1) Los números complejos se definen como números de la forma a + ib, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria tal que i2 = -1. 2) Un número complejo tiene una parte real a y una parte imaginaria b. El conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el signo de su parte imaginaria. 3) Los números complejos forman un cuerpo algebraicamente cerrado y permiten extender muchas propiedades de los números reales.

2. 2
La unidad imaginaria
está definida por la
propiedad
1.
i
i  

3. Es decir,
1
i  
2
La unidad imaginaria está definida
por la propiedad 1
i
i  

4. 2
Un número complejo es uno de la forma
donde y son números reales e
es la unidad imaginaria con la propiedad
1
a ib
a b
i
i

 

5. 1) El número real es llamado la
parte real
2) El número real es llamado la
parte imaginaria
a
b
Un número complejo es uno de la forma a ib


6. Los números reales pueden ser considerados
como números complejos con la parte
imaginaria igual a cero.
Es decir, el número real es equivalente al
número complejo 0
a
a i

Un número complejo es uno de la forma a ib


7. Si
es un número complejo,
la parte real, ,
se denota como Re( )
y la parte imaginaria, ,
se denota Im( )
z a ib
a
z
b
z
 

8. A la totalidad de los números
complejos de le denota
C

9. A la totalidad de los números
complejos de le denota C
Notese que

R C

10. y
a ib c id
a c b d
  
 

11.        
a ib c id a c i b d
      

12.        
a ib c id a c i b d
      

13.       
a ib c id ac bd i bc ad
     

14.       
a ib c id ac bd i bc ad
     
  
 
2
a ib c id
ac iad ibc i bd
ac iad ibc bd
ac bd ad bc i
  
   
   
   

15. 2 2 2 2
Si 0 ó 0,
entonces se define
=
c d
a ib ac bd bc ad
i
c id c d c d
 
  

  

16. Las leyes de la suma y de la multiplicación
son asociativas,
conmutativas y
distributivas,
así que los numeros complejos son un campo

17. 1 2 2 1
1 2 2 1
z z z z
z z z z
  


18.    
   
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
z z z z z z
    


19.  
1 2 3 1 2 1 3
z z z z z z z
  

20.  
El cero es 0 0 y se le denota 0.
El cero es la identidad aditivia,
el elemento neutro aditivo:
0 ( ) 0 0
i
z a ib i a ib z

       

21. La unidad es 1 0 y se le denota 1.
El uno es la identidad multiplicativa,
el elemento neutro multiplicativo:
1
i
z z

 

22. Dado un número complejo ,
su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado,
se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
z

23. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado, se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
z
Al complejo conjugado de
se le denota ó *.
Si entonces
z
z z
z a ib
z a ib
 
 

24. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
z z z z
z z z z
z z z z
  
  

1 1
2 2
z z
z z
z z
 

 
 


25. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z
   
 
2
Re
2
z z a ib a ib a
z z
z
     




26. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z
   
 
2
Im
2
z z a ib a ib ib
z z
z
i
     




27. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z
   2 2
zz a ib a ib a b
    
Es un número real, y veremos
que es el cuadrado de la norma
del número complejo.

28. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z
1 1 2 1 2
2 2 2 2 2
z z z z z
z z z z z
 

29.  
El inverso aditivo
existe siempre y es único.
Se tiene
0
z a ib
z z
   
  
z a ib
 

30. 1
1
Si 0, el inverso aditivo
1
existe siempre y es único.
Se tiene
1
Se le llama también recíproco.
z
z
z
zz





z a ib
 

31. 1.- No existe orden en los complejos.
2. Cosas que aprecen imposibles en
los reales, son posibles en los complejos,
como
4 ó sin 6
x
e x
  

33.  
,
x iy x y
 

34.  
,
x iy x y
 
 
 
 
4 4, 1
6 6,0
8 0,8
i
i
    
  


35.  
,
x iy x y
 
z puntos
vectores
z



36. X
Y
 
,
x y
z x iy
 
x
y

37. 2 2
Dado el número complejo
se define su módulo ó valor
absoluto como el número real
z x iy
z x y
 
 

38. X
Y
 
,
x y z x iy
 
z

39.  
2
2
2
1 2 1 2
1
1
2 2
1)
2)
3)
4)
z zz
z zz
z z z z z z
z
z
z z


 


41.    
2 2
1 2 2 1 2 1
z z x x y y
    

42. 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1.-
2.-
3.-
z z
z z z z
z z z z

  
  

43. X
Y
 
,
x y
El valor absoluto es
r z

r


44. X
Y
 
,
x y  
El argumento es
arg z
 
r


45. X
Y
 
,
x y
 
El argumento principal es
Arg con ( , ]
z
   
  
r


46. cos
sin
x r
y r




X
Y
z x iy
 
x
y
r


47.  
cos sin
z x iy
z r i
 
 
 
X
Y
 
,
x y
r


48. 2 2
r x y
 
X
Y
z a ib
 
a
b
r


49. arctan si 0
arctan Si 0 y 0
arctan Si 0 y 0
Si 0 y 0
2
Si 0 y 0
2
indefinido Si 0 y 0
y
x
x
y
x y
x
y
x y
x
x y
x y
x y





  

 

 

  
  
 

 

  
   
 
   

  


   

  


50.  
 
 
   
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
Sean
cos sin
y
cos sin
entonces
cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos sin
z r i
z r i
z z rr
i
z z rr i
 
 
   
   
   
 
 

 
  
 
 
   
 
 

51.  
 
 
   
1 1 1 1
2 2 2 2
2
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2
2 2
1 1
1 2 1 2
2 2
Sean
cos sin
y
cos sin
con 0, entonces
cos cos sin sin
sin cos cos sin
cos sin
z r i
z r i
z
z r
i
z r
z r
i
z r
 
 
   
   
   
 
 


 
  
 
 
   
 
 

52.  
 
     
   
1 1 1 1
2 2 2 2
1 2 1 2
1
1 2
2
Sean
cos sin
y
cos sin
entonces
arg arg arg
y
arg arg arg
z r i
z r i
z z z z
z
z z
z
 
 
 
 
 
 
 
 
 

53.  
 
 
 
2 2
3 3
Sea cos sin
entonces
cos2 sin 2
cos3 sin3
cos sin
n n
z r i
z r i
z r i
z r n i n
 
 
 
 
 
 
 
 

54.  
   
 
2
2
Sea cos sin
entonces
1
cos 2 sin 2
cos sin
n n
z r i
r i
z
z r n i n
 
 
 

 
   
 
 
 

55.  
 
Sea cos sin
entonces
cos sin
con
n n
z r i
z r n i n
n
 
 
 
 
Z

56.  
 
Sea cos sin
entonces
cos sin
con
n n
z r i
z r n i n
n
 
 
 
 
Z
0
Para 0, tenemos
1
n
z



57.  
 
Sea cos sin
entonces
cos sin
con
n n
z r i
z r n i n
n
 
 
 
 
Z
 
Si 1, entonces
cos sin cos sin
n
z
i n i n
   

  

58. El número complejo
es la raíz -esima de un
número complejo diferente
de cero si , donde
es un entero positivo.
n
w
n
z w z
n


59.  
 
   
Supongamos que cos sin
y cos sin .
La ecuación queda como
cos sin cos sin
así que
y cos sin cos sin
n
n
n
z r i
w i
w z
n i n r i
r n i n i
 
  
    
    
 
 

  
   

60. Por lo tanto,
=
y
cos cos y sin sin
de ahí que
2
0,1,2,..., 1
n
r
n n
k
k n
n

   
 

 

  
y cos sin cos sin
n
r n i n i
    
   

61. 2 2
cos sin
0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i
n n
k n
   
   
   
 
   
 
   
 
 
Por lo tanto, =
y
cos cos y sin sin
2
de ahí que 0,1,2,..., 1
n
r
n n
k
k n
n

   
 

 

  

62. 2 2
cos sin
0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i
n n
k n
   
   
   
 
   
 
   
 
 
n
w z


64. 2
La unidad imaginaria
está definida por la
propiedad
1.
i
i  

65. Es decir,
1
i  
2
La unidad imaginaria está definida
por la propiedad 1
i
i  

66. 2
Un número complejo es uno de la forma
donde y son números reales e
es la unidad imaginaria con la propiedad
1
a ib
a b
i
i

 

67. 1) El número real es llamado la
parte real
2) El número real es llamado la
parte imaginaria
a
b
Un número complejo es uno de la forma a ib


68. Dado un número complejo ,
su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado,
se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
z

69. Dado un número complejo , su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado, se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
z
Al complejo conjugado de
se le denota ó *.
Si entonces
z
z z
z a ib
z a ib
 
 

70. X
Y
 
,
x y
z x iy
 
x
y

71. X
Y
 
,
x y
El valor absoluto es
r z

r


72. X
Y
 
,
x y  
El argumento es
arg z
 
r


73. X
Y
 
,
x y
 
El argumento principal es
Arg con ( , ]
z
   
  
r


74. cos
sin
x r
y r




X
Y
z x iy
 
x
y
r


75.  
cos sin
z x iy
z r i
 
 
 
X
Y
 
,
x y
r


76.  
 
Sea cos sin
entonces
cos sin
con
n n
z r i
z r n i n
n
 
 
 
 
Z

77.  
 
Sea cos sin
entonces
cos sin
con
n n
z r i
z r n i n
n
 
 
 
 
Z
 
Si 1, entonces
cos sin cos sin
n
z
i n i n
   

  

78. El número complejo
es la raíz -esima de un
número complejo diferente
de cero si , donde
es un entero positivo.
n
w
n
z w z
n


79. 2 2
cos sin
0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i
n n
k n
   
   
   
 
   
 
   
 
 
n
w z


80. 2 2
cos sin
0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i
n n
k n
   
   
   
 
   
 
   
 
 
n
w z

0
Si 0, obtenemos la raíz principal
cos sin
n
k
w r i
n n
 

 
   
 
   
 
   
 

81. Escribe en forma polar
el número complejo
i

82. Escribe en forma polar el número complejo i
 
0 1 0,1
i i
  

83. Escribe en forma polar el número complejo i
 
0 1 0,1
i i
  
cos sin
2 2
i i
 
   
 
   
   

84. Escribe en forma polar el número complejo i
 
0 1 0,1
i i
  
cos sin
2 2
i i
 
   
 
   
   
5 5
cos sin
2 2
9 9
cos sin
2 2
13 13
cos sin
2 2
i i
i i
i i
 
 
 
   
 
   
   
   
 
   
   
   
 
   
   

85. 2 2
cos sin 0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i k n
n n
   
   
   
   
   
 
   
 
3
w i

3
cos sin
2 2
/ 2 2 / 2 2
1 cos sin
3 3
0,1,2
k
i i
k k
w i
k
 
   
 

   
   
 
   
 
   
 


86. 3
3 / 2 2 / 2 2
1 cos sin 0,1,2
3 3
k
w i
k k
w i k
   

   
   
  
   
 
   
 
0
1
2
cos sin
6 6
5 5
cos sin
6 6
3 3
cos sin
2 2
w i
w i
w i
 
 
 
   
 
   
   
   
 
   
   
   
 
   
   

87. 3
3 / 2 2 / 2 2
1 cos sin 0,1,2
3 3
k
w i
k k
w i k
   

   
   
  
   
 
   
 
0
1
2
3 1
cos sin
6 6 2 2
5 5 3 1
cos sin
6 6 2 2
3 3
cos sin
2 2
w i i
w i i
w i i
 
 
 
   
   
   
   
   
    
   
   
   
   
   
   

88. 0
1
2
3 1
cos sin
6 6 2 2
5 5 3 1
cos sin
6 6 2 2
3 3
cos sin
2 2
w i i
w i i
w i i
 
 
 
   
   
   
   
   
    
   
   
   
   
   
   
3
3 / 2 2 / 2 2
1 cos sin 0,1,2
3 3
k
w i
k k
w i k
   

   
   
  
   
 
   
 

89. Escribe en forma polar
el número complejo
3 i
 

90. Escribe en forma polar el número complejo 3 i
 
 
2
2
3 3 1 3 1 2
r i
        
1
3
 
1
arctan
6
3
5
arg 2 0,1,2,...
6
z k k




 
 
 
 

  
5 5
2 cos 2 cos 2
6 6
z k i k
 
 
 
   
   
   
 
   
 

91. Saca las raices quintas
del número complejo
3 i
 

92. Saca las raices quintas del número complejo 3 i
 
5 5
2 cos 2 cos 2
6 6
5 5
2 cos cos
6 6
z k i k
z i
 
 
 
 
   
   
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
2 2
cos sin 0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i k n
n n
   
   
   
   
   
 
   
 
5 2 2
2 cos sin 0,1,2,3,4
6 5 6 5
k
k k
w i k
   
 
   
    
   
 
   
 

93. Saca las raices quintas del número complejo 3 i
 
5 2 2
2 cos sin 0,1,2,3,4
6 5 6 5
k
k k
w i k
   
 
   
    
   
 
   
 
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
2 cos sin
6 6
17 17
2 cos sin
30 30
29 29
2 cos sin
30 30
41 41
2 cos sin
30 30
53 53
2 cos sin
30 30
w i
w i
w i
w i
w i
 
 
 
 
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
   
 
 
 

94. Saca las raices quintas del número complejo 3 i
 
5 2 2
2 cos sin 0,1,2,3,4
6 5 6 5
k
k k
w i k
   
 
   
    
   
 
   
 
5 5
1
5
2
5
3
5
4
5
5
3 1
2 cos sin = 2
6 6 2 2
17 17
2 cos sin
30 30
29 29
2 cos sin
30 30
41 41
2 cos sin
30 30
53
2 cos
30
w i i
w i
w i
w i
w
 
 
 
 

 
 
   
   
 
   
   
   
   
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
 
 
 

53
sin
30
i

 
 

  
 
  
 

96. Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto

97.  
 
 
 
 
0
,
!
n
n
n
f x
a r a r
f a
x a
n


 


La serie de Taylor de una función real
infinitamente diferenciable, definida en un
intervalo abierto , es la serie
de potencias

98.        
   
   
2
2
2
3
3
3
1
1
2!
1 1
... ...
3! !
ó
1
!
x a x a
n
n
n
x a x a
n
n
n
n x a
df d f
f x f a x a x a
dx dx
d f d f
x a x a
dx n dx
d f
f x x a
n dx
 
 

 
     
     
 


99.  
exp: exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
x
y x e
  
R R

100.  
 
 
 
 
0
0
2
2 0
0
3
3 0
0
0
exp : exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1
1
1
1
x
x x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
n
x
n
x
y x e
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e e
dx
d
e
dx







  
 
 
 

R R

101. 2 3
0
1 1 1
1 ... ...
2 6 !
=
!
x n
n
n
e x x x x
n
x
n


      

 
exp: exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
x
y x e
  
R R

102. 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15
16 17
18 19
1
2 6 24 120 720 5040 40320
362880 3628800 39916800 479001600
6227020800 87178291200 1307674368000
20922789888000 355687428096000
6402373705728000 12164
x x x x x x x
x
x x x x
x x x
x x
x x
       
   
  
 
 
20 21
22 23
24 25
26
5100408832000
2432902008176640000 51090942171709440000
1124000727777607680000 25852016738884976640000
( )
620448401733239439360000 15511210043330985984000000
x x
x x
x x
O x
 
 
  

103.    
 
 
 
   
 
   
 
2 2 1
0 0 0
2 2 1
0 0
! 2 ! 2 1 !
1 1
2 ! 2 1 !
n n n
ix
n n n
n n n n
n n
ix ix ix
e
n n n
x x
i
n n

  
  

 
 
  

 
 

  
 
 
exp: exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
ix
y x e
  
R R

104. sin : sin
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R

105. sin : sin
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R
sin 0 0
cos0 1
sin 0 0
cos0 1
y se repite


 
  

106. sin : sin
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R
0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,...
   
 
 
2 1
3 5 7
0
1
sin ...
3! 5! 7! 2 1 !
n n
n
x
x x x
x x
n




     



107. cos: cos
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R

108. cos0 1
sin 0 0
cos0 1
sin 0 0
y se repite

 
  

cos: cos
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R

109. 1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,...
    
 
 
2
2 4 6
0
1
cos 1 ...
2! 4! 6! 2 !
n n
n
x
x x x
x
n



      
cos: cos
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y x
 
R R

110.    
 
 
 
   
 
   
 
2 2 1
0 0 0
2 2 1
0 0
! 2 ! 2 1 !
1 1
2 ! 2 1 !
n n n
ix
n n n
n n n n
n n
ix ix ix
e
n n n
x x
i
n n

  
  

 
 
  

 
 

  
 
 
exp: exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
ix
y x e
  
R R

111.    
 
   
 
2 2 1
0 0
1 1
2 ! 2 1 !
n n n n
ix
n n
x x
e i
n n

 
 
 
 

 
 
exp: exp
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
ix
y x e
  
R R
cos sin
ix
e x i x
 

112. ' , named after Leonhard Euler,
is a mathematical formula in complex analysis
that establishes the deep relationship between
the trigonometric functions and the complex
exponential function.
Euler s formula
cos sin
ix
e x i x
 

113. The physicist Richard Feynman called
Euler 's formula "our jewel" and
"one of the most remarkable, almost
astounding (asombrosa), formulas
in all of mathematics."
cos sin
ix
e x i x
 

114.    
2
2
0
0
0 0 ; 0
t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt 
 
    
2
2
d r
m F
dt


115.  
2
2
2
2
0
0
0
t
t t
d x k
x
dt m
x t e
k
e e
m
k
m
k k
i i
m m

 


 
 

 
 
      
   
2
2
0
0
0 0 ; 0
t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt 
 
    

116.    
 
1 2
i t i t
i t i t
x t e x t e
x t Ae Be
 
 


 
 
   
 
2
2
0
0
0 0 ; 0
t
t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt
k
x t e i i
m

 

 
    
     

117.  
   
 
 
0 0
cos sin cos sin 2 sin
2 sin
i t i t i t i t
i t i t
x A B B A
x t Ae Ae A e e
e e t i t t i t i t
x t iA t
   
 
    

 

     
   
     

   
 
 
2
2
0
0
0 0 ; 0
t
t
i t i t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt
k
x t e i i
m
x t Ae Be

 
 


 
    
     
 

118.  
0
0
0
0
2 cos
2
2
sin
t
dx
iA t
dt
v
dx
iA v A i
dt
v
x t t
 






    

   
 
 
 
2
2
0
0
0 0 ; 0
2 sin
t
t
i t i t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt
k
x t e i i
m
x t Ae Be
x t iA t

 
 



 
    
     
 


119.    
 
2
2
0
0
0
0 0 ; 0
sin
t
d x
m kx
dt
dx
x t v t v
dt
v
x t t



 
    


120.  
2
0
2
sin
v
d x
m kx x t t
dt


   
6 4 2 2 4 6
X
3
2
1
1
2
3
Y

121. 0
0 0 0
0
E
B
E
t
B
E
B J
t


  
 

  

 

  


122. 0 0
0
0
E
B
E
t
B
E
B
t
 
 

  

 

 


123.  
 
 
2
0 0
2
2
2
0 0 2
0
0
B
E
t
B
E
t
B
E E
t
E
t
E
t
E
E
t
 
 

  


   

 
    

 

 

 
  


  


124.  
 
 
0 0
0 0
2
0 0
2
0 0
2
2
0 0 2
1
0
0
E
B
t
E
B
t
E
B B
t
B
c t
B
t
B
B
t
 
 
 
 
 

 


   

 
   

 

 
 

 
 


  


125. 0 0
0 0
E B
B E
E B
t t
 
   
 
    
 
2
2
0 0 2
2
2
0 0 2
0
0
E
E
t
B
B
t
 
 

  


  


126. 2
2
0 0 2
0
f
f
t
 

  

       
2 2 2 2
0 0
2 2 2 2
, , , , , , , , , , , ,
0
f x y z t f x y z t f x y z t f x y z t
x y z t
 
   
   
   

127.  
 
1 0
2 0
ˆ
( , )
ˆ
( , )
i k r t
i k r t
E r t e E e
B r t e B e


 
 



128.    
1 0 2 0
1 2
1 2 2 1
1 2
ˆ ˆ
( , ) ( , )
ˆ ˆ
0 0
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
=
ˆ
ˆ ˆ
Los vectores ( , , ) constituyen una base
ˆ ˆ
ˆ
i k r t i k r t
E r t e E e B r t e B e
k k
k e k e e
e e k
e e
e
 
   
 
   
   
ortonormal

129. X
Y
Z
1
ê
2
ê
k̂

130. Longitud de la onda Amplitud de la onda
y
  
Distancia
Desplazamiento

131. Amplitud de la onda
Longitud de la onda
2
El número de onda
La frecuencuencia angula 2
1
La frecuencia
Periodo
y
k
T
T



 



 
 
 


132. •La longitud de la onda (ó la frecuencia)
determina el color de la luz
•La amplitud de la onda es la intensidad de
la luz
•La dirección de oscilación de los campos
determina la polarización
•Es una onda transversal

134.  
5
Escribe el número complejo
2 3
en la forma .
i
a ib



135.  
5
Escribe el número complejo 2 3 en la forma .
i a ib
 
 
0
n
n n k k
k
n
r s r s
k


 
   
 

   
5 5
5 5 5
0 0
2 3 4 5
5 2 3 4 5
5
5 5 3
2 3 2 3 2
2
5 5 5 5 5 5
3 3 3 3 3
2
0 1 2 3 4 5
2 2 2 2 2
3 9
2 1 5 10
2 4
k
k
k k
k k
i i i
k k
i i i i i
i

 
     
  
     
 
   
 
           
         
     
 
           
         
         
           
 
 
   
  
   
   
 
5
5
27 81 243
10 5
8 16 32
15 45 135 405 243
2 1
2 2 4 16
61 597
122 597
16
32
3
2
2
i i
i i i
i i
 
     
  
     
 
     
 
 
     

 
 
 
 
 




136.  
 
5
5
Escribe el número complejo
2 3
en la forma .
2 122 597
3
i
a ib
i i

 



137.  
5
Escribe el número complejo
2 3
en la forma , pero ahora
usando la forma polar para
hacer la potencia.
i
a ib



138.  
5
Escribe el número complejo 2 3 en la forma ,
pero ahora usando la forma polar para hacer la potencia.
i a ib
 
   
5
5
3 3
2 3 13 cos arctan sin arctan
2 2
3 3
2 3 13 cos 5arctan sin 5arctan
2 2
122.0 597.0
i i
i
i
i
 
   
   
  
 
   
   
   
   
 
 
   
   
  
 
   
   
   
   
 



139.  
32
Escribe el número complejo
1
en la forma .
i
a ib



140.  
32
Escribe el número complejo 1 en la forma .
i a ib
 
 
   
   
2 2
16
32 16
2
8 8
16 2 16 16
Tenemos que
1 1 2 1 2 1 2
asi que
1 (1 ) 2
2 2 1 2
65,536
i i i i i
i i i
i
       
 
   
 
   


141. ¿Cuál de estos dos números complejos
está más cerca del origen?
10 8 11 6
i i
 

142. ¿Cuál de estos dos números complejos está
más cerca del origen?: 10 8 y 11 6
i i
 
 
2 2
2
2
10 8 10 8 164 2 41 12.80
11 6 11 6 121 36 157 12.53
i
i
     
       
11 6i


143. ¿Cuál de estos dos números complejos
está más cerca del origen?
10 8 11 6
i i
 
2 4 6 8 10
6
4
2
2
4
6
8

144.  
2
Describe el conjunto de puntos
del plano complejo que satisfacen
la ecuación
Im 2
z 

145.  
2
Describe el conjunto de puntos del plano complejo
que satisfacen la ecuación Im 2
z 
   
 
 
2 2 2
2 2 2
2
Im Im 2 2 2
1
, 1 ¿Qué es?
z x iy
z x y ixy
z x y ixy xy
xy
C x y xy
 
  
    

 

146.  
2
Describe el conjunto de puntos del plano complejo
que satisfacen la ecuación Im 2
z 
4 2 0 2 4
4
2
0
2
4
 
 
, 1
C x y xy
 

147. Encontrar las soluciones de la
ecuación
2
z z i
  

148. 2 2
2 2
2 2 2 2
Escribiendo y sustituyendo
en la ecuación, obtenemos
2
ó bien
2 1
Resolviendo
1 2 1 2 1 4 4
3
1 4 4 4 3 0
4
3
4
z x iy
x y x iy i
x y x y
x x x x x x x
x x x
z i
 
    
    
           
        
  
Encontrar las soluciones de la ecuación 2
z z i
  

149. Supongamos que cos sin .
Si es un número entero, evaluar
y
n n n n
z i
n
z z z z
 
 
 
cos sin cos sin
2cos
2 sin
n n
n n
n n
z n i n z n i n
z z n
z z i n
   


   
 
 

150.  
 
2 2
arg arctan
1 1
1
arg arctan arctan
1
arg arg 2
y
z x iy z
x
z x iy
z z z x y
y y
z x x
z k
z

 
     
 

 

     
   
     
     
 
  
 
 
Escribe una ecuación que relacione
1
el argumento de con aquel de .
z
z

151.  
1/
Demuestra que las raices -esimas
de la unidad son
2 2
1 1 cos sin
0,1,2,..., 1
n n
n n
k k
i
n n
k n
 
  
 

152.  
1/
Demuestra que las raices -esimas de la unidad son
2 2
1 1 cos sin 0,1,2,..., 1
n n
n n
k k
i k n
n n
 
    
2 2
cos sin
0,1,2,..., 1
n
k
k k
w r i
n n
k n
   
   
   
 
   
 
   
 
 
 
1/
1 cos0 sin 0
2 2
1 1 cos sin 0,1,2,..., 1
n n
i
k k
i k n
n n
 
 

    

153.  
1/ 2 2
1 1 cos sin 0,1,2,..., 1
n n k k
i k n
n n
 
    
 
1/2
1 1 cos sin 0,1
Son
cos0 sin 0 1
y
cos sin 1
k i k k
i
i
 
 
   
 
  

154.  
1/ 2 2
1 1 cos sin 0,1,2,..., 1
n n k k
i k n
n n
 
    
 
1/3 3 2 2
1 1 cos sin 0,1,2
3 3
Son
cos0 sin 0 1
2 2 1 3
cos sin
3 3 2 2
4 4 1 3
cos sin
3 3 2 2
k k
i k
i
i i
i i
 
 
 
   
 
   
   

155.  
1/ 2 2
1 1 cos sin 0,1,2,..., 1
n n k k
i k n
n n
 
    
 
1/4 4
1 1 cos sin 0,1,2,3
2 2
Son
cos0 sin 0 1
cos sin
2 2
cos sin 1
3 3
cos sin
2 2
k k
i k
i
i i
i
i i
 
 
 
 
   
 
 
  
  