El documento describe las contribuciones de Karl-Friedrich Gauss a la teoría de números, incluyendo su introducción de la notación de congruencias y el desarrollo de la teoría de congruencias, así como su trabajo pionero con números algebraicos. También discute los intentos posteriores de otros matemáticos como Kummer para probar la conjetura de Fermat.

1. Teoría de números

2. Karl-Friedrich Gauss (1777-1875)
Una nueva era comenzó con las "Disquisitiones Arithmeticae" de Gauss, que redactó a los 20 años.
Este gran trabajo fue enviado a la Academia Francesa en 1800 y fue rechazado pero Gauss la
publicó el mismo. En este libro estandarizaba la notación, sistematizaba y ampliaba la teoría de
existencia, y clasificaba los problemas para su estudio y los métodos conocidos e introducía nuevos
métodos. En el trabajo de Gauss sobre teoría de números hay tres ideas esenciales:
 la teoría de congruencias.
 la introducción de los números algebraicos.
 la teoría de formas como la principal idea en el análisis Diofantino.

3. La teoría de congruencias
Aunque la noción de congruencia no se originó con Gauss -aparece en el trabajo de Euler, Lagrange y
Legendre- Gauss introdujo la notación en la primera sección del "Disquisitiones" y la usó
sistemáticamente de allí en adelante. La notación por congruencia y la terminología se introducen al
comienzo de la sección I de la manera siguiente:
 "Si un número a divide a la diferencia de los números b y c, se dicen congruentes según a, si no,
incongruentes. El número a se llamará el módulo. Si los números b y c son congruentes, entonces
cada uno de ellos es residuo del otro, si no, son no residuos."
EJEMPLO: La idea básica es simple. El número 27 es congruente a 3 módulo 4, 27 = módulo 4, porque
27-3 es divisible exactamente por 4. Como Gauss demuestra, todos los residuos de a módulo m, para a
y m fijos, vienen dados por a+km donde k=0, ±1,±$2...
Las congruencias con respecto al mismo módulo pueden ser tratadas hasta cierto punto como
ecuaciones. Tales congruencias pueden sumarse, restarse y multiplicarse.

4. Algunos teoremas
 .
 .
 .
 .
 .
 .

5. Números algebraicos
La teoría de enteros complejos es un paso en la dirección del basto tema de la teoría de números
algebraicos. Ni Euler ni Lagrange entrevieron las ricas posibilidades que abría su trabajo sobre los
enteros complejos. Tampoco lo vio Gauss.
La teoría creció de los intentos para probar la afirmación de Fermat Los casos n=3, 4, y 5
habían sido ya discutidos. Gauss intentó demostrarla para n=7 pero falló. Este caso particular de n=7
fue expuesto por Lamé en 1839 y Dirichlet estableció la aserción para n=14. En cualquier caso la
proposición general no fue demostrada.
Fue tomada por Ernst Eduard Kummer (1810-93), que pasó de la teología a las matemáticas, llegando
a ser alumno de Gauss y Dirichlet.
Kummer tomó donde p es primo y lo factorizó donde es una raíz
imaginaria p-ésima de la unidad. Es decir, es una raíz de