Igualdad, congruencia y semejanza

1. |1|
Unidad 9.2: Congruentes y semejantes
Tema 1: Transformaciones y los triángulos
Lección 1.1: Igualdad, congruencia y semejanza
En el mundo de las figuras geométricas, podemos percibir cosas que en
ocasiones no son reales. Cuando comparamos dos figuras nos pueden parecer
iguales, semejantes o congruentes. Veamos cada uno de estos casos.
¿Igualdad o congruencia?
En el mundo geométrico, la igualdad ocurre cuando dos figuras son iguales
cuando superpuestas coinciden, tanto en forma como en tamaño.
Es decir, si dos figuras son iguales, entonces tienen lados de la misma
longitud y ángulos con las mismas medidas. Veamos un ejemplo de dos
triángulos, encontraremos los lados y ángulos congruentes (≅), entre ambas
figuras.

2. |2|
Veamos un ejemplo en el que la meta es encontrar las variables en ambas
figuras.
𝑥 = 𝑚∡ 𝐶 = 𝑚∡ 𝐴, por tanto, 𝑥 = 100°
𝑤 = 𝑚∡ 𝐺 = 𝑚∡ 𝐸, por tanto, 𝑥 = 80°
En conclusión, 𝐴𝐵𝐹𝐸 ≅ 𝐶𝐷𝐻𝐺.
La igualdad, en ocasiones, se confunde con congruencia. La congruencia
ocurre cuando dos figuras son iguales, tanto en forma y tamaño, pero no
necesariamente coinciden superpuestas.

3. |3|
De esta manera, podemos ver que dos figuras pueden ser congruentes,
aunque pasen por una transformación o cambio. Existen varias transformaciones
en las que las figuras guardan la relación de congruencia. Veámoslas.
Transformaciones de congruencia
Las tres transformaciones de congruencia solo cambian la posición de la
figura, no se afectan el tamaño ni la forma de la figura original. Veamos algunos
ejemplos.
Reflexión geométrica
a) Reflexión de un segmento
El eje de x es la línea de reflexión.
La distancia entre cada segmento y la línea de reflexión es igual, 2 unidades.

4. |4|
b) Reflexión de un ángulo
El eje de y es la línea de reflexión. Cada ángulo tiene la misma medida, 90°.
Cuando reflejas es como si la línea de reflexión fuera un espejo.
Es como tus manos: la derecha es
reflejo de la izquierda y viceversa.
c) Reflexión de un triángulo
El triángulo amarillo y el naranja tienen reflexión con respecto al eje de y como
línea de reflexión.
El triángulo amarillo y el azul tienen reflexión con respecto al eje de x como
línea de reflexión.

5. |5|
De la misma manera que se refleja un triángulo se pueden reflejar todas
las figuras bidimensionales. Debes recordar que reflejar es ver como una imagen
de espejo. Veamos un último ejemplo, tomando en consideración las
coordenadas de un plano.
Cada punto tiene sus coordenadas. Cuando vamos a reflejar, buscamos la
reflexión de cada punto de coordenada.
Tomemos el eje de y como la línea de reflexión.

6. |6|
Observa las reflexiones de cada punto:
A → H
B → E
C → F
D → G
Por último, trazamos la figura. Observa, como la línea de reflexión es el eje de
y, las coordenadas de los puntos en y no cambian. Las coordenadas en x son
opuestas.
Traslación geométrica
La transformación de congruencia, llamada traslación, es aquella en la que
la figura, ángulo, segmento o cualquier objeto se mueven en la misma dirección
y a la misma distancia, en todas sus partes.

7. |7|
Cuidado con confundir la reflexión y la traslación
Veamos algunos ejemplos de diferentes formas de trasladar una figura.
Observa los detalles de cada figura.
Cada segmento entrecortado mide 5 cm, de eso se trata, trasladar la
figura la misma distancia en cada punto. También, podemos ver traslaciones de
un cuadrante a otro en el plano cartesiano.

8. |8|
Rotación geométrica
La transformación de congruencia, llamada rotación, es aquella en la que
giramos las figuras o los objetos. Les damos vuelta a todas sus partes en una
misma dirección. No cambia de tamaño ni de forma. Veamos algunos ejemplos.
Rotación de 90° - quiere decir que el giro forma un ángulo de 90°
Observa que cuando la A gira a la izquierda, su rotación es positiva. Si el
giro de A es a la derecha, su rotación es negativa. El signo significa dirección, es
decir hacia dónde va a girar la figura.
Veamos otro ejemplo.

9. |9|
Hasta el momento hablamos de transformaciones de congruencia que no
afectan el tamaño ni la forma de la figura. Sin embargo, existe una
transformación que guarda relación de congruencia, pero su tamaño es diferente.
Esta transformación se llama dilatación. La dilatación, mejor conocida como
semejanza, sucede cuando la relación entre figuras es por un factor escalar.
Dilatación o semejanza
En geometría, llamamos semejantes a aquellas figuras geométricas que
guardan la misma forma, pero tienen distintos tamaños.
En este caso, observamos que los lados tienen diferentes longitudes, pero
los ángulos guardan la misma relación. Sería interesante que pudieras ver una
plataforma digital que te ayudará a visualizar este caso. Parte de los enlaces que
aparecen al final de esta lección son herramientas digitales que te ayudarán
mucho.
Veamos la semejanza entre dos cuadriláteros cuyos tamaños son distintos,
pero sus ángulos guardan relación en sus medidas. Observa que los arcos que
señalan los ángulos significan congruencia entre las dos figuras. Identifiquemos
las conjeturas en términos de los ángulos:

10. |10|
Veamos ahora la relación de semejanza entre dos triángulos. Recuerda,
sus ángulos son congruentes y sus lados son proporcionales. Es decir, sus lados
tienen un factor escalar que nos indica la proporción de sus lados. Observa la
relación entre los lados.
𝐴𝐵̅̅̅̅ corresponde a 𝐷𝐸̅̅̅̅
𝐴𝐵̅̅̅̅ = 4 y 𝐷𝐸̅̅̅̅ = 2
La razón entre los lados es:
4
2
Por lo tanto, el factor escalar es 2.
Comprobar:
𝐴𝐵̅̅̅̅
𝐸𝐷̅̅̅̅
=
4
2
= 2

11. |11|
𝐵𝐶̅̅̅̅
𝐸𝐹̅̅̅̅
=
3
1.5
= 2
𝐶𝐴̅̅̅̅
𝐹𝐷̅̅̅̅
=
5
2.5
= 2
En conclusión, ∆𝐴𝐵𝐶 es semejante a ∆𝐷𝐸𝐹 → ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹.
Repasando
Para ver que todo tiene conexión, te recomiendo que realices las
actividades de cada lección. Verás cómo podemos aplicar los conceptos
estudiados en esta unidad.

12. |12|
Si deseas conocer más sobre las lecciones, puedes pulsar en los
siguientes enlaces:
Congruencias y semejanzas
- http://tube.geogebra.org/student/m35443
- http://tube.geogebra.org/student/m1001275
- http://tube.geogebra.org/student/m93169
- http://tube.geogebra.org/student/m124710
Referencias
Boyd, C., Burril, G., Cummins, J., Kanold, T. & Malloy, C. (1998). Geometry.
USA: Glencoe McGraw-Hill.
Larson, R., Boswell, L., Kanold, T. & Stiff, L. (2011). Geometry. USA Holt
McDougal: Houghton Mifflin Harcourt.
Prentice Hall (2011). Geometry. USA: Pearson Education.