El documento describe el origen y desarrollo de las geometrías no euclidianas. Explica que surgieron cuando matemáticos como Gauss, Bolyai y Lobachevski reemplazaron el quinto postulado de Euclides y desarrollaron sistemas geométricos consistentes donde se permitía más de una línea paralela a través de un punto. Esto llevó al desarrollo de las geometrías hiperbólica y elíptica, sentando las bases para el estudio moderno de geometrías no euclidianas.

1. El origen de las Geometrías no
Euclidianas
Lucero Guadalupe
Contreras Hernández
Materia: DHTIC
Trabajo Final

2. Introducción
La geometría no euclidiana es obtenida al
remplazar el quinto postulado de la geometría
euclidiana o el axioma de las paralelas por su
negación que dada una recta existen infinitas
rectas paralelas o ninguna dando lugar a la
geometría hiperbólica o elíptica
respectivamente

4. Antecedentes Históricos
La geometría Euclidiana se desarrolla
principalmente desde la publicación de los
Elementos de Euclides cerca del año 300 a.c. los
Elementos es una colección de libros cuyo tema es
principalmente la geometría y es uno de los
tratados científicos más importantes de la historia
porque es el primer desarrollo axiomático de una
teoría matemática además de la elegancia y
naturalidad con la que Euclides desarrolla las
demostraciones mediante una secuencia lógica
basada en 5 postulados, 13 definiciones y 8
nociones comunes.

5. El Quinto Postulado
Euclides planteo los siguientes 5 postulados
• Dados dos puntos se puede trazar una y solo una recta
que los une.
• Cualquier segmento puede prolongarse de manera
continua en cualquier sentido.
• Se puede trazar una circunferencia con centro en
cualquier punto y de cualquier radio.
• Todos los ángulos rectos son congruentes.
• Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos
internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas
prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el
que están los ángulos menores que dos rectos.

6. El quinto postulado conocido también como
postulado de las paralelas fue intentado
demostrar de los otros 4 por una gran cantidad
de matemáticos los cuales no tuvieron ningún
éxito en su intento Algunos otros matemáticos
sustituyeron el axioma por otro más intuitivo o
que parecería más evidente o fácil de probar sin
embargo al final de cuentas se demostraba que
el quinto postulado era equivalente al nuevo
postulado propuesto.

7. Gauss
En 1792 Carl Friedrich Gauss empezó a trabajar con el
problema de demostrar el quinto postulado de Euclides a
partir de los otros 4 y para 1817 Gauss estaba convencido de
que el quinto postulado era independiente de los otros cuatro
y empezó a trabajar sobre las consecuencias geométricas que
tendría el suponer que es posible trazar más de una paralela a
una recta dada por un punto dado.
Gauss discutio el problema con Farkas Bolyai, amigo suyo
quien también intento demostrar el quinto postulado sin
éxito. Farkas Bolyai enseño matemáticas a su hijo pero le
advirtió que no trabajara en la demostración del quinto
postulado ya que Farkas dedico mucho tiempo
infructuosamente

8. János Bolyai
Ignorando los consejos de su padre János estudio el problema de la
independencia del quinto postulado y en 1823 Bolyai escribió a su
padre diciéndole: “he descubierto cosas tan maravillosas que estoy
sorprendido… Partiendo de la nada he creado un mundo nuevo y
extraño.” Bolyai publicó sus descubrimientos en un apéndice de 24
páginas en un libro de su padre. Después de leer el trabajo de Bolyai,
Gauss se mostró muy impresionado. Bolyai supuso que era posible la
existencia de una nueva geometría lo cual era una idea que antes no se
había desarrollado y por lo que resulta tan significativa. Sin embargo
Gauss manifestó que él había llegado, varios años antes, a las mismas
conclusiones de Bolyai, pero que había decidido no publicarlas lo cual
desanimo a János Bolyai el cual ya no continuo su carrera como
matemático

9. Lovachevski
Paralelamente a los descubrimientos de Gauss y de
Bolyai, Nikolái Ivánovich Lobachevski desarrollo un
sistema en el cual sustituía el postulado de las paralelas
de la geometría euclidiana por su negación y logro un
sistema matemático consistente el cual público en 1829
en ruso en la revista El Mensajero de Kazán, editada de
manera local por una universidad Posteriormente se
publicó una exposición más completa del trabajo de
Lobachevski bajo el título Investigaciones Geométricas
Sobre el Problema de las Paralelas. La publicación de una
versión de este trabajo en francés en la revista Crelle, en
1837, permitió que las ideas de Lobachevski fueran
conocidas por una amplia audiencia.

10. Conclusiones
El desarrollo de la geometría Euclidiana es
interesante ya que permite ver la forma en la
que evolucionan las teorías y en el caso de la
geometrías no euclidianas el desarrollo fue
posible por los intentos de prueba del quinto
postulado el cual termino en el desarrollo de
alternativas teóricas que hoy en día son
ampliamente aceptadas y estudiadas.

11. Bibliografía
1. Greenberg, Marvin J (1993), Euclidean and non-Euclidean geometries:
development and history, (3th ed.). Freeman
2. Universidad del Bío-Bío, Historia de la Geometría no Euclidiana, Fuente
electrónica [en línea],
http://cidcie.ubiobio.cl/wordpress/geometrianew/?page_id=278 ,
8/11/11
3. García Alvarado, Martín Gildardo, El Siglo de la Geometría, Fuente
electrónica [en línea],
http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/1-2-1-
geometria.pdf, Apuntes de historia de las matemáticas vol 1, num. 2,
8/11/1
4. Heiede, Torkil, The History of Non-Euclidean Geometry, Fuente
electronica [en línea],
http://www.muskingum.edu/~rdaquila/m370/Non-Euclid%20-
%20Heiede.pdf, 8/11/11