1. El documento describe diferentes figuras geométricas tridimensionales como cubos, conos, pirámides y esferas. 2. Una esfera se define como un cuerpo sólido limitado por una superficie redonda cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. 3. El documento proporciona fórmulas para calcular el área y volumen de una esfera.

2. Son figuras geométricas que encierran una región del
espacio . y tiene tres dimensiones largo, ancho y altura
Ejemplos.
Cubo Cono
Pirámide EsferaParalelepípedo
Cilindro

3. PIRAMIDES
CILINDROS
CONO
CARGANDO UN
PARALELEPIPEDO
CUBO

4. 0
R
0
RR
Una esfera, en geometría, es un cuerpo sólido limitado por una
superficie redondo cuyos puntos equidistan de otro punto
interior llamado centro de la esfera.
Tiene la forma de un balón
R

7. 2 R

2
2 .2
4
A R R
A R




0
R
R
R
Es el entorno superficial de la esfera y esta determinado por :
2
4A R
Veamos como sale: Si en la figura
el cilindro se pega a la esfera, formaría
el entorno y luego descomponiendo el
cilindro tal como vemos, tendría la otra
forma con esas dimensiones como se
observa, de donde se toma el área de
la esfera
Si tomamos el rectángulo
base por altura se tiene el
área de la esfera
2R






8. Es el espacio interno de la esfera y está determinado por:
34
3
V R
Como se obtiene :
En la siguiente figura que observamos, si juntamos la Semiesfera y el
Cono se formaría prácticamente el volumen del Cilindro
Pero se sabe el volumen del Cono y del Cilindro
31
3
Vc R 3
Vcilindro R.V semiesfera
d
R
d
R
R





R





d
R
d
R





r
.Vs esf Vci Vc  
3 31
.
3
Vs esf R R   
.Vs esf Vc Vci  
3
32
: 2. 4
3
R
Luego R


3 3 3
3 1 2
: .
3 3
R R R
De donde Vs esf
  
 
Volumen
de la esfera

9. 0 R
R = 12 Cm
1. El diámetro de un balón de Vóley es 24 cm. Calcular su volumen
Resolución
En este caso, se sabe que el diámetro es doble radio, tal como observamos en
el gráfico
Diámetro
34
3
V R 
Se sabe que R = 12 Cm
Sustituyendo en la
FORMULA se tiene:
 
34
12
3
V Cm
4
3
V 1728 3
Cm
3
4 576V Cm
3
2304V Cm
Es el Volumen del Balón

10. 2. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera
Resolución
T
P
O
30°
Observando la figura y formando un
rectángulo notable se tiene
#
R60°
12
T
P
O
30°
12
3.l
2l l
3. 12l 
4 3
Racionalizando
l 
:Ademas
R l
4 3R 
Hallando el área de la esfera
2
4A R
 
2
4 4 3A  
 4 16.3A  
2
192A u 
Hallando el volumen de la esfera
34
3
V R 
 
34
4 3
3
V 
 4
64 27
3
V 
4
3
V  64.3  3
3
256 3.V u

11. R
O
H
3. En la siguiente figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se
sabe que el área del circulo H es
2
81 u
Resolución
O
H
Observando la figura , se tiene que
hallar el radio de la circunferencia H
R
2
Ac R 
Es el Radio de la
Circunferencia y de
la esfera a su vez
81  2
R 2
81 R 
81 R  9R 
Hallando el área de la esfera
2
4A R
 
2
4 9A  4 .81A  
2
324A u
Hallando el volumen de la esfera
34
3
V R   
34
9
3
V  
4
3
V  .729
3
972V u
3
4 .243V u

12. 4. De la figura hallar el área y su volumen de la esfera, si se sabe que la
longitud de la circunferencia inscrita es .24 cm
Resolución
En este caso también se tiene que
hallar el radio de la circunferencia .
2 . 24R  cm
2. 24R cm
O
Y para eso se tiene que
utilizar la longitud de la
circunferencia inscrita .
24Lc cm 
24 / 2R cm
12R cm 
Hallando el área de la esfera
2
4A R
2
576A cm
Hallando el volumen de la esfera
34
3
V R   
34
. 12
3
V cm
4
3
V  .12 3
3
.144
4 .4.144
cm
V cm
3
2304 .V cm
O
R
 
2
4 12A cm

13. R
0
x
5. De la figura hallar el área de la esfera, si se sabe que la esfera está
inscrita en el cilindro que tiene como área lateral
2
50 m
0x
Resolución
Aquí el radio de la esfera es
igual al del cilindro
R
R
Se sabe que el área
lateral del cilindro es
2Al Rg
2
100 2m Rg 
Pero
Sustituyendo se tiene:
2
R x
x
y g 
2
100 2 . .
2
x
m x 
100 2
2m   .
2
x
.x
2 2
100m x
2
100m x
10m x
Hallando el área de la esfera
2
4A R
 
2
4 10A m
2
4 .100A m
2
400 .A m

14. 0
R
R
R
34
3
V R

15. R
P
30°
#