El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden construirse axiomáticamente como un campo totalmente ordenado y completo. También cubre las operaciones básicas con números reales y las dos excepciones a estas operaciones, que son la ausencia de raíces de orden par de números negativos y la división entre cero.

1. VERONICA TREJO CARBAJAL
Números reales
En matemáticas, los numeros reales(designados por ) incluyen tanto a los
números racionales(positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar de
manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, tales
como: .
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,
algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario
para el trabajo matemático formal.
Tipos de números reales
Un número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Los
números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de
dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los
irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden
describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente
periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal
aperiódica:
Ejemplos:
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir
del tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de
longitud 6 (repite 714285).
Es irracional y su expansión
decimal es aperiódica.
Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes.
Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que
lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Por lo tanto, todos los
números racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero y
q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los
números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio

2. Un ejemplo de número trascendente es
Operaciones con números reales
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con
dos excepciones importantes:
1. No existen raices de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de
números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto
de los numeros complejos donde dichas operaciones sí están definidas).
2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso
multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).
Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticas
como el cálculo: existen asíntotasverticales en los lugares donde el
denominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellos
valores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o no
existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números
negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción
de gráficas en geometría analítica.
Notación
Los números reales se expresan con fracciones decimales que tienen una
secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por
ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos
consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más
dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar por
un algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible de
especificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo supone
que todos los números reales son recursivos.
Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por números
racionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratar
un número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo,
" ") en vez de su respectiva aproximación decimal.
Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, .la letra "R" en negrita)
para representar el conjunto de todos los números reales.
La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de los
números reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales y
determina un lugar en un espacio de tres dimensiones.

3. En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado de
que el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo,
matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.
Construcciones de los números reales
Caracterización axiomática
Artículo principal: Axiomas de los números reales.
Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir
de axiomas, siendo la caracterización más común mediante las siguientes tres
propiedades:
Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface las
siguientes tres condiciones:
1. es un campo.
2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es
compatible con las operaciones del campo:
Si entonces ;
Si y entonces .
3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un
supremo.
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado,
mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que
diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos
ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentes
conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes
al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso
sucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades
mencionadas esisoformoal conjunto de los números reales.
En vista de lo anterior podemos hablar del conjunto de los números reales (y no
de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar
el símbolo para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completo
en el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y

4. que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamente
equivalentes. Algunos de estos son:
(Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de cauchyes
convergente.
(Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión
acotada tiene una subsucesión convergente.
Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados
tiene intersección no vacía.
Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la sección
corresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace un
desglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un
conjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas.
1. Si , entonces (Cerradura en la suma)
2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma)
3. Si , entonces (Asociatividad
en la suma)
4. Existe de manera que para todo (Neutro
aditivo)
5. Para cada existe un elemento tal que
(Inverso aditivo)
6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación)
7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación)
8. Si , entonces (Asociatividad en la
multiplicación)
9. Existe de manera que para cualquier (Neutro
multiplicativo)
10. Para cada existe un elemento tal que
(Inverso multiplicativo)
11. Si , entonces (Distributividad de la
multiplicación en la suma)
12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía)
o
o
o
13. Si , y entonces (Transitividad)
14. Si y , entonces (Monotonía en la
suma)
15. Si , y , entonces (Monotonía en la
multiplicación)
16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en ,
entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)

5. Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpo
ordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenados
como ,
.
LOS NUMEROS NATURALES
surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}
Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la
operación suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo.
Con la operación producto los naturales también tienen estructura de
semigrupo conmutativo.
El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable.
Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia directiva
con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito
numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un
número , es decir, el conjunto cuando es distinto
de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los
números enteros y el de los racionales también son infinitos
numerables como se verá más adelante.
El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es
decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe
una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser
siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra
forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien .
Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un
elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para
todo de se tiene .
Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene
como elemento mínimo a 2.
Principio de inducción matemática: si un subconjunto de
verifica que y, si , resulta que , entonces
.
o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción
cuando queremos probar que una determinada propiedad
se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos

6. probar que la suma de los primeros números naturales es
podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:
Para es claro que la suma de los 1 primeros números
naturales es .
Suponiendo cierta la fórmula para , es decir,
, veamos que también es cierta
para ,
Luego la fórmula es válida para todo n natural.
o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las
siguientes fórmulas:


Dados dos números naturales , no es cierto en general que
exista un natural tal que . Si tal existe se denomina
cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En
este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor
de , o que es un múltiplo de .
Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen
con Los números , , y se denominan
dividendo, divisor,cocienteyresto respectivamente y el
procedimiento para determinar y a partir de y se denomina
división entera.
Descomposición en factores primos:
Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por
sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...,
son números primos.

7. Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento para
encontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes,
que consiste en tomar una lista de los números naturales e ir
tachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún no
hubiera sido tachado previamente.
El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía
(ocultación de secretos).
Todo número natural admite una descomposición en producto de
números primos. Esta descomposición es única salvo el orden de los
primos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunos
ejemplos.

8. Encontrar la factorización de números grandes es un problema con
elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún
algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se
basan en este problema.
NUMEROS REALES
Se representan con la letra .
El conjunto de los Números Reales ( ) está integrado por:
• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión de
todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o
infinita semiperiódica.
• El conjunto de los Números Irracionales (I) queestá formado por la unión
de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.
Entonces, se llaman Números Reales atodos aquellos que se pueden
expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números
Reales ( ) está formado por los elementos del conjunto unido con I .

9. El siguiente cuadro es ilustrativo:
Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.
A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa;
es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta
numérica y los números reales.
Importante:
Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con
dos excepciones importantes:
1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de
números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de
los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.
2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada
o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.
En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las
raíces de índice par y radicando negativo.
Infinito no es un número real
Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.
Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene como
resultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)

10. Número complejo
Ilustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje de
coordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.
CONJUNTOS NUMERICOS
Números Naturales
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}
El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual
se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se
obtiene restando uno (-1).
2) N* = N0 = Conjunto de los Números Cardinales
N 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma el
Conjunto de los Números Cardinales.

11. Números Enteros
Z = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución
general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el
minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y
Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica se
extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un
número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del
cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno
a la derecha y el otro a la izquierda de él).
Números Enteros negativos
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos: Z+
Enteros Positivos y el Cero: Z0+
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres
subconjuntos mencionados.
Z = Z ¯ U {0} U Z +
NUMEROS ENTEROS
Desde hacía mucho tiempo, los chinos utilizaban
bastoncillos de bambú o de madera para representar
los números y realizar, en especial, cálculos
comerciales de una manera práctica, pero también
para tratar cuestiones relacionadas con los aumentos
y disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidos
opuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representaran
cantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color que
es justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.
Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de números
negativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por el
contrario, rechazaron que pudieran existir tales números.
En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de los
hindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar las
pérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el

12. manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó a
su lenta introducción en las matemáticas.
El alemánMichaelStifel (1487-1567), monje agustino convertido al
protestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitir
el uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticas
y divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, los
signos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XV
para indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo,
la consideración de las cantidades negativas como correspondientes a
números matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el siglo
XVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos como
opuestos de los positivos.
En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos
los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos
lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo
que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los
números naturales forma el conjunto de los Cardinales).
Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)
Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z)
debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).
Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):
Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con
signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe
sumar y conservar el signo.
Ejermplos : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se
debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor
absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cual
significa que se debe considerar el número sin su signo).
Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo
tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿con
cuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es
12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a
esto el resultado es un número positivo).
5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor
absoluto)

13. – 14 + 34 = 20
Resta en Z
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo
(uno después del otro) porque de estamanera la resta se transforma en
suma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambios
de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma y
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de
operación por su signo contrario
Ejemplo 1:
–3 – 10
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
–3 + 10
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo de
operación (que ahora es el +):
– 3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)
Ejemplo 2:
19 – – 16
a) cambiamos el signo de resta por el de suma:
19 + –16
b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo de
operación (que ahora es el +):
19 + + 16 = 19 + 16 = 35
Multiplicación y División en Z
La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SE
HACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a la
siguiente tabla:
+ • + = +
– • – = +
+ • – = –
– • + = –
Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )

14. 12 • –4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: +• – = –)
Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de
signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la
suma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).
4) Q = Conjunto de los Números Racionales
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}
El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de
cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números
Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el
conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo,
distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este
conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Esta
fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b,
es un número entero distinto de cero. El conjunto de los Números Racionales
(Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).
Se expresa por comprensión como:
Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0}
Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una
recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada
una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al
número de partes de la subdivisión.
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de
infinitas fracciones equivalentes.
5) I = Q* = Conjunto de Números Irracionales
I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos
Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no
pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces
inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales
infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en
una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos
son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos
que sí pueden transformarse en una fracción.
¿Que son los Numeros Naturales?
Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene
un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

15. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por
N:
N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues
sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas
civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.
Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números
naturales es también un número natural, por lo que se dice que son
operaciones internas.
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la
diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es
cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto
Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro,
cualesquiera que sean éstos.
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el
dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los
números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo
por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números
naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adicion de Numeros Naturales
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa,
conmutativa y elemento neutro.
1.- Asociativa:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo:
(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16

16. Los resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a+b=b+a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7+4=4+7
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden
efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener
en cuenta el orden.
3.- Elemento neutro
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el
número natural a, se cumple que:
a+0=a
Propiedades de la Multiplicacion de Numeros Naturales
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa,
conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
2.- Conmutativa
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:

17. a·b=b·a
Por ejemplo:
5 · 8 = 8 · 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el
número natural a, se cumple que:
a·1=a
4.- Distributiva del producto respecto de la suma
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo:
5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustraccion de Numeros Naturales
Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de
contar.
Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?.
Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien que
hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y no
necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.
Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y
sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)

18. Propiedades de la Division de Numeros Naturales
La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero de
cosas entre un número de personas.
Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (el
número de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona)
y resto (lo que sobra).
Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede
representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente,
un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción comúna/b con
numerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude a
fracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denota
por Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente» (Quotient en
varios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los números
enteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).
La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito,
o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10
(sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otra
base entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita o
periódica (en cualquier base entera), es un número racional.
Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansión
decimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinita
no-periódica.
En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones
equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico
de dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentes
entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la
aplicación de una relación de equivalenciasobre .
.
El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjunto
de fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. El
conjunto de los números racionales no es directamente identificable con el

19. conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puede
representarse por más de una fracción por ejemplo:
Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fracciones
diferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.
Formalmente cada número racional puede representarse como la clase de
equivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación de
equivalencia:
Demostración
Para el conjunto de los números racionales puede escribirse:
Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:
Aritmética de los números racionales
Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.
Definición de suma y multiplicación en Q

20. Se define la suma
Se define la multiplicación
Relaciones de equivalencia y orden en Q
Se define la equivalencia cuando
Los racionales positivos son todos los tales que
Los racionales negativos son todos los tales que
Se define el orden cuando
Existencia de neutros e inversos
Para cualquier número racional: se cumple que entonces
es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por .
Para cualquier número racional: se cumple que entonces
es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por .
Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que
Cada número racional: con excepción de tiene un inverso
multiplicativo tal que
Equivalencias notables en Q
Todo número entero se puede escribir como fracción
con y

21. con y
con y .
Propiedades
El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas
más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de
los enteros .
Los racionales son el menor cuerpo con característica nula.
La clausura algebraicade , es el conjunto de los números algebraicos.
El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe
una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El
conjunto de los número reales no es numerable (la parte no-
denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales).
Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en por construcción
misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales
existe otro número racional situado entre ellos.
Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo
racional puede descomponerse en la forma: donde
son números enteros primos, (siendo algunos de ellos
negativos si q no es entero) y . Por ejemplo
.
Representación racional de los números decimales
Todo número real admite una representación decimal ilimitada, esta
representación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como por
ejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puede
expresarse como número racional de la siguiente manera:
Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión
decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un
uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.
o Ejemplo:

22. Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como
numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte
anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el
periodo.
o Ejemplo:
Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia
entre y , donde es el número escrito sin la coma, y es el número
sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El
denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos
"0" como cifras tenga el anteperíodo.
o Ejemplo: Sea el número entonces
y , por lo que la fracción
correspondiente será , es decir: .
Desarrollo decimal de los números racionales
El valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividir
el numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizan
por tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos:
Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser
significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden
omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal».
Ejemplo:
Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente.
Ejemplo:
Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:
Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional en
bases distintas de diez.
Número racional en otras bases

23. En un sistema de numeración posicional de base racional, las fracciones
irreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellos
que factorizan la base, no tienen representación finita.
Ejemplos:
o En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el
denominador de su fracción irreducible es de la forma 2 n·5p (n y p
enteros).
o En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de
todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores
primos distintos de 2 y 3.
Propiedades topológicas de los números racionales
Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real
tiene racionales arbitrariamente cerca.
Poseen una expansión finita como fracción continuaregular.
Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo
parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también
forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|.
Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente
compacto.
Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio
metrizablenumerable sin puntos aislados (también es totalmente
discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico
completo.
Número p-ádico
Sea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn es
la mayor potencia de pque divide aa.
Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|p, entonces la
función multiplicativa define una métricasobre .
El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de los
números p-ádicos . El teorema de Ostrowski asegura que todo valor
absoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o al
valor absoluto p-ádico.
Clasificación de números
Complejo Reale Racionale Entero Naturale Naturales
s s s s s primos

24. Naturales
compuesto
s
Cero
Enteros negativos
Fracción propia
Fraccionarios Fracción
impropia
Irracionales algebraicos
Irracionales
Trascendentes
Imaginarios puros
1. .
2. CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES
3.
4. Concepto.-
5. Es un número de la forma a/b en donde b es diferente de o y se
encuentran ubicados dentro de los números reales.
6.
7.
-
Enteros +
Racionales
Comunes
Reales Fraccionarios
Decimales
Irracionales
8.
9.

25. 10. Hay que tomar en cuenta que todos los números enteros tienen como
denominador el número uno y por lo tanto son racionales. Por lo anterior
se sabe que un número racional cuenta con dos elementos:
11. Numerador.- Indica cuantas partes se tomaron del entero
12. Denominador.- Indica en cuantas partes se dividió el entero y es
diferente de o
13.
14. a = Numerador
15. b = Denominador b 0
16.
17.
18. Fracciones Equivalentes.-
19.
20. Son aquellas que tienen diferente forma pero el mismo valor. Para
saber si dos fracciones son equivalentes, se aplica la regla del sandwich
y el producto de los extremos será igual al producto de los medios.
21.
a c a
22. ( a )( d ) ( c )( d )
b d b
c
d
23. ExtremosMedios
24.
25.
26. Esta regla nos ayuda a determinar en una pareja cuál de las fracciones
es mayor.
27.
28.
29.
30.
31.
1 3 2 1
32.
2 4 6 3
33. Equivalentes
34.
35. Ejercicios:
36.
5 8 3 6 7 6 3 2 5 4
37. a ) b) c) d) e)
7 9 5 10 9 8 4 7 10 8
38.
39.
40. En caso que se tengan que comparar dos o más fracciones, éstas
tendrán que tener un denominador común para poder realizar la
comparación.
41.

26. 2 4 6 8
Múltiplos de 5
5 10 15 20
42.
3 6 9 12 15
Múltiplos de 4
4 8 12 16 20
43.
44. Procedimiento:
45. 1.- Se obtiene el mcm de los denominadores, a éste se le llamará
común denominador.
46. 2.- El común denominador se divide entre cada uno de los
denominadores, el cociente que resulte se multiplicará por cada uno de
los numeradores de las fracciones.
47.
48.
49. a) mcm 6,3,4, = 12 Común denominador
50.
2 4
6 12
51.
52.
1 4
3 12
1 3
4 12
53.
12
b) x2 4
6
12
x1 4
3
12
x1 3
4
54.

27. 3 7 1
a) , ,
4 8 64
mcm 64
64 48
x3
4 64
64 56
x7
8 64
64 1
x1
64 64
7 3 1
8 4 64
b )1 / 7 , 3 / 4 ,1 / 12
2
mcm ( 7 )( 2 )( 3 ) 84
84 12
x1
7 84
84 63
x3
4 84
84 7
x1
12 84
3 1 1
4 7 12
c ) 8 / 16 , 4 / 5 , 5 / 25
4 2
mcm ( 2 )( 5 ) 400
400 200
x8
6 400
400 320
x4
55. Ejercicio: 5 400
400 80
x5
25 400
4 8 5
5 16 25
VERONICA TREJO CARBAJAL