3. 3
MONOTONÍA DE FUNCIONES
La gráfica de la distancia de un representante de ventas que recorre desde su casa
como función del tiempo en cierto día es como sigue:
a) Determine los intervalos (tiempo) en los que su distancia desde su casa es
creciente, en aquellos en los que fue decreciente, no decreciente y no creciente.
b) Describa verbalmente lo que indica la gráfica acerca de sus viajes en ese día.
4. 4
y
x
MONOTONÍA DE FUNCIONES
Función Creciente
Dada una función f real de variable Real
f es creciente si :
∀𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑎 < 𝑏 → 𝑓 𝑎 < 𝑓(𝑏)
y
x
Función Decreciente
Dada una función f real de variable Real
f es decreciente si :
∀𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑎 < 𝑏 → 𝑓 𝑎 > 𝑓(𝑏)
a b a b
f(a)
f(b)
f(b)
f(a)
5. 5
y
x
Función No Creciente
Dada una función f real de variable Real
f es No creciente si :
∀𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑎 < 𝑏 → 𝑓 𝑎 ≥ 𝑓(𝑏)
y
x
Función No Decreciente
Dada una función f real de variable Real
f es No decreciente si :
∀𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓: 𝑎 < 𝑏 → 𝑓 𝑎 ≤ 𝑓(𝑏)
MONOTONÍA DE FUNCIONES
6. 6
Señale en cada caso si la función es Creciente, decreciente, no creciente o no
decreciente, en en todo su dominio.
MONOTONÍA DE FUNCIONES
𝐟 𝐱 = 𝟐 − 𝒙𝟐
, 𝐱 ∈ ℝ−
𝐟 𝐱 = 𝑺𝒆𝒏𝒙, 𝐱 ∈ [
𝝅
𝟐
;
𝟑𝝅
𝟐
]
7. 7
Señale en cada caso si la función es Creciente, decreciente, no creciente o no
decreciente, en en todo su dominio.
MONOTONÍA DE FUNCIONES
𝐟 𝐱 = 𝒙 + 𝟐 + 𝒙 − 𝟒 , 𝐱 ∈ ℝ+
𝐟 𝐱 =
−𝟐𝒙
𝒙
, 𝐱 ∈ ℝ
8. 8
En la función
MONOTONÍA DE FUNCIONES
𝐟 𝐱 = 𝒙𝟐 − 𝟐 𝒙
Señale los intervalos de Crecimiento:
Señale los intervalos de decrecimiento:
¿Es la función monótona?
9. 9
Dada la función
MONOTONÍA DE FUNCIONES
𝐟 ∶ 𝒂; 𝒃 → ℝ Una función Afin decreciente
𝐟 ∶ 𝒂; 𝒃 → ℝ
tiene Rango 𝒂; 𝒃 − 𝟓 . Determine la
pendiente de la Recta gráfica de la
función si la longitud del intervalo
dominio es de 10 unidades
Teorema
Cuyo gráfico es de un solo trazo entre los
puntos: 𝒂; 𝒇 𝒂 y 𝒃; 𝒇 𝒃
Se cumple que:
𝐟 𝐞𝐬 𝐂𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 → 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒇 = [𝒇 𝒂 ; 𝒇 𝒃 ]
𝐟 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 → 𝑹𝒂𝒏𝒈𝒇 = [𝒇 𝒃 ; 𝒇 𝒂 ]
Caso creciente Caso decreciente
b
a
f(b)
f(a)
b
a
f(b)
f(a)
Ejercicio
10. 10
Dada la gráfica de la función f como sigue:
a) Halle el dominio y rango de la función f.
b) ¿Para que valor de x, f(x)=-3.
c) Grafique f(x-2), f(x)+1, f(-x), -f(x), 2f(x).
d) Grafique |f(x)| y f(|x|).
DESPLAZAMIENTOS Y REFLEJOS DE GRAFICAS DE FUNCIONES
11. DESPLAZAMIENTOS Y REFLEJOS DE GRAFICAS DE FUNCIONES
Dada una función f real de variable Real cuya grafica en el plano de descartes es
11
y
x
b
a
m
n
Dom f = [a;b]
Rang f = [m;n]
Veamos como se puede graficar una nueva función g a partir de traslados y
reflejos de esta función con regla de correspondencia y=f(x)
12. 12
y
x
b
a
m
n
Desplazamiento horizontal
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = 𝐟(𝐱 − 𝐡) representa al traslado de la gráfica |h| unidades
a la derecha si h es positivo
a la izquierda si h es negativo
y
x
b+h
a+h
h
Desplazamiento
Rango Invariante
y = f(x) y = f(x − h)
n
m
13. 13
y
x
b
a
m
n
Desplazamiento Vertical
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = 𝐟 𝐱 + 𝐤 representa al traslado de la gráfica |k| unidades
hacia arriba si k es positivo
hacia abajo si k es negativo
y
x
n+k
m+k
k
Dominio Invariante
y = f(x) y = f x + k
a
b
Desplazamiento
14. 14
y
x
b
a
m
n
Reflejo en el eje “y”
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = 𝐟(−𝐱) representa al reflejo de la gráfica en el eje “y”
y
x
-b
-a
m
n
REFLEJOS
Rango Invariante
y = f(x) y = f(−x)
15. 15
y
x
b
a
m
n
Reflejo en el eje “x”
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = −𝐟 𝐱 representa al reflejo de la gráfica en el eje “x”
y
x
b
a
-n
-m
REFLEJOS
Dominio Invariante
y = f(x) y = −f x
16. 16
y
x
b
a
n
Reflejo en el eje “x” de los puntos de segunda componente negativa
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = |𝐟 𝐱 | representa al reflejo de los puntos de segunda
componente negativa de la gráfica en el eje “x”
y
x
b
-m
n
a
m
Dominio Invariante
y = f(x) y = f(x)
17. 17
y
x
b
a
n
Caso Especial
𝐲 = 𝐟(𝐱)
Si tenemos entonces 𝐲 = 𝐟 |𝐱| Tiene una gráfica que se obtiene con estos pasos:
1) Se borran todos los puntos de primera
componente negativa.
2) Se agrega el reflejo de los puntos de primera
componente positiva, en el eje “y”
y
x
b
n
-b
m
y = f(x) y = f |x|
