La geometría no euclidiana surge al reemplazar el quinto postulado de Euclides, conocido como el axioma de las paralelas. Esto da lugar a dos geometrías: la geometría hiperbólica, donde existen infinitas rectas paralelas a una dada que pasan por un punto exterior, y la geometría elíptica, donde la suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180 grados y más rectas paralelas son posibles cuanto menor es el área del triángulo. Pioneros como Lobache

1. Antecedentes históricas
 La geometría Euclidiana se desarrolla principalmente desde la publicación
de los elementos de Euclides cerca del año 300 a.c. los elementos es una
colección de libros cuyo tema es principalmente la geometría y es uno de
los tratados científicos mas importantes de la historia porque es el primer
desarrollo axiomático de una teoría matemática además de la elegancia y
naturalidad con la que Euclides desarrolla las demostraciones mediante
una secuencia lógica basada en 5 postulados, 13 definiciones y 8 nociones
comunes.

2. Este axioma es conocido con el nombre de axiomas de
las paralelas y también se enuncio mas tarde así:
V. POR UN PUNTO EXTERIOR A UNA RECTA SE PUEDE TRAZAR
UNA ÚNICA PARALELA.

3.  La geometría no euclidiana es obtenida al reemplazar el quinto postulado
de la geometría euclidiana o el axioma de las paralelas por su negación
que dada una recta existen infinitas rectas paralelas o ninguna dando lugar
a la geometría hiperbólica o elíptica.

4. Geometría no euclidiana
Geometría hiperbólica
 Nicola Ivanovich Lobachevsky
 János Bolyai
 Johann Cari Friedrich Gauss
Geometría elíptica
 Georg Friedrich Gerhard Riemann

5. GAUSS Y LA NUEVA GEOMETRÍA
 Nació en 1777 en la ciudad Alemana de Brunswick
 Los esfuerzos de Gauss en la geometría no euclidiano empezaron desde 1792
 Gauss le escribió una carta al matemático húngaro Wolfgang Bolyai
 Llamo anti - euclidiano
 En 1792 Carl Friedrich Gauss empezó a trabajar con el problema de demostrar el quinto postulado de
Euclides a partir de los otros 4 y para 1817 Gauss estaba convencido de que el quinto postulado era
independiente de los otros cuatro y empezó a trabajar sobre consecuencias geométricas que tendría
el suponer que es posible trazar mas de una paralela a una recta dada por un punto dado..
 Gauss discutió el problema con Farkas Bolyai, amigo suyo quien también intento demostrar el quinto
postulado sin éxito. Farkas Bolyai enseño matemáticas a su hijo pero le advertido que no trabajara en
la demostración del quinto postulado ya que Farkas dedico mucho tiempo.

6. JANOS BOLYAI
 Ignorando los consejos de su padre Janos estudio el problema de la
independencia del quinto postulado y en 1823 Bolyai escribió a su padre
diciéndole: “he descubierto cosas tan maravillosas que estoy sorprendido…
partiendo de la nada he creado un mundo nuevo y extraño”. Bolyai
publico sus descubrimientos en el apéndice de 24 paginas en un libro de
su padre. Después de leer el trabajo de Bolyai, Gauss se mostro muy
impresionado. Bolyai supuso que era posible la existencia de una nueva
geometría lo cual era una idea que antes no se había desarrollado y por
lo que resulta tan significativa. Sin embargo Gauss manifestó que el había
llegado, varios años antes, a las mismas conclusiones de Bolyai el cual ya
no continuo su carrera como matemático.

7. La suma de los ángulos de un triángulo
es menor que 180 grados. Y, más aún, si
el área del
triángulo disminuye entonces aumenta
la suma. Se acerca a 180 cuando el área
del triángulo se
acerca a 0.
Existe varias rectas paralelas que
pasan por un punto exterior a
una dada
• Infinitas paralelas
• Menor a 180°
• Recta infinita