Definición, partes y ecuaciones de la hpérbola

1. Hipérbola
Mtra. Teresa Carrillo

2. Definición
 Conjunto de puntos del plano cuyas distancias a dos
puntos fijos tienen una diferencia constante.
 Los dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.
 El punto medio entre los dos focos se llama centro de la
hipérbola.
 La hipérbola está formada por dos partes separadas
llamadas ramas de la hipérbola.

3. Partes de la hipérbola

4. Elementos de la hipérbola
 Eje focal: Recta que pasa por los focos.
 Vértices: Puntos donde el eje focal corta a la hipérbola.
 Centro: Punto medio entre los focos.
 Normal: Recta perpendicular al eje que pasa por el centro.
 Eje transverso: Recta de vértice a vértice, mide 2a = diferencia
entre las distancias.
 Eje conjugado: Recta entre los covértices
 Lado recto o ancho focal: Cuerda perpendicular al eje focal
que pasa por el foco. Lr =
𝑏2
𝑎

5. Identifica los elementos de la hipérbola

6. Elementos de la ecuación

7. Ecuación de la hipérbola horizontal
12
2
2
2

b
y
a
x
Posición Horizontal
Centro C(0, 0)
Vértices V(a, 0), V’(-a, 0)
Focos F(c, 0), F’(-c, 0)
Covértices B(0, b), B’(0, -b)

8. Ecuación de la hipérbola vertical
12
2
2
2

b
x
a
y
Posición Vertical
Centro C(0, 0)
Vértices V(0, a), V’(0, -a)
Focos F(0, c), F’(0, -c)
Covértices B(b,0), B’(-b, 0)

9. Si movemos el centro del origen…
sólo agregamos h y k
Posición Horizontal
Centro C(h, k)
Vértices
V(h + a, k)
V’(h - a, k)
Focos
F(h + c, k)
F’(h - c, k)
Covértices
B(h, k + b)
B’(h, k - b)1
)()(
2
2
2
2




b
ky
a
hx

10. Aquí también agregamos h y k
Posición Vertical
Centro C(h, k)
Vértices
V(h, k + a),
V’(h, k - a)
Focos
F(h, k + c),
F’(h, k - c)
Covértices
B(h + b, k),
B’(h - b, k)
1
)()(
2
2
2
2




b
hx
a
ky

11. Asíntotas de la hipérbola
 Las dos rectas simétricas que pasan por el centro
geométrico de la hipérbola y de forma que ésta nunca las
toca, aunque la distancia entre la curva y las asíntotas es
cada vez menor sin llegar a cruzarse nunca.
H. horizontal H. vértical
)( hx
a
b
ky
x
a
b
y


)( hx
b
a
ky
x
b
a
y



12. Excentricidad
 La excentricidad mide que
tan abierta es una
hipérbola, que se define
como el cociente de la
distancia focal entre la
distancia entre los vértices.
 Como c > a, entonces e > 1.
a
c
e 
 Propiedad de reflexión de la
hipérbola.
 Cuando un rayo dirigido hacia el
foco F choca en la rama de la
derecha se refleja hacia el foco
F’.
 Esta propiedad se utiliza para
construir telescopios
parabólicos-hiperbólicos en los
que se combina un espejo
parabólico y otro hiperbólico.

13. Aplicaciones
 En el campo de la óptica y de la astronomía: dos cuerpos masivos
que interactúan según la ley de gravitación universal, sus
trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se
considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán
elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.
 También son importantes en la construcción de puentes,
aerodinámica y en su aplicación industrial,
ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos
con gran exactitud, logrando superficies, formas y
curvas perfectas.

14. Referencias
 Méndez Hinojosa Arturo. Matemática III. Santillana Bachillerato.
México 2012.
 Oteyza, Lam, Hernández, Carrillo, Ramírez. Geometría Analítica
y Trigonometría. Pearson Prentice Hall. México 2008.
 Ruíz Basto Joaquín. Geometría analítica. Editorial Patria. México
2010.