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ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
.
ÍNDICE
ÁLGEBRA
TEMAS PÁG.
TEMA 01: OPERACIONES EN Z 5
TEMA 02: OPERACIONES EN Q 12
TEMA 03: LEYES DE EXPONENTES I 19
TEMA 04: LEYES DE EXPONENTES II 26
TEMA 05: RADICACIÓN EN R 33
TEMA 06: ECUACIÓN EXPONENCIAL 40
TEMA 07: ECUACIÓN ALGEBRAICA (EA) 47
TEMA 08: GRADOS DE POLINOMIOS 54
TEMA 09: POLINOMIOS ESPECIALES 61
TEMA 10: VALOR NUMÉRICO EN POLINOMIOS 67
TEMA 11: TÉRMINO ALGEBRAICO 74
TEMA 12: OPERACIONES CON POLINOMIOS 80
TEMA 13: PRODUCTOS NOTABLES I 88
TEMA 14: PRODUCTOS NOTABLES II 94
TEMA 15: PRODUCTOS NOTABLES III 100
TEMA 16: DIVISIÓN ALGEBRAICA 106
TEMA 17: DIVISIÓN ALGEBRAICA II 115
TEMA 18: DIVISIÓN ALGEBRAICA III 122
TEMA 19: FACTORIZACIÓN I 129
TEMA 20: FACTORIZACIÓN II 136
TEMA 21: ECUACIONES142
TEMA 22: DESIGUALDADES149
TEMA 23: INECUACIONES DE PRIMER GRADO 155
TEMA 24: RELACIONES Y FUNCIONES 161
.
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 5
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
44
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
I. Adición de números enteros
1. Caso: Adición de números enteros del mismo signo
Para sumar número enteros del mismo signo, se su-
man los valores absolutos y a dicha suma se le ante-
pone el signo común.
Ejemplos
a. (+100)+(+50)=+150
b. (+20)+(+5)=+25
c. (–8)+(–2)=–10
d. (–10)+(–5)=–15
2. Caso: Adición de números enteros de signos diferentes
Para sumar dos números enteros de signos diferen-
tes se halla la diferencia se le antepone el signo del
sumando que tiene mayor valor absoluto.
Ejemplos
a. (+200)+(–100)=+100
b. (+50)+(–30)=+20
c. (–500)+(+400)=–100
d. (–300)+(–50)=–350
Axiomas de la adición en 
En el conjunto , se cumple las siguientes propiedades:
1. Clausura
La suma de dos números enteros es otro entero.
∀ a, b ∈  → (a+b) ∈ 
Ejemplo
(+2) ∈  y (–5) ∈  → (+2)+(–5)=–3 ∈ 
2. Conmutativa
El orden de los sumandos no altera la suma.
∀ a, b ∈  → a+b = b+a
Ejemplo
(–3)+(+7)=(+7)+(–3)=+4
3. Asociativa
La forma como se agrupan los sumandos no altera la
suma.
Ejemplo
(+8+–3)+–2=+8+(–3+–2)
+5 +–2=+8+ –5
+3 = +3
4. Elemento neutro
En  el elemento neutro es el cero (0), que sumado con
cualquier número entero, resulta el mismo número.
∀ a ∈  , se cumple que a+0=a
Ejemplos
(+8)+0=+8
(+10)+0=+10
5. Elemento inverso aditivo
Todo número entero tiene un opuesto que, sumado
con dicho número, resulta cero.
Ejemplos
(+8)+(–8)=0
(–200)+(+200)=0
II. Sustracción de número enteros
Para calcular la diferencia entre dos números ente-
ros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
Es decir, para cualquier par de enteros a y b se cum-
ple que
a–b=a+(–b)
Ejemplos
(+5)–(+3)=(+5)+(–3)=+2
(+10)–(–3)=(+10)+(+3)=+13
III. Multiplicación de enteros
En forma general se define del siguiente modo:
( ) ( ) ( ) ( )
veces
... ;
a
a b b b b a b a +
− = − + − + + − =− ⋅ ∈ 




( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
veces
– ... ;
a
a b b b b a b a +
− =− − + − + + − = ⋅ ∈ 




01 OPERACIONES EN Z
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
6
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
45
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Regla de signos
1. (+)·(+)=+
2. (+)·(–)=–
3. (–)·(+)=–
4. (–)·(–)=+
Axiomas de la multiplicación
Tenemos las siguientes propiedades:
1. Clausura.- El producto de dos números enteros es
también otro número entero.
∀ a, b ∈ 
Ejemplo
(–4)(5)=–20
2. Conmutativa.- El orden de los factores no altera el
producto.
∀ a, b ∈  → a⋅b=b⋅a
Ejemplo
(–2)(–3)=(–3)(–2)
+6 +6
3. Asociativa.- En la multiplicación de tres o más fac-
tores, la forma como se agrupan los mismos no alte-
ra el producto.
∀ a, b, c ∈ , (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)=(a⋅c)⋅b
Ejemplo
[(–2)(4)](–3)=(–2)[(4)(–3)]=[(–2)(–3](4)
(–8)(–3) =(–2) (–12) = (+6)(4)
+24 +24 +24
4. Elemento neutro.- El elemento neutro de la multi-
plicación es el 1.
∀ a ∈ , a⋅1=a
Ejemplos
17·1=17
5. Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo núme-
ro entero multiplicado por cero, da como producto
cero.
∀ a ∈ , a⋅0=0
Ejemplos
a. 6·0=0
b. (–8)·0=0
6. Distributiva.- Sean a, b y c números enteros, enton-
ces se cumple que
a(b+c)=a·b+a·c
a(b–c)=a·b–a·c
Ejemplo
4(–3+–5)=4(–3)+4(–5)
=–12+–20
=–32
IV. División de números enteros
La división es la operación inversa de la multipli-
cación que consiste en lo siguiente: “Dado dos nú-
meros enteros llamados dividendo y divisor (este
diferente de cero), hallar un tercer número llamado
cociente, que multiplicado por el divisor, dé el divi-
dendo”.
D÷d=c→d⋅c=D, d≠0
Donde
D: dividendo; d: divisor; c: cociente
Regla de signos
1. (+)÷(+)= +
2. (–) ÷(+)= –
3. (+)÷(–) = –
4. (–) ÷(–) = +
¾ La división de un número por cero, no está de-
finido, por tanto
Número
0
= No existe
Clases de división
1. División exacta
La división es exacta cuando el resto es cero.
D÷d=c ↔ D=d⋅c ↔ D÷c=d
Propiedad
Si el dividendo y el divisor de una división exacta
se multiplican o se dividen por un mismo número
diferente de cero, el cociente no varía.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 7
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
46
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Al simplificar la expresión
S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10))))
¿qué valor se obtiene?
Resolución
S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1))))
S=1–(2–4)–(6–(7–9))
S=1–(–2)–(6–(–2))
S=1+2–(8)
S=3–8
S=–5
Rpta.: –5
2. Nivel I (primera fase ONEM 2005)
Efectúa la siguiente operación:
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
Resolución
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
=2(7+0)2
–[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1]
=2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1]
=98–8·6
=98–48
=50
Rpta.: 50
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números
que cumplen
a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e,
g=7/f, h=8/g
Halla el producto abcdefgh.
Resolución
De la segunda relación: ab=2
De la cuarta relación: cd=4
De la sexta relación: ef=6
De la última relación: gh=8
Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8
=384
Rpta.: 384
Ejemplo
12
4
=3
¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
⇒
12(5)
4(5)
60
20
= = 3 → El cociente no
varía.
¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
12÷2
4÷2
6
2
= = 3 → El cociente no
varía.
2. División inexacta
En toda división inexacta hay un cociente, el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cocien-
te, más el residuo.
D=d⋅c+r
Cociente
Residuo
Divisor
Dividendo
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
46
Á
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AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Al simplificar la expresión
S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10))))
¿qué valor se obtiene?
Resolución
S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1))))
S=1–(2–4)–(6–(7–9))
S=1–(–2)–(6–(–2))
S=1+2–(8)
S=3–8
S=–5
Rpta.: –5
2. Nivel I (primera fase ONEM 2005)
Efectúa la siguiente operación:
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
Resolución
2 3 2
5 3 7
2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1
  
+ − − − ÷ −
  
=2(7+0)2
–[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1]
=2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1]
=98–8·6
=98–48
=50
Rpta.: 50
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números
que cumplen
a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e,
g=7/f, h=8/g
Halla el producto abcdefgh.
Resolución
De la segunda relación: ab=2
De la cuarta relación: cd=4
De la sexta relación: ef=6
De la última relación: gh=8
Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8
=384
Rpta.: 384
Ejemplo
12
4
=3
¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5.
⇒
12(5)
4(5)
60
20
= = 3 → El cociente no
varía.
¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2.
12÷2
4÷2
6
2
= = 3 → El cociente no
varía.
2. División inexacta
En toda división inexacta hay un cociente, el divi-
dendo es igual al producto del divisor por el cocien-
te, más el residuo.
D=d⋅c+r
Cociente
Residuo
Divisor
Dividendo
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
8
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
47
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Completa con
izquierda — derecha — –
∪ {0} ∪ +
¾ El conjunto  está formado por __________.
¾ Los números positivos se sitúan en la recta nu-
mérica a la __________ del cero.
¾ Los números negativos se sitúan en la recta nu-
mérica a la __________ del cero.
Resolución
2. Completa los espacios en blanco.
a. –415 es el opuesto de __________.
b. __________ es el opuesto de –57.
c. +102 es el opuesto de __________.
Resolución
3. Coloca el signo  o  según corresponda.
¾ –2 –9
¾ –5 1
¾ 0 –91
Resolución
4. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–7; –6; 4; 6; –1; 5; –9
0
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 9
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
48
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Calcula las siguientes sumas:
a. (–125)+(+100) : ______________________
b. (–37)+(–13) : ______________________
c. (+79)+(–37) : ______________________
Resolución
6. Calcula las siguientes sustracciones:
a. (–128)–(–28) : ______________________
b. (–324)–(+124) : ______________________
c. (+729)–(–151) : ______________________
Resolución
7. Efectúa:
(+3)+(–5)+(–7)+(+9)+(–10)
Resolución
8. Resuelve
(+106)–(+56)+(+78)–(+94)–(–36)
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
10
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
49
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾ El conjunto  está formado por –
∪+
. ( )
¾ Todo número positivo es mayor que cero.( )
¾ El conjunto –
es igual al conjunto . ( )
2. Escribe el opuesto de
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
3. Coloca el signo  o  según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
5. Calcula las siguientes sumas:
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcula las siguientes sustracciones:
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Coloca el opuesto de
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
2. Escribe los signos  o  según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
3. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
49
Á
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AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾ El conjunto  está formado por –
∪+
. ( )
¾ Todo número positivo es mayor que cero.( )
¾ El conjunto –
es igual al conjunto . ( )
2. Escribe el opuesto de
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
3. Coloca el signo  o  según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
5. Calcula las siguientes sumas:
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcula las siguientes sustracciones:
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Coloca el opuesto de
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
2. Escribe los signos  o  según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
3. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
49
Á
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m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾ El conjunto  está formado por –
∪+
. ( )
¾ Todo número positivo es mayor que cero.( )
¾ El conjunto –
es igual al conjunto . ( )
2. Escribe el opuesto de
a. –274: ______________________
b. +542: ______________________
c. 125: ______________________
d. –505: ______________________
Nivel II
3. Coloca el signo  o  según corresponda.
a. –7 –12
b. –2 +2
c. –3 0
4. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–2; –3; 0; –7; 2; 3
0
5. Calcula las siguientes sumas:
a. (+7)+(+8) : ______________________
b. (–4)+(–9) : ______________________
c. (+12)+(–5) : ______________________
Nivel III
6. Calcula las siguientes sustracciones:
a. (+127)–(+372) : ______________________
b. (–548)–(+148) : ______________________
c. (+327)–(–23) : ______________________
7. Efectúa
(+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8)
A) 10 B) 8 C) 20
D) 19 E) 11
8. Resuelve
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
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resueltos
correctamente
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Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Coloca el opuesto de
a. –149 : ______________
b. +302 : ______________
c. –999 : ______________
d. 147 : ______________
2. Escribe los signos  o  según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
3. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
1. 2.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 11
49
da.
numérica:
____
___
_____
(+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114)
A) –84 B) 30 C) 114
D) 84 E) 80
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
2. Escribe los signos  o  según corresponda.
a. –7 –8
b. –20 –1
c. 0 –500
3. Ubica los siguientes números en la recta numérica:
–4; –2; –5; 3; –7; 5
0
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
4. Efectúa las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Reduc
A) 35
D) 25
10. Reduc
A) –1
D) –2
11. Efect
A) 0
D) 3
12. Si a
p
calcul
A) –7
D) –8
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
2. Efect
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
m
Helicopráctica
Sesión II
4. Efectúa las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
4. Efectúa las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Redu
A) 3
D) 2
10. Redu
A) –
D) –
11. Efect
A) 0
D) 3
12. Si
calcu
A) –
D) –
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efect
Reso
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Sesión II
_
_
_
_
_
_
11
6
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
2.
1.
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
50
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
4. Efectúa las siguientes sumas:
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
Nivel III
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
50
Á
lge
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión II
a. –(5) + (+8) : ______________
b. –(–2) + (3) : ______________
c. (–10) + (–8) + 1 : ______________
Nivel II
5. Efectúa las siguientes sustracciones:
a. (+10)–(–10) : ______________
b. (+200)–(50) : ______________
c. (–333)–(–222) : ______________
6. Efectúa
M=+(2)–(–3)+7–(–1)
A) 12 B) 13 C) 11
D) 10 E) 5
7. Efectúa
Q=–(–3)–(–2)–(–1)
A) –6 B) –2 C) 6
D) 3 E) 4
8. Completa las siguientes divisiones:
a. (–20)÷(–5) : ______________
b. 200÷(–20) : ______________
c. –35÷1 : ______________
9. Reduce
A=(10)+(30)+(5)–(20)
A) 35 B) –20 C) 11
D) 25 E) 12
10. Reduce
P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8]
A) –1 B) 0 C) 1
D) –2 E) 7
Desafío helicoidal
11. Efectúa
[(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)]
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
12. Si a b=2a+b
p q=p+q
calcula (–8 10)–(–18 9).
A) –7 B) –3 C) 3
D) –8 E) 7
1. Halla el resultado de
N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10
Resolución
2. Efectúa
[(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)]
Resolución
3. 5.
4.
5.
3.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
12
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
56
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Observamos el caso de la división, por ejemplo, para los
números 8 y 4 ∈ .
8
4
=2 ∈ , pero
4
8
=0,5 ∉ 
Ya que el cociente de dos enteros no es necesariamente
entero, se tuvo que extender el conjunto de los enteros al
conjunto de los racionales.
Luego se define  como
, 0
a
a b b
b
 
= ∧ ∈ ≠
 
 
 
donde a : numerador
b : denominador
Números fraccionarios
Son aquellos números racionales que no son enteros.
Ejemplos
No son
Números
números
fraccionarios
fraccionarios
1 3 2 14 8
; ; ;
3 4 3 2 4
−
−




Interpretación gráfica de las fracciones
¿Qué significa la fracción
3
8
?
Gráficamente
3
8
Se observa
1.º El denominador indica en cuántas partes se divide el
todo.
2.º El numerador representa las partes del todo que se
toman o que se consideran.
Lectura y escritura de fracciones
Recordando
1
2
se lee: ______________________________________
2
3
se lee: ______________________________________
6
7
se lee: ______________________________________
1
10
se lee: ______________________________________
2
41
se lee: ______________________________________
______ se lee “dos veinteavos”.
______ se lee “cinco doceavos”.
Ley de signos de multiplicación y división
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ + + ÷ +
 
+ +
 
− ⋅ − − ÷ −
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
+ ⋅ − + ÷ −
 
− −
 
− ⋅ + − ÷ +
 
Fracciones equivalentes
Son aquellas que tienen el mismo valor.
Se obtienen fracciones equivalentes por simplificación o
por amplificación.
Ejemplos
1. Sea la fracción
2
3
.
2×5
3×5
=
10
15
es equivalente a
2
3
.
Multiplicando por un mismo número entero al nu-
merador y denominador (amplificación).
2. Si tenemos la fracción
30 30
24
=
15
5
24
12
4
tenemos fracciones equivalentes (por simplifica-
ción):
15
12
y
5
4
.
3. Si los dos términos de una fracción tienen un divisor
común y se divide por dicho divisor, la fracción re-
sultante es equivalente a la primera.
a÷n
b÷n
=
p
q
→
a
b
=
p
q
Sea la fracción
20
36
20÷4
36÷4
=
5
9
→
20
36
=
5
9
LOS NÚMEROS RACIONALES ()
02 OPERACIONES EN Q
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 13
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
57
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
I. Adición y sustracción
Se pueden dar los siguientes casos:
A) Para fracciones homogéneas.
Ejemplo
5
7
+
3
7
–
2
7
=
5+3–2
7
=
6
7
B) Para fracciones con denominadores primos
entre sí. Se puede efectuar con el método del
aspa.
Ejemplo
3
5
7
11
3⋅11+5⋅7
5⋅11
33+35
55
68
55
+ = = =
C) Para fracciones cuyos denominadores que no
sean primos entre sí.
Primero se halla el MCM.
Ejemplo
3
4
5
12
7
6
9+5
12
14
12
+
×
÷
=
= =
7
6
MCM(4, 12) = 12
Procedimientos importantes
1. Simplificación
Simplificar una fracción es hallar otra equivalente
que sea irreductible.
Simplifica
a. 24/36 b. 70/80 c. 52/36
2. Reducción a común denominador
Ejemplo
Reduzca a común denominador
5
6
;
7
12
;
3
10
⇒ MCM(6, 12, 10)=60
¾ 60 ÷ 6=10 ⇒ 10×5=50 ∴
5
6
=
50
60
¾ 60÷12=5 ⇒ 5×7=35 ∴
7
12
=
35
60
¾ 60÷10=6 ⇒ 6×3=18 ∴
3
10
=
18
60
Las nuevas fracciones son:
50
60
;
35
60
y
18
60
.
II. Multiplicación
Para multiplicar números racionales se multiplican
los numeradores y los denominadores separadamente.
Ejemplo
4 11 5 3
20 8 22 2
    
− −
  
  
  
  
Simplificando
4
−
1
20
5
11
 
 
 
 
 
1
5
8 22
 
 
 
 
2
3 1
2 5
  
− =−
 
 
 
 
  1
1 5
8
  
 
 
 
 
 
1
3
2 2
 
  
−
  
  
=
(–1)⋅1⋅1⋅(–3)
1⋅8⋅2⋅2
=
3
32
Si hay números racionales negativos debes multipli-
carlos teniendo en cuenta la ley de signos.
III. División
Para dividir dos números racionales, se multiplica el
primero por el inverso del segundo.
Ejemplo
6 3 6
4 5
−
 
− ÷ =
 
 
2
5
4 3
×
1
10 5
4 2
=
− =
−
Otra forma (extremos y medios)
ad
bc
a
b
c
d
=
Producto de extremos
Producto de medios
Ejercicios
¾
2
5
3
4
¾
5
9
8
27
OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES
Sabíasque...
Cuando una fracción es irreductible esta se forma como
representante canónico del número racional.
25
10
→
25÷5
10÷5
=
5
2
⇒ Fracción irreductible
Es decir el par (5; 2) es el representante.
Observación
1
5
16
15
= 3 Número mixto 16 5
1 3
5
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
14
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Efectúa:
3 3 1 3
5 2 3 2
 
− + −
 
 
Resolución
Operando el paréntesis
6 15 1 3
10 3 2
−
 
+ −
 
 
Luego
–
9
10
+
1
3
–
3
2
=
–27+10–45
30
=–
31
15
Rpta.: –
31
15
2. Determina el valor de
2 1
4
3 5
1 3
1
15
 
−
 
×
 
 
−
 
 
Resolución
Efectuando numerador y denominador del corchete
10 3
4
15
14 3
15
−
 
 
×
 
 
 
 
Luego se tiene
7
4 7
15
14 3
15
 
 
× =
 
 
 
 
1
15
⋅
15 14
⋅
2
4
3
×
Finalmente
1
2
1
4
×
2
2
3 3
=
Rpta.:
2
3
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Si
1
n+5
=4, entonces
1
n+6
es
Resolución
Como
1
n+5
=4, entonces n+5=
1
4
; luego
n+6=1+
1
4
=
5
4
, de donde finalmente deducimos
que
1
n+6
=
4
5
.
Rpta.:
4
5
Helicopráctica
Sesión I
1. Efectúa
3
7
–
2
7
+
5
7
+
1
7
Resolución
2. Halla el valor de M.
M=
1
2
–
3
4
Resolución
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Efectúa:
3 3 1 3
5 2 3 2
 
− + −
 
 
Resolución
Operando el paréntesis
6 15 1 3
10 3 2
−
 
+ −
 
 
Luego
–
9
10
+
1
3
–
3
2
=
–27+10–45
30
=–
31
15
Rpta.: –
31
15
2. Determina el valor de
2 1
4
3 5
1 3
1
15
 
−
 
×
 
 
−
 
 
Resolución
Efectuando numerador y denominador del corchete
10 3
4
15
14 3
15
−
 
 
×
 
 
 
 
Luego se tiene
7
4 7
15
14 3
15
 
 
× =
 
 
 
 
1
15
⋅
15 14
⋅
2
4
3
×
Finalmente
1
2
1
4
×
2
2
3 3
=
Rpta.:
2
3
3. Nivel I (primera fase ONEM 2006)
Si
1
n+5
=4, entonces
1
n+6
es
Resolución
Como
1
n+5
=4, entonces n+5=
1
4
; luego
n+6=1+
1
4
=
5
4
, de donde finalmente deducimos
que
1
n+6
=
4
5
.
Rpta.:
4
5
Helicopráctica
Sesión I
1. Efectúa
3
7
–
2
7
+
5
7
+
1
7
Resolución
2. Halla el valor de M.
M=
1
2
–
3
4
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 15
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
59
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
3. Efectúa
B=2
1
5
+3
2
5
Resolución
4. Calcula C+D si
C=2+
11
7
y D=
3
7
–3
Resolución
5. Halla el valor de Q.
Q=2
1
3
–
5
9
Resolución
6. Calcula M+N si
M=
1
5
–
1
2
y N=
3
4
+
1
2
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
16
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
2. Halla el valor de M.
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
4. Halla el valor de N.
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
5. Halla el valor de
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
2. Halla el valor de M.
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
4. Halla el valor de N.
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
5. Halla el valor de
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
60
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Efectúa
2
9
+
1
4
+
7
9
+
3
5
–
1
4
+
7
5
Resolución
8. Resuelve
N=
2
9
–
1
3
–
1
2
+
4
5
+
13
10
Resolución
Helicotaller
Nivel I
1. Efectúa
1
6
+
5
6
+
1
6
–
4
6
A)
1
6
B) 2 C) 1
D)
1
2
E) 6
2. Halla el valor de M.
M=
1
6
–
3
2
A)
8
6
B) –
4
3
C) –
1
3
D)
1
3
E) 8
Nivel II
3. Efectúa
A=3
5
8
–1
2
8
A) 2 B)
2
8
C)
5
8
D)
19
8
E)
1
8
4. Halla el valor de N.
N=1
1
4
–
5
12
A)
5
4
B)
5
6
C)
1
4
D)
5
12
E) 4
5. Halla el valor de
1
2
+
3
2
– 1
1
3
+
5
6
A) –
1
6
B)
13
6
C)
1
6
D) –
13
6
E) –6
Nivel III
6. Efectúa
8
13
+
9
4
+
5
7
+
5
13
+
2
7
–
5
4
A) 3 B)
1
4
C)
1
13
D)
1
7
E) 13
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 17
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
61
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
7. Calcula A+B si
A=1+
4
3
y B=
2
3
–4
A) –
19
12
B)
7
4
C) –
10
3
D)
21
12
E) –1
8. Resuelve
M= –
3
5
+
1
2
+ –
1
3
–
1
2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
lgebrA
m
AtemÁtiCA
3 3
A) –
19
12
B)
7
4
C) –
10
3
D)
21
12
E) –1
5 2 3 2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
1.
61
m
AtemÁtiCA
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
2.
Á
lgebrA
10
3
8. Resuelve
M= –
3
5
+
1
2
+ –
1
3
–
1
2
A) –
1
10
B) –
1
6
C) –
8
31
D) –
14
15
E) –6
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
2
4
15
14
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
8 14 11
3.
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
4.
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
Nivel III
9. Efectúa
A=
3
5
+
9
7
+
1
3
+
2
3
+
2
5
–
2
7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Efectúa
N=
7
12
+
2
3
+
9
5
+
5
12
–
2
3
+
1
5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
11. Efect
A)
8
17
D)
7
10
12. Efect
A) 1
D) –
1. Reduce
2 7 1 1
L
5 10 2 5
 
 
= + − −
 
 
 
 
Resolución
2. Calcu
Resol
5.
61
m
AtemÁtiCA Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
18
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
Helicopráctica
Sesión II
Nivel III
9. Efectúa
A=
3
5
+
9
7
+
1
3
+
2
3
+
2
5
–
2
7
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
10. Efectúa
N=
7
12
+
2
3
+
9
5
+
5
12
–
2
3
+
1
5
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Desafío helicoidal
11. Efectúa
5
6
1
9
+
1
2
1
18
–
A)
8
17
B)
7
8
C)
8
7
D)
7
10
E)
5
12
12. Efectúa
1
6
1
3
–
5
2
÷
1
3
1
2
+
A) 1 B) 2 C) –2
D) –
1
2
E) 5
1. Reduce
2 7 1 1
L
5 10 2 5
 
 
= + − −
 
 
 
 
Resolución
2. Calcula M+N si
M=
3
5
×
5
4
×
–4
7
y N=
9
8
×
–8
3
×
4
3
×
1
7
Resolución
61
m
AtemÁtiCA
7
+
7
–
7
+
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
T=3
5
–
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
61
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Efectúa
2
7
+
3
7
–
1
7
+
3
7
A)
9
7
B)
6
7
C) 1
D)
4
7
E)
1
7
2. Halla el valor de N.
N=
3
8
–
5
4
A)
7
8
B) –
7
8
C) –
2
4
D) –
1
2
E)
1
2
3. Halla el valor de
A=
2
5
–
4
3
A) –
14
15
B)
15
14
C) –
15
14
D)
14
15
E)
1
14
4. Efectúa
R=3
1
4
+2
3
4
A)
13
4
B) 2 C) 6
D)
11
4
E) 7
Nivel II
5. Halla el valor de T.
T=3
1
5
–
7
15
A)
15
41
B)
41
15
C)
16
5
D)
5
16
E)
5
31
6. Efectúa
2
3
–
1
2
+
1
6
–
3
2
A)
9
6
B)
7
6
C) –
7
6
D)
6
5
E)
13
6
7. Calcula M+N si
M=
1
6
–
1
2
y N=
2
9
–1
A)
9
10
B)
1
4
C) –
10
9
D)
2
5
E)
7
4
8. Calcula A+B si
A=
3
5
–
1
2
y B=
1
6
+
2
3
A)
8
15
B)
14
15
C)
11
15
D)
7
15
E)
2
15
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 19
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
68
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Este capítulo comprende una operación importante: la
potenciación.
1. Potenciación
Operación que consiste en multiplicar un número
llamado base tantas veces como factor, como lo in-
dica otro número llamado exponente, para obtener
otro número llamado potencia, así tenemos
bn
=P, b ∈ , n ∈ , P ∈ 
Donde b: base
n: exponente natural
P : potencia
Ejemplos
2×2×2×2×2 = 25
= 32
5 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
3×3×3×3 = 34
= 81
4 veces
POTENCIA
EXPONENTE
BASE
Ley de los signos en la potenciación
(*) (BASE POSITIVA)PAR
= +
Ejemplo
¾ (+2)4
= + 24
↓
(+24
) = 16
(*) (BASE POSITIVA)IMPAR
= +
Ejemplo
¾ (+2)5
= + 25
↓
(+2)5
= 32
(*) (BASE NEGATIVA)PAR
= +
Ejemplo
¾ (–2)6
= +26
↓
(–2)6
= 64
(*) (BASE NEGATIVA)IMPAR
= –
Ejemplo
¾ (–2)5
= –25
↓
(–2)5
= –32
Debes tener presente lo siguiente:
1. 1n
= 1 con n ∈ 
Ejemplo
¾ 123
= 1
2. (–1)PAR
= 1
Ejemplo
¾ (–1)16
= 1
3. (–1)IMPAR
= –1
Ejemplo
¾ (–1)17
= –1
4. 0n
= 0 con n ∈ +
– {0}
Ejemplo
¾ 017
= 0
Para realizar diversas operaciones a través de la po-
tenciación es necesario recordar las potencias más
usuales.
Potencias más usuales
EN
BASE 2:
EN
BASE 3:
EN
BASE 4:
EN
BASE 5:
EN
BASE 7:
21
=2 31
=3 41
=4 51
=5 71
=7
22
=4 32
=9 42
=16 52
=25 72
=49
23
=8 33
=27 43
=64 53
=125 73
=343
24
=16 34
=81 44
=256 54
=625 74
=2401
25
=32 35
=243 45
=1024 55
=3125
26
=64 36
=729
27
=128
28
=256
29
=512
210
=1024
LEYES DE EXPONENTES
03 LEYES DE EXPONENTES I
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
20
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
69
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
2. Definiciones (principales exponentes)
2.1. Exponente cero
b0
=1, ∀b ∈  ∧ b ≠ 0
Ejemplos
¾ 70
=1
¾ (5x)0
=1
00
=Indefinido
Como número real no existe.
Ejemplo
(9–9)0
=00
→ INDEFINIDO
2.2. Exponente uno
b1
=b, ∀b ∈ 
¾ Caso particular:
; , 0
n n
a b
a b
b a
−
   
= ≠
   
   
• 2–3
=
1
22 =
1
8
• 6–3
=
1
63 =
1
216
También
•
2 2
2 3 9
3 2 4
−
   
= =
 
 
 
 
•
3 3
5 6 216
6 5 125
−
   
= =
   
   
Recíprocamente
•
1
2
=2–1
•
1
23 =2–3
Recuerda
El exponente uno ya no se escribe, se sobreen-
tiende.
Ejemplos
¾ 81
=8
¾ 5=51
2.3. Exponente de exponente (cadena de expo-
nente)
abcde
Para desarrollar se toma los 2 últimos términos
(base y exponente), luego se va transformando
de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los
términos.
Ejemplos
¾ 4
32
=49
=262 144
¾ 2
32170
= 2
321
= 2
32
= 2
9
= 512
2.4. Exponente negativo
b–n
= , b≠0
1
bn
Observación
Si
n ∈ , 0–n
no está definido.
Es decir
0–1
; 0–5
; 0–12
...
no está definido como números reales.
Sabíasque...
Es conveniente indicar la diferencia entre
–34
y (–3)4
El exponente no
afecta al signo.
⇒ –34
= –81
Ejemplos
¾ –24
=–2×2×2×2=–16
¾ (–2)4
=(–2)(–2)(–2)(–2)=16
El exponente si afecta al signo,
porque hay paréntesis.
¾ –3–2
=–
1
32 =–
1
9
¾ –
1
7
–2
=(–7)2
=49
¾ (– 2)0
=1
¾ –70
=–1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 21
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
70
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Halla el valor de
M= 5
0
–4–2
+(–4)–2
+5⋅ 6
0
Resolución
¾ Hallamos por separado cada expresión
5
0
=1
4–2
=
1
42 =
1
16
(–4)–2
=
1
(–4)2 =
1
16
6
0
=1
¾ Ahora reemplazamos los valores obtenidos
M=1–
1
16
+
1
16
+5(1)
M=1+5
M=6
Rpta.: 6
2. El valor de
 
 
 
–1
1
1
1
2
es
Resolución
Por exponente negativo
–1
1 1
2
1 1
2
1
2
= =
 
 
 
=2
Rpta.: 2
3. Calcula
K=23702008
+2(–1)27
+3(–1)34
Resolución
1.º Hallamos
23702008
= 2370
= 231
= 23
=8
2.º Hallamos
¾ 2(–1)27
=2(–1)=–2
(Todo número negativo elevado a un número
impar resulta siempre negativo).
¾ 3(–1)34
=3(+1)=3
(Todo número negativo elevado a un número
par resulta siempre positivo).
3.º Reemplazamos los valores obtenidos
K=8+(–2)+3
K=8–2+3
K=9
Rpta.: 9
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
22
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Halla el valor de
N=70
+91
–150
–41
Resolución
2. Efectúa
R=(–68)0
+7x0
– 2
0
+(7x)0
, x≠0
Resolución
3. Efectúa
B=(1,72)0
–(7 5)0
+(7,25)0
Resolución
4. Efectúa
S=52
+24
–62
–90
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 23
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
72
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Calcula
Q=72
+82
–53
Resolución
6. Reduce
10x0
+6(x+y)0
–30
+5x0
, x≠0
Resolución
7. Halla el valor de
A=(–2)4
+(–3)3
–(–5)3
Resolución
8. Halla el valor de
B=–(–1)18
–(–1)23
–(–6)2
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
24
1.er
Año Compendio de CienCiAs i
73
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Halla el valor de
M=20
+51
–70
–31
A) 2 B) 0
C) 1 D) 4
E) 3
2. Calcula
Q=(–20)0
+5a0
–100
+(5a)0
A) 6 B) 0
C) –1 D) 5
E) 2
Nivel II
3. Efectúa
A=–(0,85)0
–(6 11)0
+(2,18)0
A) –1 B) –2
C) 0 D) –3
E) 2
4. Efectúa
T=42
+33
–25
+70
A) 12 B) 44
C) –32 D) 27
E) 21
5. Calcula
P=34
+43
–24
–33
A) 102 B) 145
C) –43 D) 16
E) 154
Nivel III
6. Reduce
E = 2x0
+6(x+y)0
5x0
–30
, x≠0 y x+y≠0
A) 2 B) x
C) 8 D) 1/4
E) 28
7. Halla el valor de
M=–(–7)3
+(–5)3
–(–6)2
A) 182 B) 218
C) 36 D) –125
E) 28
8. Halla el valor de
R=(–1)100
–(–1)80
+(–6)2
A) 36 B) 38
C) –35 D) 100
E) 10
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 25
74
Á
lg
m
AtemÁtiCA
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
74
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
74
m
AtemÁtiCA
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
74
Á
lgebr
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
74
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lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
A) 6 B) 5 C) 10
D) 12 E) 8
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
6. Efectúa
T=53
–62
–33
+70
A) 60 B) 61 C) 62
D) 63 E) 64
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
12. Efectúa
–1 –1
1 1
–
2 3 1
1 1
M 8
3 2
   
−
   
   
   
= + +
   
   
1.er
Año
Compendio de CienCiAs i
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Halla el valor de
A=70
+151
–120
–91
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
2. Halla el valor de
B= 5
0
+81
– 7
0
–31
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 4
3. Calcula
M= 3
0
+501
+(–50)1
–7m0
, m≠0
A) 5 B) 6 C) 7
D) –6 E) 8
4. Calcula
Q=(–15)0
+7m0
–120
+(7m)0
, m≠0
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
Nivel II
5. Efectúa
R=–(7,12)0
–(5 7)
0
+(5,72)0
A) –1 B) 0 C) 1
D) 2 E) –2
7. Calcula
5 2 0 2 2
2 3 4 5 1
+ − + −
A) 6 B) 8 C) 10
D) 12 E) 11
8. Reduce
0 0 0
0 0
6 (6 )
K , 0
3( 3) – ( 2 )
m m m
m
m m
+ −
= ≠
+
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 4
Nivel III
9. Halla el valor de
Q=–(–2)4
+(–3)3
+(–5)2
A) –16 B) –18 C) –20
D) –14 E) 14
10. Calcula
A=(–1)2010
–(+1)2009
+(–5)2
A) 25 B) 16 C) 27
D) 26 E) 15
Desafío helicoidal
11. Efectúa
K= 7
0
–5–2
+3 2
0
+(–5)–2
A) 2 B) 3 C) 4
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
26
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
52
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Aquí mencionamos las leyes que rigen a los exponentes
de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las
diversas expresiones.
bm.bn
= bm+n
bx.by.bz.bw
= bx+y+z+w
En forma extensiva
TEOREMA 1: Multiplicación de bases iguales.
Ejemplos
¾ x2.x.x3
= x2+1+3
= x6
¾ a0,2. a0,7.a0,1
=
¾ 2x .23 .25
=
¾ b1/2.b3/2.b5/2.b1/2
=
Recíprocamente
¾ 4x+5
= 4x .45
¾ ax+1
=
¾ 10a+b+2
=
TEOREMA 2: División de bases iguales.
, b≠0
m
m n
n
b
b
b
−
=
¾ 5
2
2
x
= 2x–5
¾
5
2
x
x
=
¾
2009
2006
( 5)
( 5)
−
−
=
Sabíasque...
Si se tiene que
luego obtenemos
m n
m n p q
p q
b
b
b
−
− − +
−
=
( )
m n
m n p q m n p q
p q
b
b b
b
−
− − − − − +
−
= =
Regla práctica
“La base resultante lleva como exponente una forma par-
ticular, donde el exponente del numerador mantiene su
exponente, mientras el exponente del denominador va a
pasar con signos opuestos”.
Ejemplos
¾
1
1 1 2
1
2
2 2 4
2
x
x x
x
+
+ − +
−
= = =
¾
2 7
2 9
3
3
x
x
−
−
=
¾
7 4 7 4
5 2
2 2 2 2
x y x y
x y
y x x y
= ⋅ =
¾
15 8
10 9
a b
b a
=
¾
7 4
7 5 2
x yz
z y x
=
(bm
)
n
=bm.n
En forma extensiva
TEOREMA 3: Potencia de una potencia.
( )
q
p
n
m m n p q
b b ⋅ ⋅ ⋅
 
 
  =
 
 
 
 
 
LEYES DE EXPONENTES II
04 LEYES DE EXPONENTES II
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 27
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
53
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾ (x3
)–5
= x(3)(–5)
= x–15
¾ (a–4
)–2
=
¾ (xa
)3
=
¾ ( )
47
0
5
3
2
−
 
 
 
 
 
 
 
 
=
Recíprocamente
¾ x3m
= (x3
)m
¾ 32x
=
¾ a15
=
Observación
Si se tiene (bm
)
n
= bm.n
(bn
)
m
= bn.m
→ (bm
)
n
= (bn
)
m
Ejemplos
¾ ( ) ( )
3 3
2 2 8
x
x x
= =
¾ (xn
)m
=
¾ ( )
2
3
x
=
(am.bn
)p =am.p.bn.p
(am.bn.cq
)p =am.p.bn.p.cq.p
En forma extensiva
TEOREMA 4: Potencia de un producto.
Ejemplos
¾ (2x3
y2
)
3
= 2(1)(3).x(3)(3) .y(2)(3)
= 8x9
y6
¾ (2x4
)
4
=
¾ (3m2
n3
p–5
)
2
=
Recíprocamente
¾ 2x.ax
= (2a)x
¾ 2a. 3a .5a
=
¾ a2x .y3x.z4x
=
, 0
p
m m p
n n p
a a
b
b b
⋅
⋅
 
= ≠
 
 
TEOREMA 5: Potencia de un cociente.
Ejemplos
¾
5
2 2 5 10
3 3 5 15
x x x
y y y
⋅
⋅
 
= =
 
 
¾
2
3
x
  =
 
 
¾
3
2
2
3
x
a
 
=
 
 
¾
3
5
2
a
b
 
=
 
 
Recíprocamente
¾
5
5
5
x x
y
y
 
=  
 
¾
5
3
x
x
=
¾
6
3
a
a
=
Nota
No confundir (bm
)n
con bmn
, pues
(bm
)n
≠ bmn
, ∀m≠0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
28
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
54
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. SiK=
0 2
4
2 4
7
3 2
 
+ +
 
 
y M=
1 1
2
2 K
K (1 K) ,
27
−
 
+ − +  
 
el valor de M+K es
(ONEM 2006 NIVEL 3)
Resolución
K = 7+1+
16
K 9
16
→ =
M =
1 1
2
2 9
9 (1 9)
27
−
 
+ − +  
 
M =
1
2 2
2 27
(3 ) ( 8)
9
 
+ − +  
 
M = 3+64 +3 → M = 70
∴ M+K= 70+9= 79
Rpta.: 79
2. Simplifica
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 2
2 2 2 2
n n n n
n n n n
+ + + +
− − − −
+ + +
+ + +
(ONEM 2006 NIVEL 3)
Resolución
Factorizando la potencia de menor exponente en el
numerador y denominador
1 0 1 2 3 1
1 4 5
4 3 2 1 0 4
2 (2 2 2 2 ) 2
2 2 32
2 (2 2 2 2 ) 2
n n
n n
n n
+ +
+ − +
− −
+ + +
= = = =
+ + +
Rpta.: 32
3. Simplifica
1 2 1 2
3
2 4 8
M
(2 ) 16
n n n
n
+ − + − +
−
⋅ +
=
⋅
Resolución
Expresando las potencias en función de la base 2.
1 2 2 1 3 2
3
2 (2 ) (2 )
M
(2 ) 16
n n n
n
+ − + − +
−
⋅ +
=
⋅
1 4 2 3 6 1 4 2 3 6
3 3
2 2 2 2 2
M
2 16 2 16
n n n n n n
n n
+ − + − + + − + − +
− −
⋅ + +
= =
⋅ ⋅
3 3 3 6 3 3 3 6
3 3
2 2 2 2 2 2
M
16 2 16 2
n n n n
n n
− + − + − −
− −
+ ⋅ + ⋅
= =
⋅ ⋅
3 3 3
3
8 2 64 2 72 2
M
16 2
n n
n
− − −
−
⋅ + ⋅ ⋅
= =
⋅ 3
16 2 n
−
⋅
72 9
M
16 2
= =
Rpta.:
72 9
M
16 2
= =
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 29
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
55
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Simplifica
R = a7.a.a–4 .a–5
Resolución
2. Reduce
2 3 4 5 6 7
2 4 6 8
M
x x x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
Resolución
3. Simplifica
T = (y4.y–3.y2.y)
3
Resolución
4. Reduce
3 4 4
5 3 2
2 5
4 2
( ) ( ) ( )
W
( ) ( )
b b b
b b
−
⋅ ⋅
=
⋅
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
30
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
56
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Reduce
2
4
3 2 7 4 4
2
6 3
( ) ( )( )
Q
( )
m n m n m n
m n
− −
=
Resolución
6. Reduce
4 5
4
3
2 3 4
2 31
5 2
(3 ) (3 ) 3
A
3 (3 )
   
⋅ ⋅
   
=
⋅
Resolución
7. Reduce
2 2 2 2
5 5 5 5
(70 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Resolución
8. Reduce
1 1 1
3 3 3
2 3 5
B
2 3 5
− − −
− − −
= + +
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 31
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Simplifica M= x. x3.x4 .x–7
.
A) 1 B)
2
x
C) 2x
D) x E) 2
2. Reduce
27 veces
25 veces
...
Q
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅








A) 1 B) x2
C) 2x
D) –2x E) 0
Nivel II
3. Simplifica A= (m3.m–1.m5
)
5
.
A) m B) x35
C) m35
D) x E) 35m
4. Reduce
2
5
4 3
3
2
6 4
( ) ( )
K , 0
( ) ( )
x x
x
x x
⋅
= ∀ ≠
⋅
A) 2x B) x2
C) x
D) x6
E)
2
x
5. Reduce
2 3
3 2 6 2 4 3
3
2 3
( ) ( )( )
K
( )
x y x y x y
x y
− −
=
A) x6
y2
B) xy2
C) x2
y6
D) (xy)6
E) xy
Nivel III
6. Indica el exponente final de a al reducir
R =
2 2
4 3 5 4 4 4 8
( )
a a a a a a a
 
⋅ ⋅ ÷ ⋅ ⋅ ⋅
 
 
A) 10 B) a10
C) a
D) 10a E) a/2
7. Reduce
3 3 3 3
4 4 4 4
(30 factores)
...
S
(20 factores)
...
x x x x
x x x x
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
A) 10 B) 1 C) x
D) x10
E) 0
8. Reduce
2010 2011 2001
2008 2008 1999
2 3 6
R
2 3 6
= + −
A) –5 B) 4 C) 0
D) 2001 E) –1
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
32
58
Á
l
m
AtemÁtiCA
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
58
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
A) 1
D) y
11. Reduc
A) 25
D) 16
12. Reduc
A) 1/2
D) 62
58
Á
m
AtemÁtiCA
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
m
AtemÁ
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
x x x
−
− −
 
 
=
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
58
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Simpliflica
A= x3.x2 .x–4.x5
A) x–2
B) x6
C) x2
D) x4
E) x5
2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3
.
A) m3
B) m–3
C) m1
D) m–1
E) m5
3. Reduce
3 2
3 2 7 4 3
2
2 3
( ) ( )( )
M=
( )
a b a b ab
a b
− −
A) b B) b2
C) b3
D) b4
E) b5
4. Simpliflica
2 2 2
4 3 3 2
M m m m m
= ⋅ ⋅ ⋅ .
A) m16
B) m21
C) m32
D) m42
E) m45
Nivel II
5. Reduce
2 2 2
3 3 3
(50 factores)
...
E
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
A) x B) x5
C) x10
D) x15
E) x4
6. Reduce
3
2
6 4 5
3
3 4
( )
Q
( )
x x x
x x
−
− −
 
 
=
⋅
A) x B) x–4
C) x–6
D) x8
E) x4
7. Reduce
2011 2010 2009
2009 2009 2008
5 3 2
R
5 3 2
= + +
A) 25 B) 27 C) 30
D) 32 E) 21
8. Reduce
3 3 3
5 5 5
(60 factores)
...
A=
(30 factores)
...
x x x
x x x
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
A) x10
B) x20
C) x30
D) x40
E) x11
Nivel III
9. Reduce
( 3) veces
2 2 2
(2 5) veces
...
Q=
...
n
n
x x x
x x x
+
+
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅




A) x B) x2
C) x3
D) x4
E) x5
10. Reduce
25 veces
25 veces
2 2 2
24 veces
... ...
Q=
( )( )...( )
x x x x y y y
xy xy xy
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅









A) 1 B) x C) xy
D) y E) yx
Desafío helicoidal
11. Reduce
4 5 4 7 3 7
5 4 2 3 6 7
5 7
Q=
5 7
m p n p
p m p n
− + − +
− + + − + +
−
A) 25 B) 7 C) 18
D) 16 E) 14
12. Reduce
1
2 3
2 5
R=
2 5
−
− −
+
A) 1/2 B) 27 C) 23/2
D) 627 E) 6/27
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
(xy2
)(xy2
)...(xy2
)
xy2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 33
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
65
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Las siguientes leyes están dadas para la transformación
de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz.
1. Radicación
Es aquella operación algebraica, que consiste en ha-
llar una cantidad llamada raíz, de tal manera que
dicha raíz elevada al valor del índice nos reproduce
al radicando (o cantidad subradical).
ALGORITMO
Donde: n∈, n ≥ 2
__________ __________
__________
__________
n
n
a b b a
= ↔ =
Ejemplos
¾
3
3
8 2 2 8
= ↔ =
¾
3
125 =
¾ 5
32 =
2. Definición
DEFINICIÓN: Exponente fraccionario.
m,n∈ ∧ n ≥ 2
m
n n m
b b
=
Ejemplos
¾
1
2
2
49 49 7
= =
¾
2
3
x =
¾ 2
x y
z
+
=
3. Ley de signos
Ejemplo Ejemplo
impar
( ) ( )
+ = + impar
( ) ( )
− = −
3
27 = 3
8
− =
Ejemplo
4
16 =
Ejemplo
par
( ) ( )
+ = + par
( )
− ∉ 
3
− ∉ 
TEOREMA 1: Potencia de una raíz.
( ) , 2
p
n n
m m p
b b n
⋅
= ≥
Ejemplos
¾ ( )
5
3 (3)(5) 15
x x x
= =
¾ ( )
2
3 n
x =
¾ ( )
3
2
a y
x =
Ejemplos
¾
1
2
4 4 2
= =
¾
1
3
27 =
¾
1
5
( 32)
− =
RADICACIÓN EN 
Sabíasque...
Si se tiene
luego para fines prácticos
m m
m
n m n
n n
b b b b
→ = =
1
1. Si 1
2. Si 1
n
n
m
m
n
n
m b b
m b b
° =→ =
° ≠ → =
05 RADICACIÓN EN R
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
34
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
66
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
3 3
x x
=
¾ 3
x x
=
¾
2
5 =
Ejemplos
¾ 3 3
5 5 3
2 2 32
x x
= =
¾ 2
3
n n
=
¾ 6 4
x =
n n
x y x y
n
a b a b
⋅ = ⋅
TEOREMA 2: Raíz de una multiplicación.
En forma extensiva
n n n n
x y z x y z
a b c a b c
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
Ejemplos
¾
y
x
x y x y
x x x
x y x y x y
⋅ = ⋅ = ⋅
¾
5 10 5 20
a b c =
¾
2 8
x y z =
Recíprocamente
¾
2 2
3 3 3
x y x y
⋅ = ⋅
¾ 2 5
⋅ =
¾
5 5 5
2 7 6
x x x
⋅ ⋅ =
TEOREMA 3: Raíz de una división.
, 0
n
x x
n
y n y
a a
b
b b
= ≠
Ejemplos
¾
3
7 7
3
3
x x
y y
=
¾
2
x
x x
=
Recíprocamente
¾
3 3
4
4
x
x
x
=
¾
5 7
5 2
x
x
=
TEOREMA 4: Raíz de raíz.
En forma extensiva
n m n m
k k
b b
⋅
=
N N
a b c d e a b c d e
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
Sabíasque...
Si
m
m
n n
b b
= y hacemos m =n, se tendrá
∴
n
n
b b
= , ∀ b ≥ 0
1
n
n
n n
b b b b
= = =
Recuerda
Siempre que b ≥ 0 ∧ m, n, k ∈, se cumple, dadas las si-
guientes formas:
Primera forma
mk m
nk n
mk m
nk n
b b b b
= = =
→ nk n
mk m
b b
=
Segunda forma
1
k
nk k n
nk n
b b b b
= = =
→ nk k n
b b
=
Tercera forma:
nk
k nk n
k
b b b
= =
→
k nk n
b b
=
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 35
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
67
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
( )(3)
3 3
2 2 2
x
x x
x x x
= =
¾
5 4 3 120
2 =
Propiedad
¾ ( )
p mnp
y z
m n
w wn y p z
b b b b + +
=
× ×
+ +
Ejemplo
¾ (3)(5)(2)
3 30
5
2 4 (10 4)2 1 29
x x x x x
+ +
= =
Problemas resueltos
1. Calcula
( )
2
1 3 2
3
2 8
4 4
4 2
−
 
    +
 
   
   
 
 
(ONEM 2005 NIVEL 3)
Resolución
( )
2
1 2
3 3
1
4 4 2
2
−
 
  ⋅ + ⋅ =
 
 
 
 
 
( )
2 2
3 3
1
4 8
2
−
  ⋅ + =
 
 
22.(22
)
3
+22
=
22.26
+22
=
28
+4 =
256+4 =
260
Rpta.: 260
2. Si x1, reduce
1 1 1
1
1 1 1
3 4 6
4 6 8
x x x
x
x x x
− − −
−
− − −
+ +
+ +
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el
numerador y denominador por 24x–1
.
1 1 1 1
1 1
1 1 1
24 (3 4 6 )
1 1 1
24
4 6 8
x x x x
x x
x x x
− − − −
− −
− − −
+ +
 
+ +
 
 
Efectuando en el denominador
1 1 1 1
24 3 4 6
x x x x
− − − −
+ +
( )
1 1 1
6 4 3
x x x
− − −
+ +
1 1
1 24 24
x x
x − −
− = =
Rpta.: 24
3. Reduce
9 9
3
x y x y
x y
x y x y
− −
− +
+
Resolución
2 2 2
3 3 3 3
3 3 3
y y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
2
− − − −
+ + +
− − −
+
= +
1 1
3 3
3
3
x y
x y
x y
x y
+
+
−
−
= + =
+
10
3
=
Rpta.:
10
3
=
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
67
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Ejemplos
¾
( )(3)
3 3
2 2 2
x
x x
x x x
= =
¾
5 4 3 120
2 =
Propiedad
¾ ( )
p mnp
y z
m n
w wn y p z
b b b b + +
=
× ×
+ +
Ejemplo
¾ (3)(5)(2)
3 30
5
2 4 (10 4)2 1 29
x x x x x
+ +
= =
Problemas resueltos
1. Calcula
( )
2
1 3 2
3
2 8
4 4
4 2
−
 
    +
 
   
   
 
 
(ONEM 2005 NIVEL 3)
Resolución
( )
2
1 2
3 3
1
4 4 2
2
−
 
  ⋅ + ⋅ =
 
 
 
 
 
( )
2 2
3 3
1
4 8
2
−
  ⋅ + =
 
 
22.(22
)
3
+22
=
22.26
+22
=
28
+4 =
256+4 =
260
Rpta.: 260
2. Si x1, reduce
1 1 1
1
1 1 1
3 4 6
4 6 8
x x x
x
x x x
− − −
−
− − −
+ +
+ +
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el
numerador y denominador por 24x–1
.
1 1 1 1
1 1
1 1 1
24 (3 4 6 )
1 1 1
24
4 6 8
x x x x
x x
x x x
− − − −
− −
− − −
+ +
 
+ +
 
 
Efectuando en el denominador
1 1 1 1
24 3 4 6
x x x x
− − − −
+ +
( )
1 1 1
6 4 3
x x x
− − −
+ +
1 1
1 24 24
x x
x − −
− = =
Rpta.: 24
3. Reduce
9 9
3
x y x y
x y
x y x y
− −
− +
+
Resolución
2 2 2
3 3 3 3
3 3 3
y y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
x y x y x y
2
− − − −
+ + +
− − −
+
= +
1 1
3 3
3
3
x y
x y
x y
x y
+
+
−
−
= + =
+
10
3
=
Rpta.:
10
3
=
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
36
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
68
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
729 9
= ( )
¾ 25 5
− =
− ( )
¾
4
4
6
6
12
2
6
= ( )
2. Si se tiene que 61/2
; –81/5
y 52/3
, determina sus radi-
cales equivalentes.
Resolución
3. Calcula
9
11 11 9
A 6 2 5
= + ⋅
Resolución
4. Halla el valor de
5
4 10
C 7 10
= −
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 37
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
69
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Simplifica
5
6 15
U 25 32
x x
= + −
Resolución
6. Calcula
3
3 3
3
54
R 3 9
2
= + ⋅
Resolución
7. Calcula
3 3
5 4
A 32 16
= −
Resolución
8. Reduce
12 17
5
2 7
32x y
x y
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
38
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
70
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
27
− = –3 ( )
¾ 900 300
= ( )
¾ 16 4
− =
− ( )
2. Si se tiene que
1
1 1
3
2 4
5 ; ( 9) y 10
− , indica la alterna-
tiva que contenga los equivalentes radicales.
A)
3 3
5; 9 y 10
−
B)
4
3
5; 9 y 10
−
C) 3 4
5; 9 y 10
−
D) 5; 9 y 10
−
E) N.A.
Nivel II
3. Calcula
3 5
3 5
A 4 7
= ⋅ .
A) 25 B) 3 C) 11
D) 28 E) 8
4. Halla el valor de
3
3 6 6
R 3 4
= +
A) 9 B) 16 C) 25
D) 36 E) 7
5. Simplifica
E =
4
8 16
4 16
x x
+
A) x4
B) 4x4
C) 4x2
D) 16x4
E) 4x
Nivel III
6. Calcula
3 3
N 2 4 7 7
= ⋅ − ⋅
A) –5 B) –4 C) 7
D) –3 E) 8
7. Calcula
Z = 645/6
– 813/4
A) 1 B) 2 C) 5
D) 3 E) 8
8. Reduce
20 12
4
16 4
81x y
x y
A) 3xy2
B) 3xy C) xy2
D) 3x2
y E) 3x
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 39
71
gebrA
m
AtemÁtiCA
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
71
m
AtemÁtiCA
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
71
gebrA
m
AtemÁtiCA
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
71
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Autoevaluación
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
2
b
b
b
+
+
=
A) 1 B) 2 C) 4
D) 8 E) 3
Á
lgebrA
orresponda.
( )
( )
( )
VFF
50
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
m
AtemÁtiCA
¾ 8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
3 6 4
A 64 25
x x
= +
A) 4x2
B) 10x2
C) 9x2
D) 5x2
E) 3x2
D) –6
8. Reduce
A) 3a2
D) 3a6
9. Calcul
A) 1/2
D) 3/4
10. Halla e
A) 6
D) 2
11. Calcul
A) 2
D) 5
12. Reduce
A) 1
D) 8
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
A
Autoevaluación
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
3
I 2 3 3 2 8
= ⋅ ⋅ ⋅ + −
A) 5 B) 4 C) 2
D) 3 E) 6
6. Halla el valor de
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
A) 2 B) 4 C) 0
D) 5 E) 6
12. Reduce
3 5
5 2
2
N
b
b
b
+
+
=
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
Á
lgebrA
Autoevaluación
Nivel I
1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda.
¾
3
8 2
− = ( )
¾ 10
1024 3
= ( )
¾ 9 3
− =
− ( )
A) VVV B) FFF C) VFF
D) VFV E) FVV
2. Calcula
5 3
5 3
M 7 2
= +
A) 14 B) 9 C) 5
D) 24 E) 26
3. Calcula
1 1
3 2
A ( 125) 49
=
− +
A) 7 B) –5 C) 2
D) –2 E) 5
4. Calcula
5
8
4 3
R 2 27
= +
A) 84 B) 243 C) 250
D) 30 E) 247
Nivel II
5. Halla el valor de
7. Calcula
R = 811/4
– (–27)2/3
A) –1 B) –3 C) –2
D) –6 E) –4
8. Reduce
25 17
3
7 8
27
E
a b
a b
−
=
A) 3a2
b3
B) –3a2
b3
C) –3a6
b3
D) 3a6
b3
E) 3a4
b5
Nivel III
9. Calcula
1/3 1/2
1 1
Y
8 16
   
= −
   
   
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6
D) 3/4 E) 1/3
10. Halla el valor de
10 4 12
N 4 2
= ⋅
A) 6 B) 8 C) 16
D) 2 E) 4
Desafío helicoidal
11. Calcula
4 6 3
3 5 3
R 2 2 2 2
= ⋅ ⋅ ⋅
1.
2.
3.
5.
4.
1.
2.
3.
5.
4.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
40
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
78
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicoteoría
Definición
Son aquellas ecuaciones que se caracterizan porque la in-
cógnita se ubica en el exponente.
I. Primer caso
Es de la forma
bx
= bn donde: b≠0, b≠1
Para hallar el valor de x se utiliza el siguiente prin-
cipio:
Principio
“A bases iguales se tiene exponentes iguales”.
Si bx
= bn
→ x=n, b≠ 0 ∧ b≠ 1
Ejemplo
Si 54
=5x
Si
3
1 1
2 2
x
   
=
   
   
x = __________ x = __________
Dentro de este primer caso se presentan los siguien-
tes subcasos:
I.a. Ecuación exponencial en su forma simple
Es cuando las bases se expresan en su forma
simple o se tiene la presencia de potencias.
Ejemplo
Halla el valor de x en
22x+1
= 32
Resolución
Expresando el 32 como potencia de 2.
22x + 1
= 25
Por principio
2x + 1 = 5
2x = 4
x = 2
I.b. Ecuación exponencial con exponentes sucesivos
Son ecuaciones donde las bases presentan ex-
ponentes sucesivos. Para resolverlas debemos
transformarlas hasta conseguir bases iguales.
Ejemplo
Halla el valor de x en
3 2 7 1
8 2
4 2
x x
+ −
=
Resolución
Llevando a bases iguales
3 2 7 1
2 8 2
(2 ) 2
x x
+ −
=
Operando
3 2 7 1
2 8 2
2 2
x x
+ −
⋅
=
Por principio
2.83 + 2x
= 27x–1
Nuevamente llevando a bases iguales
21.(23
)3+2x
= 27x–1
Luego
21+9+6x
= 27x – 1
Por principio
10 + 6x = 7x – 1
10+1 = 7x – 6x
11 = x
I.c. Ecuación exponencial con radicales
Son ecuaciones donde aparece, por lo menos,
un radical. Aquí es necesario aplicar las leyes
de exponentes para eliminar el operador radical
y lograr transformar a bases iguales.
Ejemplo
Resuelva
( )
2
3
3 243
x+
=
Resolución
Transformando a bases iguales
( )
2
3 3 6 5
3 3 3
x x
+ +
= =
ECUACIÓN EXPONENCIAL
Para resolver este primer caso debemos llevar a bases
iguales los miembros de la ecuación.
Nota
06 ECUACIÓN EXPONENCIAL
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 41
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
79
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Por exponente fraccionario
3 6
5
2
3 3
x+
=
Por principio se tiene
3 6
5
2
x +
=
3x+6 = 10
4
3
x =
I.d. Ecuación exponencial con adición o multipli-
cación de bases iguales
Para resolver este tipo de ecuaciones se apli-
cará las leyes de exponentes para generar una
potencia común y luego aplicar el principio.
Ejemplo
Halla el valor de x en
2x+5
– 2x+3
– 2x+1
= 176
Resolución
Descomponiendo los exponentes
2x.25
–2x.23
–2x.2 = 176
Factorizando 2x
2x
(25
–23
–2) = 176
2x
(22) = 176
2x
= 8
2x
= 23
Por principio
x = 3
I.e. Ecuación exponencial de bases diferentes
En este tipo de ecuación, al reducirse se llega
a bases diferentes, lo cual hace necesario que
los exponentes sean iguales a cero para que la
igualdad se cumpla.
Ejemplos
Halla el valor de x en
23x – 6
= 7x – 2
Resolución
Observamos que para que se cumpla la igual-
dad necesariamente
3x – 6 = 0 ∧ x – 2 = 0
3x = 6 ∧ x = 2
x = 2
II. Segundo caso
Es de la forma
Por comparación
→ f(x) = b
b ≠ 0 ∧ b ≠ 1
( )
( )f x b
f x b
=
Ejemplos
Halla el valor de x en
xx
= 27
Resolución
En el primer miembro la base es igual al exponente,
entonces, buscamos la misma relación en el segundo
miembro.
xx
= 27
xx
= 33
Por comparación
x = 3
II.a. Ecuación exponencial de la forma especial:
n n
n n
=
n
x
x n
x n x n
= → =

Ejemplos
Halla el valor de x en
6
6
x
x =
Métodos de resolución
1.er
Método
Trabajando el segundo miembro
6
6
x
x =
Pero 6 es igual a
6 6
6 y así tenemos
6
6
6 6
6
6
x
x =
Por comparación
6
6
x =
2.º Método
Aplicando la propiedad
n
x
x n
x n x n
= → =

6
6
x
x = , n = 6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
42
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
80
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Problemas resueltos
1. Si x1, verifica
3
4
3 4
1/
1
n
x
x
x x
 
=  
 
halle el valor de
3
4
n +
.
(ONEM 2005 NIVEL 2)
Resolución
Operando por partes
1
4 3
1 1 1 1
4 3 x
x x x x
x
−
− − − −
⋅ = ⋅ ⋅
4 3 2 ( 3 1)2 1
x
⋅ ⋅ − − −
=
3
24 9 8
x x
−
−
= =
3 2 3 4
4 24
n
n n
x x x
−
⋅ ⋅
− −
= =
Igualando
3
8 24
n
x x
−
= a bases iguales tenemos
3
8 24
n
− =
−
n = 9
Piden:
3 9 3 12
3
4 4 4
n + +
= = =
Rpta.: 3
2. Halla los valores enteros de m y n que cumplen
2m
+3n
= 3n+2
– 2m+1
Dé como respuesta el valor de m+n.
(ONEM 2006 NIVEL 2)
Resolución
2m
+2.2m
= 3n .32
– 3n
3.2m
= 8.3n
3 1
3 1
2 3
2 3
2 3
m n
m n
− −
= → =
La igualdad tiene sentido solo si
m–3 = 0 ∧ n–1 = 0
m = 3 ∧ n = 1
m+n = 4
Rpta.: 4
3. Cuál es el valor de n que verifica
2
n n n
n n
n n
x x x
⋅ =
si x1.
Resolución
n
n
x
n
n n
n
x
⋅
n
n ⋅
2
n
x
=
1
1 2
n
x x x
⋅ =
1
2
n
n
x x
+
=
1
2
n
n
+
=
n+1 =2n
∴ n= 1
Rpta.: 1
− −
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 43
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
81
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicopráctica
Sesión I
1. Halla el valor de m.
8m–2
= 32
Resolución
2. Halla el valor de x.
85
= 32x–2
Resolución
3. Halla el valor de x.
1252x+4
= 6252
Resolución
4. Halla el valor de x.
4 8 4
5 5
x
m m
−
=
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA
44
1.er
Año
Compendio de CienCiAs ii
82
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
5. Al resolver
mm–3
= 25
halla el valor de m.
Resolución
6. Halla el valor de x.
( 2)
( 2)
( 2) 16
x
x
x
−
−
− =
Resolución
7. Halla el valor de a.
3 4
5 125
a−
=
Resolución
8. Halla el valor de x.
2 1 6 3
1 1
5 2
x x
− +
   
=
   
   
Resolución
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
ÁLGEBRA
1ER GRADO DE SECUNDARIA 45
1.er
Año Compendio de CienCiAs ii
83
Á
lgebrA
m
AtemÁtiCA
Helicotaller
Nivel I
1. Resuelva
49 = 75x – 3
A) 0 B) 2 C) 3
D) 1 E) 4
2. Halla el valor de x.
253
= 55x–4
A) 0 B) –1 C) 2
D) –2 E) 1
Nivel II
3. Halla el valor de a.
125a+2
= 252a–2
A) 9 B) 10 C) 7
D) 4 E) 5
4. Halla el valor de x.
2 1 3
2 2
4 4
x x
+ −
=
A) –4 B) 4 C) –2
D) 2 E) 3
5. Resuelve e indica el valor de m.
(m – 3)(m – 3)
= 55
A) 8 B) 2 C) 10
D) 25 E) 9
Nivel III
6. Halla el valor de x.
( 8)
( 8) 27
( 8) 3
x
x
x
+
+
+ =
A) 1 B) –5 C) 4
D) 6 E) 0
7. Halla el valor de a.
6
3
7 7
a+
=
A) 2 B) 3 C) –3
D) 0 E) 1
8. Halla el valor de x.
5x–3
= 24x–12
A) 1 B) 2 C) –3
D) 3 E) 4
Problemas
resueltos
correctamente
V.o
B.o
Profesor
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO -
RAZONAMIENTO VERBAL
INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA
BÁSICO
1ER GRADO DE SECUNDARIA
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  • 1. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 2. .
  • 3. ÍNDICE ÁLGEBRA TEMAS PÁG. TEMA 01: OPERACIONES EN Z 5 TEMA 02: OPERACIONES EN Q 12 TEMA 03: LEYES DE EXPONENTES I 19 TEMA 04: LEYES DE EXPONENTES II 26 TEMA 05: RADICACIÓN EN R 33 TEMA 06: ECUACIÓN EXPONENCIAL 40 TEMA 07: ECUACIÓN ALGEBRAICA (EA) 47 TEMA 08: GRADOS DE POLINOMIOS 54 TEMA 09: POLINOMIOS ESPECIALES 61 TEMA 10: VALOR NUMÉRICO EN POLINOMIOS 67 TEMA 11: TÉRMINO ALGEBRAICO 74 TEMA 12: OPERACIONES CON POLINOMIOS 80 TEMA 13: PRODUCTOS NOTABLES I 88 TEMA 14: PRODUCTOS NOTABLES II 94 TEMA 15: PRODUCTOS NOTABLES III 100 TEMA 16: DIVISIÓN ALGEBRAICA 106 TEMA 17: DIVISIÓN ALGEBRAICA II 115 TEMA 18: DIVISIÓN ALGEBRAICA III 122 TEMA 19: FACTORIZACIÓN I 129 TEMA 20: FACTORIZACIÓN II 136 TEMA 21: ECUACIONES142 TEMA 22: DESIGUALDADES149 TEMA 23: INECUACIONES DE PRIMER GRADO 155 TEMA 24: RELACIONES Y FUNCIONES 161
  • 4. .
  • 5. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 5 1.er Año Compendio de CienCiAs i 44 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría I. Adición de números enteros 1. Caso: Adición de números enteros del mismo signo Para sumar número enteros del mismo signo, se su- man los valores absolutos y a dicha suma se le ante- pone el signo común. Ejemplos a. (+100)+(+50)=+150 b. (+20)+(+5)=+25 c. (–8)+(–2)=–10 d. (–10)+(–5)=–15 2. Caso: Adición de números enteros de signos diferentes Para sumar dos números enteros de signos diferen- tes se halla la diferencia se le antepone el signo del sumando que tiene mayor valor absoluto. Ejemplos a. (+200)+(–100)=+100 b. (+50)+(–30)=+20 c. (–500)+(+400)=–100 d. (–300)+(–50)=–350 Axiomas de la adición en  En el conjunto , se cumple las siguientes propiedades: 1. Clausura La suma de dos números enteros es otro entero. ∀ a, b ∈  → (a+b) ∈  Ejemplo (+2) ∈  y (–5) ∈  → (+2)+(–5)=–3 ∈  2. Conmutativa El orden de los sumandos no altera la suma. ∀ a, b ∈  → a+b = b+a Ejemplo (–3)+(+7)=(+7)+(–3)=+4 3. Asociativa La forma como se agrupan los sumandos no altera la suma. Ejemplo (+8+–3)+–2=+8+(–3+–2) +5 +–2=+8+ –5 +3 = +3 4. Elemento neutro En  el elemento neutro es el cero (0), que sumado con cualquier número entero, resulta el mismo número. ∀ a ∈  , se cumple que a+0=a Ejemplos (+8)+0=+8 (+10)+0=+10 5. Elemento inverso aditivo Todo número entero tiene un opuesto que, sumado con dicho número, resulta cero. Ejemplos (+8)+(–8)=0 (–200)+(+200)=0 II. Sustracción de número enteros Para calcular la diferencia entre dos números ente- ros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Es decir, para cualquier par de enteros a y b se cum- ple que a–b=a+(–b) Ejemplos (+5)–(+3)=(+5)+(–3)=+2 (+10)–(–3)=(+10)+(+3)=+13 III. Multiplicación de enteros En forma general se define del siguiente modo: ( ) ( ) ( ) ( ) veces ... ; a a b b b b a b a + − = − + − + + − =− ⋅ ∈      ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] veces – ... ; a a b b b b a b a + − =− − + − + + − = ⋅ ∈      01 OPERACIONES EN Z RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 6. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 6 1.er Año Compendio de CienCiAs i 45 Á lgebrA m AtemÁtiCA Regla de signos 1. (+)·(+)=+ 2. (+)·(–)=– 3. (–)·(+)=– 4. (–)·(–)=+ Axiomas de la multiplicación Tenemos las siguientes propiedades: 1. Clausura.- El producto de dos números enteros es también otro número entero. ∀ a, b ∈  Ejemplo (–4)(5)=–20 2. Conmutativa.- El orden de los factores no altera el producto. ∀ a, b ∈  → a⋅b=b⋅a Ejemplo (–2)(–3)=(–3)(–2) +6 +6 3. Asociativa.- En la multiplicación de tres o más fac- tores, la forma como se agrupan los mismos no alte- ra el producto. ∀ a, b, c ∈ , (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)=(a⋅c)⋅b Ejemplo [(–2)(4)](–3)=(–2)[(4)(–3)]=[(–2)(–3](4) (–8)(–3) =(–2) (–12) = (+6)(4) +24 +24 +24 4. Elemento neutro.- El elemento neutro de la multi- plicación es el 1. ∀ a ∈ , a⋅1=a Ejemplos 17·1=17 5. Multiplicativa del cero (absorbente).- Todo núme- ro entero multiplicado por cero, da como producto cero. ∀ a ∈ , a⋅0=0 Ejemplos a. 6·0=0 b. (–8)·0=0 6. Distributiva.- Sean a, b y c números enteros, enton- ces se cumple que a(b+c)=a·b+a·c a(b–c)=a·b–a·c Ejemplo 4(–3+–5)=4(–3)+4(–5) =–12+–20 =–32 IV. División de números enteros La división es la operación inversa de la multipli- cación que consiste en lo siguiente: “Dado dos nú- meros enteros llamados dividendo y divisor (este diferente de cero), hallar un tercer número llamado cociente, que multiplicado por el divisor, dé el divi- dendo”. D÷d=c→d⋅c=D, d≠0 Donde D: dividendo; d: divisor; c: cociente Regla de signos 1. (+)÷(+)= + 2. (–) ÷(+)= – 3. (+)÷(–) = – 4. (–) ÷(–) = + ¾ La división de un número por cero, no está de- finido, por tanto Número 0 = No existe Clases de división 1. División exacta La división es exacta cuando el resto es cero. D÷d=c ↔ D=d⋅c ↔ D÷c=d Propiedad Si el dividendo y el divisor de una división exacta se multiplican o se dividen por un mismo número diferente de cero, el cociente no varía. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 7. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 7 1.er Año Compendio de CienCiAs i 46 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Al simplificar la expresión S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10)))) ¿qué valor se obtiene? Resolución S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1)))) S=1–(2–4)–(6–(7–9)) S=1–(–2)–(6–(–2)) S=1+2–(8) S=3–8 S=–5 Rpta.: –5 2. Nivel I (primera fase ONEM 2005) Efectúa la siguiente operación: 2 3 2 5 3 7 2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1    + − − − ÷ −    Resolución 2 3 2 5 3 7 2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1    + − − − ÷ −    =2(7+0)2 –[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1] =2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1] =98–8·6 =98–48 =50 Rpta.: 50 3. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números que cumplen a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e, g=7/f, h=8/g Halla el producto abcdefgh. Resolución De la segunda relación: ab=2 De la cuarta relación: cd=4 De la sexta relación: ef=6 De la última relación: gh=8 Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8 =384 Rpta.: 384 Ejemplo 12 4 =3 ¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5. ⇒ 12(5) 4(5) 60 20 = = 3 → El cociente no varía. ¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2. 12÷2 4÷2 6 2 = = 3 → El cociente no varía. 2. División inexacta En toda división inexacta hay un cociente, el divi- dendo es igual al producto del divisor por el cocien- te, más el residuo. D=d⋅c+r Cociente Residuo Divisor Dividendo 1.er Año Compendio de CienCiAs i 46 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Al simplificar la expresión S=1–(2–(3–(4–5)))–(6–(7–(8–(9–10)))) ¿qué valor se obtiene? Resolución S=1–(2–(3–(–1)))–(6–(7–(8–(–1)))) S=1–(2–4)–(6–(7–9)) S=1–(–2)–(6–(–2)) S=1+2–(8) S=3–8 S=–5 Rpta.: –5 2. Nivel I (primera fase ONEM 2005) Efectúa la siguiente operación: 2 3 2 5 3 7 2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1    + − − − ÷ −    Resolución 2 3 2 5 3 7 2( 49 0) 8(4 5 144) 3 2 121 11 1    + − − − ÷ −    =2(7+0)2 –[2(64–5·12)][9–2·11÷11–1] =2(49)–[2(64–60)][9–2·1–1] =98–8·6 =98–48 =50 Rpta.: 50 3. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Las letras a, b, c, d, e, f, g y h representan números que cumplen a=100, b=2/a, c=3/b, d=4/c, e=5/d, f=6/e, g=7/f, h=8/g Halla el producto abcdefgh. Resolución De la segunda relación: ab=2 De la cuarta relación: cd=4 De la sexta relación: ef=6 De la última relación: gh=8 Multiplicando: (ab)(cd)(ef)(gh)=2·4·6·8 =384 Rpta.: 384 Ejemplo 12 4 =3 ¾ Ahora multiplicamos al dividendo y divisor por 5. ⇒ 12(5) 4(5) 60 20 = = 3 → El cociente no varía. ¾ Ahora dividimos al dividendo y divisor entre 2. 12÷2 4÷2 6 2 = = 3 → El cociente no varía. 2. División inexacta En toda división inexacta hay un cociente, el divi- dendo es igual al producto del divisor por el cocien- te, más el residuo. D=d⋅c+r Cociente Residuo Divisor Dividendo RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 8. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 8 1.er Año Compendio de CienCiAs i 47 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión I 1. Completa con izquierda — derecha — – ∪ {0} ∪ + ¾ El conjunto  está formado por __________. ¾ Los números positivos se sitúan en la recta nu- mérica a la __________ del cero. ¾ Los números negativos se sitúan en la recta nu- mérica a la __________ del cero. Resolución 2. Completa los espacios en blanco. a. –415 es el opuesto de __________. b. __________ es el opuesto de –57. c. +102 es el opuesto de __________. Resolución 3. Coloca el signo o según corresponda. ¾ –2 –9 ¾ –5 1 ¾ 0 –91 Resolución 4. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –7; –6; 4; 6; –1; 5; –9 0 Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 9. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 9 1.er Año Compendio de CienCiAs i 48 Á lgebrA m AtemÁtiCA 5. Calcula las siguientes sumas: a. (–125)+(+100) : ______________________ b. (–37)+(–13) : ______________________ c. (+79)+(–37) : ______________________ Resolución 6. Calcula las siguientes sustracciones: a. (–128)–(–28) : ______________________ b. (–324)–(+124) : ______________________ c. (+729)–(–151) : ______________________ Resolución 7. Efectúa: (+3)+(–5)+(–7)+(+9)+(–10) Resolución 8. Resuelve (+106)–(+56)+(+78)–(+94)–(–36) Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 10. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 10 1.er Año Compendio de CienCiAs i 49 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ El conjunto  está formado por – ∪+ . ( ) ¾ Todo número positivo es mayor que cero.( ) ¾ El conjunto – es igual al conjunto . ( ) 2. Escribe el opuesto de a. –274: ______________________ b. +542: ______________________ c. 125: ______________________ d. –505: ______________________ Nivel II 3. Coloca el signo o según corresponda. a. –7 –12 b. –2 +2 c. –3 0 4. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –2; –3; 0; –7; 2; 3 0 5. Calcula las siguientes sumas: a. (+7)+(+8) : ______________________ b. (–4)+(–9) : ______________________ c. (+12)+(–5) : ______________________ Nivel III 6. Calcula las siguientes sustracciones: a. (+127)–(+372) : ______________________ b. (–548)–(+148) : ______________________ c. (+327)–(–23) : ______________________ 7. Efectúa (+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8) A) 10 B) 8 C) 20 D) 19 E) 11 8. Resuelve (+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114) A) –84 B) 30 C) 114 D) 84 E) 80 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Coloca el opuesto de a. –149 : ______________ b. +302 : ______________ c. –999 : ______________ d. 147 : ______________ 2. Escribe los signos o según corresponda. a. –7 –8 b. –20 –1 c. 0 –500 3. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –4; –2; –5; 3; –7; 5 0 1.er Año Compendio de CienCiAs i 49 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ El conjunto  está formado por – ∪+ . ( ) ¾ Todo número positivo es mayor que cero.( ) ¾ El conjunto – es igual al conjunto . ( ) 2. Escribe el opuesto de a. –274: ______________________ b. +542: ______________________ c. 125: ______________________ d. –505: ______________________ Nivel II 3. Coloca el signo o según corresponda. a. –7 –12 b. –2 +2 c. –3 0 4. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –2; –3; 0; –7; 2; 3 0 5. Calcula las siguientes sumas: a. (+7)+(+8) : ______________________ b. (–4)+(–9) : ______________________ c. (+12)+(–5) : ______________________ Nivel III 6. Calcula las siguientes sustracciones: a. (+127)–(+372) : ______________________ b. (–548)–(+148) : ______________________ c. (+327)–(–23) : ______________________ 7. Efectúa (+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8) A) 10 B) 8 C) 20 D) 19 E) 11 8. Resuelve (+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114) A) –84 B) 30 C) 114 D) 84 E) 80 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Coloca el opuesto de a. –149 : ______________ b. +302 : ______________ c. –999 : ______________ d. 147 : ______________ 2. Escribe los signos o según corresponda. a. –7 –8 b. –20 –1 c. 0 –500 3. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –4; –2; –5; 3; –7; 5 0 1.er Año Compendio de CienCiAs i 49 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ El conjunto  está formado por – ∪+ . ( ) ¾ Todo número positivo es mayor que cero.( ) ¾ El conjunto – es igual al conjunto . ( ) 2. Escribe el opuesto de a. –274: ______________________ b. +542: ______________________ c. 125: ______________________ d. –505: ______________________ Nivel II 3. Coloca el signo o según corresponda. a. –7 –12 b. –2 +2 c. –3 0 4. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –2; –3; 0; –7; 2; 3 0 5. Calcula las siguientes sumas: a. (+7)+(+8) : ______________________ b. (–4)+(–9) : ______________________ c. (+12)+(–5) : ______________________ Nivel III 6. Calcula las siguientes sustracciones: a. (+127)–(+372) : ______________________ b. (–548)–(+148) : ______________________ c. (+327)–(–23) : ______________________ 7. Efectúa (+10)+(+3)+(+3)+(–5)+(+8) A) 10 B) 8 C) 20 D) 19 E) 11 8. Resuelve (+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114) A) –84 B) 30 C) 114 D) 84 E) 80 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Coloca el opuesto de a. –149 : ______________ b. +302 : ______________ c. –999 : ______________ d. 147 : ______________ 2. Escribe los signos o según corresponda. a. –7 –8 b. –20 –1 c. 0 –500 3. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –4; –2; –5; 3; –7; 5 0 1. 2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 11. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 11 49 da. numérica: ____ ___ _____ (+81)+(–39)–(–42)–(+54)+(–114) A) –84 B) 30 C) 114 D) 84 E) 80 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor 2. Escribe los signos o según corresponda. a. –7 –8 b. –20 –1 c. 0 –500 3. Ubica los siguientes números en la recta numérica: –4; –2; –5; 3; –7; 5 0 Á lgebrA Helicopráctica Sesión II 4. Efectúa las siguientes sumas: a. –(5) + (+8) : ______________ b. –(–2) + (3) : ______________ c. (–10) + (–8) + 1 : ______________ Nivel II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ 9. Reduc A) 35 D) 25 10. Reduc A) –1 D) –2 11. Efect A) 0 D) 3 12. Si a p calcul A) –7 D) –8 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 2. Efect 1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA m Helicopráctica Sesión II 4. Efectúa las siguientes sumas: a. –(5) + (+8) : ______________ b. –(–2) + (3) : ______________ c. (–10) + (–8) + 1 : ______________ Nivel II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ Nivel III 9. Reduce A=(10)+(30)+(5)–(20) A) 35 B) –20 C) 11 D) 25 E) 12 10. Reduce P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8] A) –1 B) 0 C) 1 D) –2 E) 7 Desafío helicoidal 11. Efectúa [(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 12. Si a b=2a+b p q=p+q calcula (–8 10)–(–18 9). A) –7 B) –3 C) 3 D) –8 E) 7 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 Resolución 2. Efectúa [(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)] Resolución 50 Á lgebrA Helicopráctica Sesión II 4. Efectúa las siguientes sumas: a. –(5) + (+8) : ______________ b. –(–2) + (3) : ______________ c. (–10) + (–8) + 1 : ______________ Nivel II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ 9. Redu A) 3 D) 2 10. Redu A) – D) – 11. Efect A) 0 D) 3 12. Si calcu A) – D) – 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 Resolución 2. Efect Reso 1.er Año Compendio de CienCiAs i Sesión II _ _ _ _ _ _ 11 6 Nivel III 9. Reduce A=(10)+(30)+(5)–(20) A) 35 B) –20 C) 11 D) 25 E) 12 10. Reduce P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8] A) –1 B) 0 C) 1 D) –2 E) 7 Desafío helicoidal 11. Efectúa [(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 12. Si a b=2a+b p q=p+q calcula (–8 10)–(–18 9). A) –7 B) –3 C) 3 D) –8 E) 7 2. 1. 1.er Año Compendio de CienCiAs i 50 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión II 4. Efectúa las siguientes sumas: a. –(5) + (+8) : ______________ b. –(–2) + (3) : ______________ c. (–10) + (–8) + 1 : ______________ Nivel II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ Nivel III 9. Reduce A=(10)+(30)+(5)–(20) A) 35 B) –20 C) 11 D) 25 E) 12 10. Reduce P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8] A) –1 B) 0 C) 1 D) –2 E) 7 Desafío helicoidal 11. Efectúa [(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 12. Si a b=2a+b p q=p+q calcula (–8 10)–(–18 9). A) –7 B) –3 C) 3 D) –8 E) 7 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 Resolución 2. Efectúa [(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)] Resolución 50 m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ 10. Reduce P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8] A) –1 B) 0 C) 1 D) –2 E) 7 Desafío helicoidal 11. Efectúa [(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 12. Si a b=2a+b p q=p+q calcula (–8 10)–(–18 9). A) –7 B) –3 C) 3 D) –8 E) 7 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 Resolución 2. Efectúa [(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)] Resolución 50 Á lge m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión II a. –(5) + (+8) : ______________ b. –(–2) + (3) : ______________ c. (–10) + (–8) + 1 : ______________ Nivel II 5. Efectúa las siguientes sustracciones: a. (+10)–(–10) : ______________ b. (+200)–(50) : ______________ c. (–333)–(–222) : ______________ 6. Efectúa M=+(2)–(–3)+7–(–1) A) 12 B) 13 C) 11 D) 10 E) 5 7. Efectúa Q=–(–3)–(–2)–(–1) A) –6 B) –2 C) 6 D) 3 E) 4 8. Completa las siguientes divisiones: a. (–20)÷(–5) : ______________ b. 200÷(–20) : ______________ c. –35÷1 : ______________ 9. Reduce A=(10)+(30)+(5)–(20) A) 35 B) –20 C) 11 D) 25 E) 12 10. Reduce P=[2+5+(–8)]+[7–(9+5)+8] A) –1 B) 0 C) 1 D) –2 E) 7 Desafío helicoidal 11. Efectúa [(–3+16)+(–12+5)]÷[–(–6+5–5)] A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 12. Si a b=2a+b p q=p+q calcula (–8 10)–(–18 9). A) –7 B) –3 C) 3 D) –8 E) 7 1. Halla el resultado de N=(–80)–(–14+67)+(–45+43)–(–32)–10 Resolución 2. Efectúa [(–2)(–7)(+1)]–[(–12)(–5)(0)] Resolución 3. 5. 4. 5. 3. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 12. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 12 1.er Año Compendio de CienCiAs i 56 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría Observamos el caso de la división, por ejemplo, para los números 8 y 4 ∈ . 8 4 =2 ∈ , pero 4 8 =0,5 ∉  Ya que el cociente de dos enteros no es necesariamente entero, se tuvo que extender el conjunto de los enteros al conjunto de los racionales. Luego se define  como , 0 a a b b b   = ∧ ∈ ≠       donde a : numerador b : denominador Números fraccionarios Son aquellos números racionales que no son enteros. Ejemplos No son Números números fraccionarios fraccionarios 1 3 2 14 8 ; ; ; 3 4 3 2 4 − −     Interpretación gráfica de las fracciones ¿Qué significa la fracción 3 8 ? Gráficamente 3 8 Se observa 1.º El denominador indica en cuántas partes se divide el todo. 2.º El numerador representa las partes del todo que se toman o que se consideran. Lectura y escritura de fracciones Recordando 1 2 se lee: ______________________________________ 2 3 se lee: ______________________________________ 6 7 se lee: ______________________________________ 1 10 se lee: ______________________________________ 2 41 se lee: ______________________________________ ______ se lee “dos veinteavos”. ______ se lee “cinco doceavos”. Ley de signos de multiplicación y división ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ + + ÷ +   + +   − ⋅ − − ÷ −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ⋅ − + ÷ −   − −   − ⋅ + − ÷ +   Fracciones equivalentes Son aquellas que tienen el mismo valor. Se obtienen fracciones equivalentes por simplificación o por amplificación. Ejemplos 1. Sea la fracción 2 3 . 2×5 3×5 = 10 15 es equivalente a 2 3 . Multiplicando por un mismo número entero al nu- merador y denominador (amplificación). 2. Si tenemos la fracción 30 30 24 = 15 5 24 12 4 tenemos fracciones equivalentes (por simplifica- ción): 15 12 y 5 4 . 3. Si los dos términos de una fracción tienen un divisor común y se divide por dicho divisor, la fracción re- sultante es equivalente a la primera. a÷n b÷n = p q → a b = p q Sea la fracción 20 36 20÷4 36÷4 = 5 9 → 20 36 = 5 9 LOS NÚMEROS RACIONALES () 02 OPERACIONES EN Q RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 13. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 13 1.er Año Compendio de CienCiAs i 57 Á lgebrA m AtemÁtiCA I. Adición y sustracción Se pueden dar los siguientes casos: A) Para fracciones homogéneas. Ejemplo 5 7 + 3 7 – 2 7 = 5+3–2 7 = 6 7 B) Para fracciones con denominadores primos entre sí. Se puede efectuar con el método del aspa. Ejemplo 3 5 7 11 3⋅11+5⋅7 5⋅11 33+35 55 68 55 + = = = C) Para fracciones cuyos denominadores que no sean primos entre sí. Primero se halla el MCM. Ejemplo 3 4 5 12 7 6 9+5 12 14 12 + × ÷ = = = 7 6 MCM(4, 12) = 12 Procedimientos importantes 1. Simplificación Simplificar una fracción es hallar otra equivalente que sea irreductible. Simplifica a. 24/36 b. 70/80 c. 52/36 2. Reducción a común denominador Ejemplo Reduzca a común denominador 5 6 ; 7 12 ; 3 10 ⇒ MCM(6, 12, 10)=60 ¾ 60 ÷ 6=10 ⇒ 10×5=50 ∴ 5 6 = 50 60 ¾ 60÷12=5 ⇒ 5×7=35 ∴ 7 12 = 35 60 ¾ 60÷10=6 ⇒ 6×3=18 ∴ 3 10 = 18 60 Las nuevas fracciones son: 50 60 ; 35 60 y 18 60 . II. Multiplicación Para multiplicar números racionales se multiplican los numeradores y los denominadores separadamente. Ejemplo 4 11 5 3 20 8 22 2      − −             Simplificando 4 − 1 20 5 11           1 5 8 22         2 3 1 2 5    − =−           1 1 5 8              1 3 2 2      −       = (–1)⋅1⋅1⋅(–3) 1⋅8⋅2⋅2 = 3 32 Si hay números racionales negativos debes multipli- carlos teniendo en cuenta la ley de signos. III. División Para dividir dos números racionales, se multiplica el primero por el inverso del segundo. Ejemplo 6 3 6 4 5 −   − ÷ =     2 5 4 3 × 1 10 5 4 2 = − = − Otra forma (extremos y medios) ad bc a b c d = Producto de extremos Producto de medios Ejercicios ¾ 2 5 3 4 ¾ 5 9 8 27 OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Sabíasque... Cuando una fracción es irreductible esta se forma como representante canónico del número racional. 25 10 → 25÷5 10÷5 = 5 2 ⇒ Fracción irreductible Es decir el par (5; 2) es el representante. Observación 1 5 16 15 = 3 Número mixto 16 5 1 3 5 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 14. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 14 1.er Año Compendio de CienCiAs i 58 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Efectúa: 3 3 1 3 5 2 3 2   − + −     Resolución Operando el paréntesis 6 15 1 3 10 3 2 −   + −     Luego – 9 10 + 1 3 – 3 2 = –27+10–45 30 =– 31 15 Rpta.: – 31 15 2. Determina el valor de 2 1 4 3 5 1 3 1 15   −   ×     −     Resolución Efectuando numerador y denominador del corchete 10 3 4 15 14 3 15 −     ×         Luego se tiene 7 4 7 15 14 3 15     × =         1 15 ⋅ 15 14 ⋅ 2 4 3 × Finalmente 1 2 1 4 × 2 2 3 3 = Rpta.: 2 3 3. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Si 1 n+5 =4, entonces 1 n+6 es Resolución Como 1 n+5 =4, entonces n+5= 1 4 ; luego n+6=1+ 1 4 = 5 4 , de donde finalmente deducimos que 1 n+6 = 4 5 . Rpta.: 4 5 Helicopráctica Sesión I 1. Efectúa 3 7 – 2 7 + 5 7 + 1 7 Resolución 2. Halla el valor de M. M= 1 2 – 3 4 Resolución 1.er Año Compendio de CienCiAs i 58 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Efectúa: 3 3 1 3 5 2 3 2   − + −     Resolución Operando el paréntesis 6 15 1 3 10 3 2 −   + −     Luego – 9 10 + 1 3 – 3 2 = –27+10–45 30 =– 31 15 Rpta.: – 31 15 2. Determina el valor de 2 1 4 3 5 1 3 1 15   −   ×     −     Resolución Efectuando numerador y denominador del corchete 10 3 4 15 14 3 15 −     ×         Luego se tiene 7 4 7 15 14 3 15     × =         1 15 ⋅ 15 14 ⋅ 2 4 3 × Finalmente 1 2 1 4 × 2 2 3 3 = Rpta.: 2 3 3. Nivel I (primera fase ONEM 2006) Si 1 n+5 =4, entonces 1 n+6 es Resolución Como 1 n+5 =4, entonces n+5= 1 4 ; luego n+6=1+ 1 4 = 5 4 , de donde finalmente deducimos que 1 n+6 = 4 5 . Rpta.: 4 5 Helicopráctica Sesión I 1. Efectúa 3 7 – 2 7 + 5 7 + 1 7 Resolución 2. Halla el valor de M. M= 1 2 – 3 4 Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 15. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 15 1.er Año Compendio de CienCiAs i 59 Á lgebrA m AtemÁtiCA 3. Efectúa B=2 1 5 +3 2 5 Resolución 4. Calcula C+D si C=2+ 11 7 y D= 3 7 –3 Resolución 5. Halla el valor de Q. Q=2 1 3 – 5 9 Resolución 6. Calcula M+N si M= 1 5 – 1 2 y N= 3 4 + 1 2 Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 16. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 16 1.er Año Compendio de CienCiAs i 60 Á lgebrA m AtemÁtiCA 7. Efectúa 2 9 + 1 4 + 7 9 + 3 5 – 1 4 + 7 5 Resolución 8. Resuelve N= 2 9 – 1 3 – 1 2 + 4 5 + 13 10 Resolución Helicotaller Nivel I 1. Efectúa 1 6 + 5 6 + 1 6 – 4 6 A) 1 6 B) 2 C) 1 D) 1 2 E) 6 2. Halla el valor de M. M= 1 6 – 3 2 A) 8 6 B) – 4 3 C) – 1 3 D) 1 3 E) 8 Nivel II 3. Efectúa A=3 5 8 –1 2 8 A) 2 B) 2 8 C) 5 8 D) 19 8 E) 1 8 4. Halla el valor de N. N=1 1 4 – 5 12 A) 5 4 B) 5 6 C) 1 4 D) 5 12 E) 4 5. Halla el valor de 1 2 + 3 2 – 1 1 3 + 5 6 A) – 1 6 B) 13 6 C) 1 6 D) – 13 6 E) –6 Nivel III 6. Efectúa 8 13 + 9 4 + 5 7 + 5 13 + 2 7 – 5 4 A) 3 B) 1 4 C) 1 13 D) 1 7 E) 13 1.er Año Compendio de CienCiAs i 60 Á lgebrA m AtemÁtiCA 7. Efectúa 2 9 + 1 4 + 7 9 + 3 5 – 1 4 + 7 5 Resolución 8. Resuelve N= 2 9 – 1 3 – 1 2 + 4 5 + 13 10 Resolución Helicotaller Nivel I 1. Efectúa 1 6 + 5 6 + 1 6 – 4 6 A) 1 6 B) 2 C) 1 D) 1 2 E) 6 2. Halla el valor de M. M= 1 6 – 3 2 A) 8 6 B) – 4 3 C) – 1 3 D) 1 3 E) 8 Nivel II 3. Efectúa A=3 5 8 –1 2 8 A) 2 B) 2 8 C) 5 8 D) 19 8 E) 1 8 4. Halla el valor de N. N=1 1 4 – 5 12 A) 5 4 B) 5 6 C) 1 4 D) 5 12 E) 4 5. Halla el valor de 1 2 + 3 2 – 1 1 3 + 5 6 A) – 1 6 B) 13 6 C) 1 6 D) – 13 6 E) –6 Nivel III 6. Efectúa 8 13 + 9 4 + 5 7 + 5 13 + 2 7 – 5 4 A) 3 B) 1 4 C) 1 13 D) 1 7 E) 13 1.er Año Compendio de CienCiAs i 60 Á lgebrA m AtemÁtiCA 7. Efectúa 2 9 + 1 4 + 7 9 + 3 5 – 1 4 + 7 5 Resolución 8. Resuelve N= 2 9 – 1 3 – 1 2 + 4 5 + 13 10 Resolución Helicotaller Nivel I 1. Efectúa 1 6 + 5 6 + 1 6 – 4 6 A) 1 6 B) 2 C) 1 D) 1 2 E) 6 2. Halla el valor de M. M= 1 6 – 3 2 A) 8 6 B) – 4 3 C) – 1 3 D) 1 3 E) 8 Nivel II 3. Efectúa A=3 5 8 –1 2 8 A) 2 B) 2 8 C) 5 8 D) 19 8 E) 1 8 4. Halla el valor de N. N=1 1 4 – 5 12 A) 5 4 B) 5 6 C) 1 4 D) 5 12 E) 4 5. Halla el valor de 1 2 + 3 2 – 1 1 3 + 5 6 A) – 1 6 B) 13 6 C) 1 6 D) – 13 6 E) –6 Nivel III 6. Efectúa 8 13 + 9 4 + 5 7 + 5 13 + 2 7 – 5 4 A) 3 B) 1 4 C) 1 13 D) 1 7 E) 13 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 17. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 17 1.er Año Compendio de CienCiAs i 61 Á lgebrA m AtemÁtiCA 7. Calcula A+B si A=1+ 4 3 y B= 2 3 –4 A) – 19 12 B) 7 4 C) – 10 3 D) 21 12 E) –1 8. Resuelve M= – 3 5 + 1 2 + – 1 3 – 1 2 A) – 1 10 B) – 1 6 C) – 8 31 D) – 14 15 E) –6 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 61 lgebrA m AtemÁtiCA 3 3 A) – 19 12 B) 7 4 C) – 10 3 D) 21 12 E) –1 5 2 3 2 A) – 1 10 B) – 1 6 C) – 8 31 D) – 14 15 E) –6 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 1. 61 m AtemÁtiCA resueltos correctamente V.o B.o Profesor Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 2. Á lgebrA 10 3 8. Resuelve M= – 3 5 + 1 2 + – 1 3 – 1 2 A) – 1 10 B) – 1 6 C) – 8 31 D) – 14 15 E) –6 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor 2 4 15 14 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 8 14 11 3. 61 m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 4. Á lgebrA Helicopráctica Sesión II Nivel III 9. Efectúa A= 3 5 + 9 7 + 1 3 + 2 3 + 2 5 – 2 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Efectúa N= 7 12 + 2 3 + 9 5 + 5 12 – 2 3 + 1 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 11. Efect A) 8 17 D) 7 10 12. Efect A) 1 D) – 1. Reduce 2 7 1 1 L 5 10 2 5     = + − −         Resolución 2. Calcu Resol 5. 61 m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 18. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 18 1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA Helicopráctica Sesión II Nivel III 9. Efectúa A= 3 5 + 9 7 + 1 3 + 2 3 + 2 5 – 2 7 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 10. Efectúa N= 7 12 + 2 3 + 9 5 + 5 12 – 2 3 + 1 5 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Desafío helicoidal 11. Efectúa 5 6 1 9 + 1 2 1 18 – A) 8 17 B) 7 8 C) 8 7 D) 7 10 E) 5 12 12. Efectúa 1 6 1 3 – 5 2 ÷ 1 3 1 2 + A) 1 B) 2 C) –2 D) – 1 2 E) 5 1. Reduce 2 7 1 1 L 5 10 2 5     = + − −         Resolución 2. Calcula M+N si M= 3 5 × 5 4 × –4 7 y N= 9 8 × –8 3 × 4 3 × 1 7 Resolución 61 m AtemÁtiCA 7 + 7 – 7 + 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 T=3 5 – 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 61 m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 61 m AtemÁtiCA 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 61 m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Efectúa 2 7 + 3 7 – 1 7 + 3 7 A) 9 7 B) 6 7 C) 1 D) 4 7 E) 1 7 2. Halla el valor de N. N= 3 8 – 5 4 A) 7 8 B) – 7 8 C) – 2 4 D) – 1 2 E) 1 2 3. Halla el valor de A= 2 5 – 4 3 A) – 14 15 B) 15 14 C) – 15 14 D) 14 15 E) 1 14 4. Efectúa R=3 1 4 +2 3 4 A) 13 4 B) 2 C) 6 D) 11 4 E) 7 Nivel II 5. Halla el valor de T. T=3 1 5 – 7 15 A) 15 41 B) 41 15 C) 16 5 D) 5 16 E) 5 31 6. Efectúa 2 3 – 1 2 + 1 6 – 3 2 A) 9 6 B) 7 6 C) – 7 6 D) 6 5 E) 13 6 7. Calcula M+N si M= 1 6 – 1 2 y N= 2 9 –1 A) 9 10 B) 1 4 C) – 10 9 D) 2 5 E) 7 4 8. Calcula A+B si A= 3 5 – 1 2 y B= 1 6 + 2 3 A) 8 15 B) 14 15 C) 11 15 D) 7 15 E) 2 15 1. 2. 3. 5. 4. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 19. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 19 1.er Año Compendio de CienCiAs i 68 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría Este capítulo comprende una operación importante: la potenciación. 1. Potenciación Operación que consiste en multiplicar un número llamado base tantas veces como factor, como lo in- dica otro número llamado exponente, para obtener otro número llamado potencia, así tenemos bn =P, b ∈ , n ∈ , P ∈  Donde b: base n: exponente natural P : potencia Ejemplos 2×2×2×2×2 = 25 = 32 5 veces POTENCIA EXPONENTE BASE 3×3×3×3 = 34 = 81 4 veces POTENCIA EXPONENTE BASE Ley de los signos en la potenciación (*) (BASE POSITIVA)PAR = + Ejemplo ¾ (+2)4 = + 24 ↓ (+24 ) = 16 (*) (BASE POSITIVA)IMPAR = + Ejemplo ¾ (+2)5 = + 25 ↓ (+2)5 = 32 (*) (BASE NEGATIVA)PAR = + Ejemplo ¾ (–2)6 = +26 ↓ (–2)6 = 64 (*) (BASE NEGATIVA)IMPAR = – Ejemplo ¾ (–2)5 = –25 ↓ (–2)5 = –32 Debes tener presente lo siguiente: 1. 1n = 1 con n ∈  Ejemplo ¾ 123 = 1 2. (–1)PAR = 1 Ejemplo ¾ (–1)16 = 1 3. (–1)IMPAR = –1 Ejemplo ¾ (–1)17 = –1 4. 0n = 0 con n ∈ + – {0} Ejemplo ¾ 017 = 0 Para realizar diversas operaciones a través de la po- tenciación es necesario recordar las potencias más usuales. Potencias más usuales EN BASE 2: EN BASE 3: EN BASE 4: EN BASE 5: EN BASE 7: 21 =2 31 =3 41 =4 51 =5 71 =7 22 =4 32 =9 42 =16 52 =25 72 =49 23 =8 33 =27 43 =64 53 =125 73 =343 24 =16 34 =81 44 =256 54 =625 74 =2401 25 =32 35 =243 45 =1024 55 =3125 26 =64 36 =729 27 =128 28 =256 29 =512 210 =1024 LEYES DE EXPONENTES 03 LEYES DE EXPONENTES I RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 20. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 20 1.er Año Compendio de CienCiAs i 69 Á lgebrA m AtemÁtiCA 2. Definiciones (principales exponentes) 2.1. Exponente cero b0 =1, ∀b ∈  ∧ b ≠ 0 Ejemplos ¾ 70 =1 ¾ (5x)0 =1 00 =Indefinido Como número real no existe. Ejemplo (9–9)0 =00 → INDEFINIDO 2.2. Exponente uno b1 =b, ∀b ∈  ¾ Caso particular: ; , 0 n n a b a b b a −     = ≠         • 2–3 = 1 22 = 1 8 • 6–3 = 1 63 = 1 216 También • 2 2 2 3 9 3 2 4 −     = =         • 3 3 5 6 216 6 5 125 −     = =         Recíprocamente • 1 2 =2–1 • 1 23 =2–3 Recuerda El exponente uno ya no se escribe, se sobreen- tiende. Ejemplos ¾ 81 =8 ¾ 5=51 2.3. Exponente de exponente (cadena de expo- nente) abcde Para desarrollar se toma los 2 últimos términos (base y exponente), luego se va transformando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los términos. Ejemplos ¾ 4 32 =49 =262 144 ¾ 2 32170 = 2 321 = 2 32 = 2 9 = 512 2.4. Exponente negativo b–n = , b≠0 1 bn Observación Si n ∈ , 0–n no está definido. Es decir 0–1 ; 0–5 ; 0–12 ... no está definido como números reales. Sabíasque... Es conveniente indicar la diferencia entre –34 y (–3)4 El exponente no afecta al signo. ⇒ –34 = –81 Ejemplos ¾ –24 =–2×2×2×2=–16 ¾ (–2)4 =(–2)(–2)(–2)(–2)=16 El exponente si afecta al signo, porque hay paréntesis. ¾ –3–2 =– 1 32 =– 1 9 ¾ – 1 7 –2 =(–7)2 =49 ¾ (– 2)0 =1 ¾ –70 =–1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 21. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 21 1.er Año Compendio de CienCiAs i 70 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Halla el valor de M= 5 0 –4–2 +(–4)–2 +5⋅ 6 0 Resolución ¾ Hallamos por separado cada expresión 5 0 =1 4–2 = 1 42 = 1 16 (–4)–2 = 1 (–4)2 = 1 16 6 0 =1 ¾ Ahora reemplazamos los valores obtenidos M=1– 1 16 + 1 16 +5(1) M=1+5 M=6 Rpta.: 6 2. El valor de       –1 1 1 1 2 es Resolución Por exponente negativo –1 1 1 2 1 1 2 1 2 = =       =2 Rpta.: 2 3. Calcula K=23702008 +2(–1)27 +3(–1)34 Resolución 1.º Hallamos 23702008 = 2370 = 231 = 23 =8 2.º Hallamos ¾ 2(–1)27 =2(–1)=–2 (Todo número negativo elevado a un número impar resulta siempre negativo). ¾ 3(–1)34 =3(+1)=3 (Todo número negativo elevado a un número par resulta siempre positivo). 3.º Reemplazamos los valores obtenidos K=8+(–2)+3 K=8–2+3 K=9 Rpta.: 9 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 22. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 22 1.er Año Compendio de CienCiAs i 71 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión I 1. Halla el valor de N=70 +91 –150 –41 Resolución 2. Efectúa R=(–68)0 +7x0 – 2 0 +(7x)0 , x≠0 Resolución 3. Efectúa B=(1,72)0 –(7 5)0 +(7,25)0 Resolución 4. Efectúa S=52 +24 –62 –90 Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 23. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 23 1.er Año Compendio de CienCiAs i 72 Á lgebrA m AtemÁtiCA 5. Calcula Q=72 +82 –53 Resolución 6. Reduce 10x0 +6(x+y)0 –30 +5x0 , x≠0 Resolución 7. Halla el valor de A=(–2)4 +(–3)3 –(–5)3 Resolución 8. Halla el valor de B=–(–1)18 –(–1)23 –(–6)2 Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 24. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 24 1.er Año Compendio de CienCiAs i 73 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Halla el valor de M=20 +51 –70 –31 A) 2 B) 0 C) 1 D) 4 E) 3 2. Calcula Q=(–20)0 +5a0 –100 +(5a)0 A) 6 B) 0 C) –1 D) 5 E) 2 Nivel II 3. Efectúa A=–(0,85)0 –(6 11)0 +(2,18)0 A) –1 B) –2 C) 0 D) –3 E) 2 4. Efectúa T=42 +33 –25 +70 A) 12 B) 44 C) –32 D) 27 E) 21 5. Calcula P=34 +43 –24 –33 A) 102 B) 145 C) –43 D) 16 E) 154 Nivel III 6. Reduce E = 2x0 +6(x+y)0 5x0 –30 , x≠0 y x+y≠0 A) 2 B) x C) 8 D) 1/4 E) 28 7. Halla el valor de M=–(–7)3 +(–5)3 –(–6)2 A) 182 B) 218 C) 36 D) –125 E) 28 8. Halla el valor de R=(–1)100 –(–1)80 +(–6)2 A) 36 B) 38 C) –35 D) 100 E) 10 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 25. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 25 74 Á lg m AtemÁtiCA Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 1.er Año Compendio de CienCiAs i 74 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 74 m AtemÁtiCA 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 74 Á lgebr m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 1.er Año Compendio de CienCiAs i 74 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         A) 6 B) 5 C) 10 D) 12 E) 8 1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 6. Efectúa T=53 –62 –33 +70 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 12. Efectúa –1 –1 1 1 – 2 3 1 1 1 M 8 3 2     −             = + +         1.er Año Compendio de CienCiAs i Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Halla el valor de A=70 +151 –120 –91 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 2. Halla el valor de B= 5 0 +81 – 7 0 –31 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4 3. Calcula M= 3 0 +501 +(–50)1 –7m0 , m≠0 A) 5 B) 6 C) 7 D) –6 E) 8 4. Calcula Q=(–15)0 +7m0 –120 +(7m)0 , m≠0 A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Nivel II 5. Efectúa R=–(7,12)0 –(5 7) 0 +(5,72)0 A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) –2 7. Calcula 5 2 0 2 2 2 3 4 5 1 + − + − A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 11 8. Reduce 0 0 0 0 0 6 (6 ) K , 0 3( 3) – ( 2 ) m m m m m m + − = ≠ + A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Nivel III 9. Halla el valor de Q=–(–2)4 +(–3)3 +(–5)2 A) –16 B) –18 C) –20 D) –14 E) 14 10. Calcula A=(–1)2010 –(+1)2009 +(–5)2 A) 25 B) 16 C) 27 D) 26 E) 15 Desafío helicoidal 11. Efectúa K= 7 0 –5–2 +3 2 0 +(–5)–2 A) 2 B) 3 C) 4 1. 2. 3. 5. 4. 1. 2. 3. 5. 4. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 26. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 26 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 52 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría Aquí mencionamos las leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones. bm.bn = bm+n bx.by.bz.bw = bx+y+z+w En forma extensiva TEOREMA 1: Multiplicación de bases iguales. Ejemplos ¾ x2.x.x3 = x2+1+3 = x6 ¾ a0,2. a0,7.a0,1 = ¾ 2x .23 .25 = ¾ b1/2.b3/2.b5/2.b1/2 = Recíprocamente ¾ 4x+5 = 4x .45 ¾ ax+1 = ¾ 10a+b+2 = TEOREMA 2: División de bases iguales. , b≠0 m m n n b b b − = ¾ 5 2 2 x = 2x–5 ¾ 5 2 x x = ¾ 2009 2006 ( 5) ( 5) − − = Sabíasque... Si se tiene que luego obtenemos m n m n p q p q b b b − − − + − = ( ) m n m n p q m n p q p q b b b b − − − − − − + − = = Regla práctica “La base resultante lleva como exponente una forma par- ticular, donde el exponente del numerador mantiene su exponente, mientras el exponente del denominador va a pasar con signos opuestos”. Ejemplos ¾ 1 1 1 2 1 2 2 2 4 2 x x x x + + − + − = = = ¾ 2 7 2 9 3 3 x x − − = ¾ 7 4 7 4 5 2 2 2 2 2 x y x y x y y x x y = ⋅ = ¾ 15 8 10 9 a b b a = ¾ 7 4 7 5 2 x yz z y x = (bm ) n =bm.n En forma extensiva TEOREMA 3: Potencia de una potencia. ( ) q p n m m n p q b b ⋅ ⋅ ⋅       =           LEYES DE EXPONENTES II 04 LEYES DE EXPONENTES II RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 27. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 27 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 53 Á lgebrA m AtemÁtiCA Ejemplos ¾ (x3 )–5 = x(3)(–5) = x–15 ¾ (a–4 )–2 = ¾ (xa )3 = ¾ ( ) 47 0 5 3 2 −                 = Recíprocamente ¾ x3m = (x3 )m ¾ 32x = ¾ a15 = Observación Si se tiene (bm ) n = bm.n (bn ) m = bn.m → (bm ) n = (bn ) m Ejemplos ¾ ( ) ( ) 3 3 2 2 8 x x x = = ¾ (xn )m = ¾ ( ) 2 3 x = (am.bn )p =am.p.bn.p (am.bn.cq )p =am.p.bn.p.cq.p En forma extensiva TEOREMA 4: Potencia de un producto. Ejemplos ¾ (2x3 y2 ) 3 = 2(1)(3).x(3)(3) .y(2)(3) = 8x9 y6 ¾ (2x4 ) 4 = ¾ (3m2 n3 p–5 ) 2 = Recíprocamente ¾ 2x.ax = (2a)x ¾ 2a. 3a .5a = ¾ a2x .y3x.z4x = , 0 p m m p n n p a a b b b ⋅ ⋅   = ≠     TEOREMA 5: Potencia de un cociente. Ejemplos ¾ 5 2 2 5 10 3 3 5 15 x x x y y y ⋅ ⋅   = =     ¾ 2 3 x   =     ¾ 3 2 2 3 x a   =     ¾ 3 5 2 a b   =     Recíprocamente ¾ 5 5 5 x x y y   =     ¾ 5 3 x x = ¾ 6 3 a a = Nota No confundir (bm )n con bmn , pues (bm )n ≠ bmn , ∀m≠0 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 28. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 28 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 54 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. SiK= 0 2 4 2 4 7 3 2   + +     y M= 1 1 2 2 K K (1 K) , 27 −   + − +     el valor de M+K es (ONEM 2006 NIVEL 3) Resolución K = 7+1+ 16 K 9 16 → = M = 1 1 2 2 9 9 (1 9) 27 −   + − +     M = 1 2 2 2 27 (3 ) ( 8) 9   + − +     M = 3+64 +3 → M = 70 ∴ M+K= 70+9= 79 Rpta.: 79 2. Simplifica 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 n n n n n n n n + + + + − − − − + + + + + + (ONEM 2006 NIVEL 3) Resolución Factorizando la potencia de menor exponente en el numerador y denominador 1 0 1 2 3 1 1 4 5 4 3 2 1 0 4 2 (2 2 2 2 ) 2 2 2 32 2 (2 2 2 2 ) 2 n n n n n n + + + − + − − + + + = = = = + + + Rpta.: 32 3. Simplifica 1 2 1 2 3 2 4 8 M (2 ) 16 n n n n + − + − + − ⋅ + = ⋅ Resolución Expresando las potencias en función de la base 2. 1 2 2 1 3 2 3 2 (2 ) (2 ) M (2 ) 16 n n n n + − + − + − ⋅ + = ⋅ 1 4 2 3 6 1 4 2 3 6 3 3 2 2 2 2 2 M 2 16 2 16 n n n n n n n n + − + − + + − + − + − − ⋅ + + = = ⋅ ⋅ 3 3 3 6 3 3 3 6 3 3 2 2 2 2 2 2 M 16 2 16 2 n n n n n n − + − + − − − − + ⋅ + ⋅ = = ⋅ ⋅ 3 3 3 3 8 2 64 2 72 2 M 16 2 n n n − − − − ⋅ + ⋅ ⋅ = = ⋅ 3 16 2 n − ⋅ 72 9 M 16 2 = = Rpta.: 72 9 M 16 2 = = RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 29. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 29 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 55 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión I 1. Simplifica R = a7.a.a–4 .a–5 Resolución 2. Reduce 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 M x x x x x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ Resolución 3. Simplifica T = (y4.y–3.y2.y) 3 Resolución 4. Reduce 3 4 4 5 3 2 2 5 4 2 ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) b b b b b − ⋅ ⋅ = ⋅ Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 30. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 30 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 56 Á lgebrA m AtemÁtiCA 5. Reduce 2 4 3 2 7 4 4 2 6 3 ( ) ( )( ) Q ( ) m n m n m n m n − − = Resolución 6. Reduce 4 5 4 3 2 3 4 2 31 5 2 (3 ) (3 ) 3 A 3 (3 )     ⋅ ⋅     = ⋅ Resolución 7. Reduce 2 2 2 2 5 5 5 5 (70 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Resolución 8. Reduce 1 1 1 3 3 3 2 3 5 B 2 3 5 − − − − − − = + + Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 31. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 31 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Simplifica M= x. x3.x4 .x–7 . A) 1 B) 2 x C) 2x D) x E) 2 2. Reduce 27 veces 25 veces ... Q ... x x x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅         A) 1 B) x2 C) 2x D) –2x E) 0 Nivel II 3. Simplifica A= (m3.m–1.m5 ) 5 . A) m B) x35 C) m35 D) x E) 35m 4. Reduce 2 5 4 3 3 2 6 4 ( ) ( ) K , 0 ( ) ( ) x x x x x ⋅ = ∀ ≠ ⋅ A) 2x B) x2 C) x D) x6 E) 2 x 5. Reduce 2 3 3 2 6 2 4 3 3 2 3 ( ) ( )( ) K ( ) x y x y x y x y − − = A) x6 y2 B) xy2 C) x2 y6 D) (xy)6 E) xy Nivel III 6. Indica el exponente final de a al reducir R = 2 2 4 3 5 4 4 4 8 ( ) a a a a a a a   ⋅ ⋅ ÷ ⋅ ⋅ ⋅     A) 10 B) a10 C) a D) 10a E) a/2 7. Reduce 3 3 3 3 4 4 4 4 (30 factores) ... S (20 factores) ... x x x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) 10 B) 1 C) x D) x10 E) 0 8. Reduce 2010 2011 2001 2008 2008 1999 2 3 6 R 2 3 6 = + − A) –5 B) 4 C) 0 D) 2001 E) –1 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 32. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 32 58 Á l m AtemÁtiCA Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + A) 25 B) 27 C) 30 D) 32 E) 21 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 12. Reduce 1 2 3 2 5 R= 2 5 − − − + A) 1/2 B) 27 C) 23/2 D) 627 E) 6/27 58 A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + A) 25 B) 27 C) 30 D) 32 E) 21 A) 1 D) y 11. Reduc A) 25 D) 16 12. Reduc A) 1/2 D) 62 58 Á m AtemÁtiCA 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + A) 25 B) 27 C) 30 D) 32 E) 21 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 12. Reduce 1 2 3 2 5 R= 2 5 − − − + A) 1/2 B) 27 C) 23/2 D) 627 E) 6/27 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 58 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + A) 25 B) 27 C) 30 D) 32 E) 21 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 12. Reduce 1 2 3 2 5 R= 2 5 − − − + A) 1/2 B) 27 C) 23/2 D) 627 E) 6/27 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA m AtemÁ Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 12. Reduce 1 2 3 2 5 R= 2 5 − − − + A) 1/2 B) 27 C) 23/2 D) 627 E) 6/27 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q x x x − − −     = 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 58 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Simpliflica A= x3.x2 .x–4.x5 A) x–2 B) x6 C) x2 D) x4 E) x5 2. Simpliflica A= (m5.m–7.m)3 . A) m3 B) m–3 C) m1 D) m–1 E) m5 3. Reduce 3 2 3 2 7 4 3 2 2 3 ( ) ( )( ) M= ( ) a b a b ab a b − − A) b B) b2 C) b3 D) b4 E) b5 4. Simpliflica 2 2 2 4 3 3 2 M m m m m = ⋅ ⋅ ⋅ . A) m16 B) m21 C) m32 D) m42 E) m45 Nivel II 5. Reduce 2 2 2 3 3 3 (50 factores) ... E (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ A) x B) x5 C) x10 D) x15 E) x4 6. Reduce 3 2 6 4 5 3 3 4 ( ) Q ( ) x x x x x − − −     = ⋅ A) x B) x–4 C) x–6 D) x8 E) x4 7. Reduce 2011 2010 2009 2009 2009 2008 5 3 2 R 5 3 2 = + + A) 25 B) 27 C) 30 D) 32 E) 21 8. Reduce 3 3 3 5 5 5 (60 factores) ... A= (30 factores) ... x x x x x x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ A) x10 B) x20 C) x30 D) x40 E) x11 Nivel III 9. Reduce ( 3) veces 2 2 2 (2 5) veces ... Q= ... n n x x x x x x + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅     A) x B) x2 C) x3 D) x4 E) x5 10. Reduce 25 veces 25 veces 2 2 2 24 veces ... ... Q= ( )( )...( ) x x x x y y y xy xy xy ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅          A) 1 B) x C) xy D) y E) yx Desafío helicoidal 11. Reduce 4 5 4 7 3 7 5 4 2 3 6 7 5 7 Q= 5 7 m p n p p m p n − + − + − + + − + + − A) 25 B) 7 C) 18 D) 16 E) 14 12. Reduce 1 2 3 2 5 R= 2 5 − − − + A) 1/2 B) 27 C) 23/2 D) 627 E) 6/27 1. 2. 3. 5. 4. 1. 2. 3. 5. 4. (xy2 )(xy2 )...(xy2 ) xy2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 33. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 33 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 65 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría Las siguientes leyes están dadas para la transformación de expresiones afectadas por el símbolo de una raíz. 1. Radicación Es aquella operación algebraica, que consiste en ha- llar una cantidad llamada raíz, de tal manera que dicha raíz elevada al valor del índice nos reproduce al radicando (o cantidad subradical). ALGORITMO Donde: n∈, n ≥ 2 __________ __________ __________ __________ n n a b b a = ↔ = Ejemplos ¾ 3 3 8 2 2 8 = ↔ = ¾ 3 125 = ¾ 5 32 = 2. Definición DEFINICIÓN: Exponente fraccionario. m,n∈ ∧ n ≥ 2 m n n m b b = Ejemplos ¾ 1 2 2 49 49 7 = = ¾ 2 3 x = ¾ 2 x y z + = 3. Ley de signos Ejemplo Ejemplo impar ( ) ( ) + = + impar ( ) ( ) − = − 3 27 = 3 8 − = Ejemplo 4 16 = Ejemplo par ( ) ( ) + = + par ( ) − ∉  3 − ∉  TEOREMA 1: Potencia de una raíz. ( ) , 2 p n n m m p b b n ⋅ = ≥ Ejemplos ¾ ( ) 5 3 (3)(5) 15 x x x = = ¾ ( ) 2 3 n x = ¾ ( ) 3 2 a y x = Ejemplos ¾ 1 2 4 4 2 = = ¾ 1 3 27 = ¾ 1 5 ( 32) − = RADICACIÓN EN  Sabíasque... Si se tiene luego para fines prácticos m m m n m n n n b b b b → = = 1 1. Si 1 2. Si 1 n n m m n n m b b m b b ° =→ = ° ≠ → = 05 RADICACIÓN EN R RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 34. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 34 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 66 Á lgebrA m AtemÁtiCA Ejemplos ¾ 3 3 x x = ¾ 3 x x = ¾ 2 5 = Ejemplos ¾ 3 3 5 5 3 2 2 32 x x = = ¾ 2 3 n n = ¾ 6 4 x = n n x y x y n a b a b ⋅ = ⋅ TEOREMA 2: Raíz de una multiplicación. En forma extensiva n n n n x y z x y z a b c a b c ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ Ejemplos ¾ y x x y x y x x x x y x y x y ⋅ = ⋅ = ⋅ ¾ 5 10 5 20 a b c = ¾ 2 8 x y z = Recíprocamente ¾ 2 2 3 3 3 x y x y ⋅ = ⋅ ¾ 2 5 ⋅ = ¾ 5 5 5 2 7 6 x x x ⋅ ⋅ = TEOREMA 3: Raíz de una división. , 0 n x x n y n y a a b b b = ≠ Ejemplos ¾ 3 7 7 3 3 x x y y = ¾ 2 x x x = Recíprocamente ¾ 3 3 4 4 x x x = ¾ 5 7 5 2 x x = TEOREMA 4: Raíz de raíz. En forma extensiva n m n m k k b b ⋅ = N N a b c d e a b c d e ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Sabíasque... Si m m n n b b = y hacemos m =n, se tendrá ∴ n n b b = , ∀ b ≥ 0 1 n n n n b b b b = = = Recuerda Siempre que b ≥ 0 ∧ m, n, k ∈, se cumple, dadas las si- guientes formas: Primera forma mk m nk n mk m nk n b b b b = = = → nk n mk m b b = Segunda forma 1 k nk k n nk n b b b b = = = → nk k n b b = Tercera forma: nk k nk n k b b b = = → k nk n b b = RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 35. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 35 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 67 Á lgebrA m AtemÁtiCA Ejemplos ¾ ( )(3) 3 3 2 2 2 x x x x x x = = ¾ 5 4 3 120 2 = Propiedad ¾ ( ) p mnp y z m n w wn y p z b b b b + + = × × + + Ejemplo ¾ (3)(5)(2) 3 30 5 2 4 (10 4)2 1 29 x x x x x + + = = Problemas resueltos 1. Calcula ( ) 2 1 3 2 3 2 8 4 4 4 2 −       +               (ONEM 2005 NIVEL 3) Resolución ( ) 2 1 2 3 3 1 4 4 2 2 −     ⋅ + ⋅ =           ( ) 2 2 3 3 1 4 8 2 −   ⋅ + =     22.(22 ) 3 +22 = 22.26 +22 = 28 +4 = 256+4 = 260 Rpta.: 260 2. Si x1, reduce 1 1 1 1 1 1 1 3 4 6 4 6 8 x x x x x x x − − − − − − − + + + + (ONEM 2005 NIVEL 2) Resolución El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el numerador y denominador por 24x–1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 (3 4 6 ) 1 1 1 24 4 6 8 x x x x x x x x x − − − − − − − − − + +   + +     Efectuando en el denominador 1 1 1 1 24 3 4 6 x x x x − − − − + + ( ) 1 1 1 6 4 3 x x x − − − + + 1 1 1 24 24 x x x − − − = = Rpta.: 24 3. Reduce 9 9 3 x y x y x y x y x y − − − + + Resolución 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 − − − − + + + − − − + = + 1 1 3 3 3 3 x y x y x y x y + + − − = + = + 10 3 = Rpta.: 10 3 = 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 67 Á lgebrA m AtemÁtiCA Ejemplos ¾ ( )(3) 3 3 2 2 2 x x x x x x = = ¾ 5 4 3 120 2 = Propiedad ¾ ( ) p mnp y z m n w wn y p z b b b b + + = × × + + Ejemplo ¾ (3)(5)(2) 3 30 5 2 4 (10 4)2 1 29 x x x x x + + = = Problemas resueltos 1. Calcula ( ) 2 1 3 2 3 2 8 4 4 4 2 −       +               (ONEM 2005 NIVEL 3) Resolución ( ) 2 1 2 3 3 1 4 4 2 2 −     ⋅ + ⋅ =           ( ) 2 2 3 3 1 4 8 2 −   ⋅ + =     22.(22 ) 3 +22 = 22.26 +22 = 28 +4 = 256+4 = 260 Rpta.: 260 2. Si x1, reduce 1 1 1 1 1 1 1 3 4 6 4 6 8 x x x x x x x − − − − − − − + + + + (ONEM 2005 NIVEL 2) Resolución El mínimo de 6, 4 y 8 es 24; luego multiplicando el numerador y denominador por 24x–1 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 24 (3 4 6 ) 1 1 1 24 4 6 8 x x x x x x x x x − − − − − − − − − + +   + +     Efectuando en el denominador 1 1 1 1 24 3 4 6 x x x x − − − − + + ( ) 1 1 1 6 4 3 x x x − − − + + 1 1 1 24 24 x x x − − − = = Rpta.: 24 3. Reduce 9 9 3 x y x y x y x y x y − − − + + Resolución 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 y y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 − − − − + + + − − − + = + 1 1 3 3 3 3 x y x y x y x y + + − − = + = + 10 3 = Rpta.: 10 3 = RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 36. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 36 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 68 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 729 9 = ( ) ¾ 25 5 − = − ( ) ¾ 4 4 6 6 12 2 6 = ( ) 2. Si se tiene que 61/2 ; –81/5 y 52/3 , determina sus radi- cales equivalentes. Resolución 3. Calcula 9 11 11 9 A 6 2 5 = + ⋅ Resolución 4. Halla el valor de 5 4 10 C 7 10 = − Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 37. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 37 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 69 Á lgebrA m AtemÁtiCA 5. Simplifica 5 6 15 U 25 32 x x = + − Resolución 6. Calcula 3 3 3 3 54 R 3 9 2 = + ⋅ Resolución 7. Calcula 3 3 5 4 A 32 16 = − Resolución 8. Reduce 12 17 5 2 7 32x y x y Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 38. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 38 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 70 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 27 − = –3 ( ) ¾ 900 300 = ( ) ¾ 16 4 − = − ( ) 2. Si se tiene que 1 1 1 3 2 4 5 ; ( 9) y 10 − , indica la alterna- tiva que contenga los equivalentes radicales. A) 3 3 5; 9 y 10 − B) 4 3 5; 9 y 10 − C) 3 4 5; 9 y 10 − D) 5; 9 y 10 − E) N.A. Nivel II 3. Calcula 3 5 3 5 A 4 7 = ⋅ . A) 25 B) 3 C) 11 D) 28 E) 8 4. Halla el valor de 3 3 6 6 R 3 4 = + A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 7 5. Simplifica E = 4 8 16 4 16 x x + A) x4 B) 4x4 C) 4x2 D) 16x4 E) 4x Nivel III 6. Calcula 3 3 N 2 4 7 7 = ⋅ − ⋅ A) –5 B) –4 C) 7 D) –3 E) 8 7. Calcula Z = 645/6 – 813/4 A) 1 B) 2 C) 5 D) 3 E) 8 8. Reduce 20 12 4 16 4 81x y x y A) 3xy2 B) 3xy C) xy2 D) 3x2 y E) 3x Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 39. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 39 71 gebrA m AtemÁtiCA Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N 2 b b b + + = A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 3 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 71 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N 2 b b b + + = A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 3 71 m AtemÁtiCA D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N 2 b b b + + = A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 3 71 gebrA m AtemÁtiCA Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N 2 b b b + + = A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 3 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 71 Á lgebrA m AtemÁtiCA Autoevaluación Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N 2 b b b + + = A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) 3 Á lgebrA orresponda. ( ) ( ) ( ) VFF 50 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 m AtemÁtiCA ¾ 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 3 6 4 A 64 25 x x = + A) 4x2 B) 10x2 C) 9x2 D) 5x2 E) 3x2 D) –6 8. Reduce A) 3a2 D) 3a6 9. Calcul A) 1/2 D) 3/4 10. Halla e A) 6 D) 2 11. Calcul A) 2 D) 5 12. Reduce A) 1 D) 8 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA A Autoevaluación Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 3 I 2 3 3 2 8 = ⋅ ⋅ ⋅ + − A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 E) 6 6. Halla el valor de 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ A) 2 B) 4 C) 0 D) 5 E) 6 12. Reduce 3 5 5 2 2 N b b b + + = 1.er Año Compendio de CienCiAs ii Á lgebrA Autoevaluación Nivel I 1. Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. ¾ 3 8 2 − = ( ) ¾ 10 1024 3 = ( ) ¾ 9 3 − = − ( ) A) VVV B) FFF C) VFF D) VFV E) FVV 2. Calcula 5 3 5 3 M 7 2 = + A) 14 B) 9 C) 5 D) 24 E) 26 3. Calcula 1 1 3 2 A ( 125) 49 = − + A) 7 B) –5 C) 2 D) –2 E) 5 4. Calcula 5 8 4 3 R 2 27 = + A) 84 B) 243 C) 250 D) 30 E) 247 Nivel II 5. Halla el valor de 7. Calcula R = 811/4 – (–27)2/3 A) –1 B) –3 C) –2 D) –6 E) –4 8. Reduce 25 17 3 7 8 27 E a b a b − = A) 3a2 b3 B) –3a2 b3 C) –3a6 b3 D) 3a6 b3 E) 3a4 b5 Nivel III 9. Calcula 1/3 1/2 1 1 Y 8 16     = −         A) 1/2 B) 1/4 C) 1/6 D) 3/4 E) 1/3 10. Halla el valor de 10 4 12 N 4 2 = ⋅ A) 6 B) 8 C) 16 D) 2 E) 4 Desafío helicoidal 11. Calcula 4 6 3 3 5 3 R 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ ⋅ 1. 2. 3. 5. 4. 1. 2. 3. 5. 4. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 40. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 40 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 78 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicoteoría Definición Son aquellas ecuaciones que se caracterizan porque la in- cógnita se ubica en el exponente. I. Primer caso Es de la forma bx = bn donde: b≠0, b≠1 Para hallar el valor de x se utiliza el siguiente prin- cipio: Principio “A bases iguales se tiene exponentes iguales”. Si bx = bn → x=n, b≠ 0 ∧ b≠ 1 Ejemplo Si 54 =5x Si 3 1 1 2 2 x     =         x = __________ x = __________ Dentro de este primer caso se presentan los siguien- tes subcasos: I.a. Ecuación exponencial en su forma simple Es cuando las bases se expresan en su forma simple o se tiene la presencia de potencias. Ejemplo Halla el valor de x en 22x+1 = 32 Resolución Expresando el 32 como potencia de 2. 22x + 1 = 25 Por principio 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2 I.b. Ecuación exponencial con exponentes sucesivos Son ecuaciones donde las bases presentan ex- ponentes sucesivos. Para resolverlas debemos transformarlas hasta conseguir bases iguales. Ejemplo Halla el valor de x en 3 2 7 1 8 2 4 2 x x + − = Resolución Llevando a bases iguales 3 2 7 1 2 8 2 (2 ) 2 x x + − = Operando 3 2 7 1 2 8 2 2 2 x x + − ⋅ = Por principio 2.83 + 2x = 27x–1 Nuevamente llevando a bases iguales 21.(23 )3+2x = 27x–1 Luego 21+9+6x = 27x – 1 Por principio 10 + 6x = 7x – 1 10+1 = 7x – 6x 11 = x I.c. Ecuación exponencial con radicales Son ecuaciones donde aparece, por lo menos, un radical. Aquí es necesario aplicar las leyes de exponentes para eliminar el operador radical y lograr transformar a bases iguales. Ejemplo Resuelva ( ) 2 3 3 243 x+ = Resolución Transformando a bases iguales ( ) 2 3 3 6 5 3 3 3 x x + + = = ECUACIÓN EXPONENCIAL Para resolver este primer caso debemos llevar a bases iguales los miembros de la ecuación. Nota 06 ECUACIÓN EXPONENCIAL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 41. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 41 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 79 Á lgebrA m AtemÁtiCA Por exponente fraccionario 3 6 5 2 3 3 x+ = Por principio se tiene 3 6 5 2 x + = 3x+6 = 10 4 3 x = I.d. Ecuación exponencial con adición o multipli- cación de bases iguales Para resolver este tipo de ecuaciones se apli- cará las leyes de exponentes para generar una potencia común y luego aplicar el principio. Ejemplo Halla el valor de x en 2x+5 – 2x+3 – 2x+1 = 176 Resolución Descomponiendo los exponentes 2x.25 –2x.23 –2x.2 = 176 Factorizando 2x 2x (25 –23 –2) = 176 2x (22) = 176 2x = 8 2x = 23 Por principio x = 3 I.e. Ecuación exponencial de bases diferentes En este tipo de ecuación, al reducirse se llega a bases diferentes, lo cual hace necesario que los exponentes sean iguales a cero para que la igualdad se cumpla. Ejemplos Halla el valor de x en 23x – 6 = 7x – 2 Resolución Observamos que para que se cumpla la igual- dad necesariamente 3x – 6 = 0 ∧ x – 2 = 0 3x = 6 ∧ x = 2 x = 2 II. Segundo caso Es de la forma Por comparación → f(x) = b b ≠ 0 ∧ b ≠ 1 ( ) ( )f x b f x b = Ejemplos Halla el valor de x en xx = 27 Resolución En el primer miembro la base es igual al exponente, entonces, buscamos la misma relación en el segundo miembro. xx = 27 xx = 33 Por comparación x = 3 II.a. Ecuación exponencial de la forma especial: n n n n = n x x n x n x n = → =  Ejemplos Halla el valor de x en 6 6 x x = Métodos de resolución 1.er Método Trabajando el segundo miembro 6 6 x x = Pero 6 es igual a 6 6 6 y así tenemos 6 6 6 6 6 6 x x = Por comparación 6 6 x = 2.º Método Aplicando la propiedad n x x n x n x n = → =  6 6 x x = , n = 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 42. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 42 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 80 Á lgebrA m AtemÁtiCA Problemas resueltos 1. Si x1, verifica 3 4 3 4 1/ 1 n x x x x   =     halle el valor de 3 4 n + . (ONEM 2005 NIVEL 2) Resolución Operando por partes 1 4 3 1 1 1 1 4 3 x x x x x x − − − − − ⋅ = ⋅ ⋅ 4 3 2 ( 3 1)2 1 x ⋅ ⋅ − − − = 3 24 9 8 x x − − = = 3 2 3 4 4 24 n n n x x x − ⋅ ⋅ − − = = Igualando 3 8 24 n x x − = a bases iguales tenemos 3 8 24 n − = − n = 9 Piden: 3 9 3 12 3 4 4 4 n + + = = = Rpta.: 3 2. Halla los valores enteros de m y n que cumplen 2m +3n = 3n+2 – 2m+1 Dé como respuesta el valor de m+n. (ONEM 2006 NIVEL 2) Resolución 2m +2.2m = 3n .32 – 3n 3.2m = 8.3n 3 1 3 1 2 3 2 3 2 3 m n m n − − = → = La igualdad tiene sentido solo si m–3 = 0 ∧ n–1 = 0 m = 3 ∧ n = 1 m+n = 4 Rpta.: 4 3. Cuál es el valor de n que verifica 2 n n n n n n n x x x ⋅ = si x1. Resolución n n x n n n n x ⋅ n n ⋅ 2 n x = 1 1 2 n x x x ⋅ = 1 2 n n x x + = 1 2 n n + = n+1 =2n ∴ n= 1 Rpta.: 1 − − RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 43. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 43 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 81 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicopráctica Sesión I 1. Halla el valor de m. 8m–2 = 32 Resolución 2. Halla el valor de x. 85 = 32x–2 Resolución 3. Halla el valor de x. 1252x+4 = 6252 Resolución 4. Halla el valor de x. 4 8 4 5 5 x m m − = Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 44. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 44 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 82 Á lgebrA m AtemÁtiCA 5. Al resolver mm–3 = 25 halla el valor de m. Resolución 6. Halla el valor de x. ( 2) ( 2) ( 2) 16 x x x − − − = Resolución 7. Halla el valor de a. 3 4 5 125 a− = Resolución 8. Halla el valor de x. 2 1 6 3 1 1 5 2 x x − +     =         Resolución RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA
  • 45. ÁLGEBRA 1ER GRADO DE SECUNDARIA 45 1.er Año Compendio de CienCiAs ii 83 Á lgebrA m AtemÁtiCA Helicotaller Nivel I 1. Resuelva 49 = 75x – 3 A) 0 B) 2 C) 3 D) 1 E) 4 2. Halla el valor de x. 253 = 55x–4 A) 0 B) –1 C) 2 D) –2 E) 1 Nivel II 3. Halla el valor de a. 125a+2 = 252a–2 A) 9 B) 10 C) 7 D) 4 E) 5 4. Halla el valor de x. 2 1 3 2 2 4 4 x x + − = A) –4 B) 4 C) –2 D) 2 E) 3 5. Resuelve e indica el valor de m. (m – 3)(m – 3) = 55 A) 8 B) 2 C) 10 D) 25 E) 9 Nivel III 6. Halla el valor de x. ( 8) ( 8) 27 ( 8) 3 x x x + + + = A) 1 B) –5 C) 4 D) 6 E) 0 7. Halla el valor de a. 6 3 7 7 a+ = A) 2 B) 3 C) –3 D) 0 E) 1 8. Halla el valor de x. 5x–3 = 24x–12 A) 1 B) 2 C) –3 D) 3 E) 4 Problemas resueltos correctamente V.o B.o Profesor RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - RAZONAMIENTO VERBAL INSTITUCIÓN EDUCATIVA PRIVADA BÁSICO 1ER GRADO DE SECUNDARIA