Este documento explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general ax2 + bx + c = 0. Describe los pasos para resolver ecuaciones de segundo grado y ofrece ejemplos resueltos. También cubre conceptos relacionados como números complejos, representación gráfica de números complejos, conjugados y opuestos.

1. Resolución de ecuaciones de segundo grado.
Con lo aprendido estamos en
condiciones de resolver cualquier
ecuación de segundo grado del
tipo:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

2.  Usamos la formula general de la ecuación que es:
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 Donde:
 a= al coeficiente que acompaña a la variable que tenemos
elevada al cuadrado.
 b= al coeficiente que acompaña a la variable y también se
toma su signo.
 c= es el numero sin variable.

3.  𝑥 =
−(−2)± (−2)2−4 1 (10)
2(1)
 𝑥 =
−2± 4−40
2
 𝑥 =
2± −36
2
 𝑥 =
2±6i
2
𝑥 =
2(1±3i)
2
 𝑥1,2 = (1±3i)
 𝑥1=(1+3𝑖) 𝑥2=(1−3𝑖)

4.  a)𝑥2
+ 2𝑥 + 6 = 0
 b) 𝑥2
+ 25 = 0
 c) 2𝑥2
+ 3𝑥 + 4 = 0

5.  𝑥1=(3+𝑖), 𝑥2=(3-i)
 𝑥1=1, 𝑥2=-i
 2 + 3𝑖

6.  El opuesto de un número complejo, es el
resultado de cambiarle los signos de la parte
real y la imaginaria a dicho número
(z = a +bi ; -z= -a-bi)
Y el conjugado de dicho número es el resultado
de cambiarle el signo, únicamente a la parte
imaginaria de éste.
(z=a+bi; z(conjugado) =a-bi)

7.  𝑋1=3+𝑖 𝑥2=3+2𝑖
 (Obsérvese que se trata de dos números
que no son conjugados)

8.  Basta con multiplicar el numerador y el
denominador por el conjugado de este y
así, el denominador de la fracción se
convierte en un número real.
 En efecto sean:
𝑧1=a+bi, 𝑧2= c+di.
Se tiene:
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖
=
𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖
*
𝑐+𝑑𝑖
𝑐+𝑑𝑖
=
𝑎𝑐+𝑏𝑑+ 𝑏𝑐−𝑎𝑑 𝑖
𝑐2+𝑑2 =
𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2+ 𝑏2 +
𝑏𝑐+𝑎𝑑
𝑐2+ 𝑏2 i

9.  Siendo
 𝑧1 = 3 + 𝑖
 𝑧2 = 2 − 4𝑖
 𝑧3 = 5𝑖
 calcular:
a)
𝑧1
𝑧2
b)
𝑧2
𝑧3
c)
𝑧1
𝑧1

10.  Un número real.
 Un imaginario puro.
Si a = 0, b 6= 0, el número complejo a + bi se convierte en un número
imaginario puro bi; b se llama coeficiente de la unidad imaginaria. Si b =
0, el número complejo a + bi deviene un número real igual a a. El
conjunto de números complejos contiene, como parte, tanto todos los
números reales como todos los números imaginarios puros; en otras
palabras, los números reales, así como los números imaginarios son casos
particulares de números complejos.
Ejemplo ¿Cuánto debe valer x, real, para que (3 − 𝑥𝑖)2
sea imaginario puro
Descomponemos la expresión = (3 − 𝑥𝑖)2
= 9 − 6xi + x2
i2
= 9 − 6xi − x2
.
Para que sea imaginario puro, tenemos que hacer
9 − x 2 = 0
(3 − x)(3 + x) = 0
x = −3 y x = 3.

11.  Calcular
𝑖47−3𝑖14
𝑖2−5𝑖7+𝑖20

12. La representación grafica de un número
complejo permite tener una visualización que
facilita su compresión y ayuda a deducir
ciertos conceptos y propiedades. Vamos a
construir el plano complejo y conviene
advertir desde el principio que no lo
identifiquen con el plano vectorial aunque se
produzcan algunas coincidencias.
Dado el número complejo z= a+bi, las partes
real (a) e imaginaria (b) serán llevados a unos
ejes cartesianos teniendo en cuenta las
siguientes instrucciones:
a) El eje horizontal se representa por la
parte real del número complejo.
b) El eje vertical es la parte imaginaria.
c) El punto que se obtiene en el plano
cartesiano se llama AFIJO del numero
complejo representado

13.  𝑧1 = 3 + 𝑖
 𝑧2 = 4 + 2𝑖
 𝑧3 = −3𝑖
 𝑧4 = 4
 𝑧5 = −3 − 2𝑖
 𝑧6 = 4 − 2𝑖
 𝑧7 =
1
4
+
1
2
𝑖
 𝑧8 = −
5
3
𝑖

14.  Determinar que signo deben tener cada una de las
partes real e imaginaria de un número complejo
para que su afijo este en cada uno de los
cuadrantes del plano complejo.
 Para que el afijo se encuentre en el primer
cuadrante, las partes real e imaginaria deberán
tener signo positivo
 Para que el afijo se encuentre en el segundo
cuadrante, la parte real deberá tener signo negativo
y la parte imaginaria signo positivo.
 Para que el afijo se encuentre en el tercer cuadrante
las partes real e imaginaria deberán tener signo
negativo
 Para que el afijo se encuentre en el cuarto cuadrante
la parte real deberá tener signo positivo y la
imaginaria signo negativo.

15.  Un número complejo está compuesto por una parte real y otra
imaginaria. Para representarlo gráficamente, al igual que los vectores,
una parte del número se corresponde a un eje mientras que la otra
parte al otro eje. La parte real se representa en el eje real
(horizontal) y la parte imaginaria se representa en el eje imaginario
(vertical).
z=(a+bi)
z=número complejo
a=parte real
b=parte imaginaria
Para aprender cómo representar un conjugado y un opuesto de un
número complejo, debemos saber que son:
-El conjugado de un número complejo se trata del mismo número
complejo pero con el signo de la parte imaginaria cambiado.
Si z=(a+bi), su conjugado z'=(a-bi)
-El opuesto de un número complejo se trata del número complejo
cambiado de signo.
Si z=(a+bi), su opuesto z''= -z ; z''=-(a+bi)

16. 1) z= 4+5i
z'=4-5i
z''=-4-5i
2) z= 6i
z''= -6i
z''= -6
3)z=2-7i
z'=2+7i
z''=-2+7i
4) z=-6-4i
z'=-6+4i
z''=6+4i
-4i, 5+4i (conjugado), -5+4i (opuesto)
-4+5i, -4-5i (conjugado), 4-5i (opuesto)
2+i, 2-i (conjugado), -2-i (opuesto)
-2-i, -2+i (conjugado), 2+i (opuesto)

17. Dos números complejos se llaman conjugados si
tienen iguales sus componentes reales y
opuestas sus componentes imaginarias. Se
expresan de la forma siguiente:
z = a + b.i y z = a - b.i.
Gráficamente son simétricos respecto del eje
real (eje de abscisas).
Dos números complejos se llaman opuestos si
tienen opuestas sus dos componentes. Se
expresan de la forma siguiente:
z = a + b.i y - z = -a - b.i.
Gráficamente son simétricos respecto del origen
de coordenadas.

18.  𝑧1 = 2 + 3𝑖
 𝑧2 = 5 + 𝑖
 𝑧1+ 𝑧2