Este documento resume los pasos para hallar los elementos de una hipérbola dada por la ecuación 9x2 − 16y2 + 54x − 32y − 79 = 0. Estos incluyen el centro en (-3,-1), vértices en (-7,-1) y (1,-1), focos en (-8,-1) y (2,-1), asíntotas y directrices. Finalmente, se presenta la gráfica de la hipérbola con sus elementos.

1. Hallar las coordenadas de los vértices real e imaginario, los focos, las asíntotas, el
centro, las directrices, la ecuación canónica y el tipo de ecuación, la excentricidad.
Su gráfica con sus elementos. 𝟗𝒙 𝟐
− 𝟏𝟔𝒚 𝟐
+ 𝟓𝟒𝒙 − 𝟑𝟐𝒚 − 𝟕𝟗 = 𝟎
Solución:
Desarrollando y operando la ecuación dada:
9𝑥2
− 16𝑦2
+ 54𝑥 − 32𝑦 − 79 = 0 → (9𝑥2
+ 54𝑥) − (16𝑦2
+ 32𝑦) = 79
9( 𝑥2 + 6𝑥) − 16( 𝑦2 + 2𝑦) = 79 → 9( 𝑥2 + 6𝑥 + 9 − 9) − 16( 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 1) = 79
9( 𝑥2
+ 6𝑥 + 9) − 81 − 16( 𝑦2
+ 2𝑦 + 1) + 16 = 79
9( 𝑥 + 3)2
− 16( 𝑦 + 1)2
= 79 + 81 − 16 → 9( 𝑥 + 3)2
− 16( 𝑦 + 1)2
= 144
9( 𝑥+3)2
144
−
16( 𝑦+1)2
144
=
144
144
→
( 𝑥+3)2
16
−
( 𝑦+1)2
9
= 1, donde está ecuación representa una
hipérbola horizontal con centro 𝐶(−3,−1) → 𝐶(ℎ, 𝑘) → ℎ = −3; 𝑘 = −1 y su
ecuación canónica es la siguiente:
( 𝑥−ℎ)2
𝑎2 −
( 𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1; sus características son las
siguientes: 𝑎2
= 16; 𝑎 = ±4; 𝑏2
= 9; 𝑏 = ±3; a “c” lo hayamos con la relación
pitagórica para las hipérbolas, es decir:
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
→ 𝑐2
= 16 + 9 → 𝑐2
= 25; 𝑐 = ±5
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
5
4
→ 𝒆 = 𝟏, 𝟐𝟓 > 𝟏
Los datos obtenidos del problema son:
𝑎 = ±4; 𝑏 = ±3; 𝑐 = ±5
La excentricidad es 𝑒 =
𝑐
𝑎
→ 𝑒 =
5
4
≅ 1,25 > 1
Las coordenadas de los vértices transversal y conjugado son:
𝑉2(ℎ − 𝑎, 𝑘) 𝑦 𝑉1(ℎ + 𝑎, 𝑘) → 𝑉2 (−7,−1) 𝑦 𝑉1(1,−1)
𝐵2(ℎ, 𝑘 − 𝑏) 𝑦 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) → 𝐵2(−3,−4) 𝑦 𝐵1(−3,2)
Las coordenadas de los focos son:
𝐹2(ℎ − 𝑐, 𝑘) 𝑦 𝐹1(ℎ + 𝑐, 𝑘) → 𝐹2 (−8, −1) 𝑦 𝐹1(2, −1)
Las ecuaciones de las asíntotas son: 𝐴: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑏
𝑎
( 𝑥 − ℎ)
𝐴: 𝑦 = 𝑘 ±
𝑏
𝑎
( 𝑥 − ℎ) → {
𝐴1: 𝑦 = 𝑘 +
𝑏
𝑎
( 𝑥 − ℎ) → 𝐴1: 𝑦 = −1 +
3
4
(𝑥 + 3)
𝐴2: 𝑦 = 𝑘 −
𝑏
𝑎
( 𝑥 − ℎ) → 𝐴2: 𝑦 = −1 −
3
4
(𝑥 + 3)
Las ecuaciones de las directrices son:
𝐷: 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
→
{
𝐷1: 𝑥 = ℎ +
𝑎2
𝑐
→ 𝐷1: 𝑥 = −3 +
16
5
𝐷2: 𝑥 = ℎ −
𝑎2
𝑐
→ 𝐷2: 𝑥 = −3 −
16
5
La gráfica de problema es la siguiente: