 
Ө = arc tg 1 
Ө = 450 
Se( d y deriv)a implícitamente con respecto al tiempo (t) - x ( ) 
θ 
-1 sec2 d 
dt 
dt 
= θ 
Ө 
1,8 m 
y - x
95 
( ) ( ) 
d y θ 
-1 sec2 d 
dt 
- d x 
dt 
dt 
= θ 
Pero; 
0,6 m 
seg 
d x = 
dt 
0,75 m 
seg 
d y = 
dt 
0,75 - 0,6 ( -1 )( sec ) 
2 d 
θ 
dt 
= θ 
( )( ) 
0,15 -1 sec 2 d 
θ 
dt 
= θ 
dθ 
DESPEJAMOS dt 
d 
dt 
- 0,15 
sec2 
θ 
θ 
= 
Pero Ө = 450 
- 0,15 
d 
( ) dt 
sec 45 2 
θ 
= 
- 0,15 ( cos 45 ) 
2 d 
θ 
dt 
= 
- 0,15 (0,7071)2 
d θ 
= 
dt 
- 0,15 ( 0,5 ) 
rad 
seg 
d θ 
= 
dt 
0,075 rad 
seg 
d θ 
= 
dt 
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? 
y – x es la longitud de la sombra 
( ) 
- d x 
dt 
d y 
dt 
d y - x = 
dt 
Pero: 
0,75 pies 
seg 
d y = 
dt 
0,6 m 
d x = 
dt 
seg 
( ) 0,75 - 0,6 
dt 
d y - x = 
( ) 
0,15 m 
seg 
d y - x = 
dt
Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5. 
Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia 
en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S 
es 10 millas. Cual es la velocidad del avión? 
96 
S = 10 millas 6 millas 
- 400 millas 
hora 
dS = 
dt 
x 
dx S = 10 millas. 
dt 
Por el teorema de Pitágoras 
S2 = X2 + 62 
102 = X2 + 62 
100 = X2 + 36 
100 - 36 = X2 
X2 = 64 
X = 8 millas 
S2 = X2 + 62 
Derivando implícitamente con respecto a x 
2 x dx 
dt 
2 s dS = 
dt 
x dx 
dt 
s dS = 
dt 
dx 
dt 
dS 
x 
s = 
dt 
reemplazando 
( - 400 ) 
dx 
8 
dt 
10 = 
- 500 millas 
hora 
dx = 
dt 
Luego la velocidad es de 
500 millas 
hora 
Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)
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  • 1. 1 Problemas resueltos de derivadas Derivada de una constante Derivada de las potencias Derivada del producto de una función por una constante Derivada de la suma Derivada del producto Derivada del cociente Segunda derivada y derivadas de orden superior Derivadas de las funciones trigonométricas • Derivada del seno La regla de la cadena Problemas de razones de cambio Problemas de aplicación de máximos y mínimos Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010 Para cualquier inquietud o consulta escribir a: 0H0H0H0H0H0Hquintere@hotmail.com 1H1H1H1H1H1H1H1Hquintere@gmail.com 2H2H2H2H2H2H2H2Hquintere2006@yahoo.com
  • 2. 2 DERIVADA DE UNA CONSTANTE Si c es una constante y si f(x) = c, entonces f’ (x) = 0 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123 f(x) = 5 f’ (x) = 0 DERIVADA DE LAS POTENCIAS La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos Si n es un entero negativo y x ≠ 0 d = ⎟⎠ xn n xn-1 dx ⎞ ⎛ ⎜⎝ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x8 d (x8 ) = 8 x8-1 dx f ' (x)= 8 x7 Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 124 f(x) = x d (x) = x1-1 dx f ' (x)= x0 f’ (x) = 1 Derivada del producto de una función por una constante Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por g (x) = c f(x) y si f ’existe, entonces g’ (x) = c f ’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 125 f(x) = 5 x7 d ( 5 x 7 ) = 5 d (x)7 dx dx
  • 3. 3 f ' (x)= 5 (7) x7-1 f ' (x)= 35 x6 DERIVADA DE LA SUMA Si f y g son funciones y si h es la función definida por h(x) = f(x) + g(x) y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces h’ (x) = f’ (x) + g’ (x) Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 126 f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5 ( ) ( ) ( ) ( x ) d (5) dx 8 d dx d 3 x - 2 d x dx 7 x - 2 x 8 x 5 7 d dx dx 4 3 + + = 4 + + f ' (x)= 7 (4)(x)4-1 - 2 (3)(x)3-1 + 8 (1)(x)1-1 + 0 f ' (x)= 28 (x)3 - 6 (x)2 + 8 (x)0 + 0 f ' (x)= 28 x3 - 6 x 2 + 8 Calcular la derivada y = 3 x -4 + 3 x 4 ( - 4 ) d ( 3x 4 ) dx y' d 3x = + dx y’= (3) (-4) x -4 -1 + (3) (4) x 4 -1 y’= -12x -5 + 12x 3 ordenando y'=12x3 - 12 5 x DERIVADA DEL PRODUCTO Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la derivada de la primera. Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es, ( ) d uv = u dv + v du d dx dx La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.
  • 4. 4 En notación prima, (u v) ’ = u v ’ + v u ’ Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 127 Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x3 – 4x2) Segundo termino = (3x5 + x2) [( 3 2 )( 5 + 2 )] ( ) h ' x d 2 x - 4x 3 x x dx = ' ( 3 2 ) [ 5 2 ] ( 5 2 ) [2 x3 4 x2 ] h (x) = 2 x - 4 x d 3 x + x + 3 x + x d − dx dx h' (x) = (2 x3 - 4 x 2 )[3 (5) x5-1 + 2 x 2-1]+ (3 x5 + x2 )[2 (3) x3-1 - 4 (2) x 2-1] ⎥⎦ ⎤ h'(x) = 2x3 - 4x2 15 x4 2 x 3x5 x2 6 x2 - 8 x ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎥⎦ ⎤ + ⎟⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ⎜⎝ ⎛ Resolviendo el polinomio h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4 x4 - 8 x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3 h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4x4 - 8x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3 Reduciendo términos semejantes h'(x) = 48 x7 - 84 x6 +10x4 -16x3 Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131 Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x) Primer termino = (3 x – 2 x2) Segundo termino = (5 + 4 x) [( 2 )( )] ( ) + x f ' x d 3 x - 2 x 5 4 dx = ' ( 2 ) [ ] ( ) [3 2 x2 ] f (x) = 3 x - 2 x d 5 + 4 x + 5 + 4 x d x − dx dx f ' (x) = (3 x - 2 x2 )[ 4]+ (5 + 4 x)[3 - 2 * 2 x2-1] f ' (x) = (3x - 2x2 )[ 4]+ (5 + 4x)[3 - 2* 2x1] f ' (x) = [12 x - 8 x 2 ]+ (5 + 4 x)[3 - 4 x] Resolviendo el polinomio f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 +12 x - 20 x -16 x2 ) Reduciendo términos semejantes
  • 5. 5 f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 - 8 x -16 x 2 ) f ' (x) = 12x - 8x2 +15 - 8x -16x2 f ' (x) = 4 x - 24 x2 +15 Ordenando f ' (x) = - 24 x2 + 4 x +15 Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132 Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1) Primer termino = (1 + x - 1) Segundo termino = (x - 1) [( + -1 )( ( ) = x − )] f ' x d 1 x 1 dx ' ( -1) [ ] ( ) [1 x-1] f (x) = 1+ x d x − 1 + x -1 d + dx dx ' ( -1) [x 1] (x -1)[1 x-1-1] f (x) = 1+ x d − + + dx f ' (x) = 1+ x-1 1 x -1 -1 x- 2 [ ] ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ f ' (x) = (1+ x-1)+ (x -1)[- x- 2 ] Resolviendo el polinomio f ' (x) = (1+ x-1)+ [-1 x-1 + x- 2 ] Reduciendo términos semejantes f ' (x) =1+ x-1 - x-1 + x-2 f ' (x) =1 + x-2 x 1 2 2 f (x) 1 1 2 ' x x + = + = Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 4 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1) Primer termino = (x2 – 2x + 1) Segundo termino = (x3 - 1) [( 2 + )( 3 )] ( ) − = x ( ) [ ] ( ) [ x - 2 x 1] f ' x d x - 2 x 1 1 dx f ' (x) = x 2 - 2 x +1 d x 3 − 1 + x 3 − 1 d 2 + dx dx
  • 6. 6 f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)[(2) x 2-1 - 2 x1-1 +1] f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)(2)[ x1 - 2 x0 ] f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[3x2 ]+ (x3 −1)[ 2 x - 2] Resolviendo el polinomio f ' (x) = (3 x4 - 6 x3 + 3 x2 ) + [2 x 4 - 2 x - 2 x3 + 2] Reduciendo términos semejantes f ' (x) = 3x4 - 6x3 + 3x2 + 2x4 - 2x - 2x3 + 2 Reduciendo términos semejantes f ' (x) = 5 x4 - 8 x3 + 3 x 2 - 2 x + 2 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 5 Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5) Primer termino = (x3 – 3 x) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5) [( 3 )( 2 )] ( ) + + = x x ( ) [ ] ( ) [ x - 3 x] f ' x d x - 3x 2 3 5 dx 2 x 3 x 5 2 x 3 x 5 d f ' (x) = x3 - 3 x d 2 + + + 2 + + 3 dx dx f ' (x) = (x3 - 3 x )[(2) x2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x2 + 3 x + 5)[(3) x3-1 - 3 x1-1] f ' (x) = (x3 - 3 x )[4 x + 3]+ (2 x2 + 3 x + 5)[3 x2 - 3] Resolviendo el polinomio f ' (x) = [4 x 4 -12 x2 + 3 x3 - 9 x]+ (6 x 4 + 9 x3 +15 x 2 - 6 x 2 - 9 x -15) Reduciendo términos semejantes f ' (x) = 4x4 -12x2 + 3x3 - 9x + 6x4 + 9x3 +15x2 − 6x2 - 9x -15 Reduciendo términos semejantes f ' (x) =10 x4 +12 x3 − 3 x2 -18 x -15 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 6 Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2) Primer termino = (x – 1) Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)
  • 7. 7 [( )( 2 )] ( ) + + = x x ( ) [ ] ( ) [ x -1] f ' x d x -1 2 3 2 dx f ' (x) = x -1 d 2 − + + 2 − + x 3 x 2 x 3 x 2 d dx dx f ' (x) = (x -1 )[(2) x2-1 − 3 x1-1]+ (x2 − 3 x + 2)[ x -1] f ' (x) = (x -1 )[2 x − 3]+ (x2 − 3 x + 2) [1] Resolviendo el polinomio f ' (x) = [2x2 − 2x - 3x + 3]+ (x2 − 3x + 2) Reduciendo términos semejantes f ' (x) = [2x2 − 5 x + 3]+ (x 2 − 3 x + 2) Reduciendo términos semejantes f ' (x) = 2x2 - 5x + 3 + x2 - 3x + 2 f ' ⎟⎠ ⎟ (x) = 3 x2 - 8 x + 5 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 7 ⎛ ⎞ Hallar la derivada de f(x) ( x 3 x ) 1 ⎜ ⎜⎝ = − 2 5 x Primer termino = (x5 – 3 x) Segundo termino = ⎟ ⎟⎠ ⎞ ⎛ x2 ⎜ ⎜⎝ 1 ( ) ( ) ⎡ ⎛ d x - 3 x 1 ⎞ 5 ⎥⎦ dx f ' x 2 ⎤ ⎢⎣ ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ = x ( ) ⎞ [ x - 3x] ⎛ + ⎥⎦ ⎡ f (x) x - 3 x d d 5 = dx ( ) [ ] [ x - 3 x] 1 x 1 x dx 2 2 ' 5 ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ ⎤ ⎢⎣ ⎞ ⎛ f (x) x - 3 x d d 5 dx x 1 x dx 2 ' 5 - 2 ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ = + ⎞ ⎛ + ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡ d f ' (x) x5 - 3x - 2 x- 2-1 1 = x5 - 3x ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ dx x2 ( )( )[ ] ⎛ [( ) 5-1 1-1 ] f (x) x - 3 x - 2 x 1 ⎟ ⎟⎠ ' 5 - 2-1 5 x - 3 x 2 x ⎞ ⎜ ⎜⎝ = + ( )[ ] ⎛ ⎞ [5 x - 3] f (x) x - 3 x - 2x 1 4 x 2 ' 5 - 3 ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ = + Resolviendo el polinomio
  • 8. 8 ( ) ⎞ [5 x - 3] ⎛ + ⎥⎦ ⎡ f (x) x - 3 x - 2 1 4 x x 3 2 ' 5 ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ ⎤ ⎢⎣ = ⎛ + ⎤ ⎡ + = f (x) - 2 x 6 x 2 5 x - 3 x x 4 3 5 ' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎥ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 5 5 ⎡ + + = f (x) - 2x 6x 5x - 3x 3 x ' ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ Reduciendo términos semejantes 5 ⎡ + = f (x) 3 x 3 x 3 x ' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ f (x) 3 x 3 3 3 x x x 5 ' = + f (x) 3 x 32 x ' = 2 + Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 14 Hallar la derivada de f(x) = 3 x ( x + 3) f(x) = 6 x2 * x3 + 3 3 x f(x) = 6 x5 + 33 x 1 3 5 6 f(x) = x + 3 x Se convierte en una suma ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ 5 f (x) d 3 ⎢ ⎢ x d = 3 x ⎣ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ dx dx 1 6 ' - 2 3 - 1 ' *3 x x 6 1 6 3 f (x) = 5 + Resolviendo el polinomio - 2 3 -1 f (x) = 5 + ' x 6 x 6 1 2 3 f (x) = 5 + 1 6 ' x 6x
  • 9. 9 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 16 Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2 h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1) Primer termino = (x2 – 1) Segundo termino = (x2 – 1) [( 2 )( 2 )] ( ) − = x ( ) [ ] ( ) [ x -1] h ' x d x - 1 1 dx h' (x) = x2 -1 d x 2 − 1 + x 2 − 1 d 2 dx dx [ ] [ ] 2x 1 2 x 2x 1 - 2 x x) ( ' h ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Reduciendo términos semejantes h' (x) = 2 (x 2 -1) [2 x] Resolviendo el polinomio h' (x) = (x2 -1)[4 x] Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136. Problema 17 Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2 h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2) Primer termino = (s3 – 2) Segundo termino = (s3 – 2) [( 3 )( 3 )] ( ) − = s ( ) [ ] ( ) [s - 2] h ' s d s - 2 2 dx h' (s) = s3 - 2 d s 3 − 2 + s 3 − 2 d 3 dx dx h' (s) = (s3 - 2)[3s2 ]+ (s3 − 2)[3s2 ] Reduciendo términos semejantes h' (s) = 2 (s3 - 2)[3s2 ] Resolviendo el polinomio h' (s) = (s3 - 2)[6 s2 ]
  • 10. = x x x ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) (x x 1) f ' (x) = x2 +1 x2 + x +1 d 2 − + 2 − 2 + + 2 + + 2 2 + 2 + + 10 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 20 Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x2 – x) Segundo termino = (x2 + 1) Tercer termino = (x2 + x + 1) ( ) [( 2 )( 2 + )( 2 + + )] f ' x d x - x 1 1 dx x 1 x - x x 1 d dx x x x x x x 1 d dx dx [ ] [ ] ( ) 1 2x 1 2 x x - 2 x 2x 1 x 2 x x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1 2 x x) ( ' f + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − + − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎝ ⎛ = + ⎜ Resolviendo el polinomio f ' (x) = (x4 + x2 + x3 + x + x2 +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) Reduciendo términos semejantes f ' (x) = (x4 + 2x2 + x3 + x +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) Reduciendo términos semejantes f ' (x) = (2x5 + 4x3 + 2x4 + 2x2 + 2x - x4 - 2x2 - x3 - x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x4 − x3 + x3 - x2 + x2 - x) [ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x2 - x)(x2 +1)(2x +1) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x4 - x3 + x2 - x) (2x +1) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - 2x4 + 2x3 - 2x2 + x4 - x3 + x2 - x) f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - x4 + x3 - x2 - x) f ' (x) = 2x5 + 3x3 + x4 + x -1 + 2x5 - 2x2 + 2x5 - x4 + x3 - x2 - x f ' (x) = 6 x5 + 4 x3 - 3 x 2 -1
  • 11. 11 Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136. Problema 21 Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1) Primer termino = (3x3 + 4x) Segundo termino = (x - 5) Tercer termino = (x + 1) [( 3 + )( ( ) − )( = x x + )] f ' x d 3 x 4 x 5 1 dx ( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( x 1) f ' (x) = x - 5 x +1 d 3 + + 3 + + x - 5 + 3x 3 + 4x x - 5 d + dx 3x 4x 3x 4x x 1 d dx dx f ' (x) = (x - 5 )(x +1)[9 x 2 + 4 ]+ (3 x3 + 4 x)(x +1)[1]+ (3 x3 + 4 x)(x - 5)(1) f ' (x) = (x2 - 5x + x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4 x)(x +1) + (3 x3 + 4 x)(x - 5) f ' (x) = (x2 - 4x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 45x2 + 4x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5) f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x3 + 4x)(x - 5) f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x4 + 4x2 -15x3 - 20x) f ' (x) = 9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 + 3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x + 3x4 + 4x2 -15x3 - 20x f ' (x) =15x4 - 48x3 - 33x2 - 32x - 20 Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (2x2 )( 2 - x ) Primer termino = (2x2 ) Segundo termino = ( 2 - x ) ( ) [( )( )] y ' x d 2 2 - x dx x2 = ' ( 2 ) [ ] ( ) [2x2 ] y = 2x d − + − 2 x 2 x d dx dx ' ( 2 ) [ ]1 2 ( ) [2x2 ] y = 2x d − + − 2 x 2 x d dx dx La derivada interna es (-1)
  • 12. 12 ( ) *(-1)*[2 x] ( 2 x )[ 4x] y' = 2x2 1 − -1 2 + − 2 Cancelando términos semejantes y' = (- x2 )[2 − x]-1 2 + ( 2 − x )[ 4x] y - x 1 2 ( ) ( 2 x )[ 4x] 2 - x 2 ' = + − [ ] y - x 2 - x 4x 2 x 1 2 (2 - x) 2 ' + − = ( )[ ] (2 - x) 2 y ' + = - x 2 - x 4x 1 2 8x - 5x 2 2 y - x 8x - 4x ' = ( ) 2 - x 2 - x 2 1 2 + = ⎟⎠ Problema 10.36 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar f ( x ) = ( x ) ⎛ 3 - 2x2 ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ Primer termino = x Segundo termino = ⎛ 3 - 2x2 ⎞ ⎜⎝ ( ) ⎛ ( ) ⎡ d 3 - 2x dx f ' x 2 ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ = x ⎛ ⎡ f ' x x d ⎟ ⎟⎠ 3 2x2 3 2x2 d ( ) ( ) [ x] dx = − dx ⎞ − + ⎥⎦ ⎜ ⎜⎝ ⎤ ⎢⎣ ⎛ f ' x x d ⎟ ⎟⎠ 3 2x2 d ( ) ( ) [ x] dx 2 1 2 3 2x dx ⎞ − + ⎥⎦ ⎤ ⎜ ⎜⎝ ⎢⎣ ⎡ = − La derivada interna es (- 4x) ( ) ( ) ( ) 2 ⎞ 3 2x d [ x] dx 2 -1 2 * - 4x 3 2x 2 ⎛ f ' x x 1 + − ⎟⎠ ⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡ ⎜ ⎜⎝ = − ⎟⎠ f ' ( - 1 2 x ) = - 2x 2 [ 3 − 2 x 2 ] + ⎛ 3 − 2x 2 ⎞ ⎜⎝ f ( x ) = - 2x + ⎛ 3 − 2x 2 3 - 2x 2 2 ⎞ ' ⎟⎠ ⎜⎝
  • 13. 13 ( ) ⎛ − ⎟⎠ + ⎛ 2 2 2 - 2 x 3 - 2x 3 2x 3 2x f x 2 ' − ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ ⎜⎝ = 2 ( 2 ) ( ) f x - 2 x + 3 - 2x 3 2x 2 ' − = 2 2 + f ( x ) - 2 x 3 - 2x 3 2x 2 ' − = f ( x ) 3 - 4x 2 3 2x 2 ' − = Ejemplo # 6 Leythold. Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2) Primer termino = (2x 3 – 4x2) Segundo ( termino = (3x5 + x2) ' 3 2 ) [ 3x 5 2 ] ( 3x 5 x 2 ) d [2x3 - 4x2 ] h (x) = 2x - 4x d + x + + dx dx h' (x) = (2x3 - 4x2 )[15x4 + 2x]+ (3x5 + x2 )[6x2 - 8x] Resolviendo [el polinomio h' (x) = 30x7 - 60x6 + 4x4 - 8x3 ]+ [18x7 + 6x4 - 24x6 - 8x3 ] Reduciendo términos semejantes h' (x) = 30x7 +18x7 - 60x6 - 24 x6 + 4x4 + 6x4 - 8x3 - 8x3 Reduciendo términos semejantes h' (x) = 48x7 - 84 x6 +10x4 -16x3 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #19 Hallar la derivada de f(s) = 3 (s3 - s2 ) f(s) = 3 (s3 - s2 )= 3s3 − 3s2 f '(s) = 3 3s2 − 2 3s f '(s) = 3 * s(3s − 2) Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #20 Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1) Primer termino = (2x2 + 5)
  • 14. 14 Segundo termino = (4x – 1) g' ( x ) = ( 2x2 + 5 ) d [ 4 x − 1 ] + ( 4 x − 1 ) d [2x 2 + 5] dx dx g' (x)= (2x2 + 5)[4]+ (4x −1)[ 4x] g' (x)= 8x2 + 20 +16x2 − 4x g' (x)= 24x2 + 20 − 4x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #21 Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x) Primer termino = (2x4 - 1) Segundo termino = (5x3 + 6x) f ' ( x ) = ( 2x4 −1 ) d [ 5 x3 + 6 x ] + ( 5 x3 + 6 x ) d [2x 4 -1] dx dx f ' (x)= (2x4 −1)[15x2 + 6]+ (5x3 + 6x)[8x3 ] f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + (40x6 + 48x4 ) Reduciendo términos semejantes f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + 40x6 + 48x4 f ' (x)= 76x6 −15x2 + 60x4 − 6 Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #22 Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2 f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3) Primer termino = (4x2 + 3) Segundo termino = (4x2 + 3) ( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d [4x 3] f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 + dx dx f ' (x) = (4x2 + 3 )[8x]+ (4x2 + 3)[ 8x] Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x] Reduciendo términos semejantes
  • 15. 15 f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x] f ' (x) = 64x3 + 48x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema # 23 Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2 G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3) Primer termino = (7 – 3y3) Segundo termino = (7 – 3y3) ( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d [4x 3] f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 + ()[dx dx f ' (x) = 4x2 + 3 8x]+ (4x2 + 3)[ 8x] Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x] Reduciendo términos semejantes f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x] f ' (x) = 64x3 + 48x Ejercicio 2.4 Calculo Leythold Problema #24 Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t) Primer termino = (t3 – 2t + 1) Segundo termino = (2t2 + 3t) ( ) [ 2t 3t ] ( 2t 3t ) d [ t 2 1] F' (t) = t3 − 2t +1 d 2 + + 2 + 3 − t + dx dx F' (t) = (t3 − 2t +1 )[4t + 3]+ (2t 2 + 3t)[3t 2 − 2] Resolviendo el polinomio F' (t) = [4t4 - 8t2 + 4t + 3t3 - 6t + 3]+ [6t 4 + 9t3 - 4t2 - 6t] Reduciendo términos semejantes F' (t) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t3 - 4t 2 - 6t F' (t) = 10t 4 −12t2 - 8t +12t3 + 3 Ejemplo Calculo Purcell pag 111.
  • 16. 16 Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x) Primer termino = (3x2 - 5) Segundo termino = (2x4 - x) ( ) [ 2x - x ] ( 2x - x ) d [3x 5] F' (x) = 3x2 − 5 d 4 + 4 2 − dx dx F' (x) = (3x2 − 5 )[8x3 -1]+ (2x4 - x)[ 6x] Resolviendo el polinomio F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2 Reduciendo términos semejantes F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2 F' (x) = 36x5 - 40x3 - 9x2 + 5 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 23 Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1) Primer termino = (x) Segundo termino = (x2 + 1) ( ) [ x 1 ] ( x 1 ) d [ x] dx f ' (x) = x d 2 + + 2 + dx f ' (x) = (x)[2x]+ (x2 +1)[1] Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2x2 + x2 +1 Reduciendo términos semejantes f ' (x) = 2x2 + x2 +1 f ' (x) = 3x2 +1 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 24 Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1) Primer termino = (3x) Segundo termino = (x3 - 1) ( ) [ x -1 ] ( x -1 ) d [ 3x] dx y' = 3x d 3 + 3 dx
  • 17. 17 y' = (3x)[3x2 ]+ (x3 -1)[ 3] Resolviendo el polinomio y' = 9x3 + 3x3 − 3 Reduciendo términos semejantes y' = 9x3 + 3x3 − 3 y' =12x3 − 3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 26 Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2 y = (- 3x + 2) (- 3x + 2) Primer termino = (- 3x + 2) Segundo termino = (- 3x + 2) - 3x 2 - 3x 2 d y' = - 3x + 2 d + + + + y' = (- 3x + 2)[- 3]+ (- 3x + 2)[ - 3] Resolviendo el polinomio y' = 2 (- 3x + 2)[- 3] Reduciendo términos semejantes y' = (- 3x + 2)[- 6] y' = 18x -12 ( ) [ ] ( ) [ - 3x 2] dx dx Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 27 Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1) Primer termino = (x2 + 2) Segundo termino = (x3 + 1) [( 2 + )( 3 ( ) + )] = x ( ) [ ] ( ) [ x 2] y ' x d x 2 1 dx x 1 x 1 d y' = x2 + 2 d 3 + + 3 + 2 + (2)[dx dx y' = x2 + 3x2 ]+ (x3 +1)[ 2x] Resolviendo el polinomio y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x Reduciendo términos semejantes y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x
  • 18. 18 y' = 5x4 + 6x2 + 2x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 28 Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1) Primer termino = (x4 - 1) Segundo termino = (x2 + 1) [( 4 )( 2 )] ( ) + = x ( ) [ ] ( ) [ x 1] y ' x d x - 1 1 dx x 1 x 1 d y' = x4 −1 d 2 + + 2 + 4 − (1)[dx dx y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ] Resolviendo (1)[el polinomio y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ] Reduciendo términos semejantes y' = 2x5 - 2x + 4x5 + 4x3 y' = 6x5 - 2x + 4x3 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 29 Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1) Primer termino = (x2 + 17) Segundo termino = (x3 – 3x + 1) [( 2 + )( 3 ( ) − + )] = x x ( ) [ ] ( ) [ x 17] h ' x d x 17 3 1 dx x 3x 1 x - 3x 1 d y' = x2 +17 d 3 − + + 3 + 2 + (17)[dx dx y' = x2 +3x2 − 3]+ (x3 - 3x +1)[ 2x] Resolviendo el polinomio y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x Reduciendo términos semejantes y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x y' = 5x4 + 42x2 - 3x2 - 51 + 2x Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 30 Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1) Primer termino = (x4 + 2x)
  • 19. 19 Segundo termino = (x3 +2x2 + 1) ( ) [ x 2x 1 ] ( x 2x 1 ) d [ x 2x] y' = x4 + 2x d 3 + 2 + + 3 + 2 + 4 + (2x)[dx dx y' = x4 + 3x2 + 4x]+ (x3 + 2x2 +1)[4x3 + 2] Resolviendo el polinomio y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2 Reduciendo términos semejantes y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2 y' = 7x6 +12x3 +12x5 +12x2 + 2 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 31 Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1) Primer termino = (5x2 -7) Segundo termino = (3x2 -2x + 1) ( ) [ 3x - 2x 1 ] ( 3x 2x 1 ) d [5x 7] y' = 5x2 - 7 d 2 + + 2 − + 2 − (7)[dx dx y' = 5x2 - 6x - 2]+ (3x2 − 2x +1)[10x] Resolviendo el polinomio y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x Reduciendo términos semejantes y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x y' = 60x3 - 32x - 30x2 +14 Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 32 Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1) Primer termino = (3x2 +2x) Segundo termino = (x4 - 3x + 1) ( ) [ x - 3x 1 ] ( x 3x 1 ) d [3x 2x] y' = 3x2 + 2x d 4 + + 4 − + 2 + (2x)[dx dx y' = 3x2 + 4x3 - 3]+ (x4 − 3x +1)[ 6x + 2] Resolviendo el polinomio y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2 Reduciendo términos semejantes
  • 20. 20 y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2 y' =18x5 +10x4 - 27x2 - 6x + 2 Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 13 Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1) Primer termino = (3 - x2) Segundo termino = (x3 - x + 1) ' ( 2 ) [ x 3 - x 1 ] ( x 3 x 1 ) d [3 - x2 ] y = 3 - x d + + − + y' = (3 - x2 )[3x2 -1]+ (x3 − x +1)[ - 2x] Resolviendo el polinomio y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x Reduciendo términos semejantes y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x y' =12x2 - 5x4 - 3 - 2x dx dx Sección 3.2 Calculo Thomas. Problema # 14 Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1) Primer termino = (x - 1) Segundo termino = (x2 + x + 1) ( ) [ x x 1 ] ( x x 1 ) d [ x -1] y' = x -1 d 2 + + + 2 + + y' = (x -1 )[2x +1]+ (x2 + x +1)[1] Resolviendo el polinomio y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1 Reduciendo términos semejantes y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1 y' = 3x2 Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1) Primer termino = (x3 - 1) Segundo termino = (x3 + 1) ( ) [( )( )] dx dx 3 3 + = x y ' x d x - 1 1 dx
  • 21. 21 ( ) [ ] ( ) [ x -1] y' = x3 -1 d x 3 + 1 + x 3 + 1 d 3 ()[dx dx y' = x3 -1 3 x3-1 ]+ (x3 +1)[3 x3-1] y' = (x3 -1 )[3 x2 ]+ (x3 +1)[3 x2 ] Resolviendo el polinomio y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2 Reduciendo términos semejantes y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2 y' = 6 x5 DERIVADA DEL COCIENTE Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y - u dv dx (v) dx v du u v d dx 2 ⎞ = ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 17 Hallar la derivada (aplicando cocientes) + y 2x 5 3x - 2 = + d ⎛ 2x 5 3 x - 2 dx y' ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ = ( ) ( ) ( ) ( ) - 2x 5 d 3x - 2 ⎡ + 3x - 2 d 2x 5 + ⎡ ⎥⎦ (3x - 2)2 dx dx y' ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎢⎣ = ( )[ ] ( )[ ] y' 3x - 2 2 - 2x 5 3 2 (3x - 2) + = Cancelando términos semejantes y' 6x - 4 - 6x _ 15 2 (3x - 2) = y' -19 2 (3x - 2) = Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 18 Hallar la derivada (aplicando cocientes) + y 2x 1 2 x -1 =
  • 22. 22 ⎛ + d 2x 1 x -1 dx y' ⎞ 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ = ⎡ ⎟⎠ ⎞ ( ) ( ) 2 ⎡ + x2 -1 d 2x 1 ⎤ x2 -1 d x2 -1 dx - 2x 1 dx y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = x2 -1 2 - 2x 1 2 x 2 1 [ ] ( + )[ ]( ) ⎟⎠ ⎞ − 2 x2 -1 y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ = ( 2 )[ ] ( + )[ ]( ) y' x -1 2 - 2x 1 2 x 2 2 (x -1) = 2 + ( )( ) (x -1) y' = 2x - 2 - 2x 1 2x 2 2 y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x 2 x2 -1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Cancelando términos semejantes y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x 2 x2 -1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = y' - 2x2 - 2 - 2x 2 x2 -1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = - 2 x2 x 1 2 x2 -1 y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ + + = Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 19 Hallar la derivada (aplicando cocientes) ( ) g x x2 - 4 x + 0,5 = ( ) ⎛ d x - 4 x 0,5 dx g' x 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + = ( ) ⎡ d ( x 2 ) ( ) - 4 ⎤ x 0,5 - ( x 2 - 4 ) ⎡ d ( x + 0,5 ) (x 0,5) dx dx g' x 2 + ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ + =
  • 23. 23 ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] 2-1 2 + g' x x 0,5 2 x - x - 4 1 2 (x 0,5) + = ( ) ( )[ ]( ) ( ) g' x x 0,5 2 x - x - 4 (x 0,5) 2 2 + + = ( + )( ) x2 + g ( x ) ' x 0,5 2x - 4 (x + 0,5)2 = Cancelando términos semejantes ( ) 2x2 + g' x x - x2 + 4 (x + 0,5)2 = x2 + + g' ( x ) x 4 (x + 0,5)2 = Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129 Problema 20 Hallar la derivada (aplicando cocientes) ( ) f t t2 -1 t2 + t - 2 = ( ) d t2 -1 t2 t - 2 dx f ' t ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + = ( ) 2 ⎡ ⎟⎠ ⎞ d t2 -1 ⎤ t2 t - 2 ⎡ ⎟⎠ ⎞ d t2 t - 2 dx - t2 -1 dx t2 t - 2 f ' t ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) 2 2-1 2 2 1 [ ] [ ]( ) t t - 2 2 t - t -1 2 t 1 f ' t 2 2 t t - 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = − ( ) 2 2 [ ]( ) [ ]( ) t t - 2 2 t - t -1 2 t 1 f ' t 2 2 t t - 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) 2 2 ( ) ( ) t t - 2 2t - t -1 2t 1 f ' t 2 2 t t - 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = Cancelando términos semejantes
  • 24. 24 3 2 3 2 f ' ( t ) 2t + 2t - 4t - 2t + 2t - t + 1 2 2 t t - 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 2 ( ) ( t -1 )( t -1 ) [( )( )] ( )( ) t -1 t -1 f ' t t - 2t 1 2 2 t 2 t -1 2 ( t 2 )2 ( t -1 )2 t t - 2 + = + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = f ' ( t ) 1 + 2 (t 2) = Calcular la derivada y = 5 x2 y = 5x -2 ( ) y' d 5x - 2 dx = y’= (-2) (5) x -2-1 y’= -10x -3 y'= - 10 x3 Otra forma (aplicando cocientes) y = 5 x2 ⎛ d 5 x2 dx y' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ = ( ) ⎡ ⎟⎠ ⎞ d x2 ⎤ 2 2 x dx - 5 x2 d 5 dx y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ = x2 0 - 5 2 x2-1 [ ] x2 x2 y' ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ =
  • 25. 25 [ ] [ ] (x )(x ) 2 y' = x 0 - 5 2 x 2 2 [ ] 4 x3 -10 y'= - 10x = x y'= -10 x3 Calcular la derivada y = 1 3x2 y = 1 x- 2 3 d 1 x- 2 3 dx y' ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ = y’= (-2) (1/3) x -2-1 y’= - 2/3 x -3 y'= - 2 3 x3 Otra forma (aplicando cocientes) y = 1 3x2 ⎛ d 1 3 x2 dx y' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ = ( ) ⎡ ⎟⎠ ⎞ d 3x2 3x2 d 1 ⎤ 2 2 3x dx -1 dx y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ = [ ] [( )( ) ] (3x )(3x ) 2 2-1 y' 3x 0 -1 2 3 x 2 2 = ( )[ ] [( )( )( )] (3x )(3x ) 2 x = y' 3x 0 -1 2 3 2 2
  • 26. 26 [ ] - 6x - 2 4 4 3x3 y'= -1 6x = = 9x 9x y'= - 2 3x3 Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 2 Hallar la derivada (aplicando cocientes) ( ) 2 x3 + f x 4 x2 + 1 = ( ) 2 x3 + d 4 x2 1 dx f ' x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + = ( ) 2 ⎡ ⎟⎠ ⎞ d 2 x3 4 ⎤ x2 1 ⎡ ⎟⎠ ⎞ d x2 1 dx - 2 x3 4 dx x2 1 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) x2 1 [ 2 ]( 3 )( x ) 3-1 - 2 x3 4 [ 2 ]( x ) 2 1 + ⎟⎠ ⎞ 2 x2 1 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) x2 1 6 x2 - 2 x3 4 2 x + ⎟⎠ ⎞ 2 x2 1 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + = f ' ( x ) 6 x4 6 x2 - 4 x4 - 8x 2 x2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = Cancelando términos semejantes ( ) f ' x 2 x4 6 x2 - 8x 2 x2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129 Ejemplo 3 Hallar la derivada (aplicando cocientes) x = 3 x5
  • 27. 27 ⎛ d 3 x5 dx x' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ = ( ) ( ) ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎤ 5 2 x d x5 dx - 3 x5 d 3 dx x ' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ = x5 0 - 3 5 x5-1 [ ] ( ) ( ) x5 x5 y' ⎟⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎥⎦ ⎤ = - 3 5 x4 ( ) ( ) x5 x5 y' ⎥⎦ ⎤ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = -15 x4 y' x5 x5 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = -15 x6 y' -15 = x x5 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Calcular la derivada y 2 + 2 = x ( ) 1 ⎛ d 2 ( 1 ) dx y' ⎞ 2⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + = x ⎡ - 2 d x + 1 2 ( ) ( ) ( ) x 1 2 d 2 ⎤ ( ) 2 2 1 dx dx y' ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥⎦ + ⎡ ⎢⎣ = x x + 1 2 0 - 2 2 + 1 2 − 1 ( ) ( ) ( )( ) [( 1)]4 y' + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = x x [( )( )] [( 1)]4 y' - 2 2 1 + + = x x ( ) - 4 ( ) (x 1)3 y' - 4 x 1 1 4 + = + + = x
  • 28. 28 y' - 4 (x + 1)3 = Calcular la derivada y x 2 − x 1 = ⎛ d x x2 1 = − dx y' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ( ) ⎡ ⎟⎠ ⎞ d x2 1 2 x2 1 d x ⎤ x2 1 dx - x dx y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ − ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = x 2 1 [ 1 ] - x ( 2 ) x 2-1 2 x 2 1 y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = y' x 2 -1- x 2x [ ] 2 x 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = reduciendo términos semejantes 2 2 y' = x -1- 2x(2 x 2 − 1) - x 2 1 2 2 1 2 -1- x 2 y' x 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = x 2 x2 + y' - 1 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = x
  • 30. 30 SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
  • 31. La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la derivada en si bien puede ser una función diferenciable. 31 d y 2 ' 2 ⎥⎦ y '' dy = dx dy dx d = = ⎡ dx dx ⎤ ⎢⎣ Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x. Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 130 Ejemplo 4 Encuentre todas las derivadas. f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7 f ‘ (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0 f ‘ (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x f ‘‘ (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1 f ‘‘ (x) = 96 x2 + 30 x – 2 f ‘‘‘ (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0 f ‘‘‘ (x) = 192 x + 30 f 4 (x) = 192 x1-1 + 0 f 4 (x) = 192 DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DERIVADA DEL SENO En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno. d (sen x) = cos x dx Calcular la derivada y = x3 sen x Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x) ( 3 ) dx y d x sen x ' = ' ( 3 ) [ sen x ] ( sen x ) d [x3 ] y = x d + y' = (x3 )[cos x]+ (sen x)[3x2 ] y' = x3 cos x + 3x2senx dx dx
  • 32. 32 Calcular la derivada y = (x sen x)3 ( ) dx y d x sen x 3 ' = ' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d [x3 ] dx y = x d + dx [ ] ( ) y' = 3 x sen x 3−1 d x sen x dx [ ] ( ) y' = 3 x sen x 2 d x sen x dx Aplicando derivada del producto [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ⎤ ⎥⎦ y' ⎡ = 3 x sen x 2 x d senx + senx ⎛ d x y' = 3[x sen x]2[(x)cos x + (senx)(1)] y' = 3[x sen x]2[x cos x + senx] Otra forma (aplicando la derivada interna) y = (x sen x)3 y = x3 (sen x)3 Aplicando la derivada del producto Primer termino = (x3) Segundo termino = (sen x)3 ⎢⎣ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ dx dx [ ( ) ] dx y d x 3 3 ' = senx ' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d [x3 ] dx y = x d + dx y' = (x3 )3(cos x)[sen x]3 -1 + (sen x)3 3 [x3 -1] La derivada interna de (sen x)3 es: cos x y' = 3 x3(cos x)[sen x]2 + (sen x)3 3 x2 y' = 3 x3(cos x)sen2 x + 3x2 sen3 x Factor común y' = 3 x2 sen2 x[x cosx + sen x] Calcular la derivada y = sen x y = sen x = (sen x )1 2
  • 33. 33 [( ) ] y' d sen x dx 1 2 = ( ) [( )] sen x d sen x 2 dx y'= 1 1 2−1 y'= 1 1 2−1 (sen x) *(1)cos x 2 y'= 1 −1 2 (sen x) (cos x) 2 y' 1 1 2 ( ) (cos x) 2 sen x = cos x y' cos x 1 2 = = ( ) 2 sen x 2 sen x y'= cos x 2 sen x Calcular la derivada y ln x 1 − = x x dx 1 d y' ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ = x − ( ) ( ) ( ) - ln x d x -1 x -1 d ln x ⎤ [ ] 1 dx dx ⎡ y' − 2 ⎤ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ = x ( ) ⎞ ⎡ d ( x ) [ ] [ ] 1 - ln x 1 dx x -1 1 x ⎛ y' − 2 ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎜⎝ = x x -1 1 ⎞ ⎛ ( ) [ ] 1 - ln x x ⎟⎠ ⎜⎝ y' − 2 [ ] 1 = x - ln x x -1 ⎞ ⎟⎠ [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) x(x -1) x -1- x ln x x -1 - x ln x x x -1 x -1 - x ln x x x -1 1 x ⎛ = y' = = = 2 2 2 2 − ⎜⎝ x x(x -1) y' = x -1- x ln x 2 Calcular la derivada y = tag (2x + 1)
  • 34. 34 [ ( )] y' d tag 2x +1 dx = y' = sec2 2x +1 d + y' = sec2 (2x +1)[2] y' = 2 sec2 (2x +1) Calcular la derivada ( ) [2x 1] dx y 1 cos x = sec x y = 1 = x ( ) dx cos y'= d sec x ( ) dx y'= sec x tag x d x y' = sec x tag x (1) y' = sec x tag x Otra forma (utilizando el cociente) y 1 cos x = d 1 cos x dx y' ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ = ( ) ( ) -1 d cos x cos x d 1 ⎡ ⎤ ( ) dx dx ⎡ y' cos x 2 ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ = [ ] [ ] ( ) − y' cos x 0 -1 sen x cos x 2 = [ ] sen x 1 ( x) ( ) * cos x cos x y' -1 sen x sen x cos 2 = = cos x cos x − = tag x sec x y'= tag x * 1 = cos x y' = sec x tag x Otra forma (utilizando el exponente) y 1 cos x = y = 1 = − (cos x) 1 x ( ) dx cos y' d cos −1 = x ( )( ) ( ) y'= -1 cos x -1-1 d cos x dx ( )( ) ( ) y'= -1 cos x -2 d cos x dx = x y' -1 2 ( ) ( ) dx d cos cos x y' -1 2 ( ) *(- sen x) cos x = y' sen x2 (cos x) = * 1 sen x y'= sen x = ( cos x )( cos x ) cos x cos x y' = tag x sec x Hallar la derivada de y = (x5) (esen x) Primer termino = (x5) Segundo termino = (esen x) [( ) ( )] 5 esenx = dx y' d x ' ( 5 ) [ ] ( e sen x ) d [x5 ] dx y = x d esenx + dx
  • 35. 35 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ e senx d senx y' = x5 esen x 5 x5-1 ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ + ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ dx ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ e senx x d x y' = x5 cos 5 esen x x 4 ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎤ + ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ dx ⎤ y' = x5 e senx cos x 1 5 esen x x 4 ( )( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ y' = x5 cos x esen x 5x 4 esen x ( ) ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ [ ] 5 x cos x sen x e 4 x ' y + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Calcular la derivada y = sen 1- 2x y = sen 1- 2x = sen (1- 2x)1 2 x 1 2 d 1- 2 dx y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = sen dx 1 2 ⎡ d 1 2 x 1 2 y' cos 1- 2 ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎜⎝ ⎛ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = x ⎛ ⎟⎠ ⎞ ( ) d x 1 2 y' cos 1- 2x 1 1 2 1 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜⎝ ⎛ − = − − dx x ⎟⎠ y' = cos 1- 2x ⎛ 1 (1 − 2 x ) − 1 2 − 2 x ln 2 ⎞ 2 ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ( )( 2 ln 2) ⎛ y' cos 1- 2x 1 = − x 2 1- 2x ⎞ ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ - 2x ln 2 2( 1- 2x ) y' cos 1- 2x ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜⎝ ⎛ = ⎛ - 2x ln2 cos 1- 2x 2 1- 2x y' ⎞ ⎟ ⎟⎠ ⎜ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ =
  • 36. 36 Calcular la derivada y = cos x y = cos x = cos (x)1 2 d cos x 1 2 ( ) dx y' ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = ⎟⎠ y' = - sen ( x ) 1 2 ⎛ 1 ⎞ (x) 1 2−1 2 ⎜⎝ y' ⎟⎠ = - sen x ⎛ 1 ⎞ (x) -1 2 2 ⎜⎝ 1 1 ⎛ ⎞ y' - sen x 2 x ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ y' = - sen x 2 x Calcular la derivada y = (x) (sen x)3 Primer termino = (x) Segundo termino = (sen x)3 [( )( ) ] dx y d x 3 ' = senx ( ) [( sen x ) ] ( sen x ) d [x] dx y' = x d 3 + 3 dx ( )( ) [(x) ] (sen x) [1] y' = x cos x 3 d 3 + 3 dx y' = (x)(cos x)3[(3)(x)3−1]+ (sen x)3 y' = (x)(cos x)3[(3)(x)2 ]+ (sen x)3 y' = 3 (x)(x)2 (cos x)3 + (sen x)3 y' = 3 x3 (cos x)3 + (sen x)3 Calcular la derivada y = ln [sen (x2 + 5)]
  • 37. 37 [ ( ( ))] y d ln 5 dx 2 ' + = sen x y 1 ( ) ( ( )) ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ + ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + = d sen x 5 dx sen x 5 2 2 ' ⎤ ⎡ − ⎟⎠ ⎞ = cos x2 5 2 x 2 1 ( )( ) ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ sen x2 5 ⎜⎝ ⎛ + y' 1 ⎤ = cos x2 5 2 x ( )( )⎥⎦ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ sen x2 5 ⎜⎝ ⎛ + y' 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ 2x cos x 2 5 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎜⎝ ⎛ + = sen x 2 5 y' ( 2 ) ( 5) y ' 2x cos x 5 2 + + = sen x y' = (2x)cot (x2 + 5) Calcular la derivada y ln 1 + x2 1 − x 2 = d ln 1 + x 2 1 2 dx y' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − = x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 ⎛ − d x 1 2 ⎜ ⎜ ⎝ + y' 1 1 + x2 = x dx 1- x2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1 2 ⎛ − d x 1 2 ⎜ ⎜ ⎝ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = x dx 1 x2
  • 38. 38 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ d 1- x 2 ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 1- x dx - 1 x 2 1 x2 1- x 2 1 x2 dx d 1- x2 2 x 2-1 - 1 x2 2 x 2 1 + ⎟⎠ ⎞ ( )( ) ( )( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 1- x 1 x2 1- x2 2 x - 1 x2 2 x + ⎟⎠ ⎞ ( )( ) ( )( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 1- x 1 x2 1- x2 2 - 1 x2 2 + ⎟⎠ ⎞ ( ) ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 1- x 1 x2 x x 1- x2 2 1 x2 2 + + ⎟⎠ ⎞ ( ) ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ 1- x2 y' ⎛ + ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 1- x 1 x2 x x ⎤ 3 3 2x - 2x 2x 2x ( ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ + y' 1- x ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 2 2 1- x 1 x ⎤ 4x ( ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ + y' 1- x ⎜ ⎜ ⎝ = 2 2 2 2 1- x 1 x 4x - 4x3 y' 2 2 1 x2 1 x ⎟⎠ ⎞ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + = Calcular la derivada y = e1 x d e1 x dx y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = d 1 x ⎛ dx y' e1 x ⎟⎠⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ =
  • 39. 39 d 1 dx y' e1 x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = x ( )( ) 1 - 1 - x 1 - x 1 e y' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = y'= (e1 x )(-1)(x)-2 1 x y' - e 2 x = LA REGLA DE LA CADENA Si y = f(u) es función derivable de u y u = g(x) es función derivable de x entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx d = ’ [f (g(x))] f '(g(x))g'(x) dx Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (x2 + 1)3 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx Se halla primero dy du 3 x 2 1 d du dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + ( ) 3 1 3 x 2 1 dy − du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + ( ) 2 3 x 2 1 dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 1)
  • 40. 40 y = (x2 + 1)3 = (u)3 2x2-1 d x2 1 du = dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 2 x2-1 du = dx du = 2 x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx 2 3 x 2 1 ( ) (2x) dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + (6x) 2 x 2 1 dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113. Problema # 25 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (2x + 1)2 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx Se halla primero dy du dy = d + (2 x 1)2 du du dy = + − (2)(2 x 1)2 1 du dy = + (2)(2 x 1) du Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2 x + 1) y = (2 x + 1)2 = (u)2
  • 41. 41 ( ) 2x1-1 dx d 2 x 1 du = dx + = 2 x0 du = dx du = 2 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy = + (2)(2x 1 )(2) dx dy = + 4 (2 x 1 ) dx Problema 10.8 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 93 Derivar s = (t2 – 3)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t) s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t) s’ = (t2 – 3)3 (8t) Problema 10.30 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (1 – 5x)6 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5) y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5) y ’ = (1 – 5x)5 (- 30) Problema 10.31 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3x – x3 + 1)4 Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 ) y ’ = (3x – x3 + 1)4 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 ) Factor común 3 y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 ) y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 ) Problema 10.32 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97 Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝= ⎛ du dx dy du dy dx
  • 42. 42 Se halla primero dy du 1 2 3 4 x - x 2 d du dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + 1 1 dy − 2 3 4 x - x 2 1 2 du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ 1 2 dy − 3 4 x - x 2 1 2 du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ 1 2 1 2 2 3 4x - x dy du ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3 + 4x – x2 ) y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2 d 3 4 x - x2 du ⎟⎠ ⎞ dx dx ⎜⎝ ⎛ + = 4x1-1 - 2 x 2-1 du = dx 4x 0 - 2 x1 du = dx 4 - 2 x du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx (4 - 2x ) 1 2 1 2 2 3 4x - x dy dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + =
  • 43. 43 ( ) 2 2 - x (2) 3 4x - x 2 1 2 4 - 2x 2 1 2 2 3 4x - x dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) 2 - x 2 1 2 3 4x - x dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces ⎞ n u x n-1 du = ⎛ ( ) [ ] ⎟⎠ ⎜⎝ dx dy dx O lo que es lo mismo d = ⎥⎦ ⎤ u n n [u]n-1 u' dx ⎢⎣ ⎡ Sección 3.5 Ejemplo # 4 calculo Larson Edic 5 Pág. 140 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x) = (3x – 2x2)3 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx Se halla primero dy du 2 3 3x - 2x d du dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ( ) 2 3 1 3 3x - 2x dy − du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ( ) 2 2 3 3x - 2x dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3x – 2x2) y = (3x – 2x2)3 = (u)3
  • 44. 44 3 x1-1 - 2 (2)x 2-1 d 3x - 2x 2 du = dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = 3 - 4 x du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx 2 2 3 3x - 2x ( ) (3 - 4x) dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = (9 -12x) 2 2 3x - 2x dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Sección 3.5 Ejemplo # 6 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 3 2 2 2 x y ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + 2 3 2 2 x y ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx Se halla primero dy du 2 3 x 2 2 d du dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + 2 3 1 dy − x 2 2 2 3 du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ 1 3 dy − x 2 2 2 3 du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ 2 3 3 x 2 2 1 3 2 3 x 2 2 dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = Después se halla du dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x2 + 2)
  • 45. 45 y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3 du = + 2 x 2-1 0 d x 2 2 dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 2 x du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx (2x) 2 3 3 x 2 2 dy dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ + = 4 x 3 3 x 2 2 dy dx + = Sección 3.5 Ejemplo # 7 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. ( ) g t = - 7 (2t - 3)2 g(t) = (-7) (2t – 3)- 2 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero: du dy = d − − ( 7)(2t - 3) 2 du du dy = − − (- 7)(- 2)(2t - 3 ) 2 1 du dy = − (14)(2t - 3 ) 3 du 14 (2t - 3)3 dy = du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2t - 3)
  • 46. 46 y = (2t - 3)-2 = (u)-2 ( ) 2 t1-1 - 0 dx du = d 2t - 3 = dx 2 du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx 14 ( ) (2) 2t - 3 3 dy dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ = ⎢ ⎢ ⎣ 28 (2t - 3)3 dy = dx Sección 3.5 Ejemplo # 8 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x)= x 2 1- x 2 ( ) 2 1 2 x - 1 2 x x f ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Primer termino = (x2) Segundo termino = 2 1 2 x - 1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ 1- x2 1 2 d f ' x x 2 d = x2 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ dx 2 1 2 1- x dx La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x) La derivada de (x2) es (2x) ( ) ( ) ( ) 1 2 -1 1 2 - 2x 1- x 2 1- x 2 [2x] f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞ 2 ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ 2 1 2 1- x 2 -1 2 - 2x 1- x f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞ ⎞ = ⎛ ( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x) ( ) ( ) ( ) [2x] 2 ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎜⎝ x 2 2 x x ' f ⎟⎠ 2 1- x2 ⎞ + ⎛ ⎜⎝ − = x 2 x x ' f ⎟⎠ ( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x) 1- x2 ⎞ + ⎛ ⎜⎝ − =
  • 47. 47 ( ) ⎛ ⎞ + ⎛ - x3 1- x2 ( 2x ) 1- x2 1- x2 f ' x ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎜⎝ = ( ) - x3 1- x2 2x ( ) 1- x2 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = f ' ( x ) - x3 + 2x - 2x3 1- x2 = 3x3 f ' ( x ) - 2x = 2x - 3x3 1- x2 + 1- x2 = ( ) x 2 - 3x2 ( ) 1- x2 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. ( ) f x x 3 x2 + 4 = En este caso se utiliza la derivada del producto f ( x ) ( ) x2 − 1 3 x 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = + Primer termino = (x) Segundo termino = 1 3 x2 4 − ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + -1 3 d f ' x x d ⎟⎠ ⎞ ( ) ( ) [ x] dx x2 4 -1 3 x2 4 dx + + ⎥⎦ ⎤ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎡ = + La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1) ( ) ( ) ( ) -1 3 [1] f ' x x 1 ⎟⎠ ⎞ x2 4 -1 3 -1 2x x2 4 3 ⎜⎝ ⎛ + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛− ⎜⎝ ( ) ( ) -1 3 f ' x x - 2x ⎟⎠ ⎞ x2 4 - 4 3 x2 4 3 + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ ' ⎛ x2 ⎞ f x = - 2 ( ) -1 3 x2 4 - 4 3 x2 4 3 + + ⎥⎦ ⎤ ⎜⎝ ⎛ ⎢⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝
  • 48. 48 ⎛ f ' ( x ) - 2 x2 1 3 x2 4 4 3 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ⎛ f ' ( x ) - 2 x2 1 3 x2 4 3 4 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = f ' ( x ) 2 x2 1 3 x2 4 3 4 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + − = ( ) - 2x2 + 3x2 + 12 3 3 x2 4 ⎡ ⎟⎠ ⎞ 2 x2 3 x2 4 3 4 3 x2 4 f ' x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ ⎛ − + + = x2 f ' ( x ) 12 3 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = Sección 3.5 Ejemplo # 9 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. ( ) f x x 3 x2 + 4 = f ( x ) x 1 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = En este caso se utiliza la derivada del cociente ( ) ⎛ d x dx 1 3 x2 4 f ' x ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = ( ) ( ) ⎡ 1 3 2 1 3 d x ⎤ x2 4 dx 1 3 d x2 4 - x dx x2 4 y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎢ ⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎥⎦ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = La derivada interna de (x2 + 4) es (2x) La derivada de (x) es (1)
  • 49. 49 1 - x 1 [ ] ( ) ⎡ ⎟⎠ ⎞ 1 3 -1 d x2 4 1 3 2 ⎞ ⎛ x 2 4 dx x2 4 3 1 3 x2 4 y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 1 - x 1 ⎞ ⎛ [ ] ( ) [ ] 1 3 2 x2 4 2x 1 3 -1 x 2 4 3 1 3 x2 4 y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = [ ] 1 3 2 - x ⎞ ⎛ x2 4 2x -2 3 x2 4 3 1 3 x2 4 y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 2 x2 - ⎞ 1 3 2 ⎛ x2 4 -2 3 x2 4 3 1 3 x2 4 y' ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎡ ⎜⎝ ⎛ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = + ⎟⎠ ⎞ 2 3 x 2 4 2 3 3 x2 4 - 2x2 1 3 x2 4 2 3 ⎡ 3 x2 4 ⎛ 2 x2 - 2 3 x2 4 2 3 3 x2 4 1 3 x2 4 y' ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = Producto de extremos es igual al producto de medios 2 3 3 x2 12 - 2x2 x 2 4 2 3 3 x2 4 ⎡ ⎟⎠ ⎞ 3 x2 4 - 2x2 2 3 ⎛ + x2 4 2 3 3 x2 4 y' ⎟⎠ ⎞ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + + = ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎤ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ = = y' x2 12 4 3 x2 4 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = = Sección 3.5 Ejemplo # 10 calculo Larson Edic 5 Pág. 142 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 ⎞ ⎛ y 3x -1 ⎟ ⎟ x2 3 ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + =
  • 50. 50 En este caso se utiliza la derivada del cociente ( ) ⎛ d 3x -1 = + dx 2 x2 3 f ' x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ x2 + 3 Es necesario hallar la derivada interna de ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 3x -1 ⎛ 2 3x -1 ( ) 3x -1 + ⎟ ⎟ ⎠ x2 3 d dx x2 3 dy dx ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ + = 3x -1 + ⎟ ⎟ ⎠ x2 3 d dx 6x - 2 x2 3 dy dx ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ + = 3x -1 - 3x -1 d x2 3 d ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6x - 2 + = 2 x2 3 x2 3 dx dx x2 3 dy dx x2 3 3 - 3x -1 2x ( ) ( )( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6x - 2 + = 2 x2 3 x2 3 dy dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3x2 + 9 - 6x2 + 2x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6x - 2 + = 2 x2 3 x2 3 dy dx ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ - 3x2 + 9 + 2x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6x - 2 + = 2 x2 3 x2 3 dy dx ⎛ 2 3x -1 ( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ - 3x2 + 9 + 2x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ + = 2 x 2 3 x2 3 dy dx 2 3x -1 - 3x2 9 2x ( )( ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + = 3 x2 3 dy dx 2 3 x -1 - 3x2 9 2x ( )( ) 3 x2 3 dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ + + = Problema 10.37 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
  • 51. 51 ⎞ f x = x -1 ⎛ x2 − 2x + 2 Derivar ( ) ( ) ⎟⎠ ⎜⎝ Primer termino = (x – 1) Segundo termino = 1 2 2 2x - 2 x 2 2 2 x ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎞ + = ⎟ ⎟⎠ ⎛ ⎜ ⎜⎝ − x + ( ) ( ) [ ] [ x -1] f ' x x -1 d 2 1 2 2 ⎟⎠ x - 2x 2 x - 2x 2 d dx = + + ⎛ + dx ⎞ ⎜⎝ La derivada interna es (2x - 2) ( ) ( ) *(2x - 2)[x - 2x 2] x - 2x 2 [1] f ' x x -1 1 2 -1 2 2 ⎟⎠ = + + ⎛ + 2 ⎞ ⎜⎝ ( ) ( )( ) x - 2x 2 f x x -1 2 2 2 + ⎛ + ' ⎟⎠ 2 2 x - 2x 2 ⎞ ⎜⎝ + − = x ( ) − + + ⎛ + ( )( ) 2 2 x -1 2 2 2 x - 2x 2 x - 2x 2 2 x - 2x 2 f x 2 ' + ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ = x ( ) ( )( ) ( 2 ) x -1 2 − + f x 2 2 x - 2x + 2 2 2 x - 2x 2 ' + = x 2 2 f ( x ) 2x - 2x - 2x + 2 + 2x - 4x + 4 2 2 x - 2x 2 ' + = 2 f ( x ) 4x - 8x 6 2 + 2 x - 2x 2 ' + = 2 f ( x ) 2(2x - 4x 3) 2 + 2 x - 2x 2 ' + = f ' ( x ) 2 x2 - 4x + 3 x2 - 2 x + 2 = Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141 Descomposición de una función compuesta y = f(g(x)) u = g(x) Y = f(u) y 1 = u = x + 1 x + 1 y = 1 u y = sen 2x u = 2x y = sen u y = 3x2 − x +1 u = 3x2 –x + 1 y = u y = tg2 x u = tg x y = (u)2
  • 52. 52 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2 y = f(g(x)) u = g(x) y = f(u) y = (6x - 5)4 u = 6x -5 y = (u)4 y 1 = u = x + 1 x + 1 y = 1 u y = x2 −1 u = x2 - 1 y = u 2 y 3x ⎟⎠ u = ⎛ 3x y = ( u )2 ⎛ = ⎟⎠ 2 ⎞ ⎜⎝ ⎞ ⎜⎝ 2 y = (x2 - 3x + 4)6 u = (x2 - 3x + 4) y = (u)6 y = (5x - 2)3/2 u = (5x - 2) y = (u)3/2 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 7 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (2x - 7)3 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero: du d (2x - 7)3 du dy = du dy = − (3)(2x - 7 )3 1 du (3)(2x - 7)2 dy = du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (2x – 7) y = (2x – 7)3 = (u)3 ( ) 2 x - 0 dx du = d 2x - 7 = 1-1 dx 2 du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝⎛ ⎟⎠⎞ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx
  • 53. 53 dy = 2 (3)(2x - 7 ) (2) dx dy = 2 (2x - 7 ) (6) dx Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 8 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y = (3 x2 + 1)4 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero du (3x2 1)4 du dy = d + du (4)(3 x2 1 )4 1 dy − du = + (4)(3 x2 1)3 dy = + du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (3 x2 + 1) y = (3 x2 + 1)4 = (u)4 ( ) 2 (3) x 0 dx du d 3 x 1 2-1 dx 2 = + + = du = 6 x dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx (4)(3 x 1 ) (6x) dy = 2 + 3 (3 x 1 ) (24x) dx dx dy = 2 + 3 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 9 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
  • 54. 54 g (x) = 3 (9x - 4)4 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero du d 3 (9 x - 4)4 du dy = du dy = − (3)(4)(9 x - 4)4 1 du (12)(9 x - 4)3 dy = du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (9 x - 4) y = (9x - 4)4 = (u)4 ( ) 9 x - 0 dx du = d 9x - 4 = 1-1 dx du = 9 dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy = 3 (12)(9x - 4 ) (9) dx dy = 3 (9 x - 4 ) (108) dx Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 10 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (x) = 2 (x2 - 1)3 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero du 2 3 2 x -1 d = ⎛ du dy du ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝
  • 55. 55 ( )( ) 3 1 2 3 x 2 -1 dy − du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ( ) 2 6 x 2 -1 dy du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = ( x2 - 1) y = (x2 - 1)2 = (u)2 2 x 2-1 - 0 d x 2 -1 du = dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = 2x du = dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx 2 6 x 2 -1 ( ) (2 x) dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = (12 x) 2 x 2 -1 dy dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 11 Hallar la derivada y 1 x − 2 = d 1 x - 2 dx y' ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ = 1 - 1 d x 2 d ( ) ( ) ( ) ( ) (x - 2)2 x - 2 dx dx y' − = ( )( ) ( )( ) y' x 2 0 - 1 1 (x - 2)2 − = y' − 1 (x - 2)2 = Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
  • 56. 56 Problema # 12 Hallar la derivada s (t) 1 t 2 + 3t − 1 = ⎛ d 1 t 2 3t -1 = + dx s' ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ 1 - 1 d ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ + 2 t2 3t 1 d t2 3t -1 t2 3t -1 dx dx s' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ ⎜⎝ ⎛ + − = t2 3t 1 0 - 1 2 t 3 + ⎟⎠ ⎞ ( ) ( )( ) 2 t2 3t -1 s' ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + ⎜⎝ ⎛ + − = ( ) 2 s' - 2 t 3 t2 3t -1 ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ + + = Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 13 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. 2 ( ) ⎟⎠ f t = ⎛ 1 ⎞ t - 3 ⎜⎝ En este caso se utiliza la derivada del cociente ( ) d 1 dx 2 t - 3 f ' t ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ = ⎞ ⎜⎝⎛ 1 Es necesario hallar la derivada interna de ⎟⎠ t - 3 f ' t 2 1 ⎟⎠ ( ) = ( ) ⎛ ( ) 1 t - 3 d dx t - 3 ⎞ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ 1 f ' t 2 ⎟⎠ t - 3 d dx t - 3 ⎞ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ f ' ( t ) 2 1 - 1 d t - 3 d ( ) ( ) ( ) ( ) (t - 3)2 t - 3 dx dx t - 3 ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝
  • 57. 57 ( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1 )( 1 ) (t - 3)2 f ' t 2 t - 3 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ ( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1 ) (t - 3)2 f ' t 2 t - 3 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ ( ) - ( 1 ) (t - 3)2 f ' t 2 t - 3 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎛ f ' t 2 ⎟ ⎟ ( ) -1 (t - 3)2 t - 3 ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ f ' ( t ) = - 2 ( ) (t - 3)(t - 3)2 f ' t = - 2 (t - 3)3 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 14 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y - 4 (t + 2)2 = la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente) ⎡ d - 4 t 2 2 ( ) dx y ' ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ + = Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2) - 4 - - 4 d t 2 d ( ) ( ) ( ) ( ) ⎡ + ⎫ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ + + y' ⎥⎦ ( ) d (t 2) dx 2 2 t 2 t 2 2 dx dx ⎤ ⎢⎣ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + = t 2 0 - - 4 2 t 2 d + + ⎛ + ( )( ) ( )( )( ) ( ) [ ] ⎫ ⎪ ⎪ [1] t 2 4 t 2 dx y' ⎬ ⎪ ⎪ ⎭ ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ + ⎟⎠⎞ ⎜⎝ = ( )( ) [t 2]4 y' 8 t 2 1 ⎪⎭ ⎪⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ + + = ( ) (t 2)4 y' 8 t 2 + + = y' 8 (t + 2)3 =
  • 58. 58 Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 14 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. y - 4 = (t + 2)2 (Recomendable utilizar la regla del exponente) y = - 4 (t + 2) - 2 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero du dy = + − - 4 ( t 2) 2 d du du dy = + − − (- 4)(- 2)(t 2) 2 1 du dy = + − (8)(t 2) 3 du du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = ( t + 2) y = (t + 2) - 2 = (u) - 2 ( ) x1-1 0 dx d t 2 du = + dx + = ( ) 1 dx d t 2 du = dx + = Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy = + (8)(t 2 )- 3 (1) dx dy = + (8)(t 2 )- 3 dx 8 (t 2)3 dy dx + = Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 15 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
  • 59. 59 f ( x ) = 3 (x3 - 4) (Recomendable utilizar la regla del exponente) F (x) = 3 (x3 - 4) - 1 ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy Se halla primero du 1 dy d − 3 x3 - 4 du du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ( )( ) 1 1 3 -1 x3 - 4 dy − − du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = ( ) 2 - 3 x3 - 4 dy − du ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ = du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (x3 - 4) y = (x3 - 4) - 1 = (u) - 1 du = − (3) x3-1 0 d x3 4 dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = 3 x2 d x3 4 du = dx dx ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ − = Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx dy = + (8)(t 2 )- 3 (1) dx dy = + (8)(t 2 )- 3 dx 8 (t 2)3 dy dx + = Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 17 Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
  • 60. 60 ⎟⎠ f(x) = x2 (x - 2)4 (Recomendable utilizar la regla del producto) ( ) ⎛ ⎞ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ f ' x = ⎛ dy ⎜⎝ du dx du dy Se halla primero du f ' x d = x2 x - 2 4 du ⎜⎝ ⎛ ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ x - 2 4 x 2 4 d f ' x x2 d = x2 ⎜⎝ ⎛ ( ) ( ) + ( − ) ⎟⎠ ⎞ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎛ dx du f '(x)= x2 (4)(x − 2)4-1 + (x − 2)4 (2)(x)2−1 f '(x)= 4x 2 (x − 2)3 + (x − 2)4 (2)(x) f '(x)= 4x2 (x − 2)3 + (2x)(x − 2)4 Factor común 2x(x – 2)3 ( ) ( ) ( ) [ ] 2 x 2x 3 2 x 2x x ' f − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ( ) ( ) [ ] 2 - x 2x 3 2 x 2x x ' f + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − ( ) ( ) [ ] 2 - 3x 3 2 x 2x x ' f ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = − f '(x)= (2x)(x - 2)3 [3x - 2 ] Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143 Problema # 19 Hallar la derivada usando la regla de la cadena. f (t)= 1- t f (t)= 1- t = (1- t)1 2 (Recomendable utilizar la regla del exponente) ( ) ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝⎛ ⎞ ⎟⎠ f ' t = ⎛ dy ⎜⎝ du dx du dy Se halla primero du
  • 61. 61 = 1- t 1 2 du ( ) ( ) ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛ f ' t d ⎟⎠ f ' t = ⎛ 1 − − ( ) (1 - t) 1 2 1 2 ⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ f ' t = ⎛ 1 − ( ) (1 - t) 1 2 2 ⎞ ⎜⎝ ⎞ ⎛ = f ' t 1 ⎟ ⎟ ( ) 2 (1- t)1 2 ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ du Después se halla: dx (es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis) la función interior u = (1 - t) f (t)= (1- t)1 2 f (t)= (u)1 2 ( ) 1 dx du = d 1- t = − dx Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ du dx dy du dy dx 1 ( ) (-1) 2 1- t 1 2 dy = dx -1 2 (1- t)1 2 dy = dx -1 2 1- t dy = dx PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO Sección 3.7 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 153 Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas (fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es 120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.? si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio del radio es: cm seg dr = 30 dt
  • 62. 62 r = 120 cm. dA Calcular dt cuando el radio = 120 cm. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área de la onda circular con el radio. A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) dA = π 2 r d r ( ) d t dt Pero: dr = 30 cm dt seg r = 120 cm. Reemplazando dA = π 2 r d r ( ) d t dt cm2 2 120 30 dA = π ( ) ( )( ) seg dt cm2 7200 dA = π ( ) seg dt cm2 22619,46 seg dA = dt Sección 3.7 Ejemplo 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 154 Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio cuando este es de 2 cm. Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen cm3 4,5 min. dV = dt d r Calcular dt cuando el radio = 2 cm. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio. 3 cm3 r V = 4 π 3 min. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
  • 63. 63 dV = π 3 4 ( ) r2 d r dt 3 dt Cancelando términos semejantes. dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt d r Despejamos dt d r dt 1 dV = π dt 4 r2 cm3 4,5 dV = radio = 2 cm. Pero: dt min. Reemplazando 1 = π ( ) ( ) dt 4,5 d r ( ) dt 4 2 2 d r 4,5 = π 4 4 4,5 50,265 d r = dt 0,089 cm min d r = dt Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 5 El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando a) r = 6 cm b) r = 24 cm d r = 2 cm dt min A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 2 r d r dA = π ( ) d t dt Pero: 2 cm d r = dt min r = 6 cm Reemplazando
  • 64. 64 2 r d r dA = π ( ) d t dt cm2 2 6 2 dA = π ( ) ( )( ) min dt cm2 24 min dA = π dt b) r = 24 cm el área del circulo es: A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 2 r d r dA = π ( ) d t dt Pero: 2 cm d r = dt min r = 24 cm Reemplazando 2 r d r dA = π ( ) d t dt cm2 2 24 2 dA = π ( ) ( )( ) min dt cm2 96 min dA = π dt Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 5 El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando a) r = 6 cm. b) r = 24 cm. 2 cm d r = dt min el área de la esfera es: A = 4 π r2 (cm)2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 2 4 r d r dA = π ( ) d t dt
  • 65. 65 Pero: 2 cm d r = dt min r = 6 cm Reemplazando 2 4 r d r dA = π ( ) d t dt cm2 2 4 6 2 dA = π ( ) ( )( ) min dt cm2 96 min dA = π dt b) r = 24 cm. 2 cm d r = dt min el área de la esfera es: A = 4 π r2 (cm)2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 2 4 r d r dA = π ( ) d t dt Pero: 2 cm d r = dt min r = 24 cm Reemplazando 2 4 r d r dA = π ( ) d t dt cm2 2 4 24 2 dA = π ( ) ( )( ) min dt cm2 384 min dA = π dt Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 9 Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el radio es a) 1 pie b) 2 pies?
  • 66. 66 a) 1 pie pies3 20 min. dV = dt d r Calcular dt cuando el radio = 1 pie. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio. 3 pie3 r V = 4 π 3 min. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 3 4 dV = π ( ) r2 d r dt 3 dt Cancelando términos semejantes. dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt d r Despejamos dt d r dt 1 dV = π dt 4 r2 pies3 20 dV = radio = 1 pie. Pero: min. dt Reemplazando 1 = π ( ) 20 d r ( ) dt 4 1 2 Cancelando términos semejantes. 5 = d r π dt 5 pies seg d r dt π = b) 2 pies? pies3 20 min. dV = dt d r Calcular dt cuando el radio = 2 pie. Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio. 3 pie3 r V = 4 π 3 min. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
  • 67. 67 3 4 dV = π ( ) r2 d r dt 3 dt Cancelando términos semejantes. dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt d r Despejamos dt d r dt 1 dV = π dt 4 r2 pies3 20 dV = radio = 2 pie. Pero: min. dt Reemplazando 1 = π ( ) 20 d r ( ) dt 4 2 2 Cancelando términos semejantes. d r dt 5 = π 4 pies seg 5 4 d r dt π = Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 10 La formula para el volumen de un cono es: r2 h 3 V π = d v Hallar la razón de cambio del volumen dt 2 pulg. d r si = dt min y h = 3 r cuando: a) r = 6 pulg. b) r = 24 pulg. a) r = 6 pulg. El volumen del cono es: π V = r2 h 3 h = 3 r se reemplaza r2 h 3 V π = (r)2 (3 r) 3 V π = h = 3 r r
  • 68. 68 V 3 π (r)3 3 = Cancelando términos semejantes. V = π r3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 3 r2 d r d V = π ( ) dt dt 2 pulg. d r = r= 6 pulg. min dt d V = π (3) (6)2 (2) dt pulg3 216 min d V = π dt b) r = 24 pulg. El volumen del cono es: π V = r2 h 3 h = 3 r se reemplaza r2 h 3 V π = (r)2 (3 r) 3 V π = V 3 π (r)3 3 = Cancelando términos semejantes. V = π r3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h 3 r2 d r d V = π ( ) dt dt 2 pulg. d r = r= 6 pulg. min dt d V = π (3) (6)2 (2) dt pulg3 216 min d V = π dt
  • 69. 69 Sección 3.7 calculo Larson Edic 5 Pág. 158 Problema # 11 Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando su altura es 15 pies? pies3 10 min d V = dt h = 15 pies. El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono como el diámetro = 2 radio 2 radio = 3 altura del cono altura del cono = 1/3 * 2 radio h = 2 r 3 Despejamos el radio r = 3 h 2 Elevamos al cuadrado 2 h 2 ⎟⎠ r2 = ⎛ 3 ⎞ ⎜⎝ r2 = 9 el volumen del cono es: π = Pero: r2 h 3 V r2 = 9 h2 4 se reemplaza r2 h 3 V π = 9 h2 (h) 4 = ⎛ V ⎟⎠ 3 ⎞ ⎜⎝ π Cancelando términos semejantes. h3 V 3 π = 4 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d V π ( ) h2 d h 4 dt 3 3 dt = h = 15 pies r h2 4
  • 70. 70 Reduciendo términos semejantes. h2 d h 4 dt 9 d V π dt = d h Despejamos dt d V dt 4 9 h2 d h dt π = Pero: h = 15 pies. pies3 10 min d V = dt d V 4 9 h 2 ( ) dt d h dt π = 4 ( ) (10) 9 15 2 d h dt π = pies 8 8 40 40 = = = = ( ) ( 9 ) ( 225 ) ( 9 ) ( 45 ) 405 min. 9 15 2 d h dt π π π π pies min. 8 405 d h dt π = Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5 metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del liquido esta a 10 m de altura. Hallar: SEMEJANZA DE TRIANGULOS 20 m r A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros? m3 1 d V = dt min Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA) h = 20 metros r = 5 metros 10 m r 20 m 5 m 10 m 5 m
  • 71. 71 h = 4 r Despejando r r = h 4 Elevamos al cuadrado 2 ⎟⎠ r2 = ⎛ h ⎞ 4 ⎜⎝ r 2 h2 = 16 el volumen del cono es: π = Pero: r2 h 3 V 2 h2 r = 16 se reemplaza h h2 ⎞ ⎛ V ⎟ ⎟ 16 3 ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ = π π V = h3 48 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d V π ( ) h2 d h 48 dt 3 dt = Reduciendo términos semejantes. h2 d h dt d V π = dt 16 d h Despejamos dt d V h2 dt 16 d h dt π = Pero: h = 10 m. m3 1 min d V = dt d V h2 dt 16 d h dt π = 16 ( ) (1) 10 2 d h dt π =
  • 72. SEMEJANZA DE TRIANGULOS 72 0,05 m 16 16 16 d h = = = = ( ) ( 100 ) 314,15 min. 10 2 dt π π 0,05 m d h = dt min. El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min. h = 4 r Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 4 d r dt d h = dt d r Despejamos dt d r dt 1 = d h 4 dt 0,05 m d h = Pero: min. dt d h 4 dt 1 d r = dt 1 (0,05) 4 d r = dt 0,0125 m min d r = dt A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido? La superficie libre del líquido es: A = π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 2 r d r dA = π ( ) d t dt Pero: 0,0125 m d r = dt min Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA) 5 20 = 10 r Despejando 20 r = 50 r = 50 20 r = 5 metros 2 Reemplazando 5 m 20 m r 10 m
  • 73. 73 2 r d r dA = π ( ) d t dt m2 0,0125 2 5 ⎞ = π ⎛ ( ) ( ) min 2 dA dt ⎟⎠ ⎜⎝ m2 5 0,0125 dA = π ( )( ) min dt m2 5 0,0125 dA = π ( )( ) min dt m2 0,196 dA = dt min la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min. A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior? P = 2 π r 2 d r d t d P = π dt Pero: 0,0125 m min d r = dt Reemplazando 2 d r d t d P = π dt d P = π 2 (0,0125) dt 0,078 m d P = dt min El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min. A que velocidad aumenta el área mojada ? POR PITAGORAS L = h2 + r2 El área mojada por el liquido es: A = π r L A =π r h2 + r2 A ⎟⎠=π r ⎛ h 2 1 2 + r 2 ⎞ ⎜⎝ Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
  • 74. 74 ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎤ ⎥⎦ dA ⎡ 2 2 1 2 -1 2 2 1 2 π r 1 = ⎛ ⎢⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ h r 2h dh + ⎛ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ ⎜⎝ dt 2r dr dt dr 2 dt ( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎤ ⎥⎦ dA ⎡ π 2 2 -1 2 2 2 1 2 r 1 = ⎛ ⎢⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ h r 2h dh + ⎛ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎞ ⎜⎝ dt 2r dr dt dr 2 dt 2h dh 2 dA ⎞ 2 2 1 2 = ⎛ 2r dr ( ) ( ) ( ) ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎜⎝ + + ⎟⎠ ⎜⎝ dt h r dt dt r 1 dt 2 2 1 2 π + r dr h dh 2 ( ) ( ) ( ) ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ dA 2 2 1 2 r 1 = ⎛ ⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎜⎝ + ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ dt h r dt dt 2 dt 2 2 π h dh r dA 2 2 ( ) ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎜⎝ + + = dt r dr h r dt dt dt 2 2 π pero: L = h2 + r2 L2 = 102 + 2,52 L2 = 100 + 6,25 L2 = 106,25 L = 106,25 L= 10,3 metros h2 + r2 =10,3metros r = 2,5 metros h = 10 metros 0,05 m min. d h = dt 0,0125 m min d r = dt reemplazar h dh r dA 2 2 ( ) ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟⎠ h r dr + + ⎛ ⎜⎝ + + = dt r dr h r dt dt dt 2 2 π r = 2,5 m L 10 m
  • 75. 75 ( ) 2,5 dr 10 dh ( ) ( ) 10,3 dr + ⎛ ( ) ⎫ ⎪ ⎪⎭ ⎪ ⎪⎬ ⎧ ⎪ ⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ dA π ⎣ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ + = dt 10,3 dt dt 2,5 dt ( )( )( ) ( )( ) ( )( )⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎤ ⎥⎦ dA π ⎡ ⎢⎣ + + 2,5 10 0,05 2,5 0,0125 = 10,3 0,0125 10,3 dt ( )( ) ( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎤ ⎥⎦ dA π ⎡ ⎢⎣ + + 2,5 0,5 0,031 = 0,128 10,3 dt ( )( ) ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎤ ⎥⎦ dA π ⎡ 2,5 0,531 = + 0,128 ⎢⎣ 10,3 dt dA = π + { [(2,5)(0,051) (0,128) ]} dt dA = π + { [(0,128) (0,128) ]} dt dA = π { [(0,256) ]} dt dA 2 0,8 m min dt = El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min Problema 3.32 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg. Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros. Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del dV cm3 volumen = 4 dt seg. d r Calcular dt cuando el diámetro = 4 m. Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio. 3 cm3 r V = 4 π 3 min. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) dV = π 3 4 ( ) r2 d r dt 3 dt Cancelando términos semejantes. dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt d r Despejamos dt
  • 76. 76 d r dt dV 1 = π dt 4 r2 cm3 - 4 dV = radio = 200 cm. Pero: dt seg. Reemplazando 1 = ( ) - 4 d r ( ) dt 4 π 200 2 Cancelando términos semejantes. -1 = d r π ( 40000 ) dt -1 125663,706 d r = dt 7,95 x 10- 6 cm seg d r = dt Problema 3.71 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a razón de 3 cm /min. A que velocidad aumenta el volumen ? Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio 3 cm min. d r = dt d V Calcular dt cuando el radio = 10 cm. Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del globo con el radio. 3 cm3 r V = 4 π 3 min. Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) dV = π 3 4 ( ) r2 d r dt 3 dt Cancelando términos semejantes. dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt d r = 3 cm radio = 10 cm. Pero: dt min. Reemplazando dV = π 4 r2 d r ( ) dt dt
  • 77. dV = El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min. A que velocidad aumenta la superficie? Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo con el radio. La superficie de la esfera es: A = 4 π r2 Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t) 77 cm3 4 10 2 3 dV = π ( ) ( ) ( ) min dt dV = π (4) (10)2 (3) dt dV = π (4) (100)(3) dt cm3 1200 dV = π ( ) min dt cm3 3769,91 min dt dA = π 2 4 r d r ( )( ) d t dt dA = π 8 r d r ( ) d t dt Pero: d r = 3 cm dt min. cuando el radio = 10 cm. Reemplazando dA = π 8 r d r ( ) d t dt cm2 8 10 3 dA = π ( ) ( )( ) min dt cm2 240 dA = π ( ) seg dt cm2 753,98 seg dA = dt La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.
  • 78. Sección 3.7 Ejemplo 5 calculo Larson Edic 5 Pág. 156 Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura. h = 1,5 metros radio del cono = altura del cono r = h 78 m3 2 min d V = dt el volumen del cono es: π V = r2 h 3 radio del cono = altura del cono r = h r2 = h2 se reemplaza r2 h 3 V π = (h)2 (h) 3 V π = (h)3 3 V π = Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h d V π h 2 d h 3 ( ) ( ) dt 3 dt = Cancelando términos semejantes. h2 d h dt d V =π dt d h Despejamos dt d V h2 dt 1 d h dt π = radio del cono = altura del cono = 1,5 metros m3 2 min d V = dt 1 ( ) (2) 1,5 2 d h dt π = h r
  • 79. 79 0,2829 metros d h = 2 = 2 = ( 2,25 ) 7,068 min. dt π Problema 3.21 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera parte del diámetro de la base. Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5 dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento en que alcanza el nivel del orificio. dm3 720 min d V = dt h = 5 dm. altura del cono = 1/3 del diámetro de la base como el diámetro = 2 radio altura del cono = 1/3 * 2 radio h = 2 r 3 Despejamos el radio r = 3 h 2 Elevamos al cuadrado 2 h 2 r2 3 ⎟⎠ ⎞ = ⎛ h2 4 ⎜⎝ r2 = 9 el volumen del cono es: π = Pero: r2 h 3 V r2 = 9 h2 4 se reemplaza r2 h 3 V π = 9 h2 (h) 4 = ⎛ V ⎟⎠ 3 ⎞ ⎜⎝ π Cancelando términos semejantes. h3 V 3 π = 4 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h h = 5 dm. r
  • 80. 80 d V π ( ) h2 d h 4 dt 3 3 dt = Reduciendo términos semejantes. d V π h2 d h 4 dt 9 dt = d h Despejamos dt d V dt 4 9 h2 d h dt π = h = 5 dm. dm3 720 min d V = dt d V 4 9 h 2 ( ) dt d h dt π = 4 ( ) (720) 9 5 2 d h dt π = 4,07 dm d h = 2880 = 2880 = 2880 = ( ) ( 9 ) ( 25 ) 706,85 min. 9 5 2 dt π π De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando tiene 4 dm. De altura? dm3 16 seg d V = dt h = 4 dm. altura del cono = 1/4 del diámetro de la base como el diámetro = 2 radio altura del cono = 1/4 * 2 radio h = 1 r 2 Despejamos el radio r = 2 h Elevamos al cuadrado r2 = (2 h)2 r2 = 4 h2 el volumen del cono es: h = 4 dm. r
  • 81. 81 π = Pero: r2 = 4 h2 r2 h 3 V se reemplaza r2 h 3 V π = 4 h2 (h) V ⎟⎠ ⎞ 3 ⎜⎝ ⎛ = π h3 V 4 π = 3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d V π ( ) h2 d h 3 dt 3 4 dt = Reduciendo términos semejantes. d V = π 4 h2 d h dt dt d h Despejamos dt d V dt 1 4 h2 d h dt π = h = 4 dm. dm3 16 seg d V = dt d V dt 1 4 h2 d h dt π = 1 ( ) (16) 9 4 2 d h dt π = 0,035 dm d h = 16 = 16 = 1 = 1 = ( ) ( 9 ) ( 16 ) ( 9 ) 28,27 seg. 9 4 2 dt π π π Problema 3.145 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora. el cual va formando una pila cónica. El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo constante con la horizontal de 600. Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de 1,2 metros?
  • 82. 82 El volumen de aceite contenido en el cono Para un radio ( r) y una altura ( h) es: π V = r2 h 3 Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion Entre la altura ( h) y elredio ( r) es: μ = tag 600 = h r 3 = h r r = h 3 r = ( h 2 )2 3 2 r 2 = h 3 se reemplaza r2 h 3 V π = (h) h 3 = ⎛ 3 V 2 ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ π V 3 π h 9 = Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d V π 2 ( ) h d h 9 dt 3 dt = Reduciendo términos semejantes. d V π 2 h d h dt = dt 3 d h Despejamos dt d V dt 3 h d h dt π 2 = h = 1,2 m = 120 cm. d V 3 2800 cm hora dt = Ө = 600 h = 1,2 m r
  • 83. 83 3 ( ) (2800) 120 d h dt π 2 = 8400 8400 d h = = ( ) 45238,934 14400 dt π 0,1856 cm hora d h = dt μ = tag 600 = h r μ = 3 = h r h = 3 r Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 3 d r dt d h = dt d r Despejar dt d h 3 dt 1 d r = dt Pero: 0,1856 cm hora d h = dt 1 (0,1856) 3 d r = dt d r = 0,1071 cm dt hora La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del liquido esta a 10 metros de altura Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. A que velocidad aumenta el área mojada? A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt? el volumen del liquido es: r2 h 3 V π = ecuación 1
  • 84. 84 Por semejanza de triángulos 5 20 = h r 20 r = 5 h 4 r = h Despejando el radio (r) r = h 4 h 16 r h 4 2 2 ⎞ = ⎛ 2 = ⎟⎠ ⎜⎝ r h 2 2 = Ecuación 2 16 Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1. r2 h 3 V π = h h 16 3 V 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ = π h V h 2 48 =π V 3 π h 48 = Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d V π 2 ( ) h d h 48 dt 3 dt = Reduciendo términos semejantes. d V π 2 h d h dt = dt 16 d h Despejamos dt dv dt 16 h d h dt π 2 = d v 3 1 m Cuando h= 10 metros dt min = 16 ( ) (1) 10 d h dt π 2 = r 5 m h = 20 m h = 20 m. 5 m
  • 85. 85 16 314,15 d h = 16 = 100 dt π 0,05 m min d h = dt A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido? La superficie libre del líquido es: A = π r2 2 h 2 Pero: r = 16 A h 2 16 =π = ⎛ ( ) h dh dt 16 2 d A dt ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ π h dh dt d A = ⎛ dt 8 ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ π 0,05 m d h = Cuando h = 10 metros dt min (10)(0,05) d A = ⎛ dt 8 ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ π 1,5707 8 d A dt ⎞ ⎟⎠ = ⎛ ⎜⎝ d A 2 0,196 m min dt = A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior. p = 2 π r r = h pero; 4 p = 2 π h 4 p = π h 2 dh dt dp π = dt 2 0,05 m d h = Pero dt min
  • 86. 86 (0,05) dp π = dt 2 0,078 m min dp = dt A que velocidad aumenta el área mojada? r = h 4 r = 10 4 r = 2,5 metros l2 = r2 + h2 l = r2 +h2 l2 = 2,52 + 102 l2 = 6,252 + 100 l2 = 106,25 l = 106,25 l = 10,3 cm. A = π r l r2 + h2 Pero: l = A =π (r) r2 +h2 r = h Pero: 4 r h 2 16 2 = h2 ⎞ + ⎛ A h h2 4 16 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎠ =π ⎛ ⎜⎝ A h 4 17 h2 16 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎠ =π ⎛ ⎜⎝ ⎛ A h ( ⎟ ⎟ h ) 17 4 4 ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟⎠ =π ⎛ ⎜⎝ h2 A 17 ⎟⎠ ⎞ 16 ⎜⎝ ⎛ = π Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) r h = 10 m l
  • 87. 87 h dh dA ( ) π ( ) 17 dt 16 2 dt = h dh dA π ( ) 17 dt = dt 8 Pero h = 10 metros d h m Pero = 0,05 dt min dA π 17 (10) (0,05) = dt 8 (0,05) 129,53 8 dA = dt 16,191(0,05) dA = dt m2 0,8095 seg. dA = dt Problema 3.67 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө. Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo mitad Ө es de 300. Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son: sen θ = r 4 r = 4 sen Ө r2 = (4 sen Ө)2 r2 = 16 sen2 Ө (ecuación 1) cosθ = h 4 h = 4 cos Ө (ecuación 2) El volumen del cono es: Reemplazar: r2 h 3 V π = π = (16 sen )(4 cos ) 3 V 2 θ θ (sen )(cos ) π V 64 2 θ θ = 3 Derivada de un producto 2Ө l = 4 m. h r
  • 88. 88 [( )( )( )( ) ( )( )] dt dV 2 θ 2 sen cos cos - sen sen d 64 3 dt θ θ θ θ θ π = + ( )( )( ) ( ) dt dV 2 2 θ 2 sen cos - 64 sen sen d 3 64 3 dt θ θ π θ θ π ⎤ ⎥⎦ = ⎡ ⎢⎣ dV 2 3 θ ( )( ) sen d 3 dt sen cos - 64 128 3 dt θ π θ θ π ⎤ ⎥⎦ = ⎡ ⎢⎣ Pero Ө = 300 2 grados seg d θ = dt 2π rad 3600 X 20 0,0349065 rad. dV π 2 π 3 θ ( )( ) sen 30 d 3 dt sen 30 cos30 - 64 128 3 dt ⎤ ⎥⎦ = ⎡ ⎢⎣ (0,0349065) 2 dV 1 3 2 - 64 π π 3 3 2 1 2 128 = ⎛ 3 dt ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎞ ⎟⎠ ⎛ ⎜⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎜⎝ ( ) 1 (0,0349065) 8 - 64 = ⎛ 3 128 3 24 dV dt ⎤ ⎥⎦ ⎡ ⎢⎣ ⎞ ⎟⎠ ⎜⎝ π π (0,0349065) - 64 24 384 24 dV dt ⎤ ⎥⎦ = ⎡ ⎢⎣ π π (0,0349065) 320 24 dV dt ⎤ ⎥⎦ = ⎡ ⎢⎣ π 41,887 (0,0349065) dV = dt dV 3 1,46 m seg dt = Problema 3.109 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca) Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80 cm y su altura es 1,4 metros. Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a : 0,08 h m 3 min Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura del liquido sea de 50 cm?
  • 89. 89 El volumen de aceite contenido en el cono Para un radio ( r) y una altura ( h) es: r2 h 3 V π = Por semejanza de triángulos r = h 0,8 1,4 1,4 r = 0,8 h r = 0,8 h 1,4 r = 0,571428 h r 2 = (0,571428 h)2 r 2 = 0,3265 h2 reemplazando r2 h 3 V π = (0,3265 h )h 3 V 2 π = V = 0,3419 h3 derivamos dV = 2 0,3419 ( 3 ) h dh dt dt dV = 2 1,0257 h dh dt dt Pero h = 0,5 metros 0,08 h dV = dt 0,08 0,5 dV = dt 0,08 (0,7071) dV = dt dV 3 0,056 m min dt = dV = 2 1,0257 h dh dt dt 0,056 =1,0257 ( 0,5 ) 2 dh dt h = 1,4 m. .80 m r 0,80 m h = 1,4 m h
  • 90. 90 0,2184 m dh = 0,056 = 0,056 = ( ) 0,2564 min 1,0257 0,25 dt Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de 0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el ángulo entre los lados es de π/3. 0,06 rad seg d θ = dt π 1800 π/3. x ( ) 600 180 x = 3 = π π sen θ = h 5 Despejamos la altura del triangulo h = 5 sen Ө ecuación 1 El área del triangulo es: A = 1 (base )(altura) 2 A = 1 (4 )(h) 2 A = 1 θ (4 )(5 sen ) 2 Reduciendo términos semejantes. A = 10 sen Ө Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d A θ 10 cos d dt dt = θ Pero: Ө = 600 0,06 rad seg d θ = dt d A θ 10 cos d dt dt = θ 10 cos 60 (0,06) d A = dt 0,6 cos 60 d A = dt 5 m h 4 m Ө
  • 91. 91 0,6 (0,5) d A = dt m2 0,3 seg d A = dt h = 5 sen Ө ecuación 1 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) d h θ 5 cos d dt dt = θ Pero: Ө = 600 0,06 rad seg d θ = dt d h θ 5 cos d dt dt = θ 5 cos 60 (0,06) d h = dt 0,3 cos 60 d h = dt 0,3 (0,5) d h = dt 0,15 m seg d h = dt Problema 27 calculo Larson Edic 8 Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la tercera base esta corriendo a 28 pies/seg. A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción? Por Pitágoras S2 = X2 + 902 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 2x d x dt 2S d S = dt S d S = Despejamos x d x dt dt x d x S dt d S = dt Por Pitágoras S2 = X2 + 902 3 BASE 2 BASE X = 30 pies S 90 pies 90 pies 1 BASE
  • 92. 92 Pero X = 30 metros S2 = X2 + 902 S2 = 302 + 902 S2 = 900 + 8100 S2 = 9000 S = 9000 S = 94,868 pies 28 pies seg d x = dt x d x S dt d S = dt (28) 30 94,868 d S = dt 8,85 pies seg d S = dt Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160 Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la base de la farola 5 pies seg d x = dt A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? d y = dt A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? y – x es la longitud de la sombra Por semejanza de triángulos 6 y - x 15 = y 15 (y – x) = 6 y 15 y – 15x) = 6 y 15 y – 6 y = 15x 9 y = 15x Despejamos y y = 15 (x) 9 y = 5 (x) 3 Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 6 pies 15 pies x y - x y
  • 93. 93 d x 3 dt 5 d y = dt Pero: 5 pies seg d x = dt 5 (5) 3 d y = dt pies 3 seg 25 d y = dt A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra? y – x es la longitud de la sombra ( ) - d x dt d y dt d y - x = dt Pero: pies 3 seg 25 d y = dt d x = 5 pies dt seg ( ) 25 - 5 3 d y - x = dt ( ) pies 3 seg 10 d y - x = 25 - 15 = dt 3 3 ( ) pies 3 seg 10 d y - x = dt Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces: Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a 9 metros? d y Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra? = dt Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 1,8 metros de largo? 0,6 m seg d x = dt A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? y – x es la longitud de la sombra Por semejanza de triángulos 1,8 y - x 9 = y 9 (y – x) = 1,8 y Ө 1,8 m 9 m x y - x y
  • 94. 94 9 y – 9x) = 1,8 y 9 y – 1,8 y = 9 x 7,2 y = 9 x Despejamos y y = 9 (x) 7,2 y =1,25 (x) Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t) 1,25 d x dt d y = dt Pero: 0,6 m seg d x = dt 1,25 (0,6) d y = dt 0,75 m seg d y = dt Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su sombra mide 1,8 metros de largo? La longitud de la sombra es: ver grafica y – x = 1,8 metros tgθ = opuesto adyacente tgθ = 1,8 y - x y - x = 1,8 tgθ y - x =1,8 (tgθ )−1 tgθ = opuesto adyacente tgθ = 1,8 = 1 1,8 tg Ө = 1 Ө = arc tg 1 Ө = 450 Se( d y deriv)a implícitamente con respecto al tiempo (t) - x ( ) θ -1 sec2 d dt dt = θ Ө 1,8 m y - x
  • 95. 95 ( ) ( ) d y θ -1 sec2 d dt - d x dt dt = θ Pero; 0,6 m seg d x = dt 0,75 m seg d y = dt 0,75 - 0,6 ( -1 )( sec ) 2 d θ dt = θ ( )( ) 0,15 -1 sec 2 d θ dt = θ dθ DESPEJAMOS dt d dt - 0,15 sec2 θ θ = Pero Ө = 450 - 0,15 d ( ) dt sec 45 2 θ = - 0,15 ( cos 45 ) 2 d θ dt = - 0,15 (0,7071)2 d θ = dt - 0,15 ( 0,5 ) rad seg d θ = dt 0,075 rad seg d θ = dt A que velocidad se mueve el extremo de su sombra? y – x es la longitud de la sombra ( ) - d x dt d y dt d y - x = dt Pero: 0,75 pies seg d y = dt 0,6 m d x = dt seg ( ) 0,75 - 0,6 dt d y - x = ( ) 0,15 m seg d y - x = dt
  • 96. Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5. Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S es 10 millas. Cual es la velocidad del avión? 96 S = 10 millas 6 millas - 400 millas hora dS = dt x dx S = 10 millas. dt Por el teorema de Pitágoras S2 = X2 + 62 102 = X2 + 62 100 = X2 + 36 100 - 36 = X2 X2 = 64 X = 8 millas S2 = X2 + 62 Derivando implícitamente con respecto a x 2 x dx dt 2 s dS = dt x dx dt s dS = dt dx dt dS x s = dt reemplazando ( - 400 ) dx 8 dt 10 = - 500 millas hora dx = dt Luego la velocidad es de 500 millas hora Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)