Este documento define y explica los diferentes tipos de números, incluyendo conjuntos numéricos, números enteros, racionales e irracionales. Define un conjunto como una colección bien definida de objetos y proporciona ejemplos. Explica que los números naturales, enteros y racionales son cerrados bajo ciertas operaciones matemáticas, mientras que los números irracionales no siempre lo son. También destaca números irracionales importantes como pi y e.

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS.
Definición de Conjunto.
Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos
objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc.
Algunos ejemplos son:
A es el conjunto de los números naturales menores que 5.
B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.
C es el conjunto de las vocales a, e, i, o y u.
D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.
Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los
objetos que componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se
dice que «pertenecen» al conjunto y se denota mediante el símbolo ∈, la
expresión
a ∈ A se lee entonces como «aestá en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción
contraria se usa el símbolo ∉. Por ejemplo: 3 ∈ A , ♠ ∈ D
, amarillo ∉ B, z ∉ C
Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para
los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se
especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los
conjuntos B y C se usa una definición extensiva, o por extensión listando todos sus
elementos explícitamente.

2. Definición de Número complejo
Son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraica mente cerrado. El conjunto de los números
complejos se designa con la notación C, siendo R el conjunto de los números reales se cumple que (R está estrictamente
contenido en C). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número
complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad
imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraica mente cerrado. El conjunto de los números
complejos se designa con la notación C, siendo R el conjunto de los números reales se cumple que (R está estrictamente
contenido en C). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número
complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad
imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y
aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, facilita el cálculo de integrales, en aerodinámica, hidrodinámica y
electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además, los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en
muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y
las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano
complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros.
Definición de los Números Reales.
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por R) es el
conjunto Universal , por cuanto contiene en sí mismo varios conjuntos numéricos tanto
a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales; que estudiaremos a continuación y que se encuentran representados en la
Recta Real, la cual también será estudiada en esta misma clase.
Clasificación de los Números Reales

3. Los números Naturales N.
En matemáticas, un número natural es cualquiera de los números que se usan
para contar los elementos de ciertos conjuntos. Son aquellos números naturales los que
sirven para contar elementos por lo que son naturales por ejemplo 6,7, 8,9… por
definición convencional se dirá que cualquier elemento del siguiente conjunto
ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, es un número natural.
De dos números vecinos cualesquiera, el que se encuentra a la derecha se llama
siguiente o sucesivo, por lo que el conjunto de los números naturales es ordenado
infinito. Y todos los elementos del conjunto de los números naturales son positivos,
nunca un número natural es negativo. Puesto que los números naturales se utilizan para
contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia
de los mismos; dependiendo del área de la ciencia, el conjunto de los números naturales
puede presentarse entonces de dos maneras distintas:
ℕ = {1, 2, 3, 4, …}, ℕ* = {0,1, 2, 3, 4, …}, si incluye al cero.
Operaciones con los números Naturales N.
Si tomamos dos números cualesquiera de N, y los sumamos o los
multiplicamos siempre nos dará otro número natural; en cambio si se restan o dividen
dos números N cualesquiera de los números naturales no siempre nos dará un número
natural, pues el resultado podría ser un número negativo o decimal y los números N son
positivos y enteros. Por lo tanto se define que los números naturales son cerrados para la
suma y la multiplicación pero los números N no son cerrados para la resta y la división.
Algunos Ejemplos de operación con los Números Naturales.
Sean los siguientes números 7 ∈ N y 3 ∈ N. Operar con ellos.
Suma :
3+7 = 10 ∈ N. Luego los números naturales son cerrados para la suma.
Restar:
3 – 7= -4 ∉ N. (Porque los N son positivos).
Los números naturales no son cerrados para la resta.
Multiplicación:
3 x 7 = 21 ∈ N. Luego los números naturales son cerrado para la multiplicación.
Dividir: 3/7 = 0,43 ∉ N. (porque los N son Enteros).
Los números naturales no son cerrados para la división

4. Los Números Primos P
El conjunto de los números primos es un subconjunto propio de los números
naturales que engloba a todos los elementos de este conjunto mayores que 1 que son
divisibles únicamente por sí mismos y por la unidad.
Por ejemplo, el número 7 tiene solo dos divisores que son el 1 y el mismo 7 por
lo que 7 es número primo. En otros términos, un número natural es primo o lineal si
tiene exactamente dos divisores distintos que son el 1 y el mismo número en cuestión.
El número 1, al ser solo divisor sí mismo, se conoce como número unitario.Un
número natural con más de dos divisores distintos se conoce como número compuesto o
rectangular. Por ejemplo, el número 4 tiene más de dos divisores distintos: el 1, el 2 y
el 4, por lo que 4 es un número compuesto o rectangular, porque se puede formar un
rectángulo con el número de puntos mientras que con el número primo solo se puede
formar una hilera de puntos, por lo que es conocido también como número lineal.
Los números primos menores que 100 son 25, a saber:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89
y 97.
Los números primos son números exactos y pueden ser números positivos o
negativos.
Los números Enteros Z.
En la expresión escrita de un número entero consideramos dos partes: el signo y
el valor exacto, estos nunca son decimales. El conjunto de los números enteros le
nombramos con la letra Z
Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}
El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en
sentido de los positivos.Los números naturales están incluidos en los números enteros,
estos son los enteros positivos.
Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para
escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma
de número natural.
Operaciones con los números Enteros Z.
Los números Enteros “Z” son cerrados para la operación de la suma, la resta y
la multiplicación, porque si tomamos dos números enteros “Z” y realizamos estas
operaciones con ellos siempre resultará un número entero “Z”. Pero para la operación
de la división no siempre resulta un número entero Z, luego los números enteros Z no
son cerrados para la división.

5. Algunos Ejemplos de operación con los Números Enteros.
Sean los números: -9 ∈ Z y 7 ∈Z
Realizando las siguientes operaciones con ellos:
Suma:
(-9) + 7 = -2 ∈ Z; luego los números enteros son cerrados para la suma.
Resta:
(-9) – 7 = -16 ∈ Z; luego Los números enteros son cerrados para la resta.
Multiplicación:
(-9) . 7 = -63 ∈ Z. Los números enteros son cerrados para la multiplicación.
División:
(- 9) / 7 = -1,3 ∉ Z. Los números enteros no son cerrados para la división.
Los números Racionales Q.
Un número racional es aquel que se puede expresar de la forma a/b, de tal
manera que a y b sean números enteros, pero b (el denominador) tiene que ser distinto
de 0.
Los números racionales (1/2, 1/3, 1/4...) permiten fraccionar un número, es decir,
dividirlo numéricamente.

6. Un número racional es una fracción pero hay que indicar que no todas las
fracciones son números racionales (por ejemplo, 4/1 es una fracción pero su resultado es
un número entero). Para expresar el conjunto de estos números los matemáticos
emplean una Q mayúscula. En ese sentido , todos los números tanto Z como N son
fraccionarios.
En cuanto al término para referirse a estos números, hay que indicar que en este
caso la palabra racional proviene del término ración, es decir, la parte de un todo. En
otras palabras, los números racionales expresan fracciones de una totalidad, como la
gráfica .
En términos matemáticos, un número racional es todo aquel número que puede
representarse como el cociente de dos números enteros con denominador distinto de 0.
Los números opuestos a los racionales son, lógicamente, los irracionales, que son
aquellos que no pueden expresarse como una fracción, tal y como sucede con el número
pi. El conjunto de los números naturales está dentro de los números enteros y, a su vez,
los números enteros en su conjunto se encuentran dentro de los números racionales. En
otras palabras, los naturales están incluidos en los racionales y los enteros están
incluidos igualmente en los racionales. Los números racionales son números positivos o
negativos, pueden ser fraccionarios, decimales o enteros.
En la vida cotidiana empleamos los números racionales con mucha frecuencia.
Así, cuando decimos " deme un cuarto de mantequilla" o "un tercio de queso" estamos
utilizando esta concepción numérica.Su definición puede formalmente expresarse de la
siguiente manera:
Q = { x/x = p/q. donde p ∈ Z , q ∈ Z. }, ⦡ x ∈ Z ∈ Q. , Q = { ………. -1/2, ….0,….2/3,….1, …5…..}
Operaciones con los números Racionales Q.
Los números racionales son cerrados no solo respecto de las operaciones de
adición, resta y multiplicación, sino también respecto a la división (excepto por el cero).
Tomando cualesquiera dos números racionales y se opera con ellos y da otro número
racional nuevamente
Algunos Ejemplos de operación con los Números Naturales.
Sean 7/2 ∈ Q ; -1/5 ∈ Q. Operando con los números racionales.
Suma: 7/2 +(-1/5) = 7/2 – 1/5 = (7 . 5 – 2) /10 = (35 -2)/10= 33/10 = 3,3 ∈ Q. Luego
Los números racionales son cerrados para la suma.
Resta: 7/2 –(-1/5) = 7/2 + 1/5 = (5.7 +2)/10 = (35 + 2)/10 = 37/10 ∈ Q.. luego los
números racionales son cerrado para la resta.
Multiplicación: 7/2.(-1/5) = 7.(-1)/2.5 =-7/10 ∈ Q.Luego los números racionales son
cerrados para la multiplicación.
División: 7/2 ÷(-1/5) =-7.5 /2.1 = -35/2 ∈ Q. Luego los números racionales son cerrados
para la división.

7. Los números irracionales Q’ o I.
Números irracionales .
Son los elementos de
la recta real que no
pueden expresarse
mediante el cociente de
dos enteros y se
caracterizan por poseer
infinitas
cifras decimales no
periódicas. De este modo,
puede definirse al
número irracional con
un decimal infinito.
Operaciones con los números Irracionales I o Q’
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones
bien definidas en los números irracionales, dados dos números irracionales no siempre
la suma, resta, multiplicación o división de dichos números resulta un número irracional
En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo
siguiente: Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos
afirmaciones que siempre son válidas:
1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es
irracional.
2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a · b siempre
es irracional. En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:
1. 2 + √3 es irracional.
2. 2 · √5 es irracional.
• El inverso aditivo de un número irracional, también lo es.
• El inverso multiplicativo de un irracional , también lo es.
• Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
• 3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
• Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción
que tenga el valor Pi.
• Números como 22
/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Números irracionales
Concepto: Número irracional es un número
que no se puede escribir en forma
de fracción

8. Numeros irracionales Famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más
de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los
primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número
irracional famoso. Se han calculado muchas cifras
decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros
decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros
dígitos son:
1.61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son
irracionales. Ejemplos:
√3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son
irracionales.
La Recta Real.
Es una línea de una sola dimensión que está compuesta por una sucesión
infinita de puntos, prolongada en ambos extremos de ella, a partir de un punto de origen
que es el número “0” .
La recta real es Numérica, por su parte, es un adjetivo que se refiere a lo que está
vinculado a los números (los signos que expresan una cantidad). En ella se pueden
representar a todos los números reales. Se trata de la línea en la cual se suelen graficar
los números enteros como puntos que están separados por una distancia uniforme.

9. De este modo, la recta numérica facilita la suma y la resta, resultando muy útil
cuando se desea enseñar estas operaciones a alguien.La recta numérica también se
conoce con el nombre de recta real, ya que se trata de una línea recta en la cual es
posible encontrar el conjunto de los números reales, dentro del cual podemos ubicar los
racionales (el cero, los negativos y los positivos) y los irracionales (aquellos que no
puedene xpresarse mediante una fracción m/n, siendo ambos componentes números
enteros y n, mayor o menor a cero, n ≠ 0).
Habitual es que se divida la recta numérica en dos partes: hacia la izquierda de
un punto que representa el número 0, se detallan los números negativos, avanzando de
derecha a izquierda. Hacia el otro lado del punto 0, se suceden los números positivos.
Es importante que entre cada punto se mantenga la equidistancia ya que entre cada
número entero existe una unidad de diferencia.Ya mencionamos que las rectas están
formadas por infinitos puntos.Dado que los números también son infinitos, una recta
numérica puede extenderse indefinidamente en ambas direcciones.Gracias a una recta
numérica, resulta muy sencillo determinar qué número es mayor a otro: solamente hay
que fijarse cuál de los dos se encuentra a la derecha. Supongamos que alguien no logra
descubrir si el número 7 es más grande que el 5 o viceversa. Al encontrar
ambosnúmeros en la recta numérica, advertirá que el 7 se sitúa a la derecha y que, por lo
tanto, es mayor que el 5.
Todos los números reales se pueden representar sobre la recta, cumpliéndose las
siguientes propiedades:
a) A todo número real le corresponde un punto y sólo un punto sobre la recta.
b) A cada punto de la recta le corresponde un número real. No hay ningún punto
de la recta graduada que no le corresponda un número real.
c) Nunca podremos decir que dos números reales son consecutivos porque entre
ellos hay infinitos números reales.
Por ejemplo: 4,23 y 4,24 no son consecutivos porque entre ellos están por
ejemplo los siguientes números:
4,23003, 4,231, 423222222, 4,230000000001….
Para representar en la recta un número real hay que distinguir entre aquellos que
tienen un número limitado de decimales, los cuales se pueden localizar en la recta con
precisión. Por ejemplo: 2,125
Los números imaginarios
Los números imaginarios pueden expresarse como el producto de un número
real por la unidad imaginaria i, en donde la letra i denota la raíz cuadrada de -1, es
decir:. En raíz cuadrada los números imaginarios son el residuo de una raíz negativa,
es decir: i: la raíz cuadrada de √-1, √-2, √-3, √-4,etc.
Vídeo en YouTube.
https://youtu.be/4XmJUvF4Pvw

10. Ejercicios Propuestos.
1.- Dado los siguientes elementos, responder si es verdadero “V” o
falso”F” , y justifique la respuesta que considere falsa, y luego ubica los
elementos en una recta real, la cual también será evaluada su
elaboración en todos sus elementos que la componen y ubicación
exacta del número en cuestión.
1) -7 ∈ N ———
2) √2 ∈ Q’_______
3) 4 ∈ Z _________
4) 9 ∈ P _________
5) 3 ⫪ ∈ Q _______
6) -5 ∈ Q _________
7) 17 ∈ P ________
8) ½ ∈ Z _________
9) √5 ∈ Q’ ________
10) √-5 ∈ C _________
11) √16 ∈ N_________
12) 3/2 ∈ Q’ ________
13) -2 ∈ Z _________
14) 7⫪/3 ∈ R _____
15) 2/5 ∈ R ________
16) √13 ∈ R _______
17) ¾ ∈ N ________
18) 0 ∈ R _________
19) 37 ∈ P ________
20) √64 ∈ N ______
2 . Llenar el siguiente cuadro respondiendo Si/No.Segun corresponda.
N P Z Q Q’ R I C
0,3
√9
2+3i
-4
√5
9
√-7
7/2
√64
4+√3
23
Licenciada. Teodosia Peña,
(Nov,2020).