El documento define los límites infinitos y límites en el infinito de funciones. Explica que un límite infinito ocurre cuando una función puede tomar valores arbitrariamente grandes o pequeños al acercarse a un punto. También define límites cuando la variable independiente tiende al infinito, e introduce conceptos como indeterminaciones y funciones que tienden al infinito.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Instituto Universitario De Tecnología “Antonio José De Sucre”
Barquisimeto Edo-Lara
Estudiante:
Víctor Cañizalez
CI. 21299533

2. Limites infinitos y limites en el infinito
Límite infinito
Observemos la función f(x)=1/x2
para valores de x positivos muy grandes.
Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es
suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto
como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito.
Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al
infinito.
Definición
Límite infinito
x f(x)
100 1,0x10-4
1.000 1,0x10-6
10.000 1,0x10-8
100.000 1,0x10-10
1.000.000 1,0x10-12

3. Caso 1:
limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande
como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno
reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno
reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que
cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x)
cuando x tiende a a es +inf.
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*
a,δ f(x) < -A.

4. Caso 3:
limx->+inff(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x > B f(x) > A.
Para cualquier número positivo A (por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B
tal que para todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser mayor que
cualquier número, si x es lo suficientemente grande.
Existen varios casos de límites de funciones que involucran la noción del infinito, definiremos cada
uno de ellos en las secciones siguientes.
Variable que tiende a infinito.
Cuando una variable tienda a infinito, supongamos x, utilizaremos el símbolo del infinito de esta
manera . Esto significa que la variable x toma valores arbitrariamente grandes, en
magnitud. Analíticamente diremos que, fijado cierto número real R, x lo superará en valor
absoluto, cualquiera sea el R tomado.
.
Para esta definición tomaremos, como caso particular, dos «signos del infinito».
1. Si es , diremos que x tiende a más infinito o al infinito «positivo». Lo denotaremos
así, .
2. Si significa que x tiende a menos infinito.
Resulta de especial interés el comportamiento de ciertas funciones en el infinito. Cuando estos
límites existen, y son números reales, podemos construir la ecuación de las asíntotas horizontales
u oblicuas de la función. Definiremos entonces el límite de una función, cuando la variable
independiente tiende a infinito, para cualquier signo.

5. El límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito es L si y sólo si para
todo , tal que, para todo en el dominio de f, se cumple la
implicación .
Si sólo se toma uno de los casos, basta añadir la restricción correspondiente. Por ejemplo, si
queremos calcular el límite de , consideraremos la definición anterior con la salvedad
de que .
Tomemos como ejemplo , definida . A medida que damos valores
muy grandes a x en valor absoluto, f decrece y se acerca a cero. Esto se puede demostrar con la
definición dada.
Primera definición positiva de conjunto infinito
La primera definición positiva de conjunto infinito fue dada por Georg Cantor y se basa en la
siguiente observación: Si un conjunto S es finito y T es un subconjunto propio, no es posible
construir una biyección entre S y T. Por ejemplo, si S = {1,2,3,4,5,6,7,8} y T = {2,4,6,8} no es posible
construir una biyección entre S y T, porque de ser así tendrían la misma cardinalidad (el mismo
número de elementos).
Un conjunto es infinito si es posible encontrar un subconjunto propio del mismo que tenga la
misma cardinalidad que el conjunto original. Consideremos el conjunto de los números
naturales N={1,2,3,4,5,...}, el cual es un conjunto infinito. Para verificar tal afirmación es necesario
encontrar un subconjunto propio y construir una biyección entre ambos. Para este caso,
consideremos el conjunto de enteros positivos pares P={2,4,6,8,10,...}. El conjunto P es un
subconjunto propio de N, y la regla de asignación es una biyección:
ya que a todo elemento de N le corresponde un único elemento de P y viceversa.

6. Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo,
tercer elemento...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen
rigurosamente así: Se nota el conjunto vacío:
Se nota el conjunto que sólo contiene :
Luego se nota el conjunto que sólo contiene y :
Y así sucesivamente:
Por construcción, 0 está incluido en 1, quién a su vez está incluido en 2, ya que obviamente:
La inclusión permite convertir a los ordinales en un conjunto bien ordenado (dos elementos
distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad daría un orden total) entre estos
conjuntos que se prefiere, por costumbre, escribir "<", lo que da las relaciones 0 < 1 < 2 < 3. Decir
que un ordinal es menor (estrictamente) que otro significa, cuando se les considera a ambos como
conjuntos, que está incluido en el otro.
Si a y b son ordinales, entonces aUb, la unión de los conjuntos, también es un ordinal. En
particular, si son ordinales finitos (conjuntos finitos) correspondientes a los naturales ay b,
entonces aUb corresponde al mayor de los dos, a o b. En general, si los conjuntos ai son ordinales,
donde i toma todos los valores de un conjunto I, entonces a = Uaitambién lo será. Y si el
conjunto I no es finito, tampoco lo será a. Así obtendremos ordinales (o sea números) infinitos.
Acabamos de caer en una "trampa", al hablar de conjunto finito sin definir el concepto. Para
definirlo rigurosamente, debemos compararlo con los ordinales. Dos conjuntos bien
ordenados A y B son isomorfos (con relación al orden) si existe una biyección f entre ambos que
respeta el orden: si a < a' en A, entonces f(a) < f(a) en B. Resulta obvio constatar que si A es un
conjunto ordenado con n elementos (n entero natural) entonces A es isomorfo an = {0, 1, 2,..., n-1}.
Basta con renombrar cada elemento de A para obtener A = {a0, a1, a2,..., an-1}. Un isomorfismo es
meramente un cambio de apelación. Diremos que un ordinal es finito si cada una de sus partes no
vacías tiene un elemento máximo. Por lo tanto todo natural es un ordenar finito. La intuición nos
dice que no hay otros ordénales finitos. Lógicamente, diremos que un conjunto ordenado es finito
si es isomorfo a un ordinal finito, o sea a un natural.

7. Para introducir los ordinales infinitos, es preciso dar ahora la definición exacta de un ordinal:
Un conjunto A totalmente ordenado (por la inclusión) es un ordinal si y sólo si cada elemento de A
es también un subconjunto de A
Ya vimos que es el caso para los naturales: Por ejemplo, el conjunto 2 = {0, 1} admite 1= {0}, como
elemento y por lo tanto también como subconjunto.
Función que tiende a infinito
Dada cierta función f, diremos que tiende a infinito cuando crezca indefinidamente, a medida que
nos acercamos a cierto punto c en el dominio. Esto equivale a afirmar que f no está acotada, para
valores del dominio «suficientemente cercanos» a c. Esto se denota así , o
también, se escribe .
Si tomamos a la función f como una variable, por ejemplo, y, podemos utilizar la definición
de variable que tiende a infinito, y combinarla con la definición de límite, de la siguiente manera.
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c, es infinito si y sólo si para
todo existe un tal que, para todo punto x en el dominio de f, se
cumple .

8. Indeterminaciones
Las propiedades generales permiten, junto con la definición, calcular límites indeterminados
mediante transformaciones algebraicas. Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las que
se muestran en la tabla siguiente. Considerar como el límite que tiende a infinito y al
límite de una función que tiende a 0 o 1, respectivamente.
Operación Indeterminación
Sustracción
Multiplicación
División
Elevación a potencia
La idea intuitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño,
respectivamente), f(x) va decreciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan
pequeño como se quiera sin más que hacer que x crezca (o decrezca) lo suficiente.
De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande".
Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un
número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la
situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una
serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los
conceptos antes mencionados.