Este documento proporciona información sobre los números naturales. Brevemente:
1) Los números naturales son los números usados para contar objetos y pueden incluir o no incluir el cero.
2) Históricamente, los primeros sistemas de numeración surgieron en Mesopotamia hace unos 4,000 años y luego se adoptaron en Grecia y Roma.
3) Hoy en día, los números naturales se definen formalmente en teoría de conjuntos como conjuntos inductivos, lo que garantiza su existencia y propiedades como la inducción matemática.
Este documento define y explica los números naturales de varias maneras: 1) como los números usados para contar objetos, 2) formalmente como conjuntos inductivos definidos axiomáticamente, y 3) históricamente desde su origen en la antigua Mesopotamia hasta definiciones modernas. También describe operaciones básicas como suma, multiplicación y resta, así como propiedades de los números naturales.
Este documento describe los números naturales. Define los números naturales como los números enteros no negativos que se usan para contar objetos. Explica que históricamente los seres humanos usaron objetos como piedras o dedos para contar antes de desarrollar símbolos numéricos. También resume las definiciones axiomáticas de los números naturales propuestas por Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Los axiomas de Peano son un conjunto de cinco axiomas introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX para definir los números naturales y sus propiedades de forma axiomática. El primer axioma establece que 1 es un número natural, el segundo que el sucesor de un número natural también lo es, el tercero que 1 no tiene sucesor, el cuarto que dos números con el mismo sucesor son iguales, y el quinto captura la idea de inducción matemática. Los axiomas de Peano se han utilizado ampliamente en investigaciones matemáticas
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden construirse axiomáticamente como un campo totalmente ordenado y completo. También cubre las operaciones básicas con números reales y las dos excepciones a estas operaciones, que son la ausencia de raíces de orden par de números negativos y la división entre cero.
El documento habla sobre el álgebra booleana. Introduce a George Boole, quien definió el álgebra booleana como parte de un sistema lógico para tratar las técnicas algebraicas de la lógica. Luego describe los postulados básicos del álgebra booleana como la existencia de neutros, conmutatividad, asociatividad, distributividad y complementos. Finalmente, explica brevemente las compuertas lógicas como NOT, AND, OR y sus combinaciones.
El documento habla sobre lógica de predicados y funciones proposicionales. Define funciones proposicionales como enunciados abiertos que contienen variables, y se convierten en proposiciones cuando se sustituyen las variables. Explica cuantificadores universales y existenciales, y cómo simbolizar proposiciones con ellos. También cubre negación de cuantificadores y proposiciones con dos cuantificadores.
El documento describe la lógica de predicados, que extiende la lógica proposicional para incluir cuantificadores y funciones proposicionales. Se define un lenguaje de primer orden y se especifican las reglas para formar fórmulas bien formadas. Finalmente, se describen las reglas de inferencia como generalizaciones de las reglas proposicionales.
El documento define los límites infinitos y límites en el infinito de funciones. Explica que un límite infinito ocurre cuando una función puede tomar valores arbitrariamente grandes o pequeños al acercarse a un punto. También define límites cuando la variable independiente tiende al infinito, e introduce conceptos como indeterminaciones y funciones que tienden al infinito.
Este documento define y explica los números naturales de varias maneras: 1) como los números usados para contar objetos, 2) formalmente como conjuntos inductivos definidos axiomáticamente, y 3) históricamente desde su origen en la antigua Mesopotamia hasta definiciones modernas. También describe operaciones básicas como suma, multiplicación y resta, así como propiedades de los números naturales.
Este documento describe los números naturales. Define los números naturales como los números enteros no negativos que se usan para contar objetos. Explica que históricamente los seres humanos usaron objetos como piedras o dedos para contar antes de desarrollar símbolos numéricos. También resume las definiciones axiomáticas de los números naturales propuestas por Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Los axiomas de Peano son un conjunto de cinco axiomas introducidos por Giuseppe Peano en el siglo XIX para definir los números naturales y sus propiedades de forma axiomática. El primer axioma establece que 1 es un número natural, el segundo que el sucesor de un número natural también lo es, el tercero que 1 no tiene sucesor, el cuarto que dos números con el mismo sucesor son iguales, y el quinto captura la idea de inducción matemática. Los axiomas de Peano se han utilizado ampliamente en investigaciones matemáticas
El documento describe los diferentes tipos de números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica que los números reales pueden construirse axiomáticamente como un campo totalmente ordenado y completo. También cubre las operaciones básicas con números reales y las dos excepciones a estas operaciones, que son la ausencia de raíces de orden par de números negativos y la división entre cero.
El documento habla sobre el álgebra booleana. Introduce a George Boole, quien definió el álgebra booleana como parte de un sistema lógico para tratar las técnicas algebraicas de la lógica. Luego describe los postulados básicos del álgebra booleana como la existencia de neutros, conmutatividad, asociatividad, distributividad y complementos. Finalmente, explica brevemente las compuertas lógicas como NOT, AND, OR y sus combinaciones.
El documento habla sobre lógica de predicados y funciones proposicionales. Define funciones proposicionales como enunciados abiertos que contienen variables, y se convierten en proposiciones cuando se sustituyen las variables. Explica cuantificadores universales y existenciales, y cómo simbolizar proposiciones con ellos. También cubre negación de cuantificadores y proposiciones con dos cuantificadores.
El documento describe la lógica de predicados, que extiende la lógica proposicional para incluir cuantificadores y funciones proposicionales. Se define un lenguaje de primer orden y se especifican las reglas para formar fórmulas bien formadas. Finalmente, se describen las reglas de inferencia como generalizaciones de las reglas proposicionales.
El documento define los límites infinitos y límites en el infinito de funciones. Explica que un límite infinito ocurre cuando una función puede tomar valores arbitrariamente grandes o pequeños al acercarse a un punto. También define límites cuando la variable independiente tiende al infinito, e introduce conceptos como indeterminaciones y funciones que tienden al infinito.
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo cuantificadores, proposiciones categóricas y diagramas de Venn. Explica que los cuantificadores universal y existencial se usan para restringir los valores de las variables en proposiciones abiertas. Luego analiza las cuatro tipos de proposiciones categóricas (A, E, I, O) y cómo representarlas y evaluar su validez usando diagramas de Venn, incluso cuando involucran más de dos clases. Finalmente, define las rel
1) El documento presenta nociones básicas sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto propuesta por Cantor, la paradoja de Russell, y las nociones de pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos.
2) Explica que un conjunto puede definirse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de conjuntos como el conjunto vacío, de los números naturales y otros.
3) Describe la igualdad entre conjuntos como aquellos que tienen los mismos elementos y la inclusión como cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a
Este documento introduce conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una propiedad y provee ejemplos como equipos de fútbol y sus jugadores. También define operaciones entre conjuntos como unión, que incluye todos los elementos de ambos conjuntos, e intersección, que incluye solo los elementos comunes a ambos.
El documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como elemento, conjunto, pertenencia, igualdad de conjuntos, inclusión y subconjuntos. Define conjuntos por extensión o comprensión y explica el conjunto vacío. También introduce nociones lógicas como proposiciones, valores de verdad, operaciones lógicas como conjunción e implicación y cuantificadores universal y existencial.
Este documento presenta los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo definiciones, tipos de conjuntos numéricos, operaciones con conjuntos y propiedades. Explica conceptos como elementos, subconjuntos, conjuntos vacíos, conjuntos potencia y cardinalidad. También describe conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales, reales y complejos, así como operaciones como unión, intersección y diferencia. Por último, resume brevemente la historia de la teoría de conjuntos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o elementos, y describe formas de representar conjuntos como por extensión, comprensión o gráficamente. También define relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia e igualdad, y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios.
El documento introduce el cálculo de predicados como una extensión de la lógica proposicional que permite representar razonamientos cuya validez no puede establecerse con la lógica proposicional. Explica que el cálculo de predicados introduce predicados y funciones para representar las componentes de las proposiciones, como sujetos y predicados, permitiendo representar argumentos donde se utilizan partes de proposiciones. Finalmente, presenta los elementos básicos del alfabeto del cálculo de predicados, incluyendo símbolos para constant
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales, y leyes como la doble negación y de Morgan.
Este documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo definen nociones matemáticas usando lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También clasifica las proposiciones en simples y compuestas, y explica los conectivos lógicos y conceptos como tautología, equivalencia y contradicción. Finalmente, resume algunas
El documento explica los conceptos fundamentales del cálculo de predicados, incluyendo:
1) Los predicados permiten ampliar el espectro del cálculo proposicional al trabajar con fórmulas de diversos tipos además de lo booleano.
2) Se define el cálculo de predicados como un sistema formal estructurado para el estudio de la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores.
3) El alfabeto del cálculo de predicados incluye símbolos de constantes, variables, funciones, relaciones, y los cuantific
El documento habla sobre las funciones proposicionales y proposiciones. Explica que una función proposicional como "x es médico" no es por sí misma verdadera o falsa, sino que se convierte en una proposición cuando se sustituyen las variables por términos específicos. También introduce los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para determinar el valor de verdad de una proposición.
El documento habla sobre el número áureo y la serie de Fibonacci. Explica que el número áureo es un número irracional que se encuentra en la naturaleza y tiene propiedades algebraicas como ser la única solución a ciertas ecuaciones. También describe la serie de Fibonacci, que es una sucesión de números donde cada término es la suma de los dos anteriores, y cómo esta se relaciona con el número áureo. Por último, comenta una actividad realizada en Geogebra dibujando una espiral en un triángulo.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
Términos en matemáticas usados para la demostración matemática _keila chacón KeilaChacn1
1) El documento describe diferentes términos matemáticos como axiomas, teoremas, corolarios y lemas. 2) Un axioma es una proposición evidente que se acepta sin demostración, mientras que un teorema puede ser demostrado mediante argumentos lógicos. 3) Un corolario se deduce fácilmente de un teorema, y un lema es una proposición utilizada como premisa auxiliar en un teorema más general.
Este documento describe los números complejos. Explica que los números complejos se pueden representar como la suma de un número real y un número imaginario puro. Define las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para números complejos en esta forma binómica. También cubre cómo calcular potencias de números complejos y raíces cuadradas usando esta representación.
Este documento define los números naturales y describe su historia, propiedades y construcciones formales. Explica que los números naturales se usan para contar objetos y pueden definirse con o sin incluir el cero. También describe las propiedades de la suma y multiplicación de números naturales y cómo se han construido formalmente los naturales usando los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos.
Este documento trata sobre los números naturales. Explica que los números naturales fueron descubiertos en Mesopotamia alrededor del año 4000 a.C. y que Richard Dedekind colocó al conjunto de los números naturales sobre una base sólida en el siglo XIX. También describe que los números naturales se usan para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada y para especificar el tamaño de un conjunto finito.
Este documento describe los números naturales. Define los números naturales como los números enteros no negativos que se usan para contar objetos. Explica que históricamente los seres humanos usaron objetos como piedras o dedos para contar antes de desarrollar símbolos numéricos. También describe diferentes construcciones axiomáticas de los números naturales, incluyendo los axiomas de Peano y la definición en la teoría de conjuntos.
El documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que los conjuntos son colecciones de objetos con una característica común y que matemáticos como Cantor, Whitehead y Russell contribuyeron a definirlos. También cubre números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto.
Este documento trata sobre la filosofía de la matemática. Explica brevemente algunas escuelas de pensamiento como el logicismo, formalismo, axiomatismo y platonismo matemático. También menciona algunas paradojas como la paradoja de Cantor y Russell que cuestionaron los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX.
Este documento describe los conceptos básicos de la lógica proposicional, incluyendo cuantificadores, proposiciones categóricas y diagramas de Venn. Explica que los cuantificadores universal y existencial se usan para restringir los valores de las variables en proposiciones abiertas. Luego analiza las cuatro tipos de proposiciones categóricas (A, E, I, O) y cómo representarlas y evaluar su validez usando diagramas de Venn, incluso cuando involucran más de dos clases. Finalmente, define las rel
1) El documento presenta nociones básicas sobre conjuntos, incluyendo la definición de conjunto propuesta por Cantor, la paradoja de Russell, y las nociones de pertenencia, igualdad e inclusión de conjuntos.
2) Explica que un conjunto puede definirse por extensión o comprensión y presenta ejemplos de conjuntos como el conjunto vacío, de los números naturales y otros.
3) Describe la igualdad entre conjuntos como aquellos que tienen los mismos elementos y la inclusión como cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a
Este documento introduce conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una propiedad y provee ejemplos como equipos de fútbol y sus jugadores. También define operaciones entre conjuntos como unión, que incluye todos los elementos de ambos conjuntos, e intersección, que incluye solo los elementos comunes a ambos.
El documento introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos como elemento, conjunto, pertenencia, igualdad de conjuntos, inclusión y subconjuntos. Define conjuntos por extensión o comprensión y explica el conjunto vacío. También introduce nociones lógicas como proposiciones, valores de verdad, operaciones lógicas como conjunción e implicación y cuantificadores universal y existencial.
Este documento presenta los conceptos básicos de conjuntos, incluyendo definiciones, tipos de conjuntos numéricos, operaciones con conjuntos y propiedades. Explica conceptos como elementos, subconjuntos, conjuntos vacíos, conjuntos potencia y cardinalidad. También describe conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales, reales y complejos, así como operaciones como unión, intersección y diferencia. Por último, resume brevemente la historia de la teoría de conjuntos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Explica que un conjunto es una colección de objetos o elementos, y describe formas de representar conjuntos como por extensión, comprensión o gráficamente. También define relaciones entre conjuntos como pertenencia, contenencia e igualdad, y tipos de conjuntos como finitos, infinitos, vacíos y unitarios.
El documento introduce el cálculo de predicados como una extensión de la lógica proposicional que permite representar razonamientos cuya validez no puede establecerse con la lógica proposicional. Explica que el cálculo de predicados introduce predicados y funciones para representar las componentes de las proposiciones, como sujetos y predicados, permitiendo representar argumentos donde se utilizan partes de proposiciones. Finalmente, presenta los elementos básicos del alfabeto del cálculo de predicados, incluyendo símbolos para constant
Este documento presenta los axiomas de Peano, un conjunto de axiomas aritméticos introducidos por Giuseppe Peano en 1889 para definir los números naturales. Originalmente había nueve axiomas, pero ahora solo cinco son necesarios. Estos cinco axiomas establecen que 1 es un número natural, que el sucesor de cualquier número natural también lo es, que dos números son iguales si y solo si sus sucesores son iguales, y que 1 no tiene sucesor. El documento también explica varios teoremas derivados de estos axiomas, como la suma y la
El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales, y leyes como la doble negación y de Morgan.
Este documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo definen nociones matemáticas usando lenguaje formal. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También clasifica las proposiciones en simples y compuestas, y explica los conectivos lógicos y conceptos como tautología, equivalencia y contradicción. Finalmente, resume algunas
El documento explica los conceptos fundamentales del cálculo de predicados, incluyendo:
1) Los predicados permiten ampliar el espectro del cálculo proposicional al trabajar con fórmulas de diversos tipos además de lo booleano.
2) Se define el cálculo de predicados como un sistema formal estructurado para el estudio de la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores.
3) El alfabeto del cálculo de predicados incluye símbolos de constantes, variables, funciones, relaciones, y los cuantific
El documento habla sobre las funciones proposicionales y proposiciones. Explica que una función proposicional como "x es médico" no es por sí misma verdadera o falsa, sino que se convierte en una proposición cuando se sustituyen las variables por términos específicos. También introduce los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para determinar el valor de verdad de una proposición.
El documento habla sobre el número áureo y la serie de Fibonacci. Explica que el número áureo es un número irracional que se encuentra en la naturaleza y tiene propiedades algebraicas como ser la única solución a ciertas ecuaciones. También describe la serie de Fibonacci, que es una sucesión de números donde cada término es la suma de los dos anteriores, y cómo esta se relaciona con el número áureo. Por último, comenta una actividad realizada en Geogebra dibujando una espiral en un triángulo.
1) La lógica de primer orden estudia la inferencia en lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo. 2) En los cálculos de predicados se tienen elementos más simples para formar expresiones atómicas que en proposiciones simples. 3) La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir prácticamente todas las matemáticas.
Términos en matemáticas usados para la demostración matemática _keila chacón KeilaChacn1
1) El documento describe diferentes términos matemáticos como axiomas, teoremas, corolarios y lemas. 2) Un axioma es una proposición evidente que se acepta sin demostración, mientras que un teorema puede ser demostrado mediante argumentos lógicos. 3) Un corolario se deduce fácilmente de un teorema, y un lema es una proposición utilizada como premisa auxiliar en un teorema más general.
Este documento describe los números complejos. Explica que los números complejos se pueden representar como la suma de un número real y un número imaginario puro. Define las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para números complejos en esta forma binómica. También cubre cómo calcular potencias de números complejos y raíces cuadradas usando esta representación.
Este documento define los números naturales y describe su historia, propiedades y construcciones formales. Explica que los números naturales se usan para contar objetos y pueden definirse con o sin incluir el cero. También describe las propiedades de la suma y multiplicación de números naturales y cómo se han construido formalmente los naturales usando los axiomas de Peano o la teoría de conjuntos.
Este documento trata sobre los números naturales. Explica que los números naturales fueron descubiertos en Mesopotamia alrededor del año 4000 a.C. y que Richard Dedekind colocó al conjunto de los números naturales sobre una base sólida en el siglo XIX. También describe que los números naturales se usan para describir la posición de un elemento en una secuencia ordenada y para especificar el tamaño de un conjunto finito.
Este documento describe los números naturales. Define los números naturales como los números enteros no negativos que se usan para contar objetos. Explica que históricamente los seres humanos usaron objetos como piedras o dedos para contar antes de desarrollar símbolos numéricos. También describe diferentes construcciones axiomáticas de los números naturales, incluyendo los axiomas de Peano y la definición en la teoría de conjuntos.
El documento define conjuntos, operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Explica que los conjuntos son colecciones de objetos con una característica común y que matemáticos como Cantor, Whitehead y Russell contribuyeron a definirlos. También cubre números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto.
Este documento trata sobre la filosofía de la matemática. Explica brevemente algunas escuelas de pensamiento como el logicismo, formalismo, axiomatismo y platonismo matemático. También menciona algunas paradojas como la paradoja de Cantor y Russell que cuestionaron los fundamentos de las matemáticas en el siglo XIX.
La evolución de los números reales comenzó con las fracciones egipcias hace 3000 años y los números irracionales griegos hace 2500 años. Los números negativos fueron desarrollados por matemáticos indios y chinos hace 1400 años, pero no se usaron ampliamente en Europa hasta el siglo 17. La definición rigurosa de los números reales fue establecida por Georg Cantor en 1871 usando teoría de conjuntos.
Este documento trata sobre los números naturales y sistemas de numeración. Introduce los números naturales y los axiomas de Peano para definirlos formalmente. Explica conceptos como la recursividad, operaciones binarias como la suma y la multiplicación, y diferentes sistemas de numeración históricos y actuales como el sistema decimal.
El documento presenta un resumen de tres teorías geométricas no euclidianas:
1) La geometría hiperbólica de Lobachevski, donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
2) La geometría elíptica de Riemann, donde por un punto exterior no pasa ninguna paralela.
3) Estas teorías generan una visión diferente del espacio, que ahora puede ser curvo en lugar de plano.
El documento resume la teoría de conjuntos infinitos de Georg Cantor. Introduce conceptos como conjuntos numerables e infinitos actuales, y explica cómo Cantor demostró la existencia de diferentes tipos de infinitos a través de la técnica de la diagonalización de Cantor. Finalmente, introduce la jerarquía de números transfinitos y la hipótesis del continuo.
El documento describe la historia de la teoría de conjuntos. Georg Cantor creó la teoría de conjuntos entre 1874 y 1897 para proporcionar una fundamentación lógica de la aritmética. Sin embargo, la definición intuitiva de conjunto de Cantor resultó ser inconsistente y condujo a paradojas como la paradoja de Russell. Esto llevó al desarrollo de teorías axiomáticas más rigurosas de la teoría de conjuntos por Zermelo, Fraenkel y otros.
1. El documento describe los números naturales, enteros y racionales. Los números naturales son los que se usan para contar y forman un conjunto infinito. Los números enteros incluyen los naturales y sus opuestos. Los números racionales son parejas de números enteros que se dividen entre sí.
2. También habla sobre los números reales, que forman un conjunto más amplio que incluye números irracionales como pi. El conjunto de los números reales es infinito y cerrado bajo las cuatro operaciones.
3. Finalmente, explica que la representación gr
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee las bases para formalizar conceptos matemáticos como el infinito. Sin embargo, la teoría condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó al desarrollo de axiomas como la teoría de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones. La teoría de conjuntos es fundamental en matemáticas pues permite formalizar otras ramas
Este documento presenta resúmenes de 15 algoritmos matemáticos famosos, incluyendo el algoritmo de división por tentativa, el algoritmo original de Euclides, y el algoritmo de eliminación de Gauss-Jordan. Explica brevemente qué hace cada algoritmo y proporciona enlaces a Wikipedia para más información.
El documento trata sobre el origen y evolución de los números a lo largo de la historia. Explica que los primeros sistemas de numeración surgieron hace más de 400.000 años utilizando los dedos, y que culturas como los egipcios, mayas, aztecas y romanos desarrollaron después sus propios sistemas. Finalmente, los griegos adoptaron el uso de letras para representar números, lo que llevó al desarrollo de las matemáticas modernas.
La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee una herramienta fundamental para formular teorías matemáticas. Sin embargo, condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó a desarrollar teorías axiomáticas de conjuntos como la de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones.
1. El documento describe brevemente los orígenes y evolución de diferentes sistemas de numeración, incluyendo los números egipcios, griegos, indios, mayas y el sistema binario. También explica conceptos como números naturales, enteros, racionales e irracionales.
2. Explica que cada civilización desarrolló su propio sistema numérico que luego se fue difundiendo e influyendo en otros. Detalla algunas características clave de los sistemas egipcio, griego, indio y maya.
3. Define los números natural
Este documento resume la historia y evolución de los diferentes sistemas de numeración utilizados por diversas civilizaciones antiguas como los egipcios, griegos, indios y mayas. También describe brevemente los números naturales, enteros, racionales, irracionales y complejos, así como los sistemas binario y decimal.
El documento define conjuntos y sus propiedades según varios matemáticos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección y diferencia. Luego, presenta ejemplos de operaciones combinadas con conjuntos y números. Finalmente, introduce conceptos como números reales, desigualdades, valor absoluto y sus propiedades.
Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analíticaSol Ramos
Las leyes de De Morgan establecen que la suma de variables proposicionales negadas globalmente es igual al producto de las mismas variables negadas individualmente, y viceversa para el producto y la suma. Augustus De Morgan creó estas leyes como parte de la lógica proposicional y analítica.
Las leyes de de morgan son una parte de la lógica proposicional y analítica
Los números
1. PDF generado usando el kit de herramientas de fuente abierta mwlib. Ver http://code.pediapress.com/ para mayor información.
PDF generated at: Tue, 28 May 2013 01:25:52 UTC
Los Números
Los Números Naturales
2. Contenidos
Artículos
Número natural 1
Conjunto numerable 6
Conjunto 8
Blackboard bold 14
Teoría de conjuntos 16
Operación matemática 18
Referencias
Fuentes y contribuyentes del artículo 22
Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 23
Licencias de artículos
Licencia 24
3. Número natural 1
Número natural
Los números naturales pueden usarse para contar
(una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …).
Un número natural es cualquiera de los números que se usan para
contar los elementos de un conjunto.
Convenios de notación
Puesto que los números naturales se utilizan para contar objetos, el
cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de
los mismos. Dependiendo del área de la matemática, el conjunto de los
números naturales puede presentarse entonces de dos maneras
distintas:
•• Definición sin el cero:
•• Definición con el cero:
donde la N de natural se suele escribir en "negrita de pizarra".
Históricamente, el uso del cero como numeral fue introducido en Europa en el siglo XII con la conquista musulmana
de la península ibérica,
[1]
pero no se consideraba un número natural.
[2]
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las definiciones
conjuntistas de los números naturales. Esta convención prevalece en dicha disciplina,
[3]
y otras, como la teoría de la
computación.
[4]
En particular, el estándar DIN 5473 adopta esta definición.
[4]
Sin embargo, en la actualidad ambos
convenios conviven.
[5]
Para distinguir ambas definiciones a veces se introducen símbolos distintos. Por ejemplo, si se incluye el cero en los
naturales, al conjunto de los números naturales sin el cero se lo llama conjunto de los enteros positivos y se lo denota
como . Alternativamente también se utiliza .
[6]
Por el contrario, cuando el 0 no se considera un número natural (cosa que es conveniente, por ejemplo, en
divisibilidad y teoría de números), al conjunto de los naturales con el cero se lo llama conjunto de los números
cardinales y se lo denota .
Historia
Antes de que surgieran los números para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para
contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos.
Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una
vara o simplemente trazos específicos sobre la arena (Véase hueso de Ishango). Pero fue en Mesopotamia alrededor
del año 4.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los números que consistieron en grabados de señales en
formas de cuñas sobre pequeños tableros de arcilla empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de
escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes,
en la Grecia Antigua y en la Antigua Roma. En la Grecia antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto,
mientras que en la antigua Roma además de las letras, se utilizaron algunos símbolos.
Quien colocó al conjunto de los números naturales sobre lo que comenzaba a ser una base sólida, fue Richard
Dedekind en el siglo XIX. Este los derivó de una serie de postulados (lo que implicaba que la existencia del conjunto
de números naturales se daba por cierta), que después precisó Peano dentro de una lógica de segundo orden,
resultando así los famosos cinco postulados que llevan su nombre. Frege fue superior a ambos, demostrando la
4. Número natural 2
existencia del sistema de números naturales partiendo de principios más fuertes. Lamentablemente la teoría de Frege
perdió, por así decirlo, su credibilidad y hubo que buscar un nuevo método. Fue Zermelo quien demostró la
existencia del conjunto de números naturales, dentro de su teoría de conjuntos y principalmente mediante el uso del
axioma de infinitud que, con una modificación de este hecha por Adolf Fraenkel, permite construir el conjunto de
números naturales como ordinales según von Neumann.
Las propiedades de los números naturales son:
1.1. Que un número natural va después del otro
2.2. Que dentro de dos números naturales consecutivos no puede haber otro
3.3. Que son infinitos
Construcciones axiomáticas
Históricamente, se han realizado propuestas para axiomatizar la noción habitual de números naturales, de entre las
que destacan las de Peano y la construcción a partir de la teoría de conjuntos.
Axiomas de Peano
Los axiomas de Peano rigen la estructura de los números naturales sin necesidad de otra teoría (por ejemplo, la de
conjuntos) ni de las nociones aritméticas de suma o equivalencia. Requiere, eso sí, de la noción previa de sucesor.
Los cinco axiomas de Peano son (definición sin el cero):
1.1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3.3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto de números A, y además siempre se verifica que: dado un número natural
cualquiera que esté en A, su sucesor también pertenece a A; entonces A contiene al conjunto de todos los números
naturales. Este es el axioma de inducción, que captura la idea de inducción matemática.
Definición en teoría de conjuntos
En teoría de conjuntos se define al conjunto de los números naturales como el mínimo conjunto que es inductivo. La
idea es que se pueda contar haciendo una biyección desde un número natural hasta el conjunto de objetos que se
quiere contar. Es decir, para dar la definición de número 2, se requiere dar un ejemplo de un conjunto que contenga
precisamente dos elementos. Esta definición fue proporcionada por Bertrand Russell, y más tarde simplificada por
Von Neumann quien propuso que el candidato para 2 fuera el conjunto que contiene solo a 1 y a 0.
Formalmente, un conjunto se dice que es un número natural si cumple
1. Para cada ,
2. La relación es un orden total estricto en
3. Todo subconjunto no vacío de tiene elementos mínimo y máximo en el orden
Se intenta pues, definir un conjunto de números naturales donde cada elemento respete las convenciones anteriores.
Primero se busca un conjunto que sea el representante del 0, lo cual es fácil ya que sabemos que no contiene
elementos. Luego se definen los siguientes elementos de una manera ingeniosa con el uso del concepto de sucesor.
Se define-según Halmos- entonces que el conjunto vacío es un número natural que se denota por y que cada
número natural tiene un sucesor denotado como . Estas ideas quedan formalizadas mediante las siguientes
expresiones:
5. Número natural 3
De esta manera, cada elemento de algún número natural es un número natural; a saber, un antecesor de él. Por
ejemplo:
• Por definición (lo cual refuerza el hecho de que 0 no tiene antecesores)
• 1 es el sucesor de 0, entonces
• 2 es el sucesor de 1, pero 1 es {0}, entonces
•• y en general
Esto permite establecer una relación de orden entre los elementos del conjunto a pesar de que un conjunto es por
naturaleza un agregado de elementos desordenados. Se define esta relación mediante la expresión
es decir que un número es menor o igual que si y sólo si contiene a todos los elementos de .
También se puede usar otra definición más inmediata a partir del hecho de que cada número natural consta de sus
antecesores. Así si y sólo si .
Ésa es la construcción formal de los naturales que garantiza su existencia como conjunto a la luz del desarrollo
axiomático Zermelo-Fraenkel. El postulado de los conjuntos infinitos asegura la validez de la técnica de
demostración conocida como inducción matemática.
Un teorema demuestra que cualquier conjunto que sea inductivo contiene a todos los números naturales, es decir que
si es un conjunto inductivo, entonces . Esto significa que, en efecto, es el mínimo conjunto
inductivo.
Se define la suma por inducción mediante:
Lo que convierte a los números naturales en un monoide conmutativo con elemento neutro 0, el llamado
Monoide Libre con un generador. Este monoide satisface la propiedad cancelativa y por lo tanto puede incluirse en
un grupo matemático. El menor grupo que contiene a los naturales es el de los números enteros.
De manera análoga, la multiplicación × se define mediante las expresiones
Esto convierte (esto es, ℕ con esta nueva operación), en un monoide conmutativo.
Otra forma de construcción de es la siguiente: Sea la clase de todos los conjuntos y definiremos una relación
binaria R "ser equipotente" de la siguiente manera Dados A y B∈ se dice que A R B Existe una aplicación
biyectiva de A sobre B,es decir,existe biyectiva. Claramente se puede demostrar que esta relación
verifica las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva luego es una relación de equivalencia al conjunto cociente
los llamaremos cardinales y a los cardinales finitos se les llamará números naturales.Las
operaciones de suma y producto de cardinales se definen como el cardinal de la unión y el producto cartesiano de los
conjuntos representantes y verifica todas las propiedades para que sea un semianillo conmutativo y
unitario.
6. Número natural 4
Operaciones con los números naturales
Las operaciones matemáticas que se definen en el conjunto de los números naturales son la suma y la multiplicación.
La suma y la multiplicación de números naturales son operaciones conmutativas y asociativas, es decir:
• El orden de los números no altera el resultado (propiedad conmutativa), a+b = b+a, y a×b = b×a.
• Para sumar — o multiplicar — tres o más números naturales, no hace falta agrupar los números de una manera
específica ya que (a+b)+c=a+(b+c) (propiedad asociativa). Esto es lo que da sentido a expresiones como a+b+c.
Al construir la operación de multiplicación de números naturales, se puede observar claramente que la adición o
suma y la multiplicación son operaciones compatibles, pues la multiplicación sería una adición de cantidades iguales
y gracias a esta compatibilidad se puede desarrollar la propiedad distributiva, que se expresa:
Aparte, estas dos operaciones cumplen con las propiedades de:
• Clausura de ambas operaciones para todos los números naturales a y b, ya que a + b y a × b son siempre números
naturales.
• Existencia de elementos neutros para ambas operaciones, es decir, para cada número a, a + 0 = a y a × 1 = a.
• No existencia de divisores de cero para la operación de multiplicación: si a y b son números naturales tales que a
× b = 0, entonces a = 0 ó b = 0.
Propiedades de los números naturales
Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden se puede redefinir así: si y sólo
si existe otro número natural que cumple . Este orden es compatible con todas las operaciones
aritméticas puesto que si , y son números naturales y , entonces se cumple:
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado
1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0, podemos
encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que:
y .
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo,
son estudiadas por la teoría de números.
Uso de los números naturales
Los números naturales, son usados para dos propósitos fundamentalmente: para describir la posición de un elemento
en una secuencia ordenada, como se generaliza con el concepto de número ordinal, y para especificar el tamaño de
un conjunto finito, que a su vez se generaliza en el concepto de número cardinal (teoría de conjuntos). En el mundo
de lo finito, ambos conceptos son coincidentes: los ordinales finitos son iguales a N así como los cardinales finitos.
Cuando nos movemos más allá de lo finito, ambos conceptos son diferentes.
• Otro uso de gran importancia, desde el punto de vista matemático, es en la construcción de los números enteros,
para lo cual en N×N se establece una relación de equivalencia, para dos pares ordenados de N×N:
(a,b) ~ (c,d) si y solo si a + d = b + c.
7. Número natural 5
Sustracción o resta con números naturales
Asúmase que ℕ = {0, 1, 2, 3,...} y sea H = {(m, n)/ m, n ∈ ℕ; m ≥ n}, sea g una aplicación de H en ℕ, tal que g(m,n)=
m-n = d si solo si m = d + n, donde m,n están en H y d está en ℕ. A la aplicación g de H sobre ℕ se llama sustracción
o resta en N. La diferencia d = m-n , sólo es posible en el caso que m ≥ n.
Proposiciones
•• Si m - n = p, entonces m - p= n
•• Si m - n = p, entonces (m +r) - ( n+ r) = p
• Para cualquier m ∈ ℕ, m - m = 0;
•• como m- 0 = m , 0 hace el papel de elemento neutro por la derecha.
•• La resta no es conmutativa ni asociativa.
• Si se da m - n = p, existe una infinidad de números naturales m´y m´tal que m´- n´= p; de modo tal que en ℕxℕ la
relación (m,n) ≈ (m´,n´) s.s.s. m + n´ = n + m´ define una relación de equivalencia, punto de partida para la
construcción del ℤ de los números enteros
[7]
.
Referencias
[3][3] Véanse textos como o
[4][4] Véase .
[5][5] Véase
[6][6] , p. 27.
[7][7] "Concepto de número" (1970) Trejo, César, publicación de la OEA; Universidad Nacional de Buenos Aires
Bibliografía
• Hernández Hernández, Fernando (1998). Teoría de conjuntos. México D.F.: Sociedad Matemática Mexicana.
ISBN 970-32-1392-8.
• Hurtado, F. (2 de 1997) (en español). Atlas de matemáticas (1 edición). Idea Books, S.A.. pp. 12. ISBN
978-84-8236-049-2.
• Welschenbach, Michael (2005). Cryptography in C and C++. Apress. ISBN 9781590595022idioma=inglés.
8. Conjunto numerable 6
Conjunto numerable
En matemáticas, un conjunto es numerable o contable cuando sus elementos pueden ponerse en correspondencia
uno a uno con el conjunto de los números naturales o un subconjunto finito del mismo.
Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos.
Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y
algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable
o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y
la segunda permitiendo conjuntos finitos.
Georg Cantor fue el primero que hizo uso de este concepto en un artículo publicado en 1874 que marcaría el
nacimiento de la teoría de conjuntos.
[1]
Sin embargo, su importancia se manifiesta en numerosos campos de las
matemáticas, en particular en el análisis, en teoría de la medida y en topología.
Ejemplos
• El conjunto de todos los números pares, es numerable porque la función:
es una biyección: cada número natural corresponde a un único número par y viceversa.
• El conjunto de todos los enteros también es numerable.
• El conjunto es numerable.
•• Como consecuencia del ejemplo anterior, el conjunto de todos los racionales también es numerable.
• Por inducción puede probarse que son numerables para cualquier número natural k.
Introducción
Definiciones
De manera más formal, un conjunto C se dice que es numerable cuando es equipotente con el conjunto de los
números naturales , es decir, cuando existe una biyección de con C. Algunos autores extienden la definición
para incluir los conjuntos finitos, y bajo esta extensión un conjunto numerable es aquel que se puede poner en
biyección con un subconjunto de los números naturales. Esta extensión será designada en este artículo con la
expresión «conjunto a lo sumo numerable» o «conjunto finito o numerable».
[2]
En caso de que pueda haber
ambigüedad, siempre se puede especificar que un conjunto equipotente con es un «conjunto infinito numerable».
Por el contrario, un conjunto (infinito) no numerable es un conjunto infinito que no es equipotente con . El
argumento de la diagonal de Cantor permite demostrar que el conjunto de los números reales y el conjunto de las
9. Conjunto numerable 7
partes de no son numerables, y asimismo muestra la existencia de numerosos infinitos distintos de los anteriores y
que tampoco son numerables.
Teorema de Cantor
Un conjunto que contiene un subconjunto infinito numerable es necesariamente infinito. A partir de los axiomas de
la teoría de conjuntos, en particular el axioma de elección, se puede mostrar que el infinito numerable es el infinito
más pequeño en el sentido de que todo conjunto infinito contiene un conjunto infinito numerable. Se puede entonces
caracterizar un conjunto infinito como un conjunto que contiene un subconjunto numerable, definición que tiene
aplicaciones en teoría de la cardinalidad.
El cardinal de , y por tanto el cardinal de cualquier conjunto numerable, se denota (alef cero). Es el primero
de los ordinales transfinitos álef, que representan todos los cardinales dado el axioma de elección.
Origen del término
La noción de numerabilidad fue introducida por Georg Cantor en un artículo de 1874,
[3]
Sobre una propiedad del
sistema de todos los números algebraicos reales
[4]
donde establece por una parte que el conjunto de números
algebraicos reales (es decir, el conjunto de los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica con
coeficientes enteros) es numerable,
[5]
y por otra que el conjunto de todos los números reales no lo es, a partir de lo
cual deduce inmediatamente la existencia de números trascendentes o no algebraicos, redescubriendo así un
resultado de Liouville.
Su origen está ligado a la concepción del infinito en matemáticas. Hasta el descubrimiento de Cantor, el infinito era
el infinito potencial, la posibilidad de continuar un proceso sin detenerse nunca. La comparación de conjuntos
infinitos trae consigo la noción de infinito alcanzado, actual o completo: un conjunto infinito visto como un todo, un
concepto que ha sido rechazado por numerosos matemáticos (Gauss, o, en la época de Cantor, Kronecker, etc).
[6]
Para ellos, el hecho de considerar una infinidad de objetos como un todo, es decir, el concepto de conjunto infinito,
no tiene sentido, sino que el infinito sólo puede surgir del proceso de enumeración sin repetición que nunca se
detiene. Sólo el infinito numerable puede tener en rigor algún sentido.
Notas y referencias
[1] Thomas Jech, Set Theory, Stanford Encyclopedia of Philosophia, (http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/)
[2][2] Formalmente, para que estas dos expresiones sean equivalentes, hace falta demostrar que todo subconjunto de
UNIQ-math-0-30d28ee347dbf0e7-QINU es finito o numerable.
[3][3] y en 1873 en su correspondencia con Dedekind.
[4] Cantor (1874) Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal de Crelle 77, p258-262 (ver el centro de
numeración de Göttingen (http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=49464)). Disponemos del origen de esta
demostración, que todavía no es la demostración más conocida que utiliza el argumento diagonal, gracias a las cartas del 7 y 9 de diciembre de
1873 de Georg Cantor a Richard Dedekind.
[5][5] Demostración de Dedekind, según su correspondencia.
[6] Véase por ejemplo Kneale and Kneale, The development of Logic Clarendon Press 1962, p 673.
10. Conjunto 8
Conjunto
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los
elementos del conjunto, además de ser polígonos son regulares. La colección
de estos últimos —los polígonos regulares en la imagen— es otro conjunto,
en particular, un subconjunto del primero.
En matemáticas, un conjunto es una agrupación
de objetos considerada como un objeto en sí. Los
objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa:
personas, números, colores, letras, figuras, etc.
Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto.
[1]
Por
ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris
es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde,
Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una
propiedad que todos sus elementos poseen. Por
ejemplo, para los números naturales, si se
considera la propiedad de ser un número primo,
el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede
escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define
un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil,
Azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los
planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse
mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más
elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro
lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de
axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Historia
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida
que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
[2]
Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya
contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind
al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna:
relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones
relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus
investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La
influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de
«axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las
11. Conjunto 9
diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.
Definición
[...] entiendo en general por variedad o conjunto toda multiplicidad que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de
elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
—Georg Cantor
[3]
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa:
números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que componen el conjunto se llaman
elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈:
[4]
a ∈ A se lee
entonces como «a está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el símbolo ∉.
Por ejemplo:
3 ∈ A , ♠ ∈ D
amarillo ∉ B, z ∉ C
Notación
Relación de pertenencia. El conjunto A es un conjunto de polígonos. En la
imagen, algunas de las figuras pertenecen a dicho conjunto, pero otras no.
Existen varias maneras de referirse a un
conjunto. En el ejemplo anterior, para los
conjuntos A y D se usa una definición intensiva
o por comprensión, donde se especifica una
propiedad que todos sus elementos poseen. Sin
embargo, para los conjuntos B y C se usa una
definición extensiva, listando todos sus
elementos explícitamente.
Es habitual usar llaves para escribir los
elementos de un conjunto, de modo que:
B = {verde, blanco, rojo}
C = {a, e, i , o, u}
Esta notación mediante llaves también se utiliza
cuando los conjuntos se especifican de forma
intensiva mediante una propiedad:
A = {Números naturales menores que 5}
D = {Palos de la baraja francesa}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}
D = {p : p es un palo de la baraja francesa}
F = {n
2
: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10} ,
12. Conjunto 10
En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el conjunto de «los números de la
forma n
2
tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros
cuadrados de números naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua «/» .
Igualdad de conjuntos
Conjunto de personas. El conjunto de «personas» mostrado en la imagen, A,
tiene 8 miembros. Este conjunto puede representarse mediante llaves o
mediante un diagrama de Venn. El orden de las personas en A es irrelevante.
Un conjunto está totalmente determinado por sus
elementos. Por ello, la igualdad de conjuntos se
establece como:
Propiedad de la extensionalidad
Dos conjuntos A y B que tengan los
mismos elementos son el mismo conjunto,
A = B.
Esta propiedad tiene varias consecuencias. Un
mismo conjunto puede especificarse de muchas
maneras distintas, en particular extensivas o
intensivas. Por ejemplo, el conjunto A de los
números naturales menores que 5 es el mismo
conjunto que A′, el conjunto de los números 1, 2,
3 y 4. También:
B = {verde, blanco, rojo} = {colores de la
bandera de México}
C = {a, e, i, o, u} = {vocales del español}
D = {Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
El orden en el que se precisan los elementos tampoco se tiene en cuenta para comparar dos conjuntos:
B = {verde, blanco, rojo} = {rojo, verde, blanco}
C = {a, e, i, o, u} = {e, i, u, a, o}
Además, un conjunto no puede tener elementos «repetidos», ya que un objeto solo puede o bien ser un elemento de
dicho conjunto o no serlo. Se da entonces que, por ejemplo:
{1, 2} = {1, 2, 1}
En ausencia de alguna característica adicional que distinga los «1» repetidos, lo único que puede decirse del conjunto
de la derecha es que 1 es uno de sus elementos.
13. Conjunto 11
Subconjuntos
Subconjunto. B es un subconjunto de A (en particular un subconjunto
propio).
Un subconjunto A de un conjunto B, es un
conjunto que contiene algunos de los elementos
de B (o quizá todos):
Un conjunto A es un subconjunto del
conjunto B si cada elemento de A es a su
vez un elemento de B.
Cuando A es un subconjunto de B, se denota
como A ⊆ B y se dice que «A está contenido en
B». También puede escribirse B ⊇ A, y decirse
que B es un superconjunto de A y también «B
contiene a A» o «B incluye a A».
Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo,
ya que siempre se cumple que «cada elemento de
A es a su vez un elemento de A». Es habitual
establecer una distinción más fina mediante el
concepto de subconjunto propio: A es un subconjunto propio de B si es un subconjunto de B pero no es igual a B.
Se denota como A ⊊ B, es decir: A ⊆ B pero A ≠ B (y equivalentemente, para un superconjunto propio, B ⊋ A).
[5]
Ejemplos.
El «conjunto de todos los hombres» es un subconjunto propio del «conjunto de todas las personas».
{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}
Conjuntos disjuntos
A y B son conjuntos disjuntos.
Un conjunto A es disjunto a otro B si los
elementos de A no pertenecen a B:
la disjunción de conjuntos es reciproca y si A es
disjunto de B, B es disjunto de A:
Por lo tanto dos conjuntos A y B son disjuntos si
no tienen elementos comunes, que también
puede decirse:
Los conjuntos A y B son disjuntos si: la intersección entre A y B es el conjunto vacío.
14. Conjunto 12
Cardinalidad
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. En el caso de un conjunto finito se pueden contar los elementos del
conjunto:
El número de elementos de un conjunto finito es su cardinal.
El cardinal se denota por |A|, card(A) o #A. Así, en los ejemplos anteriores, se tiene que |A| = 4 (cuatro números), |B|
= 3 (tres colores) y |F| = 10 (diez cuadrados). El único conjunto cuyo cardinal es 0 es el conjunto vacío ∅.
En un conjunto infinito no hay un número finito de elementos. Es el caso por ejemplo de los números naturales: N =
{1, 2, 3, ...}. Sin embargo, existe una manera de comparar conjuntos infinitos entre sí, y se obtiene que existen
conjuntos infinitos «más grandes» que otros. El «número de elementos» de un conjunto infinito es un número
transfinito.
Operaciones con conjuntos
Operaciones con conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Complemento
Diferencia simétrica
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse para, partiendo de ciertos conjuntos dados, obtener nuevos
conjuntos:
15. Conjunto 13
• Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa como A ∪ B), es el conjunto de todos los
elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes
a A y B.
• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el conjunto A B que resulta de eliminar de A
cualquier elemento que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos que no
pertenecen a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos
los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos
los pares ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y un segundo elemento b
perteneciente a B.
Ejemplos
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
•• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}
Notas
[1][1] Para esta introducción, véase y .
[2][2] Esta sección está basada en
[3][3] Véase
[4] Este símbolo lo introdujo Peano. Vid Matemática Moderna de André Warusfel sobre epsilon y Nachbin en su Álgebra Elemental (pág.1 y
pág.2) habla de: "La notación de Peano x ∈ X".
[5] También se utiliza la notación A ⊂ B y B ⊃ A, pero según el autor esto puede denotar subconjunto, A ⊆ B y B ⊇ A; o subconjunto propio, A ⊊ B
y B ⊋ A. Véase Subconjunto.
Referencias
Bibliografía
• Courant, Richard; Robbins, Herbert; Stewart, Ian (1996) (en inglés). What is Mathematics? An Elementary
Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplemento del capítulo II.
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el
18-04-2011.
• Jech, Thomas. Edward N. Zalta (ed.): « Set Theory (http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/
set-theory/)» (en inglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultado el
22-04-2011.
• Lipschutz, Seymour (1991). Teoría de conjuntos y temas afines. McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
•• Nachbin, Leopoldo : Álgebra elemental (1986) Rochester, Nueva York; editora: Eva V. Chesnau. Edición de la
OEA, traducida al español por César E. Silva.
16. Conjunto 14
Bibliografía adicional
• Halmos, Paul R. : Teoría intuitiva de conjuntos (1965) Compañía editorial Continental S.A. México 22, D.F.
primera edición en español.
Enlaces externos
• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre ConjuntosCommons.
• Weisstein, Eric W., « Set (http://mathworld.wolfram.com/Set.html)» (en inglés), MathWorld, consultado el
22-04-2011
• Esta obra deriva de la traducción de Set, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia
Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores de la Wikipedia en inglés.
Blackboard bold
La palabra "bold" (negrita) escrita en Blackboard bold.
La negrita de pizarra o blackboard
bold en inglés, es una tipografía
utilizada en textos matemáticos para
ciertos símbolos, que se distingue
porque ciertas líneas en el símbolo
(usualmente verticales) se duplican.
Esta tipografía se utiliza habitualmente
para denotar conjuntos.
La tipografía blackboard bold se originó como un intento de representar en un pizarrón símbolos tradicionalmente
impresos en negrita. Este hábito terminó por introducirse en los textos impresos, diferenciado de la negrita normal.
Uso
TeX, el lenguaje estándar para escritura de textos matemáticos, no soporta directamente símbolos en blackboard
bold, pero los tipos de letra de la AMS (amsfonts) incluyen esta capacidad. Una "R" con esta tipografía se escribe
como mathbb R, y genera .
Ejemplos
La siguiente tabla recoge algunos ejemplos de símbolos que utilizan blackboard bold. Se muestra el símbolo creado
con LaTeX, el carácter Unicode equivalente (podría no ser visible dependiendo del navegador y los tipos de letra
disponibles), y su significado habitual en matemáticas:
17. Blackboard bold 15
TeX Unicode Uso en matemáticas
ℂ Números complejos
ℍ Cuaterniones
ℕ Números naturales
ℙ Números primos
ℚ Números racionales
ℝ Números reales
ᵔ Esfera
ℤ Números enteros
Referencias
• Clark, Malcolm (1992) (en inglés). A plain TEX primer. Oxford University Press. ISBN 9780198537243.
Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. "Doublestruck."
[1]
. Definción del tipo de letra en MathWorld.
• Esta obra deriva de la traducción de Blackboard bold, publicada bajo la Licencia de documentación libre de GNU
y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported por editores
[2]
de la Wikipedia en
inglés.
Referencias
[1] http://mathworld.wolfram.com/Doublestruck.html
[2] http://toolserver.org/~daniel/WikiSense/Contributors.php?wikilang=en&wikifam=.wikipedia.org&page=Blackboard+bold&
grouped=on&hidebots=on&hideanons=on&order=-edit_count&max=200&order=first_edit&format=html
18. Teoría de conjuntos 16
Teoría de conjuntos
Hipótesis del continuo. La colección de todos los conjuntos de números naturales P(N)
tiene la llamada potencia del continuo: tantos elementos como (por ejemplo) puntos en
una recta. Su estudio es uno de los principales problemas en la teoría de conjuntos.
La teoría de conjuntos es una rama de
las matemáticas que estudia las
propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos,
consideradas como objetos en sí
mismas. Los conjuntos y sus
operaciones más elementales son una
herramienta básica en la formulación de
cualquier teoría matemática.
[1]
Sin embargo, la teoría de los conjuntos
es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y
estructuras de interés en matemáticas:
números, funciones, figuras
geométricas, ...; y junto con la lógica
permite estudiar los fundamentos de
esta. En la actualidad se acepta que el
conjunto de axiomas de la teoría de
Zermelo-Fraenkel es suficiente para
desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos
es objeto de estudio per se, no sólo
como herramienta auxiliar, en particular
las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal
inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones
conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició
los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría básica de conjuntos
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos
elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección
determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de
pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como
elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
• Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números
enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno
19. Teoría de conjuntos 17
es subconjunto del siguiente:
• El espacio tridimensional E
3
es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E
3
. Las rectas r y
planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E
3
, r ⊆ E
3
y α ⊆ E
3
.
Álgebra de conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones
aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos
en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos
comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que contiene todos los elementos de A
que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A
∁
que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los
elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los
pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.
Teoría axiomática de conjuntos
La teoría de conjuntos «informal» o «elemental» apela a la intuición para determinar como se comportan los
conjuntos. Sin embargo, es sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos que llevan a contradicción
si se razona de esta manera, como la famosa paradoja de Russell. Históricamente esta fue una de las razones para el
desarrollo de las teorías axiomáticas de conjuntos, siendo otra el interés en determinar exactamente qué enunciados
acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas escogidos para poder derivar todas las
propiedades de los conjuntos con el suficiente rigor. Algunos ejemplos conocidos son:
• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
20. Teoría de conjuntos 18
Referencias
[1][1] Véase o
Bibliografía
• Ivorra, Carlos, Lógica y teoría de conjuntos (http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf), consultado el
18-10-2010.
• Jech, Thomas. « Set Theory (http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/)» (en inglés). Stanford
Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Consultado el 16-12-2011.
Enlaces externos
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Operación matemática
En matemática una operación es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los
elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no;
esto se conoce técnicamente como ley de composición.
El conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo
sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y
escalares que conforman un espacio vectorial).
Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal
según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.
Operación interna
Una operación es interna si, tanto los elementos iniciales como los finales pertenecen al único conjunto .
es un conjunto.
Que también puede expresarse:
O también:
Según la naturaleza del producto cartesiano inicial de la operación podemos diferenciar:
• Operaciones finitas si el conjunto inicial es producto cartesiano finito.
• Operaciones infinitas en caso contrario.
21. Operación matemática 19
Operación n-aria
Diremos que es una operación n-aria en el conjunto , si:
a se le llama la ariedad o anidad.
Operación binaria
Una operación es binaria cuando es igual a dos:
y también:
Ejemplo:
En el conjunto de los números naturales, , la operación de adición: , , con las
diferentes expresiones:
1.
2.
3.
donde a y b son los sumandos y c el resultado de la suma.
Operación unaria
Una operación unaria, con un solo parámetro:
también suelen denominarse funciones.
Ejemplos:
• Dado el conjunto de los números naturales , la operación unaria incremento o siguiente, como:
Donde:
• Dado el conjunto de los números enteros , la operación opuesto, como:
esto es:
22. Operación matemática 20
Operación 0-aria
Una operación 0-aria es cuando tenemos una operación es decir:
Ejemplo: Una operación nularia suele devolver constantes, por ejemplo el valor de pi:
Que asigna a a el valor real del número pi.
• Una operación que designa un elemento distiguido de , en teoría de grupos sería el elemento neutro de un
grupo.
[1][2]
Operación externa
Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:
esta aplicación se dice que es una operación externa.
Ejemplo: Dado el conjunto de los vectores en el plano y el conjunto de escalares de números reales, tenemos
que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:
Dado el vector:
Si lo multiplicamos por un escales 3:
podemos ver que los dos vectores son del plano:
Partiendo de los conjuntos A y B distintos, y una aplicación:
se dice que también es una ley de composición externa. Por ejemplo el Producto escalar de dos vectores en el plano,
da como resultado un número real, esto es:
Tomando los vectores del plano:
Y siendo su producto escalar:
Que da por resultado un número real, veamos un ejemplo numérico:
Operando
23. Operación matemática 21
Referencias
[1][1] J. Barja Perez, pg 7
[2][2] Donald w. Barnes, pg 2
Bibliografia
• J. Barja Perez.Álgebras Universales en el Cálculo de Proposiciones.Universidad de Santiago de Compostela
España. 1978.
• Donald W. Barnes, John M. Mack.Una Introducción Algebraica a la Lógica Matemática. 1978.
• Lang, Serge Álgebra lineal (1975), Fondo educativo interamericano S.A. impreso en Puerto Rico, segunda
edición.