Este documento describe los números naturales. Define los números naturales como los números enteros no negativos que se usan para contar objetos. Explica que históricamente los seres humanos usaron objetos como piedras o dedos para contar antes de desarrollar símbolos numéricos. También describe diferentes construcciones axiomáticas de los números naturales, incluyendo los axiomas de Peano y la definición en la teoría de conjuntos.

1. conjunto de numeros reales
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2. Contenidos
Artículos
Número natural 1
Número entero 7
Teorema de los números primos 13
Conjetura de los números primos gemelos 15
Cuerpo de números algebraicos 16
Axiomas de los números reales 17
Número irracional 20
Número real 22
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 29
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 30
Licencias de artículos
Licencia 31

3. Número natural 1
Número natural
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque
fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.
Definiciones
• La Real Academia Española los define como "Cada uno de los
elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." [1]
• Es el conjunto de los números enteros no negativos.
• Un número es un símbolo que indica una cantidad.
Los números naturales pueden usarse para contar
(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
El conjunto de los números naturales se representa por y corresponde al siguiente conjunto numérico:[2]
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al
operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a .
El cero y la definición de los números naturales
Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que no
exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunos
matemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural;
otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
Históricamente, el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación
natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales.
Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones,
la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los
números naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número
de elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran
en estado off.
De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio,
observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él.[cita requerida]

4. Número natural 2
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para
contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.
Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una
vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor
del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de
escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,
en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,
mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard
Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto
de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege
perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la
existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del
axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de
números naturales como ordinales según von Neumann.
Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las
que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano rigen la estructura números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de
conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.
Los cinco axiomas de Peano son:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural
cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A es precisamente el conjunto de todos los
números naturales. Éste es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La
idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se
quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga
precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por
Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en

5. Número natural 3
3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.
Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene
elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada número natural
tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes expresiones:
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por
ejemplo:
• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
• y en general
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por
naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus
antecesores. Así si y sólo si .
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo
axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de
demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que
si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto
inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado
Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en
un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones
Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación
binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación

6. Número natural 4
biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación verifica las
propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente
llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las operaciones de suma y
producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los conjuntos
representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y unitario.
Operaciones con los números naturales
Las operaciones matemáticas son acciones de relación que permiten a los seres humanos acordar procesos culturales
de lectura simbólica de agrupación o construcción, de disgregación o deconstrucción, así como del numeros de raices
u origen de un determinado objeto geometrico o de propiedades dimensionales, que se pueden realizar con un
determinado conjunto numérico.
Los conjuntos númericos son espacios en los cuales las operaciones pueden hacerse con elementos de dichos
conjuntos y dar como resultado de la acción elementos que pueden estar dentro o fuera de ellos, Si la operación su
resultado siempre da elementos del conjunto numérico se dice que el espacio es cerrado para dicha operación
(cumple con la propiedad clausurativa), si el resultado algunas veces da elementos del conjunto y otras veces no, se
dice que el espacio es abierto para dicha operación. (no cumple con la propiedad clausurativa)
De allí que se puede decir que las operaciones en los números naturales son: la adición cuyo resultado es la suma
(operación cerrada, constructora de linealidad), la sustracción cuyo resultado es diferencia o resta (operación abierta
deconstructora de la linealidad), la multiplicación cuyo resultado recibe el nombre de producto (operación cerrada,
constructora de ortogonalidad (ángulo recto)), la división cuyo resultado es el cociente (operación abierta de doble
naturaleza deconstructora de la ortogonalidad (desarma al ángulo recto), o como razón de cambio), la potenciación
cuyo resultado es potencia (operación cerrada en los natursales, constructora de objetos geométricos "perfectos"),
radicación cuyo resultado es raiz (operación abierta, deconstructora de objetos geométricamente perfectos) y la
logaritmación (operación abierta, que establece el posible número de raices de un objeto potencialmente perfecto, o
de posibles propiedades dimensionales de los objetos geometricos).
Es así como las operaciones quedan establecidas para su reconocimiento geométrico como constructoras,
deconstructoras y de propiedades dimensionales de los objetos geométricos. a partir de esta concepción se puede
decir que:
La sustracción es la operación inversa a la adición de la misma manera que la división es la inversa de la
multiplicaciones, es decir,
si a+b = c, entonces b = c - a; se observa como la adición o suma construye segmentos de rectas y la sustracción o
resta deconstruye el segmento de recta.
No siempre se puede realizar una resta entre números naturales, debido a que no siempre se cumple que el número al
que se le resta el otro, es mayor.
Se puede realizar, 20 - 5 = 15; siendo 20 el minuendo y 5 el sustraendo; pero no 5-20; la razón es que el resultado,
-15, no está dentro del conjunto de los números naturales.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas. Es decir:
• El orden de los números no altera el resultado, a+b = b+a, pues la construcción de dicho segmento conserva su
longitud sin importar que cantidad coloque primero, y a×b = b×a siempre construira la misma área rectangular,
sin importar el orden en el cual se coloquen los factores(propiedad conmutativa).
• Para sumar (o multiplicar) tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera
específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.
Al construir la multiplicación de números naturales áreas rectangulares, se puede observar claramente que la adición
o suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades
iguales y gracias esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, ya que:

7. Número natural 5
Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo
si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones
aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:
Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de por cardinales se tiene que si dados
dos representantes y de y respectivamente existe una aplicación inyectiva.Se demuestra
fácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes y elegidos.
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquier
subconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al de
los números naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por y cumple:
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimo
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemos
encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que
y .
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,
son estudiadas por la teoría de números.
Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento
en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de
un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal. En el mundo de lo finito, ambos
conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos. Cuando nos
movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.

8. Número natural 6
Véase también
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios
Referencias
[1] Definición de la Real Academia Española (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltGUIBusUsual?TIPO_HTML=2& TIPO_BUS=3&
LEMA=número#número_natural. )
[2] Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN 978-84-8236-049-2.
Bibliografía
• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.
ISBN 970-32-1392-8.

9. Número entero 7
Número entero
Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros
negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea
entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos,
como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros.
Historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,
aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad
de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos
italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de
ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de
la India. [cita requerida]
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la
cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo
que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance
positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de
3 sueldos.
Estructura de los números enteros
Los enteros con la adición y la multiplicación forman una estructura algebraica llamada anillo. Pueden ser
considerados una extensión de los números naturales y un subconjunto de los números racionales (fracciones). Los
números enteros son subconjunto de los números racionales o fracciones, puesto que cada número entero puede ser
considerado como una fracción cuyo denominador es el número uno.
Los números enteros pueden ser sumados y/o restados, multiplicados y comparados. Si la división es exacta, también
pueden dividirse dentro del mismo conjunto de los enteros. La razón principal para introducir los números negativos
sobre los números naturales es la posibilidad de resolver ecuaciones del tipo:
para la incógnita x.
Matemáticamente, el conjunto de los números enteros con las operaciones de suma y multiplicación,
constituye un anillo conmutativo y unitario. Por otro lado, , donde es el orden usual sobre , es un
conjunto completamente ordenado sin cota superior o inferior: los enteros no tienen principio ni fin. El conjunto de
los números enteros se representa mediante (el origen del uso de Z es el alemán Zahl, «número» o «cantidad»).

10. Número entero 8
Construcción formal de los enteros a partir de los naturales
Un número entero negativo puede ser definido mediante la diferencia de dos números naturales. Por ejemplo
, de donde puede asociarse el número con el par ordenado de números naturales. Sin
embargo, debido a que y una infinidad más de pares ordenados dan como resultado al restar sus
componentes, no puede decirse simplemente que . Lo que puede hacerse, es incluir todos los pares
ordenados de números naturales, que dan como resultado al restar sus componentes, dentro de un solo conjunto,
o, más exactamente, dentro de una clase de equivalencia. Para ello, aprovechamos el que dos pares ordenados
y puedan ser asociados al mismo número entero si:
(1) .
El único problema es que la ecuación (1) no está definida en cuando . Pero esto se remedia fácilmente, al
notar que
equivale a
Ciertamente para cualesquiera , de tal manera que puede definirse una relación sobre
mediante:
si y solo si
La relación es una relación de equivalencia que produce en una partición en clases de equivalencia,
cada una de las cuales puede ser asociada a un único número entero y viceversa. Por ejemplo:
Si admitimos el cero como número natural, podemos definir:
| info=para todo
Si no se acepta el cero como número natural, y se parte, en cambio, del 1, se define entonces
| info=para todo
Luego el cero puede definirse como:
| info=para todo
El escoger y (o y para cuando no se acepta ), para las definiciones
anteriores es una decisión completamente arbitraria que toma en cuenta la sencillez de estos pares ordenados. Nótese
que, de cualquier forma,
| info=para todo
Se define pues el conjunto de los números enteros como el conjunto:
(2)
de todas las clases de equivalencia producidas por la relación sobre el producto cartesiano . Esto es,
es el conjunto cociente:
(3) .

11. Número entero 9
Definición de adición y multiplicación sobre números enteros
Se define la adición ( ) sobre como sigue:
| info=para todo
teniendo previamente definida la adición sobre . La definición anterior no depende de los representantes
escogidos puesto que, por tanto cualesquiera pares iniciales escogidos conducen al mismo resultado:
La multiplicación ( ) sobre se define como sigue:
| info=para todo
teniendo previamente definida la multiplicación sobre . La definición anterior está correctamente definida debido
a que:
Propiedades de los números enteros
Propiedades de clausura
Si , existen tales que:
y, de esto,
De la clausura de la adición sobre , se sigue, por definición, que
Se tiene que la adición sobre el conjunto de los números enteros verifica la propiedad
• Para cualesquiera
Lo mismo cumple la multiplicación sobre :
• Para cualesquiera
Propiedades asociativas
Las propiedades asociativas de la adición y la multiplicación sobre se siguen fácilmente de las definiciones de
estas operaciones. Estas propiedades son:
• Para cualesquiera
y
• Para cualesquiera

12. Número entero 10
Propiedades conmutativas
Puesto que [(m,n)]+[(p,q)]=[(m+p , n+q)]=[(p+m , q+n)]=[(p,q)]+[(m,n)] para cualesquiera ,
tenemos que
• Para cualesquiera
Esta es la propiedad conmutativa de la adición sobre . Esta propiedad la tiene también la multiplicación:
• Para cualesquiera
Propiedad distributiva
Sean los enteros , y . Tenemos
.
Por tanto se cumple la siguiente propiedad distributiva
• Para cualesquiera
Existencia de elementos neutros
El cero, , , tiene la característica de que para todo entero ,
y como sean cuales sean los números naturales tenemos
, de donde , por lo que el cero es un elemento neutro
para la adición sobre . En
• para todo .términos más sencillos,
Se define como sigue:
.
Vemos que, para todo entero ,
y, puesto que , resulta que 1 es un elemento neutro para la
multiplicación sobre . Es decir,
• para todo pt.
a+b _ c

13. Número entero 11
Existencia de elemento opuesto
• Para cada número existe un elemento opuesto que denotaremos por tal que:
Para demostrar que existe el elemento opuesto podemos constrirlo explícitamente como , que
cumple obviamente la propiedad anterior:
Unicidad del elemento opuesto
Además este opuesto es único. Esto significa que para cada entero existe un único número tal que sumado con él el
resultado es cero. Para verlo podemos suponer que existen dos opuestos y , entonces sucede que:
En esta prueba de que el elemento opuesto hemos usado la propiedad asociativa y la unicidad del elemento neutro.
Propiedades cancelativas
Sean y . Tenemos que gracias a la existencia del elemento opuesto:
Por tanto, se cumple la siguiente propiedad cancelativa
• Para todo .
Para la multiplicación también se cumple la propiedad cancelativa, aunque para demostrar esto debe utilizarse un
método distinto, ya que no todo elemento de es una unidad (esto es, no todo entero tiene un inverso), y por tanto
, con su multiplicación, no es un anillo de división. La prueba que sigue de la propiedad cancelativa para la
multiplicación se basa en el hecho de que es un dominio íntegro. Sean pues , y con
. Tenemos que , y de la propiedad distributiva , o sea que , lo
que demuestra que .
Se cumple pues la propiedad cancelativa siguiente:
• Para todo , con .
Propiedades de orden
• Si a = b Entonces b = a
Propiedad reflexiva del orden
• a=a
Propiedad antisimétrica del orden
• Si a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
Propiedad transitiva del orden
• Si a < b y b < c, entonces a < c.
Compatibilidad del orden con las operaciones
• Si a ≤ b entonces a+c ≤ b+c,
para todo c ∈ .
• y si c ≥ 0, con a ≤ b entonces a c ≤ b c

14. Número entero 12
Propiedad o axioma de la buena ordenación
• Sea S un subconjunto no vacío de ℤ, acotado inferiormente, entonces S tiene primer elemento.
Este axioma indica que el conjunto S tiene un ínfimo y un supremo, lo que quiere decir es que S del conjunto de
cotas superiores y cotas inferiores tiene un elemento menor de las cotas superiores llamado supremo que a su vez es
mayor que todos los elementos del conjunto S.
Referencias
Véase también
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios

15. Teorema de los números primos 13
Teorema de los números primos
En teoría de números el teorema de los números primos es un resultado sobre la distribución asintótica de los
números primos.
Enunciado del teorema
Sea el número de primos que son
menores o iguales que . El teorema
establece que:
Gráfico comparativo de π(x) (rojo), x / ln x (verde) y Li(x) (azul).
,donde ln (x) es el logaritmo neperiano de .
Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de muy grandes sea cero;
sólo implica que el cociente de éstas para valores de muy grandes es casi igual a 1.
Una mejor aproximación viene dada por el logaritmo integral:
,donde Li (x) es el logaritmo integral de .
Historia
El teorema de los números primos fue conjeturado por Adrien-Marie Legendre en 1798 y la conjetura fue
posteriormente refinada por Gauss con la expresión que actualmente se asocia más frecuentemente al teorema. La
demostración formal del teorema, la hicieron de forma independiente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean de
la Vallée Poussin en el año 1896. Ambas demostraciones se basaban en el resultado de que la función zeta de
Riemann no tiene ceros de la forma 1 + it con t > 0. En realidad la demostración se hizo sobre una expresión
algo más estricta de lo que se indica en la definición anterior del teorema; siendo la expresión demostrada por
Hadamard y Poussin la siguiente:
donde
.

16. Teorema de los números primos 14
Desde 1896 la expresión asociada al teorema de los números primos ha sido mejorada sucesivamente siendo la
mejor aproximación actual la dada por:
donde se define como la función asintótica a y es una constante indeterminada.
Para valores de pequeños se había demostrado que , lo que llevó a conjeturar a varios
matemáticos en la época de Gauss que era una cota superior estricta de (esto es que la ecuación
no tiene soluciones reales). No obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostró que dicha cota es
cruzada para valores de suficientemente grandes. El primero de ellos se conoce como primer número de Skewes,
y actualmente se sabe que es inferior a , aunque se piensa que puede ser inferior incluso a . En 1914
Littlewood amplió su demostración con la inclusión de múltiples soluciones a la ecuación .
Muchos de estos valores y hallazgos están asociados a la validez de la hipótesis de Riemann.
Relación con la hipótesis de Riemann
Dada la conexión que hay entre la función zeta de Riemann ζ(s) y π(x), la hipótesis de Riemann es muy importante
en teoría de números, y por supuesto, en el teorema de los números primos.
Si la hipótesis de Riemann se cumple, entonces el término error que aparece en el teorema de los números primos
puede acotarse de la mejor manera posible. Concretamente, Helge von Koch demostró en 1901 que
si y sólo si la hipótesis de Riemann se cumple. Una variante refinada del resultado de Koch, dada por Lowel
Schoenfeld en 1976, afirma que la hipótesis de Riemann es equivalente al siguiente resultado:
Aproximaciones para el enésimo número primo
Como consecuencia del teorema de los números primos, se obtiene una expresión asintótica para el enésimo número
primo, denotado por pn:
Una aproximación mejor es:
[1]
Referencias
[1] Michele Cipolla (1902). «La determinazione assintotica dell'nimo numero primo». Matematiche Napoli 3: pp. 132-166.

17. Conjetura de los números primos gemelos 15
Conjetura de los números primos gemelos
Dos números primos se denominan gemelos si uno de ellos es igual al otro más dos unidades. Así pues, los números
primos 3 y 5 forman una pareja de primos gemelos. Otros ejemplos de pares de primos gemelos son 11 y 13 ó 29 y
31.
Conforme se van considerando primos más grandes la frecuencia de aparición de pares de primos gemelos va
disminuyendo, pero aun así se ha visto computacionalmente que siguen surgiendo pares de primos gemelos aun entre
números de tamaños enormes.
La conjetura de los primos gemelos postula la existencia de infinitos pares de primos gemelos. Dado que es una
conjetura, está todavía sin demostrar.
Existe un número infinito de primos p tales que p + 2 también es primo.
La conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números. La mayoría de matemáticos cree que la conjetura
es cierta, y se basan en evidencias numéricas y razonamientos heurísticos sobre la distribución probabilística de los
números primos.
En 1849, Alphonse de Polignac formuló una conjetura más general según la cual, para todo número natural k existen
infinitos pares de primos cuya diferencia es 2·k. El caso k=1 es la conjetura de los números primos gemelos.
Resultados parciales
En 1940, Erdös mostró que existe una constante c < 1 e infinitos primos p tales que p - p < c·ln(p), donde p denota el
número primo que sigue a p. Este resultado fue mejorado sucesivamente: en 1986 Maier mostró que podía emplearse
una constante c < 0,25. Daniel Goldston, János Pintz y Cem Yildirim lograron un gran avance en 2005 al probar que
el resultado es válido para toda constante c>0.
En 1973, Jing-run Chen publicó una prueba que existen infinitos números primos p tales que p+2 es un producto de,
a lo más, dos factores primos. Para conseguir este resultado se basó en la llamada teoría de cribas, y consiguió tratar
la conjetura de los primos gemelos y la conjetura de Goldbach de forma similar.
Conjetura de Hardy-Littlewood
También existe una generalización de la conjetura de los primos gemelos, conocida como la conjetura de
Hardy-Littlewood, sobre la distribución de los primos gemelos, de forma análoga al teorema de los números
primos. Denótese como π2(x) el número de primos p menores que x tales que p+2 también es primo. Defínase la
constante de los números primos C2 como
(p > 3)
La conjetura dice que
en el mismo sentido en que el cociente de las dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito.
Esta conjetura puede justificarse (pero no demostrarse) si se supone, informalmente hablando, que el evento que n no
sea divisible por p y el evento que n+2 no sea divisible por p son estadísticamente dependientes sólo en la medida
que el hecho que n no sea divisible por p hace que p|n+2 sea un evento entre p-1 eventos igualmente probables, y no
un evento entre p eventos igualmente probables. La evidencia numérica que hay detrás de la conjetura de
Hardy-Littlewood es ciertamente impresionante.

18. Conjetura de los números primos gemelos 16
Véase también
• Números primos gemelos
• Constante de Brun
Cuerpo de números algebraicos
En matemática, un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) F es una extensión de
cuerpos finita (y también algebraica) de los números racionales Q. Así pues, F es un cuerpo que contiene Q y tiene
dimensión finita cuando es considerado como un espacio vectorial sobre Q.
El estudio de los cuerpos de números algebraicos, y, más generalmente, de las extensiones algebraicas de los
números racionales, es el tema central de la teoría de números algebraicos.
Definición
Prerrequisitos
La noción de cuerpo de los números algebraicos se basa en el concepto de un cuerpo. Los cuerpos consisten en un
conjunto de elementos, junto con las cuatro operaciones principales, definidas como adición, substracción,
multiplicación y división por elementos distintos de 0. Un ejemplo muy común de cuerpo es el cuerpo de los
números racionales, comúnmente denotados por Q, junto con sus operaciones usuales de suma, etc.
Otra noción necesaria para definir los cuerpos de los números algebraicos es el de espacio vectorial. En la medida
necesaria, los espacios vectoriales pueden ser considerados como secuencias (o tuplas)
(x1, x2, ...)
cuyas partes constituyentes son elementos de un cuerpo fijado, como puede ser el cuerpo Q. Cualquier par de estas
secuencias puede ser sumada mediante la suma de las partes constituyentes una a una. Además, cualquiera de estas
secuencias puede ser multiplicada por un elemento c de un cuerpo fijado. Estas dos operaciones son conocidas como
suma de vectores y multiplicación escalar satisfaciendo un número de propiedades que sirven para definir los
espacios vectoriales abstractamente. Los espacios vectoriales también pueden ser de «dimensión infinita», o lo que es
lo mismo, que las secuencias constituyentes de estos espacios vectoriales tienen longitud infinita. Sin embargo, si el
espacio vectorial consiste en un grupo de secuencias finitas
(x1, x2, ..., xn),
el espacio vectorial se dice que tiene una dimensión finita, n.
Definición
Un cuerpo de números algebraicos (o simplemente cuerpo numérico) es por definición un grado finito de
extensión de cuerpos del cuerpo de los números racionales. este grado de extensión de Q es simplemente llamado
como grado.
Referencias
• Janusz, Gerald J. (1996 1997), Algebraic Number Fields (2nd edición), Providence, R.I.: American Mathematical
Society, ISBN 978-0-8218-0429-2
• Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
• Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CRC, 1999
• Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005

19. Cuerpo de números algebraicos 17
• Narkiewicz, Władysław (2004), Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer Monographs in
Mathematics (3 edición), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-21902-6
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 322,
Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1697859 [1], ISBN 978-3-540-65399-8
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der
Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 1737196 [2], ISBN 978-3-540-66671-4
• Andre Weil, Basic Number Theory, third edition, Springer, 1995
Referencias
[1] http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=1697859
[2] http:/ / www. ams. org/ mathscinet-getitem?mr=1737196
Axiomas de los números reales
Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de una base que respalde cada
procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas
demostraciones los pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse en duda la
veracidad de cualquier afirmación.
Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto, afirmaciones que se aceptan
como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en ocasiones ser demostradas cuando no lo son.
El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: "afirmación no trivial", son los teoremas, que
son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas
usando los axiomas u otros teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se llamará
corolario.
Hay tres tipos de axiomas:
• Los axiomas algebraicos
• Los axiomas de orden
• El axioma topológico.
El primero, trata de las propiedades de suma, resta, multiplicación y división; el segundo establece un orden para los
elementos de cada conjunto dado; el tercero trata sobre la noción de continuidad.
Existe un conjunto que tiene estas propiedades. Nace entonces el primer axioma
Axioma Fundamental
Existe un conjunto que denotaremos por que satisface los tres tipos de axiomas mencionados, de orden,
algebraicos y topológicos.
El conjunto que cumple con estas propiedades se llama El conjunto de los Números Reales y serán los axiomas de
este conjunto, las bases de lo que es quizás la rama más importante de la matemática: el Cálculo
Se puede observar que, usando el lenguaje lógico matemático, los teoremas que se demuestren, serán válidos si los
axiomas son válidos, por lo que los teoremas serán del tipo: Si el axioma Fundamental es cierto, entonces la
afirmación es cierta.

20. Axiomas de los números reales 18
Axiomas Algebraicos
Los axiomas algebraicos, pudiéndose escribir como un todo, pueden ser subdivididos en dos tipos: los de suma y
producto.
1. Axiomas de la suma
Axioma
A1.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamamos la
suma de e .
A1.2 para todo .
A1.3 para todo .
A1.4 Existe un elemento de , denotado por tal que para todo .
A1.5 Para cada existe un tal que .
2. Axiomas del producto
Axioma
A2.1 Para todo , existe un único elemento, también en , denotado por que llamaremos el
producto de e .
A2.2 para todo .
A2.3 para todo .
A2.4 Existe un elemento de , que denotaremos por tal que
A2.5 Para cada tal que no sea cero, existe un tal que .
Análisis axiomático
• El axioma (1.2)conocido como "propiedad conmutativa" dice que el orden de los sumandos no altera el valor de
la suma. Debe tenerse en cuenta que esto es válido sólo para sumas finitas.
• El axioma (1.3) conocido como propiedad asociativa de la suma dice que la asociacion de la suma no altera el
valor de ésta.
• El axioma (1.4) dice que existe un elemento en los números reales que, al ser sumado con cualquier número real,
sigue siendo ese mismo real. Este real se llama cero, y se conoce también como el elemento neutro aditivo de
este conjunto.
• El axioma (1.5) dice que dado un número real cualquiera existe otro (único) tal que la suma de ambos es nula. Si
este elemento es , el número tal que la suma de éste y el otro número sea cero es . Este elemento se
llama inverso aditivo de .
• El axioma (2.2) dice que el orden de los factores no altera el producto.
• El axioma (2.3) dice que el orden con que elijamos los productos no afecta el producto. Esta propiedad se conoce
como propiedad asociativa de la multiplicación.
• El axioma (2.4) dice que existe un número real tal que el producto de éste con otro real, sigue siendo este último.
Este elemento denotado por se conoce como neutro multiplicativo.
• El axioma (2.5) dice que para cualquier real no nulo, existe otro, tal que el producto de ambos da como
resultado el neutro multiplicativo. Este elemento denotado por se conoce como inverso
multiplicativo de .

21. Axiomas de los números reales 19
Axiomas de Orden
Los axiomas de orden establecen una relación de "cantidad" (véase construcción de los naturales). Esta relación es
del tipo mayor o igual. En realidad, cuando se construyen los naturales, se dice que un número es menor que otro si
está contenido en éste, es decir, si su cardinalidad es menor o igual que otra.
Para establecer una relación de orden, es necesario introducir el símbolo que nos dirá si un número es mayor o
menor que otro. Para la igualdad se usa el símbolo que ya conocemos.
Se dirá que o sólo si es menor que . O dicho de otra forma, si es mayor que .
De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto tal que si y sólo si .
Se dan a continuación los Axiomas de Orden
Axioma
O1.1 Si , entonces se cumple una y solamente una de las siguientes afirmaciones:
; ;
O1.2 Si y además , entonces .
O1.3 Si , entonces para todo
O1.4 Si y , entonces .
Análisis axiomático
• El axioma (1.2) dice geométricamente que si está a la izquierda de y éste a su vez a la izquierda de ,
entonces debe estar a la izquierda de . Esta interpretación es bastante útil.
Axioma topológico
Claramente los racionales satisfacen los primeros axiomas, pero no se puede con esto, demostrar la existencia de un
número irracional, como raíz cuadrada de dos por ejemplo. Para esto es necesario el Axioma topológico que dice lo
siguiente.
Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente.
Análisis axiomático
Hay varios conceptos en esta breve afirmación (pero muy importante), que deben conocerse para entender el
significado de este axioma. Éstos, son los de sucesión, creciente, acotado superiormente y convergencia.
Véase también
• Número real
• Principio de buena ordenación
• Teorema
• Cálculo
• Sucesión
• Convergencia
• Acotado

22. Número irracional 20
Número irracional
En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no
puede ser expresado como una fracción , donde y son enteros, con diferente de cero y donde esta
fracción es irreducible.
Notación
[¿quién?]
A veces se denota por al conjunto de los Números Irracionales. Esta notación no es universal y muchos
matemáticos[¿quién?] la rechazan. Las razones son que el conjunto de Números Irracionales no constituyen ninguna
estructura algebraica, como sí lo son los Naturales ( ), los Enteros ( ), los Racionales ( ), los Reales ( )
y los Complejos ( ), por un lado, y que la es tan apropiada para designar al conjunto de Números Irracionales
como al conjunto de Números Imaginarios Puros, lo cual puede crear confusión.
Clasificación
Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría
parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aun quedan "huecos" por rellenar en la recta de los
números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los
números racionales.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos
enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo,
puede definirse al número irracional como decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números
decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido, por ejemplo, el número
racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional raíz cuadrada de 2, el cual
posee infinitas cifras decimales que no siguen un periodo.
Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135
en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales
que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir.
Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los tres
principales son los siguientes:
1. (Número "pi" 3,1415 ...): razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
2. e (Número "e" 2,7182 ...):
3. (Número "áureo" 1,6180 ...):
Los números irracionales se clasifican en dos tipos:
1.- Número algebraico: Son la solución de alguna ecuación algebraica y se representan por un número finito de
radicales libres o anidados; si "x" representa ese número, al eliminar radicales del segundo miembro mediante
operaciones inversas, queda una ecuación algebraica de cierto grado. Todas las raíces no exactas de cualquier orden
son irracionales algebraicos.
Por ejemplo, el número áureo es una de las raíces de la ecuación algebraica:
, por lo que es un número irracional algebraico.
2.- Número trascendente: No pueden representarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen
de las llamadas funciones trascendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. También surgen al escribir
números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva periodo definido, respectivamente, como los

23. Número irracional 21
dos siguientes:
0,193650278443757 ...
0,101001000100001 ...
Los llamados números trascendentes tienen especial relevancia ya que no pueden ser solución de ninguna ecuación
algebraica. Los números pi y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales.
Los números irracionales no son numerables, es decir, no pueden ponerse en biyección con el conjunto de los
números naturales. Por extensión, los números reales tampoco son contables ya que incluyen el conjunto de los
irracionales.
Véase también
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios

24. Número real 22
Número real
En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una
expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31,
37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden
expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no
periódicas, tales como: .
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples aunque carentes
del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras
más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático
formal.
Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque
carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento no se
consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban
expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición Diferentes clases de números reales.
precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que
hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones
formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real.[1] En una sección posterior se
describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de
Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind.
Historia
Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C.
el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales.
Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China
poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler
descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se
utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de
teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el
siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor
(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind
(vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números
reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la
antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann,
Cauchy y Weierstrass.
Evolución del concepto de número
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas
prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemática griega cuando se consideró el aspecto filosófico de
número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a
cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo
expresaron con la máxima «todo es número».

25. Número real 23
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras
dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes
tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta
forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o
la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide :
Si es un número racional donde p/q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común)
entonces 2q²=p².
La expresión anterior indica que p² es un número par y por tanto p también, es decir, p=2m. Sustituyendo
obtenemos 2q²=(2m)²=4m², y por tanto q²=2p².
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q=2n. Mas esto es
imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, mas la hipotenusa de
un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las
magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.[2]
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia
a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmesurables, como la teoría de
proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética
puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos
encontraron (en notación moderna) que si a/b es una aproximación a entonces p=a+2b y q=a+b son tales que
p/q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una
mejor aproximación.[3] Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas
mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones,
originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los
números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la
notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y
longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora
conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando
primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica
este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en
números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grande avances matemáticos, con nuevos y poderosos
métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados con lo infinito mediante el concepto de
límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por
ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la
intuición geométrica) mediante la serie:
entre muchas otras expresiones similares.

26. Número real 24
Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con
la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático, que estudia conceptos como
continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las
demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
Tipos de números reales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que
pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los
irracionales son todos los demaś. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal
aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).
es irracional y su expansión decimal es aperiódica.
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes. Un número es algebraico si existe un
polinomio que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales son
algebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin
embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio
Un ejemplo de número trascendente es
Operaciones con números reales
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:
1. No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque
sí existen en el conjunto de los números complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal
que 0·x=1.
Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas como el cálculo: existen asíntotas
verticales en los lugares donde el denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos valores de
la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable
en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas
en geometría analítica.

27. Número real 25
Notación
Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de
la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos
consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se
consideran sin importancia.
Las medidas en las ciencias físicas son siempre una aproximación a un número real. No sólo es más conciso
escribirlos con forma de fracción decimal (es decir, números racionales que pueden ser escritos como proporciones,
con un denominador exacto) sino que, en cualquier caso, cunde íntegramente el concepto y significado del número
real. En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números
reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático,
mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por un algoritmo recursivo. Un número
no-recursivo es aquél que es imposible de especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo
supone que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números racionales; de todas maneras, algunos
programas de ordenador pueden tratar un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por
ejemplo, " ") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, , la letra "R" en negrita) para representar el conjunto de
todos los números reales.
La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los números reales; por ejemplo, un valor
consiste de tres números reales y determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de que el campo subyacente es el campo de
los números reales. Por ejemplo, matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.
Construcciones de los números reales
Construcción axiomática
El conjunto de números reales, denotado por es aquel conjunto en el que cada elemento cumple cada una de las
siguientes proposiciones:
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3. Si , entonces (Asociatividad en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo)
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación)
9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo)
10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma)
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
•
•
•
13. Si , y entonces (Transitividad)

28. Número real 26
14. Si y , entonces (Monotonía en la suma)
15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación)
16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma
del supremo)
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo ordenado. El último axioma es el que
distingue de otros cuerpos ordenados como .
Construcción por números decimales
Consideramos los números decimales como los conocemos intuitivamente. Sabemos que
, es decir, el número π se expresa como el número entero 3 y una
secuencia infinita de dígitos 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc.
Un número decimal se expresa entonces como donde es un número entero y cada es un
elemento del conjunto . Además, consideramos que no existen las colas de 9.
Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero positivo se le denota por y se le
llama el conjunto de los números reales positivos.
Al conjunto de todos los números decimales donde es un número entero negativo se le denota por y se le
llama el conjunto de los números reales negativos.
Al número decimal se le llama cero.
Al conjunto se le denota por y se le llama conjunto de números reales.
Se define la relación de orden total de los números decimales como
1. para todo
2. siempre que y
3. para todo
4. Dados dos números reales cualesquiera y , en cualquiera
de los casos siguientes:
•
• y además existe tal que para todo y
Construcción por cortaduras de Dedekind
Hay valores que no se pueden expresar como números racionales, tal es el caso de . Sin embargo es claro que
se puede aproximar con números racionales tanto como se desee. Podemos entonces partir al conjunto de los
números racionales en dos subconjuntos y de manera que en el conjunto se encuentran todos los números
racionales y en todos los números racionales tales que .
Una cortadura de dedekind es un par ordenado que hace precisamente esto. Conceptualmente, la cortadura
es el "espacio" que hay entre y . De esta manera es posible definir a como tal que
y .
Es posible demostrar que queda unívocamente definido por , de esta manera la cortadura se reduce
simplemente a .
También es demostrable que el conjunto de todas las cortaduras cumple con los axiomas de los números reales, de
esta manera es el conjunto de todas las cortaduras de Dedekind. Esta es la primera construcción formal de los
números reales bajo la teoría de conjuntos.

29. Número real 27
Construcción por sucesiones de Cauchy
Las sucesiones de Cauchy retoman la idea de aproximar con números racionales un número real. Tómese por
ejemplo, la ecuación.
Es claro que esta sumatoria opera sólo con los números racionales de la forma , sin embargo el resultado
final es el número irracional . Cada vez que se añade un término, la expresión se aproxima más y más a .
Las sucesiones de Cauchy generalizan este concepto para definir a los números reales. Primero se define que una
sucesión de números racionales es una función se denota simplemente por .
Una sucesión de Cauchy es una sucesión de números racionales donde sus elementos cada vez son menos diferentes.
Más formalmente, se define una sucesión de Cauchy como una sucesión de números racionales tales que para todo
existe un tal que para todo se cumple .
De esta manera es posible definir al número real como la sucesión de números racionales:

30. Número real 28
Véase también
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios
Referencias
[1] Anglin, W. S. (1991). Mathematics: A concise history and philosophy. Springer. ISBN 3-540-94280-7.
[2] Dantzig, Tobias (1955). The Bequest of the Greeks. London: Unwin Brothers LTD. 3982581.
[3] Stillwell, John (1989). Mathematics and its History. Springer-Verlag. 19269766. ISBN 3-540-96981-0.

31. Fuentes y contribuyentes del artículo 29
Fuentes y contribuyentes del artículo
Número natural Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=41897618 Contribuyentes: 217-127-165-236.uc.nombres.ttd.es, 2fast4all, Airunp, Akhram, Alephcero,
Alexander-Venezuela, Alvaro qc, Amadís, Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Arrt-932, Arturo Reina, Ascánder, AstroNomo, Ayleen, BL, Banfield, Barteik, Beto29, BetoCG,
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