El documento habla sobre las funciones proposicionales y proposiciones. Explica que una función proposicional como "x es médico" no es por sí misma verdadera o falsa, sino que se convierte en una proposición cuando se sustituyen las variables por términos específicos. También introduce los cuantificadores universal y existencial y cómo se usan para determinar el valor de verdad de una proposición.

1. Integrante:
Robert Hernández
C.I:26.820.598
SAIA: A
Domingo Méndez
Cabudare 14 de junio de 2017

2. Considérense las siguientes
proposiciones:
Gustavo es médico.
Álvaro es médico.
Enrique es médico.
Estas proposiciones tienen algo
en común, y es la propiedad de
"ser médico". Esto puede
formularse recurriendo a la
expresión "x es médico" en
donde x es una variable
individual, la cual indica que el
sujeto o término que tiene la
propiedad de ser médico es
indeterminada. La expresión "x
es médico" no puede
considerarse como una
proposición puesto que no es en
cuanto tal ni verdadera ni falsa.
Aquí x es una variable que toma
valores dentro de un conjunto,
llamado conjunto de
referencia. Expresiones de esta
forma, dadas en términos de una
o varias variables, reciben el
nombre de funciones
proposicionales.
Cuando en una función
proposicional se sustituyen las
variables por constantes
individuales o términos
específicos, se convierte en
proposición. Comúnmente se
usarán las letras x, y, z, w para
denotar las variables. La
funciones proposicionales
pueden negarse y también
combinarse con otras funciones
proposicionales o proposiciones
simples por medio de los
conectivos.
Ejemplo:
"x es un número racional y z es
un número irracional". Se puede
simbolizar como:
Qx ∧ Iz.

3. Frecuentemente las proposiciones abiertas
se utilizan con ciertas expresiones
llamadas cuantificadores, con los cuales se
determina el valor de verdad de la
proposición resultante. Los siguientes
serán los cuantificadores que usaremos:
1. Cuantificador universal, para todo x,
representado simbólicamente por x.
2. Cuantificador existencial, para algún x,
representado simbólicamente por x.
3. Cuantificador de existencia y unicidad,
existe un único x, representado
simbólicamente
por !x.
usa en el mismo sentido que la frase “para
todo x”.
Observación 2. Si una propiedad es
compartida por todos los elementos de un
conjunto B, escribiremos:
“Todo x en B tiene la propiedad P ”,
Simbólicamente, x C, P (x)
Observación 3. Si una propiedad es
compartida por uno o varios elementos de
un conjunto C, escribiremos:
“Algún x en C tiene la propiedad P ”,
Simbólicamente, x C, P (x)
Ejemplo:
Simbolizar las
siguientes proposiciones y
determinar su valor lógico:
a. Todo hombre es mortal.
b. Cada número natural es
menor que.
Solución:
Considerar la siguiente función
proposicional:
M(x) : x es mortal.
Con dominio el conjunto S
formado todos los seres
humanos.
La proposición a se escribe
simbólicamente así:
("x S) (M(x)).
Esta proposición es verdadera.
Cuantificador Universal
El cuantificador todo se llama cuantificador
universal y se le denota con el símbolo ", que es
una A invertida (de "all" palabra inglesa para
"todos").
Al cuantificar a la función proposicional P(x)
mediante el cuantificador universal obtenemos
la proposición:
Para todo elemento x de A, P(x), que se
simboliza del modo siguiente:
(" xÎA) ( P(x) )....................................................... (1)

4. EXTENSIÓN cuando se
describen exhaustivamente (es
decir, nombrando a todos y cada
uno de sus elementos, que, en tal
caso, se escribirían entre llaves)
COMPRENSIÓN: Cuando se indican las características
de los elementos del conjunto o función proposicional
p(x) que satisfagan todos los elementos x del conjunto
definido y sólo ellos, dentro de un universo contextual ó
relativo U”
CONJUNTO FINITO: Es
aquel que consta de un
número determinado de
elementos, dicho de otra
forma, si al efectuar el
proceso de contar los
elementos, este proceso
puede terminar
CONJUNTO INFINITO: Cuando el
conjunto tiene un número
indeterminado de elementos,
infinitamente grande.
TIPOS DE
CONJUNTOS:

5. El Cuantificador: Existe al menos
uno, se llama cuantificador
existencial, y se le denota con el
símbolo , que es un E al revés.
A la Proposición: Existe al menos
un x de A tal que P(x)
La escribiremos simbólicamente
del modo siguiente:
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y determinar su
valor lógico:
a. Algunos hombres son genios.
b. Existe un número natural mayor que 1.
c. Existe un número real cuyo cuadrado es negativo.
Solución
Considerar la función proposicional:
a. G(x): x es un genio.
Con dominio el conjunto S formado por todos los seres
humanos.
La proposición a, se simboliza así:

6. Como un caso particular
del cuantificador
existencial "existe al
menos uno" tenemos el
cuantificador existe un
único o existe sólo uno,
que lo llamaremos
cuantificador existencial
de unicidad y lo
simbolizaremos por $ !.
Así la expresión:
(3 ! x Î A) ( P(x))....................................... (3)
Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:
a. Existe un único x en A tal que P(x)
b. Existe un sólo x en A tal que P(x)
c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)
d. P(x), para un único x en A
La proposición (3) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de
P(x) es un conjunto unitario, esto es, si y sólo si P(x) es verdadero
para un único x de A.
Ejemplo
Simbolizar las siguientes proposiciones y
determinar su valor lógico:
a. Existe un único número natural que
sumado con 3 da 10 .
Solución
a. $ ! x Î N) ( 3 + x = 10 )
Verdadero: Sólo el número 7 cumple
con 7 + 3 = 10

7. Definición: La negación de una declaración
universal de la forma:
∀ x ∈ D, Q ( x )
es lógicamente equivalente a la
declaración de la forma:
∃ x ∈ D, ¬ Q ( x )
Escrito como equivalencia:
¬ ( ∀ x ∈ D, Q ( x)) ≡ ∃ x ∈ D, ¬ Q ( x )
Las dos leyes de Morgan nos
proporcionan las relaciones
entre la negación, la
conjunción y la disyunción.
Como
las proposiciones universale
s y existenciales son
generalizaciones de la
conjunción y disyunción,
respectivamente, es de
esperar que las leyes de
Morgan también tengan sus
respectivas generalizaciones.

8. Negación de una Declaración Existencial
Definición: La negación de una
declaración existencial de la forma
∃ x ∈ D, Q ( x )
Es lógicamente equivalente a la
declaración de la forma:
∀ x ∈ D, ¬ Q ( x )
Escrito como equivalencia:
¬ ( ∃ x ∈ D, Q ( x)) ≡ ∀ x ∈ D, ¬ Q ( x )