teorema de kuhn tucker y lagrage

1. KUHN TUCKER Y LAGRANGE
Integrante:
Andrés Parada
Maracaibo, Diciembre del 2013

2. METODO KUHN TUCKER
Biografía
Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de
enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en
Canadá
que
realizó
importantes
contribuciones
a
la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.

3. METODO KUHN TUCKER
Definición
En programación matemática, las condiciones de
Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las
condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones
necesarias y suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática séa óptima.
Es
una
generalización
del
método
de
los Multiplicadores de Lagrange.

4. METODO KUHN TUCKER
Importancia
La importancia de este teorema radica en que
nos dice que podemos asociar una función de
utilidad a unas preferencias, esto nos abre la
puerta de la potente herramienta del análisis
matemático al estudio del comportamiento del
consumidor.

5. METODO KUHN TUCKER
Campo de aplicación
Básicamente el procedimiento consiste en
resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de dicho
problema no cumple la totalidad o parte de las
restricciones del problema se activan dichas
restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y
se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta
llegar a un conjunto de restricciones activas cuya
solución también satisface las restricciones
omitidas.

6. METODO KUHN TUCKER
Campo de aplicación
Notar que si se han activado la totalidad de
restricciones
sin
encontrar
una
solución
factible, entonces el problema es infectable. Esta
característica particular de los modelos no lineales
permite abordar problemas donde existen
economías o de economías de escala o en general
donde
los
supuestos
asociados
a
la
proporcionalidad no se cumplen.

7. METODO KUHN TUCKER
Problema general de optimización
Consideremos el siguiente problema general:
donde
es la función objetivo a minimizar,
son las
restricciones de desigualdad y son las restricciones de
igualdad, con y el número de restricciones de desigualdad
e igualdad, respectivamente.

8. LAGRANGE
Biografía
Joseph Louis Lagrange, bautizado como
Giuseppe Lodovico Lagrangia, también llamado
Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange (25 de enero
de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París)
fue un matemático, físico y astrónomo italiano que
después vivió en Rusia y Francia. Lagrange trabajó
para Federico II de Prusia, en Berlín, durante veinte
años. Lagrange demostró el teorema del valor
medio, desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo
una importante contribución en astronomía.

9. LAGRANGE
Definición
En los problemas de optimización, los
multiplicadores de Lagrange, nombrados así en
honor a Joseph Louis Lagrange, son un método
para trabajar con funciones de varias variables que
nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a
ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin
restricciones de n + 1 variables cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas.

10. LAGRANGE
Definición
Este método introduce una nueva variable
escalar
desconocida,
el
multiplicador
de
Lagrange, para cada restricción y forma una
combinación lineal involucrando los multiplicadores
como coeficientes. Su demostración involucra
derivadas parciales, o bien usando diferenciales
totales, o sus parientes cercanos, la regla de la
cadena. El fin es, usando alguna función
implícita, encontrar las condiciones para que la
derivada
con
respecto
a
las
variables
independientes de una función sea igual a cero.

11. LAGRANGE
Campo de aplicación
Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel
central en la economía. Por ejemplo, el problema
selecto para un consumidor se representa como
uno de maximizar una función de utilidad sujeta a
una coacción de presupuesto . El multiplicador
Lagrange tiene una interpretación económica como
el precio de la oposición asociado con la
coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de
ingresos . Otros ejemplos incluyen la maximización
de la ganancia para una firma, junto con varias
aplicaciones macro-económicas.

12. LAGRANGE
Campo de aplicación
Teoría de control :
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores
de Lagrange se interpretan como constates
variables, y los multiplicadores de Lagrange se
formulan de nuevo como la minimización del
hamiltoniano , en el principio mínimo de Pontryagin.

13. LAGRANGE
Objetivos:
Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas
de nivel para distintos valores de la variable z.

Identificar, a través de los simuladores, los puntos
(x,y) sobre la curva correspondiente a la función
restricción donde la función principal tiene
extremos.

Interpretar gráficamente los resultados obtenidos
empleando el método de multiplicadores de
Lagrange.

14. LAGRANGE
Objetivos:
Aproximar las soluciones del problema a partir de
la observación en el simulador, de las curvas de
nivel de la función principal y la curva
correspondiente a la función condicionante.
 Adquirir habilidad en la resolución de problemas de
optimización en un ambiente computacional.


15. LAGRANGE
Demostración
El conocimiento del significado de la derivada de una función en un
punto, y de la ecuación punto-pendiente de una recta, permiten
deducir que la ecuación de la recta tangente en un punto de la curva
es:
Donde los pares de puntos (a,f(a)) y (b,f(b)) son una pareja
cualquiera de puntos de la curva. Vamos a demostrar que, una vez
conocida una pareja de puntos de una curva continua y
derivable, existe un punto c contenido en el intervalo (a, b) tal que la
pendiente en dicho punto es paralela a la recta que une los puntos
(a, f(a)) y (b, f(b)).

16. LAGRANGE
Demostración
Definimos una función:
Puesto que f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), lo mismo
se puede decir de g. Además g satisface las condiciones del
Teorema de Rolle ya que:
Por el Teorema de Rolle, como g es derivable en (a, b) y g(a) =
g(b), existe un c perteneciente (a, b) tal que g'(c) = 0, y por tanto:
y asi