Este documento presenta un resumen de los números complejos. Introduce los números complejos como soluciones a ecuaciones cuadráticas que involucran raíces cuadradas de números negativos. Explica que los números complejos pueden expresarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria. Además, describe las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. Finalmente, introduce otras formas de representar números complejos como la forma polar y la forma exponencial.

1. INSTITUTO TECNOLOGICO
de Lázaro Cárdenas.
ALGEBRA LINEAL
INVESTIGACION 1.
NUMEROS COMPLEJOS
NOMBRE DEL ALUMNO:
APELLIDO PATERNO APELLIDO MATERNO NOMBRE(S)
URUE MARROQUIN PATRICIA GORETTI
SEMESTRE: AGOSTO-DICIEMBRE DE 2012.
SALON: D4. CONTADOR PUBLICO.
FECHA DE ENTREGA: 29 DE AGOSTO DEL 2012.

2. Unidad I - Números complejos
1.1. Definición y origen de los números complejos
Muchos conceptos en matemáticas tardaron varios años y hasta siglos en desarrollarse, desde el
momento en que fueron descubiertos por primera vez, por alguna mente brillante, hasta la
formalización de los mismos. El avance en el tiempo de la matemática fue un proceso lento debido
al carácter formal de esta ciencia: una de sus reglas es que cualquier objeto nuevo debe estar
claramente definido para ser aceptado por toda la comunidad. Así pues, muchas ideas
incompletas quedaron re-legadas a la oscuridad y el olvido por no encajar en el sistema de
razonamiento de la ´época, como fue el caso de los números complejos.
Fue en Italia, durante el periodo del renacimiento, cuando por vez primera los algebristas se
dedican a investigar seriamente estos números y penetran el halo misterioso en que se hallaban
envueltos desde la antigüedad. Los complejos aparecen inicialmente en el libro Ars magna de
Girolamo Cardano, publicado en 1545. Pero ¿Cómo surge la idea de usar estos números? ¿Porqué
no aparecieron antes? ¿Quién era Cardano? Trataremos de contestar a estas interrogantes
remontándonos a los orígenes del ´algebra. Podemos decir que los números complejos
aparecieron muy temprano en el paisaje de las matemáticas, pero fueron ignorados
sistemáticamente, por su carácter extraño, carentes de sentido e imposibles de representar.
Aparecen entre las soluciones de las ecuaciones cuadráticas, que generan raíces cuadradas de
números negativos.
Por ejemplo la ecuación:
x² + x + 5 = 0
Los números complejos, se expresan a través de la suma de un número real y un número
imaginario. Al entero real se le denomina parte real del número complejo y al número imaginario
se le llama parte imaginaria del número complejo.
Una de las muchas formas de expresar a los números complejos sería:
Z = Re ( Z ) + Im( Z )
Algunos ejemplos de esta representación son:
Z₁ = 3 + 2i
Z ₂ = -5 + 7i
Donde Re ( Z ) y Im ( Z ) pueden ser racionales o irracionales.
Los números complejos existen para cubrir un aspecto que los números reales no son capaces de
solventar. Por ejemplo, a través de los números reales no podemos expresar las raíces pares de un
número negativo, por ejemplo:

3. x² +1 = 0
Fue entonces que Leonhard Euler en 1777 introdujo el concepto de numero imaginario al asignar
la raíz de un número negativo:
i= -1
De esta manera, los números imaginarios son capaces de expresar todas las raíces de un
polinomio, raíces reales y raíces imaginarias.
Una definición formal de un número complejo sería:
Numero complejo
Sea donde Z a bi donde a, b R ei 1, a esto se le denomina número complejo, para
el cual, a es la parte real de Z y b es la parte imaginaria de Z. A esta representación de un número
complejo se le llama forma rectangular de un número complejo.
La forma rectangular de un número complejo tiene algunas variantes. Si se especifica que Z es un
número complejo, puede ser expresado en su forma rectangular como sigue:
Z = 3 + 2i = 3 + 2j = (3, 2)
Dada esta última representación de un número complejo como par ordenado ( a, b) donde a
Re Z y b Im Z podemos representar gráficamente un número complejo usando el diagrama
de Argand, el cual es muy similar al plano cartesiano.
En el eje horizontal escribimos la magnitud de la parte real (Re) mientras que en la parte vertical
anotaremos las magnitudes de la parte imaginaria ( Im ) . En estos ejes, tendremos tanto las
magnitudes positivas como negativas.
2.0 (3,2)
Si Z = (3, 2) tendremos 3 unidades
1.5 en la parte real y 2 unidades en la
parte imaginaria. Si las ubicamos
en el plano de Argand tendremos
1.0 lo que se muestra en la Figura 1
0.5
0.0
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
Figura 1. Representación gráfica de Z=3+2i

4. En este plano, básicamente tenemos representados dos números complejos. Si consideramos que:
a = (3, 0)
b = ( 0, 2)
Z = a + b = 3 + 2i
Tenemos dos números a y b, donde a es un real puro (un número complejo cuya parte imaginaria
es cero) y b es un imaginario puro (número complejo cuya parte real es cero).

5. 1.2 Operaciones fundamentales con números complejos
Con los números complejos somos capaces de realizar algunas operaciones fundamentales como
lo son, la suma, la resta, multiplicación, división, conjugado y módulo de un número complejo.
Para realizar estas operaciones vamos a considerar que el número complejo Z está representado
en su forma rectangular (también llamada forma binómica).
Suma de números complejos
La suma de números complejos sigue un método muy sencillo. Si Z1 a bi y Z2 c di la suma
de Z1 Z2 dará como resultado un nuevo número complejo.
El número complejo resultante tendrá como parte real la suma de las partes reales de Z1 y Z 2 y su
parte imaginaria será la suma de las partes imaginarias de Z1 y Z 2.
La suma entre números complejos se puede definir como:
Suma de números complejos
Sean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos. La suma Z1 Z2 Z3 resultará en
un nuevo número complejo, el cual se obtiene por:
Z3 Z1 Z2 a bi c di
a c b d i

6. Multiplicación de números complejos
La multiplicación entre dos números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma.
Para definir la multiplicación entre dos números complejos, consideremos que:
Z1 a bi y Z2 c di
La multiplicación de estos números genera un nuevo número complejo. Para obtener este número
complejo Z3 Z1 Z2 a bi c di desarrollemos el producto de los paréntesis:
Z3 a bi c di a c a di bi c bi di
Pero, dada la definición de i = -1 tenemos que el producto bi di resulta en:
Agrupando los términos reales y los términos imaginarios:
Z3 ac bd ad bc i
Suma de números complejos
Sean Z1 a bi y Z2 c di dos números complejos expresados en su forma binomica o
rectangular. El producto o multiplicación Z1 Z2 se obtendrá como:
Z3 ac bd ad bc i

7. Conjugado de un número complejo
Sea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular. Se define su conjugado, expresado
como Z1* a bi donde las magnitudes de las partes real e imaginaria de Z1 y de Z1* son iguales,
excepto que la parte imaginaria de Z1* tendrá signo diferente.
Conjugado de un numero complejo
Sea Z1 a bi un número complejo en forma rectangular, su conjugado, expresado como Z1*
será:
Z1* a bi

8. División de números conjugados
Si tenemos dos números complejos en su forma rectangular Z1 a bi y Z2 c di para realizar
la división la cual dará como resultado un nuevo número complejo, debemos de multiplicar a
toda la expresión por el conjugado del denominador, esto es:

11. 1.3. Potencia de “1”, modulo o valor absoluto de un complejo.
Por definición, sabemos que y además sigue las mismas leyes de los exponentes. Para
las potencias de i tenemos que:
De aquí pasaremos al concepto del módulo de un número complejo, que se representa por .
Cuando representamos a un número complejo en el diagrama de Argand, ubicamos un punto en el
plano, el módulo se refiere a la distancia que existe desde el origen hasta el punto, calculándose
como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes numéricos de la parte real y
la parte imaginaria.
Considere un número complejo en su
forma binómica , el modulo
de Z representado con una se
obtendrá como :
Y el resultado es un escalar, o número real
puro.

13. 1.4. Forma polar y exponencial de un número complejo.
Hemos visto la representación rectangular de un número complejo y como se definen las
operaciones elementales para un número complejo en forma rectangular. Sin embargo, existen
otras formas de representar al mismo número complejo que facilitan las operaciones, éstas son la
forma polar y la forma exponencial.
Cuando hablamos de la forma polar de un número complejo, nos referimos a un segmento de
recta que está ubicado en un plano rectangular. Este segmento de recta tiene dos características
importantes, tiene un ángulo medido desde el eje horizontal positivo hasta el segmento de recta y
además, el segmento de recta tiene una longitud, tal y como se muestra en la siguiente figura:
La distancia del segmento de recta se calcula igual
que el modulo del número complejo expresado en
forma rectangular:
Mientras que el ángulo lo obtendremos como:
De manera que un número complejo en su forma polar se expresa como:
El ángulo de un número complejo
no es único. Si medimos el ángulo
en sentido contrario a las
manecillas del reloj se considera un
ángulo positivo, pero si medimos el
ángulo en sentido de las manecillas
del reloj será un ángulo negativo,
según lo muestra la Figura 2.
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente regla de conversión polar a rectangular y rectangular
a polar
Relación Rectangular - Polar
Sea un número complejo rectangular. A partir de Z , su expresión en forma polar
será:

14. Y de acuerdo a la Figura 2, podemos establecer una conversión polar a rectangular usando las
funciones trigonométricas:
La parte real de número
complejo rectangular la
obtendremos como:
Y la parte imaginaria:
Relación Polar - Rectangular
Sea un número complejo expresado en forma polar. A partir de Z , su expresión en
forma rectangular está dada por:
Si expresamos al número complejo como un par ordenado:
A la última expresión se le conoce como forma trigonométrica de un número complejo. Algunos
libros manejan una forma abreviada como:
Hagamos una tabla donde se resuman todas las formas que hemos visto para expresar un número
complejo:
Tabla I. Resumen de las formas de expresar un número complejo

15. Forma exponencial de un número complejo
En la forma polar, el ángulo se mide en grados sexagesimales. Existe otra forma de expresar un
número complejo que es la forma exponencial, donde el ángulo se mide en radianes.
Recuerde que hay una equivalencia entre grados sexagesimales y radianes 180 .
La forma exponencial de un número complejo es donde r representa el módulo del numero
complejo y el ángulo en radianes.
Para ver de donde proviene esta expresión, recordemos que existe una serie infinita que
representa a la cual es:
Si realizamos la sustitución la serie anterior se expresa como:
Y de acuerdo a las potencias de i :
Si agrupamos los términos semejantes:
La parte real es la serie que aproxima a la función mientras que la parte
Imaginaria es la serie que aproxima a la función . De esta manera, podemos
simplificar la expresión anterior:
Multiplicamos ambos lados por el módulo r :

16. Tenemos la relación entre la forma exponencial y la forma binómica trigonométrica de un número
complejo. Debemos de tener en cuenta que la forma exponencial maneja al ángulo en radianes
y la forma binómica trigonométrica en grados sexagesimales.

17. 4.5. Teorema de Moivre, potencias y extracción de raíces de un número
complejo.
El teorema de De Moivre lo empleamos cuando queremos encontrar las enésimas potencias de un
número complejo.
Para iniciar el procedimiento de deducción de la fórmula, consideremos a dos números complejos
y realicemos la multiplicación entre ellos:
En el caso en que Z1 Z2 la ecuación anterior resulta:
Ahora, si tenemos tres números complejos iguales , el producto sería:
Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por
z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2...)
Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,..., esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por
inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida
también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en
términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces,
como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma
exponencial de z-1 que
zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ
Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.
Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en
(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)
Cuando se expresa en la forma
(Cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ
Que se le conoce como la fórmula de Moivre.

19. 1.6. Ecuaciones polinomicas.
Las ecuaciones en general, son igualdades entre expresiones algebraicas en las que intervienen
una o más variables. Las ecuaciones constituyen una importante herramienta en el álgebra.
Adquirir habilidad para resolverlas resulta de suma importancia, por cuanto ello facilita la solución
a múltiples problemas que se presentan en las aplicaciones de matemática.
Cuando las expresiones algebraicas de cada miembro de la igualdad cumplen con ciertas
condiciones, las ecuaciones reciben nombres particulares. De esta manera:
Ecuaciones Polinómicas: Son aquellas en las que las expresiones algebraicas que intervienen en la
ecuación, son polinomios (existen otras expresiones algebraicas que no son polinomios, tales
como las expresiones algebraicas racionales y otras).
Ejemplos:
1. 4x-(3x-4)=6x-(3-8x)+(-2x+29)
Solución
4x-3x+4=6x-3+29-4
4x-3x-6x-8x+2x0-3+29-4
-11x=22
X=22/-11
X=-2
2. 6x-(4x-7)=5x-(4-9x)+(-4x+35)
Solución
6x-4x+7=5x-4+9x-4x+35
6x-4x-5x-9x+4x=-4+35-7
-8x=26
X=- 13/4

20. BIBLIOGRAFIA
http://www.edutecne.utn.edu.ar/autovalores/num_complejos.pdf
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Numeros_complejos_opera
ciones/Numeros_complejos_operaciones.htm
http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad2/Ecuaciones/u2ecupr50a.pdf
http://www.fra.utn.edu.ar/catedras/algebra/lecturas/Numeros_complejos.pdf
http://algebra.materia.unsl.edu.ar/Teorias/Complejos2011.pdf