Problemas resueltos-derivadas

1
Problemas resueltos de derivadas
Derivada de una constante
Derivada de las potencias
Derivada del producto de una función por una constante
Derivada de la suma
Derivada del producto
Derivada del cociente
Segunda derivada y derivadas de orden superior
Derivadas de las funciones trigonométricas
• Derivada del seno
La regla de la cadena
Problemas de razones de cambio
Problemas de aplicación de máximos y mínimos
Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
0H0H0H0H0H0Hquintere@hotmail.com
1H1H1H1H1H1H1H1Hquintere@gmail.com
2H2H2H2H2H2H2H2Hquintere2006@yahoo.com

2
DERIVADA DE UNA CONSTANTE
Si c es una constante y si f(x) = c, entonces
f’ (x) = 0
Calcular la derivada. Calculo Leythold edic 7 Pág. 123
f(x) = 5
f’ (x) = 0
DERIVADA DE LAS POTENCIAS
La regla de las potencias para enteros negativos es la misma que para los positivos
Si n es un entero negativo y x ≠ 0
d = ⎟⎠
xn n xn-1
dx
⎞
⎛
⎜⎝
f(x) = x8
d (x8 ) =
8 x8-1
dx
f ' (x)= 8 x7
f(x) = x
d (x) =
x1-1
dx
f ' (x)= x0
f’ (x) = 1
Derivada del producto de una función por una constante
Si f es una función, c es una constante y g es la función definida por
g (x) = c f(x)
y si f ’existe, entonces
g’ (x) = c f ’ (x)
f(x) = 5 x7
d ( 5 x 7 ) =
5 d
(x)7
dx
dx

3
f ' (x)= 5 (7) x7-1
f ' (x)= 35 x6
DERIVADA DE LA SUMA
Si f y g son funciones y si h es la función definida por
h(x) = f(x) + g(x)
y si f’ (x) y g’ (x) existen, entonces
h’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
f(x) = 7 x4 – 2 x3 + 8 x + 5
( ) ( ) ( ) ( x ) d
(5)
dx
8 d
dx
d 3
x - 2 d x
dx
7 x - 2 x 8 x 5 7 d
dx
dx
4 3 + + = 4 + +
f ' (x)= 7 (4)(x)4-1 - 2 (3)(x)3-1 + 8 (1)(x)1-1 + 0
f ' (x)= 28 (x)3 - 6 (x)2 + 8 (x)0 + 0
f ' (x)= 28 x3 - 6 x 2 + 8
Calcular la derivada
y = 3 x -4 + 3 x 4
( - 4 ) d ( 3x
4
)
dx
y' d 3x
= +
dx
y’= (3) (-4) x -4 -1 + (3) (4) x 4 -1
y’= -12x -5 + 12x 3
ordenando
y'=12x3 - 12
5 x
DERIVADA DEL PRODUCTO
Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda más la segunda por la
derivada de la primera.
Si u y v son diferenciables en x, su producto (u v) también lo es,
( )
d uv = u dv
+
v du
d
dx
dx
La derivada del producto (u v) es u por la derivada de v mas v por la derivada de u.

4
En notación prima, (u v)
’ = u v
’ + v u
’
Hallar la derivada de h(x) = (2x3 – 4x2) (3x5 + x2)
Primer termino = (2x3 – 4x2)
Segundo termino = (3x5 + x2)
[( 3 2 )( 5 + 2
)]
( ) h ' x d 2 x - 4x 3 x x
dx
=
' ( 3 2 ) [ 5 2 ] ( 5 2 ) [2 x3 4 x2 ]
h (x) = 2 x - 4 x d 3 x + x + 3 x + x d
−
dx
dx
h' (x) = (2 x3 - 4 x 2 )[3 (5) x5-1 + 2 x 2-1]+ (3 x5 + x2 )[2 (3) x3-1 - 4 (2) x 2-1]
⎥⎦ ⎤
h'(x) = 2x3 - 4x2 15 x4 2 x 3x5 x2 6 x2 - 8 x
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ + ⎥⎦ ⎤
+ ⎟⎠ ⎞
⎢⎣ ⎡
⎜⎝ ⎛
Resolviendo el polinomio
h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4 x4 - 8 x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3
h' (x) = 30 x7 - 60 x6 + 4x4 - 8x3 +18 x7 + 6 x4 - 24 x6 - 8 x3
Reduciendo términos semejantes
h'(x) = 48 x7 - 84 x6 +10x4 -16x3
Ejemplo # 1 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 131
Hallar la derivada de f(x) = (3 x – 2 x2) (5 + 4 x)
Primer termino = (3 x – 2 x2)
Segundo termino = (5 + 4 x)
[( 2 )( )]
( ) + x
f ' x d 3 x - 2 x 5 4
dx
=
' ( 2 ) [ ] ( ) [3 2 x2 ]
f (x) = 3 x - 2 x d 5 + 4 x + 5 + 4 x d
x −
dx
dx
f ' (x) = (3 x - 2 x2 )[ 4]+ (5 + 4 x)[3 - 2 * 2 x2-1]
f ' (x) = (3x - 2x2 )[ 4]+ (5 + 4x)[3 - 2* 2x1]
f ' (x) = [12 x - 8 x 2 ]+ (5 + 4 x)[3 - 4 x]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 +12 x - 20 x -16 x2 )

5
f ' (x) = [12 x - 8 x2 ]+ (15 - 8 x -16 x 2 )
f ' (x) = 12x - 8x2 +15 - 8x -16x2
f ' (x) = 4 x - 24 x2 +15
Ordenando
f ' (x) = - 24 x2 + 4 x +15
Ejemplo # 2 sección 3.4 calculo Larson Edic 5 Pág. 132
Hallar la derivada de y = (1 + x - 1) (x - 1)
Primer termino = (1 + x - 1)
Segundo termino = (x - 1)
[( + -1 )( ( ) = x
−
)]
f ' x d 1 x 1
dx
' ( -1) [ ] ( ) [1 x-1]
f (x) = 1+ x d x − 1 + x -1 d
+
dx
dx
' ( -1) [x 1] (x -1)[1 x-1-1]
f (x) = 1+ x d − + +
dx
f ' (x) = 1+ x-1 1 x -1 -1 x- 2
[ ] ( ) ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
f ' (x) = (1+ x-1)+ (x -1)[- x- 2 ]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = (1+ x-1)+ [-1 x-1 + x- 2 ]
f ' (x) =1+ x-1 - x-1 + x-2
f ' (x) =1 + x-2
x 1
2
2
f (x) 1 1
2
'
x
x
+
= + =
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 pag. 136.
Problema 4
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – 2x + 1) (x3 - 1)
Primer termino = (x2 – 2x + 1)
Segundo termino = (x3 - 1)
[( 2 + )( 3 )]
( ) −
= x
( ) [ ] ( ) [ x - 2 x 1]
f ' x d x - 2 x 1 1
dx
f ' (x) = x 2 - 2 x +1 d x 3 − 1 + x 3 − 1 d
2 +
dx
dx

6
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)[(2) x 2-1 - 2 x1-1 +1]
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[(3) x3-1 ]+ (x3 −1)(2)[ x1 - 2 x0 ]
f ' (x) = (x 2 - 2 x +1)[3x2 ]+ (x3 −1)[ 2 x - 2]
f ' (x) = (3 x4 - 6 x3 + 3 x2 ) + [2 x 4 - 2 x - 2 x3 + 2]
f ' (x) = 3x4 - 6x3 + 3x2 + 2x4 - 2x - 2x3 + 2
f ' (x) = 5 x4 - 8 x3 + 3 x 2 - 2 x + 2
Problema 5
Hallar la derivada de f(x) = (x3 – 3 x) (2 x2 + 3 x + 5)
Primer termino = (x3 – 3 x)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 5)
[( 3 )( 2 )]
( ) + +
= x x
( ) [ ] ( ) [ x - 3 x]
f ' x d x - 3x 2 3 5
dx
2 x 3 x 5 2 x 3 x 5 d
f ' (x) = x3 - 3 x d 2 + + + 2 + + 3
dx
dx
f ' (x) = (x3 - 3 x )[(2) x2-1 + 3 x1-1 ]+ (2 x2 + 3 x + 5)[(3) x3-1 - 3 x1-1]
f ' (x) = (x3 - 3 x )[4 x + 3]+ (2 x2 + 3 x + 5)[3 x2 - 3]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [4 x 4 -12 x2 + 3 x3 - 9 x]+ (6 x 4 + 9 x3 +15 x 2 - 6 x 2 - 9 x -15)
f ' (x) = 4x4 -12x2 + 3x3 - 9x + 6x4 + 9x3 +15x2 − 6x2 - 9x -15
f ' (x) =10 x4 +12 x3 − 3 x2 -18 x -15
Problema 6
Hallar la derivada de f(x) = (x – 1) (x2 – 3 x + 2)
Primer termino = (x – 1)
Segundo termino = (2 x2 + 3 x + 2)

7
[( )( 2 )]
( ) + +
= x x
( ) [ ] ( ) [ x -1]
f ' x d x -1 2 3 2
dx
f ' (x) = x -1 d 2 − + + 2 − +
x 3 x 2 x 3 x 2 d
dx
dx
f ' (x) = (x -1 )[(2) x2-1 − 3 x1-1]+ (x2 − 3 x + 2)[ x -1]
f ' (x) = (x -1 )[2 x − 3]+ (x2 − 3 x + 2) [1]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = [2x2 − 2x - 3x + 3]+ (x2 − 3x + 2)
Reduciendo términos semejantes f ' (x) = [2x2 − 5 x + 3]+ (x 2 − 3 x + 2)
f ' (x) = 2x2 - 5x + 3 + x2 - 3x + 2
f ' ⎟⎠
⎟ (x) = 3 x2 - 8 x + 5
Sección 3.4 Calculo LARSON edic 5 Pág. 136.
Problema 7
⎛
⎞
Hallar la derivada de f(x) ( x 3 x ) 1
⎜ ⎜⎝
= −
2
5
x
Primer termino = (x5 – 3 x)
Segundo termino = ⎟ ⎟⎠
⎞
⎛
x2
⎜ ⎜⎝
1
( )
( )
⎡
⎛
d x - 3 x 1
⎞
5 ⎥⎦
dx
f ' x
2
⎤
⎢⎣
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= x
( ) ⎞
[ x - 3x]
⎛
+ ⎥⎦
⎡
f (x) x - 3 x d d
5
=
dx
( ) [ ] [ x - 3 x]
1
x
1
x
dx
2 2
' 5
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
⎤
⎢⎣
⎞
⎛
f (x) x - 3 x d d
5
dx
x 1
x
dx
2
' 5 - 2
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= +
⎞
⎛
+ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡
d
f ' (x) x5 - 3x - 2 x- 2-1 1
= x5 - 3x
( ) ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
dx
x2
( )( )[ ] ⎛
[( ) 5-1 1-1 ]
f (x) x - 3 x - 2 x 1 ⎟ ⎟⎠
' 5 - 2-1 5 x - 3 x
2
x
⎞
⎜ ⎜⎝
= +
( )[ ] ⎛
⎞
[5 x - 3]
f (x) x - 3 x - 2x 1 4
x
2
' 5 - 3
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
= +

8
( ) ⎞
[5 x - 3]
⎛
+ ⎥⎦
⎡
f (x) x - 3 x - 2 1
4
x
x
3 2
' 5
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
⎤
⎢⎣
=
⎛
+
⎤
⎡ +
=
f (x) - 2 x 6 x 2
5 x - 3
x
x
4
3
5
'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
5 5
⎡ + +
=
f (x) - 2x 6x 5x - 3x 3
x
'
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
5
⎡ +
=
f (x) 3 x 3 x 3
x
'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
f (x) 3 x 3 3
3 x
x
x
5
' = +
f (x) 3 x 32
x
' = 2 +
Problema 14
Hallar la derivada de f(x) = 3 x ( x + 3)
f(x) = 6 x2 * x3 + 3 3 x
f(x) = 6 x5 + 33 x
1
3
5
6
f(x) = x + 3 x
Se convierte en una suma
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
5
f (x) d 3
⎢ ⎢
x d
= 3 x
⎣
+
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
dx
dx
1
6
'
- 2
3
- 1 ' *3 x
x 6
1
6
3
f (x) = 5 +
- 2
3
-1
f (x) = 5 +
' x 6
x
6
1
2
3
f (x) = 5 +
1
6
'
x
6x

9
Problema 16
Hallar la derivada de h(x) = (x2 – 1)2
h(x) = (x2 – 1) (x2 – 1)
Primer termino = (x2 – 1)
Segundo termino = (x2 – 1)
[( 2 )( 2 )]
( ) −
= x
( ) [ ] ( ) [ x -1]
h ' x d x - 1 1
dx
h' (x) = x2 -1 d x 2 − 1 + x 2 − 1 d
2
dx
dx
[ ] [ ] 2x 1 2 x 2x 1 - 2 x x) ( ' h ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
− + ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
h' (x) = 2 (x 2 -1) [2 x]
h' (x) = (x2 -1)[4 x]
Problema 17
Hallar la derivada de h(s) = (s3 – 2)2
h(s) = (s3 – 2) (s3 – 2)
Primer termino = (s3 – 2)
Segundo termino = (s3 – 2)
[( 3 )( 3 )]
( ) −
= s
( ) [ ] ( ) [s - 2]
h ' s d s - 2 2
dx
h' (s) = s3 - 2 d s 3 − 2 + s 3 − 2 d
3
dx
dx
h' (s) = (s3 - 2)[3s2 ]+ (s3 − 2)[3s2 ]
h' (s) = 2 (s3 - 2)[3s2 ]
h' (s) = (s3 - 2)[6 s2 ]

= x x x
( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) (x x 1)
f ' (x) = x2 +1 x2 + x +1 d 2 − + 2 − 2 + + 2 + + 2 2 + 2 + +
10
Problema 20
Hallar la derivada de f(x) = (x2 – x) (x2 + 1) (x2 + x + 1)
Primer termino = (x2 – x)
Segundo termino = (x2 + 1)
Tercer termino = (x2 + x + 1)
( ) [( 2 )( 2 + )( 2 + +
)]
f ' x d x - x 1 1
dx
x 1 x - x x 1 d
dx
x x x x x x 1 d
dx
dx
[ ] [ ] ( ) 1 2x 1 2 x x - 2 x 2x 1 x 2 x x 2 x 1 2x 1 x 2 x 1 2 x x) ( ' f + ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ + ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
− + − ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ + ⎟⎠ ⎞
⎝ ⎛
= +
⎜
f ' (x) = (x4 + x2 + x3 + x + x2 +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (x4 + 2x2 + x3 + x +1)[2x −1 ]+ (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 4x3 + 2x4 + 2x2 + 2x - x4 - 2x2 - x3 - x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x2 − x)(x2 + x +1)[ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (x4 − x3 + x3 - x2 + x2 - x) [ 2x]+ (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x2 - x)(x2 +1)(2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (x4 - x3 + x2 - x) (2x +1)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - 2x4 + 2x3 - 2x2 + x4 - x3 + x2 - x)
f ' (x) = (2x5 + 3x3 + x4 + x -1) + (2x5 - 2x2 ) + (2x5 - x4 + x3 - x2 - x)
f ' (x) = 2x5 + 3x3 + x4 + x -1 + 2x5 - 2x2 + 2x5 - x4 + x3 - x2 - x
f ' (x) = 6 x5 + 4 x3 - 3 x 2 -1

11
Problema 21
Hallar la derivada de f(x) = (3x3 + 4x) (x - 5) (x + 1)
Primer termino = (3x3 + 4x)
Segundo termino = (x - 5)
Tercer termino = (x + 1)
[( 3 + )( ( ) − )( = x x
+
)]
f ' x d 3 x 4 x 5 1
dx
( )( ) [ ] ( )( ) [ ] ( )( ) ( x 1)
f ' (x) = x - 5 x +1 d 3 + + 3 + + x - 5 + 3x 3 + 4x x - 5 d
+
dx
3x 4x 3x 4x x 1 d
dx
dx
f ' (x) = (x - 5 )(x +1)[9 x 2 + 4 ]+ (3 x3 + 4 x)(x +1)[1]+ (3 x3 + 4 x)(x - 5)(1)
f ' (x) = (x2 - 5x + x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4 x)(x +1) + (3 x3 + 4 x)(x - 5)
f ' (x) = (x2 - 4x - 5 )[9x2 + 4 ]+ (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5)
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 45x2 + 4x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5)
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 ) + (3x3 + 4x)(x +1) + (3x3 + 4x)(x - 5)
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x3 + 4x)(x - 5)
f ' (x) = (9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 )+ (3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x) + (3x4 + 4x2 -15x3 - 20x)
f ' (x) = 9x4 - 36x3 - 41x2 -16x - 20 + 3x4 + 4x2 + 3x3 + 4x + 3x4 + 4x2 -15x3 - 20x
f ' (x) =15x4 - 48x3 - 33x2 - 32x - 20
Problema 10.35 Calculo diferencial e integral (Schaum) Pág. 97
Derivar y = (2x2 )( 2 - x )
Primer termino = (2x2 )
Segundo termino = ( 2 - x )
( ) [( )( )]
y ' x d 2 2 - x
dx
x2 =
' ( 2 ) [ ] ( ) [2x2 ]
y = 2x d − + −
2 x 2 x d
dx
dx
' ( 2 ) [ ]1 2 ( ) [2x2 ]
y = 2x d − + −
2 x 2 x d
dx
dx
La derivada interna es (-1)

12
( ) *(-1)*[2 x] ( 2 x )[ 4x]
y' = 2x2 1 − -1 2 + −
2
Cancelando términos semejantes y' = (- x2 )[2 − x]-1 2 + ( 2 − x )[ 4x]
y - x 1 2
( )
( 2 x )[ 4x]
2 - x
2
' = + −
[ ]
y - x 2 - x 4x 2 x 1 2
(2 - x)
2
' + −
=
( )[ ]
(2 - x)
2
y ' +
=
- x 2 - x 4x 1 2
8x - 5x
2 2
y - x 8x - 4x
' =
( ) 2 - x
2 - x
2
1 2
+
=
⎟⎠
Derivar f ( x ) = ( x ) ⎛ 3 - 2x2
⎞
⎜⎝
⎟⎠
Primer termino = x
Segundo termino = ⎛ 3 - 2x2
⎞
⎜⎝
( )
⎛
( )
⎡
d 3 - 2x
dx
f ' x
2
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎞
⎟⎠
⎜⎝
=
x
⎛
⎡
f ' x x d ⎟ ⎟⎠
3 2x2 3 2x2 d
( ) ( ) [ x]
dx
= −
dx
⎞
− + ⎥⎦
⎜ ⎜⎝
⎤
⎢⎣
⎛
f ' x x d ⎟ ⎟⎠
3 2x2 d
( ) ( ) [ x]
dx
2 1 2 3 2x
dx
⎞
− + ⎥⎦ ⎤
⎜ ⎜⎝
⎢⎣ ⎡
= −
La derivada interna es (- 4x)
( ) ( ) ( ) 2 ⎞
3 2x d
[ x]
dx
2 -1 2 * - 4x 3 2x
2
⎛
f ' x x 1 + − ⎟⎠
⎟ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎤ ⎡
⎜ ⎜⎝
= −
⎟⎠
f ' ( - 1 2 x ) = - 2x 2 [ 3 − 2 x 2 ] + ⎛ 3 −
2x 2 ⎞
⎜⎝
f ( x ) = - 2x + ⎛ 3 −
2x
2
3 - 2x
2
2
⎞
' ⎟⎠
⎜⎝

13
( )
⎛ − ⎟⎠
+ ⎛
2 2 2
- 2 x 3 - 2x 3 2x
3 2x
f x
2
'
−
⎞
⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎜⎝
=
2 ( 2
)
( ) f x - 2 x +
3 - 2x
3 2x
2
'
−
=
2 2
+
f ( x )
- 2 x 3 - 2x
3 2x
2
'
−
=
f ( x )
3 - 4x
2
3 2x
2
'
−
=
Ejemplo # 6 Leythold.
Hallar la derivada de hx) = (2x 3 – 4x2) (3x5 + x2)
Primer termino = (2x 3 – 4x2)
Segundo ( termino = (3x5 + x2) ' 3 2 ) [ 3x 5 2 ] ( 3x 5 x 2 ) d
[2x3 - 4x2 ]
h (x) = 2x - 4x d + x + +
dx
dx
h' (x) = (2x3 - 4x2 )[15x4 + 2x]+ (3x5 + x2 )[6x2 - 8x]
Resolviendo [el polinomio h' (x) = 30x7 - 60x6 + 4x4 - 8x3 ]+ [18x7 + 6x4 - 24x6 - 8x3 ]
h' (x) = 30x7 +18x7 - 60x6 - 24 x6 + 4x4 + 6x4 - 8x3 - 8x3
h' (x) = 48x7 - 84 x6 +10x4 -16x3
Ejercicio 2.4 Calculo Leythold
Problema #19
Hallar la derivada de f(s) = 3 (s3 - s2 )
f(s) = 3 (s3 - s2 )= 3s3 − 3s2
f '(s) = 3 3s2 − 2 3s
f '(s) = 3 * s(3s − 2)
Problema #20
Hallar la derivada de g(x) = (2x2 + 5) (4x – 1)
Primer termino = (2x2 + 5)

14
Segundo termino = (4x – 1)
g' ( x ) = ( 2x2 + 5 ) d [ 4 x − 1 ] + ( 4 x − 1 ) d
[2x 2 +
5]
dx
dx
g' (x)= (2x2 + 5)[4]+ (4x −1)[ 4x]
g' (x)= 8x2 + 20 +16x2 − 4x
g' (x)= 24x2 + 20 − 4x
Problema #21
Hallar la derivada de f(x) = (2x4 - 1) (5x3 + 6x)
Primer termino = (2x4 - 1)
Segundo termino = (5x3 + 6x)
f ' ( x ) = ( 2x4 −1 ) d [ 5 x3 + 6 x ] + ( 5 x3 + 6 x ) d
[2x 4
-1]
dx
dx
f ' (x)= (2x4 −1)[15x2 + 6]+ (5x3 + 6x)[8x3 ]
f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + (40x6 + 48x4 )
f ' (x)= 30x6 −15x2 +12x4 − 6 + 40x6 + 48x4
f ' (x)= 76x6 −15x2 + 60x4 − 6
Problema #22
Hallar la derivada de f(x) = (4x2 + 3)2
f(x) = (4x2 + 3) * (4x2 + 3)
Primer termino = (4x2 + 3)
Segundo termino = (4x2 + 3)
( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d
[4x 3]
f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 +
dx
dx
f ' (x) = (4x2 + 3 )[8x]+ (4x2 + 3)[ 8x]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x]

15
f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x]
f ' (x) = 64x3 + 48x
Problema # 23
Hallar la derivada de G(y) = (7 – 3y3)2
G(y) = (7 – 3y3) * (7 – 3y3)
Primer termino = (7 – 3y3)
Segundo termino = (7 – 3y3)
( ) [ 4x 3 ] ( 4x 3 ) d
[4x 3]
f ' (x) = 4x2 + 3 d 2 + + 2 + 2 +
()[dx
dx
f ' (x) = 4x2 + 3 8x]+ (4x2 + 3)[ 8x]
Resolviendo el polinomio f ' (x) = 2 * (4x2 + 3 )[8x]
Reduciendo términos semejantes f ' (x) = (4x2 + 3 )[16x]
f ' (x) = 64x3 + 48x
Problema #24
Hallar la derivada de F(t) = (t3 – 2t + 1) (2t2 + 3t)
Primer termino = (t3 – 2t + 1)
Segundo termino = (2t2 + 3t)
( ) [ 2t 3t ] ( 2t 3t ) d
[ t 2 1]
F' (t) = t3 − 2t +1 d 2 + + 2 + 3 − t +
dx
dx
F' (t) = (t3 − 2t +1 )[4t + 3]+ (2t 2 + 3t)[3t 2 − 2]
Resolviendo el polinomio F' (t) = [4t4 - 8t2 + 4t + 3t3 - 6t + 3]+ [6t 4 + 9t3 - 4t2 - 6t]
F' (t) = 4t 4 − 8t 2 + 4t + 3t3 - 6t + 3 + 6t 4 + 9t3 - 4t 2 - 6t
F' (t) = 10t 4 −12t2 - 8t +12t3 + 3
Ejemplo Calculo Purcell pag 111.

16
Hallar la derivada de F(x) = (3x2 - 5) (2x4 - x)
Primer termino = (3x2 - 5)
Segundo termino = (2x4 - x)
( ) [ 2x - x ] ( 2x - x ) d
[3x 5]
F' (x) = 3x2 − 5 d 4 + 4 2 −
dx
dx
F' (x) = (3x2 − 5 )[8x3 -1]+ (2x4 - x)[ 6x]
F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2
F' (x) = 24x5 - 40x3 - 3x2 + 5 +12x5 − 6x2
F' (x) = 36x5 - 40x3 - 9x2 + 5
Sección 2.3 Calculo Purcell Pág. 113.
Problema # 23
Hallar la derivada de f(x) = (x) (x2 + 1)
Primer termino = (x)
( ) [ x 1 ] ( x 1 ) d
[ x]
dx
f ' (x) = x d 2 + + 2 +
dx
f ' (x) = (x)[2x]+ (x2 +1)[1]
f ' (x) = 2x2 + x2 +1
f ' (x) = 2x2 + x2 +1
f ' (x) = 3x2 +1
Problema # 24
Hallar la derivada de y = (3x) (x3 - 1)
Primer termino = (3x)
Segundo termino = (x3 - 1)
( ) [ x -1 ] ( x -1 ) d
[ 3x]
dx
y' = 3x d 3 + 3
dx

17
y' = (3x)[3x2 ]+ (x3 -1)[ 3]
y' = 9x3 + 3x3 − 3
y' = 9x3 + 3x3 − 3
y' =12x3 − 3
Problema # 26
Hallar la derivada de y = (- 3x + 2)2
y = (- 3x + 2) (- 3x + 2)
Primer termino = (- 3x + 2)
Segundo termino = (- 3x + 2)
- 3x 2 - 3x 2 d
y' = - 3x + 2 d + + + +
y' = (- 3x + 2)[- 3]+ (- 3x + 2)[ - 3]
y' = 2 (- 3x + 2)[- 3]
y' = (- 3x + 2)[- 6]
y' = 18x -12
( ) [ ] ( ) [ - 3x 2]
dx
dx
Problema # 27
Hallar la derivada de y = (x2 + 2) (x3 + 1)
Primer termino = (x2 + 2)
[( 2 + )( 3 ( ) +
)]
= x
( ) [ ] ( ) [ x 2]
y ' x d x 2 1
dx
x 1 x 1 d
y' = x2 + 2 d 3 + + 3 + 2 +
(2)[dx
dx
y' = x2 + 3x2 ]+ (x3 +1)[ 2x]
y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x
y' = 3x4 + 6x2 + 2x4 + 2x

18
y' = 5x4 + 6x2 + 2x
Problema # 28
Hallar la derivada de y = (x4 - 1) (x2 + 1)
Primer termino = (x4 - 1)
[( 4 )( 2 )]
( ) +
= x
( ) [ ] ( ) [ x 1]
y ' x d x - 1 1
dx
x 1 x 1 d
y' = x4 −1 d 2 + + 2 + 4 −
(1)[dx
dx
y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ]
Resolviendo (1)[el polinomio y' = x4 −2x +1]+ (x2 +1)[4x3 ]
y' = 2x5 - 2x + 4x5 + 4x3
y' = 6x5 - 2x + 4x3
Problema # 29
Hallar la derivada de y = (x2 + 17) (x3 – 3x + 1)
Primer termino = (x2 + 17)
Segundo termino = (x3 – 3x + 1)
[( 2 + )( 3 ( ) − +
)]
= x x
( ) [ ] ( ) [ x 17]
h ' x d x 17 3 1
dx
x 3x 1 x - 3x 1 d
y' = x2 +17 d 3 − + + 3 + 2 +
(17)[dx
dx
y' = x2 +3x2 − 3]+ (x3 - 3x +1)[ 2x]
y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x
y' = 3x4 + 51x2 - 3x2 - 51+ 2x4 − 6x2 + 2x
y' = 5x4 + 42x2 - 3x2 - 51 + 2x
Problema # 30
Hallar la derivada de y = (x4 + 2x) (x3 +2x2 + 1)
Primer termino = (x4 + 2x)

19
Segundo termino = (x3 +2x2 + 1)
( ) [ x 2x 1 ] ( x 2x 1 ) d
[ x 2x]
y' = x4 + 2x d 3 + 2 + + 3 + 2 + 4 +
(2x)[dx
dx
y' = x4 + 3x2 + 4x]+ (x3 + 2x2 +1)[4x3 + 2]
y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2
y' = 3x6 + 6x3 + 4x5 + 8x2 + 4x6 + 8x5 + 4x3 + 2x3 + 4x2 + 2
y' = 7x6 +12x3 +12x5 +12x2 + 2
Problema # 31
Hallar la derivada de y = (5x2 -7) (3x2 -2x + 1)
Primer termino = (5x2 -7)
Segundo termino = (3x2 -2x + 1)
( ) [ 3x - 2x 1 ] ( 3x 2x 1 ) d
[5x 7]
y' = 5x2 - 7 d 2 + + 2 − + 2 −
(7)[dx
dx
y' = 5x2 - 6x - 2]+ (3x2 − 2x +1)[10x]
y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x
y' = 30x3 - 42x -10x2 +14 + 30x3 - 20x2 +10x
y' = 60x3 - 32x - 30x2 +14
Problema # 32
Hallar la derivada de y = (3x2 +2x) (x4 - 3x + 1)
Primer termino = (3x2 +2x)
Segundo termino = (x4 - 3x + 1)
( ) [ x - 3x 1 ] ( x 3x 1 ) d
[3x 2x]
y' = 3x2 + 2x d 4 + + 4 − + 2 +
(2x)[dx
dx
y' = 3x2 + 4x3 - 3]+ (x4 − 3x +1)[ 6x + 2]
y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2

20
y' =12x5 + 8x4 - 9x2 - 6x + 6x5 -18x2 + 6x + 2x4 - 6x + 2
y' =18x5 +10x4 - 27x2 - 6x + 2
Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 13
Hallar la derivada de y = (3 - x2) (x3 - x + 1)
Primer termino = (3 - x2)
Segundo termino = (x3 - x + 1)
' ( 2 ) [ x 3 - x 1 ] ( x 3 x 1 ) d
[3 - x2 ]
y = 3 - x d + + − +
y' = (3 - x2 )[3x2 -1]+ (x3 − x +1)[ - 2x]
y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x
y' = 9x2 - 3x4 - 3 + x2 − 2x4 + 2x2 - 2x
y' =12x2 - 5x4 - 3 - 2x
dx
dx
Sección 3.2 Calculo Thomas.
Problema # 14
Hallar la derivada de y = (x - 1) (x2 + x + 1)
Primer termino = (x - 1)
Segundo termino = (x2 + x + 1)
( ) [ x x 1 ] ( x x 1 ) d
[ x -1]
y' = x -1 d 2 + + + 2 + +
y' = (x -1 )[2x +1]+ (x2 + x +1)[1]
y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1
y' = 2x2 - 2x + x -1 + x2 + x +1
y' = 3x2
Hallar la derivada de y = (x3 - 1) (x3 + 1)
Primer termino = (x3 - 1)
( ) [( )( )]
dx
dx
3 3 +
= x
y ' x d x - 1 1
dx

21
( ) [ ] ( ) [ x -1]
y' = x3 -1 d x 3 + 1 + x 3 + 1 d
3
()[dx
dx
y' = x3 -1 3 x3-1 ]+ (x3 +1)[3 x3-1] y' = (x3 -1 )[3 x2 ]+ (x3 +1)[3 x2 ]
y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2
y' = 3 x5 - 3 x2 + 3 x5 + 3 x2
y' = 6 x5
DERIVADA DEL COCIENTE
Si u y v son diferenciables en x y v(x) ≠ 0, entonces el cociente u/v es diferenciable en x, y
- u dv
dx
(v)
dx
v du
u
v
d
dx
2
⎞
= ⎟⎠
⎛
⎜⎝
Ejercicio 2. 2 Calculo Thomas-Finney Edic 9 Pág. 129
Problema 17
Hallar la derivada (aplicando cocientes)
+
y 2x 5
3x - 2
=
+
d ⎛ 2x 5
3 x - 2
dx
y'
⎞
⎟⎠
⎜⎝
=
( ) ( ) ( ) ( )
- 2x 5 d 3x - 2
⎡ +
3x - 2 d 2x 5
+ ⎡ ⎥⎦
(3x - 2)2
dx
dx
y'
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎤
⎢⎣
=
( )[ ] ( )[ ]
y' 3x - 2 2 - 2x 5 3 2
(3x - 2)
+
=
Cancelando términos semejantes
y' 6x - 4 - 6x _ 15 2
(3x - 2)
=
y' -19 2
(3x - 2)
=
Problema 18
+
y 2x 1 2
x -1
=

22
⎛ +
d 2x 1
x -1
dx
y'
⎞
2 ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
⎡ ⎟⎠ ⎞
( ) ( )
2
⎡ +
x2 -1 d 2x 1
⎤
x2 -1
d x2 -1
dx
- 2x 1
dx
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
+ ⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
x2 -1 2 - 2x 1 2 x 2 1
[ ] ( + )[ ]( )
⎟⎠ ⎞
− 2
x2 -1
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
=
( 2 )[ ] ( +
)[ ]( )
y' x -1 2 - 2x 1 2 x 2 2
(x -1)
=
2 +
( )( )
(x -1)
y' =
2x - 2 - 2x 1 2x 2 2
y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x
2
x2 -1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
y' 2x2 - 2 - 4x2 - 2x
2
x2 -1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
y' - 2x2 - 2 - 2x
2
x2 -1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
- 2 x2 x 1
2
x2 -1
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
+ +
=
Problema 19
( )
g x x2 - 4
x +
0,5
=
( )
⎛
d x - 4
x 0,5
dx
g' x
2
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
+
=
( )
⎡
d ( x 2
) ( ) - 4
⎤
x 0,5 - ( x 2
- 4 ) ⎡ d ( x +
0,5
)
(x 0,5)
dx
dx
g' x 2
+
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
+
=

23
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]
2-1 2
+
g' x x 0,5 2 x - x - 4 1 2
(x 0,5)
+
=
( ) ( )[ ]( ) ( )
g' x x 0,5 2 x - x - 4
(x 0,5)
2
2
+
+
=
( + )( )
x2 +
g ( x ) ' x 0,5 2x - 4
(x +
0,5)2
=
( )
2x2 + g' x x - x2 +
4
(x +
0,5)2
=
x2 + +
g' ( x )
x 4
(x +
0,5)2
=
Problema 20
( )
f t t2 -1
t2 +
t - 2
=
( )
d t2 -1
t2 t - 2
dx
f ' t
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
+
=
( )
2
⎡ ⎟⎠ ⎞
d t2 -1
⎤
t2 t - 2
⎡ ⎟⎠ ⎞
d t2 t - 2
dx
- t2 -1
dx
t2 t - 2
f ' t
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
( )
2 2-1 2 2 1
[ ] [ ]( )
t t - 2 2 t - t -1 2 t 1
f ' t 2 2
t t - 2
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
−
( )
2 2
[ ]( ) [ ]( )
t t - 2 2 t - t -1 2 t 1
f ' t 2 2
t t - 2
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
( )
2 2
( ) ( )
t t - 2 2t - t -1 2t 1
f ' t 2 2
t t - 2
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛
+
=

24
3 2 3 2
f ' ( t )
2t + 2t - 4t - 2t + 2t - t +
1 2 2
t t - 2
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
2
( ) ( t -1 )( t -1
)
[( )( )]
( )( )
t -1 t -1
f ' t t - 2t 1
2 2 t 2 t -1
2 ( t 2 )2 ( t -1
)2
t t - 2
+
=
+
=
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
=
f ' ( t )
1 + 2
(t 2)
=
y = 5
x2
y = 5x -2
( )
y' d 5x
- 2
dx
=
y’= (-2) (5) x -2-1
y’= -10x -3
y'= - 10
x3
Otra forma (aplicando cocientes)
y = 5
x2
⎛
d 5
x2
dx
y'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
( )
⎡ ⎟⎠ ⎞
d x2
⎤
2 2 x
dx
- 5
x2 d 5
dx
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
⎥⎦
⎡
⎢⎣
=
x2 0 - 5 2 x2-1
[ ]
x2 x2
y'
⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=

25
[ ] [ ]
(x )(x )
2
y' =
x 0 - 5 2 x 2 2
[ ]
4 x3
-10
y'= - 10x =
x
y'= -10
x3
y = 1
3x2
y = 1
x- 2
3
d 1
x- 2
3
dx
y'
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
y’= (-2) (1/3) x -2-1
y’= - 2/3 x -3
y'= - 2
3 x3
Otra forma (aplicando cocientes)
y = 1
3x2
⎛
d 1
3 x2
dx
y'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
( )
⎡ ⎟⎠ ⎞
d 3x2
3x2 d 1
⎤
2 2 3x
dx
-1
dx
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
⎥⎦
⎡
⎢⎣
=
[ ] [( )( ) ]
(3x )(3x )
2 2-1
y' 3x 0 -1 2 3 x 2 2
=
( )[ ] [( )( )( )]
(3x )(3x )
2 x =
y' 3x 0 -1 2 3 2 2

26
[ ]
- 6x
- 2
4 4 3x3
y'= -1 6x = =
9x
9x
y'= - 2
3x3
Sección 2.4 calculo Leythold Edic 7 Pág. 129
Ejemplo 2
( )
2 x3 +
f x 4
x2 +
1
=
( )
2 x3 +
d 4
x2 1
dx
f ' x
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
+
=
( )
2
⎡ ⎟⎠ ⎞
d 2 x3 4
⎤
x2 1
⎡ ⎟⎠ ⎞
d x2 1
dx
- 2 x3 4
dx
x2 1
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
( )
x2 1 [ 2 ]( 3 )( x ) 3-1 - 2 x3 4 [ 2 ]( x )
2 1
+ ⎟⎠ ⎞
2
x2 1
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
− ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
=
( )
x2 1 6 x2 - 2 x3 4 2 x
+ ⎟⎠ ⎞
2
x2 1
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
=
f ' ( x )
6 x4 6 x2 - 4 x4 - 8x
2
x2 1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
=
( )
f ' x 2 x4 6 x2 - 8x
2
x2 1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
=
Ejemplo 3
x = 3
x5

27
⎛
d 3
x5
dx
x'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
( ) ( )
⎡ ⎟⎠ ⎞
⎤
5 2 x
d x5
dx
- 3
x5 d 3
dx
x '
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
⎥⎦
⎡
⎢⎣
=
x5 0 - 3 5 x5-1
[ ] ( ) ( )
x5 x5
y'
⎟⎠ ⎞
⎢⎣ ⎡
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎥⎦ ⎤
=
- 3 5 x4
( ) ( )
x5 x5
y'
⎥⎦ ⎤
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
-15 x4 y'
x5 x5
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
-15
x6
y' -15 =
x x5
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
y 2 + 2
=
x
( ) 1
⎛
d 2
( 1
)
dx
y'
⎞
2⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
+
= x
⎡ - 2
d x +
1 2 ( ) ( ) ( )
x 1 2 d 2
⎤
( ) 2 2 1
dx
dx
y'
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
⎥⎦
+ ⎡
⎢⎣
=
x
x + 1 2 0 - 2 2 + 1 2 −
1
( ) ( ) ( )( )
[( 1)]4
y'
+
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
=
x
x
[( )( )]
[( 1)]4
y' - 2 2 1
+
+
=
x
x
( )
- 4
( ) (x 1)3
y' - 4 x 1
1 4
+
=
+
+
=
x

28
y' - 4
(x +
1)3
=
y x 2 −
x 1
=
⎛
d x
x2 1
= −
dx
y'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
( )
⎡ ⎟⎠ ⎞
d x2 1
2
x2 1 d x
⎤
x2 1
dx
- x
dx
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
−
⎥⎦
⎡
⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
x 2 1 [ 1 ] - x ( 2 )
x 2-1
2
x 2 1
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
y' x 2 -1- x 2x
[ ]
2
x 2 1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
reduciendo términos semejantes
2 2
y' =
x -1- 2x(2
x 2 −
1)
- x 2 1
2
2 1
2
-1- x 2 y'
x 2 1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
x
2
x2 +
y' - 1
2 1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
x

30
SEGUNDA DERIVADA Y DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada y’ = dy/dx es la primera derivada (derivada de primer orden) de y con respecto a x. la
derivada en si bien puede ser una función diferenciable.
31
d y
2
' 2
⎥⎦
y ''
dy = dx
dy
dx
d
= = ⎡
dx
dx
⎤
⎢⎣
Se llama la segunda derivada (derivada de segundo orden ) de y con respecto a x.
Ejemplo 4
Encuentre todas las derivadas.
f (x) = 8 x4 + 5 x3 – x2 + 7
f ‘ (x) = 8 (4) x4 - 1 + 5 (3) x3-1 – (2) x2-1 + 0
f ‘ (x) = 32 x3 + 15 x2 – 2 x
f ‘‘ (x) = 32 (3) x3-1 + 15 (2) x2-1 – 2 x1-1
f ‘‘ (x) = 96 x2 + 30 x – 2
f ‘‘‘ (x) = 96 (2) x2-1 + 30 x1-1 – 0
f ‘‘‘ (x) = 192 x + 30
f 4 (x) = 192 x1-1 + 0
f 4 (x) = 192
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
DERIVADA DEL SENO
En pocas palabras, la derivada del seno es el coseno.
d (sen x) =
cos x
dx
y = x3 sen x
Aplicando la derivada del producto
Primer termino = (x3)
Segundo termino = (sen x)
( 3
)
dx
y d x sen x
' =
' ( 3 ) [ sen x ] ( sen x ) d
[x3 ]
y = x d +
y' = (x3 )[cos x]+ (sen x)[3x2 ]
y' = x3 cos x + 3x2senx
dx
dx

32
y = (x sen x)3
( )
dx
y d x sen x
3
' =
' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d
[x3 ]
dx
y = x d +
dx
[ ] ( )
y' = 3 x sen x 3−1 d x sen x
dx
[ ] ( )
y' = 3 x sen x 2 d x sen x
dx
Aplicando derivada del producto
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
⎤
⎥⎦
y' ⎡
= 3 x sen x 2 x d senx
+ senx ⎛
d x
y' = 3[x sen x]2[(x)cos x + (senx)(1)]
y' = 3[x sen x]2[x cos x + senx]
Otra forma (aplicando la derivada interna)
y = (x sen x)3
y = x3 (sen x)3
Aplicando la derivada del producto
Segundo termino = (sen x)3
⎢⎣
⎞
⎟⎠
⎜⎝
dx
dx
[ ( ) ]
dx
y d x
3 3
' = senx
' ( 3 ) [ sen x ]3 ( sen x )3 d
[x3 ]
dx
y = x d +
dx
y' = (x3 )3(cos x)[sen x]3 -1 + (sen x)3 3 [x3 -1]
La derivada interna de (sen x)3 es: cos x
y' = 3 x3(cos x)[sen x]2 + (sen x)3 3 x2
y' = 3 x3(cos x)sen2 x + 3x2 sen3 x
Factor común
y' = 3 x2 sen2 x[x cosx + sen x]
y = sen x
y = sen x = (sen x )1 2

33
[( ) ]
y' d sen x
dx
1 2
=
( ) [( )]
sen x d sen x
2
dx
y'= 1 1 2−1
y'= 1 1 2−1
(sen x) *(1)cos x
2
y'= 1 −1 2
(sen x) (cos x)
2
y' 1 1 2
( )
(cos x)
2 sen x
=
cos x
y' cos x 1 2
= =
( ) 2 sen x
2 sen x
y'= cos x
2 sen x
y ln x
1
−
=
x
x
dx
1
d
y'
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
= x −
( ) ( ) ( )
- ln x d x -1
x -1 d ln x
⎤
[ ] 1
dx
dx
⎡
y' − 2
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
=
x
( ) ⎞
⎡
d ( x
) [ ]
[ ] 1
- ln x 1
dx
x -1 1
x
⎛
y' − 2
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝
=
x
x -1 1
⎞
⎛
( ) [ ]
1 - ln x
x
⎟⎠
⎜⎝
y' − 2
[ ] 1
=
x
- ln x
x -1
⎞
⎟⎠
[ ]
( )
( )
( )
( ) x(x -1)
x -1- x ln x
x -1 - x ln x
x x -1
x -1 - x ln x
x
x -1
1
x
⎛
=
y' = = =
2 2 2 2
−
⎜⎝
x
x(x -1)
y' =
x -1- x ln x 2
y = tag (2x + 1)

34
[ ( )]
y' d tag 2x +1
dx
=
y' = sec2 2x +1 d +
y' = sec2 (2x +1)[2]
y' = 2 sec2 (2x +1)
( ) [2x 1]
dx
y 1
cos
x
=
sec x
y = 1 =
x
( )
dx
cos
y'= d sec x
( )
dx
y'= sec x tag x d x
y' = sec x tag x (1)
y' = sec x tag x
Otra forma (utilizando el cociente)
y 1
cos
x
=
d 1
cos x
dx
y'
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
( ) ( )
-1 d cos x
cos x d 1
⎡
⎤
( )
dx
dx
⎡
y' cos x 2
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
=
[ ] [ ]
( )
−
y' cos x 0 -1 sen x cos x 2
=
[ ]
sen x
1
( x) ( ) * cos x
cos x
y' -1 sen x sen x cos 2
= =
cos x cos x
−
=
tag x sec x
y'= tag x * 1 =
cos
x
y' = sec x tag x
Otra forma (utilizando el exponente)
y 1
cos
x
=
y = 1 = −
(cos x) 1
x
( )
dx
cos
y' d cos
−1
= x
( )( ) ( )
y'= -1 cos x -1-1 d cos x
dx
( )( ) ( )
y'= -1 cos x -2 d cos x
dx
= x
y' -1 2
( )
( )
dx
d cos
cos x
y' -1 2
( )
*(- sen x)
cos x
=
y' sen x2
(cos x)
=
* 1
sen x
y'= sen x =
( cos x )( cos
x
) cos x
cos x
y' = tag x sec x
Hallar la derivada de y = (x5) (esen x)
Segundo termino = (esen x)
[( ) ( )]
5 esenx =
dx
y' d x
' ( 5 ) [ ] ( e sen x ) d
[x5 ]
dx
y = x d esenx +
dx

35
( ) ( ) ⎥⎦ ⎤
e senx d senx
y' = x5 esen x 5 x5-1
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
+ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
dx
( ) ( )
⎥⎦ ⎤
e senx x d x
y' = x5 cos 5 esen x x 4
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎤
+ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
dx
⎤
y' = x5 e senx cos x 1 5 esen x x 4
( )( ) ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎥⎦
⎡ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎢⎣
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
y' = x5 cos x esen x 5x 4 esen x
( ) ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
[ ] 5 x cos x sen x e 4 x ' y + ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
y = sen 1- 2x
y = sen 1- 2x = sen (1- 2x)1 2
x 1 2 d 1- 2
dx
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
sen
dx
1 2
⎡
d 1 2
x 1 2 y' cos 1- 2
⎤
⎥ ⎥⎦
⎜⎝ ⎛
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
−
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
x
⎛ ⎟⎠ ⎞
( )
d x
1 2
y' cos 1- 2x 1
1 2 1 2
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎜⎝ ⎛
−
= − −
dx
x
⎟⎠
y' = cos 1- 2x ⎛
1 (1 − 2 x ) − 1 2 − 2 x
ln 2
⎞
2
⎜⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
( )( 2 ln 2)
⎛
y' cos 1- 2x 1
= − x
2 1- 2x
⎞
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
⎛ ⎟⎠ ⎞
- 2x ln 2
2( 1- 2x )
y' cos 1- 2x
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎜⎝ ⎛
=
⎛
- 2x ln2 cos 1- 2x
2 1- 2x
y'
⎞
⎟ ⎟⎠
⎜ ⎜⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=

36
y = cos x
y = cos x = cos (x)1 2
d cos x 1 2
( )
dx
y'
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
=
⎟⎠
y' = - sen ( x ) 1 2 ⎛
1 ⎞
(x)
1 2−1 2
⎜⎝
y' ⎟⎠
= - sen x ⎛
1 ⎞
(x)
-1 2 2
⎜⎝
1
1 ⎛
⎞
y' - sen x 2
x
⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
y' = - sen x
2 x
y = (x) (sen x)3
Segundo termino = (sen x)3
[( )( ) ]
dx
y d x
3
' = senx
( ) [( sen x ) ] ( sen x ) d
[x]
dx
y' = x d 3 + 3
dx
( )( ) [(x) ] (sen x) [1]
y' = x cos x 3 d 3 + 3
dx
y' = (x)(cos x)3[(3)(x)3−1]+ (sen x)3
y' = (x)(cos x)3[(3)(x)2 ]+ (sen x)3
y' = 3 (x)(x)2 (cos x)3 + (sen x)3
y' = 3 x3 (cos x)3 + (sen x)3
y = ln [sen (x2 + 5)]

37
[ ( ( ))]
y d ln 5
dx
2
' +
= sen x
y 1
( )
( ( ))
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡ +
⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
+
=
d sen x 5
dx
sen x 5
2
2
'
⎤
⎡ − ⎟⎠ ⎞
= cos x2 5 2 x 2 1
( )( ) ⎥⎦
⎢⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
sen x2 5
⎜⎝ ⎛
+
y' 1
⎤
= cos x2 5 2 x
( )( )⎥⎦
⎡ ⎟⎠ ⎞
⎢⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
sen x2 5
⎜⎝ ⎛
+
y' 1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎛ ⎟⎠ ⎞
2x cos x 2 5
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟⎠
⎜⎝
⎜⎝ ⎛
+
=
sen x 2 5
y'
( 2
)
( 5)
y '
2x cos x 5 2
+
+
=
sen x
y' = (2x)cot (x2 + 5)
y ln
1 +
x2 1 − x
2
=
d ln
1 +
x
2 1 2
dx
y'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
−
=
x
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟ ⎟
⎠
1 2
⎛
−
d x
1 2
⎜ ⎜
⎝
+
y' 1
1 +
x2
=
x
dx
1- x2
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟ ⎟
⎠
1 2
⎛
−
d x
1 2
⎜ ⎜
⎝
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
x
dx
1 x2

38
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎛ ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛ ⎟⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
d 1- x 2
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
2 2 1- x
dx
- 1 x 2
1 x2
1- x 2
1 x2
dx
d
1- x2 2 x 2-1 - 1 x2 2 x 2 1
+ ⎟⎠ ⎞
( )( ) ( )( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
− − ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
2 2 1- x
1 x2
1- x2 2 x - 1 x2 2 x
+ ⎟⎠ ⎞
( )( ) ( )( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
− ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
2 2 1- x
1 x2
1- x2 2 - 1 x2 2
+ ⎟⎠ ⎞
( ) ( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
− ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
2 2 1- x
1 x2
x x
1- x2 2 1 x2 2
+ + ⎟⎠ ⎞
( ) ( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
⎞
⎟ ⎟
⎠
1- x2 y'
⎛
+
⎜ ⎜
⎝
=
2 2 1- x
1 x2
x x
⎤
3 3
2x - 2x 2x 2x
( ) ⎦
⎥ ⎥ ⎥
⎡
⎢ ⎢ ⎢
⎣
+ +
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
+
y' 1- x
⎜ ⎜
⎝
=
2 2
2
2
1- x
1 x
⎤
4x
( ) ⎦
⎥ ⎥ ⎥
⎡
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
+
y' 1- x
⎜ ⎜
⎝
=
2
2 2 2
1- x
1 x
4x - 4x3 y'
2 2 1 x2 1 x
⎟⎠ ⎞
− ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
=
y = e1 x
d e1 x
dx
y'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
d 1
x
⎛
dx
y' e1 x
⎟⎠⎞
⎜⎝
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛
=

39
d 1
dx
y' e1 x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
x
( )( ) 1 - 1 - x 1 - x 1 e y' ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
y'= (e1 x )(-1)(x)-2
1 x
y' - e 2
x
=
LA REGLA DE LA CADENA
Si y = f(u) es función derivable de u y
u = g(x) es función derivable de x
entonces y = f(g(x)) es función derivable de x, con
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
d = ’
[f (g(x))] f '(g(x))g'(x)
dx
Sección 3.5 Ejemplo # 3 calculo Larson Edic 5 Pág. 139
Hallar la derivada usando la regla de la cadena.
y = (x2 + 1)3
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
Se halla primero
dy
du
3
x 2 1
d
du
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
( ) 3 1
3 x 2 1
dy −
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
( ) 2
3 x 2 1
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
Después se halla
du
dx
(es decir la derivada de la parte interna dentro del paréntesis)
la función interior u = (x2 + 1)

40
y = (x2 + 1)3 = (u)3
2x2-1
d x2 1
du =
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
2 x2-1
du =
dx
du =
2 x
dx
Reemplazando en la ecuación de la regla de la cadena
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
2
3 x 2 1
( ) (2x)
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
(6x)
2
x 2 1
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
Problema # 25
y = (2x + 1)2
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
Se halla primero
dy
du
dy = d
+
(2 x 1)2
du
du
dy = + −
(2)(2 x 1)2 1
du
dy = +
(2)(2 x 1)
du
Después se halla
du
dx
la función interior u = (2 x + 1)
y = (2 x + 1)2 = (u)2

41
( ) 2x1-1
dx
d 2 x 1
du =
dx
+
=
2 x0
du =
dx
du =
2
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy = +
(2)(2x 1 )(2)
dx
dy = +
4 (2 x 1 )
dx
Derivar s = (t2 – 3)4
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (2t)
s’ = 4 *(t2 – 3)3 *(2t)
s’ = (t2 – 3)3 (8t)
Derivar y = (1 – 5x)6
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (-5)
y ’ = 6 *(1 – 5x)5 * (- 5)
y ’ = (1 – 5x)5 (- 30)
Derivar y = (3x – x3 + 1)4
Observe que el polinomio tiene una derivada interna que es: (3 – 3x2 )
y ’ = (3x – x3 + 1)4
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * (3 – 3x2 )
Factor común 3
y ’ = 4 * (3x – x3 + 1)3 * 3 * (1 – x2 )
y ’ = 12 (3x – x3 + 1)3 (1 – x2 )
Derivar y = (3 + 4x – x2 )1/2
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
⎜⎝= ⎛
du
dx
dy
du
dy
dx

42
Se halla primero
dy
du
1
2
3 4 x - x 2
d
du
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
1
1
dy −
2
3 4 x - x 2
1
2
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
1
2
dy −
3 4 x - x 2
1
2
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
1
2 1 2 2 3 4x - x
dy
du
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
Después se halla
du
dx
la función interior u = (3 + 4x – x2 )
y = (3 + 4x – x2 )1/2 = (u)1/2
d 3 4 x - x2
du ⎟⎠ ⎞
dx
dx
⎜⎝ ⎛
+
=
4x1-1 - 2 x 2-1
du =
dx
4x 0 - 2 x1
du =
dx
4 - 2 x
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
(4 - 2x )
1
2 1 2 2 3 4x - x
dy
dx
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=

43
( )
2 2 - x
(2) 3 4x - x 2 1 2
4 - 2x
2 1 2 2 3 4x - x
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
( )
2 - x
2 1 2 3 4x - x
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
REGLA GENERAL DE LAS POTENCIAS
Si y = [u(x)]n donde u es una función derivable de x y n es un numero racional, entonces
⎞
n u x n-1 du
= ⎛
( ) [ ] ⎟⎠
⎜⎝
dx
dy
dx
O lo que es lo mismo
d = ⎥⎦ ⎤
u n n [u]n-1 u'
dx
⎢⎣ ⎡
f (x) = (3x – 2x2)3
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
Se halla primero
dy
du
2 3 3x - 2x
d
du
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( ) 2 3 1 3 3x - 2x
dy −
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( ) 2 2 3 3x - 2x
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
Después se halla
du
dx
la función interior u = (3x – 2x2)
y = (3x – 2x2)3 = (u)3

44
3 x1-1 - 2 (2)x 2-1
d 3x - 2x 2
du =
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
3 - 4 x
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
2 2 3 3x - 2x
( ) (3 - 4x)
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
(9 -12x)
2 2 3x - 2x
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
3 2
2 2 x y ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
2 3
2 2 x y ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
Se halla primero
dy
du
2 3
x 2 2
d
du
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
2 3 1
dy −
x 2 2
2
3
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
1 3
dy −
x 2 2
2
3
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
2
3 3 x 2 2
1 3
2
3 x 2 2
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
Después se halla
du
dx
la función interior u = (x2 + 2)

45
y = (x2 + 2)2/3 = (u)2/3
du = +
2 x 2-1 0
d x 2 2
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
2 x
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
(2x)
2
3 3 x 2 2
dy
dx
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
+
=
4 x
3 3 x 2 2
dy
dx
+
=
( )
g t = - 7
(2t - 3)2
g(t) = (-7) (2t – 3)- 2
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero: du
dy = d
− −
( 7)(2t - 3) 2
du
du
dy = − −
(- 7)(- 2)(2t - 3 ) 2 1
du
dy = −
(14)(2t - 3 ) 3
du
14
(2t - 3)3
dy =
du
du
Después se halla: dx
la función interior u = (2t - 3)

46
y = (2t - 3)-2 = (u)-2
( ) 2 t1-1 - 0
dx
du = d 2t - 3
=
dx
2
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
14
( )
(2)
2t - 3 3
dy
dx
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
=
⎢ ⎢
⎣
28
(2t - 3)3
dy =
dx
f (x)= x 2 1- x 2
( ) 2 1 2 x - 1 2 x x f ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
Segundo termino =
2 1 2 x - 1 ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
1- x2 1 2 d
f ' x x 2 d
= x2
( ) ( ) ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
dx
2 1 2 1- x
dx
La derivada interna de (1 – x2) es (- 2x)
La derivada de (x2) es (2x)
( ) ( ) ( ) 1 2 -1 1 2 - 2x 1- x
2 1- x
2 [2x]
f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞
2
⎜⎝ ⎛
+ ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
2 1 2 1- x
2 -1 2 - 2x 1- x
f ' x x 2 1 ⎟⎠ ⎞
⎞
= ⎛
( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x)
( ) ( ) ( ) [2x]
2
⎜⎝ ⎛
+ ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎟⎠
⎜⎝
x 2 2 x x ' f ⎟⎠
2 1- x2
⎞
+ ⎛
⎜⎝
−
=
x 2 x x ' f ⎟⎠
( ) ( ) ( ) 1- x2 (2x)
1- x2
⎞
+ ⎛
⎜⎝
−
=

47
( )
⎛
⎞
+ ⎛
- x3 1- x2 ( 2x )
1- x2
1- x2
f ' x
⎞
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
=
( )
- x3 1- x2 2x
( )
1- x2
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
f ' ( x
)
- x3 +
2x - 2x3 1- x2
=
3x3 f ' ( x )
- 2x =
2x - 3x3
1- x2
+
1- x2
=
( )
x 2 - 3x2
( )
1- x2
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( )
f x x
3 x2 +
4
=
En este caso se utiliza la derivada del producto
f ( x ) ( ) x2 −
1 3
x 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= +
Segundo termino =
1 3
x2 4
−
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
-1 3 d
f ' x x d ⎟⎠ ⎞
( ) ( ) [ x]
dx
x2 4
-1 3
x2 4
dx
+ + ⎥⎦ ⎤
⎜⎝ ⎛
⎢⎣ ⎡
= +
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)
La derivada de (x) es (1)
( ) ( ) ( ) -1 3
[1]
f ' x x 1 ⎟⎠ ⎞
x2 4
-1 3 -1
2x x2 4
3
⎜⎝ ⎛
+ + ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛−
⎜⎝
( ) ( ) -1 3
f ' x x - 2x ⎟⎠ ⎞
x2 4
- 4 3
x2 4
3
+ + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡
⎜⎝ ⎛
⎞
+ ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠ ' ⎛
x2 ⎞
f x =
- 2 ( ) -1 3
x2 4
- 4 3
x2 4
3
+ + ⎥⎦ ⎤
⎜⎝ ⎛
⎢⎣ ⎡ + ⎟ ⎟ ⎠
⎜ ⎜
⎝

48
⎛
f ' ( x
)
- 2 x2 1
3 x2 4
4 3
3 x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
⎛
f ' ( x
)
- 2 x2 1
3 x2 4
3 4
3 x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
f ' ( x
)
2 x2 1
3 x2 4
3 4
3 x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
−
=
( )
- 2x2 + 3x2 +
12
3 3 x2 4
⎡ ⎟⎠ ⎞
2 x2 3 x2 4
3 4
3 x2 4
f ' x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎜⎝ ⎛
− + +
=
x2 f ' ( x )
12
3 3 x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
=
( )
f x x
3 x2 +
4
=
f ( x )
x
1 3
x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
En este caso se utiliza la derivada del cociente
( )
⎛
d x
dx
1 3
x2 4
f ' x
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
( ) ( )
⎡
1 3 2
1 3 d x
⎤
x2 4
dx
1 3
d x2 4
- x
dx
x2 4
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎢ ⎢⎣ ⎡
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ +
⎥⎦
⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
La derivada interna de (x2 + 4) es (2x)
La derivada de (x) es (1)

49
1 - x 1
[ ] ( )
⎡ ⎟⎠ ⎞
1 3 -1 d x2 4
1 3 2
⎞
⎛
x 2 4
dx
x2 4
3
1 3
x2 4
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
+
⎤
⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
1 - x 1
⎞
⎛
[ ] ( ) [ ]
1 3 2
x2 4
2x
1 3 -1
x 2 4
3
1 3
x2 4
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
[ ]
1 3 2
- x
⎞
⎛
x2 4
2x
-2 3
x2 4
3
1 3
x2 4
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
2 x2 -
⎞
1 3 2
⎛
x2 4
-2 3
x2 4
3
1 3
x2 4
y'
⎤
⎥ ⎥⎦
⎡
⎜⎝ ⎛
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
+ ⎟⎠ ⎞
2 3
x 2 4
2 3
3 x2 4
- 2x2
1 3
x2 4
2 3
⎡
3 x2 4
⎛
2 x2 -
2 3
x2 4
2 3
3 x2 4
1 3
x2 4
y'
⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥ ⎥⎦
⎢ ⎢⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
=
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
=
Producto de extremos es igual al producto de medios
2 3
3 x2 12 - 2x2
x 2 4
2 3
3 x2 4
⎡ ⎟⎠ ⎞
3 x2 4 - 2x2
2 3
⎛ +
x2 4
2 3
3 x2 4
y'
⎟⎠ ⎞
+ ⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
+
=
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎤
⎥⎦
⎢⎣
⎜⎝
= =
y' x2 12
4 3
x2 4
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
= =
2
⎞
⎛
y 3x -1 ⎟ ⎟
x2 3
⎠
⎜ ⎜
⎝
+
=

50
( )
⎛
d 3x -1
= +
dx
2
x2 3
f ' x
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎛
x2 + 3
Es necesario hallar la derivada interna de ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
3x -1
⎛
2 3x -1
( )
3x -1
+ ⎟ ⎟
⎠
x2 3
d
dx
x2 3
dy
dx
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎜ ⎜
⎝
+
=
3x -1
+ ⎟ ⎟
⎠
x2 3
d
dx
6x - 2
x2 3
dy
dx
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎛
⎜ ⎜
⎝
+
=
3x -1 - 3x -1 d
x2 3 d
( ) ( )
⎟⎠ ⎞
+ ⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎫
⎪ ⎪
⎬
⎪ ⎪
⎭
⎧
⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
6x - 2
+
=
2
x2 3
x2 3
dx
dx
x2 3
dy
dx
x2 3 3 - 3x -1 2x
( ) ( )( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
6x - 2
+
=
2
x2 3
x2 3
dy
dx
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
3x2 + 9 - 6x2 +
2x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
6x - 2
+
=
2
x2 3
x2 3
dy
dx
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
- 3x2 + 9 +
2x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
6x - 2
+
=
2
x2 3
x2 3
dy
dx
⎛
2 3x -1
( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
- 3x2 + 9 +
2x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
+
=
2
x 2 3
x2 3
dy
dx
2 3x -1 - 3x2 9 2x
( )( )
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
+ +
⎟⎠ ⎞ ⎜⎝ ⎛
+
=
3
x2 3
dy
dx
2 3 x -1 - 3x2 9 2x
( )( )
3
x2 3
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛ +
⎟⎠ ⎞
+ +
=

51
⎞
f x = x -1 ⎛ x2 − 2x + 2
Derivar ( ) ( ) ⎟⎠
⎜⎝
Primer termino = (x – 1)
Segundo termino =
1 2
2 2x - 2 x 2 2 2 x ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎞
+ = ⎟ ⎟⎠
⎛
⎜ ⎜⎝
− x +
( ) ( ) [ ] [ x -1]
f ' x x -1 d 2 1 2 2 ⎟⎠
x - 2x 2 x - 2x 2 d
dx
= + + ⎛ +
dx
⎞
⎜⎝
La derivada interna es (2x - 2)
( ) ( ) *(2x - 2)[x - 2x 2] x - 2x 2 [1]
f ' x x -1 1 2 -1 2 2 ⎟⎠
= + + ⎛ +
2
⎞
⎜⎝
( ) ( )( ) x - 2x 2
f x x -1 2 2 2
+ ⎛ +
' ⎟⎠
2
2 x - 2x 2
⎞
⎜⎝
+
−
= x
( )
− + + ⎛ +
( )( )
2 2
x -1 2 2 2 x - 2x 2 x - 2x 2
2 x - 2x 2
f x
2
'
+
⎞
⎟⎠
⎜⎝
=
x
( ) ( )( ) ( 2
)
x -1 2 − + f x 2 2 x - 2x +
2
2
2 x - 2x 2
'
+
= x
2 2
f ( x )
2x - 2x - 2x + 2 + 2x - 4x +
4
2
2 x - 2x 2
'
+
=
2
f ( x )
4x - 8x 6
2
+
2 x - 2x 2
'
+
=
2
f ( x )
2(2x - 4x 3)
2
+
2 x - 2x 2
'
+
=
f ' ( x )
2 x2 - 4x +
3
x2 - 2 x +
2
=
Sección 3.5 Ejemplo 2 calculo Larson Edic 5 Pág. 141
Descomposición de una función compuesta
y = f(g(x)) u = g(x) Y = f(u)
y 1
= u = x + 1
x +
1
y = 1
u
y = sen 2x u = 2x y = sen u
y = 3x2 − x +1 u = 3x2 –x + 1 y = u
y = tg2 x u = tg x y = (u)2

52
Sección 3.5 calculo Larson Edic 5 Pág. 143
Completar la tabla siguiendo el modelo del ejemplo 2
y = f(g(x)) u = g(x) y = f(u)
y = (6x - 5)4 u = 6x -5 y = (u)4
y 1
= u = x + 1
x +
1
y = 1
u
y = x2 −1 u = x2 - 1 y = u
2
y 3x ⎟⎠
u = ⎛
3x y = ( u
)2 ⎛ = ⎟⎠
2
⎞
⎜⎝
⎞
⎜⎝
2
y = (x2 - 3x + 4)6 u = (x2 - 3x + 4) y = (u)6
y = (5x - 2)3/2 u = (5x - 2) y = (u)3/2
Problema # 7
y = (2x - 7)3
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero: du
d
(2x - 7)3
du
dy =
du
dy = −
(3)(2x - 7 )3 1
du
(3)(2x - 7)2
dy =
du
du
la función interior u = (2x – 7)
y = (2x – 7)3 = (u)3
( ) 2 x - 0
dx
du = d 2x - 7
= 1-1
dx
2
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx

53
dy = 2
(3)(2x - 7 ) (2)
dx
dy = 2
(2x - 7 ) (6)
dx
Problema # 8
y = (3 x2 + 1)4
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero du
(3x2 1)4
du
dy = d
+
du
(4)(3 x2 1 )4 1
dy −
du
= +
(4)(3 x2 1)3
dy = +
du
du
la función interior u = (3 x2 + 1)
y = (3 x2 + 1)4 = (u)4
( ) 2 (3) x 0
dx
du d 3 x 1
2-1
dx
2
= +
+
=
du =
6 x
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
(4)(3 x 1 ) (6x)
dy = 2 + 3
(3 x 1 ) (24x)
dx
dx
dy = 2 + 3
Problema # 9

54
g (x) = 3 (9x - 4)4
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero du
d
3 (9 x - 4)4
du
dy =
du
dy = −
(3)(4)(9 x - 4)4 1
du
(12)(9 x - 4)3
dy =
du
du
la función interior u = (9 x - 4)
y = (9x - 4)4 = (u)4
( ) 9 x - 0
dx
du = d 9x - 4
= 1-1
dx
du =
9
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy = 3
(12)(9x - 4 ) (9)
dx
dy = 3
(9 x - 4 ) (108)
dx
Problema # 10
f (x) = 2 (x2 - 1)3
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero du
2 3 2 x -1
d
= ⎛
du
dy
du
⎞
⎟⎠
⎜⎝

55
( )( ) 3 1
2 3 x 2 -1
dy −
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( ) 2
6 x 2 -1
dy
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
du
la función interior u = ( x2 - 1)
y = (x2 - 1)2 = (u)2
2 x 2-1 - 0
d x 2 -1
du =
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
2x
du =
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
2
6 x 2 -1
( ) (2 x)
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
(12 x)
2
x 2 -1
dy
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
Problema # 11
Hallar la derivada
y 1
x −
2
=
d 1
x - 2
dx
y'
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
1 - 1 d
x 2 d
( ) ( ) ( ) ( )
(x - 2)2
x - 2
dx
dx
y'
−
=
( )( ) ( )( )
y' x 2 0 - 1 1
(x - 2)2
−
=
y' −
1
(x - 2)2
=

56
Problema # 12
Hallar la derivada
s (t) 1
t 2 + 3t −
1
=
⎛
d 1
t 2 3t -1
= +
dx
s'
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
1 - 1 d
( ) ( )
⎟⎠ ⎞
+ 2
t2 3t 1 d
t2 3t -1
t2 3t -1
dx
dx
s'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎜⎝ ⎛
+ −
=
t2 3t 1 0 - 1 2 t 3
+ ⎟⎠ ⎞
( ) ( )( )
2
t2 3t -1
s'
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
⎜⎝ ⎛
+ −
=
( )
2
s' - 2 t 3
t2 3t -1
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
+
+
=
Problema # 13
2
( )
⎟⎠
f t = ⎛
1 ⎞
t - 3
⎜⎝
( )
d 1
dx
2
t - 3
f ' t
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
⎞
⎜⎝⎛
1
Es necesario hallar la derivada interna de ⎟⎠
t - 3
f ' t 2 1 ⎟⎠
( ) = ( )
⎛
( )
1
t - 3
d
dx
t - 3
⎞
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
⎜⎝
1
f ' t 2 ⎟⎠
t - 3
d
dx
t - 3
⎞
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
f ' ( t )
2
1 - 1 d
t - 3 d
( ) ( ) ( ) ( )
(t - 3)2
t - 3
dx
dx
t - 3
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪⎪⎨
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝

57
( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1 )( 1
)
(t - 3)2
f ' t 2
t - 3
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
( ) ( t - 3 )( 0 ) - ( 1
)
(t - 3)2
f ' t 2
t - 3
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
( ) - ( 1
)
(t - 3)2
f ' t 2
t - 3
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
⎞
⎛
f ' t 2 ⎟ ⎟
( )
-1
(t - 3)2
t - 3
⎠
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
f ' ( t )
= - 2
( )
(t - 3)(t - 3)2
f ' t = - 2
(t - 3)3
Problema # 14
y - 4
(t +
2)2
=
la derivada del cociente (Recomendable utilizar la regla del exponente)
⎡
d - 4
t 2 2
( )
dx
y '
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎢ ⎢
⎣
+
=
Es necesario hallar la derivada interna de (t + 2)
- 4 - - 4 d
t 2 d
( ) ( ) ( ) ( )
⎡ +
⎫
⎪ ⎪
⎧
⎪ ⎪
+ +
y' ⎥⎦
( )
d
(t 2)
dx
2 2 t 2
t 2 2
dx
dx
⎤
⎢⎣
⎬
⎪ ⎪
⎭
⎨
⎪ ⎪
⎩
⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
+
=
t 2 0 - - 4 2 t 2 d
+ + ⎛ +
( )( ) ( )( )( ) ( )
[ ]
⎫
⎪ ⎪
[1]
t 2 4
t 2
dx
y'
⎬
⎪ ⎪
⎭
⎧
⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪
⎩
+
⎟⎠⎞
⎜⎝
=
( )( )
[t 2]4
y' 8 t 2 1
⎪⎭
⎪⎬ ⎫
⎪⎩
⎪⎨ ⎧
+
+
=
( )
(t 2)4
y' 8 t 2
+
+
=
y' 8
(t +
2)3
=

58
Problema # 14
y - 4
=
(t +
2)2
(Recomendable utilizar la regla del exponente)
y = - 4 (t + 2) - 2
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero du
dy = + −
- 4 ( t 2) 2
d
du
du
dy = + − −
(- 4)(- 2)(t 2) 2 1
du
dy = + −
(8)(t 2) 3
du
du
la función interior u = ( t + 2)
y = (t + 2) - 2 = (u) - 2
( ) x1-1 0
dx
d t 2
du = +
dx
+
=
( ) 1
dx
d t 2
du =
dx
+
=
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy = +
(8)(t 2 )- 3 (1)
dx
dy = +
(8)(t 2 )- 3
dx
8
(t 2)3
dy
dx
+
=
Problema # 15

59
f ( x )
= 3
(x3 - 4)
F (x) = 3 (x3 - 4) - 1
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy
Se halla primero du
1
dy d
−
3 x3 - 4
du
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( )( ) 1 1
3 -1 x3 - 4
dy − −
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
( ) 2
- 3 x3 - 4
dy −
du
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=
du
la función interior u = (x3 - 4)
y = (x3 - 4) - 1 = (u) - 1
du = −
(3) x3-1 0
d x3 4
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
3 x2
d x3 4
du =
dx
dx
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−
=
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
dy = +
(8)(t 2 )- 3 (1)
dx
dy = +
(8)(t 2 )- 3
dx
8
(t 2)3
dy
dx
+
=
Problema # 17

60
⎟⎠
f(x) = x2 (x - 2)4
(Recomendable utilizar la regla del producto)
( ) ⎛
⎞
⎜⎝
⎞
⎟⎠
f ' x = ⎛
dy
⎜⎝
du
dx
du
dy
Se halla primero du
f ' x d
= x2 x - 2 4
du
⎜⎝ ⎛
( ) ( ) ⎟⎠ ⎞
x - 2 4 x 2 4 d
f ' x x2 d
= x2
⎜⎝ ⎛
( ) ( ) + ( − ) ⎟⎠ ⎞
⎞
⎟⎠ ⎜⎝ ⎛
dx
du
f '(x)= x2 (4)(x − 2)4-1 + (x − 2)4 (2)(x)2−1
f '(x)= 4x 2 (x − 2)3 + (x − 2)4 (2)(x)
f '(x)= 4x2 (x − 2)3 + (2x)(x − 2)4
Factor común
2x(x – 2)3
( ) ( ) ( ) [ ] 2 x 2x 3 2 x 2x x ' f − + ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= −
( ) ( ) [ ] 2 - x 2x 3 2 x 2x x ' f + ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= −
( ) ( ) [ ] 2 - 3x 3 2 x 2x x ' f ⎥⎦ ⎤
⎢⎣ ⎡
= −
f '(x)= (2x)(x - 2)3 [3x - 2 ]
Problema # 19
f (t)= 1- t
f (t)= 1- t = (1- t)1 2
( ) ⎟⎠
⎞
⎜⎝⎛
⎞
⎟⎠
f ' t = ⎛
dy
⎜⎝
du
dx
du
dy
Se halla primero du

61
= 1- t 1 2
du
( ) ( ) ⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
f ' t d
⎟⎠
f ' t = ⎛
1 − − ( ) (1 - t) 1 2 1
2
⎞
⎜⎝
⎟⎠
f ' t = ⎛
1 − ( ) (1 - t) 1 2
2
⎞
⎜⎝
⎞
⎛
=
f ' t 1 ⎟ ⎟
( )
2 (1- t)1 2
⎠
⎜ ⎜
⎝
du
la función interior u = (1 - t)
f (t)= (1- t)1 2
f (t)= (u)1 2
( ) 1
dx
du = d 1- t
= −
dx
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
du
dx
dy
du
dy
dx
1
( )
(-1)
2 1- t 1 2
dy =
dx
-1
2 (1- t)1 2
dy =
dx
-1
2 1- t
dy =
dx
PROBLEMAS DE RAZONES DE CAMBIO
Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concéntricas
(fig. 3.27). El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/seg. Cuando su radio es
120 cm. A que ritmo esta creciendo el área total A de la zona perturbada.?
si el radio de la onda circular concéntrica es r, el radio crece
a ritmo constante de 30 cm/seg. Luego la razón de cambio
del radio es:
cm
seg
dr = 30
dt

62
r = 120 cm.
dA
Calcular dt
cuando el radio = 120 cm.
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario
utilizar una ecuación que relacione el área de la onda
circular con el radio.
A = π r2
Derivamos implícitamente con respecto al tiempo (t)
dA = π
2 r d r
( )
d t
dt
Pero:
dr = 30
cm
dt
seg
r = 120 cm.
Reemplazando
dA = π
2 r d r
( )
d t
dt
cm2 2 120 30
dA = π
( ) ( )( )
seg
dt
cm2 7200
dA = π
( )
seg
dt
cm2 22619,46
seg
dA =
dt
Se bombea aire en un globo esférico a razón de 4,5 cm3/min. Hallar la razón de cambio del radio
cuando este es de 2 cm.
Si el radio del globo es r, su volumen V crece 4,5 cm3/min. Luego la razón de cambio del volumen
cm3 4,5
min.
dV =
dt
d r
Calcular dt
Para hallar la razón de cambio del radio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el
volumen del globo con el radio.
3 cm3 r
V = 4 π
3
min.

63
dV = π
3 4
( )
r2 d r
dt
3
dt
Cancelando términos semejantes.
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt
d r
Despejamos dt
d r
dt
1 dV
=
π
dt
4 r2
cm3 4,5
dV = radio = 2 cm.
Pero: dt
min.
Reemplazando
1 =
π
( )
( ) dt
4,5 d r
( )
dt
4 2 2
d r
4,5 =
π
4 4
4,5
50,265
d r =
dt
0,089 cm
min
d r =
dt
Problema # 5
El radio de un círculo crece 2 cm/min. Hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm
b) r = 24 cm
d r =
2 cm
dt
min
A = π r2
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
Pero:
2 cm
d r =
dt
min
r = 6 cm
Reemplazando

64
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
cm2 2 6 2
dA = π
( ) ( )( )
min
dt
cm2 24
min
dA = π
dt
b) r = 24 cm
el área del circulo es:
A = π r2
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
Pero:
2 cm
d r =
dt
min
r = 24 cm
Reemplazando
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
cm2 2 24 2
dA = π
( ) ( )( )
min
dt
cm2 96
min
dA = π
dt
Problema # 5
El radio de una esfera crece 2 cm/min.. hallar la razón de cambio del área cuando
a) r = 6 cm.
b) r = 24 cm.
2 cm
d r =
dt
min
el área de la esfera es:
A = 4 π r2 (cm)2
2 4 r d r
dA = π
( )
d t
dt

65
Pero:
2 cm
d r =
dt
min
r = 6 cm
Reemplazando
2 4 r d r
dA = π
( )
d t
dt
cm2 2 4 6 2
dA = π
( ) ( )( )
min
dt
cm2 96
min
dA = π
dt
b) r = 24 cm.
2 cm
d r =
dt
min
el área de la esfera es:
A = 4 π r2 (cm)2
2 4 r d r
dA = π
( )
d t
dt
Pero:
2 cm
d r =
dt
min
r = 24 cm
Reemplazando
2 4 r d r
dA = π
( )
d t
dt
cm2 2 4 24 2
dA = π
( ) ( )( )
min
dt
cm2 384
min
dA = π
dt
Problema # 9
Un globo esférico se hincha a razón de 20 pies3/min. Como varia el radio en el instante en que el
radio es
a) 1 pie
b) 2 pies?

66
a) 1 pie
pies3 20
min.
dV =
dt
d r
Calcular dt
cuando el radio = 1 pie.
3 pie3 r
V = 4 π
3
min.
3 4
dV = π
( )
r2 d r
dt
3
dt
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt
d r
Despejamos dt
d r
dt
1 dV
=
π
dt
4 r2
pies3 20
dV = radio = 1 pie.
Pero: min.
dt
Reemplazando
1 =
π
( )
20 d r
( )
dt
4 1 2
5 = d r
π
dt
5 pies
seg
d r
dt
π
=
b) 2 pies?
pies3 20
min.
dV =
dt
d r
Calcular dt
cuando el radio = 2 pie.
3 pie3 r
V = 4 π
3
min.

67
3 4
dV = π
( )
r2 d r
dt
3
dt
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt
d r
Despejamos dt
d r
dt
1 dV
=
π
dt
4 r2
pies3 20
dV = radio = 2 pie.
Pero: min.
dt
Reemplazando
1 =
π
( )
20 d r
( )
dt
4 2 2
d r
dt
5 =
π
4
pies
seg
5
4
d r
dt
π
=
Problema # 10
La formula para el volumen de un cono es:
r2 h
3
V
π
=
d v
Hallar la razón de cambio del volumen dt
2 pulg.
d r si = dt
min
y h = 3 r cuando:
a) r = 6 pulg.
b) r = 24 pulg.
a) r = 6 pulg.
El volumen del cono es:
π
V
=
r2 h
3
h = 3 r
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
(r)2 (3 r)
3
V
π
=
h = 3 r
r

68
V 3
π
(r)3
3
=
V = π r3
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)h
3 r2 d r
d V = π
( )
dt
dt
2 pulg.
d r =
r= 6 pulg. min
dt
d V = π
(3) (6)2 (2)
dt
pulg3 216
min
d V = π
dt
b) r = 24 pulg.
π
V
=
r2 h
3
h = 3 r
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
(r)2 (3 r)
3
V
π
=
V 3
π
(r)3
3
=
V = π r3
3 r2 d r
d V = π
( )
dt
dt
2 pulg.
d r =
r= 6 pulg. min
dt
d V = π
(3) (6)2 (2)
dt
pulg3 216
min
d V = π
dt

69
Problema # 11
Sobre un montón cónico cae arena a razón de 10 pies3/min. El diámetro de la base del cono es
aproximadamente tres veces su altura. A que ritmo esta cambiando la altura del montón cuando
su altura es 15 pies?
pies3 10
min
d V =
dt
h = 15 pies.
El diámetro de la base del cono = 3 altura del cono
como el diámetro = 2 radio
2 radio = 3 altura del cono
altura del cono = 1/3 * 2 radio
h = 2
r
3
Despejamos el radio
r = 3
h
2
Elevamos al cuadrado
2
h
2
⎟⎠
r2 = ⎛
3 ⎞
⎜⎝
r2 = 9
el volumen del cono es:
π
=
Pero:
r2 h
3
V
r2 = 9
h2
4
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
9
h2 (h)
4
= ⎛
V ⎟⎠
3
⎞
⎜⎝
π
h3
V 3
π
=
4
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo (t)
d V π
( )
h2 d h
4
dt
3 3
dt
=
h = 15 pies
r
h2
4

70
Reduciendo términos semejantes.
h2 d h
4
dt
9
d V π
dt
=
d h
Despejamos dt
d V
dt
4
9 h2
d h
dt
π
=
Pero: h = 15 pies.
pies3 10
min
d V =
dt
d V
4
9 h 2
( ) dt
d h
dt
π
=
4
( )
(10)
9 15 2
d h
dt
π
=
pies
8
8
40
40
= = = =
( ) ( 9 ) ( 225
) ( 9 ) ( 45
) 405
min.
9 15 2
d h
dt
π π π π
pies
min.
8
405
d h
dt
π
=
Problema 3.48 Problemas resueltos calculo diferencial (Manuel Casabianca)
En una fábrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia abajo de 20 m. de altura y 5
metros de radio, al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el nivel del
liquido esta a 10 m de altura. Hallar:
SEMEJANZA DE TRIANGULOS
20 m r
A que velocidad sube el nivel del liquido, cuando h = 10 metros?
m3 1
d V =
dt
min
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)
h = 20 metros
r = 5 metros
10 m
r 20 m
5 m
10 m
5 m

71
h = 4 r
Despejando r
r = h
4
2
⎟⎠
r2 = ⎛
h ⎞
4
⎜⎝
r 2 h2 =
16
π
=
Pero:
r2 h
3
V
2 h2 r =
16
se reemplaza
h
h2
⎞
⎛
V ⎟ ⎟
16
3
⎠
⎜ ⎜
⎝
=
π
π
V
=
h3
48
d V π
( )
h2 d h
48
dt
3
dt
=
h2 d h
dt
d V π
=
dt 16
d h
Despejamos dt
d V
h2
dt
16
d h
dt
π
=
Pero: h = 10 m.
m3 1
min
d V =
dt
d V
h2
dt
16
d h
dt
π
=
16
( )
(1)
10 2
d h
dt
π
=

SEMEJANZA DE TRIANGULOS
72
0,05 m
16
16
16
d h = = = =
( ) ( 100
) 314,15
min.
10 2
dt
π π
0,05 m
d h =
dt
min.
El nivel del líquido sube a razón de 0,05 m/min.
h = 4 r
4 d r
dt
d h =
dt
d r
Despejamos dt
d r
dt
1 =
d h
4
dt
0,05 m
d h =
Pero: min.
dt
d h
4
dt
1
d r =
dt
1
(0,05)
4
d r =
dt
0,0125 m
min
d r =
dt
A que velocidad aumenta el área de la superficie libre del liquido?
La superficie libre del líquido es:
A = π r2
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
Pero:
0,0125 m
d r =
dt
min
Por semejanza de triángulos (VER DIAGRAMA)
5
20 =
10
r
Despejando
20 r = 50
r = 50
20
r = 5
metros
2
Reemplazando
5 m
20 m r
10 m

73
2 r d r
dA = π
( )
d t
dt
m2 0,0125
2 5
⎞
= π ⎛
( ) ( )
min
2
dA
dt
⎟⎠
⎜⎝
m2 5 0,0125
dA = π
( )( )
min
dt
m2 5 0,0125
dA = π
( )( )
min
dt
m2 0,196
dA =
dt
min
la superficie libre del liquido aumenta a razon de 0,196 m2/min.
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior?
P = 2 π r
2 d r
d t
d P = π
dt
Pero:
0,0125 m
min
d r =
dt
Reemplazando
2 d r
d t
d P = π
dt
d P = π
2 (0,0125)
dt
0,078 m
d P =
dt
min
El perímetro de la superficie libre aumenta a velocidad constante de 0,078 m/min.
A que velocidad aumenta el área mojada ?
POR PITAGORAS
L = h2 + r2
El área mojada por el liquido es:
A = π r L
A =π r h2 + r2
A ⎟⎠=π r ⎛ h 2 1 2 +
r 2 ⎞
⎜⎝

74
( ) ( ) ( )
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
⎤
⎥⎦
dA ⎡
2 2 1 2 -1 2 2 1 2
π r 1
= ⎛
⎢⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛ ⎟⎠
⎜⎝
⎞
h r 2h dh
+ ⎛ + ⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎜⎝
dt
2r dr
dt
dr
2
dt
( ) ( ) ( )
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
⎤
⎥⎦
dA ⎡
π 2 2 -1 2 2 2 1 2
r 1
= ⎛
⎢⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛ ⎟⎠
⎜⎝
⎞
h r 2h dh
+ ⎛ + ⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎜⎝
dt
2r dr
dt
dr
2
dt
2h dh
2
dA ⎞
2 2 1 2
= ⎛
2r dr
( ) ( )
( )
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪ ⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛
⎜⎝
+
+
⎟⎠
⎜⎝
dt
h r
dt
dt
r 1
dt
2 2 1 2
π
+
r dr
h dh
2
( ) ( ) ( )
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪ ⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
dA 2 2 1 2
r 1
= ⎛
⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛
⎜⎝
+
⎞
⎟⎠
⎜⎝
dt
h r
dt
dt
2
dt
2 2
π
h dh
r
dA 2 2
( )
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪ ⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛
⎜⎝
+
+
=
dt
r dr
h r
dt
dt
dt
2 2
π
pero:
L = h2 + r2
L2 = 102 + 2,52
L2 = 100 + 6,25
L2 = 106,25
L = 106,25
L= 10,3 metros
h2 + r2 =10,3metros
r = 2,5 metros
h = 10 metros
0,05 m
min.
d h =
dt
0,0125 m
min
d r =
dt
reemplazar
h dh
r
dA 2 2
( )
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪ ⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟⎠
h r dr
+ + ⎛
⎜⎝
+
+
=
dt
r dr
h r
dt
dt
dt
2 2
π
r = 2,5 m
L
10 m

75
( )
2,5 dr
10 dh
( ) ( )
10,3 dr
+ ⎛
( )
⎫
⎪ ⎪⎭
⎪ ⎪⎬
⎧
⎪ ⎪⎩
⎪ ⎪⎨
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
dA π
⎣
⎞
⎟⎠
⎜⎝
+
=
dt
10,3
dt
dt
2,5
dt
( )( )( ) ( )( ) ( )( )⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
⎤
⎥⎦
dA π
⎡
⎢⎣
+
+
2,5 10 0,05 2,5 0,0125
= 10,3 0,0125
10,3
dt
( )( ) ( ) ( )
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
⎤
⎥⎦
dA π
⎡
⎢⎣
+
+
2,5 0,5 0,031
= 0,128
10,3
dt
( )( ) ( )
⎭ ⎬ ⎫
⎩ ⎨ ⎧
⎤
⎥⎦
dA π
⎡
2,5 0,531
= + 0,128
⎢⎣
10,3
dt
dA = π +
{ [(2,5)(0,051) (0,128) ]}
dt
dA = π +
{ [(0,128) (0,128) ]}
dt
dA = π
{ [(0,256) ]}
dt
dA 2
0,8 m
min
dt
=
El área mojada aumenta a razón de 0,8 m2/min
Un globo sonda de forma esférica se eleva pero pierde gas a razón de 4 cm3/seg.
Con que rapidez disminuye el radio, cuando su diámetro es de 4 metros.
Si el radio del globo es r, su volumen V decrece 4 cm3/seg. Luego la razón de cambio del
dV cm3 volumen =
4
dt
seg.
d r
Calcular dt
cuando el diámetro = 4 m.
Por lo tanto el radio = 2 metros.= 200 cm
3 cm3 r
V = 4 π
3
min.
dV = π
3 4
( )
r2 d r
dt
3
dt
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt
d r
Despejamos dt

76
d r
dt
dV
1 =
π
dt
4 r2
cm3 - 4
dV = radio = 200 cm.
Pero: dt
seg.
Reemplazando
1 =
( )
- 4 d r
( )
dt
4 π
200 2
-1 =
d r
π
( 40000
) dt
-1
125663,706
d r =
dt
7,95 x 10- 6 cm
seg
d r =
dt
Una esfera de metal se dilata por el calor. En un instante dado su radio es de 10 cm. y aumenta a
razón de 3 cm /min.
A que velocidad aumenta el volumen ?
Si el radio del globo es r, su radio r crece 3 cm/min. Luego la razón de cambio del radio
3 cm
min.
d r =
dt
d V
Calcular dt
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el volumen del
globo con el radio.
3 cm3 r
V = 4 π
3
min.
dV = π
3 4
( )
r2 d r
dt
3
dt
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt
d r = 3 cm
radio = 10 cm.
Pero: dt
min.
Reemplazando
dV = π
4 r2 d r
( )
dt
dt

dV =
El volumen aumenta a 3769,91 cm3/min.
A que velocidad aumenta la superficie?
Para hallar la razón de cambio, es necesario utilizar una ecuación que relacione el área del globo
con el radio.
La superficie de la esfera es:
A = 4 π r2
77
cm3 4 10 2 3
dV = π
( ) ( ) ( )
min
dt
dV = π
(4) (10)2 (3)
dt
dV = π
(4) (100)(3)
dt
cm3 1200
dV = π
( )
min
dt
cm3 3769,91
min
dt
dA = π
2 4 r d r
( )( )
d t
dt
dA = π
8 r d r
( )
d t
dt
Pero:
d r =
3 cm
dt
min.
Reemplazando
dA = π
8 r d r
( )
d t
dt
cm2 8 10 3
dA = π
( ) ( )( )
min
dt
cm2 240
dA = π
( )
seg
dt
cm2 753,98
seg
dA =
dt
La superficie aumenta a razón de 753,98 cm2/seg.

Se arroja arena en un montón cónico a razón de 2 m3/min. Hallar la razón de cambio de la altura
del montón cuando su altura es 1,5 metros. Supóngase que el radio del cono es igual a su altura.
h = 1,5 metros
radio del cono = altura del cono
r = h
78
m3 2
min
d V =
dt
π
V
=
r2 h
3
radio del cono = altura del cono
r = h
r2 = h2
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
(h)2 (h)
3
V
π
=
(h)3
3
V
π
=
d V π
h 2 d h
3
( ) ( )
dt
3
dt
=
h2 d h
dt
d V =π
dt
d h
Despejamos dt
d V
h2
dt
1
d h
dt
π
=
radio del cono = altura del cono = 1,5 metros
m3 2
min
d V =
dt
1
( )
(2)
1,5 2
d h
dt
π
=
h
r

79
0,2829 metros
d h = 2
= 2
=
( 2,25
) 7,068
min.
dt
π
Una cinta transportadora vierte arena en un piso horizontal formando un montón de forma cónica
en el que por el coeficiente de rozamiento de los granos siempre la altura es igual a la tercera
parte del diámetro de la base.
Si la cinta descarga arena a razón de 720 dm3/min. Y la salida del punto de descarga esta a 5
dm. Sobre el nivel del piso, calcular la velocidad de variación de la altura del cono, en el momento
en que alcanza el nivel del orificio.
dm3 720
min
d V =
dt
h = 5 dm.
altura del cono = 1/3 del diámetro de la base
h = 2
r
3
Despejamos el radio
r = 3
h
2
2
h
2
r2 3 ⎟⎠
⎞
= ⎛
h2
4
⎜⎝
r2 = 9
π
=
Pero:
r2 h
3
V
r2 = 9
h2
4
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
9
h2 (h)
4
= ⎛
V ⎟⎠
3
⎞
⎜⎝
π
h3
V 3
π
=
4
h = 5 dm.
r

80
d V π
( )
h2 d h
4
dt
3 3
dt
=
d V π
h2 d h
4
dt
9
dt
=
d h
Despejamos dt
d V
dt
4
9 h2
d h
dt
π
=
h = 5 dm.
dm3 720
min
d V =
dt
d V
4
9 h 2
( ) dt
d h
dt
π
=
4
( )
(720)
9 5 2
d h
dt
π
=
4,07 dm
d h = 2880
= 2880
= 2880
=
( ) ( 9 ) ( 25
) 706,85
min.
9 5 2
dt
π π
De un tubo sale arena a razón de 16 dm3 / seg. Si la arena forma una pirámide cónica en el suelo
cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base con que rapidez aumenta la pirámide cuando
tiene 4 dm. De altura?
dm3 16
seg
d V =
dt
h = 4 dm.
altura del cono = 1/4 del diámetro de la base
h = 1
r
2
Despejamos el radio
r = 2 h
r2 = (2 h)2
r2 = 4 h2
h = 4 dm.
r

81
π
=
Pero:
r2 = 4 h2
r2 h
3
V
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
4 h2 (h)
V ⎟⎠ ⎞
3
⎜⎝ ⎛
=
π
h3
V 4
π
=
3
d V π
( )
h2 d h
3
dt
3 4
dt
=
d V = π
4 h2 d h
dt
dt
d h
Despejamos dt
d V
dt
1
4 h2
d h
dt
π
=
h = 4 dm.
dm3 16
seg
d V =
dt
d V
dt
1
4 h2
d h
dt
π
=
1
( )
(16)
9 4 2
d h
dt
π
=
0,035 dm
d h = 16
= 16
= 1
= 1
=
( ) ( 9 ) ( 16
) ( 9
) 28,27
seg.
9 4 2
dt
π π π
Una cortadora de madera vierte aserrín seco sobre un piso horizontal a razón de 2800 cm3/hora.
el cual va formando una pila cónica.
El aserrín tiene un coeficiente interno de rozamiento de 3 lo que corresponde a un ángulo
constante con la horizontal de 600.
Calcular la velocidad a la cual crecen el radio y la altura del cono de aserrín cuando la altura es de
1,2 metros?

82
El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es:
π
V
=
r2 h
3
Como el ángulo de la base es constante = 600 la relacion
Entre la altura ( h) y elredio ( r) es:
μ = tag 600 = h
r
3 = h
r
r = h
3
r = ( h
2 )2
3
2
r 2
= h
3
se reemplaza
r2 h
3
V
π
=
(h)
h
3
= ⎛
3
V
2
⎞
⎟⎠
⎜⎝
π
V 3 π
h
9
=
d V π 2
( )
h d h
9
dt
3
dt
=
d V π 2
h d h
dt
=
dt 3
d h
Despejamos dt
d V
dt
3
h
d h
dt
π 2
=
h = 1,2 m = 120 cm.
d V 3
2800 cm
hora
dt
=
Ө = 600
h = 1,2 m
r

83
3
( )
(2800)
120
d h
dt
π 2
=
8400
8400
d h = =
( ) 45238,934
14400
dt
π
0,1856 cm
hora
d h =
dt
μ = tag 600 = h
r
μ = 3 = h
r
h = 3 r
3 d r
dt
d h =
dt
d r
Despejar dt
d h
3
dt
1
d r =
dt
Pero:
0,1856 cm
hora
d h =
dt
1
(0,1856)
3
d r =
dt
d r =
0,1071 cm
dt
hora
La altura aumenta a razón de 0,185 cm/hora y el radio aumenta a 0,1071 cm/hora
En una fabrica hay un tanque cónico circular recto con el vértice hacia debajo de 20 metros de
altura y 5 metros de radio. Al cual se vierte agua a razón de 1 m3/min. Y en un momento dado el
nivel del liquido esta a 10 metros de altura
Hallar: a que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.
A que velocidad aumenta el área mojada?
A que velocidad sube el nivel del liquido dh/dt?
el volumen del liquido es:
r2 h
3
V
π
= ecuación 1

84
Por semejanza de triángulos
5
20 =
h
r
20 r = 5 h
4 r = h
Despejando el radio (r)
r = h
4
h
16
r h
4
2 2
⎞
= ⎛
2 = ⎟⎠
⎜⎝
r h
2
2 = Ecuación 2
16
Reemplazando la ecuación 2 en ecuación 1.
r2 h
3
V
π
=
h
h
16
3
V
2
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
=
π
h
V h
2
48
=π
V 3 π
h
48
=
d V π 2
( )
h d h
48
dt
3
dt
=
d V π 2
h d h
dt
=
dt 16
d h
Despejamos dt
dv
dt
16
h
d h
dt
π 2
=
d v 3
1 m
Cuando h= 10 metros dt
min
=
16
( )
(1)
10
d h
dt
π 2
=
r
5 m
h = 20 m
h = 20 m.
5 m

85
16
314,15
d h = 16
=
100
dt
π
0,05 m
min
d h =
dt
A que velocidad aumenta aumenta el área de la superficie libre del liquido?
La superficie libre del líquido es:
A = π r2
2 h
2
Pero: r =
16
A h
2
16
=π
= ⎛
( )
h dh
dt
16
2
d A
dt
⎞
⎟⎠
⎜⎝
π
h dh
dt
d A
= ⎛
dt 8
⎞
⎟⎠
⎜⎝
π
0,05 m
d h =
Cuando h = 10 metros dt
min
(10)(0,05)
d A
= ⎛
dt 8
⎞
⎟⎠
⎜⎝
π
1,5707
8
d A
dt
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
d A 2
0,196 m
min
dt
=
A que velocidad aumenta el perímetro de la superficie libre anterior.
p = 2 π r
r = h
pero; 4
p = 2 π h
4
p = π h
2
dh
dt
dp π
=
dt 2
0,05 m
d h =
Pero dt
min

86
(0,05)
dp π
=
dt 2
0,078 m
min
dp =
dt
A que velocidad aumenta el área mojada?
r = h
4
r = 10
4
r = 2,5 metros
l2 = r2 + h2
l = r2 +h2
l2 = 2,52 + 102
l2 = 6,252 + 100
l2 = 106,25
l = 106,25
l = 10,3 cm.
A = π r l
r2 +
h2 Pero: l = A =π (r) r2 +h2
r = h
Pero: 4
r h
2
16
2 =
h2 ⎞
+
⎛
A h h2
4
16
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎞
⎟⎠
=π ⎛
⎜⎝
A h
4
17 h2
16
⎞
⎟ ⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜ ⎜
⎝
⎞
⎟⎠
=π ⎛
⎜⎝
⎛
A h ( ⎟ ⎟ h )
17
4
4
⎠
⎞
⎜ ⎜
⎝
⎞
⎟⎠
=π ⎛
⎜⎝
h2
A 17 ⎟⎠ ⎞
16
⎜⎝ ⎛
=
π
r
h = 10 m l

87
h dh
dA ( ) π ( )
17
dt
16
2
dt
=
h dh
dA π ( )
17
dt
=
dt 8
Pero h = 10 metros
d h m
Pero =
0,05 dt
min
dA π 17
(10) (0,05)
=
dt 8
(0,05)
129,53
8
dA =
dt
16,191(0,05)
dA =
dt
m2 0,8095
seg.
dA =
dt
La generatriz de un cono circular recto mide 4 metros y su ángulo en el vértice es 2Ө.
Si Ө aumenta a razón de 2 0/seg. Calcular a que velocidad cambia el volumen cuando el angulo
mitad Ө es de 300.
Los valores de r y h en función de la generatriz y del ángulo Ө son:
sen θ = r
4
r = 4 sen Ө
r2 = (4 sen Ө)2
r2 = 16 sen2 Ө (ecuación 1)
cosθ = h
4
h = 4 cos Ө (ecuación 2)
Reemplazar:
r2 h
3
V
π
=
π
=
(16 sen )(4 cos )
3
V 2 θ θ
(sen )(cos )
π
V 64 2 θ θ
=
3
Derivada de un producto
2Ө
l = 4 m.
h
r

88
[( )( )( )( ) ( )( )] dt
dV 2 θ
2 sen cos cos - sen sen d
64
3
dt
θ θ θ θ θ
π
= +
( )( )( ) ( ) dt
dV 2 2 θ
2 sen cos - 64
sen sen d
3
64
3
dt
θ θ
π
θ θ
π
⎤
⎥⎦
= ⎡
⎢⎣
dV 2 3 θ
( )( )
sen d
3
dt
sen cos - 64
128
3
dt
θ
π
θ θ
π
⎤
⎥⎦
= ⎡
⎢⎣
Pero Ө = 300
2 grados
seg
d θ
=
dt
2π rad 3600
X 20
0,0349065 rad.
dV π 2 π 3 θ
( )( )
sen 30 d
3
dt
sen 30 cos30 - 64
128
3
dt
⎤
⎥⎦
= ⎡
⎢⎣
(0,0349065)
2
dV 1
3 2
- 64
π π
3
3
2
1
2
128
= ⎛
3
dt
⎤
⎥ ⎥
⎦
⎡
⎢ ⎢
⎣
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎞
⎜ ⎜
⎟⎠
⎝
⎜⎝
( ) 1
(0,0349065)
8
- 64
= ⎛
3
128 3
24
dV
dt
⎤
⎥⎦
⎡
⎢⎣
⎞
⎟⎠
⎜⎝
π π
(0,0349065)
- 64
24
384
24
dV
dt
⎤
⎥⎦
= ⎡
⎢⎣
π π
(0,0349065)
320
24
dV
dt
⎤
⎥⎦
= ⎡
⎢⎣
π
41,887 (0,0349065)
dV =
dt
dV 3
1,46 m
seg
dt
=
Un tanque en forma de cono circular recto tiene el vértice hacia abajo, su radio superior es de 80
cm y su altura es 1,4 metros.
Esta parcialmente lleno de aceite y presenta un escape por el fondo y el aceite sale a una
velocidad proporcional a la raíz cuadrada de la altura y a las características del orificio e igual a :
0,08 h m
3
min
Calcular la velocidad de descenso del nivel de aceite en el tanque en el momento en que la altura
del liquido sea de 50 cm?

89
El volumen de aceite contenido en el cono
Para un radio ( r) y una altura ( h) es:
r2 h
3
V
π
=
r = h
0,8 1,4
1,4 r = 0,8 h
r = 0,8 h
1,4
r = 0,571428 h
r 2 = (0,571428 h)2
r 2 = 0,3265 h2
reemplazando
r2 h
3
V
π
=
(0,3265 h )h
3
V 2 π
=
V = 0,3419 h3
derivamos
dV = 2
0,3419 ( 3 )
h dh
dt
dt
dV = 2
1,0257 h dh
dt
dt
Pero h = 0,5 metros
0,08 h
dV =
dt
0,08 0,5
dV =
dt
0,08 (0,7071)
dV =
dt
dV 3
0,056 m
min
dt
=
dV = 2
1,0257 h dh
dt
dt
0,056 =1,0257 ( 0,5 )
2 dh
dt
h = 1,4 m.
.80 m
r
0,80 m
h = 1,4 m
h

90
0,2184 m
dh = 0,056
= 0,056
=
( ) 0,2564
min
1,0257 0,25
dt
Dos lados de un triangulo miden 4 y 5 metros y el ángulo entre ellos aumenta con una rapidez de
0,06 rad/seg. Calcule la rapidez con que el área y la altura del triangulo se incrementan cuando el
ángulo entre los lados es de π/3.
0,06 rad
seg
d θ
=
dt
π 1800
π/3. x
( )
600
180
x = 3 =
π
π
sen θ = h
5
Despejamos la altura del triangulo
h = 5 sen Ө ecuación 1
El área del triangulo es:
A = 1
(base )(altura)
2
A = 1
(4 )(h)
2
A = 1 θ
(4 )(5 sen )
2
A = 10 sen Ө
d A θ
10 cos d
dt
dt
= θ
Pero:
Ө = 600
0,06 rad
seg
d θ
=
dt
d A θ
10 cos d
dt
dt
= θ
10 cos 60 (0,06)
d A =
dt
0,6 cos 60
d A =
dt
5 m
h
4 m
Ө

91
0,6 (0,5)
d A =
dt
m2 0,3
seg
d A =
dt
h = 5 sen Ө ecuación 1
d h θ
5 cos d
dt
dt
= θ
Pero:
Ө = 600
0,06 rad
seg
d θ
=
dt
d h θ
5 cos d
dt
dt
= θ
5 cos 60 (0,06)
d h =
dt
0,3 cos 60
d h =
dt
0,3 (0,5)
d h =
dt
0,15 m
seg
d h =
dt
Problema 27 calculo Larson Edic 8
Un campo de béisbol tiene forma cuadrada de 90 pies de lado. Un jugador que dista 30 pies de la
tercera base esta corriendo a 28 pies/seg.
A que ritmo esta cambiando su distancia al punto de recepción?
Por Pitágoras
S2 = X2 + 902
2x d x
dt
2S d S =
dt
S d S =
Despejamos
x d x
dt
dt
x
d x
S
dt
d S =
dt
Por Pitágoras
S2 = X2 + 902
3 BASE
2 BASE
X = 30 pies
S
90 pies 90 pies
1 BASE

92
Pero X = 30 metros
S2 = X2 + 902
S2 = 302 + 902
S2 = 900 + 8100
S2 = 9000
S = 9000
S = 94,868 pies
28 pies
seg
d x =
dt
x
d x
S
dt
d S =
dt
(28)
30
94,868
d S =
dt
8,85 pies
seg
d S =
dt
Sección 3.7 Problema 29 calculo Larson Edic 5 Pág. 160
Un hombre de 6 pies de altura camina a 5 pies/seg. Alejándose de una farola cuya bombilla esta a
una altura de 15 pies. Sobre el suelo (véase la figura). Cuando el hombre esta a 10 pies de la
base de la farola
5 pies
seg
d x =
dt
A que velocidad se mueve el extremo de su sombra?
d y =
dt
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?
y – x es la longitud de la sombra
6
y - x
15 =
y
15 (y – x) = 6 y
15 y – 15x) = 6 y
15 y – 6 y = 15x
9 y = 15x
Despejamos y
y = 15
(x)
9
y = 5
(x)
3
6 pies
15 pies
x y - x
y

93
d x
3
dt
5
d y =
dt
Pero:
5 pies
seg
d x =
dt
5
(5)
3
d y =
dt
pies
3
seg
25
d y =
dt
A que ritmo esta cambiando la longitud de su sombra?
( )
- d x
dt
d y
dt
d y - x =
dt
Pero:
pies
3
seg
25
d y =
dt
d x =
5 pies
dt
seg
( ) 25
- 5
3
d y - x =
dt
( )
pies
3
seg
10
d y - x = 25
- 15
=
dt
3
3
( )
pies
3
seg
10
d y - x =
dt
Si Angélica mide 1,80 metros de altura y se aleja de la luz de un poste de alumbrado público, que
esta a 9 metros de altura, a razón de 0,6 metros por segundo, entonces:
Con que rapidez aumenta la longitud de su sombra cuando Angélica esta a 7,2 metros del poste, a
9 metros?
d y Con que rapidez se mueve el extremo de su sombra? =
dt
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?
0,6 m
seg
d x =
dt
1,8
y - x
9 =
y
9 (y – x) = 1,8 y
Ө
1,8 m
9 m
x y - x
y

94
9 y – 9x) = 1,8 y
9 y – 1,8 y = 9 x
7,2 y = 9 x
Despejamos y
y = 9
(x)
7,2
y =1,25 (x)
1,25 d x
dt
d y =
dt
Pero:
0,6 m
seg
d x =
dt
1,25 (0,6)
d y =
dt
0,75 m
seg
d y =
dt
Para seguir el extremo de su sombra, a que razón angular debe alzar la cabeza cuando su
sombra mide 1,8 metros de largo?
La longitud de la sombra es: ver grafica
y – x = 1,8 metros
tgθ = opuesto
adyacente
tgθ = 1,8
y - x
y - x = 1,8
tgθ
y - x =1,8 (tgθ )−1
tgθ = opuesto
adyacente
tgθ = 1,8 =
1
1,8
tg Ө = 1
Ө = arc tg 1
Ө = 450
Se( d y deriv)a implícitamente con respecto al tiempo (t) - x ( )
θ
-1 sec2 d
dt
dt
= θ
Ө
1,8 m
y - x

95
( ) ( )
d y θ
-1 sec2 d
dt
- d x
dt
dt
= θ
Pero;
0,6 m
seg
d x =
dt
0,75 m
seg
d y =
dt
0,75 - 0,6 ( -1 )( sec )
2 d
θ
dt
= θ
( )( )
0,15 -1 sec 2 d
θ
dt
= θ
dθ
DESPEJAMOS dt
d
dt
- 0,15
sec2
θ
θ
=
Pero Ө = 450
- 0,15
d
( ) dt
sec 45 2
θ
=
- 0,15 ( cos 45 )
2 d
θ
dt
=
- 0,15 (0,7071)2
d θ
=
dt
- 0,15 ( 0,5 )
rad
seg
d θ
=
dt
0,075 rad
seg
d θ
=
dt
( )
- d x
dt
d y
dt
d y - x =
dt
Pero:
0,75 pies
seg
d y =
dt
0,6 m
d x =
dt
seg
( ) 0,75 - 0,6
dt
d y - x =
( )
0,15 m
seg
d y - x =
dt

Ejemplo # 4 calculo Larson pag. 155 edic 5.
Un avión vuela a 6 millas de altitud en línea recta hacia la posición de un radar. Sea S la distancia
en millas entre el avión y el radar. Si S esta decreciendo a razón de 400 millas por hora cuando S
es 10 millas. Cual es la velocidad del avión?
96
S = 10 millas 6 millas
- 400 millas
hora
dS =
dt
x
dx S = 10 millas.
dt
Por el teorema de Pitágoras
S2 = X2 + 62
102 = X2 + 62
100 = X2 + 36
100 - 36 = X2
X2 = 64
X = 8 millas
S2 = X2 + 62
Derivando implícitamente con respecto a x
2 x dx
dt
2 s dS =
dt
x dx
dt
s dS =
dt
dx
dt
dS
x
s =
dt
reemplazando
( - 400 )
dx
8
dt
10 =
- 500 millas
hora
dx =
dt
Luego la velocidad es de
500 millas
hora
Problema 3.31 Problemas resueltos de calculo diferencial (M. Casabianca)

Un avión bombardero vuela horizontalmente hacia su objetivo a una velocidad de 800 km/hora. Y
a 8 km de altura.
97
a) A que velocidad se aproxima a su blanco cuando dista horizontalmente 10 km de el?
b) A que velocidad gira el angulo de mira en ese momento?
S2 = X2 + 82
S2 = 102 + 82
S2 = 100 + 64
S2 = 164
S = 2 41
tgθ = 8
x
ctgθ = x
8
θ = arc ctg x
(rad)
8
S2 = X2 + 82
Derivando implícitamente con respecto a x
2 x dx
dt
2 s dS =
dt
x dx
dt
s dS =
dt
dx
s
dt
x
dS =
dt
Pero
- 800 km
dx = x = 8 km.
hora
dt
dx
s
dt
x
dS =
dt
(- 800)
10
2 41
dS =
dt
S 8 km
X = 10 km

98
625 km
hora
dS = = - 4000
=
6,4
- 4000
41
dt
Derivando implícitamente con respecto a t
ctgθ = x
8
1
d x
8
dt
θ
- csc2 d =
dt
θ
⎞
⎟⎠
d x
- 1
= ⎛
⎜⎝
rad
hora
dt
8 csc
d
dt
2 θ
θ
sen θ = 8
s
cscθ = s
8
csc s
8
2
⎞
θ = ⎛
2 ⎟⎠
⎜⎝
csc s
2
2 θ = pero: S2 = 164
64
csc2 θ = 164
64
⎞
⎟⎠
d x
- 1
= ⎛
⎜⎝
rad
hora
dt
8 csc
d
dt
2 θ
θ
d x
dt
- 1
8 164
64
d
dt
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
θ
(- 800)
- 1
8 164
64
d
dt
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
θ
(- 800)
- 1
164
8
d
dt
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
θ
800
164
8
d
dt
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
θ
39,02 rad
hora
d = 6400
=
164
θ
dt
Dos aviones vuelan a la misma altura en dos rutas paralelas distantes 50 km siempre en dirección
Este. Sus velocidades respectivas son 240 km/hora. y 180 km/hora. A las 12:00 horas, uno de
ellos esta al norte del otro.
Con que velocidad se separan a las 14:00 horas.
Pasado un tiempo t, la distancia entre los aviones es la grafica de vuelo.

99
X es la diferencia de recorrido lineal entre los aviones a causa de la diferencia de velocidades
V 240 km a = Xa = 240 km/hora * 2 horas = 480 km
hora
V 180 km b = Xb = 180 km/hora * 2 horas = 360 km
hora
X = Xa - Xb = 480 km - 360 km = 120 km.
X = 120 km.
S2 = X2 + 502
S2 = 1202 + 502
S2 = 1202 + 502
S2 = 14400 + 2500
S2 = 16900
S = 130 km
S2 = X2 + 502
2 x dx
dt
2 s dS =
dt
x dx
dt
s dS =
dt
dx
s
dt
x
dS =
dt
Pero:
dx = 60 km
X = 120 km. S = 130 km
hora
dt
60 km
( )
hora
120 km
130 km
dS =
dt
km
hora
7200
130
dS =
dt
55,38 km
hora
dS =
dt
X = Xa - Xb
50 km S

Los dos brazos de un puente levadizo giran hacia arriba alrededor de un eje comun. La longitud
del mas corto es de 3 metros y la del mas largo es de 4 metros y giran a la misma velocidad de 5
rad/seg.
Hallar a que velocidad se acercan o separan las dos extremidades cuando ambos marcan un
angulo de 45 grados con la horizontal?
Ver la grafica
Ө + β + Ө = 1800
2Ө + β = 1800
2Ө = 1800 - β
2Ө = 1800 - β
100
- d
θ β
=
dt
2 d
dt
5 rad
seg
d θ
=
dt
Reemplazando
( )
2 5 - d
β
dt
=
-10 rad
seg
d β
=
dt
2Ө + β = 1800
Pero Ө = 450
2(45) + β = 1800
90 + β = 1800
β = 1800 -900
β = 900
5 rad
seg
d θ
=
dt
b = 4 metros
c = 3 metros
Aplicando ley de coseno
a2 = b2 + c2 – 2 b c cos β
a2 = 42 + 32 – 2 (4) (3) cos β
a2 = 16 + 9 – 24 cos β
a2 = 25 – 24 cos β
c = 3 m
b = 4 m
β
a
Ө Ө

101
a = 25 - 24 cosβ
a = (25 - 24 cosβ ) 1 2
a = (25 - 24 cosβ ) 1 2
d a -1 2 β
25 - 24 cos - - 24 sen d
( ) ( ( ))
dt
1
2
dt
⎞
β β ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
d a -1 2 β
25 - 24 cos 24 sen d
( ) ( )
dt
1
2
dt
⎞
β β ⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
d a -1 2 β
25 - 24 cos 12 sen d
( ) ( )
dt
dt
= β β
( 12 sen
β
)
d
( ) dt
25 - 24 cos
d a
dt
1 2
β
β
=
Pero:
β = 900
-10 rad
seg
d β
=
dt
Reemplazar
( 12 sen
β
)
d
( ) dt
25 - 24 cos
d a
dt
1 2
β
β
=
( )
( )
(-10)
12 sen 90
25 - 24 cos 90
d a
dt
1 2
=
( )
( )
(-10)
12
=
25
( ) ( -10
) d a
dt
1 2
12
5
d a =
dt
120
5
d a −
dt
=
d a =
- 24 m
dt
min
Los extremos de los brazos se aproximan uno al otro a razón de 24 m/min.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Sección 3.7 calculo Larson edic 8 Pág. 218
Ejemplo #1 Determinación del volumen máximo
Un fabricante quiere diseñar una caja abierta que tenga una base cuadrada y un área superficial
de 108 pulg2 como se muestra en la figura. Que
Dimensiones producirá una caja con un volumen
máximo?
Debido a que la caja tiene una base cuadrada,
su volumen es:
V = x * x * h
V = x2 * h Ecuación 1
El área de la superficie de la caja es:
A = (área de la base) + (área de los cuatro lados)
A = x * x + 4 (x * h)
A = x2 + 4 x h = 108 pulg2
x2 + 4 x h = 108
Despejamos h
x2 + 4 x h = 108
4 x h = 108 – x2
102
h 108 - x
4 x
2
= Ecuación 2
Reemplazamos Ecuación 2 en la ecuación 1
V = x2 * h Ecuación 1
)
2 2 =
V x (108 - x
4 x
Simplificando
)
V x (108 - x
4
2
=
- x
4
108x
4
V 108x - x
4
3 3
= =
Simplificando
V 27x - x
3
4
=
Derivar
dV
dx
dV 2
27 - 3 x
4
dx
=
Se iguala la derivada a cero.

103
0
27 - 3 x
4
2
=
Despejando x
27 3 x
4
2
=
3 x2 = 108
36
x2 = 108 =
3
x = ± 36
x = 6 pulg.
Si x = 6 se halla el volumen
V 27x - x
3
4
=
3
( ) ( ) 162 - 216
162 - 54 108
= = = =
4
V = 108 pulg3
V 27 6 - 6
4
se reemplaza el valor de x = 6 para hallar h
A = x2 + 4 x h = 108
x2 + 4 x h = 108
(6)2 + 4 (6) h = 108
(6)2 + 4 (6) h = 108
36 + 24h = 108
24h = 108 - 36
24h = 72
3
h = 72 =
24
h = 3 pulg.
V = x * x * h
Las dimensiones de la caja es = 6pulg. * 6 pulg. * 3 pulg.
Ejemplo # 2 Determinación de la distancia mínima.
Que puntos sobre la grafica de y = 4 – x2 son mas cercanos al punto (0,2)?
La figura muestra que hay dos puntos a una distancia mínima del punto (0,2). La distancia entre el
punto (0,2) y el punto (x, y) sobre la grafica de y = 4 – x2 esta dada por:
d = (x - 0)2 + (y - 2)2 Ecuación 1

104
La ecuación,
y = 4 – x2 Ecuación 2
se reemplaza la ecuac. 2 en la ecuac. 1.
d = (x - 0)2 + (y - 2)2
⎟⎠
d = ( x )
2 2 + ⎛
4 - x 2 - 2 ⎞
⎜⎝
⎟⎠
d = ( x )
2 2 + ⎛
2 - x 2 ⎞
⎜⎝
d = x2 + 4 - 4x 2 + x 4
d = x4 - 3x 2 + 4
f (x) = x4 – 3x2 + 4
Se deriva la parte interna del radical
f ’(x) = 4x3 – 6x
Se iguala la derivada a cero.
4x3 – 6x = 0
2x (2x2 – 3) = 0
Resolviendo
2x = 0
x = 0
2x2 – 3 = 0
2x2 = 3
x 2 = 3
2
x = ± 3
2
Las tres raíces son :
x = 0 , 3
, - 3
2
2
x = 0 produce un máximo.
x = 3 y
2
x = - 3 producen una distancia mínima.
2
En la ecuación, se reemplaza los dos valores de x para encontrar el valor de y.
y = 4 – x2 Ecuación 2
y = 4 – x2
pero
x = 3
2

105
x 2 = 3
2
y = 4 - 3
2
y = 5
2
Los puntos mas cercanos son:
⎞
⎞
⎛
−
3 y ⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠
⎛
⎜ ⎜
⎝
, 5
2
2
⎠
⎜ ⎜
⎝
, 5
2
2
3
Problema 3 calculo Larson edic 8
Encontrar dos números positivos, que la suma es S y el producto = 192 es un máximo?
x = es un numero
y = el otro numero
S = x + y ecuación 1
x * y = 192 ecuación 2
Despejamos la y
y = 192 ecuación 3
x
Se reemplaza la ecuación 3 en la ecuación 1
S = x + 192
x
S = x +192 x-1
Derivamos
d s
d x
d s = +
1 (-1)(192) x- 2
d x
1- 192
x2
d s =
d x
Iguala la derivada a cero
0
1- 192 =
x 2
1= 192
x2
X2 = 192
x = 192
y = 192 ecuación 3
x
Reemplazando x = 192

y = 192 = = = =
y = 192
S es un mínimo cuando x = y = 192
Encontrar dos números positivos. El segundo numero es el reciproco del primero y la suma es un
minimo?
x = es un numero
x
106
192
192 192
192
192 192
192 * 192
192
192
x
1 es el reciproco
S = x + 1 = +
Derivamos
x x-1
x
d s
d x
d s = +
1 (-1) x- 2
d x
1- 1
x2
d s =
d x
0
1- 1 =
x2
1= 1
x2
x2 = 1
x = 1
se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
1- 1
x2
d s =
d x
- ( - 2 )
1
x3
d2 s =
d x 2
d2 s = > =
0 cuando x 1
2
x3
d x 2
Cuando la segunda derivada es positiva, se encuentra un mínimo.
Si x = 1
1
1
1 = =
1
x

107
x =1 y 1 =
La suma es un mínimo cuando 1
x
Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene el perímetro = 100 metros y un área
máxima.
El perímetro = 2x + 2y
2x + 2y = 100
x + y = 50
despejamos y
y = 50 – x ecuación 1
área del rectángulo = x * h
A = x * y ecuación 2
Reemplazar la ecuación 1 en la ecuación 2
A = x * y
A = x * (50 – x)
A = 50x – x2
Derivamos
d A
d x
50 - 2x
d A =
d x
50 – 2x = 0
50 = 2x
25
x = 50 =
2
x
50 - 2x
d A =
d x
- 2
d2 A =
d x2
d2 A = < =
- 2 0 cuando x 25
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un MAXIMO.
y

Si x = 25
x + y = 50 25 + y = 50
y = 25
el área es máxima cuando x = y = 25 metros
Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo que tiene 64 pies2 de área y un perímetro mínimo.
área del rectángulo = x * h
A = x * y
x * y = 64
despejamos y
108
y = 64 ecuación 1
x
El perímetro = 2x + 2y
P = 2 x + 2 y ecuación 2
P = 2 x + 2 y
P = 2 x + ( 2 )
64
x
P = 2 x + 128
x
Derivamos
d P
d x
dP = +
2 (-1)(128)(x)- 2
dx
dP = −
2 128
x2
dx
0
2 − 128 =
x2
2 = 128
x2
x2 = 128
2
X2 = 64 x = 64 = 8
dP = −
2 128
x2
dx
d2 P = −
- (- 2)(128) (x) 3
d x2
x
y

y = 64
y = 8 pies
el PERIMETRO es mínimo cuando cuando x = y = 8 metros
Se desea construir un tanque metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica vertical,
abierto por su parte superior y de un volumen dado. Calcular las dimensiones del radio y de la
altura para emplear en su construcción la menor cantidad de material posible.
la lamina metálica empleada en la construcción de la pared
lateral y el fondo del tanque deberá tener la menor área posible.
Esta área será:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1
El volumen es:
V = π r2 h
Despejamos h
109
256
x3
d2 P =
d x2
d2 P = > =
0 cuando x 8
256
x3
d x 2
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.
y = 64
x
8
h V
= ecuación 2
r2
π
A = π r2 + 2 π r ecuación 1
2
A r 2
2 r V
r
π
=π + π
A =π r 2 + 2 V
r
A =π r2 + 2 V r-1
Derivamos
d A
d r
dA = π +
2 r 2 (-1)V r- 2
d r
dA = π
2 r - 2 V r- 2
d r
h
r

110
dA = 2 π
r - 2 V
d r
r2
0
2π r - 2 V =
r2
2π r = 2 V
r2
2π r3 = 2 V
π r3 = V
Despejamos r
r3 = V
π
r 3 V
π
=
1
3
⎟⎠
r = ⎛
V ⎞
⎜⎝
π
2
3
r 2 = ⎛
V ⎞
⎟⎠
⎜⎝
π
Se halla el valor de h reemplazando el valor de r2
h V
= ecuación 2
r2
π
2
3
h V
V
⎞
⎟⎠
⎛
⎜⎝
=
π
π
h V
V 2 3
( )
( )
V V 2 3
( )
( )
- 2
3
( )( )
3 V
3 V
3
V1 3
1 3
V1 3
3 3 - 2 3
3
2 3
3
V
π
2 3
2 3
π π π π π π
π
π
π
= = = =
−
=
−
= =
h 3 V
=
π
dA = π
2 r - 2 V
r2
d r
dA = π
2 r - 2 V r- 2
d r
d2 A = π −
2 - (- 2)(2) (V)(r) 3
d r2

111
d2 A = π +
2 4 V
r3
d r2
0 cuando r 3 V
2 4 V
r3
d2 A
d r2
π
= π + > =
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un MINIMO.
= y r 3 V
h 3 V
π
= ⎛
= 3
π
2
r 2 V ⎟⎠
⎞
⎜⎝
π
La superficie (A) de la lamina es:
A = π r2 + 2 π r h ecuación 1
V 1 3 V 1 3 2
A ⎟⎠
V 2 3 ⎛
⎞
⎜⎝
⎞
⎟⎠
+ ⎛ ⎟⎠
⎜⎝
⎞
= ⎛
⎜⎝
π π
π
π
π
V 2 3 A ⎟⎠
V 2 3 2
⎞
+ ⎛ ⎟⎠
⎜⎝
⎞
= ⎛
⎜⎝
π
π
π
π
A = 3 ⎟⎠
⎛
V ⎞
2 3 ⎜⎝
π
π
El área de la lámina metálica es mínima cuando;
r h 3 V
π
= =
Se desea construir un depósito metálico para almacenamiento de agua, de forma cilíndrica
vertical, con dos tapas y se dispone de una lamina rectangular de superficie dada A.
Sin tener en cuenta los sobrantes de material, determinar el radio y la altura del cilindro que
permitan obtener un tanque de capacidad máxima.
El volumen es:
V = π r2 h ecuación 1
Esta área será:
A = π r2 + π r2 + 2 π r h
A = 2 π r2 + 2 π r h
Despejamos h
A - 2 π r2 = 2 π r h
2π r h = A - 2π r2
A - 2 π
r2 h
= ecuación 2
2 π
r
V = π r2 h ecuación 1
h
r

112
)
V r2 (
A - 2 π
r2 2 π
r
=π
)
V r (
A - 2 π
r2 2
=
V
A r - 2 π
r3 2
=
2 r3 -
2
2
V A r
π
=
V = A r π
- r3
2
Derivamos
d V
d r
d V = A
π
- 3 r2
2
d r
A - 3 π r2 =
0
2
A = π
3 r2
2
Despejamos r
r2 A
2(3 π
)
=
r2 A
6
π
=
r A
6
π
=
d V = A
π
- 3 r2
2
d r
d2 V = π
d2 V = π -6 r
- (2)(3 )(r)
d r2
d r2
d2 V = A
- 6 π
r < 0 cuando r =
A
d r2
2
6
π
Se halla el valor de h reemplazando el valor de A
r2 A
6
π
=
Despejamos A

113
A = 6 π r2
Despejamos h
A - 2 π
r2 h
= ecuación 2
2 π
r
-
2 π
r2 2 r
h A
2 r
π
π
=
- r
h A
π
2 r
=
- r
h
6 π
r2 2 π
r
=
h = 3 r - r
h = 2 r
h = diámetro
El volumen será máximo cuando la altura (h) del cilindro sea iguala al diámetro.
Se desea construir una caja de base cuadrada y abierta por la parte superior, utilizando para ello
una lamina metálica cuadrada de 120 cm. De lado, recortando un cuadrado pequeño en cada
esquina y doblando los bordes hacia arriba.
Determinar la longitud de los lados para obtener una caja de volumen máximo.
El volumen de la caja será:
V = Área de la base * altura
V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x
V = (120 – 2 x)2 * x
Derivamos
d V
d x
d V = +
(2)(120 - 2x)(- 2x) (1) (120 - 2x)2
d x
d V = +
- 4x (120 - 2x) (120 - 2x)2
d x
d V = + + +
- 480x 8x2 (120)2 - (2)(120)(2x) (2x)2
d x
d V = + + +
- 480x 8x2 14400 - 480x 4x 2
d x
d V = +
12 x 2 - 960 x 14400
d x
120 - 2x
x
x
x 120 - 2x x
120 cm
120 cm
120 - 2x 120 - 2x
x

114
12 x2 - 960 x +14400 = 0
Cancelando términos semejantes, se divide toda la ecuación por 12
x2 - 80 x +1200 = 0
Dos números que multiplicados sean 1200 y que restados sean - 80
(x - 60) * (x - 20) = 0
(x - 60) = 0
x = 60 esta solución no es posible, ver la grafica.
(x - 20) = 0
x = 20 cm
d V = +
12 x 2 - 960 x 14400
d x
(2)(12 x) - 960
d2 V =
d x 2
24 x - 960
d2 V =
d x2
d2 V = 24 x - 960 < 0 cuando x =
20
d x2
Cuando la segunda derivada es NEGATIVA, se encuentra un volumen MAXIMO.
El lado de la caja es = 120 -2x (ver la grafica).
El lado de la caja es = 120 - 2 * 20
El lado de la caja es = 120 - 40
El lado de la caja es = 80 cm
V = (120 – 2 x) * (120 - 2x) * x
V = (120 – 2 x)2 * 20
V = (120 – 2 *20)2 * 20
V = (120 – 40)2 * 20
V = (80)2 * 20
V = 6400 * 20
V = 128000 cm3
La caja de volumen máximo, tiene base 80 cm * 80 cm y una altura de 20 cm.

115
Un granjero quiere bordear un área de 1500.000 pies2 en un campo rectangular y entonces
dividirlo a la mitad con un bordo paralelo aun lado del rectángulo. Como puede hacerlo para
minimizar el costo de la borda?
A = 1500.000 pies2
El área del campo rectangular es:
A = x * y
1500.000 = x * y
Despejamos y
y = 1500.000 ecuación 1
x
La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 2 y + 3 x ecuación 2
Reemplazando ecuación 1 en la ecuación 2
L = 2 y + 3 x ecuación 2
3 x
L = 2 ⎛
1500.000 ⎞
x
⎟⎠
+ ⎜⎝
L = 3000.000 x-1 + 3 x
Derivamos
d L
d x
d L = − +
(-1)(3000.000)(x) 2 3
d x
3
d L = - 3000.000
+
x 2
d x
- 3000.000 + =
3 0
x2
3
3000.000 =
x2
3000.000 = 3 x2
1000.000 = x2
x = 1000.00
x = 1000 pies.
y = 1500.000 ecuación 1
x
y = 1500.000
1000
y = 1500 pies
x = ancho
y = largo

116
3
d L = - 3000.000
+
x 2
d x
d L = +
- 3000.000 x- 2 3
d x
(- 2)(- 3000,000)(x)- 3
d2 L =
d x2
6000.000
x3
d2 L =
d x2
6000.000
x3
d2 L =
d x2
d2 L = 6000.000
> 0 cuando x =
1000
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.
Para minimizar los costos de la borda es necesario que tengan las siguientes medidas
x = 1000 pies. y = 1500 pies
Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000 cm3
encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado.
V = (x) * (x) * h
32000 = (x)2 * h
Despejamos h
h = 32000 ecuación 1
x2
El área de la caja es:
A = x2 + 4 x h ecuación 2
Reemplazamos ecuación 1 en la ecuación 2.
)
A = x2 + 4 x (32000
x2
Simplificando
A = x 2 + 4 (32000
)
x
A = x2 +128000 x-1
Derivamos
d A
d x
d A = + −
2 x (-1)(128000)(x) 2
d x
h
x
x

117
2 x - 128000
x2
d A =
d x
0
2 x - 128000 =
x2
2 x = 128000
x2
2 x3 = 128000
Simplificando
x3 = 64000
x = 3 64000
x = 40 cm
h = 32000 ecuación 1
x2
h = 32000 = =
20 cm
( )
h = 20 cm
Se halla la segunda derivada para definir si es un máximo o un mínimo.
32000
1600
40 2
2 x - 128000
x2
d A =
d x
2 x -128.000 x- 2
d A =
d x
(2)- (- 2)(128.000)(x)- 3
d2 A =
d x2
d2 A = +
2 512000
X3
d x 2
d2 A = 2 + 512.000
> 0 cuando x =
40
d x2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVA, se encuentra un volumen MINIMO.
Para que el material usado sea mínimo las medidas son:
x = 40 cm y h = 20 cm
Un ganadero tiene 200 pies de cercado con los cuales delimita dos corrales rectangulares
adyacentes (ver la figura). Que dimensiones deben utilizarse de manera que el área delimitada
será un máximo.
La longitud total de la cerca es: (ver la grafica).
L = 200 pies

118
L = 2 x + 2 x + 3y
200 = 2 x + 2 x + 3y
200 = 4 x + 3y
Despejamos y
200 = 4 x + 3y
200 - 4 x = 3y
y = 200 - 4x ecuación 1
3
El área del campo rectangular es:
A = 2x * y ecuación 2
A = 2x * y ecuación 2
A = ⎟⎠
( 2 x )
* ⎛
200 - 4 x ⎞
3
⎜⎝
400 x - 8x2 A =
3
8 x2 -
3
A = 400 x
3
Derivamos
d A
d x
- 8
3
⎞
(2)(x)
3
400
d A
d x
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
(x)
- 16
3
3
400
d A
d x
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
400 = ⎟⎠
(x) 0
- 16
3
3
⎞
⎛
⎜⎝
(x)
16
3
400
3
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
400 =16 x
25
x = 400 =
16
x = 25 pies.
y = 200 - 4x ecuación 1
3
( )
100
3
200 -100
y = 200 - 4 25 = =
3
3

119
y = 100
pies
3
(x)
- 16
3
3
400
d A
d x
⎞
⎟⎠
= ⎛
⎜⎝
-16
3
d2 A =
d x 2
d2 A = -16
< 0 cuando x =
25
d x 2
3
Para que el área sea máxima es necesario que tengan las siguientes medidas
x = 25 pies. y = 100
pies
3
Un paquete rectangular que se va a enviar por un servicio postal puede tener una longitud y un
perímetro que tiene máximo de 108 pulg. Ver la figura. Determinar las dimensiones del paquete de
volumen máximo que puede enviarse. (Suponer que la sección transversal es cuadrada).
x es el lado del paquete que es cuadrado.
y es la longitud del paquete
el perímetro del paquete es:
P = 108 pulg.
4x + y = 108
Despejamos y
4x + y = 108
y = 108- 4 x ecuación 1
el volumen del paquete es:
V = x2 y ecuación 2
V = x2 y ecuación 2
V = x2 * (108 – 4x)
V = 108 x2 – 4 x3
Derivamos
d V
d x
(2)108 x - 4 (3) x 2
d V =
d x
216 x -12 x2
d V =
d x

d2 V = < =
El volumen es máximo cuando x = 18 pulg. y y = 36 pulg.
Una página rectangular contendrá 30 pulg2 de texto impreso. Los márgenes de cada lado son de 1
pulg. Encontrar las dimensiones de la página de manera tal que se use la menor cantidad de
papel.
El área de la parte escrita
A = x * y
30 = x * y
Despejamos y
120
216 x -12 x2 = 0
108 x – 6 x2 = 0
54 x – 3 x2 = 0
18 x – x2 = 0
x (18 – x) = 0
x = 0 el cual no tiene sentido
(18 – x) = 0
x = 18 pulg.
y = 108 - 4 x ecuación 1
y = 108 - 4 (18)
y = 108 - 72
y = 36 pulg.
216 x -12 x2
d V =
d x
216 - 24 x
d2 V =
d x 2
216 - 24 x 0 cuando x 18
d x 2
y = 30 ecuación 1
x
El área de la página es:
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
A = (x + 2) * (y + 2) ecuación 2
x + 2
Y + 2
1 pulg
1 pulg
x
1 pulg 1 pulg
y

121
A x 2 * 30 ⎟⎠
⎟⎠ ⎞
= ( + ) ⎛ +
2
⎞
x
A ( x 2 ) * 30 x - 1 2 ⎜⎝
⎜⎝ ⎛
= + +
Derivamos
d A
d x
d A + + ⎟⎠ ⎞
(1 )* 30 x-1 2 (-1)30 x- 2 (x 2)
d x
⎜⎝ ⎛
= +
d A − + ⎟⎠ ⎞
30 x-1 2 30 x- 2 (x 2)
d x
⎜⎝ ⎛
= +
⎞
⎛
d A + ⎟ ⎟
(x 2)
2 30
x2
30
x
d x
⎠
⎜ ⎜
⎝
= + −
d A +
2 30 x 60
x2
30
x
d x
= + −
0
30 =
2 30 x 60
x2
x
+
+ −
0
30 2 x 30 x 60
=
x2
x
+
−
+
30 2 x +
30 x 60
x2
x
=
+
30 2 x 30 x +
60
+ =
x
x (30 + 2 x) = 30 x + 60
30 x + 2 x2 = 30 x + 60
2 x2 = 60
x2 = 30
x = 30 pulg.
y = 30 ecuación 1
x
y = 30
30
30 30
y = 30 30 =
y = 30 pulg.
( ) 30
30 30
d A +
2 30 x 60
x2
30
x
d x
= + −

d2 A = > =
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.
la mínima área se consigue cuando x = 30 pulg. y y = 30 pulg.
Ejemplo # 3 Hallando el área mínima.
Una pagina rectangular ha de contener 96 cm2 de texto Los márgenes superior e inferior tienen 3
cm de anchura y los laterales 2 cm. Que dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel
requerido.
El área de la parte escrita = 96 cm2
A = x * y
96 = x * y
Despejamos y
122
- 60
x2
d A = + −
30 x-1 2 30 x
x 2
d x
30 x-1 2 (30 x) x-2 - (60) x- 2
d A
d x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= + −
30 x-1 2 (30) x-1 - (60) x- 2
d A
d x
⎟⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= + −
2 - (60) x- 2
d A =
d x
- (- 2)60 x
d2 A =
d x2
120 x
d2 A =
d x 2
120 x 0 cuando x 30
d x 2
y = 96 ecuación 1
x
El área de la página es:
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2
A = (x + 6) * (y + 4) ecuación 2
A x 6 * 96 ⎟⎠
⎟⎠ ⎞
= ( + ) ⎛ +
4
⎞
x
A ( x 6 ) * 96 x - 1 4 ⎜⎝
⎜⎝ ⎛
= + +
Derivamos
d A
d x
d A + + ⎟⎠ ⎞
(1 )* 96 x-1 4 (-1)96 x- 2 (x 6)
d x
⎜⎝ ⎛
= +
d A − + ⎟⎠ ⎞
96 x-1 4 96 x- 2 (x 6)
d x
⎜⎝ ⎛ = +
3 cm
3 cm
2 cm
y +4
x + 6
2 cm
y
x

123
⎞
⎛
d A + ⎟ ⎟
(x 6)
4 96
x2
96
x
d x
⎠
⎜ ⎜
⎝
= + −
d A +
4 96 x 576
x2
96
x
d x
= + −
- 576
x2
d A = + −
96 x-1 4 96 x
x2
d x
d A = + −
96 x-1 4 96 x (x)- 2 - 576 (x)- 2
d x
d A = + −
96 x-1 4 96 (x)-1 - 576 (x)- 2
d x
0
96 =
4 96 x 576
x2
x
+
+ −
0
96 4 x 96 x 576
=
x2
x
+
−
+
96 4 x +
96 x 576
x2
x
=
+
96 4 x 96 x +
576
x
+ =
x (96 + 4 x) = 96 x + 576
96 x + 4 x2 = 96 x + 576
4 x2 = 576
x2 = 144
x = 12 cm.
y = 96 ecuación 1
x
y = 96
12
y = 8 cm.
d A = + −
96 x-1 4 96 (x)-1 - 576 (x)- 2
d x
4 - 576 (x)- 2
d A =
d x
- (- 2)(576) x- 2 -1
d2 A =
d x2

5 − x
124
1152 x- 3
d2 A =
d x2
d2 A = 1152
> 0 cuando x =
12
d x 2
x3
Cuando la segunda derivada es POSITIVO, se encuentra un MINIMO.
la mínima área se consigue cuando x = 12 cm. y y = 8 cm.
Las dimensiones de la pagina deben ser:
x + 6 = 12 + 6 = 18 cm
y + 4 = 8 + 4 = 12 cm.
Hallar las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en un triangulo
equilátero de 10 cm de lado., si la base del rectángulo coincide con la base del triangulo.
El área del rectángulo es:
A = x y ecuación 1
En el triangulo equilátero la altura h es:
Por Pitágoras
102 = h2 + 52
102 - 52 = h2
100 - 25 = h2
h2 = 75
h = 75 = 25*3
h = 5 3
Por figuras semejantes:
5 x
2
y
h
5
−
=
⎟⎠
h ⎛
5 - x = ( ) 5 y
2
⎞
⎜⎝
Pero h = 5 3
( ) 5 y
⎟⎠
5 3 ⎛
5 - x ⎞
= 2
⎜⎝
⎛ y
ecuación 2
⎟⎠
3 5 - x ⎞
= 2
⎜⎝
Reemplazar la ecuación 2 en la ecuación1
A = x y ecuación 1
10 cm
x
x
5 − x 2
5 cm
2
x
h
10 cm
2
y
10 cm 10 cm
y
h
5 cm 2
5 cm

125
( )( )
A ⎟⎠
= x 3 ⎛
5 - x ⎞
2
⎜⎝
A = 5 3 x -
3 x2 2
Derivamos
d A
d x
( ) ( ) ⎛
5 3 - 2 3
(x)
=
(5 3 )- ( 3 x)
2
d A
d x
⎞
⎟ ⎟
⎠
⎜ ⎜
⎝
d A =
d x
Iguala la derivada a cero (5 3 )- ( 3 x)= 0
(5 3 ) = ( 3 x)
x = 5 cm
⎛ y
ecuación 2
⎟⎠
3 5 - x ⎞
= 2
⎜⎝
y
⎟⎠
3 ⎛
5 - 5 ⎞
= 2
⎜⎝
y
3 ⎛
5 ⎞
2
⎟⎠
= ⎜⎝
(5 3 )- ( 3 x)
d A =
d x
- 3
d2 A =
d x 2
d2 A = - 3 < 0 cuando x =
5
d x2
⎟⎠
3 ⎛
5 = la máxima área se consigue cuando x = 5 cm. y y
2
⎞
⎜⎝
el área del rectángulo es :
A = x y ecuación 1
⎟⎠
A = ( 5 )
3 ⎛
5 ⎞
2
⎜⎝
cm2
A ⎟⎠
= 3 ⎛
25 ⎞
2
⎜⎝
Determinar el área del mayor rectángulo que puede inscribirse en una circunferencia de radio R.

126
En el triangulo rectángulo por el teorema de
Pitágoras
y
2
R x
2
2 2
⎞
+ ⎛ ⎟⎠
= ⎛
2 ⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎜⎝
Despejamos y
y
2
R - x
2
2 2
⎞
= ⎛ ⎟⎠
⎛
2 ⎟⎠
⎜⎝
⎞
⎜⎝
2 2 y
2
= ⎛ ⎟⎠
⎛
2 ⎟⎠
2
R - x
2
2
⎞
⎜⎝
⎞
⎜⎝
y
4
R - x
4
2 2
2 =
4 2 y
2
4
R - x
4
2 =
4
4 R2 - x 2 = y2
y = 4R2 - x2
A = X Y
Reemplazando
A = x y = (x) 4R2 - x2
A = (x)(4R2 - x 2 )1 2
Derivamos
d A
d x
( ) (x)(4R - x ) (- 2x)
⎟⎠
d A 2 2 1 2 4R - x 1
2 2 -1 2 = + ⎛
2
( ) ( ) ( )
d x
⎞
⎜⎝
x 2x
(4R - x )
4R - x - 1
2
d A
d x
2 2 1 2
2 2 1 2 ⎟⎠
⎞
= ⎛
⎜⎝
Igualando a cero
( ) ( ) ( )
4R - x - 1 x 2x
2 2 1 2
2 2 1 2 = ⎟⎠
( ) 0
4R - x
2
⎞
⎜⎝⎛
y
2
y
2
x
2
x
2
R
X
Y

127
( ) ( ) ( )
4R - x 1 x 2x
2 2 1 2
(4R - x )
2 2 1 2 = ⎛
⎞
2
⎟⎠
⎜⎝
( 4R - x ) ( 4R - x ) 1
(x)(2x)
⎟⎠
2 2 1 2 2 2 1 2 = ⎛
⎞
2
⎜⎝
( ) (x)(2x)
4R2 - x2 = ⎛
1 ⎞
2
⎟⎠
⎜⎝
(4R2 - x2 )= x2
4R2 = x2 + x2
4R2 = 2 x 2
2 R2 = x2
x = R 2
REEMPLAZAMOS
y = 4R2 - x2
y = 4R2 - (R 2)2
y = 4R2 - 2(R)2
y = 2(R)2
y = R 2
A = X Y
Reemplazando
A = (R 2)(R 2)
A = 2 R2

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