El documento describe las características de la hipérbola. Se define como el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Tiene dos ramas separadas, focos, vértices y asíntotas. La ecuación de la hipérbola reducida se presenta y se explican los pasos para graficarla.

1. La Hipérbola
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 1

2. 2
MIS
VALORES
Entrega
Transpare
ncia
Simplicida
d y
Persisten
cia
MI VISIÓN: Tender a ser un ser humano
completo mediante la entrega, la
transparencia, la simplicidad y la persistencia.
MI MISIÓN: Entrega a la Voluntad Suprema.
Servir a las personas.
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 2

3. La ecuación de la hipérbola es parecida a la de la Elipse, solo que uno de los dos
términos de la izquierda es negativo. No obstante, la forma de su gráfica es muy
diferente.
Presenta dos ramales separados: uno a la izquierda y otro a la derecha.
Además, la orientación en uno u otro eje depende del término positivo y no de
cuál eje sea mayor como acontece con la elipse.
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 3
Se caracteriza por término cuadrático positivo y otro negativo
Orientación: Término positivo
𝐵2
− 4𝐴𝐶 > 0

4. Hipérbola: orientación término +
Eje focal horizontal 𝑥 Eje focal vertical y
𝒙𝟐
𝒂𝟐 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝒚𝟐
𝒂𝟐 −
𝑥2
𝑏2 = 1
4
Ecuación reducida de la hipérbola
(𝒙−𝟎)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝑦−0)2
𝑏2 = 1

5. Hipérbola: conjunto de puntos del plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante.
= 2𝑎
݀1 − ݀2 = 2𝑎
12/9/2022 5

6. Hipérbola con centro en O(0,0): Ecuación reducida
Eje focal horizontal 𝑥 Eje focal vertical y
𝑥
𝑦
Ecuación canónica, estándar o reducida de la hipérbola
𝒙𝟐
𝒂𝟐 −
𝑦2
𝑏2 = 1 𝒚𝟐
𝒂𝟐 −
𝑥2
𝑏2 = 1
O(0,0)
12/9/2022 6
(𝒙−𝟎)𝟐
𝒂𝟐 −
(𝑦−0)2
𝑏2 = 1

7. Si despejamos y
𝑥2
𝑎2
− 1 =
𝑦2
𝑏2
𝑦2 = 𝑏2(
𝑥2
𝑎2 − 1)
𝑦2= 𝑏2(
𝑥2−𝑎2
𝑎2 )
𝑦2
=
𝑏2
𝑎2 (𝑥2
− 𝑎2
)
𝑏
𝑎
𝑥2 −𝑎2
͞
𝑦 =
𝑏
𝑦 =
𝑎
𝑥2 −𝑎2
rama izquierda rama derecha
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
12/9/2022 7

8. 𝑏
𝑦 =
𝑎
𝑥2 −𝑎2
𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥2 − 𝑎2
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 8

9. Elementos de la hipérbola:
también tiene dos focos
𝒄 c
c es la distancia del foco al centro.
La distancia entre los dos focos es 2c

10. a
La hipérbola tiene dos vértices
a es la distancia del vértice al centro.
La distancia entre los dos vértices es 2a == 𝑉1𝑉2 eje principal 10
a

11. a a
𝑭𝟏(-c,0 𝑭𝟐(C ,0)
Eje focal
c c
eje normal
1. Focos: son los puntos fijos 𝑭𝟏, 𝑭𝟐.
2. Distancia focal: es la distancia entre los focos y se representa por 2c. c distancia del foco a (0,0).
3. Eje focal: es la recta que pasa por los focos.
4. Vértices: son los puntos donde el eje focal corta la hipérbola: 𝑽𝟏, 𝑽𝟐. Distancia entre vértices:2a.
11

12. 5. Eje transverso: es el segmento entre los vértices V1 y V2: 2a
6. Centro: es el punto medio del segmento V1 y V2.
7. Eje normal: es la recta perpendicular al eje focal que pasa por el centro de la hipérbola.
a a
𝑭𝟏(-c,0 𝑭𝟏(c,0)
Eje focal
c c
eje normal
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 12
O(0,0)

13. El eje transverso es el segmento de línea que contiene el centro de
la hipérbola y cuyos puntos finales son los dos vértices de la hipérbola.
Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 13
𝑉1 𝑉2

14. 2a
𝑭𝟐 𝑭𝟏
Eje focal
El valor de b se sitúa en el eje y, se tiene el rectángulo central de dimensiones 2a*2b:
b
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
c= 𝑎2 + 𝑏2
a
b
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15. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
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La excentricidad mide lo “abierta” que es la hipérbola. Puesto que c
(distancia centro-foco) para la hipérbola es siempre mayor que 𝑎
(semieje real), la excentricidad de la hipérbola es siempre mayor o igual
1. Si ésta es muy próxima a 1, la hipérbola tiende a una recta partida
𝑒 =
𝑐
𝑎
Excentricidad de la hipérbola

16. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 16
https://www.partesdel.com/partes_de_la_hiperbola.html
https://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/excentrici
dad-hiperbola/

17. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 17
Excentricidad cercana a 1

18. Cuando una recta trata de acercarse más y más a una curva pero nunca la
alcanza, la recta se denomina asíntota.
Asíntota
Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
18

19. Las Asíntotas de la hipérbola (A1 y A2) son dos líneas rectas que se
aproximan cada vez más a la hipérbola pero no llegan a intersectarla. Cada
vez la recta está más cerca de la curva de la hipérbola pero no llega a tocarla.
A1
A2
https://www.mathway.com/es/Graph
A1 A2
19

20. Si se hace un tratamiento algebraico conveniente a partir de la
ecuación de la hipérbola se obtiene las ecuaciones de las dos asíntotas:
Ecuaciones de las Asíntotas de la hipérbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝒚 = −
𝒃
𝒂
𝒙
Asíntota izquieda
Asíntota derecha
𝒚 =
𝒃
𝒂
𝒙

21. A1
A2
A1 A2
Las asíntotas de la hipérbola son dos líneas que se cortan en el origen de coordenadas, o en el centro de
la hipérbola. Con el rectángulo central formado por 2a y 2b son de gran ayuda para graficarla.
2a
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 21
Y
X
2b
𝒚 = −
𝒃
𝒂
𝒙 𝒚 =
𝒃
𝒂
𝒙

22. 11/3/2017
Se tiene la siguiente ecuación 𝑥2 − 4𝑦2= 4*1 hallar todos sus elementos y graficarla.
Ejercicio 1
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 22
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
A𝑥2 + Bxy+ C𝑦2+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐵2 − 4𝐴𝐶 > 0

23. 𝑥2 − 4𝑦2
4
= 1
𝑥2
4
−
4𝑦2
4
= 1
𝑥2
4
−
𝑦2
| = 1
𝒙𝟐
𝟐𝟐
−
𝒚𝟐
𝟏𝟐
= 𝟏
𝑎 = 2, 𝑏 = 1
c= 𝑎2 + 𝑏2 = 4 + 1= 5 =2.2
12/9/2022 23
a=2
b=1
c=2.2
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1

24. La ecuación es igual a 1 y
𝑥2
𝑎2 es positiva, la hipérbola tiene eje focal horizontal.
Como el centro coincide con los ejes coordenados, se deduce que:
Los vértices: 𝑉1 está ubicado −𝑎 del centro: 𝑉1(−𝑎,0), 𝑉2(𝑎,0):𝑉1(−2,0), 𝑉2(2,0).
Los focos: 𝐹1 está ubicado −c del centro: 𝐹1(−c,0), 𝐹2(𝑐,0):𝐹1(−2.2,0), 𝐹2(2.2,0).
Distancia focal es: 2c =2*2.2=4.4
Distancia entre vértices (eje transverso)= 2a=2*2=4
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 24
𝑥2
22
−
𝑦2
12
= 1

25. 𝟐𝒂
𝟐b
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Pasos para graficar la hipérbola reducida
Conocidos a,b,c, se grafica el rectángulo central formado por 2a y 2b y centro (0,0).
𝑎 = 2, 𝑏 = 1
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 25
𝑋
𝑌

26. 𝑦 = −
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 = −
1
2
𝑥
Primera asíntota
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La primera recta asíntota se grafica fácilmente por la diagonal del rectángulo
12/9/2022 26

27. 𝑦 =
𝑏
𝑎
𝑥, 𝑦 =
1
2
𝑥
Segunda asíntota
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La segunda recta asíntota se grafica por la otra diagonal del rectángulo.
12/9/2022 27

28. https://www.mathway.com/es/Graph
Se procede a trazar en forma aproximada la hipérbola partiendo de los puntos 𝑉1 y 𝑉2 que son los
vértices ya conocidos y cuidando de que la curva se vaya acercando poco a poco a las rectas.
𝑽𝟏 𝑽𝟐
12/9/2022 28

29. 𝑥2
22
−
𝑦2
1
= 1
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𝑽𝟐
𝑽𝟏
12/9/2022 29

30. 𝑭𝟏(−2.2, 0) 𝑭𝟐(2.2, 0)
𝒂=𝟐
=
c=𝟐. 𝟐
𝒙𝟐
𝟐𝟐
−
𝒚𝟐
𝟏
= 𝟏
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Se procede a ubicar los demás elementos de la hipérbola. Si se lo permiten,
con una aplicación como la usada en estas diapositivas se grafica
fácilmente cualquier tipo de curva: https://www.mathway.com/es/Graph
12/9/2022 30
𝑦 = −
1
2
𝑥
𝑦 =
1
2
𝑥

31. Traslación de la hipérbola centrada en el origen a cualquier punto del plano.
Se procede de la misma manera como se hizo con la elipse.
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 31

32. La ecuación de la hipérbola con centro P(ℎ, 𝑘) y eje focal paralelo al eje x (horizontal):
Esta ecuación representa una hipérbola con centro P (h, k) y eje focal paralelo al eje 𝑥,
referenciada a los ejes viejos y al origen antiguo..
(𝑥−2)2
32 −
(𝑦−3)2
52 = 1
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 32
Ejes viejos : 𝑥, 𝑦. Origen viejo: O(0,0) 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑙𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃 ℎ, 𝑘
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1

33. Si se trasladan los ejes viejos a un nuevo origen O’ ℎ, 𝑘
y a unas nuevos ejes 𝑥´, 𝑦´
Esta ecuación representa una hipérbola trasladada a Ó (h, k) y luego una traslación de ejes
al punto O´(ℎ, 𝑘) .
𝑥´2
𝑎2 −
𝑦´2
𝑏2 = 1
𝑥´ = 𝑥 − 2
(𝑥−2)2
𝑎2 −
(𝑦−2)2
𝑏2 = 1
𝒙𝟐
𝟐𝟐
−
𝒚𝟐
𝟏
= 𝟏 (𝑥−2)2
𝑎2 −
(𝑦−2)2
𝑏2 = 1
hipérbola en origen no trasladada hipérbola trasladada Hipérbola con traslación de ejes

34. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 34
𝑥´2
𝑎2 −
𝑦´2
𝑏2 = 1

35. 𝐵2
− 4𝐴𝐶 =?
0 − 4 ∗ 9 ∗ (−4) =144 es +
La ecuación representa una hipérbola.
Ejercicio 2
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 35
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Se tiene la siguiente ecuación: 9𝑥2 − 4𝑦2 + 54𝑥 + 16𝑦 + 29 = 0
Demostrar que corresponde a una hipérbola, hallar sus elementos y graficarla.
9𝑥2 − 4𝑦2 + 54𝑥 + 16𝑦 + 29 = 0

36. 9𝑥2 − 4𝑦2 + 54𝑥 + 16𝑦 + 29 = 0
9𝑥2 + 54𝑥 − 4𝑦2 + 16y + 29 = 0
9𝑥2 + 9 ∗ 6𝑥 − 4𝑦2 + 4 ∗ 4y + 29 = 0
9{𝑥2 + 6𝑥} − 4{𝑦2 − 4y} + 29 = 0
9 𝑥2 + 6𝑥 − 4 𝑦2 − 4y + 29 = 0
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 36
𝑇𝐶𝑃

37. 9 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9 − 4 𝑦2 − 4y + 4 − 4 + 29 = 0
9 (𝑥 + 3)2−9 − 4 (𝑦 − 2)2−4 + 29 = 0
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 37
TCP
TCP

38. 9(𝑥 + 3)2 − 81 − 4(𝑦 − 2)2 + 16 +29 = 0
9(𝑥 + 3)2 − 4 𝑦 − 2 2 − 36 = 0
9(𝑥 + 3)2 − 4 𝑦 − 2 2 = 36*1
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 38
(𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1

39. 9(𝑥 + 3)2
− 4 𝑦 − 2 2
= 36 ∗ 1
9(𝑥 + 3)2
36
−
4 𝑦 − 2 2
36
= 1
9(𝑥 + 3)2
9 ∗ 4
−
4 𝑦 − 2 2
9 ∗ 4
= 1
(𝑥 + 3)2
4
−
𝑦 − 2 2
9
= 1
12/9/2022 39
Hipérbola trasladada con centro en (-3,2)

40. (𝑥 + 3)2
22
−
𝑦 − 2 2
32
= 1
(𝒙 − (−𝟑) )𝟐
𝟐𝟐
−
𝒚 − 𝟐) 𝟐
𝟑𝟐
= 𝟏
𝑎 = 2
𝑏 = 3
𝑐 = 𝑎2 + 𝑏2 = 4 + 9= 13 = 3.6
Hipérbola trasladada con centro en (-3,2)
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 40

41. La hipérbola está trasladad, tiene eje focal paralelo al eje 𝑥,los vértices son:
𝑉1 = ℎ − 𝑎, 𝑘 = −3 − 2, 2 = −5, 2
𝑉2= (−3 + 2,2) = (−1, 2)
𝑥’=𝑥 − ℎ
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 41

42. Los focos son:
𝐹1 = ℎ − 𝑐, 𝑘 = −3 − 13 , 2 = (−6.6, 2)
𝐹2 = ℎ + 𝑐, 𝑘 = 3 + 13, 2 = (6.6, 2)
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 42

43. -1
-2
-𝟑
𝑭𝟏
(-3,2)
https://www.mathway.com/
𝑥
𝑦
12/9/2022 43
(𝑥´)2
22 −
(𝑦´)2
32 = 1
a=2
b=3
C=3.6
(𝑥 − − 3 )2
4
−
𝑦 − 2 2
9
= 1
2a
2b
𝑭𝟐
Hipérbola trasladada con centro en (-3,2)

44. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 44
Si se tiene un punto de coordenadas conocidas, y se quieren saber las nuevas coordenadas
al trasladar este punto a otra posición, basta saber cuánta distancia nos movemos hacia la
derecha o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo.
Si nos desplazamos a la derecha o hacia arriba, sumamos a la coordenada en 𝒙 o a la de y
del punto conocido, la distancia desplazada.
Si nos desplazamos a la izquierda o hacia abajo, restamos a la coordenada 𝒙, o de y del
punto conocido la distancia desplazada.
Nuevas coordenadas de un punto al trasladarlo una distancia dada

45. -1
-2
-𝟑 𝑥
𝑦
𝐹1 𝐹2
= (−6.6, 2) (0.6, 2)
2a=4
2b=6
(-3,2)
Elementos de a hipérbola (𝒙 +𝟑)𝟐
𝟐𝟐 −
𝒚− 𝟐 𝟐
𝟑𝟐 = 𝟏
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 45

46. 12/9/2022 46
a=8 1.5=
𝑐
8
e=
𝑐
𝑎
e=
3
2
= 1.5 c= 1.5*8=12
𝑥2
82 −
𝑦2
8.92 = 1
c= 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2= 𝑎2 + 𝑏2
𝑐2 − 𝑎2= 𝑏2
𝑐2 − 𝑎2 =b
122 − 82 =b
144 − 64 =b
8.9=b
a=8
b=8.9
c=12
𝑥2
64
−
𝑦2
80
= 1

47. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 47
Las hipérbolas tienes un uso practico en el campo de la óptica y de la astronomía:
Si dos cuerpos masivos interactúan según la ley de la gravitación universal, sus
trayectorias describen trayectorias de cónicas si su centro de masa se considera en reposo.
Si los dos cuerpos están relativamente próximos describirán elipses

48. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 48
si los cuerpos están lejanos describirán hipérbolas o parábolas.
También son importantes en la construcción de puentes,
aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que su curvas
permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran
exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

49. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 49
https://www.investigacionyciencia.es/noticias/oumuamua-el-
visitante-interestelar-no-parece-ni-cometa-ni-asteroide-16829

50. Elaboró MSc. Efrén Giraldo T.
12/9/2022 50
Sirven por ejemplo para sistemas de guiado de navegación aérea de aviones y barcos.
Las chimeneas de refrigeración de las centrales térmicas están diseñadas asimismo
siguiendo trayectorias hiperbólicas en sus paredes para acelerar la salida de gases
residuales. También las hipérbolas aparecen en las correspondientes trazas que las
sombras dibujan sobre un suelo horizontal.
La propiedad reflexiva de las hipérbolas se usa también en lentes telescóopicas.

51. Jugar con la hipérbola:
http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/figuras/c9_
hiperbola_ecuacion2.html
12/9/2022 Elaboró MSc. Efrén Giraldo T. 51