El documento habla sobre lógica de predicados y funciones proposicionales. Define funciones proposicionales como enunciados abiertos que contienen variables, y se convierten en proposiciones cuando se sustituyen las variables. Explica cuantificadores universales y existenciales, y cómo simbolizar proposiciones con ellos. También cubre negación de cuantificadores y proposiciones con dos cuantificadores.

1. Cesar A Mujica O.
C.I: 21.296.794
Ing. Eléctrica.
Lógica de predicados: estudia las frases declarativas con mayor grado de
detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones. Se tomara
como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.
Es decir, se distingue:
 Que se afirma(predicado o relación)
 De quien se afirma(objeto)
1 .Funciones Proposicionales
Función Proposicional
La función proposicional es un enunciado abierto de la forma P(x), es decir, se trata de una
expresión que contiene alguna variable que al sersustituida por un valor particular (número)
se convierte en proposición. Al igual que las proposiciones, las funciones proposicionales se
pueden unirporconectivos lógicos, formándose lasfuncionesproposicionalescompuestas.
Ejemplo1.-Enunciado abierto: x+ 3 >8
Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los
siguientes elementos:
P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.
A: que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.
Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición
abierta P(x) como (A, P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera
forman el conjunto llamado dominio de verdad de la función proposicional.
Considérense las siguientes proposiciones:
Gustavo es médico.
Álvaro es médico.
Enrique es médico.
Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico".
Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es
una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la

2. propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no
puede considerarse como una proposición puesto que no es en cuanto tal ni
verdadera ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un
conjunto, llamado conjunto de referencia. Expresiones de esta forma, dadas en
términos de una o varias variables, reciben el nombre de funciones
proposicionales.
Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes
individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente
se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables. La funciones
proposicionales pueden negarse y también combinarse con otras funciones
proposicionales o proposiciones simples por medio de los conectivos.
Ejemplo:
"x es un número racional y z es un número irracional". Se puede simbolizar
como:
Qx ∧ Iz.
Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general,
los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de
un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.
2 .Cuantificador Universal
Cuantificador Universal (∀)
Considere la siguiente frase:
1.- Todos los gatos tienen cola.
• El cuantificador universal indica que algo es cierto para todos los individuos
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es
verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.
• (∀x) es cuantificador universal.
• A es el ámbito (alcance) del cuantificador.
• El símbolo ∀ se lee “para todo”.
Ejemplo: Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.

3. Solución: Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es
un gato, entonces x tiene cola” y se define como:
Gx ↔ x es un gato Cx ↔ x tiene cola ∴ (∀x) Gx → Cx
3 .Cuantificador Existencial
Cuantificador Existencial (∃)
La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un
elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.
Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal
que…)”, “hay al menos un x tal que..." o "para algún x...".
Ejemplo:
Sea A= {1, 2, 3, 4,5} Determine el valor de verdad de cada uno de los
enunciados siguientes:
a) (∃ x ∈ A) (x+3=10)
Sol: es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10.
b) (∀ x ∈ A) (x+3<10)
Sol: es Verdadero. Cualquier número de A cumple que x+3<10
La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:
A las proposiciones que tienen esta forma las
llamaremos proposiciones existenciales.
Otras maneras de leer la proposición (2) son:
a. Para algún x en A, P(x)
b. Existe un x en A tal que p(x)
c. P(x), para algún x en A
Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la
proposición (2) la escribiremos simplemente así:

4. La proposición es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera
al menos para un x de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es
no vacío.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Algunos hombres son genios.
b. Existe un número natural mayor que 1.
c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.
Solución
Considerar la función proposicional:
a. G(x): x es un genio.
Con dominio el conjunto S formado por todos los seres humanos.
La proposición a, se simboliza así:
Esta proposición es verdadera.
b. La proposición b, se simboliza así:
Y es verdadera.
c. La proposición c, se simboliza así:
Esta proposición es falsa, ya que el cuadrado de
todo número real es no negativo.
4 .Cuantificador Existencial de Unicidad
Cuantificador Existencial de unicidad

5. El cuantificador existencial con marca de unicidad se usa para indicar que hay
un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad.
Se escribe:
Se lee:
Existe un único elemento x de A, que cumple P(x).
Se tienen las siguientes relaciones universales:
Para todo x de A, se cumple P(x) si y sólo si no existe x en A que no cumpla
P(x).
Existe al menos un x en A que cumple P(x) si y sólo si no es cierto que para
todo x de A, no se cumpla P(x).
En cuanto al cuantificador existencial único puede considerarse una extensión
por definición en un lenguaje formal con igualdad teniendo dada la
equivalencia:
Existe un único x en A que cumple P(x), si y sólo si para todo x, y de A, si se
cumple que P(x) y P(y), entonces x es igual a y.
La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es
un conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de
A.
Ejemplo:
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su valor lógico:
a. Existe un único número natural que sumado con 3 da 10 .
b. Existe sólo un número real tal que su cuadrado es 16.
c. Existe un único número real tal que su cuadrado es - 4.
Solución
a.  ! x Î N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero: Sólo el número 7 cumple con 7 + 3 = 10
b. ( ! x Î R) (x2 = 16 )

6. Falsa: x= -4 y x= 4 cumplen con x2 = 16
c. ( ! x Î R) (x2 =- 4)
Falsa: no existe ningún número real cuyo cuadrado sea - 4.
5 .Reglas de negación de Cuantificadores
Negación de Cuantificadores
La negación de la Universal Afirmativa es la Particular Negativa y La negación
de la Particular Afirmativa es la Universal Negativa.
O sea que la negación de la forma A es la forma O y la negación de la forma I
es la forma E.
¬ (∀ x) (P(x) → Q(x)) es equivalente a (∃ x) (P(x) ^ ¬ Q(x))
¬ (∃ x) (P(x) ^ Q(x)) es equivalente a (∀ x) (P(x) → ¬Q(x))
De una manera más simple lo que dice la primera fórmula es que la negación
de Todos es Alguno No y que la negación de Alguno es Ninguno.
Esto es muy útil en matemáticas y en computación, por ejemplo si queremos
demostrar que no es cierto que todas las funciones integrables son continuas,
basta encontrar una que sea
Para profundizar sobre el tema.
Estas reglas nos dicen que para negar una proposición con
cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal a existencial o
viceversa, y se niega la proposición cuantificada.
Ejemplo
Usando las reglas de la negación de cuantificadores hallar la negación de las
siguientes proposiciones:
a.
B.
Solución

7. Proposiciones con dos Cuantificadores
Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la
forma (A,B,C,P(x,y,z)), pero en nuestro caso trabajaremos con funciones
proposicionales de dos variables,las cuales denotaremos por (A,B,P(x)) con
dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así podemos obtener
las siguientes proposiciones:
(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))
5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales
de dos variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico,
analizando el dominio de sus variables y los cuantificadores que contiene.
Ejemplo
Determinar el valor lógico de las siguientes proposiciones:
1. (" xÎ N)($ yÎ N) (y> x)
2. ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
3. (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)
Solución

8. VL[(" xÎ N)($ yÎ N)(y> x)] = 1, ya que para cualquier x en N existe y = x+1 tal
que y> x.
VL[($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] = 0, no existe ningún número real que sumado
con todo número real sea igual a cero.
VL[(" xÎ R)($ yÎ R)(x+y = 0)] = 0, ya que dado un número real x existe y = -x
tal que x+y=0.
Veamos ahora como podemos negar proposiciones con dos cuantificadores.
Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores
~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))
~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))
Ejemplo
Negar la proposición ($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)
Solución
~ [($ xÎ R)(" yÎ R)(x+y = 0)] º (" xÎ R)($ yÎ R)(~ (x+y = 0))
º (" xÎ R)($ yÎ R)(x+y ¹ 0))