Riemann revolucionó la geometría al proponer que cualquier espacio puede estudiarse como una variedad diferenciable mediante la introducción de una métrica, lo que determina la geometría subyacente. Sus ideas sentaron las bases de la geometría y topología modernas. Además, su enfoque de la geometría flexible permitió el desarrollo de la teoría de la relatividad general de Einstein, en la que el espacio-tiempo se representa como una variedad riemanniana curva de cuatro dimensiones.

1. RIEMANN
Legado

2. Legado de Bernhard
Riemann
Riemann marcó un antes y un después en la Historia de la
Matemática.
Sus contribuciones son el fundamento de la geometría y
topología moderna

3. El nuevo modo de Riemann
de estudiar la Geometría
Cualquier modelo de espacio puede ser estudiado como una variedad
diferenciable y que al introducir en ella una métrica se determina la geometría que
gobierna este objeto.
Geometría mucho mas general, como engloba todos los conceptos anteriores
Las nuevas geometrías no euclídeas como la geometría euclidea pueden estudiarse
bajo el angulo de la Geometría Riemanniana
La Geometría deja de ser el estudio de triangulos, circunferencias... Salto al estudio
geométrico de espacios con dimensiones arbitrarias

4. Aplicaciones de la
Geometría Riemanniana
Alto nivel de abstracion.
No se pensaba al principio que se pudiera aplicar al mundo físico.
En ella se cimenta la Teoría de la Relatividad General.
“No hay ninguna rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse
algún día a los fenómenos del mundo real“. (Lobachevsky)

5. Teoría de la Relatividad
General
Fama de contraintuitiva y tremendamente difícil.
Herramientas matemáticas: Cálculo tensorial y geometría diferencial.
Efectos contrarios a la intuición (dilatación del tiempo, paradoja de los gemelos...).
Tiene lugar en un escenario extraño: espacio curvo de cuatro dimensiones
(espacio-tiempo).

6. Física newtoniana y
física relativista
Newton: Un cuerpo se mueve a través del espacio en línea recta, con velocidad
uniforme, a menos que sobre él actúe una fuerza. Entre dos cuerpos cualesquiera
existe una fuerza atrayente.
Einstein: El cuerpo no sigue una “línea recta”, sino una geodésica (camino mas
corto) en el espaciotiempo y no en el espacio tridimensional y la geometría no está
fija y apriori determinada.

7. Geometría de la
Relatividad General
Relatividad Especial: el movimiento relativo entre dos observadores hace que no
estén de acuerdo en las medidas de longitudes que realizan.
Relatividad General: las medidas de longitudes también deban alterarse cuando
exista una masa en las proximidades, aunque el observador se encuentre en
reposo.
El concepto de métrica tiene un papel fundamental en la Relatividad General.
Cuadrado de la longitud (la longitud depende de cuál sea la geometría del
espacio) del vector a = (a1,a2...an) es:

8. Distintas Geometrías
Esférica Hiperbólica De Riemann
Métrica
Tipo Nombre Curvatura Ejemplos
positiva
Euclídea Cero Sí Espacio plano (tradicional)
Plana
Minkowski Cero No Espacio-tiempo plano (RTE)
Elíptica Constante Sí Superficie esfera
Curva Hiperbólica Constante Sí Superficie silla de montar
Riemanniana Variable No Espacio-tiempo de la RTG