El documento describe brevemente los problemas en la fundamentación de las matemáticas a lo largo de la historia. Incurrieron en dificultades varias escuelas filosóficas matemáticas al asumir que los fundamentos podían justificarse de forma consistente dentro de la propia matemática, lo que fue puesto en duda por el descubrimiento de paradojas. Además, presenta una línea de tiempo con avances clave en conceptos matemáticos fundamentales y sus desarrollos entre 1830 y 1900.

1. PROBLEMAS EN LA
FUNDAMENTACIÓN DE LAS
MATEMÁTICAS.
DARWIN NAVARRO CLAVIJO

2. EL PROBLEMA
Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos
matemáticos básicos como números, figuras
geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de
estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras
fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de las
matemáticas: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a
las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados
conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y
la unidad de la matemática.
Numerosas escuelas filosóficas matemáticas incurrieron en dificultades
una tras otra, a medida que la asunción de que los fundamentos de la
matemática podían ser justificados de manera consistentes dentro de la
propia matemática fue puesta en duda por el descubrimiento de varias
paradojas

3. LÍNEA DEL
TIEMPO

4. 1830 NUMEROS REALES
 El hombre ha creado la necesidad de
contar, ya fuera sus piezas de caza, sus
utensilios o el número de miembros de su
tribu, interpretar algunos vestigios
antropológicos singulares, como las
muescas ordenadas que aparecen incisas
en algunas paredes rocosas o en los útiles
prehistóricos.

5. 1830 NEGACIÓN POSTULADO DE GEOMETRÍA
 La geometría hiperbólica es la geometría que toma
como postulado la siguiente negación del quinto
postulado de Euclides

6. 1862 LENGUAJE MATEMATICO
 Se dio una forma de comunicación a través de
símbolos especiales para realizar cálculos
matemáticos la cual se conoció como lenguaje
matemático.

7. 1867 AVANCE EN NUMEROS REALES
 Con el avance de los fundamentos matemáticos se estableció
que los números reales son cualquier número que corresponda
a un punto en la recta real y pueden clasificarse en números
naturales, enteros, racionales e irracionales. En otras palabras,
cualquier número real está comprendido entre menos infinito
y más infinito y podemos representarlo en la recta real.

8. 1873 GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA
 Cualquier sistema formal de geometría cuyos postulados y
proposiciones difieren en algún asunto de los establecidos por
Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo sistema
de geometría no euclídea, sino muchos, aunque si se restringe
la discusión a espacios homogéneos, en los que la curvatura
del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos
del espacio son indistinguibles.

9. 1874 TEORÍA DE CONJUNTOS
 Se dio por medio de la fundamentación matemática proviene
de una rama de la lógica matemática que estudia las
propiedades y relaciones de los conjuntos: colecciones
abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí
mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son
una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría
matemática.

10. 1879 LÓGICA, LENGUAJE UNIVERSAL
 La conexión interna entre lengua universal, característica y cálculo
(lógico) viene establecida por la unidad de un método lógico-
–epistemológico que comprende los varios sistemas característicos
construidos por Leibniz como progresivas aproximaciones a la
lengua universal, concebida como la lengua perfecta, cuyos
caracteres expresan los requisitos de las cosas y mediante el análisis
de esos caracteres podemos acceder al conocimiento de las mismas.

11. 1882 TEORÍA POLIMONIALES
 Una función polinómica es una relación que para
cada valor de la entrada proporciona un valor que
se calcula con un polinomio.

12. 1887 RECHAZO A LA SOLUCION DE
ECUACION
 Leopold Kronecker rechazó la formulación de su colega Karl
Weierstrass de una función continua que no admite derivada
en ninguno de sus puntos. En su artículo de habla Sobre la
solución de la ecuación general de quinto grado, Kronecker
resolvió la ecuación quíntica usando teoría de grupos.

13. 1900 TEOREMA DE INVARIANTE
 Invariante es algo que no cambia al aplicarle un conjunto
de transformaciones. Así, en matemáticas, un objeto
(función, conjunto, punto, ...) se dice invariante respecto
de o bajo una transformación si permanece inalterado
tras la acción de tal trasformación.
Esta idea la desarrollo David Hilbet