Este documento explica el origen y desarrollo del cálculo infinitesimal y la derivada. Comienza describiendo cómo los problemas geométricos de la tangente a una curva y los máximos y mínimos de una función dieron origen al cálculo diferencial. Luego describe cómo Newton y Leibniz sintetizaron estos conceptos en las nociones modernas de derivada e integral a finales del siglo XVII. Finalmente, explica la interpretación geométrica de la derivada como la pendiente de la recta tangente, y cómo la derivada se puede usar para

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La derivada y el cálculo infinitesimal Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c.), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz) La derivada tuvo origen en dos problemas geométricos: la recta tangente a una curva (Apolonio de Perge) y el teorema de los extremos (Pierre de Fermat), es decir los máximos o mínimos de una función. En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial. Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral. A finales del siglo XVII, Newton y Leibniz, sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores, los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron las reglas de derivación y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la integral.
Velocidad Media
Si recorremos 400 km en 4 horas, decimos que la velocidad promedio a la que viajamos es de , o sea, de 100 . A la velocidad promedio se la llama velocidad media. La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo transcurrido (Δt). ( ) ( ) ( )
Instituto La Salle – San Martín
“Con las manos de la fe construimos comunidad”

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Velocidad instantánea
Si ahora, consideramos el tiempo como un intervalo que tiende a cero, obtendremos la velocidad en un instante de tiempo.
( ) ( ) ( )
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calculá la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
La velocidad instantánea en t = 1. En este caso, el tiempo tiende a cero, ya que deseamos conocer la velocidad en un instante.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
La figura es el gráfico de la velocidad media

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Derivada de una función en un punto
Si consideramos entonces , con lo cual cuando x tiende a a, entonces, h tiende a 0. Luego
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Recta tangente al gráfico de una función en un punto
Si la recta “s” pasa por los puntos P y P´ es una recta secante al gráfico de f(x). La pendiente “m” de esa recta es:
Llamamos recta tangente
Si desplazamos el punto P, hacia P´, entonces hacemos tender a cero al incremento de x, entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto P de abscisa x = a (recta t)
Y la pendiente de la recta tangente es: ( ) ( ) ( )
Entonces, geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de esa función en ese punto.
Si llamamos ̂ al ángulo determinado por la recta y el semieje positivo de las abscisas, la tangente de dicho ángulo es el cociente incremental. Por lo tanto, es la pendiente de la recta. Entonces la derivada de una función en un punto es la tangente del ángulo que forma dicha recta con el eje x.
( ) ( ) ( )
La derivada de una función y = f (x) en x = a, si existe, se define como ( ) al valor de ( ) ( ) . Es decir que
f ' (a) lim f ( x ) f (a) lim f (a x ) f (a)
xa x a xo x
Esta expresión ( ) ( ) se llama cociente incremental
( ) ( )
s
휶̂

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Actividades
1. Encontrá la fórmula de la recta tangente al gráfico de ( ) en el punto de abscisa 7.
2. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la función ( ) ( ) en x=-1
3. Calcula, aplicando la definición, la derivada de f(x) en los puntos que se indican.
a) ( )
) ( ) √ 
c) ( )
d) ( )
e) ( )
f) ( )
g) ( )
4. Encontrá la fórmula de a recta tangente a la función ( ) ( ) en el punto de abscisa igual a dos.
5. Averiguá en qué punto la recta tangente a ( ) √ tiene pendiente igual a . Escribí la fórmula de dicha recta.
6. ¿Para qué valor del dominio de la función ( ) la pendiente de la recta tangente es –3
7. Encuentra los puntos (x; y) donde la recta tangente al gráfico de ( ) es:
a) paralela a la recta:
b) Horizontal
c) Perpendicular a la recta
8. Una recta paralela a la bisectriz del primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas, es tangente a la función ( ) . Hallá el punto de tangencia.
9. Halla los puntos de la gráfica en los cuales la tangente a ( ) tiene una inclinación de 45º.
10. Se ha trazado una recta tangente a la parábola cuya pendiente es 4 y pasa por el punto (1; -1). Encontrá el punto de tangencia de dos maneras distintas. Verifícalo gráficamente.
11. Dada ( ) , ¿para qué valores de la abscisa, la pendiente de la recta tangente es 5?
12.Dibuja la parábola ( ) ¿En qué punto de la gráfica la tangente es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes?
13.Encuentra la recta tangente a la función: ( ) en x=-2

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14.Si la recta tangente al gráfico de ( )
en el punto (a; r(a)), con a > 0, es
perpendicular a la recta , entonces, es a =......
15.Calcula el valor de la constante “a” para que la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de ( ) √ en e l punto P ( 0; f(0)) sea 2
16.Dada la función: ( ) , halla la ecuación de la recta tangente a f(x) que es
paralela a la recta tangente de la función: ( ) en x=1
17. Dada ( ) , calcula el área del triángulo determinado por el eje x y las rectas
tangente y normal a la curva en . Graficá la situación.
18.Indica si hay algún punto en el gráfico de ( )
en el cual la recta tangente
forme un ángulo de 60º con el eje positive de las abscisas.
19.Halla, si existe, un punto Q tal que la ecuación de la recta tangente al gráfico de
( ) en el punto Q sea
20.La recta tangente a la gráfica de ( ) en el punto P=(a; b) corta al eje x en 7. Halla
los valor es de a y b.
21. Calculá la expresión de la recta tangente y normal a la función
2
2 4
( )
x x
f x   en x= 1;
determiná el ángulo que forma cada recta con la horizontal.
22.Calculá los puntos de la función f (x) x 3x 24x 3 2    en los que la recta tangente es
horizontal.
23.Calculá el punto de la función ( ) 8 3 f x  x  en el que la recta tangente es paralela a la
recta 2y – 54 x = 5
24.Determiná las rectas tangentes a la función ( ) 4 2 f x  x  en los puntos de intersección
con el eje de abscisas y el ángulo que forma cada una con el eje. Calculá luego, las
rectas normales respectivas
25.Calculá la función derivada en cada caso
1. x f (x) (x x ).e 3 2  
2. f (x) x x 2 3x
1
4
3
  

3.
3
2 2
( )
x
x x
f x


4.
x
x
f x
3
3
( )  
12. ( ) ln(4 ) 2 f x  x  x
13.
2 4 ( ) x x f x e  
14. f (x)  cos(3x)  sen(2x)
15. ( ) 3 5 2 2 f x  x  x 
16.
1
1
( ) ln



x
x
f x

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5.
1
. ln
( )


x
x x
f x
6.
x
senx x
f x
.cos
( ) 
7. f (x) x .senx x .cos x 3 2  
8.
1
( 1)
( )



x
x
e
x e
f x
9.
x
x
f x x x
ln
( )  .cos 
10. 2 3 f (x)  (3x  4x)
11. f (x)  sen(5x)
17. 2 5 f (x)  (5x  2x)
18. 2 f (x) (e x) x  
19. ( ) ln( 1) 2 f x  x 
20. ( ) cos(3 3 ) 3 f x  x  x
21. f (x)  2cos x
22.
3 (4 2) ( ) ln(2 )    x f x x e
23. ( ) (2 1) .ln(2 1) 2 f x  x  x 
24.
senx
x
f x



1
cos 1
( )
1-
x f (x) (x x ). 2 3 2  
2-
 


 


  

f (x) sen x x 2 3x
1
4
3
3-
3
3
2 2
( )
x
x x
f x


4-
f (x)  tg 3x
5-
1
.cos
( )






x
senx x
f x
6-
 
 x
x
f x x senx
cos 2
( ) .
2
3 2  
7-
1
( 1)
( )



x
x
e
x e
f x
8-
x
x
f x x x
ln
( )  .cos 
9-
f (x)  2cos x
10-
2 3 f (x)  (3x  4x)
11-
cos(3 3 ) 3
( ) 5 x x f x  
12-
f (x)  cos(3x)  sen(2x)
13-
( ) 2 1 3 f x  x  x 
14-
2 3 f (x) sen( 2 x  2 x)
15-
3 3 f (x) (e 3x) x  
16-
 
cos 1
1 1
( )

 

x
sen x
f x
La función derivada y sus aplicaciones
Máximos y mínimos
La función ( ) alcanza un máximo relativo en x=c si existe en el dominio de ( ), un
intervalo I al que pertenece c y en el cual para cualquier valor de x distinto de c se verifica
que ( ) ( )
La función ( ) alcanza un mínimo relativo en x=c si existe en el dominio de ( ), un
intervalo I al que pertenece c y en el cual para cualquier valor de x distinto de c se verifica
que ( ) ( ).

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La función ( ) alcanza un máximo absoluto en x=c si c pertenece al dominio de ( ) y para cualquier valor de x perteneciente a dicho dominio pero de distinto de c se verifica que ( ) ( ).
La función ( ) alcanza un mínimo absoluto en x=c si c pertenece al dominio de ( ) y para cualquier valor de x perteneciente a dicho dominio pero de distinto de c se verifica que ( ) ( ).
Diremos que un punto es un valor crítico, si en dicho punto la función tiene un máximo o un mínimo.
Una función es cóncava en un intervalo I si en dicho intervalo la gráfica de la función tiene la siguiente forma.
Una función ( ) es cóncava hacia arriba en un intervalo I de su dominio si y solo si se verifica que ( ) 0 para cualquier valor de x que pertenece a I
Una función es convexa en un intervalo I si en dicho intervalo la gráfica de la función tiene la siguiente forma.
Una función ( ) es cóncava hacia abajo en un interval I de su dominio si y solo si se verifica que ( ) 0 para cualquier valor de x que pertenece a I

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Punto de inflexión
El punto ( ( )) es un punto de inflexión de la función ( ) si y sólo si en un entorno de c la función cambia la concavidad a la izquierda y a la derecho de c
En el gráfico observamos que el punto (1;0) es un punto de inflexión, ya que la concavidad de la función cambia a derecho y a izquierda del punto.
En colores, por encima de la curva, se marcó la concavidad y por debajo de la curva, se marcó la convexidad.
Teorema de la derivada segunda
Si ( ) es una función derivable en un valor c, para el cual ( ) y, además se verifica que
 ( ) entonces ( ) tiene un mínimo relativo en x=c
 ( ) entonces ( ) tiene un máximo relativo en x=c
26. Estudiá los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, y todos los datos que consideres necesarios y realizá un gráfico aproximado en cada uno de los siguientes casos.
a) ( )
b) ( )
c) ( )
d) ( ) ( )

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27. En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos, las asíntotas, evaluar la continuidad, evaluar la concavidad, los puntos de inflexión y graficar en forma aproximada.
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
28. La concentración de un fármaco en sangre t horas después de ser inyectado está dada por la función ( ) . Calculá el intervalo de tiempo en el que la concentración aumenta, el intervalo en el que disminuye y el momento en el que es máxima.
29. En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que si se le administra cierta droga cuando tienen 38º C, la temperatura T en grados centígrados h horas después está dada por la función ( ) ( ) ¿Cuál será la temperatura máxima alcanzada?¿En qué momento se alcanza?
30. Las funciones ( ) y ( ) expresan la concentración en sangre de dos drogas distintas t horas después de administradas
a) ¿Cuál de las dos drogas alcanza mayor concentración?
b) ¿Cuál alcanza la concentración máxima en menor tiempo?
Bibliografía consultada:
de Guzmán, Miguel y otros. Matemáticas Bachillerato 3.
Altman, S y otros. Matemática/Polimodal Análisis 2
Material elaborado por la Prof. Patricia Rodas