El documento describe los números complejos, incluyendo la unidad imaginaria i, números imaginarios en la forma binómica a + bi, operaciones como suma, resta, multiplicación y división, y representaciones como forma polar, trigonométrica y gráfica. Explica cómo convertir entre estas formas y conceptos como conjugados, opuestos e inversos. Finalmente, presenta ejemplos de cálculos con números complejos.
El documento describe los conceptos básicos de los polígonos, incluyendo sus elementos, clasificaciones, propiedades y ejemplos de polígonos específicos. Explica que un polígono está formado por segmentos de línea unidos por sus extremos, y lista elementos como vértices, lados y ángulos. Además, clasifica los polígonos por su forma y número de lados e incluye propiedades como el número de diagonales, triángulos y la suma de sus ángulos.
Este documento presenta las propiedades del valor absoluto y provee ejercicios para practicar su uso. Explica que el valor absoluto de un número es su valor numérico sin considerar su signo, y siempre es positivo. Luego enumera siete propiedades del valor absoluto como la multiplicativa, de simetría y aditiva. Finalmente, proporciona 27 ejercicios algebraicos para resolver usando el valor absoluto.
Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
Este documento presenta 20 problemas resueltos relacionados con sistemas de medición angular como grados, radianes y sexagesimales. Los problemas incluyen conversiones entre sistemas, cálculos angulares y relaciones entre las medidas en diferentes sistemas.
Este crucigrama algebraico contiene 17 ecuaciones de primer grado que deben resolverse para completarlo. Resolver las ecuaciones permitirá llenar las casillas verticales y horizontales del crucigrama con las soluciones correctas.
El documento repite la frase "UPeU BECA 18" y "BECA 18 UPeU" varias veces. También incluye algunas fórmulas matemáticas como identidades de productos notables y ecuaciones, pero la mayor parte del texto se compone de repeticiones de las mismas frases.
El documento describe los conceptos básicos de los polígonos, incluyendo sus elementos, clasificaciones, propiedades y ejemplos de polígonos específicos. Explica que un polígono está formado por segmentos de línea unidos por sus extremos, y lista elementos como vértices, lados y ángulos. Además, clasifica los polígonos por su forma y número de lados e incluye propiedades como el número de diagonales, triángulos y la suma de sus ángulos.
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Este documento define funciones racionales y explica cómo graficarlas y resolver ecuaciones racionales. Las funciones racionales son expresiones donde el polinomio está en el numerador y el denominador. Para graficarlas, se identifican las asíntotas verticales y horizontales. Para resolver ecuaciones racionales, se factoriza, se halla el denominador común, y se multiplica la ecuación por este para obtener una expresión no racional que puede resolverse. También explica operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de expresiones rac
Este documento presenta 20 problemas resueltos relacionados con sistemas de medición angular como grados, radianes y sexagesimales. Los problemas incluyen conversiones entre sistemas, cálculos angulares y relaciones entre las medidas en diferentes sistemas.
Este crucigrama algebraico contiene 17 ecuaciones de primer grado que deben resolverse para completarlo. Resolver las ecuaciones permitirá llenar las casillas verticales y horizontales del crucigrama con las soluciones correctas.
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Este documento presenta 60 ejercicios sobre números complejos que incluyen resolver ecuaciones, expresar números complejos en forma binómica, realizar operaciones básicas y avanzadas con números complejos como sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces, y calcular inversos de números complejos.
Este documento presenta una lista de triángulos rectángulos notables y sus relaciones entre los catetos y la hipotenusa. Se proporcionan ejemplos numéricos de triángulos rectángulos con valores dados para uno de los catetos o la hipotenusa, y se pide calcular el otro lado. El documento contiene tablas con más de 20 triángulos rectángulos notables y sus relaciones.
1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
Este documento presenta los números complejos, incluyendo su definición, representación y operaciones. Introduce la unidad imaginaria i, define los números complejos como pares ordenados de la forma a + bi, y explica cómo representarlos gráficamente en el plano complejo. Además, describe cómo convertir entre las formas binómica y polar de los números complejos, y cómo realizar sumas y restas en forma binómica.
Funciones cuadráticas. parámetros de la parábolajuanreyesolvera3
Este documento describe las funciones cuadráticas y las parábolas. Explica que las funciones de la forma y=ax2+bx+c son funciones cuadráticas cuya gráfica es una parábola. Las parábolas se abren hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. También describe cómo trasladar las parábolas horizontal y verticalmente mediante cambios en los coeficientes b y c. Finalmente, explica cómo encontrar las coordenadas del vértice de una parábola dada por su ecuación y=ax2+
Taller potenciación y radicación para la webdiomeposada
Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la potenciación y radicación de números enteros. Incluye completar potencias de números, aplicar propiedades de potenciación y radicación, simplificar expresiones y resolver operaciones combinadas que involucran potencias y raíces.
Ejercicios de Radicación de números enterosgutidiego
Este documento presenta varios ejercicios sobre radicación de números enteros. Los ejercicios incluyen escribir raíces a partir de potencias dadas, hallar el valor de raíces, realizar operaciones con raíces, y comparar valores de raíces. El documento también incluye una sección sobre encontrar el camino de entrada a salida coloreando raíces exactas y posibles en el conjunto de los números enteros. Finalmente, proporciona dos referencias bibliográficas sobre matemáticas.
Este documento explica conceptos básicos sobre sucesiones de primer y segundo orden. Introduce las sucesiones y funciones sucesión, y define una sucesión como una función variable entera positiva. Explica el término general de una sucesión y provee ejemplos. Luego cubre progresiones aritméticas de primer orden, incluyendo cómo calcular el término general y la suma de los términos. Finalmente, introduce progresiones aritméticas de segundo orden, explicando cómo calcular el término general para este tipo de sucesión.
Este documento parece ser un examen de álgebra que contiene preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolver sistemas de ecuaciones, gráficas de coordenadas cartesianas y conceptos básicos de álgebra. El examen evalúa la comprensión del estudiante en estas áreas fundamentales de álgebra.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre potencias y notación científica. Incluye 10 secciones con diferentes tipos de ejercicios para calcular valores de potencias, aplicar propiedades de potencias, y realizar conversiones entre notación estándar y científica. Los ejercicios van desde cálculos simples hasta operaciones más complejas usando potencias y la calculadora científica.
El documento presenta varios ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados con el análisis combinatorio, incluyendo permutaciones, combinaciones y problemas numéricos. Explica conceptos como permutaciones lineales y circulares, combinaciones, y cómo aplicar fórmulas como la de permutación y combinación para contar resultados posibles. También incluye la solución detallada de varios problemas de ejemplo.
Este documento describe el método de mínimos cuadrados, que es la técnica más efectiva para determinar los parámetros de una ecuación lineal a partir de datos experimentales. El método implica minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los valores medidos y los calculados por la ecuación propuesta. Se ilustra con un ejemplo del cálculo de las ventas proyectadas de una empresa para los próximos años.
1. El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con ángulos, sectores circulares, longitudes de arco y otras propiedades geométricas. Los problemas son resueltos aplicando fórmulas como la longitud del sector circular (L = θr) y el área del sector circular (A = 1/2θr^2).
2. La mayoría de los problemas involucran calcular longitudes de arco, áreas de sectores o relaciones entre medidas geométricas dadas propiedades como radios, ángulos centrales u otras cantidades.
3.
La teoría de la divisibilidad explica los conceptos básicos de números divisibles e indivisibles. Los números son divisibles si el cociente de la división es un entero, y no son divisibles si el cociente es inexacto. Se proveen ejemplos y notaciones para expresar divisibilidad y múltiplos. También se describen consideraciones importantes como que cero es múltiplo de todos los enteros positivos.
Discriminante de una ecuación de segundo gradoMaría Pizarro
El documento explica cómo calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y cómo determinar la naturaleza de sus soluciones en base al valor del discriminante. El discriminante se obtiene aplicando la fórmula D = b2 - 4ac y su signo indica si las soluciones son reales y distintas (positivo), reales e iguales (cero) o complejas (negativo). Se proveen ejemplos del cálculo del discriminante y su interpretación.
Este documento presenta un taller de matemáticas para estudiantes de 8° grado. Contiene 20 preguntas de opción múltiple para asociar enunciados verbales con expresiones algebraicas. También incluye ejercicios de operaciones mixtas entre polinomios. El objetivo es preparar a los estudiantes para una evaluación de refuerzo en álgebra.
Para sumar o restar radicales, estos deben ser equivalentes, es decir, tener el mismo índice y radicando. Se suman o restan los números fuera de la raíz, mientras que la raíz permanece igual. Si los radicales no son equivalentes, se pueden extraer factores comunes para hacerlos equivalentes y así poder sumarlos o restarlos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran exponentes, polinomios, productos notables y división de polinomios. El documento contiene 28 problemas con sus respectivas opciones de respuesta para que los estudiantes las resuelvan como parte de un seminario de álgebra.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Los números complejos pueden expresarse en forma binómica como a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria, o en forma polar como r(cosα + isenα), donde r es el módulo y α el argumento. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos aplicando reglas específicas, y convertir entre las formas binómica, polar y trigonométrica.
Este documento describe los números complejos, incluyendo su representación como suma de un número real y uno imaginario, y las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica que los números complejos son herramientas importantes en álgebra, análisis y ramas aplicadas como electromagnetismo. También presenta formas de representar números complejos de manera binómica y polar, así como fórmulas para operaciones en estas formas.
Este documento presenta 60 ejercicios sobre números complejos que incluyen resolver ecuaciones, expresar números complejos en forma binómica, realizar operaciones básicas y avanzadas con números complejos como sumas, restas, productos, divisiones, potencias y raíces, y calcular inversos de números complejos.
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1. El documento presenta fórmulas para transformar expresiones trigonométricas de suma o diferencia a producto y viceversa. Incluye ejemplos como transformar Sen6x + Sen2x a 2Sen4x • Cos2x.
2. Se explican identidades para transformar expresiones como SenA + SenB, CosA + CosB, SenA - SenB, etc. a formas de producto.
3. El documento concluye con problemas aplicativos que involucran usar las transformaciones presentadas.
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Este documento describe las funciones cuadráticas y las parábolas. Explica que las funciones de la forma y=ax2+bx+c son funciones cuadráticas cuya gráfica es una parábola. Las parábolas se abren hacia arriba si a>0 y hacia abajo si a<0. También describe cómo trasladar las parábolas horizontal y verticalmente mediante cambios en los coeficientes b y c. Finalmente, explica cómo encontrar las coordenadas del vértice de una parábola dada por su ecuación y=ax2+
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Este documento presenta varios ejercicios relacionados con la potenciación y radicación de números enteros. Incluye completar potencias de números, aplicar propiedades de potenciación y radicación, simplificar expresiones y resolver operaciones combinadas que involucran potencias y raíces.
Ejercicios de Radicación de números enterosgutidiego
Este documento presenta varios ejercicios sobre radicación de números enteros. Los ejercicios incluyen escribir raíces a partir de potencias dadas, hallar el valor de raíces, realizar operaciones con raíces, y comparar valores de raíces. El documento también incluye una sección sobre encontrar el camino de entrada a salida coloreando raíces exactas y posibles en el conjunto de los números enteros. Finalmente, proporciona dos referencias bibliográficas sobre matemáticas.
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Este documento parece ser un examen de álgebra que contiene preguntas sobre sistemas de ecuaciones lineales, métodos para resolver sistemas de ecuaciones, gráficas de coordenadas cartesianas y conceptos básicos de álgebra. El examen evalúa la comprensión del estudiante en estas áreas fundamentales de álgebra.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre potencias y notación científica. Incluye 10 secciones con diferentes tipos de ejercicios para calcular valores de potencias, aplicar propiedades de potencias, y realizar conversiones entre notación estándar y científica. Los ejercicios van desde cálculos simples hasta operaciones más complejas usando potencias y la calculadora científica.
El documento presenta varios ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados con el análisis combinatorio, incluyendo permutaciones, combinaciones y problemas numéricos. Explica conceptos como permutaciones lineales y circulares, combinaciones, y cómo aplicar fórmulas como la de permutación y combinación para contar resultados posibles. También incluye la solución detallada de varios problemas de ejemplo.
Este documento describe el método de mínimos cuadrados, que es la técnica más efectiva para determinar los parámetros de una ecuación lineal a partir de datos experimentales. El método implica minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre los valores medidos y los calculados por la ecuación propuesta. Se ilustra con un ejemplo del cálculo de las ventas proyectadas de una empresa para los próximos años.
1. El documento presenta 15 problemas de trigonometría relacionados con ángulos, sectores circulares, longitudes de arco y otras propiedades geométricas. Los problemas son resueltos aplicando fórmulas como la longitud del sector circular (L = θr) y el área del sector circular (A = 1/2θr^2).
2. La mayoría de los problemas involucran calcular longitudes de arco, áreas de sectores o relaciones entre medidas geométricas dadas propiedades como radios, ángulos centrales u otras cantidades.
3.
La teoría de la divisibilidad explica los conceptos básicos de números divisibles e indivisibles. Los números son divisibles si el cociente de la división es un entero, y no son divisibles si el cociente es inexacto. Se proveen ejemplos y notaciones para expresar divisibilidad y múltiplos. También se describen consideraciones importantes como que cero es múltiplo de todos los enteros positivos.
Discriminante de una ecuación de segundo gradoMaría Pizarro
El documento explica cómo calcular el discriminante de una ecuación de segundo grado y cómo determinar la naturaleza de sus soluciones en base al valor del discriminante. El discriminante se obtiene aplicando la fórmula D = b2 - 4ac y su signo indica si las soluciones son reales y distintas (positivo), reales e iguales (cero) o complejas (negativo). Se proveen ejemplos del cálculo del discriminante y su interpretación.
Este documento presenta un taller de matemáticas para estudiantes de 8° grado. Contiene 20 preguntas de opción múltiple para asociar enunciados verbales con expresiones algebraicas. También incluye ejercicios de operaciones mixtas entre polinomios. El objetivo es preparar a los estudiantes para una evaluación de refuerzo en álgebra.
Para sumar o restar radicales, estos deben ser equivalentes, es decir, tener el mismo índice y radicando. Se suman o restan los números fuera de la raíz, mientras que la raíz permanece igual. Si los radicales no son equivalentes, se pueden extraer factores comunes para hacerlos equivalentes y así poder sumarlos o restarlos.
Este documento presenta varios problemas de álgebra que involucran exponentes, polinomios, productos notables y división de polinomios. El documento contiene 28 problemas con sus respectivas opciones de respuesta para que los estudiantes las resuelvan como parte de un seminario de álgebra.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Los números complejos pueden expresarse en forma binómica como a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria, o en forma polar como r(cosα + isenα), donde r es el módulo y α el argumento. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos aplicando reglas específicas, y convertir entre las formas binómica, polar y trigonométrica.
Este documento describe los números complejos, incluyendo su representación como suma de un número real y uno imaginario, y las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica que los números complejos son herramientas importantes en álgebra, análisis y ramas aplicadas como electromagnetismo. También presenta formas de representar números complejos de manera binómica y polar, así como fórmulas para operaciones en estas formas.
El documento explica las operaciones básicas con números complejos, incluyendo suma, resta, multiplicación y división. También describe cómo representar números complejos en forma binómica, polar y trigonométrica, y cómo convertir entre estas formas. Además, define conceptos como el módulo, argumento, números complejos iguales, conjugados y opuestos.
Este documento trata sobre números complejos. Explica que un número complejo está formado por una parte real y una parte imaginaria. Se definen conceptos como conjugado de un número complejo, representación gráfica, operaciones como suma, resta, multiplicación y división de números complejos. También introduce la forma polar de un número complejo y cómo convertir entre la forma rectangular y polar.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo la unidad imaginaria i, números imaginarios como bi, y potencias de i. Explica que los números complejos pueden escribirse en forma binómica como a + bi, donde a es la parte real y b la parte imaginaria. También resume operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de números complejos en forma binómica.
Los números complejos surgen de la necesidad de dar soluciones a raíces cuadradas de números negativos. Se definen como la suma de un número real y uno imaginario, donde un número imaginario es aquel cuyo cuadrado es negativo. Los números complejos pueden representarse geométricamente en un plano cartesiano mediante puntos con coordenadas (a, b), donde a es la parte real e i la imaginaria, y también en forma polar mediante su módulo y argumento.
Este documento introduce los números complejos, definidos como números de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria tal que i2 = -1. Explica las operaciones básicas con números complejos como suma, resta, multiplicación y división. También describe cómo representar gráficamente números complejos en un plano cartesiano y cómo calcular su módulo y argumento. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de los números complejos en ingeniería eléctrica, señales periódicas y fractales.
Un número complejo puede representarse como un par ordenado (a, b) de números reales o en forma binómica como a + bi, donde i es la unidad imaginaria. Las operaciones con números complejos implican sumar/restar las partes reales e imaginarias y aplicar propiedades como que i2 = -1 para la multiplicación. Un número complejo también puede expresarse en forma polar mediante su módulo y argumento.
Este documento explica los conceptos básicos de los números complejos, incluyendo cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos. También define el módulo y argumento de un número complejo, y cómo expresar un número complejo en forma polar o binómica. Finalmente, da ejemplos de números complejos puros reales e imaginarios de módulo unidad.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo su representación como puntos en el plano complejo y cómo realizar operaciones con ellos en forma binómica y polar. Explica que los números complejos constan de parte real e imaginaria y pueden resolverse ecuaciones de segundo grado. También cubre cómo convertir entre las formas binómica y polar, y las propiedades de las operaciones con números complejos como la suma, multiplicación, división y potencias.
Este documento describe los números complejos, incluyendo la unidad imaginaria i, las formas de escribir números complejos como a+bi, y las operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división. También explica cómo representar números complejos en forma polar mediante el módulo r y el argumento θ, y cómo convertir entre las formas binómica y polar.
Este documento explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado usando la fórmula general ax2 + bx + c = 0. Describe los pasos para resolver ecuaciones de segundo grado y ofrece ejemplos resueltos. También cubre conceptos relacionados como números complejos, representación gráfica de números complejos, conjugados y opuestos.
Este documento introduce los números complejos, incluyendo su representación gráfica y operaciones como suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces. Explica cómo pasar entre la forma binómica (a + bi) y la forma polar (r(cosθ + isenθ)), y cómo realizar operaciones en cada forma.
Los números complejos surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cúbicas y cuadráticas. Representan la suma de un número real y uno imaginario. Existen varias formas de representarlos como binómica, polar, exponencial y trigonométrica. Los números complejos forman un cuerpo y permiten resolver ecuaciones que de otro modo no tendrían solución en los reales.
El documento describe los números complejos, incluyendo que son la suma de un número real y uno imaginario. Explica brevemente la historia de los números complejos y cómo surgieron para dar solución a raíces cuadradas negativas. También define la unidad imaginaria i como el número cuya raíz cuadrada de -1, y describe las operaciones básicas y representaciones geométricas de los números complejos.
Este documento introduce los números complejos. Explica que se necesitó introducir este nuevo conjunto numérico para resolver ecuaciones como x2 = -1 que no tenían solución en los números reales. Define los números complejos como conjuntos de la forma a + bi, donde a y b son números reales y i = √-1. Describe las operaciones básicas con números complejos como suma, producto, cociente y representación en forma polar.
Este documento describe los números complejos, incluyendo su concepto como la suma de un número real y un número imaginario, y operaciones como suma, producto, multiplicación y división. Explica que los números complejos se pueden representar de forma binómica como a + bi o en coordenadas polares mediante la distancia r desde el origen y el ángulo respecto al eje real. También muestra ejemplos de sumas, multiplicaciones y divisiones de números complejos.
Este documento introduce los números complejos. Explica que los números complejos son la suma de un número real y un número imaginario y que se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería. También describe las propiedades fundamentales de los números complejos como el teorema fundamental del álgebra y que forman un cuerpo algebraico. Finalmente, invita a estudiar los números complejos por su belleza al integrar trigonometría, álgebra y geometría.
Este documento describe los números complejos. Introduce los números complejos como la suma de un número real y un número imaginario. Explica que los números complejos se utilizan ampliamente en matemáticas, física e ingeniería. Además, describe las propiedades fundamentales de los números complejos como el teorema fundamental del álgebra y que forman un cuerpo algebraico.
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Numeros complejos (1)
1. Números Complejos
Unidad imaginaria:Se llama así al número y se designa por la letra i.
Números imaginarios:Un número imaginario se denota por bi, donde :b es un número
real,e i es la unidad imaginaria.Con los números imaginarios podemos calcular raíces
con índice par y radicando negativo.
x2
+ 9 = 0
Potencias de la unidad imaginaria
i0
= 1 i1
= i i2
= −1 i3
= −i i4
= 1
Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una
determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de
la potencia equivalente a la dada.
i22
i22
= (i4
)5
· i2
= − 1
Números complejos en forma binómica
Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica.
El número a se llama parte real del número complejo.
El número b se llama parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario
puro.
2. El conjunto de todos números complejos se designa por .
Los números complejos a + bi y −a − bi se llaman opuestos.
Los números complejos z = a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.
Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma
componente imaginaria.
Representación gráfica de números complejos
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el
Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa:
Por el punto (a,b), que se llama su afijo,
z
Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje
imaginario, Y.
3. Operaciones con números complejos en
la forma binómica
Suma y diferencia de números complejos
La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales
entre sí y partes imaginarias entre sí.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i
Multiplicación de números complejos
El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2
= −1.
(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
(5 + 2i) · (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2
= 10 − 11i + 6 = 16 − 11i
División de números complejos
El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es,
multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.
Números complejos en forma polar
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de
coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.
4. Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se
designa por arg(z).
.
Expresión de un número complejo en forma polar. z = rα
Números complejos en forma trigonométrica.
A partir de la forma polar es muy fácil pasar a una nueva forma denominada
trigonométrica.
a + bi = rα = r (cos α + i sen α)
Binómica z = a + bi
Polar z = rα
trigonométrica z = r (cos α + i sen α)
5. Ejemplos: Pasar a la forma polar y trigonométrica:
z = 260º
= 2(cos 60º + i sen 60º)
z = 2120º
=2(cos 120º + i sen 120º)
z = 2240º
=2(cos 240º + i sen 240º)
z = 2300º
=2(cos 300º + i sen 300º)
z = 2
z = 20º
=2(cos 0º + i sen 0º)
z = −2
z = 2180º
=2(cos 180º + i sen 180º)
z = 2i
z = 290º
=2(cos 90º + i sen 90º)
z = −2i
z = 2270º
=2(cos 270º + i sen 270º)
6. Pasar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma
trigonométrica
rα = r (cos α + i sen α)
z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)
Números complejos iguales
Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.
Números complejos conjugados
Dos números complejos son conjugados si tienen el mismo módulo y el opuestos sus
argumento.
Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se
diferencian en π radianes.
7. Números complejos inversos
El inverso de un número complejo no nulo, tiene por módulo el inverso del módulo y por
argumento su opuesto.
Producto y cociente de complejos en forma polar
La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos.
645° · 315° = 1860°
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.
645° : 315° = 230°
Interpretación geométrica del producto de números complejos.
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.
rα · 1β = rα + β
Potencia de número complejo
8. La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n-ésima del módulo.Su argumento es n veces el argumento dado.
(230°)4
= 16120°
Esta operación conviene hacerla siempre en forma polar.
A partir del modo de cálculo de las potencias de números complejos se obtiene la Fórmula
de Moivre
Raíz de números complejos
La raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la en raíz enésima del módulo.
Su argumento es:
k = 0,1 ,2 ,3, … (n-1)
Al igual que las potencias, las raíces conviene que se hagan expresando el número
complejo en forma polar.
9. EJERCICIOS
1 Calcular todas las raíces de la ecuación: x6
+ 1 = 0
2 Realiza las siguientes operaciones:
3 Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.
4Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones 1 + 2i y su conjugado.
5Calcula , dando el resultado en forma polar.
10. 6 Calcula el valor de , y representa los afijos de sus raíces cúbicas.
7 Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:
8 Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:
14 + 4i
2−2 + 2i
9 Calcular todas las raíces de la ecuación: x5
+ 32 = 0
10Calcula k para que el número complejo que obtenemos al dividir esté representado en
la bisectriz del primer cuadrante.
11 Halla el valor de k para que el cociente sea:
1.-Un número imaginario puro. 2.-Uno número real.
12 Se considera el complejo 2 + 2 i, se gira 45° alrededor del origen de coordenadas en
sentido contrario a las agujas del reloj. Hallar el complejo obtenido después del giro.
13 Halla las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen de
coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.
14 Determina el valor de a y b para que el cociente sea igual a:
15 Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido antihorario
alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i.
16 Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de coordenadas,
sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).
17 La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y
la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y polar.