Este documento describe varios métodos numéricos para resolver sistemas de ecuaciones utilizando matrices, incluyendo el método de eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordán, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica que estos métodos permiten transformar sistemas de ecuaciones en formas matriciales más simples para resolverlos de manera eficiente.

1. Unidad II
Alvimar vargas
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA

2. En esta unidad examinaremos los aspectos numéricos
que se presentan al resolver sistemas de ecuaciones,
utilizando matrices que permiten utilizar algoritmos
para resolver estos sistemas.

3.  El proceso de eliminación de Gaussisana o de Gauss, consiste en realizar
transformaciones elementales en el sistema inicial (intercambio de filas,
intercambio de columnas, multiplicación de filas o columnas por constantes,
operaciones con filas o columnas, . . . ), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la matriz de partida
tiene el mismo determinante que la matriz de llegada, cuyo determinante es el
producto de los coeficientes diagonales de la matriz.
 Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el
pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede
arrojar serias dudas sobre la respuesta final. En forma general este método
propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta
tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por
sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

4. El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema
diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del
método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de
operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método
computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la
misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-
Jordán.
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la
matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el
que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que
calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz.

5. Descomposición LU El método de Descomposición LU se basa en
demostrar que una matriz A se puede factorizar como el producto de
una matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior
U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran operaciones
sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo así evaluar los
términos independientes bi de manera eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU tiene sus
variantes en cuanto a los valores iniciales de la diagonal que tomen
las matrices L y U, es decir si los valores de la diagonal de la matriz L
tiene números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de
Doolitle. Pero si los valores de la diagonal de la matriz U tiene
números 1, formalmente esto se refiere a la Descomposición de Crout

6. Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T.
Tales sistemas ocurren comúnmente en problemas de ambos contextos: el matemático y el de
ingeniería. Ellos ofrecen ventajas computacionales ya que sólo se necesita la mitad de
almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo de cálculo para
su solución. Al contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El método de
Factorización de Cholesky se basa en demostrar que si una matriz A es simétrica y definida
positiva en lugar de factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto de una matriz
triangular inferior y la traspuesta de la matriz triangular inferior, es decir los factores triangulaes
resultantes son la traspuesta de cada uno.

7.  El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después itera para obtener
estimaciones refinadas de la solución; es particularmente adecuado para un gran
número de ecuaciones, lo cual en cierto modo lo hace un método más comúnmente
usado. La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el despeje de cada
una de las xien cadauna de las ecuaciones y se les da un valor inicial a cada xi de
cero
 Observase que en el método de Gauss Seidel los valores actualizados de xi
sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de
Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo
la sustitución.

8.  El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz
diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera
de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de
operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un
nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante,
entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de
Ax = b para cualquier vector inicial Xo.