Solucionario Tomo I - Demidovich

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LISIS MATEMATICO
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Sucesiones y
Sans
U3M
Solucionarlo de Análisis Matemático por Demidovich tomo III
Solucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II
Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.
Geometría Vectorial en R2
Geometría Vectorial en R3
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Eduardo Espinoza Ramos
/ /Lima - Perú
ByPriale
Graduado y Titulado en Matemática Pura.
Catedrático de las principales
Universidades de la Capital
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A N A LIS IS M A T E M A T IC O I
S O L U C IO N A R IO D E M ID O V IC H
TOMO I
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♦ INTRODUCCION AL ANALISIS
♦ DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
♦ APLICACIÓN DE LA DERIVADA
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
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IMPRESO EN EL PERÚ
1 5 - 0 2 - 2 0 0 4
4ta EDICIÓN
DERECHOS RESERVADOS
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Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún
método gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas
de fotocopia, registros magnéticos o de alimentación de datos, sin
expreso consentimiento del autor y Editor.
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N °10070440607
N °13714
N °10716
N° 4484
RUC
Ley de Derechos del Autor
Registro com ercial
Escritura Publica
PROLOGO
Se sabe que la humanidad ha avanzado lentamente hacia la conquista de los
conocimientos y la mayor de estas es la escritura, con ella la humanidad alcanzó el más
alto sitial en la creación; pero tan antiguo como ella, es el concepto de cantidad. Esto
nace aún antes de la escritura por eso la ciencia de los números están importante como
la vida misma.
El avance tecnológico funda sus bases en los conceptos primarios, lo que
estudiados, desarrollados y perfeccionados han llevado al hombre hacia grandes
conquistas.
La aventura del pensamiento nos ha llevado de la mano con la tecnología a
descubrir grandes realidades. Por ello mi deseo es plasmar en las paginas de este primer
tomo, en su cuarta edición del solucionario del libro problemas y ejercicios de análisis
matemático por B. Demidovich, el planteo fácil a los diversos ejercicios que se
presentan, además se incluye una colección de gráficos los que ayudarán eficazmente a
la captación de los diferentes problemas.
Mi agradecimiento al lector por la preferencia que brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan del deseo de que encuentren en ellos una ayuda para su
avance y desarrollo intelectual.
EDUARDO ESPINOZA RAMOS

INDICE
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
1.1. Concepto de Función 1
1.2. Representación Gráfica de las Funciones Elementales 31
1.3. Limites 88
1.4. Infinitésimos e Infinitos 143
1.5. Continuidad de las Funciones 155
CAPITULO II
DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES
2.1. Cálculo Directo de Derivadas 173
2.2. Derivación por Medio de Tablas 187
2.3. Derivadas de Funciones que no están dadas explícitamente 259
2.4. Aplicaciones Geométricas Mecánicas de la Derivada 276
2.5. Derivadas de Orden Superior 306
2.6. Diferenciales de Primer Orden y de Orden Superior 333
2.7. Teorema del Valor Medio 349
2.8. Fórmula de Taylor 354
2.9. Regla de L’Hospital - Benoulli para el Cálculo de Limites
indeterminados 361

CAPITULO III
EXTREMOS DE LAS FUNCIONES Y APLICACIONES
GEOMÉTRICAS DE LAS DERIVADAS
3.1. Extremos de las Funciones de un Argumento 374
3.2. Dirección de la Concavidad - Puntos de Inflexión 423
3.3. Asíntotas 435
3.4. Construcción de las Gráficas de las Funciones por sus puntos
Característicos 445
Introducción al Análisis ]
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS
1.1. CONCEPTO DE FUNCION.-
Demostrar que si a y b son numero reales.
I ¡ a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b|
Desarrollo
Escribiremos: a = (a - b) + b, tomando valor absoluto
|a | = |(a-b) + b | < | a - b | + ¡b|, por la desigualdad triangular:
Luego: | a | < | a - b | + |b| => | a | - | b | < | a - b |
Además: | a - b | = | b - a | > | b | - | a | , es decir: | a - b | > | b | - | a |
Por tanto de (1) y (2) se tiene:| | a | - | b | | < | a - b |
por otro lado: | a - b| = | a + (-b) | < | a | + |-b| =|a| + |b|
de donde: | a - b | < | a | + |b|
Luego de (3) y (4) se tiene: | | a | - | b | | < | a - b | < | a | + |b|
Demostrar las siguientes igualdades:
a) | a.b | = | a 11b | b) a2=a2
c) l ? l = T?T ’ b * ° d)b b
.(1)
.(2)
■(3)
(4)

2 Eduardo Espinoza Ramos
Desarrollo
a) 1er Caso: Sí a y b > 0 =*| a |= a,| b |= b por definición del valor absoluto
de donde | a 11b | —ab
Como a >0, b > 0 =>a.b > 0 =>|ab | = a.b
Por definición del valor absoluto
Luego | a 11b | = ab = | ab | => | a 11b | = | ab |
2do. Caso: Si a > 0 a b < 0
Como: b < 0 => -b > 0 => | ab | = | -(ab) | = | a(-b) |
Como: -b > 0 => por la parte Ira se tiene:
| ab | = | a(-b) | = | a 11-b | = | a 11b | => | ab | = | a 11b |
3er. Caso: Si a < 0 a b > 0 es en forma anàloga al 2do caso y se tiene
| ab | = | a 11b |
4to. Caso: Si a< 0 a b < 0 -a > 0 a -b > 0
entonces (-a)(-b) = ab aplicando el 1ro y el 2do caso se tiene:
| ab | = | (-a)(-b) | = | -a 11-b | = | a 11b | por lo tanto ¡ab | = | a 11b |
b) a 2= a 2
S í a > 0 => | a | = a => a2=a2
Sí a < 0 | a | = -a => | a |2= (-a)2 =a2
Por tanto |a|2= a :
Introducción al Análisis 3
'>
171=1 «-(7 ) 1=1 a II7 1 por la parte (a)
b b b
además |- |= |é | ! por la parte (b)
b
Luego: - I j l - j i i
Como | £ | . | a | | l m a |j L 3 j | | , por lo tamo |Í |= M
d) J a 2 = Ia I
Sí a > O => yja2 = a
Sí a < O => - a > O => J (-a )2 = -a => a 2 = -a
Luego por lo tanto 4 a 2 =a
Resolver las inecuaciones.
a) | x - 1 | < 3 b) |x + 1| > 2
c) | 2x + 1 | < 1 d) | x - 1| < | x + 1 |
Desarrollo
a) Sí | x —1 | < 3 =*-3 < x - 1 < 3
de donde - 2 < x < 4 => x e<-2,4>

b) | x + 1| > 2 => x + l > 2 v x + l < - 2
=» x > 1 ó x < -3
r i _____ H __________1__________ »
-3 -1
La solución es x e <-°o,-3> U <l,+°o>
c) | 2 x + l | < l í = * - l < 2 x + l < l
<=> -2 < 2x < 0
<=> -1 < x < 0
La solución es x e <-l,0>
d) | x —1 | < |x + 1 | => | x - l | 2< |x + l|2
=> x2 - 2 x + l < x 2 +2x + l
=> 4x>0 => x > 0
Luego la solución es x e <0,+°°>
4 Hallar f(-l), f(0), f(l), f(2), f(3) y f(4) sí: f(x) =x 3 - 6x2 + 1lx - 6
Desarrollo
Como f ( x ) - x 3 - 6 x 2 + l l x - 6
/(-1 ) = (-1)3 - 6(-l)2 + 11(—1) - 6 = -24
/(0) = (O)3- 6(0)2 +11(0) - 6= -6
/(1) = (l)3 - 6(1)2 +11(1) - 6 = 0
/(2) = (2)3-6 (2 )2+ 11(2)-6 = 0
/(3) = (3)3 -6(3)2 + 11(3)-6 = 0
/(4) = (4)3 - 6(4)2 +11(4) - 6 = 6
5 Hallar f(0), / ( - l ) ,f ( - x), / ( i ) , _ L Sí f(x) =y¡l^x2
4 x /(x)
Desarrollo
Como /(x) = Vl + x2 entonces /(0) = yjl +02 = 1
/ ( - - ) = J l + ( - - ) 2 = J l + — = . / ^ = -
4 V 4 V 16 V16 4
/(-x ) = yjl +(-x)2 = VT+x2
/ (-)= J i+ (-> 2
x V x |x |
1 _1_
/(•*) yjl + x2
6 Sea f(x) = arc.cos(log x). Hallar /(~ )> f(l) y f(10)
Desarrollo
Como f(x) = arc.cos (log x) entonces
/ ( —) = arccos(log—) = arccos(-loglO) = arccos(-l) = n

f ( 1) = arccos(logl) = arccos(O) =
n
f(10) = arccos (log 10) = árceos (1) = 0
La función f(x) es lineal. Hallar dicha función sí: f(-l) = 2 y f(2) = -3.
Desarrollo
Como f(x) es lineal => f(x) = ax + b, donde a, b e R
f /(-l) = 2 Í2 =-a +b
Luego
1/ ( 2) -3 = 2a+b
5 , 1
Resolviendo el sistema se tiene los valores de: a = - - , b = -
,, , 5 x 1
/(*) = -------+-
J 3 3
Hallar la función entero y racional de segundo grado f(x) sí f(0) - 1, f( 1) - 0
y f(3) = 5.
Desarrollo
Si f(x) es función entero y racional de segundo grado entonces
f{x) = ax1 +bx +c , donde a, b y c son constantes por determinarse.
Como
/(0) = 1
/ ( 1) = 0 =>
/ ( 3) = 5
1= c
0 =a+b+c
5 =9a +3b+c
¡a +b =- 1
9« + 3£ = 4
7 , 13
Resolviendo el sistema se tiene a = —, b = ——
6 6
Luego como f{x) = ax2 +bx + c , se tiene f(x)
_ ! 2 13
,r+ l
11
Se sabe que: f(4) = -2 y f(5) = 6. Hallar el valor aproximado de f(4.3),
considerando la función f(x), en el segmento 4 < x < 5, es lineal, (interpolación
lineal de funciones).
Desarrollo
f(x) es lineal => f(x) = ax + b
f/ (4) = -2 4a +b =-2
Como < =>-i resolviendo el sistema se tiene a = 8, b=-34
1/(5) = 6 [5a+ 6 = 6
Como f(x) = ax + b => f(x) = 8x - 34
Luego f(4.3) = 8(4.3; - 34 = 0.4
0 si x<0
10 Escribir una sola fórmula que exprese la función: f{x) =
empleando del signo del valor absoluto.
he si jc>0
Desarrollo
ÍO si x<0
nr si x >0
Como fix) = ■
Si x < 0 => para f(x) = 0 se tiene ■■■—■
2
Si x > 0 => para f(x) = x se tiene
2
Luego:
Determinar el campo de existencia de las siguientes funciones:
a) y =4x + 1

Desarrollo
El campo de existencia de una función también se conoce con el nombre
de dominio de la función.
Luego como y = ¡x + 1 para que esté bien determinado debe cumplirse
que x + l > 0 de donde x >-1 => x e [-l,+°°>
El campo de existencia de la función es -1 < x < °°
b) y = Jx + 1
Desarrollo
Como y - yjx +l => x + 1 puede ser positivo, negativo o cero, luego
el campo de existencia es: < x < +°°
12 y =—
4 - x
Desarrollo
Los valores de x para que y =------y esté bien determinado es:
4 - x
4 - x 2 *0 => x *±2
Luego el campo de existencia de la función es: <-°°,-2> U <-2,2> U <2,+°°>
13 a) y =J x 2- 2
Desarrollo
Para que y =lx2-2 esté bien determinada debe cumplirse:
x2 - 2 > 0 =* x 2 >2 => x>Í2 v x<-y¡2
Luego el campo de existencia es: < —■*>,-Í2]U[-j2,+°° >
Introducción al Análisis
14
b) y = x j x 2 - 2
Desarrollo ¡
Para que y =xyjx2 - 2 esté definida:
i .
x 2 ~ 2 > 0 = > X > y ¡ 2 V x < - y ¡ 2 *
también para x = 0, y = x'lx2- 2 está definida
Luego el campo de existencia es: x = 0 , | x | > ¡ 2
y = h +x - x 2
Desarrollo
Para que y — y j l +x - x 2 esté bien definida debe cumplirse
2 +x - x 2 >0,es decir: x 2 - x - 2 < 0 => ( x- 2) (x + l) < 0
15
-1 2
Luego el campo de existencia es: [-1,2]
' = yf-X-
1
¡ 2 + x
Desarrollo
Para que y = y f - x + . esté definida, debe cumplirse que:
V 2 + x
-x > 0 a 2 + x > 0 , de donde: x < 0 a x > -2
-2 0
Luego el campo de existencia es [-2,0]

16 y = -y/x-x3
Desarrollo
Para que esté bien definida debe cumplirse que:
x - x 3 >0 => x(x - l)(x + 1) <0 de donde:
-1 0 1
luego el campo de existencia es: <-°°,-l] U [0.1]
17 y = log(l±£)
2 - x
Desarrollo
Para que y = log(—- * ) esté bien definida debe cumplirse que: > 0
2~x 2 - x
de donde (2 + x)(2 - x) > 0, pero x * 2
=$ (x + 2)(x - 2) < 0, de donde se tiene:
-2 2
Luego el campo de existencia es <-2,2>
18 y = log(
x —3x +2
x +1
Para que y =log(
x —3x + 2
X+1
Desarrollo
) esté bien definida debe cumplirse que:
X 2 3x "4“^
“ >0 de donde (x2 - 3x +2)(x +1) > 0 para x * - l
x + 1
(x - 2)(x - l)(x + 1) > 0, entonces:
19
-1 1 2
Luego el campo de existencia es: <-1,1> U <2,+°°>
y =arccos(-^-)
l +x
2x
Desarrollo
2x
y - arccos(----- ) => eos y
l + x l + x
2x
pero se conoce que: -1 < eos y < 1, de donde -1 < ----- < 1
l + x
. , 2x , ^ 2x 2x ^ I-1 < ----- <1 <=> -1< ------ a ----- <1
l + x l +x l +x
2x 2x
<=> 0 < ----- + 1 A -------- 1< 0
l + x l + x
3x+ l x—1 '
« 0< ------- a ----- < 0
l + x x + 1
o 0 < (3x + 1)(1+ x) a (x - l)(x + 1) < 0, x * - l

Luego (< -oo,—l > t/[—l,+°o > a < —1,1]
X
20 y = arcsen(log —)
Desarrollo
X X
y =arcsen(log— ) => seny = log—
X X
como -1 < sen y < 1 => —1< log — < 1 además — > O => x > O
°10 10
Luego —< ~ < e => — <x<10e => x e[r—,10e]
e 10 e e
21 y = yjsen 2x
Desarrollo
Para que y = Jseñlx esté bien determinado debe cumplirse que: 1> sen 2x>0
Como O< sen %x< => arcsenO < 2x < arcsen 1
K
=> O< 2x <— de donde se tiene:
2 >
kit < x< kit +—, donde k = O, ±1, ±2. ±3,...
2
22 , Sea f(x) =2x4 - 3x3 ~5x2 + 6x -1 0 . Hallar:
<P(*) = ^ [ / W + /(-*)] y ¥(x) =^ [ f(x ) ^ f(- x )]
Desarrollo
Como
/ ( x ) = 2 x a - 3x3- 5x ' + 6 x -10
. Luego:
f(- x ) = 2x4+ 3x3-5x2-6.V-10
(p(x) = l f ( x ) + f(~x)] = 2x4- 5x2-10
| /(x ) = 2x4 ~3x3- 5 x 2 + 6x-10
[f (-x) = 2x4 + 3x3- 5 x 2 - 6 x - 10
V(x)= ■ -[/(* )-/(-* )] = *(~6x2 + 12x) => y/(x) =-3x3 +6x
23 La función f(x), determinada en el campo simétrico -1 < x < 1, se
denomina par sí f(-x) = f(x) e impar sí f(-x) = -f(x). Determinar cuales de las
siguientes funciones son pares y cuales impares:
a) f(x) =^ ( a x + a x )
Desarrollo
Como /(x) = —(ax +a x) => f(-x ) =- ( a x +ax)
2 2
Luego f(x) = f(-x) => f(x) = —(ax + a x) es par
2
b) f(x) =yjl +x+ x2 - y j l - x +x2
Desarrollo
/(x) = V1+ x+x2 - V l - x + x2
f(-x) =V - x +x2 - ll+x+x2 = -(V l-x +x2 - Vl+X + X 2 ) = - / (x)
como: f(-x) = -f(x) => f(x) es impar

c) f(x) =l](x +l)2 +lj(x-l)2
Desarrollo
Como f(x) =%¡(x+l)2 +%[(x-l)2 , entonces:
/(-* ) = ^/(-x +1)2 +t](-x-l)2 =t¡(x-1)2 +í](x +l)2 = f(x)
Luego f(-x) = f(x) entones la función f(x) es par.
d) f(x) =log(” ~~)
1-x
Desarrollo
Como f(x) - log(————) => f(-x ) = log(—— ) - -log(----- ) - ~ f (x)
l - x l +x l - x
Como f(-x) = -f(x) => la función es impar
24 Demostrar que cualquier función f(x), determinado en el intervalo -1 < x < 1,
puede representarse como la suma de una función par y otra impar.
Desarrollo
A la función f(x) escribiremos así: f(x) = f (x) + —/ (-x) - —f (-x)
f (X) = i / (*) + i f(-x ) + i f(x) - i f(-x )
/(*) =i( /( x ) + f{-X))+ |(/(JC) - f(-x))
definiremos la función: J(x) =~( f(x) + f (-x)) que es par, es decir:
/)(-*) = ^ (/(*) + /(-.*)) = ^ (/(*) + /(-* )) = /i (*) => /i(x) es par
ahora definiremos la función f 2(x) = ~ ( /( x) - /(-x )) que es impar, es decir:
f 2(-x) =^ ( f ( - x ) - f( - ( ~ x ) ) =- ^ ( f ( x ) ~ f(-x)) =- f 2(x) =* f 2(x) es
impar
por lo tanto /(x ) =/, (x) + / 2(x) es la suma de una función par y otra impar.
25 Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos impares es una
función par, mientras que el producto de una función par por otra impar es una
función impar.
Desarrollo
Sea f(x) —/j(x )./2(x) donde /, (x) y / 2(x) son funciones pares por
demostrar que /(x ) = /,(x )./2(x) es par como /, (x) y / 2(x) son pares.
íf (-*) = fi (x)
f 2(-x) = f 2(x)
f(~x) =(/i ./2)(-*) = /, (-x)./2(-x) = /, (x)./2(x) = /(x ) entonces
f(x) = f l(x).f2(x) es par.
Si g(x) = gi(x).g2(x) donde g¡(x) y g2(x) son funciones impares por
demostrar que g(x) = gj(x).g2(x) es par
ígi(-x) = -g 1(x)
Como g|(x) y g2(x) son impares => <
[g2(-x) = -g 2(x)
g(-x) = (.gi.g2)(~x) = gi(-x).g2(~x) = [-gi(A:)][-£2(x)]

g(~x) = gi(x).g2(x) = g(x) => ^(jc) = gjW .g2(jr) es par
26 La función f(x) se llama periódica, si existe un número positivo T (periodo de
la función) tal que f(x + T) = f(x) para todos los valores de x pertenecientes al
campo de existencia de la función f(x). Determinar cuales de las funciones que
se enumeran a continuación son periódicas y hallar el periodo mínimo T de las
mismas.
a) f(x) =10 sen 3x
Desarrollo
Como f(x) = 10 sen 3x => f(x + T) = 10 sen (3x + 3T)
2 n
Como sen x = sen (x + 2ti) => 3T = 2n => T = —
3
Luego f(x)=10sen3x es periódica y T =~
b) f(x) = a scn(Xx) +b cos(Xx)
Desarrollo
Sea f(x) = a sen (A.x) + b eos (A,x) entonces:
F(x + T) = a sen (kx + A.T) + b eos (Xx + X.T)
Como sen x = sen(x + 2n) y eos x = cos(x + 2n) de donde
XT = 2n => T =—
A
por lo tanto f(x)=a sen(A.x)+ b cos(A,x) es periódica, donde el periodo
16 Eduardo Espinoza Ramos Introducción al Análisis 17
c) f{x) = Jtgx
Desarrollo
f (x) = sjtgx => f(x +T) =yJtg(x+T)
Como tg x = tg(x + 7t) => T = Tt
Para que f(x) = f(x + T), luego: f(x) =yjtgx es periódica con T = jc
d) f(x) = sen2x
Desarrollo
Se conoce que sen (x + n) = sen x. eos n +eos x. sen Jt = - sen x
De donde sen2(x +n) =sen2x de donde:
f(x) = f(x + 7t) entonces la función / (x) =sen2x es periódica con periodo
T = Jt.
e) f(x) = sen(y[x)
Desarrollo
Se conoce que fx ¿ J x + y¡T para T * 0
Luego f (x) = sen(y[x) => f(x +T) = sen(s¡x+T)
Por tanto f(x) # f(x + T) la función: f(x) =sen(-ix) no es periódica
27 Expresar la longitud del segmento y = MN y el área S de la figura AMN como
función de x = AM construir las gráficas de estas funciones.

Desarrollo
En el A ADE, “x” varia desde A hasta E, es decir:
0 < x < c, por semejanza de triángulos tenemos:
A AMN ~ A ADE, de donde: - = - => y = — para 0 < x < c, ahora
b e c
veremos para los “x” que varia desde E hasta B, c < x < a se tiene y = b,
luego: y =
—x para 0 <x<c
c
b para c < x< a
c xy
ahora veremos para el área S de la región sí 0 < x < c => 2
b *y
Pero y = —x , reemplazando se tiene: S =— sí 0 < x < c
c 2
be
Si c < x < a => S= bx—— , para c < x < a La gráfica es:
_
28 Las densidades lineales (es decir, la masa de una unidad de longitud) de una
barra AB = 1, en sus porciones AC =/,, CD = Z? y DB =l3,
(/, +12 +13 - i) son respectivamente iguales a: q x , q2, q3, expresar la masa
m de una porción variable AM = x de esta misma barra, como función de x,
construir la gráfica de esta función.
Desarrollo
A ^
A *------------- ---------------------------------*B___M
Consideremos primero: P =~y => m = lp
Luego sí 0 < x </, entonces m =x.q{
M
Sí ll <x<ll +l2 => m =l¡q¡ +q2(x-l¡)
ll C M
A *------ ----- •---------- •------------ «B
q, qo
H — — ---- X --------------H
Sí /, + /2 <*</, +/2 +/3 entonces: m =l{qx+l2q2 + (* -(/, +l2))q3
i
m =llql +l2q2 + { x - l x- l2)q,
A •---------- •---- ¡-----•---- la---- «---- • B
o a
N --------------------- X ---------------------N
Resumiendo se tiene: g

m =
si 0<x</,
si /| < X < /i + 12
/|^i +I2<l2 + (x~h si ll+l2< x < l l +l2+ h - l
Y"
'^ 2^ 3
ljq t* (x -Ji)q2
29
30
Hallar: (p(v(í(x)) y y(<p(x)), <p(x) = x2, ¡/(x) =2'
■
Desarrollo
Como y/(x) =2x y <p(x) = x2 entonces:
(p(y/(x)) =(y(x))2 = (2*)2 = 22jr y <//(<¡P(x))= 2<P(X) ~ r
Hallar f(f(f(x))) sí f(x) =
Como f(x) =
l - x
Desarrollo
1
l- x
/(/(*)) =
!-/ (* )
/(/(/(*)))=
1-/(/(*)) ! 1 -■
1 -/0 0
1 - / U )
-/<*)
es decir: /(/(/(* ))) = 1 / (a) = — = Luego f(f(f(x))) = x
- / ( ■ * ) __ i_ -1
l - x
31 Hallar f(x+l) sí / ( x - l ) = x2
DesarrolloV * '
-
Como /(x —1) = x2 => /(x +1) = /[(x + 2) -1] = (x + 2)2
Es decir: /(x + l) = x2 +4x + 4 = (x + 2)2
32 Sea f(n) la suma de n miembros de una progresión aritmética.
Demostrar que f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0.
Desarrollo
Como f(n) es la suma de n término:, de una progresión aritmética. Entonces:
/ ( n ) = (2 a +(m - l)r)~ donde “a” es el primer término y “r” la razón
*
f ( n + 3) = [2 a + (n + 2 )r ] —
2
f ( n + 2 ) = [2 a + (n + l ) r ) —
2
f ( n + l) = [2 a + n r ] ^ ~
calculemos f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n)
(2 a + (n + 2 ) r ) - ~ - 3 ( 2 a + (n + l ) r ) ^ - ^ + 3 ( 2 a + n r ) - — ^ --(2 a + ( n - ) r ) —
2 2 2 2

1 ■> ->
= —[(2an + 6a +n"r +5nr + 6r) - 3(2an + 4a +n~r +3nr + 2r) +
2
+ 3(2am + 2a +n2r +nr) - (2an +n2r - r«)] = ~ [(0) + (0) +(0)] = 0
En consecuencia: f(n + 3) - 3f(n + 2) + 3f(n + 1) - f(n) = 0
33 Demostrar que, si f(x) = kx + b y los números x x, x2 y x3 constituyen una
progresión aritmética, también formaran una progresión aritmética los números
/(* ,) , f ( x 2) y f ( x 3).
Desarrollo
jcj , x2 y x3 constituyen una progresión aritmética => xx, x2 = x, + r,
jc3 = x, + 2r donde r es la razón, probaremos que f ( x x) , /(x 2)y /( * 3)
constituye una progresión aritmética.
Como f(x) = kx + b entonces f ( x x) = kxx +b
f ( x 2) = /(*] + r) =k(xx+ r) +b =kxx +b +kr
/ ( x 3)= f ( x x+2r) = k(xx+ 2r) +b =kxx +b +2kr
Luego: kxx+b kxx+b +kr kxx+b +2kr
f(x 2) f ( x j)
constituye una progresión aritmética, donde kr es la razón.
34 Demostrar que, si f(x) es una función exponencial, es decir /(* ) = ax , (a < 0)
y los números xx, x2 y x3 constituyen una progresión aritmética, los números
f ( x x), f ( x 2) y f ( x 3) fonna una progresión aritmética.
Desarrollo
23
Como a, , x2 y x3 constituye una progresión aritmética a, , x2 =x¡ +r
x3 =-ti + 2r donde r es la razón
35
Como f(x) =ax entonces:
Luego: a* , aZr.ax'
/(•*,) /(*,)
f ( x x) =a x'
f ( x 2) = f (x¡ + r ) = a x,+r = a r .ax'
f ( x 3 ) = f ( x x +2r) =a x'+2r =a 2r
Constituyen una progresión geométrica cuya razón es ar.
1 X
Sea f(x) = log(——). Demostrar que / (x) + /(y ) = f (-X +y)
1 x 1+ xy
Desarrollo
Como f(x) =lo g ( l^ ) , /(y ) = log(l±Z)
1 -x 1-y
/(x ) + f(y) =lo g (l± í)+ log(i±Z) = log(£±j)(l + y)
l ~ x 1 -y (l-x )(l-y ) .(1)
/ ( f t Z ) = i o g ( - ± t ^ ) =log(i l ^ ± í ± y
1+ xy x+ y 6 1+ a y -x -yx+y
1+ xy
1+ A y -x -y
= io g (íl± fl± íl± f^ ) = logíil^ a ± y )
( l-x )-(l-x )y (1—x)(l —y) ■(2)
comparando (1) y (2) se tiene: /(x ) + f(y ) =f ( X+y )
1+xy

36 Sea f ( x ) - ^ ( a x + a x ) y f(x) = -^ (a x - a *). Demostrar que:
f(x + y) = f(x).f(x) + vj/(x).v|/(y) y y(x + y) = f(x).y(y) + f(y).v|/(x)
Desarrollo
f(x + y ) =- ( a x+y +a~x-y) =~(ax.ay +a~x. a y)
2 2
ax+y a~x-y a-xay a-xay axa~y axa~y
2 2 4 4 4
- ( a x.ay +a~x.ay +ax.a~y +a~x.a~y)+
4
+-(ax.ay - a - x.ay - a x.a~y +a-xxTy)
4
= - ( a ' +a-x) - ( a y +a-y)+- ( a x - a-x) - ( a y -a~y)
2 2 2 2
= f(x).f(y)+y(x).|f(y)
farcsen x , para -1 < x < 0
37 Hallar f(-1), f(0) y f(1) sí: f(x) =
[arctag .V, para 0 < x <+<*>
Desarrollo
/ ( —1) = arcsen(-l) =-arcsen() =—^ => /(-1 ) = - ^
/(O) = arcsen(0) = 0
/(l) = arctag(l) = ~
4
f(0) =0
/ (1) = 7
4
38 Determinar las raíces (ceros) y los campos de valores positivos y de valores
negativos de la función y; si:
a) y = 1 + x
Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 1+ x = 0 => x = -1, luego y = 0 cuando x=-l
El campo de valores positivos es cuando y > 0, es decir 1+x > 0 => x > -1
y el campo de valores negativos es cuando y <0 es decir 1+x < 0 => x < -1
Luego y<0, cuando x<-l
b) y = 2 +x - x2
Desarrollo
Para que y = 0 se tiene que 2 + x - x 2 =0, de donde: x = -1, x = 2,
luego: y = 0, cuando x = {-1,2} y para los valores positivos y > 0 se
tiene: 2 +x - x 2 >0 =* x 2 - x - 2 < 0 => (x - 2)(x + 1) < 0, de
donde se tiene:
-1 2
Luego x e <-l,2>. Entonces: y > 0 cuando x e <-l,2> y para los
valores negativos y < 0 se tiene: 2 +x - x 2 <0 => x 2 - x - 2 > 0
(x - 2)(x + 1) > 0, de donde se tiene:
+ X +
-1 2

Luego x e <-°°,-l> U <2,+°°> entonces:
y < 0 cuando x e <-oo,-l>U<2,+°°>
c) y = 1- x + x 2
Desarrollo
7 1± y¡3i , 3
Para que y = 0 se tiene que 1- * + * = 0 de donde * = —-— , luego ñ
xe R tal que y = 0. Como las raíces no son reales entonces:
l - ^ + x2 >0, V x e R => y > 0 para -°°< x < +°°
d) y =x 3 -3 x
Desarrollo
Para que y = 0, se tiene x3- 3x = 0, de donde: x = -y¡3 , x = 0, x = V3
Luego y = 0 cuando x = {-V3,0,/3)
Para y > 0, se tiene x3 - 3 x > 0 =* x(x-V3)(x + ¡3) >0
Luego xe < -y¡3,0 > U <y¡3, +°° >, entonces:
y > 0 cuando xe<->/3,0 >U <y¡3,+°°>
para que y < 0, se tiene que x 3 - 3x <0 => x ( x - V 3 ) ( x + / 3 ) < 0
xe< —°°,y¡3 >U < 0,y¡3 >
S o s
Luego x e < ¡3 >U < 0, ¡3 > entonces:
y < 0 , cuando ;ce<-oo;>/3 > í/< 0,> /3 >
e) y = log(———)
1+ x
Desarrollo
2x
Para que y—0, debe ocurrir:----- = 1 de donde x = 1, luego: cuando x =1
1+ x
2y
Para que y > 0 ocurrirá cuando----- > 1
x + 1
x -
-----> 0 => (x- l)(x + 1) >0
x + l
2x
x+l
—1> 0 de donde:
luego x e <-oo,-i>u<l,+°o>
2x
para que y < 0 debe ocurrir que 0 < ----- < 1
1+ x
dedonde 0<2x(l + x)<(l + x)2 0<2x(l + x) a x 2 <1
. -1 0
luego x e <0,1> entonces: y < 0 cuando x e <0,1>

Hallar la inversa de la función y, si:
a) y = 2x + 3 b) y = x2- l
c) > = A -* 3 d> y -
e) y = arctag(3x)
¿En qué campo estarán definidas estás funciones inversas?
Desarrollo
a) Como y = 2x + 3, esta función está definida en -<*>< x < +°°, despejamos
x es decir:
* = —(y —3), -»o< x < °° como x =—(y—3) => -°° < —(y —3) < +°°
2 2 2
- o o < y — 3 < + ° ° = > - o o < y < + 0 0
Entonces: x = —(y -3 ), -oo<y<+oo
2
b) y =x2- 1 está definida en - o o < x < +°°
x2 = y + 1 => x =±yfy +l para x =J y + l se tiene:
0 < -Jy + 1<°° de donde -oo < x < +°°
para x = J y +l se tiene -°° < -yjy +l < 0 de donde: -1 < y < +~
luego x =y[y +l y x =y[y +l para -l<y<+°o
c) y =sll-x3 , en forma análoga al caso anterior: x =l] l- y i , - o o < y < +°°
X x
d) y = Iog(—) está definida para x > 0 como y = log(—)
2 2
=> x = 2.10v como x > 0 => 2.10v>0 => 10v >0
- o o < y <+ o o entonces: x =2 . 10V para . - o o < y < + o o
e) y = arctg 3x, en forma análoga a los casos anteriores.
. - 1 n n
y = arctg3x => x =-tagy; para ~~^< y <~^
x si x <0
40 Hallar la inversa de: y = < ,
[.v si x > 0
Desarrollo
Sí x < 0 => y = x => x = y para -°°<y <0
Si x > 0 '=» y = x 2 => x = y[y para y > 0
Luego x =
[ ) ’ SÍ - oo < y < o
yfy si 0 < y < +oo
41 Escribir las funciones que se dan a continuación en forma de cadena de
igualdades, de modo que cada una de los eslabones contenga una función
elemental simple (potencial, exponencial, trigonométrica, etc.).
a) y = (2x-5)10
Desarrollo
Como y = (2x-5)10 => y =u'c donde u = 2x-5
b) y =2cosx
Desarrollo

Como y = 2COSJC =¿> y =2“ , donde u = eos x
x
c) y =og(tag-)
Desarrollo
JC x
Como y =log(tag —) => y = log(u) donde u = tg(v) y v = ~
2 2
d) y =arcsen(3~* )
Desarrollo
Como y =arcsen(3~x ) => y = aresen u de donde u = 3' y v= -x~
42 Escribir en forma de una igualdad las siguientes funciones compuestas, dadas
mediante una cadena de igualdades.
a) y - u 2; u = sen x
Desarrollo
o 2
Como u = sen x, y = w~ => y - s e n x
'
b) y = arctg u, u=y¡v , v = log x
Desarrollo
Como u —y/v => y - arctgfv donde v = log x
Entonces y = arctg( x j log a )
í2 u si u < 0 t
c) y = < u = x - 1
' [ 0 si u > 0
Desarrollo
Para u < 0 =* a2-1 < 0 => a 2 < l =* - l < x < l => | x | < l
para u > 0 = > a 2 > 1 = ^ | x | > 1
luego como u = x2—1 se tiene: y = i ^ X ^ St ^x ^~ ^
> [ 0 si |x |> l
43 Escribir en forma explícitas las funciones y, dadas por las ecuaciones:
a) a 2 - arccos y = n b) 1 0 Jt+ 1 0 )' = 10
c) x + |y |= 2y
Hallar los campos de definición de las funciones implícitas dadas
Desarrollo
a) a 2 - arccos y = n => arccos y =x2- n
y = c os(a2 - tc) = eos x 2.c o s k + s e n x 2.sen k
y = - c o s a 2 para 4 k < x < y [ l K
b) 1 0 * + 10* = 10 = > 1 0 y = 1 0 - 1 0 * = > y = l o g ( 1 0 - 1 0 * ) , - ° ° < x < l
1 2 . REPRESENTACIÓN GRÁFICA~DE LAS FUNCIONES
______ELEMENTALES.-_________________________________________
La construcción de las gráficas se hace mediante una tabulación y enseguida
uniendo dichos puntos.
Si partimos de la gráfica y = f(x) con ayuda de construcciones geométricas
elementales obtendremos las gráficas de las funciones:
1yi =-/(•*) *que es la representación simétrica de la gráfica respecto al
eje OX.

2 y 2 = f (—x ), que es la representación simétrica de la gráfica respecto al
eje OX.
3 yi = f ( x - a ) , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OX
en la magnitud a.
4 y4 = f ( x) +b , que es la misma gráfica desplazada a lo largo del eje OY
en la magnitud b.
Haremos una representación de todo esto.
Construir las gráficas de las funciones lineales (L. Recta)
44 y = kx sí k =0,1, 2, —,-1,-2
2
Como y = kx
O
1!
M
=>
II
o
II
¿4
X
II
k = 2 => y = 2x
2
=>
X
v =—
2
i
II
¿4
=>
Xi
II
k = -2 y = -2x
Desarrollo
45 y = x + b, sí b = 0, 1,2,-1,-2
Desarrollo
b = 0
X
II
>>
b = 1 => y = x + 1
b = 2 => y = x + 2
b = -1 y = x - 1
b = -2 =>
II
X
1
NJ
46
47
y = 1.5x + 2
X y
0 2
1 3.5
2 5
Desarrollo
Construir las gráficas de las siguientes funciones racionales enteras de 2do
grado (parábola).
? 1
y - a x , sí a = 1, 2,— ,-1,-2,0
2
Desarrollo
Para a = 1 y = *

X y
0 0
± 1 i
± 2 4
48 y =x 2 +c sí c = 0,1,2,-1
49 y - (x - jc0)2, sí x 0 = 0, 1, 2,-1
Desarrollo
50 y = y0 + ( * - l ) 2,si y0 =0, 1, 2,-1
Desarrollo
51 y =ax2 +bx +c sí: 1 a = l b =-2 c = 3
2 a = -2 b = 6 c = 0
Desarrollo
1 Para a = 1, b = -2, c = 3 se tiene y =x 2 - 2x +3 de donde
y =( x - l ) 2 +2
2 Para a = -2, b = 6, c = 0 se tiene y = -2x2 +6x
y =- 2(x2- 3 x + ^ ) + ^ =* y = - 2 (x - |) 2+ ^

52y =2 +x - x 2. Hallar los puntos de intersección de ésta parábola con el
eje OX.
Desarrollo
Para encontrar los puntos de intersección con el eje X debe ocurrir y = 0 es
decir 2 +x - x 2=0 de donde x2=- x - 2 = 0 => (x - 2)(x + 1) = 0 luego
los puntos de intersección con el eje X es: x = -1, 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
RACIONALES ENTERAS DE GRADO SUPERIOR AL SEGUNDO
53 y = x 3 (parábola cúbica)
Desarrollo
X y
0 0
1 i
-1 -i
2 8
-1 -8
37
54 y = 2 + ( x - l ) 3
Desarrollo
X y
0 i
1 2
-1 -6
55 y =x 3 - 3 x + 2
Desarrollo
X y
0 2
1 0
2 4
-1 4
-2 0
-3 -15
3 20
56 y =x4
Desarrollo
X y
0 0
± 1 i
± 2 116
x+

57 y =2x2 - x 4
Desarrollo
y - 2 x 2 - x 4 => y = - ( a 4 - 2 * 2 + 1 ) + 1 => y = l - ( j c * - l ) 2
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES
HOMOGRÁFICAS SIGUIENTES (Hipérbolas)
x
Desarrollo
X y
-1 -i
1 i
Desarrollo
x y
0 i
1 2
2 3
-1 1
2
60 y =
x - 2
x+2
Desarrollo
x - 2 4
>’= — - => )’= 1“
x+ 2 x +2
m
x - x 0
Desarrollo
62
2x-3
3x +2
v —•
2x -3
3x +2

CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
RACIONALES FRACCIONARIAS.
y - x +—
x
Desarrollo
y = jc+ —, su dominio es R —{0} y una asíntota vertical es en x = 0 no tiene
x
asíntota horizontal.
X i -1 1
2
1
2
3 -3
y 2 -2 5
2
5
2
10
3
10
3
Y' 1 1t 1
2
V t / /x /
i
-1
iii... , --------
11 1 X
1
/ ^ - ~ -2
/ / / »1
y =
y =
JC+l
Desarrollo
2 1
x -- => y = x - l +------, una asíntota vertical es en x = -1, no tiene
jc+1 x + l
asíntota horizontal.
X i
~2
0 1 2 3
2
-2 3
2
y 1 0 1 1 9 -4 9
2 2 2 2 2
n Y 1
1
1
1v
! V
/////
1-1
l
1
i
0 X
1 -4
/. |
1 ‘l
'i
Desarrollo
En x - 0, se tiene asíntota vertical, en y = 0, se tiene asíntota horizontal.
66
X ± i i + 2 + 3
+_
2
y i 4 1 1
4 9
y=-
Desarrollo
En x 0 se tiene una asíntota vertical, en y = 0, se' tiene una así
horizontal.
X
+ 1
2
± 1 ± 2 ±3
y ± 8 ± 1
±1
8
+—
27
10
«7 y =—— (curva de Agnesi)
* +1
Desarrollo
X 0 ± i ±2
y 10 5 2
2x
y =—=— (Serpentina de Newton)
x +1

Desarrollo
69
70
X 0 ± i ± 2 ±3
y 0 ± i
± 1
5
+ 2
5
1
y = * +—2"
X
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i -1 2 -2 1
+—
•
2
y 2 0 9 7 9
2 2 2
9 1
y =x +— (Tridente de Newton)
x
Desarrollo
En x = 0 se tiene asíntota vertical
X i -1 2 -2 3 -3
± 1 -
2
1
2
1
3
1
2
y 2 0 9
2
7
2
28
3
26
3
9
4
7
4
28
9
28
3
71
72
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIO
IRRACIONALES SIGUIENTES:
y =yfx
Desarrollo
y =yfx está determinado para x > 0
X 0 i 4 9 ’6
y . 0 i 2 3 4
y =</x
Desarrollo
X 0 ± i ±8 ±27
y 0 ± i ±2 ±3
(parábola de Neil)
Desarrollo
X 0 ± i ±8
y 0 i 2
7 4 / = ± W j r (parábola semi-cúbica)
Desarrollo

75
X 0 1
3 / 4 7 9
y 0 ± 1 ± 2 ± 3
y =±^y]25-x2 (elipse)
Desarrollo
76 y =±4x2-1 (hipérbola)
Desarrollo
' =±4x2- x2- y 2 =
X ± i ± 2 ± 3
y 0
+i
too
+1
7 Ï7 7
Desarrollo
78
79
3 ’ = ± A
4 - j c
(Cisoide de Diócles)
Desarrollo
X 0 1 2 3
y 0 ±2
i+
•
i
■±x¡25 - x (para el estudiante)
80
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO
TRIGONOMÉTRICAS
y = sen x
Desarrollo
81 y = eos x
Desarrollo
Y

82 y = tg x
X 0
2
± K £1«
+i
y 0 o o 0 o o
X 0
+ 1
2
± 71
2
y o o 0 OO 0
y = ctg x
Desarrollo
83
84 y = see x
X 0
2
± n ± 2n
y i OO - 1 1
85 y = esc x
Desarrollo
86 y = A sen x, sí A =l, 10, - ,- 2
2
Desarrollo
Si A = 1 =* y = sen x, su gráfico es:
X 0
+ £
2
± n
£1™
-H
± 2 n
y 0 ± 1 0 ± 1 0
Si A = 10 => y = 10 sen x, su grafica es:

x 0 ± n
2
±3£
2
y 0 0 ± 1 ± 1
87 y = sen (nx), sí n = 1, 2, 3, —
Desarrollo
Si n = 1 => y = sen x es similar al ejercicio 86,
Si n = 2 =* y = sen 2x su grafica es:
X 0
4
+ -
2
+i
± 7 1
y 0 ± 1 0 ± 1 0
En forma similar para n =3, —
2
88 y = sen(x-<p) sí <¡¡>= - 0,—,— ,?r
2 2 4
Desarrollo
y - sen (x - <p) _ sen x. eos <p- eos x. eos cp =* y = sen x. eos <p- eos x. c
para <p= 0 se tiene y = sen x el gráfico es el mismo que el ejercicio 86.
Para cp=—, y = - eos x. Su
X 0
2
± n
y - i 0 ± 1
En forma similar para w = — , n ----
2 ’ 4
89 y = 5 sen (2x - 3)
Desarrollo
„ 3
x ~ x 2 ^ y —5sen 2x' donde el origen del nuevo sistema es (
Y el gráfico se hace en forma similar al ejercicio 87.
N>|U>

90 y = a sen x + b eos x, sí a = 6, b = -8
Desarrollo
Para a = 6, b = -8, se tiene y = 6 sen x - 8 eos c. Su gráfico es:
X 0
+ —
2
± n
+!
± 2 n
y -8 ± 6 8 -6 -8
91 y = sen x + eos x
Desarrollo
X 0
4
K 3K n 5/r
i 3;r
In 271 9zr n
2 4 2 2 4 4 4
y i 4~2 1 0 -1 -J2 -1 0 1 4~2 0
Desarrollo
X 0
± *
2
± 71
y i 0 1
y = x + sen x
Desarrollo
X 0
2
± 7 t
2
3n
~2
± 2n
y 0
+ £
2
0 3K
~2
371
Y
0
95 y = tg 2x
Desarrollo

52
X 0
1+
13
± —
2
+ —
4
± n
y 0 1 + 1 0
96 y = 1- 2 cos x
Desarrollo
X y
0 -i
l+
i
± 7 t 3
1+
|^
-0.41
97 y = senx--sen3x
Desarrollo
Xi
X 0 , n ± n 3iz+ — + —
2 2
y 0 ± 1.33 0 + 1.33
Desarrollo
X 0 , K 3x
+ — + —
2 2
y 3 1 -0.717
2 2

99 y =cos(—)
x
Desarrollo
X i
3
1
3
1 -1 1
4
1
4
y -1 1 -1 -1 1
4
1
4
100
Desarrollo
y - ±yjsen x , sen x > 0 => x e [0,7t] U [2ny3n].... [-2n,-n]
CONSTRUIR LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
101 y - a x sí a = 2, e
2
Desarrollo
Sí a = 2 => y =2X
X V
0 1
1 2
-1 1
3
2 4
-2 1
4
Desarrollo
X V
0 1
1 1
2
-1 2
2 1
4
-2 4
102 y = logílx sí o = 10, 2 , —, e
2
Desarrollo
Sí a =10 => y =log10* => x = ÍO3'

X y
1 0
1 0 i
1
1 0
- i
103 y = sen hx, donde senhx =~ (ex - e x)
Desarrollo
X y
0 0
1
e - e l
2
- 1
e~x- e
2 .
104 y = eos hx; donde coshjc = - (e Jf+e x)
Desarrollo
X y
0 i
1 e —
2
-1 e +e~l
2
105 y = tg hx, donde tghx =
cosh x
Desarrollo
cuando x -»+<*>, y 1
x —> , y -» -1
i
106 y =10*
Desarrollo
X y
1 10
-1 1
10
1 100
2
1 1 1
2 100 I
- x2
y - e (curva de probabilidades)
Desarrollo
X y
0 i
± 1 i
e
±2 1
4
e

108 y =2 x2
Desarrollo
L i 1
y =2 x2 = —— => y =——> cuando x —»0 , y —»0
2? 2/
X 0 ± 1 ±2 ± 3 ± 4
y 0 1
2 í2 fe
1
'$2
1 0 9 y = logx2
Desarrollo
x 2 > 0 => x e U <0,+°°>
* ± 1 ±2 ±3 ±4
a2
+I
3
+i
4
y 0 Log 4 Log 9 Log 16 - log 9 - log 16
110 y = log2x
Desarrollo
y —(logx)2 está definida para x > 0
X 1 2 3 1 1 .
2 3
y 0 (log 2)2 (log3)2 dog2)2 (log3)2
111 y = log (log x)
Desarrollo
y = log (log x) está definido para log x > 0 => x > 1
v = --------
logx
Desarrollo
i
V = ------ esta definida para x > 0, x * 1
logx

X 0.2 0.5 1 2 3 4
y -0.625 -3.325 -o o 3.32 2.09 1.66
113 y = log(—)
x
Desarrollo
y = log(—) está definido sí —>0 => x> 0
x x
x i 2 3 4 5 0.5 0.4
y 0 -0.3 -0.47 -0.60 -0.69 0.3 0.9
114 y = log(-x)
Desarrollo
y = log (-x) está definido sí -x > 0 => x < 0
x i
2
0 -1 -2 -3
y -0.3 -oo 0 0.3 0.48
115 y = log2(l + x)
Desarrollo
log2(l + x) = log210.1og10(l + x)
x -î 0 1 2 3 4 5
y -o o 0 0.9 1.5 1.9 2.3 2.5
116 y = log (cos x)
Desarrollo
*X

y = log (eos x) está definido sí eos x > 0. entonces
2n + l .. 2n + l
xe<27tn,-----------------ti >U < -------------------- jz,2nn>
u n .. 3n 571
x e < — , — >U <— ,— > U...
2 2 2 2
11) y =2 xsen x
Desarrollo
X 0 71 n +3tt 2n K -n 3n -2n
2 2 2 2
y 0 0.33 0 -0.038 0 -2.97 0 0.038 0
Y
1 1 8
1 1 9
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIC
TRIGONOMETRICAS INVERSAS
y = aresen x
Desarrollo
El dominio de y = aresen x es [-1,1]
Z Tí
El rango de y = aresen x es [ - —,—]
2 2
X -i
2
0
^ 2
. 2
1
y n 71 0 7t n
2 4 4 2
y = árceos x
Desarrollo
El dominio de y = árceos x es [-1,1]
El rango de y = árceos x es [o,7t]
X y
-1 K
0 71
2
1 0
En forma análoga para las demás funciones el cual damos su gráfico.
120 y = arctgx
Desarrollo

121 y = arctg x
X y
0 71
2
oo 0
o o n
1 71
4
122 y=-arcsen—
x
Desarrollo
1 1
y —arasen— => sen y =—
x x
-1 < sen y < 1 =» => x € <-°°,l] U [l,+°°>
123 y = arccos—
x
Desarrollo
y -arccos— => cosv=— como -1 < cos y < 1
* Jt
- l < i < l => x e < - o o ,- i ] u [ l,+ o o >
124 y = x + arctg x
X 0 X + o o X — » -O O
y 0 y —> +oo X - » +00

125
126
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES
y = |x |
Desarrollo
Se conoce que: |„v|=
Sí x > 0
x <0
y = x
y = -x
X y
0 0
± 1 1
± 2 2
±3 3
.TC>0
x < 0
Y
/ y = |x|
X.
1
1
1 X
1 •
1 »
/
/ I
/ I
--- ~A I
/ 1 1/ 1/ i i -
-2 -1 0 1 2 X
y =^(x+x)
Desarrollo
Si x > 0 => | x | = x, Luego y = ^(x+x) = ^{x +x) - x
Si x < 0 => | x | = -x, Luego y =-^-(.x+|*|) = —(x-x) = 0
y = x
y = 0
127 a) y = x | x |
Desarrollo
Si x > 0 => | x ¡= x, pero
y - xx -x (x) = x 2 =$ y =x 2 parax>0
y =x x-~x(-x) =- x 2 => y =- x 2 parax<0
b) 3' = logv5|x|
Desarrollo
y
y —los ^ 2 1* I <=> * = (V2)v =» x=22
y
para x > 0 = > | x | = x => jc= 22
2
x <0 => |x | = -x => - x = 2 2
X y
± 1 0
± 2 2
±3 ln3
ln2
+i
2
-2
± 1
4
-4
128 a) y = sen x + | sen x |
Desarrollo
Se conoce que y = sen x tiene por gráfico:

Sí 0 < x < 1 => y = 0
l < x < 2 = > y = l y
2 < x < 3 => y = 2
-1 < x < 0 => y = -1 -----------—
------------O.
-2 < x < -1 => y = -2
-3 < x < -2 => y = -3
b) y = x - [x], [x] = n => n < x < n + 1, neZ
Sí 0 < x < 1 y = x
1< x < 2 => y = x - 1
X
-3 < x < -4 => y = x + 3
-4 < x < -5 => y = x + 4
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES EN
EL SISTEMA DE COORDENADAS POLARES (r, (p) (r > 0)
■iff*
131 r = 1 (circunferencia)
Desarrollo
Se conoce que x = r eos 9 , y = r sen 0
r - yfx2+ y2 , 0 = arctg —
X
como r = 1 y r =j x2 +y2 t luego. J x2 +y2=l ^ ^
(circunferencia)
<p
r ~ — (espiral de Arquímedes)
Desarrollo
Y
r - e 9 (espiral logarítmica)
Desarrollo

tp r
0o 1
K
re
6
e6
7 1
6
~ ~ 6
e K
7 1
n
~4
e 4
7 t 4
~ 4 C*
7 1
JC
~2
e2
7 1
6
~~2
e”
134 r = — (espiral hiperbólica)
4
Desarrollo
«P 0o
±—
6
i+
2
± 71
r ± 6 ±4 ±2 ± 1
135 r = 2 eos cp (circunferencia)
Desarrollo
Se sabe que: x 2 + y 2 =r2, x = r eos cp, coscp = -
Como r = 2cos<p => r = — , de donde r2 =2x => x l + y ¿ - 2 x
X+
Luego *2 - 2 x + y 2 =0 => (x2 - 2 x + l) + y 2 =1
(x - 1)' + y2 = 1 circunferencia de C(1,0) y radio 1
136 r = —-—
sen(p
Desarrollo
Se conoce que y = r sen cp => sencp =— Y
r
Como r = ------ => r =— => r = —
1
sencp y y
r
Como r * 0 y = 1 0 X
137 r =sec2^ (parábola)
Desarrollo
sec‘ ^ = —------ pero x = reos— de donde eos—= —
2 2 <¡P 2 I reos — z '
2
2 9 1 1 r2
como r = sec ^ => r = -------- = _ _ de donde r = — => a 2 = r
2 2<P X r2eos — _ ■*
2 r 2

para r^O, además r =yjx2+y2 => x2 + y ~ - r~
luego: -x4 - x 2 = y2 . Sea: x,2 =x4 => x , = x 2 además y2 = y,
Entonces: x,2 - x, = v¡
2 1 1
Completando cuadrados se tiene: xt - xx+ —- yx+—
( x , ) 2 = (y, + —) parábola de vértice V(— y se abre hacia arriba
138 r = 10 sen 3q> (rosa de tres pétalos)
Desarrollo
<p 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165°
r 0 7.05 10 7.05 0 -7 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05
<P .180° 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 330° 345° 360°
r 0 -7.05 -10 -2.60 0 7.05 10 7.05 0 -10 -2.60 0
139 r - a(1 + eos cp) (a > 0) (Cardioide)
Desarrollo
<P 0° 15°
U)
oo
45° 60° 75°
R 2a 1.97a 1.87a 1.71a 1.5a 1.26a
9
O
O
OS
105° 120° 135° 150° 165°
r a 0.74a 0.5a 0.29a 0.1a 0.03a
<P 180° 195° 210° 225° 240° 255° 270°
r
.....
0 0.3a 0.1a 0.29a
....
0.5a 0.74a a
.......
<P 285° 300° 315° 330° 345° 360°
r 1.26a 1.5a 1.71a 1.87a 1.97a 2a

r2 =a2cos 2(p (a > 0) (Lemniscata)
Desarrollo
<p 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
o
yn
O
120° 135°
o
O
165°
r a a$¡3
75
a
■ l i
0 a a a a a a a £
CONSTRUIR LAS GRÁFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIO
DADAS EN FORMA PARAMÉTRICA
141 x = í3, y - i2 (parábola Neil)
Desarrollo
t x y
0 0 0
1 1 i
-1 -1 i
2 8 4
-2 -8 4
142 x = 10cost, y = sen t (elipse)
Desarrollo
x2
x=10cost => cos2/ = ----
100
y = sent => sen2t = y 2
x2 x2
eos2t +sen2t =---- +y2 de donde------ l-;y2 =l (elipse)
Y
-1

143
144
x = lOcos3/, y-0 se n 3t (astroide)
Desarrollo
jx =lOcos /
|y = 10sen3t
3 xCOS t -----
10
3 ysen t = —
10
2 2
. x ^ .y .
eos21 = (—)3
10
sen2t - (—)3
10
sen í + eos í = (—)3 +(—)3 de donde
10 10
2 2 2 2 2
1= (_L)3+(_L)3 => x 3 + y 3 =103
10 10
x = a(cos t + t sen t), y = a(sen t - 1eos t) (desarrollo del circulo)
Desarrollo
x = a(cost +tsent)
y =a(sent-tcost)
—T- = cos2t +2t cos t sent +12sen21
a2
2
= sen2t - 21cos f sent + 12eos2í
a"
í x - a(eos t +tsent)
envolvente (desarrollo de la circunferencia <
[y = absent —tcost)
145 x =-
at
{+ ?
Desarrollo
y = -
at
r ¡ 7
at2
1+f3
1+r a
t x a at y
Luego: —= — => —= /
1+1 at x y x
t
Como: x =
at
1+ í3
«(Z )
X — '
ax3y
3 3 => x 3 + y 3 - a x y ■
1+ jc(jc +y )
146 x =
4 ^
Desarrollo

at
x =
Ví
y =
+ t Vi+ r
t 0 ± 1 ±2 ±3
X a a a a
V5 V5 Vio
y 0 a 3a
¿ V2 _ Vio
147x =2‘ +2~‘, y - 2 ' - 2 1 (rama de una hipérbola)
Desarrollo
t 0 1 -1 2 -2
X 2 5 5 17 17
2 ? 4 4
y 0 3 3 15 15
2 2 4 4
148 jc= 2eos2i ; y - 2 sen2t (segmento de recia)
Desarrollo
|x = 2cos t
[y = 2sen't
X ?
— = COS t
2
y 2
—= sen t
x y i 2
—+—= sen t +eos t
2 2
- + ¿ = 1
2 2
x + y = 2
149 x =t - t ¿, y —t
Desarrollo
t 0 i -i 2 -2 3 -3
X 0 0 -2 -2 -6 -6 -12
y 0 0 2 -4 12 -18 27
150
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES DADAS EN FO
IMPLÍCITA
151 x2 + y2 =25 (circunferencia)
Desarrollo
* = a(2cos?-cos22t), y = a(2 sen t - sen 2t)
Desarrollo

82
152 xy = 12 (hipérbola)
Desarrollo
X y
± 1 ± 12
± 2 ± 6
±3 ±4
±4 + 3
± 6 ± 2
0 o o
153 y 2 =2x (parábola)
Desarrollo
X y
0 0
i ± i
2
2 ±2
9 ±3
2
8 ±4
x2 v2
154 + — = 1 (elipse)
100 64
Desarrollo
y = 0, x = + 10
Y
8
OO
+1
II
>>
O
II
X
-io( 0
-8
(100 - X 2)
Desarrollo
Sea w = y 2, z - x 2
y 2 —lOO.v2—a'4 => w =00z- z2 => w= -(z 2- lOOz)
completando cuadrado se tiene: w - 2500 = ~(z + 25)2
2 2 2
156 jc3 + v 3 = a 3 (astroide)
Desarrollo
x = 0 , y = ± a
y = 0 , x = ± a
10 x
V(-25,250(

157 x + y = 10 log y
Desarrollo
Para y > 0, log y está definida:
x = 10 log y - y, aquí damos valores arbitrarios para y donde y > 0.
X -i
-101og2-l
10 log 2 - 2
y i 1
2
2
158 x —eos y
Desarrollo
x2 =eos y => y = árceosx 2
¡—----------- — arctg—
159 ¡x + y = e x (espiral logarítmico)
Desarrollo
x = rcosO
y = rsend
(~)2 = eos29
(^)2 = sen26
x 2 + y 2 = r2
tgO = —=> 9= arctg —
x x
—__ yf~~Z T arctg—
Comoyjx~+y =e x
r = e0 en coordenadas polares
160 x 3 + v3 - 3x>' = 0 (folio de Descartes)
Desarrollo
Pasando a coordenadas polares se tiene:
r 3eos39 +r3sen39 - Ir2sen9 cos0 = 0
r 3eos39 + r3sen39 =3r2sen9 eos 9
3sen9 eos9
r =----r---------7-
cos 9 + sen 9
161 Hallar la formula de transición de al escala de celsio (C) a la de Fahrenheii
si se conoce que 0°C corresponde a 32°F y 100°C a 212°F- Construir la gr
de la función obtenida.
Desarrollo
Para 0°C => 32°F
100°C => 212°F => (0,32), (100,212)
Sea F = me + k => 32 '= m(0) + k =í> k = 32
+
x = r eos 0 , y = r sen 0
212 = 100m + 32 => 100m = 212 - 32 => 100m = 180 => m = 1.8

f= 1.8c+ 32
En un triángulo, cuya base es b = 10 y su altura h = 6, esta inscrito un
rectángulo. Expresar la superficie de dicho rectángulo y como función de x.
Construir la gráfica de esta función y hallar su valor máximo.
Desarrollo
La figura dada en el problema ubicaremos de la forma siguiente:
Area del rectángulo Y es: Y = Bx —(1)
También en el área del rectángulo “y” se puede expresar:
b h 1
— -(xh-2B x +Bb) como b=10, h = 6 se tiene:
y = 3 0 -~ (6 x -2 fix + 10fl) m {
de (1) se tiene B =—, reemplazando (2) se tiene:
X
y = 3 0 -i(6 .í-2 y +—~ ) , de donde y = 0.6(10 - x)
2 x
como y = 0.6x(10-x) y = -0.6x2 +6x => y -13 = -0.6(jc-5):
La gráfica de la función es:
El valor máximo es cuando x = 5, max y = 13
164 Resolver la ecuación:2x2 - 5x + 2 = 0
Desarrollo
2x2 - 5 x +2 =0 =* x2 - - x + l = 0 =* x2 - - j t = - l
2 2
completando cuadrados se tiene:

165 Resolver el sistema de ecuación: xy = 10, x + y - 7
Desarrollo
Como x + y = 7 => y = 7 - x, además: xy = 10 => x(7-x) = 10
I x - x 1 -10 = 0 => x 2 -7 x + 10 = 0 => (x - 2)(x- 5) = 0,
de donde se tiene: x¡ = 2, x2 -5
1.3. LIMITES-
I o LIMITES DE UNA SUCESIÓN.-
E1 número “a” recibe el nombre de limite de la sucesión xx,x2,...,xn,..., es
decir: lim xn - a <=> V e > 0 , 3 N > 0 / | j r „ —a | < e V n > N
rt—>°°
2o LIMITE DE UNA FUNCIÓN.-
lim / ( jc) - A <=> Ve>0, 3 ó > 0 tal que: |f(x) - A| < e para 0 < |x - a| < 8
x - > a
3° LIMITES LATERALES.-
Si x < a y x —»a, escribiremos convencionalmente x —> a - 0, de la misma
manera si x > a y x —» a, escribiremos x =* a + 0 y a los números
/(a - 0) = lim f ( x ) y /(a + 0) = lim /(* ) se llaman limites laterales por
x —> o —0 x —> a + 0
la izquierda y por la derecha en el punto “a” respectivamente. Para que exista
lim / ( x ) es necesario y suficiente que se cumple la igualdad f(a- 0) = f(a+ 0)
JT-XJ
PROPIEDADES DE LIMITES
Si existen los lim/, (a) y lim f 2(a) . Entonces se tiene:
1 lim (/|(a) ± f 2(a)) = lim /, (a) ± lim f 2(x)
x - * a x —* a
2 lim / , (x ) . f 2 (x ) = lim / , (a), lim f 2 O )
* -* o x —>a x->a
f (x) l«n/,(jc)
3 lim — — = Tr^^T-— donde lim f - , ( x ) * 0
x^>a f 2( X) lim f 2( x ) x-> a ~
x —* a
NOTA: Los limites siguientes se usa continuamente.
senx 1 —
hm----- = 1 y lim(l + —y = lim (l+a)a =e
* - » 0 X x X a -iO
166 Demostrar que, si n —> el limite de la sucesión 1—— —
4 9 ’ n2
cero. ¿Para qué valores de n se cumple la desigualdad ——< e
n2
número positivo arbitrario)?. Efectuar el cálculo numérico para:
a) e = 0.1 b) e = 0.01 c) e =
Desarrollo
Probaremos que lim ^ - = 2, es decir:
n_> “ n
dado un e>0, 3N = ?/ |-^ --0 |< e V n > N
n
2 1 ITn >—, n > J —= ,
e Ve
-L-0=±L¿t < e =* n2 > —, „>./■! = N
n n n
,... es i¡
(siende
= 0.001

90
lim-^- = 0 o V e > 0, 3 N - J —
n " c
1 °l<£ V n > lj
n2
por lo tanto la desigualdad — < e se cumple V n > J
f]- Ve
a) Para e = 0.1 se tiene n >^ =y/ÏÔ => n > 4
b) Para £ = 0.01 se tiene n > = 10
c) Para e = 0.001 se tiene n > = Vi000 n>32
167 Demostrar que el limite de la sucesión: •*„= — — , (n=l,2,...), cuando
n+1
n es igual a 1. ¿Para qué valores de m > N se cumple la desigualdad
| x n - 1 1<e (siendo e un número positivo)?.
Hallar N para a) £ = 0.1 b) e = 0.01 c) £ = 0.001
Desarrollo
lim x n = lim = 1 es por demostrar.
n—>oo n-»°°H+1
Dado e>0, 3 N = ? / x„ - l | < e , V n > N
x _i 1=1-5_1|=|— -—1=—-—<£ => n +1 > - => n > - - l = N
1 " 1 n + 1 ' ' n+1 H+l ^ e
Luego: Iim -^ - = l «=> Ve>0. a AT= i
on+ l £
i n 1
| ------1 | < e , V n >— 1
n + 1 £
a) Para e = 0.1, N =—-1 = 9
e
b) Para £ = 0.01, N = - - 1 = 99
£
c) Para e = 0.001, N = - - 1 = 999
£
168 Demostrar que lim x 2 = 4. ¿Cómo elegir para el número positivo dado i
número positivo 8 de modo que de la desigualdad |x - 2| < 5 se deduzc
desigualdad ¡x i - 4 1<e . Calcular 5, para:
a> e = 0.1 b) e = 0.01 C) £= 0.001
Desarrollo
limx 2 =4 o Ve>0, 3 8 > 0 / x2 - 4 | < e
x - > 2 '
Siempre que 0 < |x - 2| < 8
x2 - 4 < (x + 2 ) (x - 2 )H x + 2 x - 2 < e
Sea |x 2| < 1 => -1 < x-2 < 3 => 1< x < 3 => 3 < x+2 < 5 => |x + 2| <
Luego:|*2 - 4 |= |* + 2||jc-2|<5|jc-2|<£ => x - 2 < - =S

169
170
Luego es suficiente tomar 8 =— (e < 1)
£ 1
a) Para e = 0.1 se tiene 8 = —= - = 0.2
5 5
e 0 001
c) Para e = 0.001 se tiene 8 =—=— — = 0.002
Dilucidar el sentido exacto de las notaciones convencionales:
c) lim f(x) = °°a) lim Inx
jc->0*
b) lim 2' = +°°
X—
Desarrollo
lim logx = -oo
x-*0
Hallar los limites de las sucesiones:
* 1/ i«“i 1
*>2*3*~4 1 "
b)
d)
2 4 6 2/1
1 3 5 2n + l
0.2, 023, 0.233, 0.2333,
Desarrollo
( - 1 ) " 1
a) Sea xn =— — , entonceá: Si n es par lim x„ = lim - - = 0
n n—>oo /?—>oo f i
Si n es impar lim xn = lim - = 0
o Yl—>oo fi
Luego lim xn = limí-l)""1.! = 0
n —>o° /í —>oo ^2
b) Sea xn = ~ -, entonces: lim ——= lim —2 -= 2
¿n +1 2n +1 /!->» 1 2+ 0
n
2
c) a, = V2 = 22
I ----------- - - 1 + ¿
a2= yj2¡2 = 22.24 = 22+4
/—7----- i i i 1+1 1
a3 =y¡2yj2yÍ2 = 2 2.24.28 = 2 2+4+8
I i 1 1
- + - T + — + ...+ ----
a. = 22 22 2’ 2”
Luego fl„ = 2 2<1+2+2!+"+2' ,)
entonces 1+ i + ~ +... + _ L es una progresión geométrica r = I , y
es igual a : -----4— = 2(1-— ) „
^ 1 2* ‘ ■
~ 2
Reemplazando (2) en (1) tenemos: an = 22'2ÍI~5r>= 2' ^

Como para hallar la suma de una sucesión es suficiente calcular el
limite del término n-esimo cuando n —><*>es decir:
(l-rr)
lim an = lim 2 2" = 2 =2
rt— n —
d) 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, 0.2333...3, ... el término n-esimo es
xn =0.23333.-3
x„ =0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ...0.000...3
„ „ , 3 3 3 3
X _ 0.2+ (----- 1-------- i----------b..H--------r)
100 1000 10000 100"“'
X = 0.2H------- (1H------- 1----~r-+ ...H-------- r)
100 10 lo2 10"“'
1 ! - ( — )" ? 10(1— V ) . .
xn =0.2 +— (-------14 — ) = 0.2+------.------ =0.2 + — (1----------------- - )
100 , 1 100 9 30 10"
1-
10
lim x„ = lim [0.2 + — (1— —)] = 0.2 + — = — = —
30 10n 30 30 30
HALLAR LOS LIMITES:
i-.« 1 / 1 2 3 /i-1
171 lim (— H— H — —+ ...H-- — )
n~ n n n
Desarrollo
Se conoce: l + 2+ 3+ ...+ n - l = —(n-1)
2
lim (-L + 4 -+ 4 + --+ V ) = l i i n - ^ - 3+ ---+ (/I~ 1)ir n¿ n2 n2
»-*- n 2n 22
172 lim ^ + 1X« + 2)(« + 3)
n3
Desarrollo
S — <" +32X,, + 3>- lt a ( Í t lX^ X ^ )
n «->« n n n
- lim (1+I)(l + -)(i + - ) = (i+0)(1 + 0)(1+ 0) =
n n n
173 lim(-1_+3 + 5+ 7 + - + (2w~l) _ 2/1+ 1
n+ 1 2
Desarrollo
Se conoce que 1+ 3 + 5 +... + (2n -1) = n2
,;m,l+3 + 5+ 7+ ...+ (2/»-l) 2n + l ¿ 2n +l
« + 1 2 »-*- « + 1 2
i ■ 2 w ~ — 3 n — 1 3ti + 1 ^^^ _ l.n
= lim --------------------- lim —. . - _ ijm ___
2(n + l) n->~2n + 2 + 2 2 + 0 " "
n
174 lim -+(~1)n
n-»~n_(_!)"
Desarrollo

175
176
,• M+1 *+ n _ 1+0 _ t
Si n es par se tiene: lim------ - lim - - - 1
« - 4 « Yl— 1 n —> °° j i 1 U
n
Si
,• 71-1 i „ 1 n _ 1 -0 _ ,
n es impar se tiene: lim------ - nm ---- —— - 1
n—>oon+ n->°°Y+ _ 1+ V
Luego: hm --------- - = 1
2 +3"
lim-------------
2" +3"
Desarrollo
0 « + l , O'1+1 1 1 " 1 "
Um ------------= lim — ------ — , dividiendo entre 3
2"+3" 2"+3"
2( 3 )" + 3 2(0) + 3
= lim -------- = n ....— = 3
n—>°° ,2.„ j 0+1
3
, . , 1 1 1 1 .
lim(— *-— +— K...H— -)
n—>«> 2 4 8 2
Desarrollo
Usando la suma de una progresión geométrica: S = - —
primer ténnino y r la razón.
a -a r , , ,
donde a es el
r r ■■•+7 ) 1- 0 ' 1
I T T i r , 1 1 1 ( - I ) " - '
1 7 7 l i m [ l — h ------------------------------1- , + .Í — L— i
» - + ~ 3 9 2 7 3 ' |->
Desarrollo
De acuerdo al ejercicio anterior«e tiene:
l - i + I —L + 3 - 3 ( - l r
3 9 27 3"-‘ , 1 4
3
1 1 1 ( -l) " '1
lim [l-- +—- — + ...+1— L— ] = iim------------3— _
n —
178 lim 1 ! ± 2 2 + 3 2 +.., + k2
Desarrollo
1 + 2 + 3 2 + ... + /I2 = —(n + l)(2« + l)
6
lim l!_+22+32+...+n2 = ]jm »(i. +1)(2/2+1)
n~>~ n3 6„3
1 n+ 1 2/1+ 1. 1 1 l
: hm (----- )(--------) = - hm (1+-)(2 + - )
n —>oo o Wft6 /i—>°° Alii
3 -3 (0 ) 3
4 ~ 4
= 7 ( l + 0)(2 + 0) =
O
179 lim(Vñ+T-V«)
n —>oo
Desarrollo

180
181
I— 77 /- (yjn+ - y[ñ)(!n + 1+ sfñ)
hm(v« + l —vn) = iim----------- f= = — r"--------
«->“ v« + l + v «
n + l-rt 1 1
lim ---- j= = llítl —j = ---- 7== --= 0
"-»°°Vn+ l+V« n->°°yjn+l+yjn 00
¡imn jen m
„-> «> „ 2 + J
Desarrollo
V ne Z +, -1 < sen (n!) < 1, como — > 0
+1
n n sen (n !) «
Entonces: — -----< — -------<
n2+l n 2 + 1 «2 +l
:. n n s e n (n l) n
hm— ------< hm — --------< lim — —
n + 1 «-»“ n + 1 « - » ~ « “+ l
0 < lim = ^ < 0 de donde = o
«-*“ «“ +1 n“ +l
Para hallar limite de la razón de dos polinomios enteros respecto a x, cuando
x -> 00, se divide los dos términos de la razón por x" , donde n es la mayor
potencia de estos polinomios.
También en muchos casos se emplea este procedimiento cuando se trata de
fracciones que contienen expresiones irracionales.
U + l)2
hm
« - » “ x2 +1
Desarrollo
|in. 0 + 0 *2+2x+l
«->- *2+l i ™ d i v i d i m o s entre
1+- + - L
= l i m — £ _ _ j L _ _ A + ° + Q
n~*°° ] + _ L 1+ 0
x 2
182 lim l 00 0*
n-»~ x2—1
Desarrollo
lOOOx v
,.2 , ~ 1000 lim —— , dividiendo entre-V — i n —>00 __ 1
= 1000 lim — í — = 1000(— ) = 0
1-0
x2
183 üm — -~5x + 1
3*+ 7
Desarrollo
Dividiendo entre x 2 tenemos:
, 5 J_
iim i - . - 5^ +1 = lim _ ^ ¿ _ _ 1-0+0 1
3x+7 3 + 7_ o+ O ~0
x x 2
Desarrollo
Dividiendo entre jc 3 se tiene:

2_ t -3_
2x 2 - x + 3 x x2 + x3 0 - 0 + 0 0
hm —:---------- = lim------ £-----= ---------------= —
n->°° x —8jc+ 5 n~^°° j _ _ . _ 1-0 +0 1
2 3
x x
185 ,im^ + 3)3(3* - 2)2
n -> ~ X 5 + 5
Desarrollo
(2x + 3)3(3x-2)2 72x5-204x4-562x3-261x2-t74x + 9
hm -------- —— — —= hm -----------------‘----- -------------------------
«-»“■ x +5 x +5
_ ._ 2 0 4 _ 5 « _ 2 6 1 _ 1 7 4 _9
üm x x2 x3 x4 V ._7 2 - 0 - 0 - 0 - 0 + 0 _ ?2
n—>°o 5 1■+*0
jr
2x2-3 x -4
186 hm ---- . —
Vx4+i
Desarrollo
Dividiendo entre x2 el numerador y denominador se tiene:
lim 2 - 0 - 0 =2
7777 '/>+ó
10_ 2x + 3
187 hm
x+ yx
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
i ™ ^ Í = i ™ - Í j L , 2 í 2 - 2
,M“ X+ VX n-*~ n l + o
1+ 3/——
10+ x>/x
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denoi linador entre x2 se tiene:
lim — -——.- ijm 1=1-0,,
n-»~10+ xVx fT 0 °°
x2 4
•89 lim y¡x2+l
x + 1
Desarrollo
Dividiendo el numerador y denominador entre x se tiene:
sfx2+ 1 y
lim--------------- iim 1
!1 1
x x3 _ VÔ7Ô _ 0 _
190 üm 'f*
yfx+jx+'Jx
Desarrollo
Dividiendo entre & al denominador y numerador se tiene:
lim -, ^ =üm -----------1________1
n —>oo
■— J T VÍ+Vo^/o
1
ViTo

Cuando P(x) y Q(x) son polinomios enteros y además P(a) 0 o Q(x) * 0, él
P(x) P(x)
limite cuando x —» a de —-— es decir lim- se encuentra
Q(x) Q(x)
P(x)
directamente. Cuando P(a) = Q(a) = 0, se simplifica la fracción — — por el
Q(x)
191
192
binomio (x- a), una o varias veces.
a3+1
lim ——
*-*-< x~ +1
Desarrollo
lim 4 ± i = ¿ 4 ± i = z l í l = £ = o
*->-ia2+ 1 (-l)2+ l l + l 2
lim
x - 5 a + 10
*-»5 x¿-25
Desarrollo
. a 2 - 5 a + 10 5 2 - 5 ( 5 ) +10 0 + 10 10
lim ■ ~ _ _ .
*-►5 x -25 ( 5 ) - 2 5
193 lim
a2-1
• « - » - i a2+ 3 a + 2
Desarrollo
x2- (jc-IKjc + I) .. x - l
lim —---------- = lim ------ —---- —= lim
- 1 -1
jt-»-i x2+ 3* + 2 Jt->-i(x+l)(Jc + 2) x->-tx—2 —1+ 2
= -2
194
x2- 2x
lim—----------
*->2x - 4 a + 4
Desarrollo
Iiirl"T~———= lim — lim 2 _1
*-2x -4 x +4 *->-2(x-2)(x-2)
x3-3x+2195 l i m - ----- --
*-»•a4- 4a+ 3
Desarrollo
lin,4 z j £ i l = i¡m_ ;( £ l 2K>-I ^ ____ „ 2 ____3 ,
*"* X -4at+3 +2t+3XJT-l)J « I i,2+ 2*+3 ~ 6 " 2
1 9 6 i¡m * 2 - (a + l)x + a
*-*» A3- o 3
Desarrollo
A - a x-*a x - a x->a x3- a3
= lim— = 1¡m = £ -
1 9 7 l i m ^ ^ Z i !
0
*-*a(x a)(x +ax +a- ) x->ax2 +ax +a 3(J2
Desarrollo
lim = lim + 1*2* + 3a-h2+h3- x 3
h~*° h h—tO
1 9 8 lim(—--------1 _ )
« i I - a l - x*J
. ]- 3 x 2h +3xh2+h3
Í ™ o Y ------------------~= l'™0( + 3xh+ h2) = 3 a 2
'Desarrollo

1 3 x -x + 1 -3 .. x -+ x -2
lim(—-----------r) = lim--------- 5---- = 1™ T— r ~
JC—»X — X 1 —x J ”*1 l - X x~*1 1 —JC
= lim U + 2X fz jL _ = -lim- X+-— 2- =- =~l ..2 -- -.i 1 i v is
■*->1(l —x)(l + x + x2) *->il + x + x 3
199 l i m ^ i
Jt-»1 X — 1
Desarrollo
Sea x = y2 => Vx = y , además cuando x —> 1, y —>1, luego tenemos:
Vx—1 v—1 y—1 ,• 1 1
lim— — = lim-%— = lim-— =—------ = lmi—- - = -
*-»1 x -1 >-»1 V -1 y-^1 (y —l)(y+1) y^'y + 1 2
Vx -8
200 lim
x—»64yfx —4
Desarrollo
Sea x = y6 => Vx = y2 a Vx = y"
Cuando x -> 64, y -» 2, luego tenemos:
V i-8 y3-8 (y-2X y2+ 2y + 4)
lim - 7=---- = lim —------= - lun — - — ——
x->64^/x—4 >-»2 y -—4 y~*2 (y-2X y + 2)
y2+2y + 4 4+ 4 + 4
= lim--------------= --------------------- -------- J
?->2 y + 2 4
. Vx -1
201 lim-
*->13/x-l
Desarrollo
S e a x = y 12 => Vx = y4 a Vx —y'
Cuando x —> 1, y —> 1, luego tenemos:
ilmf B = i ¡ mi ^ = iimJ ¿ z « í z Í ± ! L
w l vx.-l >-»iy3- i .v-^i(y-l)(y2+ y + 1)
= lim (y + l ) ( / + l ) = (2X2) = 4
y-*i y2+ y + 1 3 3
202 Yn-n— 2^*±Xm i l —---------
X-*1 ( x - 1)2
Desarrollo
*~*1 (X-1)2 AT-.1 (X-1)2
Seax = y3 => Vx = y cuando x -> 1, y -> ], luego tenemos:
[ ¡ m j g - 2 f t + l = |im 1¡m
■I_>1 ( * - 1) *->!' (x-1)2 v~^í (y3 —1)2
lim------- ^ — --------- üm_ 1____ i.'
^ ( y - l ) (y2+ y + l)2 >->i(y2+ y + i)2 9
203 i i m l - ¿ I Í
* -> 7 x2-49
Desarrollo
lim = limj W f . -3X2 + V ^ 3 )
-^ 7 x -49 (x + 7)(x~7)(2+ Vx-3)

1 0 6 Eduardo Espinoza Ramos
204 lim-77=- - -
Desarrollo
Sea x = y* =» 7* = y cuando x-> 8, y -» 2, luego tenemos:
üm * J - a )im ^ 2 )(r +2^ .1). = lim(y 2 + 2y + 4) = 4 + 4 + 4 = 12
y - 2 >'-*2
205 U m ^ _1
*-*>7* -1
Desarrollo
Sea jc= yft = > '/! = >>3 a VI = ,v3
Cuando x —> 1, y —» 1» luego tenemos:
U m m lim¿ Z i = Hmlv- 1)(r . í ^ = lim¿ ± * ± I = 1
l y - * i y — i y - » 1 ( y - i X y + i ) y - *1 y + i 2
■.nit i- 3 -7 5 + 1206 hm
'-*4 1-V5-.V
Desarrollo
3 -7 5 + 1 (3- 75+I)(3+75 + x)(l + 7 ^ 1 )
hm----- = = r = hm------ -------------s = = --------= = ^
jf-»4 1 -7 5 -« 1S-*4 (1-75+xX1+75+xX3+75 + x)
1S_ (9 -5 - xXl+ TS-T) _ 1S_ (4-jcX1+75-Tx) _ 1:_ 1 + 75^7
—lim >—■*—lim > — — lim ,-----
>-^(1-5 + x ) ( 3 + 7 5 + a) v-»4(*-4X 3+75 + *) *->43+V5 + x
207 l i m - ^ I ^
x-*0 X
Desarrollo
71+x-TT-x (7 i+ i‘-7T-xx7i+j;+>/i-x)lim------------------= hm--------------r - ———— ----- -
x~*° x *->0 x(7 i+ .t+ 7 i-.t)
l + x —l + x 2 2
= hm - = = —-7= = = lim -7===— p r - = -----= 1
* - » 0 V l + * + v l ~ X -r-»0 V i + A' + v i - X 1 + 1
208 lim-7^ - ^
A-*0 h
Desarrollo
yjx+h - j x ( ¡ X +h - [x)(-Jx +h+ 7x)
hm---------------= hm ----------- ——---~
h~>0 h *-»o h(lx+ h+ yfx)
(x +h ) -x 1
= hm =====— ==- = hm -
*->0/?(7i + /i +7x) h~+0yfx+ h + y[x yfx + 0 +yfx
m
A-íO /)
Desarrollo
lim 7-C + /Í - 7 a _ |jm (y jx + h - y f x ) { ^ ] ( x + k f + ^ [ x (x + k ) + ' f x 2 )
h~M h h-*° ll(yj(x + /z)2 + ^ J x ( x + h ) + 7 ? )
.. x +h - x 1
= hm---- F= = = ---- ----- -------- = - = hm
h~>0h(l](x +h)2 +l]x(x +h) +[x2 ) ',“>0^/(jc+ /i)2 + 7 *(* + h) + %/
1 1 1
yj(x +0)2 +lfx(x+ 0) +yfx2 7 ? + 7 ? + 7 ? 3 7 ?

210
211
Vx - 2x + 6 - Vx + 2x - 6
lirn------------r------------------ —
Jr-»3 x - 4x + 3
Desarrollo
Vx2—2x +6 - y¡x 2 +'.2x —6
(Vx2 - 2x + 6 - Vx2 + 2x-6)(V x2 -2 x + 6 + Vx~ + 2x 6)
Vx2 -2 x + 6 + Vx2 + 2 x - 6
(x2-2 x + 6 )-(x 2 + 2 x -6 ) _________-4x + 12
Vx2 —2x + 6 + Vx2 + 2x —6 •fx2'-2x +6+'jx- + 2 x -6
Vx2 -2 x + 6 - Vx2+ 2x-6
-4(x -- 3)
Vx2 -2 x + 5 + Vx2+ 2x - 6
. a/x" -2 x + 6-Vx" + 2 x -6
lmi------------^--------------------
* -> 3 x -4 x + 3
-4(x - 3)
= lira
(x - 3)(x - l)(Vx2 -2 x + 6 + Vx2+ 2x—6)
-4
= lirn
*_>3(x - l)(Vx2 -2 x + 6 + Vx2 + 2x - 6)
_4 -4 _4 _ 1
(3 - 1)(V9 - 6 + 6+V9 + 6 -6 ) 2(3 + 3) 12 3
lim (Vx + a -V x)
Desarrollo
,— , - . (V xT ti-V x)(V xTti+ Vx)
lim (vx + fl —vx) = lim i — i—
A‘—> + -°° x —> + ° ° X + Cl + S I X
= lim = ____ = £ = 0
*-»+~Vx+ fl +Vx Vx + o+Vx «>
212 lim (J x(x + a )-slx )
_r->+-oo
Desarrollo
lim ( V ^ ) - x ) = lim
M+" *-»+“ Vx(x + a) + x
- l i m J f ( x + a ) - x ‘ a x a „
- nm - = = = ----_ hm —= = = ------ = hm —==^_— = —
M1” W x + « )+ x *->+~Jx(x +a)+ x -»>+- a 2
J 1+ T +l
j:—>+oo
213 Hm (Vx2- 5x+~6 - x)
r-A-4-c»jr->+oo
Desarrollo
lim (Vx2 - 5x + 6 - x) = lim — 5* + ^ ~ 5x + 6 + x)
' ™ Vx2 - 5x + 6 + x
= lim = lim
™ V x2- 5 x + 6 + x ™ V x2 - 5 x + 6 + j
lim x _ -5 + 0 5
M+~ [ i- 1 + - 1 +I ~ V l-0 + 0 + 1 ” 2
x x2
214 lim x(Vx2+1 - x)
X—>4-00
Desarrollo
lim x ( J J 7 - x ) = lim x ( V 7 7 I - x ) ( V ^ T + x)
v ^ n + x

215
216
x(x2+ 1-X2) *
= ]im ----1=----- = lim --------
= lim
yjx2+1 + X H + " J x 2+ Ì + X
1 1 1
*-»■*» I 1 VT+Ô+ 1 2
1+ — + 1
lim (x +J l - x 7,)
X—> + °o
Desarrollo
7 (x +J l - X 3)(x2- X¡l-X3 +yj(l --Ï3)")
lim (x+>]l-x )= lim v------------
= lim
JC2 - X ] l - X 3 + J i l - X ^ Y
x '+ l - x 3
x2- x l j í ^ +!](l-xi )2
= lim ---------. --, = 0
x-+*~x2- x l l l - x i +l¡(-x3)2 °°
se«*
En muchos casos en él calculo de limites se emplea la formula hm -—---- 1, y
además se supone que: lim senx = seria y lim eos x = eos a
senx
a) lim-----
Desarrollo
senx sen2
lim----- = ------
je—>2 x 2
sen*
b) lim-----
Desarrollo
Se conoce que -1 < sen x < 1 además: - —< —~ <1
X X X
de donde: lim --< lim — ~ < lim - => 0 < lim <0
X *-><*> X X-^oo X Jt-4oo X
sen* ^
lim----- = 0
217 l i m ^ í
jc->0 X
Desarrollo
.. sen3x 3sen3x
lim-------= lim--------- = 3(1) = 3
x-*0 X x —>() 3x
218 l i m ^ í
■*-»osen2x
Desarrollo
5sen5x
l i m , « 0 , 5
jc->osenlx xr*o 2sen2x 2(1) 2
2x
219 l i m ^ í l
x->osen(3jcx)
Desarrollo
sennx
lim - S Ü íiú lim — - S _ - .* < « ,',.1
jc->osenQtcx) *->o sen(3nx) 3^ (1)3
J7T{ )
3;r*

220 lim (nsen—)
>oo n
Desarrollo
7r senx
lim (nsen —) = lim------= 1
n —>oo /i -V—>0 X
.• l-cosx
221 lim------r—
;r->o xl
Desarrollo
1 —eos x .. (1- eos x)(l + eos x) 1-cos x
lim---- -— = lim------------------------------------- t---- ----------= Iim -j----------
x2 x2(l + cosx) *->0x¿(l + cosx)
sen2x .. sen2x 1 ,, 1 . _ 1
= lim —-------------= lim — — ------ = 1(——) - -
X - »0 je (l + e o s x ) -r->0 X 1+ COSJC 1+ 1
senx —sena
222 lim---------------
x —a
Desarrollo
x + a. ,x - a
senx-sena = 2cos(-------).sen(—-—)
2 2
x +a x —a ,x +a x —a.
2cos(------)sen(— —) cos(—— )sen{— —)
senx-sena 2 2 _ i:™ _2 _______ 2
lim--------------= lim---------- ==------------------- lim----------- ——
*->a x —a *->a x - a *-»« ■* “
x - a
se«(------)
JC+ ü . 9 ^ + /1
lim cosí------ ). lim --------------- = eos———(1) —cosa
x^ a 2 í=£_,o x - a 2
223 ljm — - Y~ cosa
x~*a x - a
Desarrollo
eos x - eosa - -2 sen (^~ -).sen (^-~ )
.x + a yX-a,
eos x - eosa 2sen( ).sen(—~ )
hm ---------------—lim----------- í---------- 2
*-*a x - a x ->a x - a
,x + a x - a .
-sen(------).sen(------ )
= lim----------2------------ 2—
x->a x —a
, x - a ,
r+ a s e n ( - )
= - lim se/i(------ ). hm------ -=—
■*-*« 2 Jr-»a x —a
,a +a K
- -sen(—- —).(!) = -sena
224 lim
x-*-2 x+2
Desarrollo
,• tgnx _ tg(nx)
¿ 2x + 2 ~ xlS o T + 2 - ‘ y = X + 2 ’ C U a n d 0 x ‘ 2 ’ Y - » 0
l i m ^ ) = Hm ! i ^ l - Vim^ ( y +2)
* - > - 2 X + 2 x + 2 - > 0 X + 2 y - > 0 y
tgny +tg2n tgny+tg2n
lim 1+ts n y - t g = üm tgn(y +2) ]jm +tgny-tg2n tgny_
y y*» y .V+0yy™y

. ,¡mJ O S ! L = i¡m££fí£2.(_ i_ ) =«ixH =k
y ^ > o y c o s n y y - > o n yeosn y
s e n ( x + h ) - sen x
hm--------------------
a->o h
Desarrollo
/2a + /j. x + h - x
s e n ( x + h ) - se n x = 2cos(------- ).sen(— ----- )
2 2
.2a + /í. x + h - x
. 2cos(—-— ).sen(---- ----)
s e n ( x + h ) - se n x ? 2
lim--------------------- = lim------------------------------------
h->o h /»—»o n
.. , ,2« ' , , , . " *f>
= hm cos(--------).— -r=— = hm cos(- - ). hm---------
/i—»o 2 h />-»o 2 h->o
2x + 0
= cos(------- )(1) = eos A
2
s e n x -cos a
hm --------------
,_>£ l-tgx
4
Desarrollo
s e n x - c o s a s e n x - c o s a
hm -------------- = hm ---------------
* 1-fev* , senA
4 4
eos X
eos a(s e n x —eos a) -eos x ( s e n x - eos a)
= hm ---------------------- hm -------------------------
£ c o s a —se n x se n x - eos a
4 4
N>|S-
227 a) lim ASen-
^O x
Desarrollo
lim x s e n — = lim -senz = lim
lim -—= lim - = 0 , por lo tanto lim —— = 0
z-»~ Z Z i-»«, z
lim a sen — = lim ------ = 0
*—»0 X Z~>°° 7
b) lim A s e n —
A
Desarrollo
Sea y = —, cuando x y o
lim Asen(—) = lim — —= 1
A y-»0 y
228 lim(l - x )tg —
.t->i 2
Desarrollo
lim(l - x )tg ~ = - lim(A- )tg — = - lim (> -l)fe —
2 *->i 2 *-i->o 6 2
Sea y = x - 1, cuando x —» 1, y —>0

= lim(l - x)tg - lim (x-l)íg
nx
.(-»i .i- l
=- lim jíg |( y + l) = -}™
ny Jt
ysen(-—+ - )
r-o cos(ÍZ + 5 )
y(sen
7T V 7t J t 7 1 .
— eos —+ eos —sen—)
lim
y->0
2 _= lim
ycos(-y)
7rv 7T Tty 7t
eos— .eos—- sen .sen
2 2 2 ¿
■v->0 0 - sen 7—
y-»o /^ y y sen(— )
eos
Tty
^ (1)
2 m
~2
eos(O) _
Jt Jt71
K
229 lim ctg2x.ctg(--•*)
x —>0 2
Desarrollo
ctg(----x) =—tgx => ctg(2x)
2
ctg2x -
letgx
= limctg2x.c tg (^-x)-lim ^ •( *g*)
= 4 l i m W ^ - 1) ^ = 4 W 1" íg2x )= 4 (1" ° ) = _ ^2x-*o
230 lim
Jt
1- sen(—)
x-*Jt 7t-X
Desarrollo
l-sen(—) l-sen(—)
lim---------— = lim ---------—
x-=>n 7t - x X - K -+ 0 7t - x
Sea y = x - it =* x = y + 7t, además cuando x -> tc, y —»0
l-sen(—) 1- sen(-^ 1—sen(— — )
lim---------- - = iim --------_2_ _ ¡jm ------------ 2—
X - > n T t — X x - t t - > 0 7 Z - X y - > 0 TC — y
, y Jt y Jt y
l —sen—.eos----eos .sen— 1-cos —
= - lim------ — -------------- ----- —= - lim--------- —
y - * 0 y y - » 0 y
(1-COS—)(1+ COS—) 1-COS2
9 9
= - lim--------- ----------- — = - lim -
1 - 2 c o s j ¡:
231 lim -----------
3
y - *0 / i y y —>0
y(l + cos—) y(l + eos
y ysen— sen— . n ,
:(-----—)(-2_). = --(IX — ) = - ^ ( 0) = 0
y 1+ cosZ 2 1+ 1 2
2
Desarrollo
l - 2cos* 1 - 2 c o s j í
lim----------- = lim ------------
Jt-3x X_E^0 Jt -3x
3 3
Sea y - x => x= y + —. Cuando x —»— => y -4 0
3 3 3
k>|v:N>l'-c

232
, o , o l - 2cos(y + —)
l - 2eosx l - 2eosx
lim---- ------ = lim ------------= lun -
7T-3* ^ k -3 x V-.0 n _X y +^
= iim -
y->0
1- 2cosíy + —) j l - 2(cos v.cos --seny.sen—)
— = — lim
3y
1- 2(cos
3 >->o
= — lim -
3 y->o
- - J I seny)
1 1-cosy J3seny N
= — hm(-------- —+ ---------)
3 y—>0 y y
1 i- , 1— lim(
-eos2y
3 y->o y(l + eos y)
seny
3 y-»o y 1+ eos y y
4(1(0) + V3) = ~
3 S
lim
*->0
eosmx - eosnx
Desarrollo
m +n. m -n
eos mx - cosnx = —2sen(-------ix.seni------- )x
2 2
m +n. ,m~n^
seni.— -—)x seni—----- )x
eosmx-cosnx ... 2 2
lim--------- -------------2 lim------- ------ .---------------
*->o A'—>0
= -2 lim
x—>0 2
,m +ns .m -n .
sen(------ ) , sen(-------)x
m +n 2 >n+n 2
m +n m -n
233 lirn !?x ~ senx
x-+0
Desarrolla
senx
— senx,. tex —senx senx
I™. p -----= 1™o'£2M7------ = l i m ^ i z £ 2£i)
X X^ (> XJ .V—>0 x3
= ,¡m í£ íí< h í£ íii)
a eos x) x (1+ eos x)
- lírv , J C T U " ' « ! ' Xsenx.sen2x senx ,
~ '3' w n 3 , _ l _ l
234 lim
x->0
aresenx
Desarrollo
aresenx ? , ,
Í 5 —
senz z-X>senz
235 lim
arctgi2x)
*-*o seni3x)
Desarrollo
lim
arctgi2x)
arctgiZx) arctglx
* -> 0 sen{3x)
= lim
>0 seni3x)
Um Sm3x
*->0 x

236
sen3x
Calculando lim-------= 3
r—>o x
lim arctg2x. = 2 , donde z = arctg 2x => x - —tgz
x->o x 2
arete2x .. z z 0
h m ---- -— = l i m ----= 2 lim — - = 2
x-»0 x z->o tgz z->otgz
2
5C«3X „ arctg2x_ m
Luego, hm-------= 3; hm-------------2 ••• w
jr->0 X Jt->0 x
arclg(2x)
Reemplazando (2) en (1) se tiene: hm — hm
arctg(2x)
x
i“ o sen(3x) ““ó ^e«(3x)
1- x 2
hm----------
jc—*i sen(jtx)
Desarrollo
1-X2 (l-x )(l + x)
hm----------= hm -------- — —
x—>1sen(Kx) x-i->o sen{nx)
Sea z = x - 1 => x = z + 1 ; Cuando x -» 1 => z -> 0, luego:
l - x 2 (l-x )(l + x) (1 -z -lX l + z + l)
hm---------- hm ------- — -— = lim----------- ——
x-*sen(nx) sen(nx) z~>o senn(z +i)
z(2 + z)
= - lim ------------------------------- -
z^iósennz eosn + senn.cosn z
.. z(2 + z) 2+ z 2+ 0 _ 2
= - hm------— = lim------ ~—r - —— - —
z->o—sennz ;-»o nsen(nz) 7r(l) n
nz
237 lim --- sen(2x^
*->ox +sen(3x)
Desarrollo
i sen(2x) 0 sen(2x)
lto iZ £ « (2£> = 1¡m_Z---- £— _ lim-Z___ 2x _ = l
x->ox + sen(3x) n o sí«(3j) x->o, , sen(3x) 1+ 3 4
1H---------- 1+ 3------------------
x 3x
.nx.
cos(— )
238 lim------y=r-
-t->1 1-v x
Desarrollo
c0^ -; -) (1+ Vx)cos(—-) (l + Vx)cos(—-)
lim------ pr-= lim ------ = -------p - = lim ----------------
1—Jx *-l->0 (1—yjx)(l+y[x) Jr—1—»0 1—X
Sea z —x - 1 => x —z + 1 ; Cuando x —» 1, entonces z —>0
cos(— ) (l + Vx)cos(— ) (1+Vz+T)cos —(z + 1)
lim------ = - = lim ------— — = lim--------------------------- --------

1 2 2
1-Vcosa
239 lim -
jc->0 x2
Desarrollo
1- VeosA' (1- VCOSA)(1+ Veos X) 1 COSA
lim------------= lim--------------- f = --------- íim -
x™ x2 a2(1+ Veos a) a2(1+ VCOSA)
(Ì- eos a)0 + eos a) 1-cos" a
lim —------ 7===--------------- iim‘
x2(1+ Vcosa)(1 + eos a) x2(1+ Veos AXI + eos A)
sen2x ,. ,senx _2 1
; üm --------- -------------------- = lim(------) .------ j= = -----------
x~(1+ Veos a )(1+ eos a) a'~>0 x (1+ vcos a )(1+ cos a)
1 1 1
_(1)((1+ VTX1+ 1)” (2 X 2)'4
Vi +senx - Vi - senx
240 lim — -----------------------
*->o x
Desarrollo
J ]+ se n x-J l-seiñ (sil +senx - Vi - senxXV1+ senx +Vi - senx)
l i m JL__— ------------------------------------------------------------ = hm--------- r —l r =
* -* o a * -> o x(yj1+ senx+ -JI-sera)
1+ senx - ( 1 - senx) ,. 2senx
= lim----F======^— = lim-
*->óx(yjl + senx +[l - senx) x^ ‘°A(Vl + senx + y/[-senx )
=2(1X ,-----1... 7 = 0 = 2 ¿ ) = 1
VT+O + Vl^O 2
Para hallar los limites de la forma: lim[(p(x)]''/(x) =c —(a)
se debe tener presente:
241
242
1 Si existen los limites finitas: lim cp(x) = A; lim i//(x) = B , entoi
x —>a x-*a
c =a b
2 Si lim (¡p(a) = A 1 y lim yf(x) = ±°° , en este caso él limite de (a
x—*a x-*a
halla directamente.
3 Sí lim (p(x) = 1 ; lim i//(x) = <», se supone que ep(x) = 1 + a(x), de
x —> a x —> a
a(x) —»0, cuando x -~>a y por consiguiente:
i
C = lim[(l)+a(x) ( ! = e— ^ = e— v
»tí
Siendo e = 2.718... él número de NEPER.
2+ i ,
hm(------)
*->o 3 - A
Desarrollo
, , 2+ a 2
cp(x) =— => lim (p(x) - —* 1
3 - a *->03
,2 +X.x .. .2 + A limx 2x0 .
Luego hm(-— -) = lim(------)'-*» = (—y = 1
* -» 0 3 - a *->o 3 - a 3
lim(4 —V 1
x -1
Desarrollo
lim(-^—i-)^1= lim(-----— -----)*+1 = lim (-L )*+1
h i 2 - 1 x ^ í ( a - I X a + 1 ) « i i + l
. . . 1 l i m ( x + l ) 1 2 1
= (lim----= (-) - T
*->i a+1 2 4

1 —
243 lim(— )*+1
x
Desarrollo
1 — 1 lim — ,
lim (— )*+1 = ( lira — )"-■*+l = (0)' = 0
x x
7 _ _ senx
~>AA i- ~ 2 x + 3 s~ t
244 lim(—---------- ) x
x->0 x - 3x+ 2
Desarrollo
_ senx 2 « ,• senx
x -2 x +3 —— x - 2x + 3 >™——
lim(—------------ ) * = (lim —----------- )” ° ■*
x->o X - 3x + 2 ¿-»ox - 3x+ 2
245 lim (-^—5—-)x
Desarrollo
2x2+1
X2+2 2 ,)• /X1+ 2 lim/ , lyK»
lim(— -----)x = (lim (— ------------------- ))—= (-)=
2x +1 ■*->“ 2x +1 2
246 lim (l~—)"
ii—>°° n
Desarrollo
lim (1-—)" = lim (l+— )" =[(!+— )“"](_1> =
n—>oo fi n—>oo 77
247 lim(l + - ) jr
X-^oo JC
Desarrollo
- *
1^(1 + -)* = lim[(l + - ) 2]2 = e2
X X
0 - 0 + 3 | = 3
0- 0+2 ~2
0
e
248 lim(— )'
*-»“ x + 1
Desarrollo
1 J:+1 , ~x > -*X r —I — (---) hm--- ,
lim(----- ) = hm[(l+----- ) -i ] x+i =e ~x+ =e-¡ _
*->■» X+l x + 1
249 lim (——-)Jt+2
*-*“ X+ 3
Desarrollo
r —1 —A —
lim(-— -)x+2 = lim (1+ ------)x+2 = lim f(l + ------) ~4
*-»“ x+ 3 í-k» x + 3 x~>°° x + 3
.. - 4 (.t+ 2 )
lim—---- -
= e'~ Jt+3 = e
250 lim(l + —)"
n
Desarrollo
lim (l+—)" = [lim (l+ —)•']■* =ex
n-K~ n n-»~ n
251 lim(l + senx)*
x-+0
DesarroHo
1 senx senx
lim-
lim(l + se«x)* = lim[(l + ignx)ÍCTW] x =e~" x =e
•t-»0 jc-»0
252 a) lim(eosx)x
x—>0
Desarrollo
-4(x+2)
jr+3

126
Eduardo Espinoza Rann
253
Como limy/(jc) = 1, donde |/(x)-cosx, entonces
*->o
j/(x) = 1+ a(x), donde a(x) —>0, cuando x —>0 es decir:
VJi(x) = 1+ (cos x - 1)
1 COSJC-I
lim(cos x)x = lim[l + (eos.v-l)] 1 = lim[[l + (cos x - 1)] cosl '] *
x -> 0 x - + 0
c o s x - l .. 1- c o s If |. scnx senx _ / i y £
lim----- - h m ----------—lim— . o .
— g ' A' * = e x = e i + c o s x — e - — e —
b) lim(cos.r)v‘
t-»0
Desarrollo
Análogo al caso anterior se tiene:
I 1 * c o s . v - 1
lim(cosx)^ = lim[l + (cosA-1)]^ = lim([l + (cosx-l)]COSJt-!) *"
x - * 0 x - M x —* 0
COSJT-1 _|im_££2_£-- _I ,
= e>™ S - e ,-“jr2(1+COSAr) - e 2 =
Te
lim [ln(2x + 1) - ln(x + 2)]
x—>°°
Desarrollo
, ,2jc+ 1
lim [ln(2jc+ 1)- ln(a-+ 2)] = lim ln(------ )
>oo x — X + 2
2.X+ Ì. . ,2 + 0 . 0
= ln( lim------- ) = ln(-——) = In2
x+2 1+ 0
x-+0 x
Desarrollo
.. log(l + 10x) II
«------•--------= limlogO + lOjc)-1 =[loglim(l + 10x)j:l
x-*0 x *->0 0*_>()' 1
log[lim((l + 10x)10*]10 = loge10 = 101oge
x->0 °
-t->ox V l-x
Desarrollo
nTln i ---- = lin? r ln(l----- )2 = lim~ ln(----- Y = —ln[lim(——)•*]x->ox V1—x *-»ox ì —x *-*02 1—x 2 *->o 1—x
I i
lim(l + A
--ln [lim (^1+ ^ )] = ilnflim (^-Ì-^-] = i l n [ i ^
! * - > o I 2 x- > 0 1 92 *-»o i 2 *~>o I 2
( - x ) x (1—x)x lim (l-x
x~)0
-~ln(-^—) =-ln e 2 = ln<? = l
2 e ~ l - 2
256 lim x[ln(x +1) - Inx]
Desarrollo
r X I
lim x[ln(x+1) - Inx] = lim x ln(----- )
x
= lim ln(l + —)* = ln( lim (1+ -)* ) = Ine =
X —^ o o % X —> o ° X

128
. ln(cos x)
257 lim----- t—
x->0 jc2
Desarrollo
j_ 4
lim ln(COS -^ = lim ln(cos xV2 =[ln(lim(eos x)x")]
*->0 X2 *~>0 x~*°
y de acuerdo al ejercicio 152 b se tiene
lim ln(C°S— = ln[lim (eos x)^] = lne 2 =~ a e =~
* ->0 x2 x^° ¿
ex —1
258 lim------
*-»o x
Desarrollo
Sea y =e* -1 => ¿* = >’+ 1 => x = ln(l+y).
cuando x -*■0 entonces y 0
p x - v .. 1 ,• 1 1 - 1 - 1
ljm ------ = lim-----:-----= lim -------------=lim T ~ np i
,->o x y->oln(l + y) J-oIjnd^y) ^ ° ln(1+ y)7
«*-1
259 hm-------
x-»0 X
Desarrollo
Sea a =ax -1 => x = ln(0t— -. Cuando x 0, entonces a -> 0
Ina
limf l z l = lim g - = lim = lim — üu.
„ „ , .- » M + O ) “ ’• i l n d +Q) “" ” i„(1+ 0)«
lna a
26» lim n(fa - l) , k > 0
Desarrollo
o _ 1 1
¿>ea y —^ => n ——. Cuando n —>oo, entonces y —> 0
hm n(4a~l) = lim ~ (a } - 1) = Jim- ----í. de acuerdo al ejercicio 259
lim «(Va -1) = lim - ---- 1 = Ina
n->°° v _> o _y
u x _ 6*
261 lim -----------
jt-»o *
Desarrollo
X ~ * ° X x ~ > ° x x - > 0 X
* — * 0 X x - - > 0 x
y de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:
l i m £ - ^ = , i m l í ^ l - l i m ^
X x - * 0 X x - > 0x
Ine" -ine* =ane - bne =a - b
1_ e ~ x
262 lim--------
x-+o senx
Desarrollo

e* -1
l-e~x ex -1 ^
hm--------= hm---------= lim -
,r-»o senx >0exsenx x~*°ex senx
ex-
—€
de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: lim---------= lim
*->o Senx x~*°ex senx c (1)
263
senhx
a) hm-------
.«—»o x
Desarrollo
Se conoce que senhx =
e - e
1 ,. e2x- lsenhx 1 e - e
lim —--------------------------= —hm-= —hm
*->o x 2 *-»0 x 2 *->o xe
b) lim
de acuerdo al ejercicio 259 se tiene:
senhx 1 (e2)x-1 1 1. 2, 1 , 1 >
lim-------= —hm----------- (— ) =■—Ine (—-) = - ( 21ní0 = 1
-Í-.0 x 2 *->0 x ex 2 e 2
cosh x - 1
jc-í O
Desarrollo
Se conoce que cosh x =
e +e
coshx-1
lim----------- = lim -
x—>0 % X—»0
e +e
2 ex +e~x - 2
-= hm— — ------
*->0 2x
4 l i m = l | i m£ Ü J ¿ ± j . - 1
2 x —>0 V 4’9Y
_
2XrA
x x ex 2x->o x ex
= I l i m ( ^ . - L
2 -c-»o x
de acuerdo al ejercicio 258 se tiene: = - ( l )2-1 1
2 e2 7 2
HALLAR LOS SIGUIENTES LIMITES LATERALES.
264 a) lim *
Desarrollo
Ihn ~ L — = Hm ijm . 1
“ v W i ~ f ~ T VTTö "
b) lim x
x^ +°°jx2+l
-x V x
Desarrollo
a:
Ihn -t= = = = lim -7 = á = = lim - 1 = __!__= !
™ V *2+ i X- ^ 4 7 V — I ^ T vr+ ö
------ /1+ '2a: x
265 a) lim tghx
Desarrollo

132
elx -1 0-1
b) lim tghx
Desarrollo
e2x- .. l ~ 7 * 1-0
lim tghx - lim — ------ nm — -
x^ e2x + 1 1+ 0
1+ - 7
g2jt
266 a) lim ——
l +ex
Desarrollo
lim ----- r = -----— - -----;----, , n
i i+«i + ~ 1+0
l +ex ¿r
b) lim —~ t~
i
l +ex
Desarrollo
lim - l T =— ^ =~ =0
i +e+ °°
+ex
ln(l + ex)
267 a) lim -----------
Desarrollo
x í -
lim ln(1í £ i = lim m +e ')x = ln[ lim (1+ <?*)*]
*_»-oo X X->~™ X-*—o
J L £ _ lim ~~ r)
= ln( lim[(l + ej:K ] jr)= ln (e -" x ) = lne =lnl = 0
b> i¡m iü íilíÜ
*->+“■ X
Desarrollo
Análogo al ejercicio (a) es decir:
1„<1+ , ') In .'+ ln d + i )
lim -----------= lim ------------— = lim ------------------—
*-*+«” X jc—>+~ X x
-dn €+ ln(l + —) i
pX 1 —
= lim -------------------- --- lim lne + ln(l H---- y
268 a) lim
*->+“> X *->+«
|se/u:|
x-*o~ x
Desarrollo
.. | senx | senx
lim ------- - = lim--------= -1
.*-»<r x x-*o~ x
b) lim liS S l
x - > 0 * x
Desarrollo
Isenjcl senx ,
lim ------- 1= lim ------= 1
x-»0* X jt—>0* X
x - l
269 a) lim
*->i*| x - l |
Desarrollo
lim *■ * = lim - 1 = lim —1= —1
jc—»i- 1jc—1 1 j r - > r - ( x - l ) jr—>r

134
b) lixn
x - l
Desarrollo
üm —— = lim ——7= üm 1= 1
t - t l ‘ ¡ t - 1 x->V X - l *->1
270 a) lim
x-*2~ X —2
a) lim
->2~x —2
b) lim
x—>2' X -2
Desarrollo
b) lim —
x — * 2 X -
CONSTRUIR LA GRÁFICA DE LAS FUNCIONES
271 y = lim (eos'" x)
n —
Desarrollo
y = lim (eos2" x) = lim (eos" x)"
/¡—>00 n —
Sí x * n, k =0,±1,±2,..., eos2x < 1 entonces y = lim (eos" x)n
n —
Sí x = kn , eos2 x =1 entonces y = lim (eos" x)" = 1 => y -
X
:0 y = 0
1
272 y = üm -------, (x>0)
1+ xn
Desarrollo
S íO < x < l => lim xn =0 Luego: y=lim
1+ xn 1+ 0
y = x
Cuando x - l =$ y - lim —1— v = —
n-*~ 1+1 ■2
Cuando x > 1 => y - lim —- — = lim *
n—I
«-»“ l + x" 1 + j 0 + 1
y = o
273
Resumiendo y =
x si 0 < x < l
—si x = 1
2
0 si x > 1
1= lim ¡x2+a2
a->0
Desarrollo
y= lim ¡x2+ a 2 -y jx 2+0 = |x| => y =
rt->0

136
274
Y,
lim arctg(nx)
n—>00
Desarrollo
n
Sí x < 0 => lim arctg(nx) = arctg(-°°) = - -
«—>00 ¿
Sí x = 0 => lim arctg(nx) = 0 => y - 0
n—>°°
n
S íx > 0 => lim arctg(nx) =arctg(°°)~ —
n —>°°
27 y = lim yjl +x" , (x > 0)
Desarrollo
Sí 0 < x < L => 0 < x" < 1 => 1< 1+ x" < 2
lim 1< lim
n—*00
lim 2"
n—>°°
é + x n <
)
y = lim Vl + x" =1 => y = 1
Sí x > 1 => y - Una vl + xn - x =>
Resumiendo: y =
1 si 0 < x < 1
7T
[x si X > 1
Convertir en ordinaria la siguiente función periódica mixta: a = 0.13555...
Desarrollo
135-13 122 61
« = 0.13555...=
900 900 450
toj
Introducción al Añálisis
277 ¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación cuadrada «x2 +bx +c =0.:
coeficiente “a” tiende a cero y los coeficientes “b” y “c” son constantes sie
b * 0?
Desarrollo
ax2 +bx +c =0 => x = ~h ~ ^ ~ 4ac
2a
—d a~*0 a —>0 2(1
lim x, - lim — + ~ 4“c){h +^ ~ = Hm b2-Aac —b2
2a(b +s¡b2-Aac) a~*°2a(b +sjb2-4ac)
-2ac c
= hm -------- - = _ _ .
a(b +4b: -4ac) b
Luego cuando a -»0, x, ->
b
Par,
2a a-»ü a->o 2a
lim x, = - lim 4ac) =^ ____ 4ac _
2a(b~y¡b2-4ac) a~*,2a(b+-Jb2~4ac) o ’
Luego cuando a -» 0. x-, -» -°o
Hallar él limite del ángulo interno de un polígono regular de n lados sí n -» 00
Desarrollo

La suma de los ángulos internos de un polígono regular de n lados es.
S¡ =n(n -2 )
. _ 5,-
Como nos piden él limite de un ángulo interno cuando n —>°° es decir, i -
n(n- 2) .. . .. 7t(n-2) _
O sea: <= ---------- => hm i = lim------------ 7T
77 71—>°° //—>oo
279 Hallar él limite de los perímetros de los polinomios regulares de n lados
inscritos en una circunferencia de radio R y de los circunscritos a su alrededor,
sí n —>°°.
Desarrollo
n
Para el caso de los polinomios inscritos se tiene: 2Rnsen—.
*
n 1
Luego lim 2Rnsen— para calcular este limite haremos n =-
/i—>°° Yl X
Luego cuando n —»<=°, x —>0 tenemos:
n 2R setmx_
Entonces: lim 2Rnsen—= lim — sennx —2Rn lim —¿KK
n_>t» n n->°° X x-»“ KX
n
Para el caso de los polinomios circunscritos se tiene: 2Rn tg —
Luego lim 2Rntg — haciendo n = —, n —»°°, x —>0
;i—>°° fí X
Tí 1 t£7tX
lim 2Rntg —=2R lim -tg n x = 2,/ta lim------= 2Rn
/?—>oo t i JC >0 7TA'
280 Hallar él limite de la suma de las longitudes de las ordenadas de la c
y =e~x eoskx trazadas en los puntos x = 0,1.2,....n, sín-»°°
Desarrollo
Para x = 0,l,2,...,n los valores de y —e x eoskk son:
, l J ____l J ___ 1_
’ « V * / ’V ’ e5 ’"'
Sea Sn = l - I + - L _ ± +2 ._ 1 + +(_ 1)nJ_
e e2 e3 e4 e5 en
es la suma de una progresión geométrica.
aa - a (l-r n)
Ademas ¿>n ------—-— donde “a” es el primer termino y r es la razón.
r c a(l ~rn) 1
Luego: Sn ------------donde r =-
1- r e
____ --------------- _____________ r. 1 1 , L„— r" reemplazando se tiene: Sn =-----------
~ r i . 1 e1- r 1~r * " l i ' e'
1+ - 1+ - e
e e
= lim Sn =— - 0 = — ... üm Sn =—
i + i e + „_>» n e + ¡
e
281 Hallar él limite de las áreas de los cuadrados construidos sobre las ordena
de la curva
que n —>°°.
de la curva y —2 como bases, donde x = 1,2,3,...,n, con la condición
Desarrollo

140
282
El área de cada uno de los cuadrados son:
1 2 — 3 — 4 — 5 — __’ „2 ’ -.2 ’ -.3’ o4 .... 2" +l
o , 2 3 4 n
S = 1h----1—rH—
2 2 2 2" -1
1 2 3 4 n .
S = 2 (- + - T + - r + —r + - — ) ~ 2n(-z>n 2 2 2 2 3 2 4 2 n 2
lim Sn = lim 2n ¿ " = 2(— ---— ) = 4
/J—>oo /I—>°° 2 / I
_
_ 2
2
Hallar él limite, cuando n —» °°, del perímetro de la línea quebrada
M0,M 1,...,AÍ„ inscrita en la espiral logarítmica r = e 9 si los vértices de esta
_ 7T „
quebrada tienen, respectivamente, los ángulos polares. <p0 - 0 , (p
nit
9n = T
Desarrollo
Teniendo en cuenta la magnitud del ejercicio daremos algunas reflexiones
iniciales:
Introducción alAnálisis
a) En la espiral r - e 9 , r es un radio vector, V valor de <p.
b) La quebrada inscrita en la espiral significa que a cada vértic
corresponde un vector.
c) Cada segmento de al quebrada esta obviamente entre 2 ven
consecutivos.
d) Cada segmento es el lado de un triángulo cuyos otros dos lados son
radios vectores correspondientes a estos vértices consecutivos. Entoi
se aplica la formula: c 2 =a 2 +b2 - labeos6
e) A cada vértice M k le corresponde un radio vector
i* ~ e~Vt donde <pk = Y ...(i)
0 El k-ésimo segmento de la quebrada Sk esta comprendida entre
radios vectores rk_t y rk , los cuales forman el k-ésimo: (<p; - (pk i )
g) Calcularemos el k-ésimo segmento Sk :
Sk = Vr*-i + rk ~ 2rk-lrkc° s(<Pl ~<Pk-1) ... (2)
Simplificando los exponentes y efectuando operaciones
/ £
Sk =^e-k*.e"+e-k* - 2 x kKe 2cos~
c _ L-tit ( je , i c ekrc+1
Sk - j e (e + 1) => ... (3)

142
h) Calculo del perímetro d e al q u eb ra da finita:
n n
Pn =Pn(Mo>Mi,...M n) =YJSk=Yj' ekn
k= k=1
eK+
i------ 1 1 1 1 %
Pn = s k = Je* +l(— +~!E+l E +- +~™ +- )Á m sad _ ~ _ 7
•(4)
■(5)
¡t=f e2 e 2 e
P = £ ± l ( i +- L + - i - + - +- V + - )n jr ti 2tt nrc_
ei e2 e 2 e 2
C _ a ( l- r n)
Pero la suma de una progresión geometrica. ò„ -
nrx
p l z í l ) J = £ ± I ( l - e 2 )
rn ~ n. ^ ’ K n n
i) calculo del perímetro llevando él limite para n -» °°
yjen +1 yfe*~+l .. „
P = lim P„ = lim —---------------------- (1- e 2 )-(1
n—>oo n-*°° _ —
e2 _ l e2 - l
Vtj7r + 1
p = K
e2 -1
11.4. INFINITÉSIMOS E INFINITOS.-
»0 INFINITÉSIMOS.- Si lima(jt) = 0 es decir: Si | a(x) | < e cuar
x->a
0 < |x - a| < 8(e), la función a(x) se llama infinitésii
cuando x —>a, en forma similar se determina la función infinitésima a(
cuando x — > OO
OBSERVACIÓN.- La suma y el producto de un número limitado
infinitésimo, cuando x -» a, es también uninfinitésin
cuando x —>a.
oc(x)
Si a(x) y |3(x) son infinitésimos, cuando x —>ay lim------= c donde c es
fi( x )
número distinto a cero las funciones a(x) y (5(x) reciben el nombre
infinitésimos de un mismo orden, si c = 0, se dice que la función a(x) es i
infinitésima de orden superior respecto a |3(x). La función a(x) se denom
cc(sc)
infinitésima de orden n respecto a la función B(x), sí: lim--------- = c , dor
[ p ( x ) ] n
GC(x')
0 < | c | < +<*>; Si lim------= 1 las funciones a(x) y (3(x) se lian
x - * a ¡ 3 ( x )
equivalentes cuando x —»a: a(x) ~ (3(x).
El limite de la razón de dos infinitésimos no se altera, si los términos de
misma se sustituyen por otros, cuyos valores respectivos sean equivalentes,
acuerdo con este teorema, al hallar él limite de la fracción: lim , dor
x —* a P ( X )
a(x) —>0 y P(x) —» 0 cuando x —» a, el numerador y denominador de
fracción pueden restársele (o sumársele) infinitésimos de orden super
elegidos de tal forma, que las cantidades resultantes sean equivalentes a
anteriores.

b) INFINITOS.- Si para un número cualquiera N, tan grande como se desee
existe tal 5(N) se verifica la desigualdad |f(x)|> N .
La función f(x) recibe el nombre de infinito, cuando x —>a, análogamente f(x
se determina como infinito cuando x —>«>.
288 Demostrar que la función / (x) -
senx en infinitamente pequeña, cuand<
x —>oo. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < £?
Si e es un número arbitrario? Hacer los cálculos para
a) £ = 0.1 b) £ = 0.01 c) £ = 0.001
Desarrollo— —— — — —
Por definición se tiene: Si lim a(x) = 0 o lim a(x) = 0 ct(x) se llana
x->a
infinitésimo.
setix
Es decir que debemos demostrar que lim------= 0, pero se conoce que.
x
1 senx 1
-1 < sen x < 1 — < ------ < —y además sabemos que:
x x x
1 senx . .. 1
lim — < lim----- 5. lim —
X x-*°° X X
0 < lim <0 de donde:
senx
lim------= 0
senxf ( x) = es infinitamente pequeña. Veremos los valori
de x para que | f(x) | < £ como f(x) = -
senx , senx | ^ , 1 , , ,
------ < — < e de don
x >-
a) para £ = 0.1 => | x | > 10
b) para £ = 0.01 =» | x | > 100
c) para £ = 0.001 => | x | > 1000
.S') Demostrar que la función / (x) = 1—x2, es infinitamente pequeña cuai
x -» 1. ¿Para qué valores de x se cumple la desigualdad | f(x) | < e .
Si £ es un número positivo arbitrario?. Hacer los cálculos numéricos para:
a) £= 0.1 b) £= 0.01 c) £= 0.001
Desarrollo
Para que f(x) sea infinitamente pequeñacuando x-> 1 se debe de demosl
que. es decir lim /(x ) = lim(l - x 2) =() => f(x)es infinitamente peque
X ^1 X—^1 1 n
determinaremos los valores de x para que se cumpla |f(x)| < £
l/(x )| = |l - x 2 | = |l - x ||l + x |< e
|x—1| |x+l| < £ pero | x 11< ------- - de donde | x —11< —, puesto que x —»
I x+ 11 2
a) para £ = 0.1 => | x —1 | < 0.05
b) para £ = 0.01 =» | x —1 | <0.005
■*0 Demostrar que la función /(x ) = ----—es infinitamente grande cuando x —>
¿En qué entorno |x - 2| < 8 se verifica la desigualdad |f(x)| > N.
Si N es un número positivo arbitrar; >?
Hallar 8, sí a) N = 10 b) N=100 c) N=100l

Desarrollo
Se procede en forma similar a los casos anteriores.
Luego: |/(x )|> W => |——r | > A' => |x - 2 | <-^- = 5
x - 2 N
a) Sí N = 10 S = — = 0.1
10
b) Sí N = 100 => 8 = -----= 0.01
100
c) Sí N= 1000 =* <5=—í— = 0.001
1000
Determinar el orden infinitesimal:
a) De la superficie de una esfera.
b) Del volumen de la misma, si su radio r es un infinitésimo de la Ira ord(
¿Cuál es el orden infinitesimal del radio y del volumen, respecto al áre;
esta esfera?
Desarrollo
Se conoce que: si y es infinitesimal de orden “n” se escribe y = knx" +<p(x
y
de donde — =kn. Luego “n” es el orden infinitesimal,
a) Superficie de la esfera y = 4nr2, x = r
4nr¿ r 2 n
------ - 4 n =>—-= 1 => r - r
Luego n = 2, la superficie es de segundo orden respecto al radio.
b) Volumen de la esfera: 4^ r3 _ 4 r ’
3r" ~ 3 7 = I =* r = '
de donde n - 3, el volumen de la esfera es de tercer orden respe
radio. Además tenemos que:
<fr( W ) 1
(4*r'y
1
- " 1
-= (4n) 1 => rn =r2 =» n = —4nr' '2
J 4 nF ¡7 ;T~
r" =r2 de donde n = -3-
2
Sea a el ángulo central de un sector circular ABO cuvo radio R
Determinar el orden infinitesimal: 7 radl° R t,ende a
a) De la cuerda AB n , „ . . ,
o) De la flecha del arco
c) Del área del AABD, respecto al infinitésimo a.
O

Desarrollo
a) En la figura se observa que AB = 2AC además AC —Rsen
a
IRsen
a
a
2 _2R
~ ~ 2
a
sen —
—= — cuando a —»0
a" 2
a
-» 0 de donde
a
2 _ 1a a
sen— ~ —
2 2 a" 2
=> -¿- = — => a = a '! =» n = 1
b) En la figura se observa que: CD - R(1—J l — ) de donde
K(l-
a
R(— +
a
1__1_
1 . 4 a"
1- sen2O
1- ,
2a 1 1 , 2 a
l~“" 2 > , ^ 2 , 1 .. l
1 a" 4 a 'a" a , 2a1-sen —
2«
sen — , a -
____ 2. —— ñero sen ot—>0 =>■ .ví'/í----->0 de donde sen(—)~
a" 4 2
a a
2 ~ 2
Por lo tanto:
2a & 2
2
cr a rt 4a" 4
c) ’ Área del AABC —AB.CD =2R~sen —
(1~ Jl —sen2 Entonces:
2R2sen ~ (1-, 1-sen2—) ,
2 2/P
8(1+ ^1 -sen2- )
sen —(1--1+ s<?íT sen3—
=> -----2--------------- 2_ = I ^ ____ 2 = I
a" 8 a " 8
además a 0 => «>«(—)« —
2 2
3«
2 « 3 1 3 „
a" = 8a^~ 8 ^ “ = a =* 11= 3
293 Determinar el orden infinitesimal respecto a x„ cuando x -->0, de las funcic
siguientes:
•) ~ w V T w I C)
d) 1- eos x e) tg x. sen x
Desarrollo
2x
a) Sea / (x) = ----- de donde se tiene que: ~+ x =— —___= 2
1+ * x" (1+ x)xn
cuando x -» 0 => x + 1 -> 1 entonces — =2 => x n =x => n -

150
b) Sea f(x ) =yjx+yfx de donde se tiene que:
^ y ] ( x + yfxj* _ ^ x ( x + 1 + 2 yfx)_ _ ] c u a n d o x Q , X + 1 + 2 - n / x ~ > 1
X"
entonces
4/T 1
^ £ = 1 => xn = x4 => « = -
x" • 4
c) /(.v) = V ? - V ? de donde se tiene que:
2 3 2 5
X3 _ X2 *3(1_ x6)
--------- = 1 => ------------- = 1
cuando x —»0, 1- x 6 ->1 entonces — = 1 => n -
x" 3
1-cosx -¡ l-s e n 2x _ ,
d) f(x) = 1- eos x de donde se tiene: ------------- ' - 1
xn
i--------— 2 1-1 +sen2x _
además ¡l-sen¿x « l-sen x => ------— -------i
x2
cuando x —»0 se tiene sen2x -> x~ => = 1 ^ n = “
e) f(x) = tg x - sen x de donde se tiene:
tgx-senx _ senx ^l - y l - sen~x^_ j
xn eos x x"
cuando x —»0 => yfl —sen2x ~ —sen x
rgx(l-l + sen2x) _ tgx(sen2x) _ se«3*£
JC" x" x" eos X
x3
cuando x —»0, sen x —>x, eos x —>1 => ■— = 1 =£ n = 3
294 Demostrar que la longitud de un arco infinitesimal de una circunferenc
radio constante, es equivalente a la longitud de la cuerda que tensa.
Desarrollo
Se debe de considerar a(x) = lrngitud del arco infinitesimal y |3(x) = Ion
de la cuerda tensa; para que a(x) y ¡3(x) sean equivalentes se debe proba
a(x) ,
lim------= 1y esto es inmediato.
x->a fí(x)
295 Son equivalentes un segmento infinitésimo y la semi circunfei
infinitésima construida sobre el como diámetro?
Desarrollo
a(x) • n d n n
Se conoce que lim------ = 1 entonces lim---- = hm —= —
x—>íí ( a } t / —> 0 2 d d ■->() 2 2
Como ^ ¿ 1 => no son equivalente.
sen3x.sen5x
296 lim —
■*-*> (x -x 3)2
Desarrollo
sen3x.sen5x .. senx.senSx 3sen3x 5sen5x
lim---------r r - - lim------ i------= hm----------.---------= 3(1) .5(1) = 15
jc-í0 (x -x ) x~>o x ) 3x 5x
arcsen(- X
297 lim----------^ - -
x->o ln(l - x)

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