Métodos de eliminación Gussiana

1. Universidad Fermín Toro
Solución de
Sistemas de
Ecuaciones
Métodos de eliminación Gussiana
Por Gabriel Colmenares
CI: 24.775.336

2. Introducción
❖ En esta unidad examinaremos los aspectos numéricos
que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones,
utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos para
resolver estos sistemas.

3. Métodos De Eliminación
Gaussiana
El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss,
consiste en realizar transformaciones elementales en el
sistema inicial (intercambio de filas, intercambio de
columnas, multiplicación de filas o columnas por
constantes, operaciones con filas o columnas, . . . ),
destinadas a transformarlo en un sistema triangular
superior, que resolveremos por remonte. Además, la
matriz de partida tiene el mismo determinante que la
matriz de llegada, cuyo determinante es el producto de los
coeficientes diagonales de la matriz.

4. Método de Gauss-Jordan
El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en
realizar transformaciones elementales en el sistema inicial,
destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El
número de operaciones elementales de este método, es
superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por
remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el
cual, el método de Gauss - Jordán es un método
computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver
varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos
simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.

5. Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en demostrar que una
matriz A se puede factorizar como el producto de una matriz triangular
inferior L con una matriz triangular superior U, donde en el paso de
eliminación sólo se involucran operaciones sobre los coeficientes de la
matriz, permitiendo así evaluar los términos independientes bi de
manera eficiente
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus
variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen las
matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L
tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de
Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene números
1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout

6. Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En
otras palabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren comúnmente en
problemas de ambos contextos: el matemático y el de ingeniería.
Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la
mitad de almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se
requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al contrario
de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de
Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una ma triz
A es simétrica y definida positiva en lugar de factorizarse como LU,
puede ser factorizada como el producto de una matriz triangular
inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los
factores triangulaes resultantes son la traspuesta de cada uno.

7. Factorización de QR,
Householder
Anteriormente analizamos la factorización LU de una
matriz el cual conduce aun método muy ficiente para
resolver un sistema lineal. Otro método de factorización
de una A, llamada factorización QR de A. Esta
factorización se usa ampliamente en los programas de
computadora para determinar valores propios de una
matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar
aproximaciones por mínimos cuadrados

8. Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos
Iterativos

9. Introducción
El método de Gauss y sus variantes son conocidos como
métodos directos para resolver el problema inicial Ax = b.
Se ejecutan a través de un número finito de pasos y
generan una solución x que sería exacta sino fuera por los
errores de redondeo. En contraste, un método iterativo da
lugar a una sucesión de vectores que idealmente
converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se
cuenta con una solución aproximada con cierto grado de
precisión especificado de antemano o después de cierto
número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi
siempre iterativos.

10. Método De Gauss Seidel
El método de Gauss y sus variantes son conocidos como métodos directos para resolver el problema
inicial Ax = b. Se ejecutan a través de un número finito de pasos y generan una solución x que sería
exacta sino fuera por los errores de redondeo. En contraste, un método iterativo da El Método de Gauss
Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener estimaciones refinadas de la solución; es
particularmente adecuado para un gran número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un
método más comúnmente usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de
cada una de las xi en cada una de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de cero.
Observase que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a
los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector
se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos
deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de
x1, x2, ..., x i-1.
La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas
veces los hace de manera muy lenta. Únicamente es confiable para aquellos sistemas dominantes
diagonalmente. a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se
detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de
antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre
iterativos.

11. Gracias

12. Elaborado por Gabriel Colmenares