ÁLGEBRA 1ER AÑO - A.R. CE cor asd.pdf

ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO

ÍNDICE
ÁLGEBRA
TEMAS PÁG.
TEMA 01: OPERACIONES EN Z 5
TEMA 02: OPERACIONES EN Q 12
TEMA 03: LEYES DE EXPONENTES I 19
TEMA 04: LEYES DE EXPONENTES II 26
TEMA 05: RADICACIÓN EN R 33
TEMA 06: ECUACIÓN EXPONENCIAL 40
TEMA 07: ECUACIÓN ALGEBRAICA (EA) 47
TEMA 08: GRADOS DE POLINOMIOS 54
TEMA 09: POLINOMIOS ESPECIALES 61
TEMA 10: VALOR NUMÉRICO EN POLINOMIOS 67
TEMA 11: TÉRMINO ALGEBRAICO 74
TEMA 12: OPERACIONES CON POLINOMIOS 80
TEMA 13: PRODUCTOS NOTABLES I 88
TEMA 14: PRODUCTOS NOTABLES II 94
TEMA 15: PRODUCTOS NOTABLES III 100
TEMA 16: DIVISIÓN ALGEBRAICA 106
TEMA 17: DIVISIÓN ALGEBRAICA II 115
TEMA 18: DIVISIÓN ALGEBRAICA III 122
TEMA 19: FACTORIZACIÓN I 129
TEMA 20: FACTORIZACIÓN II 136
TEMA 21: ECUACIONES142
TEMA 22: DESIGUALDADES149
TEMA 23: INECUACIONES DE PRIMER GRADO 155
TEMA 24: RELACIONES Y FUNCIONES 161

ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 5
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
44
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
I. Adición de números enteros
1. Caso: Adición de números enteros del mismo signo
Para sumar número enteros del mismo signo, se su-
man los valores absolutos y a dicha suma se le ante-
pone el signo común.
Ejemplos
a. (+100)+(+50)=+150
b. (+20)+(+5)=+25
c. (–8)+(–2)=–10
d. (–10)+(–5)=–15
2. Caso: Adición de números enteros de signos diferentes
Para sumar dos números enteros de signos diferen-
tes se halla la diferencia se le antepone el signo del
sumando que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos
a. (+200)+(–100)=+100
b. (+50)+(–30)=+20
c. (–500)+(+400)=–100
d. (–300)+(–50)=–350
Axiomas de la adición en 
En el conjunto , se cumple las siguientes propiedades:
1. Clausura
La suma de dos números enteros es otro entero.
∀ a, b ∈  → (a+b) ∈ 
Ejemplo
(+2) ∈  y (–5) ∈  → (+2)+(–5)=–3 ∈ 
2. Conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈  → a+b = b+a
Ejemplo
(–3)+(+7)=(+7)+(–3)=+4
3. Asociativa
La forma como se agrupan los sumandos no altera la
suma.
Ejemplo
(+8+–3)+–2=+8+(–3+–2)
+5 +–2=+8+ –5
+3 = +3
4. Elemento neutro
En  el elemento neutro es el cero (0), que sumado con
cualquier número entero, resulta el mismo número.
∀ a ∈  , se cumple que a+0=a
Ejemplos
(+8)+0=+8
(+10)+0=+10
5. Elemento inverso aditivo
Todo número entero tiene un opuesto que, sumado
con dicho número, resulta cero.
Ejemplos
(+8)+(–8)=0
(–200)+(+200)=0
II. Sustracción de número enteros
Para calcular la diferencia entre dos números ente-
ros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Es decir, para cualquier par de enteros a y b se cum-
ple que
a–b=a+(–b)
Ejemplos
(+5)–(+3)=(+5)+(–3)=+2
(+10)–(–3)=(+10)+(+3)=+13
III. Multiplicación de enteros
En forma general se define del siguiente modo:
( ) ( ) ( ) ( )
veces
... ;
a
a b b b b a b a +
− = − + − + + − =− ⋅ ∈ 




( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
veces
– ... ;
a
a b b b b a b a +
− =− − + − + + − = ⋅ ∈ 




01 OPERACIONES EN Z
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
6
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
45
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Regla de signos
1. (+)·(+)=+
2. (+)·(–)=–
3. (–)·(+)=–
4. (–)·(–)=+
Axiomas de la multiplicación
Tenemos las siguientes propiedades:
1. Clausura.- El producto de dos números enteros es
también otro número entero.
∀ a, b ∈ 
Ejemplo
(–4)(5)=–20
2. Conmutativa.- El orden de los factores no altera el
producto.
∀ a, b ∈  → a⋅b=b⋅a
Ejemplo
(–2)(–3)=(–3)(–2)
+6 +6
3. Asociativa.- En la multiplicación de tres o más fac-
tores, la forma como se agrupan los mismos no alte-
ra el producto.
∀ a, b, c ∈ , (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)=(a⋅c)⋅b
Ejemplo
[(–2)(4)](–3)=(–2)[(4)(–3)]=[(–2)(–3](4)
(–8)(–3) =(–2) (–12) = (+6)(4)
+24 +24 +24
4. Elemento neutro.- El elemento neutro de la multi-
plicación es el 1.
∀ a ∈ , a⋅1=a
Ejemplos
17·1=17
5. Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo núme-
ro entero multiplicado por cero, da como producto
cero.
∀ a ∈ , a⋅0=0
Ejemplos
a. 6·0=0
b. (–8)·0=0
6. Distributiva.- Sean a, b y c números enteros, enton-
ces se cumple que
a(b+c)=a·b+a·c
a(b–c)=a·b–a·c
Ejemplo
4(–3+–5)=4(–3)+4(–5)
=–12+–20
=–32
IV. División de números enteros
La división es la operación inversa de la multipli-
cación que consiste en lo siguiente: “Dado dos nú-
meros enteros llamados dividendo y divisor (este
diferente de cero), hallar un tercer número llamado
cociente, que multiplicado por el divisor, dé el divi-
dendo”.
D÷d=c→d⋅c=D, d≠0
Donde
D: dividendo; d: divisor; c: cociente
Regla de signos
1. (+)÷(+)= +
2. (–) ÷(+)= –
3. (+)÷(–) = –
4. (–) ÷(–) = +
¾ La división de un número por cero, no está de-
finido, por tanto
Número
0
= No existe
Clases de división
1. División exacta
La división es exacta cuando el resto es cero.
D÷d=c ↔ D=d⋅c ↔ D÷c=d
Propiedad
Si el dividendo y el divisor de una división exacta
se multiplican o se dividen por un mismo número
diferente de cero, el cociente no varía.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año
46
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Al simplificar la expresión
S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10))))
¿qué valor se obtiene?
Resolución
S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1))))
S=1–(2–4)–(6–(7–9))
S=1–(–2)–(6–(–2))
S=1+2–(8)
S=3–8
S=–5
Rpta.: –5
Efectúa la siguiente operación:
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
Resolución
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
=2(7+0)2
–[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1]
=2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1]
=98–8·6
=98–48
=50
Rpta.: 50
Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números
que cumplen
a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e,
g=7/f, h=8/g
Halla el producto abcdefgh.
Resolución
De la segunda relación: ab=2
De la cuarta relación: cd=4
De la sexta relación: ef=6
De la última relación: gh=8
Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8
=384
Rpta.: 384
Ejemplo
12
4
=3
¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
⇒
12(5)
4(5)
60
20
= = 3 → El cociente no
varía.
¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
12÷2
4÷2
6
2
varía.
2. División inexacta
En toda división inexacta hay un cociente, el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cocien-
te, más el residuo.
D=d⋅c+r
Cociente
Residuo
Divisor
Dividendo
1.er
Año
46
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
Al simplificar la expresión
S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10))))
¿qué valor se obtiene?
Resolución
S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1))))
S=1–(2–4)–(6–(7–9))
S=1–(–2)–(6–(–2))
S=1+2–(8)
S=3–8
S=–5
Rpta.: –5
Efectúa la siguiente operación:
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
Resolución
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
=2(7+0)2
–[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1]
=2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1]
=98–8·6
=98–48
=50
Rpta.: 50
Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números
que cumplen
a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e,
g=7/f, h=8/g
Halla el producto abcdefgh.
Resolución
De la segunda relación: ab=2
De la cuarta relación: cd=4
De la sexta relación: ef=6
De la última relación: gh=8
Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8
=384
Rpta.: 384
Ejemplo
12
4
=3
¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
⇒
12(5)
4(5)
60
20
varía.
¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
12÷2
4÷2
6
2
varía.
2. División inexacta
En toda división inexacta hay un cociente, el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cocien-
te, más el residuo.
D=d⋅c+r
Cociente
Residuo
Divisor
Dividendo
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
8
1.er
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Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Completa con
izquierda — derecha — –
∪ {0} ∪ +
¾ El conjunto  está formado por __________.
¾ Los números positivos se sitúan en la recta nu-
mérica a la __________ del cero.
¾ Los números negativos se sitúan en la recta nu-
mérica a la __________ del cero.
Resolución
2. Completa los espacios en blanco.
a. –415 es el opuesto de __________.
b. __________ es el opuesto de –57.
c. +102 es el opuesto de __________.
Resolución
3. Coloca el signo o según corresponda.
¾ –2 –9
¾ –5 1
¾ 0 –91
Resolución
4. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–7; –6; 4; 6; –1; 5; –9
0
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año
48
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Calcula las siguientes sumas:
a. (–125)+(+100) : ______________________
b. (–37)+(–13) : ______________________
c. (+79)+(–37) : ______________________
Resolución
6. Calcula las siguientes sustracciones:
a. (–128)–(–28) : ______________________
b. (–324)–(+124) : ______________________
c. (+729)–(–151) : ______________________
Resolución
7. Efectúa:
(+3)+(–5)+(–7)+(+9)+(–10)
Resolución
8. Resuelve
(+106)–(+56)+(+78)–(+94)–(–36)
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
10
1.er
49
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾ El conjunto  está formado por –
∪+
. ( )
¾ Todo número positivo es mayor que cero.( )
¾ El conjunto –
es igual al conjunto . ( )
2. Escribe el opuesto de
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Coloca el opuesto de
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
2. Escribe los signos o según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1.er
49
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
∪+
. ( )
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1.er
49
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
∪+
. ( )
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1. 2.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
49
da.
numérica:
____
___
_____
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
4. Efectúa las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Reduc
A) 35
D) 25
10. Reduc
A) –1
D) –2
11. Efect
A) 0
D) 3
12. Si a
p
calcul
A) –7
D) –8
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
2. Efect
1.er
Año
Á
lgebrA
m
Helicopráctica
Sesión II
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Redu
A) 3
D) 2
10. Redu
A) –
D) –
11. Efect
A) 0
D) 3
12. Si
calcu
A) –
D) –
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efect
Reso
1.er
Año
Sesión II
_
_
_
_
_
_
11
6
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
2.
1.
1.er
Año
50
Á
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m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
Á
lge
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
3. 5.
4.
5.
3.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
12
1.er
Año
56
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Observamos el caso de la división, por ejemplo, para los
números 8 y 4 ∈ .
8
4
=2 ∈ , pero
4
8
=0,5 ∉ 
Ya que el cociente de dos enteros no es necesariamente
entero, se tuvo que extender el conjunto de los enteros al
conjunto de los racionales.
Luego se define  como
, 0
a
a b b
b
 
= ∧ ∈ ≠
 
 
 
donde a : numerador
b : denominador
Números fraccionarios
Son aquellos números racionales que no son enteros.
Ejemplos
No son
Números
números
fraccionarios
fraccionarios
1 3 2 14 8
; ; ;
3 4 3 2 4
−
−




Interpretación gráfica de las fracciones
¿Qué significa la fracción
3
8
?
Gráficamente
3
8
Se observa
1.º El denominador indica en cuántas partes se divide el
todo.
2.º El numerador representa las partes del todo que se
toman o que se consideran.
Lectura y escritura de fracciones
Recordando
1
2
se lee: ______________________________________
2
3
se lee: ______________________________________
6
7
se lee: ______________________________________
1
10
se lee: ______________________________________
2
41
se lee: ______________________________________
______ se lee “dos veinteavos”.
______ se lee “cinco doceavos”.
Ley de signos de multiplicación y división
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + + ÷ +
 
+ +
 
− ⋅ − − ÷ −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ − + ÷ −
 
− −
 
− ⋅ + − ÷ +
 
Fracciones equivalentes
Son aquellas que tienen el mismo valor.
Se obtienen fracciones equivalentes por simplificación o
por amplificación.
Ejemplos
1. Sea la fracción
2
3
.
2×5
3×5
=
10
15
es equivalente a
2
3
.
Multiplicando por un mismo número entero al nu-
merador y denominador (amplificación).
2. Si tenemos la fracción
30 30
24
=
15
5
24
12
4
tenemos fracciones equivalentes (por simplifica-
ción):
15
12
y
5
4
.
3. Si los dos términos de una fracción tienen un divisor
común y se divide por dicho divisor, la fracción re-
sultante es equivalente a la primera.
a÷n
b÷n
=
p
q
→
a
b
=
p
q
Sea la fracción
20
36
20÷4
36÷4
=
5
9
→
20
36
=
5
9
LOS NÚMEROS RACIONALES ()
02 OPERACIONES EN Q
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
57
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
I. Adición y sustracción
Se pueden dar los siguientes casos:
A) Para fracciones homogéneas.
Ejemplo
5
7
+
3
7
–
2
7
=
5+3–2
7
=
6
7
B) Para fracciones con denominadores primos
entre sí. Se puede efectuar con el método del
aspa.
Ejemplo
3
5
7
11
3⋅11+5⋅7
5⋅11
33+35
55
68
55
+ = = =
C) Para fracciones cuyos denominadores que no
sean primos entre sí.
Primero se halla el MCM.
Ejemplo
3
4
5
12
7
6
9+5
12
14
12
+
×
÷
=
= =
7
6
MCM(4, 12) = 12
Procedimientos importantes
1. Simplificación
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente
que sea irreductible.
Simplifica
a. 24/36 b. 70/80 c. 52/36
2. Reducción a común denominador
Ejemplo
Reduzca a común denominador
5
6
;
7
12
;
3
10
⇒ MCM(6, 12, 10)=60
¾ 60 ÷ 6=10 ⇒ 10×5=50 ∴
5
6
=
50
60
¾ 60÷12=5 ⇒ 5×7=35 ∴
7
12
=
35
60
¾ 60÷10=6 ⇒ 6×3=18 ∴
3
10
=
18
60
Las nuevas fracciones son:
50
60
;
35
60
y
18
60
.
II. Multiplicación
Para multiplicar números racionales se multiplican
los numeradores y los denominadores separadamente.
Ejemplo
4 11 5 3
20 8 22 2
    
− −
  
  
  
  
Simplificando
4
−
1
20
5
11
 
 
 
 
 
1
5
8 22
 
 
 
 
2
3 1
2 5
  
− =−
 
 
 
 
  1
1 5
8
  
 
 
 
 
 
1
3
2 2
 
  
−
  
  
=
(–1)⋅1⋅1⋅(–3)
1⋅8⋅2⋅2
=
3
32
Si hay números racionales negativos debes multipli-
carlos teniendo en cuenta la ley de signos.
III. División
Para dividir dos números racionales, se multiplica el
primero por el inverso del segundo.
Ejemplo
6 3 6
4 5
−
 
− ÷ =
 
 
2
5
4 3
×
1
10 5
4 2
=
− =
−
Otra forma (extremos y medios)
ad
bc
a
b
c
d
=
Producto de extremos
Producto de medios
Ejercicios
¾
2
5
3
4
¾
5
9
8
27
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Sabíasque...
Cuando una fracción es irreductible esta se forma como
representante canónico del número racional.
25
10
→
25÷5
10÷5
=
5
2
⇒ Fracción irreductible
Es decir el par (5; 2) es el representante.
Observación
1
5
16
15
= 3 Número mixto 16 5
1 3
5
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
14
1.er
Año
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Efectúa:
3 3 1 3
5 2 3 2
 
− + −
 
 
Resolución
Operando el paréntesis
6 15 1 3
10 3 2
−
 
+ −
 
 
Luego
–
9
10
+
1
3
–
3
2
=
–27+10–45
30
=–
31
15
Rpta.: –
31
15
2. Determina el valor de
2 1
4
3 5
1 3
1
15
 
−
 
×
 
 
−
 
 
Resolución
Efectuando numerador y denominador del corchete
10 3
4
15
14 3
15
−
 
 
×
 
 
 
 
Luego se tiene
7
4 7
15
14 3
15
 
 
× =
 
 
 
 
1
15
⋅
15 14
⋅
2
4
3
×
Finalmente
1
2
1
4
×
2
2
3 3
=
Rpta.:
2
3
Si
1
n+5
=4, entonces
1
n+6
es
Resolución
Como
1
n+5
=4, entonces n+5=
1
4
; luego
n+6=1+
1
4
=
5
4
, de donde finalmente deducimos
que
1
n+6
=
4
5
.
Rpta.:
4
5
Helicopráctica
Sesión I
1. Efectúa
3
7
–
2
7
+
5
7
+
1
7
Resolución
2. Halla el valor de M.
M=
1
2
–
3
4
Resolución
1.er
Año
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Efectúa:
3 3 1 3
5 2 3 2
 
− + −
 
 
Resolución
Operando el paréntesis
6 15 1 3
10 3 2
−
 
+ −
 
 
Luego
–
9
10
+
1
3
–
3
2
=
–27+10–45
30
=–
31
15
Rpta.: –
31
15
2. Determina el valor de
2 1
4
3 5
1 3
1
15
 
−
 
×
 
 
−
 
 
Resolución
Efectuando numerador y denominador del corchete
10 3
4
15
14 3
15
−
 
 
×
 
 
 
 
Luego se tiene
7
4 7
15
14 3
15
 
 
× =
 
 
 
 
1
15
⋅
15 14
⋅
2
4
3
×
Finalmente
1
2
1
4
×
2
2
3 3
=
Rpta.:
2
3
Si
1
n+5
=4, entonces
1
n+6
es
Resolución
Como
1
n+5
=4, entonces n+5=
1
4
; luego
n+6=1+
1
4
=
5
4
, de donde finalmente deducimos
que
1
n+6
=
4
5
.
Rpta.:
4
5
Helicopráctica
Sesión I
1. Efectúa
3
7
–
2
7
+
5
7
+
1
7
Resolución
M=
1
2
–
3
4
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
59
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
3. Efectúa
B=2
1
5
+3
2
5
Resolución
4. Calcula C+D si
C=2+
11
7
y D=
3
7
–3
Resolución
5. Halla el valor de Q.
Q=2
1
3
–
5
9
Resolución
6. Calcula M+N si
M=
1
5
–
1
2
y N=
3
4
+
1
2
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
16
1.er
Año
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
4. Halla el valor de N.
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
5. Halla el valor de
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
1.er
Año
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
1.er
Año
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
61
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Calcula A+B si
A=1+
4
3
y B=
2
3
–4
A) –
19
12
B)
7
4
C) –
10
3
D)
21
12
E) –1
8. Resuelve
M= –
3
5
+
1
2
+ –
1
3
–
1
2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
lgebrA
m
AtemÁtiCA
3 3
A) –
19
12
B)
7
4
C) –
10
3
D)
21
12
E) –1
5 2 3 2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
1.
61
m
AtemÁtiCA
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
2.
Á
lgebrA
10
3
8. Resuelve
M= –
3
5
+
1
2
+ –
1
3
–
1
2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
2
4
15
14
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
8 14 11
3.
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
4.
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
Nivel III
9. Efectúa
A=
3
5
+
9
7
+
1
3
+
2
3
+
2
5
–
2
7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Efectúa
N=
7
12
+
2
3
+
9
5
+
5
12
–
2
3
+
1
5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
11. Efect
A)
8
17
D)
7
10
12. Efect
A) 1
D) –
1. Reduce
2 7 1 1
L
5 10 2 5
 
 
= + − −
 
 
 
 
Resolución
2. Calcu
Resol
5.
61
m
AtemÁtiCA Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
18
1.er
Año
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
Nivel III
9. Efectúa
A=
3
5
+
9
7
+
1
3
+
2
3
+
2
5
–
2
7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Efectúa
N=
7
12
+
2
3
+
9
5
+
5
12
–
2
3
+
1
5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Desafío helicoidal
11. Efectúa
5
6
1
9
+
1
2
1
18
–
A)
8
17
B)
7
8
C)
8
7
D)
7
10
E)
5
12
12. Efectúa
1
6
1
3
–
5
2
÷
1
3
1
2
+
A) 1 B) 2 C) –2
D) –
1
2
E) 5
1. Reduce
2 7 1 1
L
5 10 2 5
 
 
= + − −
 
 
 
 
Resolución
2. Calcula M+N si
M=
3
5
×
5
4
×
–4
7
y N=
9
8
×
–8
3
×
4
3
×
1
7
Resolución
61
m
AtemÁtiCA
7
+
7
–
7
+
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
T=3
5
–
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año
68
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Este capítulo comprende una operación importante: la
potenciación.
1. Potenciación
Operación que consiste en multiplicar un número
llamado base tantas veces como factor, como lo in-
dica otro número llamado exponente, para obtener
otro número llamado potencia, así tenemos
bn
=P, b ∈ , n ∈ , P ∈ 
Donde b: base
n: exponente natural
P : potencia
Ejemplos
2×2×2×2×2 = 25
= 32
5 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
3×3×3×3 = 34
= 81
4 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
Ley de los signos en la potenciación
(*) (BASE POSITIVA)PAR
= +
Ejemplo
¾ (+2)4
= + 24
↓
(+24
) = 16
(*) (BASE POSITIVA)IMPAR
= +
Ejemplo
¾ (+2)5
= + 25
↓
(+2)5
= 32
(*) (BASE NEGATIVA)PAR
= +
Ejemplo
¾ (–2)6
= +26
↓
(–2)6
= 64
(*) (BASE NEGATIVA)IMPAR
= –
Ejemplo
¾ (–2)5
= –25
↓
(–2)5
= –32
Debes tener presente lo siguiente:
1. 1n
= 1 con n ∈ 
Ejemplo
¾ 123
= 1
2. (–1)PAR
= 1
Ejemplo
¾ (–1)16
= 1
3. (–1)IMPAR
= –1
Ejemplo
¾ (–1)17
= –1
4. 0n
= 0 con n ∈ +
– {0}
Ejemplo
¾ 017
= 0
Para realizar diversas operaciones a través de la po-
tenciación es necesario recordar las potencias más
usuales.
Potencias más usuales
EN
BASE 2:
EN
BASE 3:
EN
BASE 4:
EN
BASE 5:
EN
BASE 7:
21
=2 31
=3 41
=4 51
=5 71
=7
22
=4 32
=9 42
=16 52
=25 72
=49
23
=8 33
=27 43
=64 53
=125 73
=343
24
=16 34
=81 44
=256 54
=625 74
=2401
25
=32 35
=243 45
=1024 55
=3125
26
=64 36
=729
27
=128
28
=256
29
=512
210
=1024
LEYES DE EXPONENTES
03 LEYES DE EXPONENTES I
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
20
1.er
69
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
2. Definiciones (principales exponentes)
2.1. Exponente cero
b0
=1, ∀b ∈  ∧ b ≠ 0
Ejemplos
¾ 70
=1
¾ (5x)0
=1
00
=Indefinido
Como número real no existe.
Ejemplo
(9–9)0
=00
→ INDEFINIDO
2.2. Exponente uno
b1
=b, ∀b ∈ 
¾ Caso particular:
; , 0
n n
a b
a b
b a
−
   
= ≠
   
   
• 2–3
=
1
22 =
1
8
• 6–3
=
1
63 =
1
216
También
•
2 2
2 3 9
3 2 4
−
   
= =
 
 
 
 
•
3 3
5 6 216
6 5 125
−
   
= =
   
   
Recíprocamente
•
1
2
=2–1
•
1
23 =2–3
Recuerda
El exponente uno ya no se escribe, se sobreen-
tiende.
Ejemplos
¾ 81
=8
¾ 5=51
2.3. Exponente de exponente (cadena de expo-
nente)
abcde
Para desarrollar se toma los 2 últimos términos
(base y exponente), luego se va transformando
de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los
términos.
Ejemplos
¾ 4
32
=49
=262 144
¾ 2
32170
= 2
321
= 2
32
= 2
9
= 512
2.4. Exponente negativo
b–n
= , b≠0
1
bn
Observación
Si
n ∈ , 0–n
no está definido.
Es decir
0–1
; 0–5
; 0–12
...
no está definido como números reales.
Sabíasque...
Es conveniente indicar la diferencia entre
–34
y (–3)4
El exponente no
afecta al signo.
⇒ –34
= –81
Ejemplos
¾ –24
=–2×2×2×2=–16
¾ (–2)4
=(–2)(–2)(–2)(–2)=16
El exponente si afecta al signo,
porque hay paréntesis.
¾ –3–2
=–
1
32 =–
1
9
¾ –
1
7
–2
=(–7)2
=49
¾ (– 2)0
=1
¾ –70
=–1
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año
70
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
M= 5
0
–4–2
+(–4)–2
+5⋅ 6
0
Resolución
¾ Hallamos por separado cada expresión
5
0
=1
4–2
=
1
42 =
1
16
(–4)–2
=
1
(–4)2 =
1
16
6
0
=1
¾ Ahora reemplazamos los valores obtenidos
M=1–
1
16
+
1
16
+5(1)
M=1+5
M=6
Rpta.: 6
2. El valor de
 
 
 
–1
1
1
1
2
es
Resolución
Por exponente negativo
–1
1 1
2
1 1
2
1
2
= =
 
 
 
=2
Rpta.: 2
3. Calcula
K=23702008
+2(–1)27
+3(–1)34
Resolución
1.º Hallamos
23702008
= 2370
= 231
= 23
=8
2.º Hallamos
¾ 2(–1)27
=2(–1)=–2
(Todo número negativo elevado a un número
impar resulta siempre negativo).
¾ 3(–1)34
=3(+1)=3
(Todo número negativo elevado a un número
par resulta siempre positivo).
3.º Reemplazamos los valores obtenidos
K=8+(–2)+3
K=8–2+3
K=9
Rpta.: 9
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
22
1.er
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
N=70
+91
–150
–41
Resolución
2. Efectúa
R=(–68)0
+7x0
– 2
0
+(7x)0
, x≠0
Resolución
3. Efectúa
B=(1,72)0
–(7 5)0
+(7,25)0
Resolución
4. Efectúa
S=52
+24
–62
–90
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año
72
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Calcula
Q=72
+82
–53
Resolución
6. Reduce
10x0
+6(x+y)0
–30
+5x0
, x≠0
Resolución
A=(–2)4
+(–3)3
–(–5)3
Resolución
B=–(–1)18
–(–1)23
–(–6)2
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
24
1.er
73
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
M=20
+51
–70
–31
A) 2 B) 0
C) 1 D) 4
E) 3
2. Calcula
Q=(–20)0
+5a0
–100
+(5a)0
A) 6 B) 0
C) –1 D) 5
E) 2
Nivel II
3. Efectúa
A=–(0,85)0
–(6 11)0
+(2,18)0
A) –1 B) –2
C) 0 D) –3
E) 2
4. Efectúa
T=42
+33
–25
+70
A) 12 B) 44
C) –32 D) 27
E) 21
5. Calcula
P=34
+43
–24
–33
A) 102 B) 145
C) –43 D) 16
E) 154
Nivel III
6. Reduce
E = 2x0
+6(x+y)0
5x0
–30
, x≠0 y x+y≠0
A) 2 B) x
C) 8 D) 1/4
E) 28
M=–(–7)3
+(–5)3
–(–6)2
A) 182 B) 218
C) 36 D) –125
E) 28
R=(–1)100
–(–1)80
+(–6)2
A) 36 B) 38
C) –35 D) 100
E) 10
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
74
Á
lg
m
AtemÁtiCA
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
74
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
74
m
AtemÁtiCA
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
74
Á
lgebr
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
74
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
1.er
Año
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
26
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
52
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Aquí mencionamos las leyes que rigen a los exponentes
de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las
diversas expresiones.
bm.bn
= bm+n
bx.by.bz.bw
= bx+y+z+w
En forma extensiva
TEOREMA 1: Multiplicación de bases iguales.
Ejemplos
¾ x2.x.x3
= x2+1+3
= x6
¾ a0,2. a0,7.a0,1
=
¾ 2x .23 .25
=
¾ b1/2.b3/2.b5/2.b1/2
=
Recíprocamente
¾ 4x+5
= 4x .45
¾ ax+1
=
¾ 10a+b+2
=
TEOREMA 2: División de bases iguales.
, b≠0
m
m n
n
b
b
b
−
=
¾ 5
2
2
x
= 2x–5
¾
5
2
x
x
=
¾
2009
2006
( 5)
( 5)
−
−
=
Sabíasque...
Si se tiene que
luego obtenemos
m n
m n p q
p q
b
b
b
−
− − +
−
=
( )
m n
m n p q m n p q
p q
b
b b
b
−
− − − − − +
−
= =
Regla práctica
“La base resultante lleva como exponente una forma par-
ticular, donde el exponente del numerador mantiene su
exponente, mientras el exponente del denominador va a
pasar con signos opuestos”.
Ejemplos
¾
1
1 1 2
1
2
2 2 4
2
x
x x
x
+
+ − +
−
= = =
¾
2 7
2 9
3
3
x
x
−
−
=
¾
7 4 7 4
5 2
2 2 2 2
x y x y
x y
y x x y
= ⋅ =
¾
15 8
10 9
a b
b a
=
¾
7 4
7 5 2
x yz
z y x
=
(bm
)
n
=bm.n
En forma extensiva
TEOREMA 3: Potencia de una potencia.
( )
q
p
n
m m n p q
b b ⋅ ⋅ ⋅
 
 
  =
 
 
 
 
 
LEYES DE EXPONENTES II
04 LEYES DE EXPONENTES II
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
53
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾ (x3
)–5
= x(3)(–5)
= x–15
¾ (a–4
)–2
=
¾ (xa
)3
=
¾ ( )
47
0
5
3
2
−
 
 
 
 
 
 
 
 
=
Recíprocamente
¾ x3m
= (x3
)m
¾ 32x
=
¾ a15
=
Observación
Si se tiene (bm
)
n
= bm.n
(bn
)
m
= bn.m
→ (bm
)
n
= (bn
)
m
Ejemplos
¾ ( ) ( )
3 3
2 2 8
x
x x
= =
¾ (xn
)m
=
¾ ( )
2
3
x
=
(am.bn
)p =am.p.bn.p
(am.bn.cq
)p =am.p.bn.p.cq.p
En forma extensiva
TEOREMA 4: Potencia de un producto.
Ejemplos
¾ (2x3
y2
)
3
= 2(1)(3).x(3)(3) .y(2)(3)
= 8x9
y6
¾ (2x4
)
4
=
¾ (3m2
n3
p–5
)
2
=
Recíprocamente
¾ 2x.ax
= (2a)x
¾ 2a. 3a .5a
=
¾ a2x .y3x.z4x
=
, 0
p
m m p
n n p
a a
b
b b
⋅
⋅
 
= ≠
 
 
TEOREMA 5: Potencia de un cociente.
Ejemplos
¾
5
2 2 5 10
3 3 5 15
x x x
y y y
⋅
⋅
 
= =
 
 
¾
2
3
x
  =
 
 
¾
3
2
2
3
x
a
 
=
 
 
¾
3
5
2
a
b
 
=
 
 
Recíprocamente
¾
5
5
5
x x
y
y
 
=  
 
¾
5
3
x
x
=
¾
6
3
a
a
=
Nota
No confundir (bm
)n
con bmn
, pues
(bm
)n
≠ bmn
, ∀m≠0
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
28
1.er
Año
54
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. SiK=
0 2
4
2 4
7
3 2
 
+ +
 
 
y M=
1 1
2
2 K
K (1 K) ,
27
−
 
+ − +  
 
el valor de M+K es
(ONEM 2006 NIVEL 3)
Resolución
K = 7+1+
16
K 9
16
→ =
M =
1 1
2
2 9
9 (1 9)
27
−
 
+ − +  
 
M =
1
2 2
2 27
(3 ) ( 8)
9
 
+ − +  
 
M = 3+64 +3 → M = 70
∴ M+K= 70+9= 79
Rpta.: 79
2. Simplifica
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 2
2 2 2 2
n n n n
n n n n
+ + + +
− − − −
+ + +
+ + +
(ONEM 2006 NIVEL 3)
Resolución
Factorizando la potencia de menor exponente en el
numerador y denominador
1 0 1 2 3 1
1 4 5
4 3 2 1 0 4
2 (2 2 2 2 ) 2
2 2 32
2 (2 2 2 2 ) 2
n n
n n
n n
+ +
+ − +
− −
+ + +
= = = =
+ + +
Rpta.: 32
3. Simplifica
1 2 1 2
3
2 4 8
M
(2 ) 16
n n n
n
+ − + − +
−
⋅ +
=
⋅
Resolución
Expresando las potencias en función de la base 2.
1 2 2 1 3 2
3
2 (2 ) (2 )
M
(2 ) 16
n n n
n
+ − + − +
−
⋅ +
=
⋅
1 4 2 3 6 1 4 2 3 6
3 3
2 2 2 2 2
M
2 16 2 16
n n n n n n
n n
+ − + − + + − + − +
− −
⋅ + +
= =
⋅ ⋅
3 3 3 6 3 3 3 6
3 3
2 2 2 2 2 2
M
16 2 16 2
n n n n
n n
− + − + − −
− −
+ ⋅ + ⋅
= =
⋅ ⋅
3 3 3
3
8 2 64 2 72 2
M
16 2
n n
n
− − −
−
⋅ + ⋅ ⋅
= =
⋅ 3
16 2 n
−
⋅
72 9
M
16 2
= =
Rpta.:
72 9
M
16 2
= =
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
55
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Simplifica
R = a7.a.a–4 .a–5
Resolución
2. Reduce
2 3 4 5 6 7
2 4 6 8
M
x x x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
Resolución
3. Simplifica
T = (y4.y–3.y2.y)
3
Resolución
4. Reduce
3 4 4
5 3 2
2 5
4 2
( ) ( ) ( )
W
( ) ( )
b b b
b b
−
⋅ ⋅
=
⋅
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
30
1.er
Año
56
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Reduce
2
4
3 2 7 4 4
2
6 3
( ) ( )( )
Q
( )
m n m n m n
m n
− −
=
Resolución
6. Reduce
4 5
4
3
2 3 4
2 31
5 2
(3 ) (3 ) 3
A
3 (3 )
   
⋅ ⋅
   
=
⋅
Resolución
7. Reduce
2 2 2 2
5 5 5 5
(70 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Resolución
8. Reduce
1 1 1
3 3 3
2 3 5
B
2 3 5
− − −
− − −
= + +
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Simplifica M= x. x3.x4 .x–7
.
A) 1 B)
2
x
C) 2x
D) x E) 2
2. Reduce
27 veces
25 veces
...
Q
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅








A) 1 B) x2
C) 2x
D) –2x E) 0
Nivel II
3. Simplifica A= (m3.m–1.m5
)
5
.
A) m B) x35
C) m35
D) x E) 35m
4. Reduce
2
5
4 3
3
2
6 4
( ) ( )
K , 0
( ) ( )
x x
x
x x
⋅
= ∀ ≠
⋅
A) 2x B) x2
C) x
D) x6
E)
2
x
5. Reduce
2 3
3 2 6 2 4 3
3
2 3
( ) ( )( )
K
( )
x y x y x y
x y
− −
=
A) x6
y2
B) xy2
C) x2
y6
D) (xy)6
E) xy
Nivel III
6. Indica el exponente final de a al reducir
R =
2 2
4 3 5 4 4 4 8
( )
a a a a a a a
 
⋅ ⋅ ÷ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
A) 10 B) a10
C) a
D) 10a E) a/2
7. Reduce
3 3 3 3
4 4 4 4
(30 factores)
...
S
(20 factores)
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A) 10 B) 1 C) x
D) x10
E) 0
8. Reduce
2010 2011 2001
2008 2008 1999
2 3 6
R
2 3 6
= + −
A) –5 B) 4 C) 0
D) 2001 E) –1
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
32
58
Á
l
m
AtemÁtiCA
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
58
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
A) 1
D) y
11. Reduc
A) 25
D) 16
12. Reduc
A) 1/2
D) 62
58
Á
m
AtemÁtiCA
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









1.er
Año
Á
lgebrA
m
AtemÁ
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
x x x
−
− −
 
 
=
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
1.er
Año
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
1.er
Año
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
(xy2
)(xy2
)...(xy2
)
xy2
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
65
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Las siguientes leyes están dadas para la transformación
de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Radicación
Es aquella operación algebraica, que consiste en ha-
llar una cantidad llamada raíz, de tal manera que
dicha raíz elevada al valor del índice nos reproduce
al radicando (o cantidad subradical).
ALGORITMO
Donde: n∈, n ≥ 2
__________ __________
__________
__________
n
n
a b b a
= ↔ =
Ejemplos
¾
3
3
8 2 2 8
= ↔ =
¾
3
125 =
¾ 5
32 =
2. Definición
DEFINICIÓN: Exponente fraccionario.
m,n∈ ∧ n ≥ 2
m
n n m
b b
=
Ejemplos
¾
1
2
2
49 49 7
= =
¾
2
3
x =
¾ 2
x y
z
+
=
3. Ley de signos
Ejemplo Ejemplo
impar
( ) ( )
+ = + impar
( ) ( )
− = −
3
27 = 3
8
− =
Ejemplo
4
16 =
Ejemplo
par
( ) ( )
+ = + par
( )
− ∉ 
3
− ∉ 
TEOREMA 1: Potencia de una raíz.
( ) , 2
p
n n
m m p
b b n
⋅
= ≥
Ejemplos
¾ ( )
5
3 (3)(5) 15
x x x
= =
¾ ( )
2
3 n
x =
¾ ( )
3
2
a y
x =
Ejemplos
¾
1
2
4 4 2
= =
¾
1
3
27 =
¾
1
5
( 32)
− =
RADICACIÓN EN 
Sabíasque...
Si se tiene
luego para fines prácticos
m m
m
n m n
n n
b b b b
→ = =
1
1. Si 1
2. Si 1
n
n
m
m
n
n
m b b
m b b
° =→ =
° ≠ → =
05 RADICACIÓN EN R
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
34
1.er
Año
66
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
3 3
x x
=
¾ 3
x x
=
¾
2
5 =
Ejemplos
¾ 3 3
5 5 3
2 2 32
x x
= =
¾ 2
3
n n
=
¾ 6 4
x =
n n
x y x y
n
a b a b
⋅ = ⋅
TEOREMA 2: Raíz de una multiplicación.
En forma extensiva
n n n n
x y z x y z
a b c a b c
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Ejemplos
¾
y
x
x y x y
x x x
x y x y x y
⋅ = ⋅ = ⋅
¾
5 10 5 20
a b c =
¾
2 8
x y z =
Recíprocamente
¾
2 2
3 3 3
x y x y
⋅ = ⋅
¾ 2 5
⋅ =
¾
5 5 5
2 7 6
x x x
⋅ ⋅ =
TEOREMA 3: Raíz de una división.
, 0
n
x x
n
y n y
a a
b
b b
= ≠
Ejemplos
¾
3
7 7
3
3
x x
y y
=
¾
2
x
x x
=
Recíprocamente
¾
3 3
4
4
x
x
x
=
¾
5 7
5 2
x
x
=
TEOREMA 4: Raíz de raíz.
En forma extensiva
n m n m
k k
b b
⋅
=
N N
a b c d e a b c d e
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Sabíasque...
Si
m
m
n n
b b
= y hacemos m =n, se tendrá
∴
n
n
b b
= , ∀ b ≥ 0
1
n
n
n n
b b b b
= = =
Recuerda
Siempre que b ≥ 0 ∧ m, n, k ∈, se cumple, dadas las si-
guientes formas:
Primera forma
mk m
nk n
mk m
nk n
b b b b
= = =
→ nk n
mk m
b b
=
Segunda forma
1
k
nk k n
nk n
b b b b
= = =
→ nk k n
b b
=
Tercera forma:
nk
k nk n
k
b b b
= =
→
k nk n
b b
=
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
67
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
( )(3)
3 3
2 2 2
x
x x
x x x
= =
¾
5 4 3 120
2 =
Propiedad
¾ ( )
p mnp
y z
m n
w wn y p z
b b b b + +
=
× ×
+ +
Ejemplo
¾ (3)(5)(2)
3 30
5
2 4 (10 4)2 1 29
x x x x x
+ +
= =
Problemas resueltos
1. Calcula
( )
2
1 3 2
3
2 8
4 4
4 2
−
 
    +
 
   
   
 
 
(ONEM 2005 NIVEL 3)
Resolución
( )
2
1 2
3 3
1
4 4 2
2
−
 
  ⋅ + ⋅ =
 
 
 
 
 
( )
2 2
3 3
1
4 8
2
−
  ⋅ + =
 
 
22.(22
)
3
+22
=
22.26
+22
=
28
+4 =
256+4 =
260
Rpta.: 260
2. Si x1, reduce
1 1 1
1
1 1 1
3 4 6
4 6 8
x x x
x
x x x
− − −
−
− − −
+ +
+ +
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el
numerador y denominador por 24x–1
.
1 1 1 1
1 1
1 1 1
24 (3 4 6 )
1 1 1
24
4 6 8
x x x x
x x
x x x
− − − −
− −
− − −
+ +
 
+ +
 
 
Efectuando en el denominador
1 1 1 1
24 3 4 6
x x x x
− − − −
+ +
( )
1 1 1
6 4 3
x x x
− − −
+ +
1 1
1 24 24
x x
x − −
− = =
Rpta.: 24
3. Reduce
9 9
3
x y x y
x y
x y x y
− −
− +
+
Resolución
2 2 2
3 3 3 3
3 3 3
y y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
2
− − − −
+ + +
− − −
+
= +
1 1
3 3
3
3
x y
x y
x y
x y
+
+
−
−
= + =
+
10
3
=
Rpta.:
10
3
=
1.er
67
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
( )(3)
3 3
2 2 2
x
x x
x x x
= =
¾
5 4 3 120
2 =
Propiedad
¾ ( )
p mnp
y z
m n
w wn y p z
b b b b + +
=
× ×
+ +
Ejemplo
¾ (3)(5)(2)
3 30
5
2 4 (10 4)2 1 29
x x x x x
+ +
= =
Problemas resueltos
1. Calcula
( )
2
1 3 2
3
2 8
4 4
4 2
−
 
    +
 
   
   
 
 
(ONEM 2005 NIVEL 3)
Resolución
( )
2
1 2
3 3
1
4 4 2
2
−
 
  ⋅ + ⋅ =
 
 
 
 
 
( )
2 2
3 3
1
4 8
2
−
  ⋅ + =
 
 
22.(22
)
3
+22
=
22.26
+22
=
28
+4 =
256+4 =
260
Rpta.: 260
2. Si x1, reduce
1 1 1
1
1 1 1
3 4 6
4 6 8
x x x
x
x x x
− − −
−
− − −
+ +
+ +
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el
numerador y denominador por 24x–1
.
1 1 1 1
1 1
1 1 1
24 (3 4 6 )
1 1 1
24
4 6 8
x x x x
x x
x x x
− − − −
− −
− − −
+ +
 
+ +
 
 
Efectuando en el denominador
1 1 1 1
24 3 4 6
x x x x
− − − −
+ +
( )
1 1 1
6 4 3
x x x
− − −
+ +
1 1
1 24 24
x x
x − −
− = =
Rpta.: 24
3. Reduce
9 9
3
x y x y
x y
x y x y
− −
− +
+
Resolución
2 2 2
3 3 3 3
3 3 3
y y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
2
− − − −
+ + +
− − −
+
= +
1 1
3 3
3
3
x y
x y
x y
x y
+
+
−
−
= + =
+
10
3
=
Rpta.:
10
3
=
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
36
1.er
Año
68
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
¾
3
729 9
= ( )
¾ 25 5
− =
− ( )
¾
4
4
6
6
12
2
6
= ( )
2. Si se tiene que 61/2
; –81/5
y 52/3
, determina sus radi-
cales equivalentes.
Resolución
3. Calcula
9
11 11 9
A 6 2 5
= + ⋅
Resolución
5
4 10
C 7 10
= −
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
69
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Simplifica
5
6 15
U 25 32
x x
= + −
Resolución
6. Calcula
3
3 3
3
54
R 3 9
2
= + ⋅
Resolución
7. Calcula
3 3
5 4
A 32 16
= −
Resolución
8. Reduce
12 17
5
2 7
32x y
x y
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
38
1.er
Año
70
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
¾
3
27
− = –3 ( )
¾ 900 300
= ( )
¾ 16 4
− =
− ( )
2. Si se tiene que
1
1 1
3
2 4
5 ; ( 9) y 10
− , indica la alterna-
tiva que contenga los equivalentes radicales.
A)
3 3
5; 9 y 10
−
B)
4
3
5; 9 y 10
−
C) 3 4
5; 9 y 10
−
D) 5; 9 y 10
−
E) N.A.
Nivel II
3. Calcula
3 5
3 5
A 4 7
= ⋅ .
A) 25 B) 3 C) 11
D) 28 E) 8
3
3 6 6
R 3 4
= +
A) 9 B) 16 C) 25
D) 36 E) 7
5. Simplifica
E =
4
8 16
4 16
x x
+
A) x4
B) 4x4
C) 4x2
D) 16x4
E) 4x
Nivel III
6. Calcula
3 3
N 2 4 7 7
= ⋅ − ⋅
A) –5 B) –4 C) 7
D) –3 E) 8
7. Calcula
Z = 645/6
– 813/4
A) 1 B) 2 C) 5
D) 3 E) 8
8. Reduce
20 12
4
16 4
81x y
x y
A) 3xy2
B) 3xy C) xy2
D) 3x2
y E) 3x
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
71
gebrA
m
AtemÁtiCA
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
1.er
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
71
m
AtemÁtiCA
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
71
gebrA
m
AtemÁtiCA
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
1.er
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
Á
lgebrA
orresponda.
( )
( )
( )
VFF
50
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
1.er
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
m
AtemÁtiCA
¾ 8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
D) –6
8. Reduce
A) 3a2
D) 3a6
9. Calcul
A) 1/2
D) 3/4
10. Halla e
A) 6
D) 2
11. Calcul
A) 2
D) 5
12. Reduce
A) 1
D) 8
1.er
Á
lgebrA
A
Autoevaluación
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
b
b
b
+
+
=
1.er
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
40
1.er
Año
78
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Definición
Son aquellas ecuaciones que se caracterizan porque la in-
cógnita se ubica en el exponente.
I. Primer caso
Es de la forma
bx
= bn donde: b≠0, b≠1
Para hallar el valor de x se utiliza el siguiente prin-
cipio:
Principio
“A bases iguales se tiene exponentes iguales”.
Si bx
= bn
→ x=n, b≠ 0 ∧ b≠ 1
Ejemplo
Si 54
=5x
Si
3
1 1
2 2
x
   
=
   
   
x = __________ x = __________
Dentro de este primer caso se presentan los siguien-
tes subcasos:
I.a. Ecuación exponencial en su forma simple
Es cuando las bases se expresan en su forma
simple o se tiene la presencia de potencias.
Ejemplo
Halla el valor de x en
22x+1
= 32
Resolución
Expresando el 32 como potencia de 2.
22x + 1
= 25
Por principio
2x + 1 = 5
2x = 4
x = 2
I.b. Ecuación exponencial con exponentes sucesivos
Son ecuaciones donde las bases presentan ex-
ponentes sucesivos. Para resolverlas debemos
transformarlas hasta conseguir bases iguales.
Ejemplo
3 2 7 1
8 2
4 2
x x
+ −
=
Resolución
Llevando a bases iguales
3 2 7 1
2 8 2
(2 ) 2
x x
+ −
=
Operando
3 2 7 1
2 8 2
2 2
x x
+ −
⋅
=
Por principio
2.83 + 2x
= 27x–1
Nuevamente llevando a bases iguales
21.(23
)3+2x
= 27x–1
Luego
21+9+6x
= 27x – 1
Por principio
10 + 6x = 7x – 1
10+1 = 7x – 6x
11 = x
I.c. Ecuación exponencial con radicales
Son ecuaciones donde aparece, por lo menos,
un radical. Aquí es necesario aplicar las leyes
de exponentes para eliminar el operador radical
y lograr transformar a bases iguales.
Ejemplo
Resuelva
( )
2
3
3 243
x+
=
Resolución
Transformando a bases iguales
( )
2
3 3 6 5
3 3 3
x x
+ +
= =
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Para resolver este primer caso debemos llevar a bases
iguales los miembros de la ecuación.
Nota
06 ECUACIÓN EXPONENCIAL
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
79
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Por exponente fraccionario
3 6
5
2
3 3
x+
=
Por principio se tiene
3 6
5
2
x +
=
3x+6 = 10
4
3
x =
I.d. Ecuación exponencial con adición o multipli-
cación de bases iguales
Para resolver este tipo de ecuaciones se apli-
cará las leyes de exponentes para generar una
potencia común y luego aplicar el principio.
Ejemplo
2x+5
– 2x+3
– 2x+1
= 176
Resolución
Descomponiendo los exponentes
2x.25
–2x.23
–2x.2 = 176
Factorizando 2x
2x
(25
–23
–2) = 176
2x
(22) = 176
2x
= 8
2x
= 23
Por principio
x = 3
I.e. Ecuación exponencial de bases diferentes
En este tipo de ecuación, al reducirse se llega
a bases diferentes, lo cual hace necesario que
los exponentes sean iguales a cero para que la
igualdad se cumpla.
Ejemplos
23x – 6
= 7x – 2
Resolución
Observamos que para que se cumpla la igual-
dad necesariamente
3x – 6 = 0 ∧ x – 2 = 0
3x = 6 ∧ x = 2
x = 2
II. Segundo caso
Es de la forma
Por comparación
→ f(x) = b
b ≠ 0 ∧ b ≠ 1
( )
( )f x b
f x b
=
Ejemplos
xx
= 27
Resolución
En el primer miembro la base es igual al exponente,
entonces, buscamos la misma relación en el segundo
miembro.
xx
= 27
xx
= 33
Por comparación
x = 3
II.a. Ecuación exponencial de la forma especial:
n n
n n
=
n
x
x n
x n x n
= → =

Ejemplos
6
6
x
x =
Métodos de resolución
1.er
Método
Trabajando el segundo miembro
6
6
x
x =
Pero 6 es igual a
6 6
6 y así tenemos
6
6
6 6
6
6
x
x =
Por comparación
6
6
x =
2.º Método
Aplicando la propiedad
n
x
x n
x n x n
= → =

6
6
x
x = , n = 6
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
42
1.er
Año
80
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Si x1, verifica
3
4
3 4
1/
1
n
x
x
x x
 
=  
 
halle el valor de
3
4
n +
.
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
Operando por partes
1
4 3
1 1 1 1
4 3 x
x x x x
x
−
− − − −
⋅ = ⋅ ⋅
4 3 2 ( 3 1)2 1
x
⋅ ⋅ − − −
=
3
24 9 8
x x
−
−
= =
3 2 3 4
4 24
n
n n
x x x
−
⋅ ⋅
− −
= =
Igualando
3
8 24
n
x x
−
= a bases iguales tenemos
3
8 24
n
− =
−
n = 9
Piden:
3 9 3 12
3
4 4 4
n + +
= = =
Rpta.: 3
2. Halla los valores enteros de m y n que cumplen
2m
+3n
= 3n+2
– 2m+1
Dé como respuesta el valor de m+n.
(ONEM 2006 NIVEL 2)
Resolución
2m
+2.2m
= 3n .32
– 3n
3.2m
= 8.3n
3 1
3 1
2 3
2 3
2 3
m n
m n
− −
= → =
La igualdad tiene sentido solo si
m–3 = 0 ∧ n–1 = 0
m = 3 ∧ n = 1
m+n = 4
Rpta.: 4
3. Cuál es el valor de n que verifica
2
n n n
n n
n n
x x x
⋅ =
si x1.
Resolución
n
n
x
n
n n
n
x
⋅
n
n ⋅
2
n
x
=
1
1 2
n
x x x
⋅ =
1
2
n
n
x x
+
=
1
2
n
n
+
=
n+1 =2n
∴ n= 1
Rpta.: 1
− −
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
81
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Halla el valor de m.
8m–2
= 32
Resolución
2. Halla el valor de x.
85
= 32x–2
Resolución
1252x+4
= 6252
Resolución
4 8 4
5 5
x
m m
−
=
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
44
1.er
Año
82
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Al resolver
mm–3
= 25
halla el valor de m.
Resolución
( 2)
( 2)
( 2) 16
x
x
x
−
−
− =
Resolución
7. Halla el valor de a.
3 4
5 125
a−
=
Resolución
2 1 6 3
1 1
5 2
x x
− +
   
=
   
   
Resolución
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

ÁLGEBRA
1.er
83
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Resuelva
49 = 75x – 3
A) 0 B) 2 C) 3
D) 1 E) 4
253
= 55x–4
A) 0 B) –1 C) 2
D) –2 E) 1
Nivel II
125a+2
= 252a–2
A) 9 B) 10 C) 7
D) 4 E) 5
2 1 3
2 2
4 4
x x
+ −
=
A) –4 B) 4 C) –2
D) 2 E) 3
5. Resuelve e indica el valor de m.
(m – 3)(m – 3)
= 55
A) 8 B) 2 C) 10
D) 25 E) 9
Nivel III
( 8)
( 8) 27
( 8) 3
x
x
x
+
+
+ =
A) 1 B) –5 C) 4
D) 6 E) 0
6
3
7 7
a+
=
A) 2 B) 3 C) –3
D) 0 E) 1
5x–3
= 24x–12
A) 1 B) 2 C) –3
D) 3 E) 4
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO VERBAL
BÁSICO

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