Los logaritmos son la operación inversa de la potenciación, permitiendo calcular un exponente dado una base y una potencia. Se expresan en forma exponencial y logarítmica, y poseen propiedades fundamentales como el logaritmo de 1 que es cero, y el logaritmo de la base que es uno. Además, incluyen reglas para la suma, resta, y otros aspectos relacionados con productos y cocientes de logaritmos.

1. LOGARITMOS

2. Logaritmación
• Es una operación inversa de la potenciación, consiste en
calcular el exponente cuando se conocen la base b y la
potencia x.
2
𝒃𝒚 = 𝒙
𝟓𝟒 = x 𝒃𝟑 = 𝟔𝟒 𝟑𝒚 = 𝟐𝟒𝟑
Para calcular la
potencia x se
emplea la
potenciación
Para calcular la
base b se
emplea la
radicación
Para calcular el
exponente y se
emplea la
logaritmación

3. Expresión de los logaritmos
• Los logaritmos se expresan en dos formas equivalentes:
«forma exponencial» y «forma logarítmica».
3
Forma
exponencial
Forma
logarítmica
y
logb x  y  b  x

4. Algunas precisiones sobre logaritmos
• Los logaritmos son exponentes y pueden ser cualquier
número real.
4
0
• La base de los logaritmos es un número real positivo y
diferente de 1.
1
0
0
• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.
y < 0 y = 0 y > 0
𝑏 > 0 𝑏 ≠ 0
x > 0

5. • Calcular:
• 1.- log2 128  y  2y
128
2y
 27
y  7
• 2.- log100000  log10 100000  y  10y
100000
10y
105
y  5
log2 128  7
  5

6. Identidad fundamental de los logaritmos
• Si el logaritmo de un número N en una base b es
exponente de su propia base, es igual número N.
Ejemplos.
1) 4log4 6
 6
2) 2008log20081500
1500
6

7. PROPIEDADES
Propiedades generales de los logaritmos
7

8. Logaritmo de 1
• El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.
• Ejemplos:
1)log5 1 0
2)log7 1 0
8

9. Logaritmo de la base
• El logaritmo de la base es igual a la unidad.
• Ejemplos:
1) log6 6 1
9
2
2) log 2 1

10. Logaritmo de un producto
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los
logaritmos de los factores.
• Ejemplos:
1) log2 75 log2 7  log2 5
2) log5 254 log5 25 log5 4
10

11. Logaritmo de un cociente
• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del
logaritmo del dividendo (numerador) menos el logaritmo
del divisor (denominador).
• Ejemplos:
11
2 2
5 5
6
1) log  1   log 1 log 6
2  
5
2) log 10   log 10  log 5
5  
 
 

12. Logaritmo de una potencia
• El logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente por el logaritmo de la base.
• Ejemplos:
1) log2 6  3log2 6
3
2) log5 5  4log 5
4
5
12

13. Logaritmo de una raíz
• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice.
• Ejemplos:
13
12 
log3 12
3
1) log
2
4
6 
log5 6
5
2) log
4

14. Producto de logaritmos recíprocos
• El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la
unidad.
• Ejemplos:
1) log2 5 . log5 2 1
14
3 . log 2 1
2 3
2) log

15. Número y base potencias
• Si el número y la base son potencias indicadas con
igual base, el logaritmo es igual al cociente de los
exponentes de las potencias.
• Ejemplos:
15
24
26

6
4
1) log 35
32

2
5
2) log

16. Invariabilidad del logaritmo
• Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una
misma potencia o se extrae radicales del mismo grado,
el logaritmo no varía.
• Ejemplos:
16
54
1) log 4  log 5
3 3
6  log12 6
12
2) log

17. Reducción de potencias
• Si en un logaritmo, número y base son potencias, es
igual al producto del cociente de los exponentes por el
logaritmo de la base del número en la base de la base.
• Ejemplos.
17
2
25
5
1) log 34

4
log 3 6
62
2
2) log 53

3
log 5

18. Base y número inversos
• Si base y número de un logaritmo son inversos de
números enteros, es igual al logaritmo del número
inverso, en la base inversa.
• Ejemplos.
18
2
13
1) log  1   log 13
1  
2  
4
4
8
2) log  1   log 8
1  
 

19. Cambio de base
• El logaritmo de cualquier número, en cualquier base,
es igual al logaritmo del número dividido entre el
logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva
base.
• Ejemplos.
19
2
5
log 2
1) log 3 
log5 3
6
3
log 6
2) log 21
log3 21

20. Regla de la cadena
• Si en un producto de logaritmos hay un encadenamiento entre
base y número, de tal modo que la base de un logaritmo es
número en el siguiente factor, es igual al logaritmo del primer
número en la última base.
• Ejemplos.
1) log2 3.log4 2.log5 4  log5 3
2) log6 2.log3 6.log5 3.log8 5  log8 2
20