La teoría de conjuntos estudia las propiedades de las colecciones abstractas de objetos llamados conjuntos. Fue desarrollada en el siglo XIX por Georg Cantor y provee las bases para formalizar conceptos matemáticos como el infinito. Sin embargo, la teoría condujo a paradojas como la paradoja de Russell, lo que llevó al desarrollo de axiomas como la teoría de Zermelo-Fraenkel para evitar contradicciones. La teoría de conjuntos es fundamental en matemáticas pues permite formalizar otras ramas

1. TEORÍA
DE
CONJUNTOS

2. En la vida diaria se presentan problemas como la clasificación de ciertos
objetos los cuales en ocasiones piden características especiales para poder
entrar en un grupo o conjunto, y de esta forma poder ser estudiados. Para
este tipo de problemas es para lo cual se dio a conocer la denominada Teoría
de Conjuntos, que es una parte de las matemáticas desarrollada hacia el siglo
XIX, la cual tuvo como impulsor al matemático alemán George Ferdinand
Lwdwig Cantor (1845-1918). El concepto de conjunto es uno de los más
fundamentales en matemáticas, dado que se puede encontrar, implícita o
explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su
forma explícita, los principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para
construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar
conceptos abstractos como el de infinito.
INTRODUCCIÓN

3. MARCO
TEÓRICO

4. TEORÍA DE CONJUNTOS
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que
estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones
abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí
mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales
son una herramienta básica en la formulación de cualquier
teoría matemática.

5. GEORGE CANTOR
George Cantor (1845-1918) fue un matemático alemán, inventor
con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de
las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre
los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito
bajo la forma de los números transfinitos(cardinales y ordinales). fue quien
prácticamente formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales
del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las
matemáticas como ya se había hecho con el cálculo cien años antes. Cantor
comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de las matemáticas y
explicó todo basándose en los conjuntos (por ejemplo, la definición de
función se hace estrictamente por medio de conjuntos). Este monumental
trabajo logró unificar a las matemáticas y permitió la comprensión de nuevos
conceptos.

6. La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas
básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos
objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede
imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto.
Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de
pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los
propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de
otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se
indica como a ∈ A.
Teoría básica de conjuntos

7. Álgebra de conjuntos
• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene
cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B
que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial)
que no pertenecen a A.
• Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien
a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer
elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

8. Teoría axiomática de conjuntos
• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley

9. PARADOJA DE CANTOR: EL CONJUNTO DE TODOS LOS CONJUNTOS
Sea C el conjunto de todos los conjuntos. Entonces todo subconjunto de C es así
mismo un elemento de C; luego, el conjunto potencia de C es un subconjunto de C;
pero esto implica que la cardinalidad del conjunto potencia es menor o igual a la
cardinalidad de C. Pero entonces, según el teorema de Cantor, la cardinalidad de C
debe ser menor a la cardinalidad del conjunto potencia. Así pues, el concepto de
conjunto de todos los conjuntos lleva a una contradicción.
PARADOJA DE RUSSELL
Sea Z el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos. Se
pregunta ¿Z es o no elemento de sí mismo? Si Z no pertenece a Z, entonces, por la
definición de Z, Z pertenece a sí mismo. Pero si Z pertenece a Z, entonces por la
definición de Z, Z no pertenece a sí mismo. En cualquiera de los dos casos hay
contradicción.
Esta paradoja es análoga a la paradoja del barbero: En una aldea hay un barbero
que afeita solamente a los hombres que no se afeitan ellos mismos. Se pregunta ¿Al
barbero quién lo afeita?

10. PARADOJA DE BURALI-FORTI: CONJUNTO DE
TODOS LOS NÚMEROS ORDINALES
Sea D el conjunto de todos los números ordinales. Por un teorema anterior, D es
un conjunto bien ordenado; sea A=ord(D). Considérese ahora s(A) el conjunto
de todos los números ordinales menores que A. Obsérvese que
Puesto que S(A) consiste en todos los elementos de D que son anteriores a A,
S(A) es una sección inicial de D.
Por un teorema previo, A=ord(s(A)); por tanto, ord(s(a))= A= ord D
Por consiguiente D es isomorfo a una de sus secciones iniciales. Así pues el
concepto de conjunto de todos los números ordinales lleva a una contradicción.

11. La importancia de las paradojas en la teoría de conjuntos aparece cuando nos
damos cuenta que usando la lógica clásica todos los enunciados provienen de una
contradicción. A los ojos de muchos parecería que ninguna prueba matemática es
confiable, ya que se descubrió que la lógica y la teoría de conjuntos debajo de todas
las matemáticas son contradictorias.
En la década de los 30’s el matemático KurtGodel probó un teorema que decía que
en ningún sistema matemático avanzado habría declaraciones que no pudieran
probarse si son verdaderas o falsas desde el interior de ese sistema. Tales
declaraciones explican si el sistema contiene paradojas o no. Después de Godel la
dirección de las matemáticas modernas ha cambiado de un intento de quitar las
paradojas a una dirección en la cual las paradojas son parte del juego. Quizás en el
futuro tengamos que aceptar la posibilidad de paradojas en las teorías matemáticas
nuevas y aprender a reconocer sus distintas facetas.
IMPORTANCIA DE LAS PARADOJAS

12. Una solución radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903
por Russell, su Teoría de Tipos. Observa que en todas las paradojas
conocidas hay una componente de reflexividad, de circularidad.
Técnicamente se evitan las paradojas al eliminar del lenguaje las
formaciones circulares. Se reconoce que nuestro universo matemático no
es plano, sino jerarquizado, por niveles, y que el lenguaje más adecuado
para hablar de un universo ?? debe tener diversos tipos de variables que
correspondan a cada nivel; en particular, la relación de pertenencia se dá
entre objetos de distinto nivel.
SOLUCIÓN DE LAS PARADOJAS

13. Por formalismo matemático se entiende, en materias relacionadas con las
fundamentos de las matemáticas, la filosofía de las matemáticas y la filosofía de la
lógica, una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas y la
lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las consecuencias de
ciertas reglas de manipulación de símbolos o términos o cadena de caracteres.
Para que una teoría T cualquiera sea formalizable, esta requiere constituir un
sistema axiomatizado
Formalismo matemático

14. El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a George
Cantor (1845-1918) fue quien prácticamente formuló de manera individual
la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX
Precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard
Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de
conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand
Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Luego se crearon operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y
sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra
de conjuntos:
• Unión.
• Intersección
• Diferencia.
• Complemento.
• Diferencia
• Producto cartesiano

15. Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas de axiomas
escogidos para poder derivar todas las propiedades de los conjuntos con el
suficiente rigor matemático. Algunos ejemplos conocidos son:
• La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel
• La teoría de conjuntos de Neumann-Bernays-Gödel
• La teoría de conjuntos de Morse-Kelley
La para formalizar e institucionalizar la teoría de conjunto se plantean en
la actualidad los siguientes axiomas, que fueron extraidas de los autores
anteriormente mencionados.
 El axioma de extensionalidad.
 El axioma formador de clases.
 El axioma del par no ordenado.
 El axioma de regularidad.
 El axioma de la gran unión.
 El axioma del conjunto vacío.
 El axioma de sustitución.
 El axioma de infinitud.
 El axioma de elección.
 El axioma de las partes de un conjunto.

16. Es la rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor di su
primer tratamiento formal en el siglo XIX , concepto de conjunto es uno de las
más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, en
todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explica, los
principios y terminologías de los conjuntos se utilizan para construir
proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos
abstractos como el infinito.
Por ello, es que si bien no se logró una completa aceptación, dado que autores
nuevos no terminan de debatir sobre su exactitud se lo toma como principio y se
traba sobre ella.
En fin la importancia de la Teoría de Conjuntos radica en que a partir de ella se
puede reconstruir toda la matemática, salvo la Teoría de Categorias.
Conclusión