Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de Gauss-Jordan, la factorización de Cholesky para matrices simétricas, métodos iterativos como Jacobi, y métodos directos como la eliminación de Gauss y la descomposición LU. Explica las ventajas y desventajas de cada método.

1. Solución de Sistemas
de Ecuaciones
Lineales
Universidad Fermín Toro
Facultad de Ingeniería
Cabudare - Lara
Participante:
Joshua MéndezCabudare

2. Método de Gauss-Jordan
El proceso de eliminación de Gauss -
Jordán consiste en realizar
transformaciones elementales en el
sistema inicial, destinadas a
transformarlo en un sistema diagonal. El
número de operaciones elementales de
este método, es superior al del método
de Gauss (alrededor de un 50% más).

3. Factorización De Cholesky
Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji
para toda i y j, En otras palabras, [A] =[A] T.
Tales sistemas ocurren comúnmente en
problemas de ambos contextos: el matemático
y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas
computacionales ya que sólo se necesita la
mitad de almacenamiento y, en la mayoría de
los casos, sólo se requiere la mitad del tiempo
de cálculo para su solución.

4. El método de Gauss y sus variantes son conocidos
como métodos directos para resolver el problema inicial
Ax = b. Se ejecutan a través de un número finito de
pasos y generan una solución x que sería exacta sino
fuera por los errores de redondeo. En contraste, un
método iterativo da lugar a una sucesión de vectores
que idealmente converge a la solución. El cálculo se
detiene cuando se cuenta con una solución aproximada
con cierto grado de precisión especificado de antemano
o después de cierto número de iteraciones. Los
métodos indirectos son casi siempre iterativos.
Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos
Iterativos

5. Un método iterado de resolución del sistema Ax = b
es aquel que genera, a partir de un vector inicial x0,
una sucesión de vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método
iterado se dirá que es consistente con el sistema Ax =
b, si el límite x de la sucesión (xn), en caso de existir,
es solución del sistema. Se dirá que el método es
convergente si la sucesión generada por cualquier
vector inicial x0 es convergente a la solución del
sistema".Es evidente que si un método es convergente
es consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto.

6. Método de Jacobi
El Método de Jacobi transforma una matriz
simétrica en una matriz diagonal al eliminar
de forma simétrica los elementos que están
fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el
método requiere un número infinito de
operaciones, ya que la eliminación de cada
elemento no cero a menudo crea un nuevo
valor no cero en el elemento cero anterior.

7. Métodos De Eliminación Gaussiana
El proceso de eliminación de Gaussisana o de
Gauss, consiste en realizar transformaciones
elementales en el sistema inicial (intercambio de
filas, intercambio de columnas, multiplicación de
filas o columnas por constantes, operaciones
con filas o columnas, . . . ), destinadas a
transformarlo en un sistema triangular superior,
que resolveremos por remonte. Además, la
matriz de partida tiene el mismo determinante
que la matriz de llegada, cuyo determinante es el
producto de los coeficientes diagonales de la
matriz.

8. Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana
es que debemos dividir entre el pivote; si este es
un número muy pequeño, entonces un error de
redondeo puede arrojar serias dudas sobre la
respuesta final. En forma general este método
propone la eliminación progresiva de variables en
el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una
ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta,
se procede por sustitución regresiva hasta obtener
los valores de todas las variables.

9. Descomposición LU
El método de Descomposición LU se basa en
demostrar que una matriz A se puede
factorizar como el producto de una matriz
triangular inferior L con una matriz triangular
superior U, donde en el paso de eliminación
sólo se involucran operaciones sobre los
coeficientes de la matriz, permitiendo así
evaluar los términos independientes bi de
manera eficiente.

10. La implementación del algoritmo de la
Descomposición LU tiene sus variantes en
cuanto a los valores iniciales de la diagonal
que tomen las matrices L y U, es decir si
los valores de la diagonal de la matriz L
tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Doolitle.
Pero si los valores de la diagonal de la
matriz U tiene números 1, formalmente esto
se refiere a la Descomposición de Crout