Este documento trata sobre números complejos. Explica que un número imaginario puro tiene la forma bi, donde b es un número real y i es la unidad imaginaria. También cubre las cuatro potencias básicas de i, la multiplicación de radicales, la forma rectangular a + bi de un número complejo, y operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de números complejos.

1. Números Complejos

2. Números Imaginarios Si b es un número real , entonces es un número imaginario puro teniendo: Donde: Definiéndose i como la unidad imaginaria. Al número se le denomina forma normal (o estándar) de un número imaginario puro.

3. Potencias de i Las potencias básicas de i son: Cualquier potencia de i puede reducirse a una de las cuatro potencias básicas, por ejemplo:

4. Multiplicación de radicales Si a y b son números reales, entonces si y Si a < 0 o b > 0 ( o ambos a y b son negativos), es necesario convertir el radical a la forma normal de un numero imaginario puro antes de efectuar la multiplicación . Por ejemplo:

5. Números Complejos Si se suma un número real y un número imaginario se obtiene un número complejo. Un número complejo es de la forma a + bi donde a y b son números reales: Si a = 0 se tiene un número (bi) imaginario Si b =0 Se tiene un número real (a) La forma a + bi se le denomina forma rectangular de un numero complejo. La parte real del número complejo es a y la parte imaginaria es b.

6. Si a + bi y c + di son números complejos, entonces a + bi = c + di si y solo si a =c y b = d Ejemplo: Hallar los valores de x y y en la expresión 4 + 3i =7i + x + 2 + yi Reordenando se tiene: x + yi =4 + 3i – (2 + 7i) x + yi = 2 - 4i Por lo tanto, x = 2 y y = -4 , ya que las partes reales e imaginarias deben ser iguales . Igualdad de Números Complejos

7. Conjugado de un Número Complejo El conjugado de un número complejo a + bi es el número complejo a – bi Ejemplos El conjugado de 3 + 4i es 3 – 4i El conjugado de 5 – 2i es 5 + 2i El conjugado de -7i es 7i, porque – 7i = 0 – 7i El conjugado de 15 es 15 porque 15 = 15 + 0i

8. Operaciones Operación Definición Descripción Adición (a + bi)+ (c + di)=(a + c)+ (b + d)i Se suman las partes reales y las imaginarias respectivamente Sustracción (a + bi) - (c + di)=(a - c) + (b - d)i Se restan las partes reales y las imaginarias respectivamente. Multiplicación (a + bi)(c + di)=(ac - bd)+ (ad + bc)i Multiplicar números complejos como binomios y simplificar División Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

9. Ejemplos . a) b) c) Operaciones

10. Operaciones Ejemplos a) b) c)

11. Aplicación Determinar todas la raíces de la ecuación: Solución: Por el teorema del factor cero: