Investigación de operaciones en administración

INVESTIGACION DE OPERACIONES EN ADMINISTRACION Eduardo Quiroz
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Aunque originalmente no se llamo así, la investigación de operaciones es muy antigua. Sus raíces
principales han crecido más recientemente por dos razones. La primera es la necesidad del estudio
científico de los problemas de administración (los que involucran las interrelaciones de las unidades
funcionales de la empresa), y la segunda se relaciona con la oportunidad de que los hombres de
ciencia atacaran los problemas militares durante la segunda Guerra Mundial . Esas dos fuerzas
motivadoras se combinaron para producir la investigación de operaciones como se conoce
actualmente.

La investigación de operaciones se puede definir como la utilización de un método planeado y de
un grupo interdisciplinario a fin de rep resentar las relaciones funcionales complejas como modelos
matemáticos para proporcionar una base cuantitativa en la toma de decisiones y descubrir nuevos
problemas para su análisis cuantitativo.

La investigación de operaciones es un instrumento de la adm inistración diseñado para aumentar la
efectividad de las decisiones administrativas como suplemento objetivo de las sensaciones
subjetivas(basadas en la experiencia pasada, la intuición, el criterio, etc. ) de los administradores.
La investigación de opera ciones puede sugerir cursos alternativos de acción cuando se analiza un
problema y se busca una solución. El estudio de los problemas complejos mediante la técnica de la
investigación de operaciones solo es útil cuando es posible escoger entre uno o más cu rsos de
acción.
Los problemas que solo tienen una o muy pocas soluciones en condiciones limitativas no
mostraran una mejoría significativa en sus soluciones cuando sé utilicen métodos cuantitativos. Al
final, los modelos cuantitativos de la investigación de operaciones son instrumentos adicionales que
permiten al decisor ser mas objetivo al escoger determinado curso de acción entre muchas
alternativas.
La lista de teorías, técnicas, métodos y modelos que se han asociado con la investigación de
operaciones ha crecido en el transcurso del tiempo, pero esto no quiere decir que sea completa. En
la actualidad hay una tendencia bien definida de combinar varias técnicas de la investigación de
operaciones para formar modelos mas avanzados.

1.1. DEFINICION DE MODEL O
Es la representación o abstracción de una situación u objeto reales, que muestra las
relaciones (directas e indirectas) y las interrrelaciones de la acción y la reacción en términos
de causa y efecto.
Como el modelo es la abstracción de una realidad, pue de parecer menos complicado que la
misma. Para que sea completo, el modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de
la realidad que están investigándose.
Una de las razones principales para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuales son
las variables importantes o pertinentes, lo que esta asociado a investigar las relaciones
entre variables. Para investigar las relaciones que hay entre muchas variables del modelo
se usan técnicas cuantitativas como la estadística y la simulación.

1.2. CLASIFICACION DE MODELOS
Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado
de abstracción.
Los modelos básicos son: icónicos, analógico y simbólico(matemáticos).
1.2.1. MODELOS ICONICOS
Es la representación física de algun os objetos, ya sea en forma idealizada o en una escala
distinta.

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Los modelos icónicos sin muy adecuados para la descripción de acontecimientos en un
momento especifico del tiempo. Por ejemplo una fotografía es una buena imagen de una
fabrica, un avión prototipo a escala.

1.2.2. MODELOS ANALOGICOS
Estos modelos pueden representar situaciones dinámicas que muestran las características
del acontecimiento que se estudia.
Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencias en las estadísticas y lo s
diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos.
A menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas
entre las propiedades de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en
propiedades análogas, con frecuencia vamos podemos incrementar nuestra capacidad de
hacer cambios.

1.2.3. MODELOS SIMBOLICOS (o MATEMATICOS )
Los modelos simbólicos son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma
de cifras, símbolos y matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en
nuestra mente y que luego se registran como modelos simbólicos. Un tipo de modelo
simbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación de operaciones es una
ecuación. Una ecuación es concisa, precisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo son
mucho más fáciles de manipular que las palabras sino que se escriben más rápidamente.
Además de estas ventajas, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las
computadoras.

Entre los tipos de modelos matemáticos que se usan en la investigación de operaciones, se
tiene:
A) Cuantitativos y cualitativos
La investigación de operaciones se ocupa de la sistematización de los modelos cualitativos y
de su desarrollo hasta el punto en que puedan cuantificarse. Est o no significa que la
metodología de la investigación de operaciones pueda cuantificar situaciones cualitativas.
Los problemas que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes se
llaman modelos cualitativos.
Cuando construimos un modelo mat emático e insertamos símbolos para representar
constantes y variables, llamamos a esto un modelo cuantitativo. Un ejemplo es la ecuación
matemática, ya que representa una abstracción de las relaciones entre constantes y
variables.

B) Probabilístico y determi nístico
Los modelos pueden separarse en dos categorías: probabilísticos y determinísticos.
Los modelos que se basan en las probabilidades y en las estadísticas y que se ocupan de
incertidumbres futuras se llaman probabilistas. Los modelos cuantitativos que no tienen que
no contienen consideraciones probabilisticas se llaman modelos determinísticos.

C) Descriptivos y de optimización .
En algunas situaciones un modelo se construye sencillamente como descripción matemática
de una condición del mundo real. Esos m odelos se llaman descriptivos y tienen la capacidad
de solución. Sin embargo en esos modelos no se hace ningún intento para escoger la mejor
alternativa.
Cuando se compara un modelo de optimización, se hace un esfuerzo concertado para llegar
a una solución óptima cuando se presentan alternativas. Cuando un modelo de
optimización se usa en forma apropiada, suministra la mejor alternativa de acuerdo con los
criterios de entrada. Por consiguiente un modelo de optimización se ocupa de una

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respuesta óptima, mien tras que el modelo descriptivo no intenta seleccionar la mejor
alternativa, sino tan solo describir las selecciones presentes.
D) Estáticos y dinámicos
Los modelos estáticos se ocupan de determinar una respuesta para una serie especial de
condiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo. Por
ejemplo en la programación lineal, en la que las restricciones se fijan en términos de los
requerimientos de tiempo y disponibilidad a corto plazo. Un modelo estático dará por
resultado la mejor solución basada en esa condición estática.
Un modelo dinámico está sujeto al factor tiempo, que desempeña un papel esencial en la
secuencia de decisiones. Independientemente de cuales hayan sido las decisiones
anteriores, el modelo dinámico nos permi te encontrar las decisiones óptimas para los
períodos que quedan todavía en el futuro.

E) SIMULACIÓN Y NO SIMULACIÓN
La simulación es un método que comprende cálculos secuenciales paso por paso, donde
puede reproducirse el funcionamiento de problemas o siste mas de gran escala. En muchos
casos donde ocurren relaciones complejas, tanto de naturaleza predecible como aleatoria,
es más fácil preparar y pasar una situación simulada en una computadora, que preparar y
emplear un modelo matemático que represente todo el proceso que se estudia. En un
modelo de simulación los datos de entrada pueden ser reales o generados. Aunque algunos
problemas se prestan para usar números aleatorios y datos empíricos en los modelos de
simulación, otros muchos se prestan para los mode los no simulados, como los de
optimización. Estos tienen técnicas preparadas especialmente para sus soluciones
respectivas.

1.3. MODELOS DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES
Los modelos para la resolución de problemas por medio de la investigación de operac iones,
pueden agruparse de la siguiente manera:

1.3.1. Modelos de secuenciación
Estos modelos comprenden la determinación de una secuencia óptima para una serie de
tareas o eventos, o la mejor secuencia para dar servicios a los clientes, a fin de aminor ar el
total de tiempo y de costos. Las técnicas del PERT y CPM, se aplican actualmente a
investigaciones y desarrollo, construcción, planeación de nuevos productos y otras áreas
semejantes. Otros problemas de secuenciación tales como la planeación de maqu inas se
resuelven usando técnicas heurísticas y de simulación.

1.3.2. Modelos de reemplazo
Generalmente los problemas de reemplazo son de dos tipos: los que comprenden artículos
que se deterioran a través del tiempo y los que fallan después de determina do período. Las
soluciones del primer tipo se obtienen a través de la programación dinámica. Los modelos
del segundo tipo consideran al reemplazo de los artículos a medida que fallan, el reemplazo
de todos ellos a intervalos especificados, o algunas combin aciones de ambos métodos.
Puede emplearse el muestreo estadístico y la teoría de probabilidades para resolverlos.

1.3.3. Modelos de inventario
Estos modelos (ecuaciones de la cantidad económica de la orden), se ocupan de dos
decisiones: que cantidad ha y que ordenar cada vez, y cuándo hay que pedir esa cantidad a
fin de aminorar el costo total. Se determinan los costos de existencia, costos de pedidos de
inventario y costos de faltantes, a fin de que la administración pueda emplear una relación
de eficacia de costos(modelo) para lograr un equilibrio apropiado entre costos y faltantes.
Las reglas de decisión del costo mas bajo para la administración de los inventarios pueden

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obtenerse también por medio del cálculo, la teoría de probabilidades, la programac ión
dinámica y la simulación.

1.3.4. Modelo de asignación
Cuando hay que llevar acabo varias actividades, maneras alternativas de ejecutarlas e
instalaciones y recursos limitados para desempeñar cada una de ellas del modo más
efectivo, habrá un problema d e asignación de esos recursos escasos. El problema consiste
en combinar las actividades y los recursos de forma óptima de modo que la eficiencia
general se aumente al máximo, o sea que se aumente las utilidades y se disminuyan los
costos. Esto se conoce c omo programación matemática. Cuando las restricciones se
expresan en forma de ecuaciones lineales, esto se conoce como programación lineal. Si
alguna restricción no es lineal, se le llama programación no lineal.

1.3.5. Modelos de programación dinámica
La programación dinámica, un resultado de la programación matemática, es una decisión
afortunada y relativamente reciente a la técnicas estándar crecientes de la investigación de
operaciones. Estos modelos son útiles en los procesos que se extienden a cierto número de
períodos o eventos. En vez de optimizar cada decisión a medida que ocurre, la
programación dinámica toma en cuenta los efectos de las decisiones de hoy sobre los
períodos futuros. La mayor parte de los problemas de programación dinámica requieren el
empleo de una computadora para manipular la gran cantidades de datos.

1.3.6. Modelos competitivos
La teoría de juegos, suministra una estructura conceptual dentro de la cual pueden
formularse casi todos los problemas de competencia. Los negocios lo ha n usado
eficazmente para desarrollar estrategias de publicidad, políticas de precios y oportunidad
para la introducción de nuevos productos. En los juegos se ha usado con éxito la teoría
estadística de la decisión y la simulación.

1.3.7. Modelos de líneas de espera
La teoría de líneas de espera, llamada a veces teoría de colas, se ocupa de las llegadas
aleatorias a una instalación de servicio o de procesamiento de capacidad limitada. Este
modelo tiene por objeto determinar el número óptimo de personal o d e instalaciones que
se requieren para dar un servicio a los clientes que llegan aleatoriamente al considerar el
costo de servicio y el de las esperas.

1.3.8. Técnicas de simulación

La simulación esta asociado con la experimentación.

1.3.9. Modelos de ruta
Uno de los más importantes problemas de ruta es el “problema del agente viajero”. El
problema consiste en escoger una ruta que comience en la propia ciudad del agente, pase
una sola vez por cada ciudad y regrese a su punto de partida por la distancia mas cort a
posible en términos de tiempo o costo. El modelo de ruta se ha aplicado a la producción,
donde el número de modelos o artículos producidos es análogo a las ciudades. Los costos
de cambio de producción corresponden a los costos de los viajes entre las di versas
ciudades.

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CAPITULO II

LA PROGRAMACION LINEAL

2.1. HISTORIA DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL

Históricamente, el problema general de programación lineal fue desarrollado y aplicado por
primera vez en 1947 por George B. Dantzig, Marshall Wood y sus asociados del
Departamento de la Fuerza Aérea de la Estados Unidos. En esta época, este grupo fue
encargado de investigar la posibilidad de aplicar técnicas matemáticas a la programación
militar y a los problemas de planeación. Este estudio lleva a Dantzig a proponer “que las
interrelaciones entre las actividades de una gran organización, fueran vistas como un
modelo tipo de programación lineal, y el programa de optimización fuera determinado
minimizando una función lineal objetiva”.
Con objeto de desarrol lar y ampliar estas ideas posteriormente, la Fuerza Aérea organizó
un grupo de investigación bajo él titulo de Proyecto SCOOP (Scientific Computation of
Optimiun Programs). Además de llevar la programación de la Fuerza Aérea y los problemas
de planeación hacia bases mas cientificas, la principal contribución del proyecto SCOOP fue
el desarrollo formal y la aplicación del modelo de programación lineal. Esas primeras
aplicaciones del método de programación lineal cayeron en tres categorías principales.
Aplicaciones militares generadas por el proyecto SCOOP, economías interindustriales
basadas en el modelo de insumoproducto de Leontief, y problemas que incluían las
relaciones entre los juegos de suma cero para dos personas y la programación lineal. En la
década de los sesenta estos campos de aplicación se extendieron y desarrollaron pero, sin
embargo, el principal énfasis en las aplicaciones de la programación lineal ha cambiado
hacia el área industrial en general.

El enunciado matemático inicial del problema general de programación lineal, fue
desarrollado por Dantzig en 1947 a través de su método simplex, un procedimiento
sistemático para resolver el problema. Después de esto se reconoció que cierto número de
problemas(algunos sin resolver) es del tipo que tr ata de la optimización de una función
lineal sujeta a restricciones lineales.

Los ejemplos más importantes incluyen el problema de transporte presentado por Hitchcock
(1947) e independientemente por Koopmans (1947) y el problema dietético de Stigler
(1945).
Las primeras soluciones favorables a un problema de programación lineal, en una
computadora electrónica de alta velocidad, se llevaron a cabo en enero de 1952 con el uso
de la maquina SEAC del National Bereau of Standards. Desde entonces el algoritmo si mplex
o variaciones de este procedimiento es él más utilizado debido a su eficiencia
computacional.
La programación lineal se ha convertido en una importante herramienta de las matemáticas
modernas, tanto teóricas como aplicadas.

2.2. REVISION DE LAS APL ICACIONES DE LA PROGRAMACION LINEAL.

En términos generales, muchas de estas aplicaciones dan una idea de la flexibilidad y éxito
del modelo de programación lineal.

2.2.1. Aplicaciones en la agricultura.
Estas aplicaciones caen en dos categorías: econom ía de las granjas y
administración de las granjas. La primera categoría trata de todos los aspectos de

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la economía agrícola, o sea, relacionada con la economía de la región estado o
nación. En tanto que la administración de las granjas se refiere a problem as que
solo atañen individualmente a cada una.
Un estudio de la economía de las granjas, conduce a u “modelo de equilibrio en el
espacio”.
Una aplicación de las técnicas de programación lineal a un problema de
administración de granjas típica es la de as ignar fuentes limitadas tales como
superficie, trabajo, suministro de agua, capital de trabajo, etc., en tal forma como
para maximizar las entradas netas.

2.2.2. Aval de contratos.
El modelo de programación lineal ha sido aplicado a la competencia de la emisión
de bonos. La emisión de bonos en serie por los gobiernos y otras autoridades
publicas esta basada en el método de costo de interés neto. El emisor que presenta
el costo mas bajo a la autoridad es el que gana la emisión. El modelo considera los
factores que intervienen en el costo de interés neto y proporciona un método para
ajustar las variables mas sujetas al control de los emisores de bonos. El modelo
que surge de la minimización de las necesidades admite así una solución explícita.

2.2.3. Aplicaciones industriales

A. Industria Química
Las aplicaciones dentro de la industria química han sido, sobre todos, en los
campos de producción y de administración de inventarios.

B. Industria del carbón
Se formulo un modelo para la industria del carb ón el cual implica dos
problemas interrelacionados de programación lineal. Los datos del
problema son demandas distribuidas especialmente para el carbón y los
costos unitarios de las entregas desde los depósitos hasta las localidades.
Los niveles de esas entregas constituyeron así las variables al primer
problema de programación lineal. Se seleccionaron en tal forma que
minimizaron el costo de las demandas en función de las restricciones de la
capacidad de los depósitos de carbón.
Las variables del segundo problema de programación son los costos de
entrega del carbón en las localidades y la regalías unitarias percibidas en
los diferentes depósitos. Se seleccionaron los valores de estas variables
para maximizar el total neto de entradas de dinero debidas al p ago de las
regalías.

C. Aviación Comercial
Las aplicaciones en este campo esta conectado con problemas de rutas y
de administración de líneas.

D. Industria del Transporte
Este en un campo en el que se encuentran pocas aplicaciones. El trabajo
principal se ha hecho para el diseño optimo y el empleo optimo también de
redes de comunicación. Los métodos de programación lineal han sido
utilizados en la transmisión, relevo e interrupción. Estos métodos
proporcionan una correcta aproximación para resolver i nteracciones
complejas entre capacidades de sistemas, demandas de clientes y factores
económicos.

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E. Industria del Hierro y del Acero
En esta industria han sido formulados y planteados numerosos modelos
para la planeación de producción.

F. Industria papelera
El problema del transporte se ha usado dentro de la industria papelera y de
la pulpa. La programación de transporte trata del problema de una
empresa que cuenta con varias instalaciones. El problema consiste en cómo
asignar las diversas órdenes a los molinos para reducir los fletes totales de
la empresa a un mínimo.

G. Industria petrolera
Este campo industrial ha proporcionado muchas y muy importantes
aplicaciones de la programación lineal. La primera de ellas,
cronológicamente hablando, fue la mezcla de gasolinas para maximizar las
utilidades. Otros problemas implican la asignación de crudos a diversa
refinerías, así como el inventario óptimo y la tasa de producción para
productos cuyo consumo varia con el año. Los modelos matemáticos de las
operaciones de las refinerías y de la industria petrolera en general, han
conducido al estudio y solución de muchos problemas cuya programación
ya no es lineal.

H. Industria ferrocarrilera

Ha sido formulado un modelo de programación lineal para optimizar los
movimientos de mercancías por fecrrocarril en lo que se refiere a sus fletes,
para poder manipular los problemas que se encuentran en una gran
terminal ferroviaria.
Otras aplicaciones ferroviarias tienen que tratar con la distribución de los
vagones de carga y la clasificación de los esfuerzos en los patios.

2.2.4. Análisis Económico.
El uso de técnicas de programación lineal en el campo de la economía no se ha
limitado al modelo interindustrial de Leontief. Otra aplicación importante ha sido la
interpretación lineal de la teoría o política económica de la empresa.
El problema de seleccionar inversiones ha sido tratado mediante técnicas de
programación lineal. Además de las dietas, muchos problemas del aspecto más
vasto del análisis de mercados han s ido planteados según estas técnicas.
Mediante las técnicas de programación lineal, se investigaron también casos
especiales de la teoría de localización de fabricas, o sea, la selección de lugares
para plantas y almacenes tendiente a maximizar las ganancia s.
Un experimento poco usual que implica la programación lineal, se diseño para
medir la utilidad cardinal de gastos monetarios y cómo usar las utilidades
calculadas para predecir nuevas selecciones.

2.2.5. Aplicaciones militares
Uno de los primeros mod elos lineales que se hizo, cronológicamente hablando, fue
el concerniente al despegue de los aviones. En él,, las restricciones implicadas eran
los suministros a Berlín Occidental, el número posible de vuelos, el número de
tripulaciones y de aviones y fina lmente el dinero disponible. El objetivo era o bien
ser capaces de entregar una cantidad especificada de toneladas con el costo
mínimo posible, o bien maximizar el tonelaje que había que transportar con una
cantidad dada de dinero y de equipo.

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Otro uso dentro de la Fuerza Aérea fue el problema del desempleo, en estrecha
relación con la asignación eficiente de recursos limitados como pueden ser las
tripulaciones de combate debidamente entrenadas y el número de aviones.
Otros ejemplos militares incluyen: el p roblema de seleccionar una arma aérea
contra guerrillas; el problema de defensa de las comunidades frente a desastres

2.2.6. Asignación de personal
Un problema particular de asignación dinámica considera el caso de los colectores
de peaje en las casetas para periodos dados de tiempo con el mínimo de personal
posible.

2.2.7. Programación de producción y administración de inventarios
La programación lineal considera el problema de suavizar la producción para
satisfacer requisitos estipulados en tal form a que se minimicen los costos de
almacenamiento.
Un problema que ha sido investigado en muchas formas mediante la programación
lineal es el de balancear una línea de ensamble. Una variante a este problema es la
línea de producción en etapas múltiples. El p roblema se plantea en cómo minimizar
el tiempo total transcurrido a lo largo de toda la línea de producción..
Otra aplicación implica el problema de determinar el número de cada tipo de
unidad o articulo que se va a producir por caminos diferentes en una l ínea de
producción de un taller, en tal forma que el costo total de producción sea el mínimo
y que satisfaga los tiempos y características para los medios disponibles.
También tenemos el problema de proporcionar y asignar nuevos aviones a las
diversas tareas de transporte para minimizar los costos acumulados.

2.2.8. Diseño estructural
Los problemas en este campo implican la linealización de los principios de
ingeniería relacionados con la teoría del colapso plástico y del diseño estructural.
El problema de diseñar marcos planos en tal forma que el consumo de materiales
sea mínimo puede también formularse mediante un modelo lineal.

2.2.9. Análisis de trafico
Este problema tiene que ver con el asunto de la sincronización de los semáforos. La
formulación matemática del sistema de redes de calles implica el conocimiento de
los siguientes parámetros: ciclo total de los semáforos(rojo más verde); la fracción
del ciclo que permanece rojo en cada crucero, así como él numero de vehículos que
pueden moverse en ca da dirección en dicho crucero. El modelo puede manipular
fenómenos tales como la variación de velocidad promedio a lo largo del recorrido y,
en diferentes porciones de este, salidas y entradas de vehículos al mismo, variación
de la capacidad de transito co n intersección y dirección de flujo, la capacidad de
cada cuadra para contener vehículos estacionados, luces de tres vías y otras
programaciones especiales. El criterio para obtener un tiempo óptimo de
sincronización de los semáforos es que se minimicen el numero de retrasos.

2.2.10.Problema de transporte y teoría de redes.
El problema se plantea de la siguiente manera: consideremos una red, digamos
ferrocarriles, carreteras, comunicaciones en general; conectemos dos puntos dados
mediante un cierto numer o de puntos intermedios y, así, cada arco o enlace de la
red llevara un numero que represente su capacidad. Suponiendo la condición de
estados estable, encontrar el flujo máximo desde un punto a otro. Un método
simple de calculo, basado en el simplex, ha s ido desarrollado para resolver este
problema.

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2.3. LA PROGRAMACION LINEAL EN LA ECONOMIA

La investigación para la mejor solución, la máxima, la mínima o en general las soluciones
óptimas a una variedad de problemas ha entretenido e intrigado al hombre a través de las
edades. Euclides, en su libro III, se preocupo en encontrar las líneas rectas más cortas y
más largas que pudieran trazarse desde un punto hasta la circunferencia de un circulo, y en
su libro IV, describe como encontrar el paralelogramo de superficie máxima con un
perímetro dado. Sin embargo, el método de ataque riguroso a estos problemas mas
complicados, tuvo que esperar hasta que los grandes matemáticos de los siglos XVII y
XVIII desarrollaran los poderosos métodos del calculo y del calcul o de variaciones.. Con
estas técnicas podemos encontrar las soluciones máximas y mínimas a una amplia gama
de problemas de optimización..

En el campo de la economía es problema cotidiano el que se refiere a la distribución de
recursos limitados; por la simple enumeración de los casos en que se presenta ese
planteamiento, puede observarse que subyace en gran parte de la economía, tocando
capítulos o partes de ella, muy variados.

La distribución de recursos escasos es esencialmente un problema de decisió n, pues
implica la acción de preferir una alternativa de usos, entre una gama infinita de
posibilidades.
Además, para los fines que se persigue en cada caso y las limitaciones que impone la
escasez de los recursos, en muchas ocasiones es necesario sacrific ar una meta en aras de
otras.

Tales decisiones deben estar basadas en consideraciones teóricas y practicas que
proporcionen elementos suficientes para suponer que la decisión tomada es precisamente
la adecuada o que, cuando menos, figura entre las mejores .

La decisión que implica preferencia de una alternativa entre otras cualitativamente distintas
– vgr. Entre construir una casa o un hospital -, empieza a ser un motivo de investigación,
pero los resultados alcanzados se basan, a menudo, en criterios muy discutibles.

Otra cosa sucede cuando son cuantificables tanto las metas o fines perseguidos como los
recursos. En este caso, el problema de decisión puede resolverse a partir de criterios de
índole cuantitativa; por otra parte, la idoneidad de la decisión tomada para lograr un
determinado fin, es susceptible de medida y, por tanto, de calificación.
Gran parte de los problemas económicos cuantitativos de decisión tienen una solución
óptima. En verdad, el problema fundamental es la técnica que se debe aplica r para
determinar la solución idónea desde el punto de vista cuantitativo.

Se ha dicho que el principio económico fundamental es la obtención de un resultado
determinado con el mínimo posible de medios. Semejante principio es una norma general
que se tiene presente al decidir una asignación de recursos. Pero si bien se le tiene
presente, su aplicación origina problemas en su mayor parte no resueltos a la fecha.
Sin embargo, algo se ha adelantado en ese terreno. En la actualidad existen algunas
técnicas que, como conjunto permitirán alcanzar decisiones económicas sobre bases cada
vez mas científicas.

Dentro del esfuerzo para hacer mas científica la Economía, destacan los modelos
matemáticos. La aplicación de las Matemáticas a la Economía tiene ya una respet able
tradición: se debe a Cournot su adaptación primera. Desgraciadamente, las consecuencias

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de tal aplicación fueron lamentables: el aparente caos de la vida económica, llevo al
estudiosa a resumir los fenómenos en modelos matemáticos que eliminaban ciert as
características esenciales y que, en ultima instancia, deformaba la realidad hasta hacerla
tan parecida a los pájaros o animales convencionales del arte decorativo, de que hablaba
Marshall.

Los peligros que entraña la aplicación de los métodos matemá ticos a la economía han sido
denunciados con celo excesivo, aunque también con ciertas bases objetivas. De cualquier manera,
el abuso de las Matemáticas les creo tal desprestigio como método aplicable a la Economía, que el
grupo de técnicas surgidas durant e la segunda guerra mundial fue recibido con frío y hostilidad;
ahora bien su aportación a la solución de ciertos problemas económicos, trocó bien pronto la
hostilidad en respeto. En la actualidad puede afirmarse que las nuevas técnicas matemáticas
ocupan un lugar de honor en la Economía.

El grupo de técnicas a que nos referimos se conoce con el nombre de Investigación de
Operaciones, Investigación Operativa o Teoría de Decisiones. Su objetivo principal es la
determinación de soluciones optimas de los pro blemas económicos, mediante métodos
matemáticos y estadísticos. Aun cuando su campo de aplicación no es exclusivamente la Economía,
la mejor cosecha se ha logrado en él.

A tal grupo de técnicas pertenece la Programación Lineal. El problema que resuelve, e n su aspecto
general, es que se refiere a determinar la combinación de recursos que permita la obtención del
máximo producto. El adjetivo lineal deriva de la condición de que las relaciones implicadas sean de
primer grado o lineales.
Ya a primera vista pud e verse que se trata de una técnica que hace posible, científicamente, la
aplicación del principio fundamental en aquellos casos en que la expresión algebraica del problema
es un conjunto de relaciones lineales.

Aun cuando parezca demasiado restrictiva la condición de linealidad, las posibilidades de aplicación
son abundantes. Un ejemplo permitirá aclarar conceptos.

Es típico el caso de una empresa que produce varios artículos; supongamos, para simplificar la
exposición, que se trata de dos artículos que difieren solamente en calidad, y que la producción de
una unidad de cada uno de ellos necesita cierta cantidad de materias primas(diferentes
proporciones), y distinto tiempo de elaboración. Si se cuenta con una cantidad limitada de materias
primas y una capacidad de producción determinada, se trata de precisar el número de unidades de
cada articulo que se deberá producir para obtener los ingresos mas elevados posibles, dada la
limitación de los recursos y suponiendo conocidas las utilidades unitarias de cad a tipo de articulo.

En un problema de esta índole se pueden buscar diversas soluciones. Una de ellas seria fijar el plan
de producción siguiendo el criterio de producir la mayor cantidad posible de aquel articulo que
proporcione las mayores utilidades por unidad. Otro criterio para determinar el programa de
producción puede consistir en calcular las utilidades obtenibles de producirse el máximo posible de
cada articulo y optar por aquel que proporcione las mayores utilidades.

Debe hacerse notar aquí, que los planes de producción determinados con los criterios anteriores no
han de coincidir necesariamente con el plan optimo. Pero puede pensarse también en la posibilidad
de determinar el plan de producción buscando una combinación de los dos artículos que
proporcionen la máxima utilidad y, obviamente, será ese el criterio que se puede considerar mas
efectivo. Ahora bien, ¿cómo calcular semejante combinación si los planes posibles suelen ser

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numerosos?. Mas aun, suponiendo que se llegara a una solución que se considerara optima ¿puede
afirmarse que necesariamente es la mejor?

La combinación óptima puede determinarse por medio de la programación lineal. Una idea general
sobre el planteamiento nos aproximara mas a la naturaleza del problema.
Tenemos un objetivo, que es la maximización de las utilidades. Ahora bien, tales utilidades
dependen del numero de unidades que de cada articulo se produzcan, por lo que es posible
expresarlas como la suma de la utilidad unitaria de cada articulo multiplicada por el número de
unidades que se produzcan de él. La expresión algebraica de las utilidades será una función, y si,
cualquiera que sea la cantidad producida de un articulo, su utilidad unitaria es constante, esa
función será de primer grado o lineal.

Nuestro objetivo, por tanto, es obtener el máximo valor de la función de utilidades, es decir
maximizar la función. Pero dicho máximo esta restringido por las limitaciones de materias primas y
de capacidad de producción; por ello decidimos que se trata de obtener un máximo co ndicionado.
Analicemos las condiciones o restricciones. Si disponemos de una cantidad determinada de
materias primas para la producción, resultara obvio que lo requerido para un plan de producción
posible deberá ser igual, cuando más, a la suma disponible. Dicho de otro modo, la cantidad de
materias primas utilizadas deberá ser igual o menor que la cantidad disponible de ellas. Pero, en
sentido matemático, esto equivale a una desigualdad. A igual conclusión se llega al plantear la
restricción de capacidad.

El problema desde el punto de vista matemático, consiste en obtener el valor máximo de una
función condicionada por desigualdades. Empero, lo que se ha dicho para el caso de las utilidades o
el producto, es valido también para conceptos como costos; sin embargo, en ese caso, el objetivo
será minimizarlos.

El ejemplo que hemos utilizado en los renglones anteriores es demasiado simple. La realidad esta
compuesta por fenómenos que implican el manejo de una gran cantidad de variables en muchas
ocasiones; por lo tanto, la solución manual de un problema de programación lineal implica un
trabajo excesivo y muchas veces antieconómico. Empero, esta limitación ha dejado de existir desde
el momento en que surgieron las computadoras, las cuales han abierto nuevas po sibilidades para la
solución de problemas económicos.
El empleo de las computadoras es imprescindible cuando se pretende resolver problemas que
impliquen gran numero de operaciones o cuyo proceso de solución es iterativo, como es el caso de
la Programación Lineal.
La Programación Lineal se aplica a problemas de desarrollo, donde es necesario el manejo de una
gran numero de ecuaciones e incógnitas.

El descubrimiento de la programación lineal ha repercutido en la Teoría Económica, al haber
introducido nuevos conceptos tales como “proceso” y “programa”, lo cual da un enfoque realista de
la empresa.
En las dos ultimas décadas , se ha originado una nueva clase de problemas de optimización
relacionadas con las estructuras complejas de organizaciones propias de la sociedad moderna.

Para el economista la parte más importante de la Programación Lineal es la representada por la
exposición del problema en forma matemática, pues ello le permite conocer su naturaleza y
determinar el método que lo resuelve.

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3.1. DEFINICION
La programación lineal es una técnica de optimización que consiste en la maximización o
minimización de una función lineal, llamada función objetivo o función económica, sujeta a
restricciones también lineales.
El adjetivo lineal deriva de la condición de que las relaciones implicadas sean de primer
grado.

El criterio de optimización es por lo general un objetivo económico. Por ejemplo: las
ganancias, las capacidades, los requerimientos, etc. son funciones que se deben maximizar;
en cambio los costos, las perdidas, los accidentes, etc. son funciones que se deben
minimizar.

3.2. MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
El modelo de un programa lineal tiene la siguiente forma:

Max o Min (Z) = c 1x1 + c2x2 + ..........+ c nxn (1)

Sujeto a las restricciones estructurales:

a i1 x1 + a i2 x2 + .....+ a in xn = bi i=1,m (2)

y las restricciones de no negatividad
xj 0 j=1,n (3)

En las ecuaciones anteriores: a ij , bi y cj son valores que se asumen conocidos y el
problema consiste en hallar los valores de los x j que optimicen la función (1) sujeta a las
restricciones (2) y (3).
Las variables x j se llaman variables de decisión.
Por consiguiente un modelo de programación lineal tiene 3 componentes:
Una función objetivo como se indica en (1)
Un conjuntos de restricciones estructurales como se indica en (2)
Un conjunto de restricciones de no -negatividad de las variables de decisión, como se
indica en (3)

Un programa lineal puede ser expresado de la siguiente forma:
n
Max o Min (Z) = c j xj
J=1
Sujeto a:
n

a ij x j = b i i=1,m
J=1

X j 0 j=1,n

................................................................................................................................................................................................................................

el programa lineal también puede ser expresado utili zando la notación matricial:

Max o Min (Z) = C t X
s.a.

AX = B

X 0

Donde:

c1 x1 b1 a11 a12 .......... a1n
c2 x2 b2 a21 a22 .......... a2n
C= . X= B= A= ………………………
........................
cn xn bm a m1 am2 ........... amn

3.3. FORMULACION DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL .
Para formular el modelo es necesario estudiar el sistema t eniendo en cuenta los objetivos
que se persigue alcanzar. Por lo general, se asume que el sistema satisface ciertas
condiciones, para que pueda ser modelado mediante un programa lineal.

La formulación del modelo de PL consiste en determinar el valor de lo s coeficientes a ij, b i ,
c j y expresar el modelo en una de las formas del modelo de PL.
Cabe indicar que formular y modelar un Programa Lineal no son cosas equivalentes. En
particular, la formulación del Programa Lineal procede solamente después de la
modelación.

A continuación se presentan algunas aplicaciones de programación lineal, donde el objetivo
es formular el programa lineal correspondiente; ya que los métodos de solución sé
discutirán posteriormente.

3.4. SOLUCION DE UN PROGRAMA LINEAL

El proceso de solución de un programa lineal empieza cuando este ha sido formulado
correctamente, y consiste en aplicar un método o una técnica de solución para hallar el
vector X que optimice la función objetivo, sujeta a las restricciones estructurales y a las
restricciones de no-negatividad.

Un programa lineal puede ser resuelto mediante un método gráfico, o en forma analítica
según la complejidad del problema. La aplicación de un método analítico implica el uso de
cierto algoritmo de calculo.
Existen muchos métodos analíticos para solucionar un programa lineal, sin embargo él mas
utilizado debido a su eficiencia computacional es el Método simplex.

3.5. FORMULACION DE PROBLEMAS

En esta parte, los pasos de formulación que se presentaron en la sección anterior se
aplican a problemas de complejidad variable. También haremos hincapié en las nuevas
técnicas, útiles en la identificación de las variables, los datos, la función objetivo y las
restricciones.

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EJEMPLO 3.1.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION
La Cia. ALFA fabrica artículos para el hogar y manufactura dos productos: A y B. Ambos sufren 3
procesos en el mismo orden que son:
- Maquinado
- Armado
- Montaje

La disponibilidad de minutos diarios de cada proceso es: 160,120 y 280 minutos respectivamente.
El producto A requiere 2, 1 y 4 minutos de maquinado, armado y montaje respectivamente;
mientras que el producto B, necesita 2, 2 y 2 minutos de maquinado, armado y montaje
respectivamente.

El gerente de producción debe decidir que cantidad de cada pr oducto debe manufacturarse con el
objeto de hacer el mejor empleo de los medios limitados de producción, sabiendo que la ganancia
por cada unidad del producto A es $10 y del producto B es de $15.

Solución:

Las variables de decisión son:
x1: número de unidades del producto A que se va a producir/semana
x2: número de unidades del producto B que se va a producir/semana

El programa lineal es:

Max Z = 10 x 1 + 15 x 2
s.a.
2x 1 + 2x 2 160

x 1 + 2x 2 120

4x 1 + 2x 2 280

x 1, x 2 0

EJEMPLO 3.2.: PROBLEMA DE PLANEACION DE PRODUCCION

Dos fabricas de papel producen 3 tipos diferentes de papel de bajo grado, medio grado y alto
grado. Se tiene un contrato de venta para proveer: 16 ton. De bajo gra do, 5 ton. De medio grado y
20 ton. De alto grado.
La fabrica 1, produce 8 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 2 ton de alto grado en un día de
operación. La fabrica 2 produce 2 ton de bajo grado, 1 ton de medio grado y 7 ton de alto grado
por día de operación.
Los costos de operación son de $1000/dia para la fabrica 1 y de $2000/dia para la fabrica 2.
¿Cuantos días debe trabajar cada fabrica a fin de cumplir con el mencionado contrato de venta en
la forma más económica?
SOLUCION

Sean las variables de decisión:
x1 = número de días de trabajo de la fabrica 1
x2 = número de días de trabajo de la fabrica 1

................................................................................................................................................................................................................................

Min (z) = 1000x 1 +2000x 2
s.a.
8x 1 +2x 2 16
1x1 +1x 2 5
2x 1 +7x 2 20
x 1, x2 0

PROBLEMA 3.3.: EJEMPLO DE POLITICA DE INVERSION

Un banco tiene $ 1 millón disponible para préstamos. Puede prestar dinero a empresas,
proporcionar hipotecas o conceder prestamos personales. Las políticas del banco limitan los
préstamos personales a un máximo del 25% de t odos los prestamos, mientras que los prestamos a
empresas no pueden exceder la cantidad de hipotecas.
También el banco quiere que los préstamos a empresas sean por lo menos 10% más que los
prestamos personales. Los interese promedio son: 12% en préstamos p ersonales, 10% en
préstamos a empresas y 8% sobre hipotecas. Los fondos que no se han prestado, se invierten en
valores a corto plazo al 5%. El banco quiere un programa para maximizar el interés.

Solución

Variables de decisión :

X 1 = prestamos personale s
X 2 = prestamos a empresas
X 3 = prestamos por hipotecas
X 4 = inversión en valores a corto plazo

Función objetivo

Max (z) = 0.12 x 1 + 0.10 x 2 + 0.08 x 3 + 0.05 x 4

Restricciones:

X 1 +x 2 + x 3 + x 4 = 1 000,000 ( capital de inversión)

X 1 0.25 (X 1 +x 2 + x 3) (prestamos personales)

X 2 x 3 (prestamos a empresas)

X 2 1.10 x 1 (prestamos a empresas)

Condición de no negatividad

X 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 0

................................................................................................................................................................................................................................

PROBLEMA3.4.: EJEMPLO DE POLITICA DE PRESTAMOS

Una institución financiera, ALFA BANK, se encuentra en el proceso de formular su política de
préstamos para el próximo trimestre. Para este fin se asigna un total de $ 12 millones. Siendo una
institución de servicios integrales, esta obligada a otorgar prestamos a diversos clientes. En la
siguiente tabla, se señala los tip os de prestamos, la tasa de interés que cobra el banco y la
posibilidad de que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables, según se estima por
su experiencia.
Tipo de Tasa de Probabilidad de
préstamo interés incobrables
Personal 0.140 0.10
Automóvil 0.130 0.07
Casa 0.120 0.03
Agrícola 0.125 0.05
Comercial 0.100 0.02
Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto no producen ingreso
por concepto de intereses.
La competencia con otras instituciones financieras del área requiere que el banco asigne cuando
menos el 40% de los fondos totales a préstamos agrícolas y comerciales. Para dar asistencia a la
industria de la habitación en la región, los préstamos para casa deben ser iguales cuando menos al
50% de los préstamos personales, para automóvil y para casa. El banco tiene asimismo una política
establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a
0.04.

Solución:
Variables de decisión:
X 1: Prestamos personales en millones de $
X 2: Prestamos para automóviles.
X 3: Prestamos para casa.
X 4: prestamos agrícolas
X 5: prestamos comerciales

Función objetivo:
El objetivo es maximizar el rendimiento neto: diferencia entre ingreso por concepto de interes y los
fondos perdidos por adeudos no cubiertos. Como los adeudos no cubiertos son irrecuperables,
tanto el interés como el principal en la función objetivo es:

Max(z) = 0.14(0.9x 1) + 0.13(0.93x 2) + 0.12(0.97x 3) + 0.125(0.55x 4) + 0.1(0.98x 5)

- 0.1 x1 – 0.07 x 2 – 0.03 x 3 – 0.05 x4 – 0.02 x5
Restricciones

X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 12 (Fondos totales)
X + X5 0.4 (12) (prestamos comerciales y agricolas)
x3 0.5(X 1 + X2 + X3 ) (prestamos para casa)
0.1X1 + 0.07 X 2 +0.03 X 3 +0.05 X 4 + 0.02 X5
--------------------------------------------------- 0.04 (limites sobre adeudos
X 1 + X2 + X 3 + X4 + X 5 no cubiertos)
O bien:
0.06X 1 + 0.03 X 2 - 0.01 X 3 + 0.01 X 4 - 0.02 X 5 0

................................................................................................................................................................................................................................

Condición de no negatividad ;

X ij 0

PROBLEMA 3.5.: EJEMPLO DE UN PLAN DE INVERSION

Un inversionista tiene perspectivas de invertir en dos actividades A y B, siendo el horizonte
económico de 5 años. Cada unidad económica invertida en A en el comien zo de cualquier año
produce una utilidad de $ 0.40, dos años mas tarde. Cada unidad monetaria invertida en B, en el
comienzo de cualquier año produce una utilidad de $ 0.70 tres años mas tarde. Además tiene otras
dos perspectivas: C y D para el futuro.

Cada unidad monetaria invertida en C en el comienzo del segundo año permite una utilidad de
$1.00 al fin de los 5 años. Cada unidad monetaria invertida en D en el comienzo del quinto año
produce una utilidad de $0.30.

El inversionista dispone de $ 10,000 y desea conocer el plan de inversiones que maximice sus
utilidades.

Solución:

Podemos esquematizar el plan de inversión de la siguiente manera:

Años 1 2 3 4 5 Utilidad
Actividad
0.40 X 1A
X 2A
A X 3A 0.40(x1A+x2A+X3A+x4A)
X 4A

0.70 X 1B
X 2B
B X 3B 0.70(x1B+x2B+x3B)

1.00 X 2C
C 0.10(x2C)
0.30 X 5D
D 0.30(x5D)

El capital requerido y la utilidad se invierte n en las diversas actividades del año correspondiente.

Variables de decisión

X i j: unidades monetarias invertidas en el i -ésimo período y la j-ésima actividad,

Función objetivo:

Max (z) = 0.40(x 1A+x2A+X3A+x4A) + 0.70(x 1B+x2B+x3B) + 0.10(x 2C) + 0.30(x 5D)

Restricciones :
Las restricciones son debido a la disponibilidad de capital en cada año.
Para el primer año

................................................................................................................................................................................................................................

X 1A + X1B 10,000

Para el segundo año:

X 2A +x 2B +X 2C + 10,000 - X 1A - X1B

Para el tercer año

X 3A +X 3B 10,000 - X1B - X 2A -X 2B - X 2C + 0.40 X 1A

Para el cuarto año:

X 4A 10,000 + X 1A -x 2B -X 2C -X 3A -X 3B + 0.40 x 2A + 0.70 X 1B

Para el quinto año:

X 5D 10,000 - x 2C -X 3B –X 4A +0.40 x 3A - 0.70 X 2B

condición de no negatividad
X ij 0 (variables no negativas)

Al gerente de cartera de la AFP “BUENA VIDA” se la ha pedido invertir $1’000,000 de un gran fondo
de pensiones. El departamento de investigación de inversiones ha identificado seis fondos mutu os
con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos
asociados, como se resume en la siguiente tabla:

FONDO
1 2 3 4 5 6
Precio($/acción) 45 76 110 17 23 22
Devolución esperada (%) 30 20 15 12 10 7
Categoría de riesgo Alto Alto Alto Mediano Mediano Bajo

Una forma de controlar el riesgo es limitar la cantidad de dinero invertido en los diferentes fondos.
Para este fin, la administración de la AFP, ha especificado las siguientes pautas:
La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre 50% y 75% de la
cartera.
La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre 20 y 30% de la
cartera.
La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser al menos de 50% de la
cartera.

Una segunda forma de controlar el riesgo es diversificar, esto es, esparcir el riesgo invirtiendo en
muchas alternativas diferentes. La gerencia de la AFP ha especificado que la cantidad invertida en
los fondos de alto riesgo 1,2 y 3 deben estar en la tasa 1:2:3 , respectivamente. La cantidad
invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe ser 1:2 .
Con estas pautas, ¿qué cartera debería usted, gerente de cartera, recomendar para maximizar la
tasa esperada de retorno?.

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Solución


X j : fracción de la cartera por invertir en el periodo j

Tasa esperada de rendimiento = rendimiento total esperado / cantidad invertida

Función objetivo:

Max(z) = 0.30 X 1 + 0.20 X 2 + 0.15X 3 + 0.12 X 4 + 0.10 X 5 + 0.07 X 6

Restricciones:

Por inversión

X1 + X 2 + X 3 0.50 (mínimo alto riesgo)

X1 + X 2 + X 3 0.75 (máximo alto riesgo)

X4 + X 5 0.20 (mínimo mediano riesgo)

X4 + X 5 0.30 (máximo mediano riesgo)

X6 0.05 (mínimo bajo riesgo)

Debido a las proporciones:

X2 = 2 X 1 - 2 X1 + X2 = 0 (proporción X 1 a X2 )



Agenda Total de cartera

X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 = 1

Condición de no negatividad:

X j 0 (j = 1,6)

................................................................................................................................................................................................................................

PROBLEMA 3.7.: EJEMPLO DE PROBLEMA DE ADMINISTRACIÓN DE CARTERA

Los socios generales de Gamma Tech, una compañía de inversión de capital de riesgo están
considerando invertir en una o más propuestas que han recibido de varios negocios empresariales.
El departamento de investigación ha examinado cada propuesta, y cuatro de los empresarios
cumplen con el requerimiento de Gamma Tech de lograr un rendimiento lo suficientemente alto
para el riesgo asociado. Estas compañías son: Bio Tech, Tele Comm, Laser -Optics y Compu-Ware.
El departamento de investigación de Gamma Tech también ha estimado el rendimiento total de
estos negocios en dólares actuales, dado en la última columna de la tabla si guiente:

PROYECTOS AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3 AÑO 4 DEVOLUCION
Bio Tech 60 10 10 10 250
Tele Comm 35 35 35 35 375
Laser-Optics 10 50 50 10 275
Compu-Ware 15 10 10 40 140
Fondos para 90 80 80 50
inversión

Cada uno de los cuatro proyectos requiere inversione s de una cantidad conocida al principio de
cada uno de los siguientes cuatro años, como se muestra en la tabla. El departamento de
contabilidad de Gamma Tech ha preparado una estimación de los fondos totales que Gamma Tech
tiene para invertir a principios de cada uno de los siguientes cuatro años, que se da en la ultima fila
de la tabla. Observe que los fondos no usados de cualquier año no están disponibles para su
inversión en los años posteriores.

Cada uno de los socios generales de Gamma Tech, se le ha pedido hacer recomendaciones
respecto a cuales de estos proyectos elegir, si acaso, para invertir y lograr él mas alto rendimiento
total en dólares actuales. Ud. y los otros socios han acordado que Gamma Tech, en un esfuerzo por
diversificarse, no inverti rá conjuntamente en Tele -Comm y Laser-Optics, que están desarrollando
el mismo tipo de tecnología.

Solución:


Pregúntese que puede controlar libremente en este problema y se dará cuenta de que puede elegir
aceptar o rechazar cada una de las cuatro propuestas. Debe reconocer que estas decisiones
implican una decisión “si” ó “no”. Parece razonable entonces crear una variable entera para cada
proyecto de la siguiente manera

1 si Gamma debe invertir en el Proyecto j (j=1,4)
X j=
0 si Gamma no debe invertir en el Proyecto j

Función Objetivo:

Max (z)= 250X 1 + 375 X 2 + 275 X 3 + 140 X 4

Restricciones:

Fondos totales invertidos en los proyectos seleccionados

................................................................................................................................................................................................................................

60X1 + 35X2 + 10X3 + 15X 4 90 (año 1)

10X1 + 35X2 +50 X3 +10 X 4 80 (año 2)

10X1 + 35X2 + 50X3 +10 X 4 80 (año 3)

10X1 +35 X2 +10 X3 +40 X 4 50 (año 4)

Restricción de pauta de inversión

Recuerde que la administración ha decidido no invertir en Tele -Com y Laser-Optics a la vez. ¿Puede
usar las variables X 2 y X3 para escribir una restricción matemática apropiada?

Se necesita una restricción para asegurar que si X 2 es 1 , entonces X 3 es 0, y si X 3 es 1, entonces
X2 es 0 ( o de manera equivalente ambas variables no pueden tener el valor 1)
Una forma de lograr e sto es requerir que el producto de estas dos variables sea 0
X2 * X 3 0

Si una de las variables es positiva, la otra debe ser 0. Pensándolo un poco, puede darse cuenta de
que la siguiente restricción logra el mismo objetivo

X2 + X 3 1

Restricciones de no negatividad

X1 , X 2 , X 3 , X 4 = 0 ó 1

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Una estación de TV afronta el siguiente problema: se ha comprobado que el programa A con 20
minutos de música y 2 minutos de comerciales interesa a 30,000 televidentes, mientras que el
programa B con 10 minutos de música y 1 minuto de comerciales interesa a 10,000 televidentes. El
auspiciador de los programas insistió en que por lo menos se dedique 6 minutos de propaganda por
semana, mientras que una estación de TV no puede dedicar ma s de 80 minutos semanales para
música.
¿Cuántas veces por semana debería ser presentado cada programa a fin de lograr el máximo
número de televidentes?

2. la Cía. ALFA produce ejes de automóviles y camiones para mercado nacional o internacional.
Cada eje debe pasar por dos procesos de manufactura: moldeado y acabado.
Cada eje de automóvil requiere 16 unidades de moldeado y 10 unidades de acabado, mientras que
un eje de camión requiere 24 unidades de moldeado y 20 de acabado. Semanalmente se dispone
de 480 unidades de moldeado y 360 de acabado. La demanda de sus ejes es tal que la Cía. Puede
vender todo lo que produce. ALFA obtiene un beneficio de $50 por cada eje de automóvil y $60 por
cada eje de camión.
Además ALFA tiene un contrato con la Beta Motor Co. Por el cual debe entregar 12 ejes de
automóvil y 8 de camión semanalmente.
Dado los limites y requerimientos mencionados, ALFA desea saber que cantidad de ejes de
automóvil y de camión debe producir semanalmente para maximizar sus utilidades.

3. Un hombre que tiene $10,00 para invertir, esta considerando dos tipos de inversión: bonos y
acciones. Después de consultar con su corredor, el inversionista ha escogido dos bonos y dos

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acciones que le interesan particularmente. La utilidad promedio que puede espera r de las
inversiones es como sigue:
Tipo de inversión: Acción 1 Acción 2 Bono 1 Bono 2
Utilidad promedio: 5% 6% 3.5% 4%

Además su corredor le recomendó muy especialmente que invirtiera por lo menos $4,000 en bonos
y no más de $3,000 en la Acción 2. Este consejo es tomando en cuenta los éxitos financiero y los
riesgos que esta dispuestos a correr, de modo que el inversionista se atiene a estas limitaciones y
requerimientos.
Su objetivo es maximizar las utili dades bajo estas condiciones. ¿Cuál es el plan de inversión
óptimo?

4. Una pequeña planta fabrica 2 tipos de partes para automóvil, compra piezas fundidas que se
maquinan, taladran y pulen. Se proporciona los datos que aparecen en la siguiente tabla:

PARTE A PARTE B
CAPACIDAD DE MAQUINADO 25 por hora 40 por hora
CAPACIDAD DE TALADRO 28 por hora 35 por hora
CAPACIDAD DE PULIDO 35 por hora 25 por hora

Las piezas fundidas para la par te A cuestan $2 cada una; para la parte B cuestan $3. Se venden a
$5 y $6 respectivamente. Las tres tienen costos de operación de $20, $14 y $17.50 por hora.
Suponiendo que se puede vender cualquier combinación de partes A y B, ¿Cuál es la mezcla de
productos que maximiza la utilidad?

5. La Cia. Gamma vende 4 tipos de productos. En la siguiente tabla se dan los recursos requeridos
para producir una unidad de cada producto, y los precios de venta de cada producto.

PRODUCTO
1 2 3 4
MATERIA PRIMA 2 3 4 7
HORAS DE TRABAJO 3 4 5 6
PRECIO DE VENTA $4 $6 $7 $8

En la actualidad se dispone de 4,600 unidades de materia prima y 5,000 horas de trabajo. Para
satisfacer las demandas de los clientes, hay que producir exactamente 950 unidades en total. Los
clientes exigen que se produzcan por lo menos 400 unidades del producto 4.
¿Cuál seria el plan de producción óptimo a din de maximizar los ingresos de Gamma por las ventas?

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9. La Cia. Gamma dirige sus gastos de venta en diversos rubros con el objeto de producir ventas.
Uno de los tipos de actividad que es efectiva es la Conferencia Regional de Ventas. Existen 6
regiones (designadas I a VI) en las cuales estas conferencias toman lugar semanalmente y en
algunas mensualmente. Cada una de las conferencias puede ser de un día completo o de mediodía.
Existe un costo por persona y un resultado esperado de ventas para cada uno de estos tipos de

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conferencias. Los tipos de conferencias disponibles, sus costos y sus ventas resultantes se listan a
continuación.

Conferencias de Ventas Costo($) Ventas
resultantes($)
Mensual I - Todo el día 120 13,500
Semanal II - Todo el día 130 21,500
Semanal II - Mediodía 80 11,500
Semanal III - Todo el día 60 7,500
Mensual IV - Todo el día 100 11,800
Mensual IV - Mediodía 60 9,500
Semanal V - Todo el día 200 22,000
Semanal VI - Todo el día 600 97,000
Semanal VI - Mediodía 350 50,000

Además de estas actividades, un comercial de tv que cuesta $1,250 debe producir $118,500 en
ventas.
Un anuncio en un grupo de periódicos locales costará $330 y producirá $57,000 en ventas.}
Finalmente, el tener abierta una oficina de consultas durant e un día costará $180 y producirá
$23,800 en ventas.
A la Cia. Le gustaría maximizar sus ventas manejando sus gastos de venta, pero desea mantener
algunas restricciones. El plan fue cubrir un período de 6 meses y para ese periodo el presupuesto
de gastos de ventas es $52,500. Se decidió que al menos la mitad del presupuesto debía ir a las
conferencias semanales y mensuales de ventas. Al menos una persona debía ser enviada a la
semanal VI y mensual I (días completos).
El comercial de tv. Debe ser usado al m enos una vez, además no debe enviarse mas de una
persona a las conferencias Mensual IV como a la semanal II (días completos)
Explique la distribución óptima de los gastos de venta. ¿Qué restricciones esta considerando?

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CAPITULO IV

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