Complejos+de 55 ejercicios resueltos Banhakeia

**
** Z a bi
**
**
,
. .
.
, ,
,
,
. , ,
, ,
,
**
, , , , ,
,
, , , ,
**
, ,
,
.
. .
. .
. .
.
.
:
. .
. .
. .
/ ,
.
exp
numero
numeros
Antes de entrar en el tema hagamos una reflexion
grados
ejemplo grados
grados grados
ejemplo grados grados
ahora que pasa se damos dos veces giro de grados
ejemplo grados grados
se soluciono este problema en matematica haciendo a i ojo nunca se puede escribir
i tambien sabemos que i i i
lo cual nos indica que que es incierto el i es un imaginario
Son de la forma donde a b
a parte real b parte imaginaria la resion se llama
El conjunto de los complejos es
Z i Z Z o bien Z o bien Arg Z k k
Z Z Z o bien Z o bien Arg Z k k
de Z se presenta por Z a bi es Z a bi
i i i i i i i i i
Para calcular i se coge n
si el resto es i i i i
si el resto es i
Sean dos numeros complejos Z a bi y W c di
Z W a bi c di ac adi bci bd ac bd ad bc i
W
Z
c di
a bi
c di
a bi
c di
c di
c d
ac adi bci bd
c d
ac bd bc ad i
Z Z a bi a bi a b
giro de giro de
a a a a
i
Propiedades
ver imagen para entenderlo mejor
numero giro de numero
giro de
a a
El motivo por el cual no se puede escribir es el seguiente
conjugado opuesto
Potencias de i
numero giro de giro de numero
giro de giro de
a a a a
Z a bi
a bi forma Binomica
a bi a b
Z W b d
a c
Z W a c b d i Z W a c b d i
Z W ac bd ad bc i W
Z
c di
a bi
c d
ac bd
c d
bc ad
i
90
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
0 2
0
1 1 1
4
1 2 3 1 2 1 3
0 1
2 90 90 2
2 2 2 2 1
1
180
2 180 2
2 2 1
1
180 180
2 180 180 2
2 2 2 2 1
R
R C
C R
R Z
R Z
n
n
a a
a
a a
2 2
2
0 1 2 3 4 5
2 3
2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2 2 2
+
+
+
( A A A
(
( (
(
( (
,
d
d d
d d
'
d
= +
6
6
1
r
r
r
= = - -
=- = = - - = - - = =
- =
=- = = +
= = =
= - - =- -
= = =- =- = =
=- =-
=
= + = +
= + + = + + - = - + +
= +
+
= +
+
-
-
=
+
- + +
=
+
+ + -
= + - = +
=-
=- =- =-
=-
=-
=-
=- =-
-
=
=
= = =
= +
+
= +
= =
=
+ = + + + - = - + -
= - + + = +
+
=
+
+
+
+
-
= =
=
= =
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
R
Q
Q Q
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
Q
Q Q
V
V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V V
W
V V
V
V
V
V V
V
V
V V
V
V
V
V V
G
G
G
E H
6 7 8
4444444444
4 4444444444
4 6 7 8
4444444444
4 4444444444
4
6 7 8
44444444444 44444444444
6 7 8
44444444444 44444444444 6 7 8
44444444444 44444444444
:

,
:
:
, ,
.
,
**
.
** ,
** , . . ,
** .
** .
** . . . , , ,
** , . ,
mod arg
cos
Im Im
de un numero complejo Z es la longitud del vector y se representa por Z a b
de un numero complejo Z es el angulo formado entre Z y el eje x positivo Arg Z arctag a
b
imagen de abajo se ve lo que es ulo umento conjugado y opuesto
Z a bi r e r i sen
si Z a bi Z a bi Z a bi luego Z Z Z a b Z a b
el inverso de Z es Z Z Z
Z
Z Z
Z
a b
Z
Z R Z Z Z es imaginario puro Ssi Z Z
Z W Z W Z W Z W W
Z
W
Z
Z Z R Z R Z parte real de Z
Z Z i Z Z parte Imaginaria de Z
Z W Z W Z W
W
Z
W
Z
Z W Z W Z W Z W
Z Z Z Z Z Z Z Z
Z
Modulo y Argumento de un numero complejo
Modulo
Argumento
1 1
2
2
0 0 0
1
i
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2
, ,
,
A
A
, (
d
!
# $
a
a a
= +
= =
= + = = = +
= + = - - =- - = = - = + = +
= = =
+
= =-
+ = + = =
+ = =
- = =
= = = + + - -
= = = =
a
a
Q
Q
Q
Q
Q
S
Q
V
V
V
V
V
X
V

, . , , ,
: ,
.
, ,
,
.
. .
. , ,
.
! ! ! ! ! ...............
! ! ! ! ................
! ! ! ! ...............
. .
** . . . . . .
**
.
.
** . . , .
**
**
cos
cos cos
cos
cos
cos cos
int exp
arctag a
b
r Z a b
Z a bi r k i sen k e r a b k
n N z C
Arg z n Arg z
z z
z
z
z
z
Arg z
z
Argz Argz
R z C
Arg z
Arg z si
Arg z si
z z
e i sen
e e
sen i
e e
Usando las series de taylor se puede demostrar facilmente que
e i sen
e
x x x x x
x
x x x x
senx
x x x x
Z r k i sen k r n i sen n
r r r r r e r e r r e
r
r
r
r
r e
r e
r
r
e
r r r r e r e k n n kn n
r r re re r e
Z a bi
si a Arg Z arctag a
b
si a y b Arg Z
si a y b Arg Z
si a y b Arg Z arctag a
b
si a y b Arg Z arctag a
b
si a y b Arg Z
si a y b Arg Z
si a y b Arg Z Indefenido
Dist as formas para resar Z
Formula Euler
Formula de Moivre
Calculo del Argumento
Recuerda
2 2
0
0
2 2
0 1 2 3 4
0 2 4 6
1 3 5 7
2 2
2 2
0
0 0 2
0 0 2
0 0
0 0
0 0
0 0 0 2
0 0
Z
*
* *
, , , ,
, , , ,
. .
.
mod
lg exp
i k
n
n n
i
i i i i
i
x
n n n
i i i
i
i
i
n n
k n
n
n
i n n in
n n
n
k
i
n i k
n n n
i k
ulo de Z
Forma a ebraica Forma trigonometrica forma onencial Polar cartesiana
n k k
2 2
2
2
1
2
1
2
1
1 2
0 1 2 3 4
0 2 4 6
1 3 5 7
2
2
2
2
0
2 2 0
AA
AA
AA
AA
(
(
(
(
(
(
(
(
d
d d
d d
6 6
6 6
1
2
2
1
2
1 1
1 2
1
2
a
a r a r
m
m
r m
m
m m
a a a a
a a
a r a r a a
a r a r a
a
r
r
r a
r a
r a
r a
=
= = +
= + = + + + = = =
=
=
= = -
=
+
=
= + =
+
=
-
= +
= + + + + +
= - + - +
= - + - +
= + + + = +
= =
= =
= = = + = + =
= = =
= +
= =
= =-
= =
= - =
= + =
= = =
= = = =
= = =
a r
a
a
a a a a
a
a b a b
a b a b
b
a
a b
b
a
a b
a a r a
a a
a a r
a a r
a r
r r
+
- -
+
+
-
-
+
+
+
+
= =
l
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
S
S
T
Q Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
V
X
V
V
V
V V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
X
X
V
V VY
V
V
V
V
V
V
V
"
"
%
%
Z
[

]
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Z
[

]
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]
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]
]
]
]
Z
[

]
]
]
]
]
]
]
]
F
G
G
I
6 7 8
4444444444444444444 4444444444444444444
6 7 8
44444444444 44444444444
6 7 8
44
4 44
4
L
M K M

:
**
**
** ,
Sean los n¼complejos :
z 1 i ; z 1 i 3 ; z
z
z
Halla sus modulos y argumentos y sus formas polares trigonometricas y exponenciales.
Determine la parte real e imaginaria de z y cual es su afijo.
Deduzca los valores de cos
12
y sen
12
Ejercicio
Ejercicio
, ,
Recuerda
.
Z a b , Arg Z arctag
a
b
, z z , Arg z n.Arg z
w
z
w
z
Arg
w
z
Argz Argw Z a bi r e r cos i.sen
: ,
. . . . . . . . . . . .
,
. . ,
. . .
.
. . . . . . . . . . . .
:
Respuesta
1
2
3
Respuesta
cos
cos cos cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos cos
cos
cos cos cos
cos cos cos
Resolved en las ecuaciones seguientes
z i i z i z iz i
z i z
i
z
i
i z i z
i
i
i
i
i
i i i
i z i
z iz i sea z a bi z a bi
a bi i a bi i a bi ai b i
a b i a b i
a b
a b
a b
luego z i
Ejercicio
a b c
Recuerda Z a bi Z a bi Z a bi Z Z Z a b
a ib c id
b d
a c
a
b
c
Respuesta
Sabiendo que z z t t
Demuestra que z z
z z t z z t z z t
t t sabemos que t t
t t lo que implica que
luego z
t i t i t t i sen t
t i sent
z nt i sen nt y z z nt i sen nt nt i sen nt
Por ultimo z z nt i sen nt nt i sen nt nt
5 4 1 1 0 3 2 5 3
5 4
5
4
5 5
4
5
1 1 0
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
3 2 5 3 1
1 3 2 5 3 3 3 2 2 5 3
1 3 2 2 3 5 3
2 3 3
3 2 5
2
3
3
2
3
5
3
2
9 4
15 6
5
21
2
3
3
2
2
3
3
5
9 4
9 10
5
19
5
21
5
19
1
2
1
1
2 1 2 2 1 0
2 4 1 1 4 1 1 1 0 1
0 4 4 4 4 4 0 0
2
2
2
2 4 1
2
2 4
1
1
2
1 C
R
R
R
3
1 2 3
2
4
1
5
2 2 n n n
i
Algebraica polar exponencial trigonometrica
n
n
n
n
n
n
n
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
, ,
, ,
,
, ,
, (
, ,
,
, ,
+
, ,
d
d
! ! !
!
! ! "
! " d
= - = - =
= + = = = =
= = - = + = = = +
-
-
-
# # # #
# # # # #
r r
a
a a
D
D
D
= - + + - = + = -
= - = - = +
+ + - = =
+
-
=
+
-
-
-
=
-
=
-
=- =
+ = - = + = -
- + + = - - + - = -
- + - = -
- =-
- =
=
-
-
- -
-
=
- +
- -
= =
-
-
-
=
- +
- -
=
= +
= + = - - =- - = = +
+ = +
=
=
+ = +
- - - - - - - - - - - - -
+ =
+
+ = + = - + =
= - - = - -
- -
=
-
=
-
= ==
= = = - - =
=
- - - - - - - - - - - - -
-
a
a
-
Q
Q
Q
Q
S
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q Q
R
Q Q
Q
Q
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
V
V
V
V V
V
V
V
V
V
V
V V
W
V V V
V
F
F
6 7 8
4444444
4 4444444
4
M K L

4¼cuadrante
4¼cuadrante
z 1 i
Arg z arctag
1
1
4
z 1 2
z
afijo de z es 1, 1 , Parte real 1 Parte Imaginaria 1
z 1 i 3
Arg z arctag 3
3
z 1 3 2
z 1 i 3 2 cos
3
i.sen
3
2e 2
afijo de z es 1, 3 , Parte real 1 Parte Imaginaria 3
z
z
z
2e
2 e
2
2
e
e
2 e e
4
2
e
z
z
z
16 cos
3
4
i.sen
3
4
4 2 cos
4
5
i.sen
4
5
4 cos
3
i.sen
3
2 cos
4
i.sen
4
z
4 cos
3
i.sen
3
2 cos
4
i.sen
4
4
2
2
1 i 3
2
2 i 2
4
2
1 i 3
2 i 2
1 i 3
1 i 3
z
4
2
4
6 2
i
4
6 2
z
4
2
cos
12
i.sen
12 4
2
e
4
2
afijo de z es
4
6 2
,
4
6 2
, Parte real
4
6 2
Parte Imaginaria
4
6 2
z
4
2
4
6 2
i
4
6 2
4
2
cos
12
i.sen
12
cos
12 4
6 2
sen
12 4
6 2
1 2
1
1 i 2 cos 4 i.sen 4 2 e 2
,
. . . . . . . . . . . .
,
:
3
,
exp lg
exp
cos
lg
cos
Ejercicio
Recuerda
Respuesta
en el apartado anterior se ve que
se concluye que
Sea z i escribir en forma trigonometrica onencial y a ebraica
z i e e e e e k forma onencial
z e i sen i sen k k forma trigo
z i sen k i forma a ebraica
e a i i sen e
2 2 2 2
2 2
2 2
Z
Z
2 2
i 4
4
. . . .
algebraico
trigonometrico
exponencial polar
.
1
1
1
1
1
2
2
2
2
i
3
3
2
3
2
4
1
5
i
3
4
i
4
5
8
5
i
3
4
i
4
5
3 i
12
15 i
12
16 i
12
3
2
4
1
5
3
3
3
i
12
12
3
3
ln ln ln
ln
i
i i i i i e i i k k
k
a i
2 2
2 2
2 2
2
i i 2
d
d
= -
=
-
=
-
= + =
= = = =
- = =-
= -
= - =
-
= + =
= - =
-
+
-
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- = =-
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-
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-
-
+
-
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+ - +
+ - +
=
- +
- +
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- +
- +
=
- +
- +
- -
- -
=
+
+
-
= + = =
+ -
=
+
=
-
=
+
+
-
= +
=
+
=
-
-
-
-
+
-
r
r
r r
r r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r r
r
r
r
r r
- - - - - - - - - - - - -
=
= = = = = =
= = - + - =- +
=- + =-
= = + =
-
-
-
-
-
-
-
-
- -
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r r
r
r
+ - +
- +
r
S
Q
Q
Q
Q
S
S
T
S
R
S
Q
R
Q
Q
Q
T
S
S
Q
S
S
R
S
R
R
S
Q
Q
Q
Q
S
Q
S
T
T
S
Q
T
S
Q
S
T
S
R
R
Q
Q
Q
Q
S
R
Q
Q
R R
S
V
V
V
V
X
X
X
W
W
V
V
V
V
V
W
X
X
X
W
W
X
X
X
V
V
Y
V
Y
X
X
X
V
X
V
V
Y
V
Y
Y
V
X
W
X
W
V
V
Y
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X
W
X
X
V
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W W
X
"
"
!
"
"
"
$
%
%
%
%
%
G
G
E F
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
B E F
BBBBBBB
B E F
BBBBB
B
)

.
, , , ,
.
( ) ( ) / ,
( ) ( ) / ,
( ) ( ) / ,
Sea los numeros¼complejos z 3 i y z 1 i
calcula los modulos y argumentos de z , z y z
z
calcular los modulos y argumentos de z , z y z
z
1 exp
cos cos cos cos
exp
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
poniendolos en forma trigo y o
deducir los valores de sen sen sen sen
poniendolos en forma trigo y o
z i i i sen e
Modulo z Argumento z y k k
z i i i sen e
Modulo z Argumento z y k k
z
z
e
e
e e i sen
Modulo z
z
Argumento z
z
y k k
Deducir los valores de y sen
z
z
i
i
i
i
i
i
i i
i i
i
z
z
i sen
igualando y i sen i
sen sen sen
sen sen sen sen
ya que
sen
sen sen sen ya que
sen sen sen
sen sen sen sen
Ejercicio
Respuesta
a
b
a b
x x
sen x sen x
12
5
12
5
12
7
12
7
12 12 12
11
12
11
3 2
2
3
2
1 2 6 6 2
2 6 2
1 2
2
2
2
2
2 4 4 2
2 4 2
2
2
2
2
2 2 12
5
12
5
2 12
5
2
12
5
12
5
1
3
1
3
1
1
1 1
3 3 1
2
1 3 1 3 1
2 12
5
12
5
2 12
5
12
5
2
3 1
2
3 1
2 12
5
2
3 1
12
5
2 2
3 1
12
5
4
6 2
2 12
5
2
3 1
12
5
2 2
3 1
12
5
4
6 2
12
7
12
5
12
5
4
2 6
12
7
4
2 6
12
7
12
5
12
5
4
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12
7
4
6 2
12 2 12
7
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7
12 2 12
7
12
7
4
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12 4
6 2
12 2 12
7
2 12
7
12 2 12
7
12
7
4
2 6
12 4
6 2
12
11
12 12 4
6 2
12
11
4
6 2
12
11
12 12 4
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12
11
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2
1
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1
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-
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7
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r
r r
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r
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r r
a a a
r
r
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r r
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r r r r r
r r r r r
r r r r r
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S
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X
X
X
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Y
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X
X
X
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mod arg
mod arg
cos
cos
cos
cos
cos cos tan
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
calcula el ulo y umento del numero complejo
z i n y para que valores de n z
calcular el ulo y umento del numero complejo
z i i i sen aplicando la formula de Moivre
z
n
i sen
n
e esto nos indica que
Modulo z Argumento z y k
n
k
para que valores de n z es un numero real
z
n
i sen
n
es real si y solo si sen
n
sen n
k
n
k
siendo k
n k
n
k
siendo k
n
k k n k k
asi que n tiene que ser multiplo de
Sea el numero complejo z i i
demostrar que z e y deducir los valores exactos de y sen
verificar que z i
deducir las soluciones de la ecuacion E z i
z i i i i i i
z i sen i sen e e e por lo to z e
z i i i i i
z i sen i sen
verificar que z i
z e z e e i sen i sen
z i sen i sen i i
z i
deducir las soluciones de la ecuacion E z i
fijandonos en el apartado de arriba se ve que z i sen z i sen
z e k i sen k aplicando moivre queda de la seguiente manera
z
k
i sen
k k
i sen
k
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
y
Respuesta
1 3
1 3 2
2
1
2
3
2 3 3
2 3 3 2
2 3 2
2 3 3 3 0
3 2
3 0 2
3
2 1
3 2
3 3
3
2
2
1 3
2 12
5
12
5
8 1 3
8 1 3
2
2
1 3 2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
1 2
2
2
2
2
2
3
2
1
2 4 4 6 6 2 2 2
2
2
2
2
2
3
3
2
1 2
4
6
4
2
4
6
4
2
2
4
6 2
4
6 2
2 12
5
12
5
2
4
6 2
4
6 2
12
5
4
6 2
12
5
4
6 2
8 1 3
2 2 2 2 3
5
3
5
2 2 3 2 3
2 3 3 2 3 3 2
2
1
2
3
2 1 3
8 1 3
8 1 3
2 3 3 2 3 3
2 2 3 2 3 2
2 4
2
4
2
2 12 2 12 2
1 2
3
4
1
2
1
2
3
4
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R Z
Z
Z Z Z
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n
n
n
n
n
n n
n
n n i
n
n
n
n
n
n
n
i
i i i i
i i i
i
3
12
5
4
4
4 6 12
5
12
5
4
12
5
4 4
12
5 4 4 3
5
4 4
4 4 4 4 3
4
4
4 4 4
4
1
4 3
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1 4
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d d
d
d d d
7
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r r
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r r
r
r r
r r r r
r r r r
r r
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r
r
r r r r
r r r r
r
r
r
r
r r r r r r
r r
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= + + = = =
= + + = + + - =
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S
S S
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cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
tan
Ejercicio
Ejercicio
Recuerda
Recuerda
Respuesta
Respuesta
Para k z i sen i sen
k z i sen
sen i
i sen
z i por el apartado
de las igualdades y se constata que sen y sen
asi que z i sen i
k z i sen i sen z i
k z i sen i sen
z i sen sen i z i
calcula la raiz cuadrada del numero complejo i
Sea z x i y tal que z i x i y i x y xy i i
xy
x y
tambien podemos deducir de la ecuacion que z i
z i z x y
uniendo las ecuaciones queda de la seguiente manera
xy c
x y b
x y a
sumando a b x x x
res do b a y y y
de la ecuacion c podemos deducir que x y que x e y son de mismo signo
asi que las soluciones son x i y i
i
calcula la raiz cuadrada del numero complejo i
Sea z x i y tal que z i x i y i x y xy i i
xy
x y
tambien podemos deducir de la ecuacion que z i
z i z x y
uniendo las ecuaciones queda de la seguiente manera
xy c
x y b
x y a
b
a
a b
Observacion
z a bi z a b z z a b
z a bi z a b z z a b
0 2 12 12 2 12 12
1 2 12 2 12 2
2 12 12
2 12
5
12
5
2
4
6 2
4
6 2
2
12
5
12 12
5
12
2 12 12 2
4
6 2
4
6 2
2 2 12 12 2 12 12 2
4
6 2
4
6 2
3 2 12 2
3
12 2
3
2 12 2 12 2
2 12 2 12 2 2 12 12 2
4
6 2
4
6 2
5 12
5 12 1 5 12 2 5 12
2 12
5
2 1 5 12
5 12 5 12 169 13 13 3
2 3
2 12
13
5
2 8 4 2
2 18 9 3
0
2 3
2 3
7 24
7 24 1 7 24 2 7 24
2 24
7
2 1 7 24
7 24 7 24 625 25 25 3
2 3
2 24
25
7
2
2
1
2
2
1
3 3
4
4 4
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
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Ejercicio
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Respuesta
Respuesta
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cos cos
lg
lg
cos
lg
cos cos
cos
lg
cos
lg
cos
cos
cos cos
cos
Ejercicio
sumando a b x x x
res do b a y y y
de la ecuacion c podemos deducir que x y que x e y son de signo opuesto
asi que las soluciones son x i y i
i
sea z i para que valores de n z
i i i sen por seguiente
z i sen
n
i sen
n
asi que z es real si y solo si sen
n
sen
n
sen n
k
n
k n
k k
Sea z i
i
y z i
hallar sus formas a ebraicas y trigonometricas
Escribir z z en forma a ebraica y trigonometrica
deducir los tres valores trigonometri de
z i
i
i
i
i
i i
i forma a ebraica
z i i i i sen i sen
z i sen forma trigonometrica
z i i i i forma a ebraica
z i i sen forma trigonometrica
z z i i i i i forma a ebraica
z z e e e i sen forma trigo
z z i sen i
sen sen
tag
sen
n k k
2 18 9 3
2 32 16 4
0
3 4
3 4
1
1 2
2
2
2
2
2 4 4
2 4 4 2 4 4 4 0
4 0 0
4 2
4 2
4
1 6 2 3
1
2
3 12
11
1 1 1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2
2
2
2
4 4 2
2
4 4
2
2
4
3
4
3
6 2 3 36 12 12 3 2 3 3
4 3
2
3
2
1 4 3 6 6
2
1 1 2 3 3 3 3 1 3 3 1 3 1 3
2
2
4 3 2 6 2 6 12
11
12
11
2 6 12
11
12
11
3 1 3 1 3
2 6 12
11
3 1 3
2 6 12
11
3 1 3
12
11
2 2
1 3
4
2 6
12
11
2 2
1 3
4
2 6
12
11
12
11
12
11
4
2 6
4
2 6
2 6
2 6
2 6
2 6
2 3
1
2
3
4
R
Z Z
n
n
n
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2 2
2 2
1 2
1 2
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1
1
2
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4
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11
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S
R
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R
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R
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X
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Ejercicio
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Respuesta
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cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
Ejercicio
Ejercicio
Recuerda
Respuesta
Respuesta
Demuestra que z x i senx
x i senx
i es decir un imaginario puro
x x
sen
x x
senx senx x
z x i senx
x i senx
x
isenx x
sen
x
isen
x x
x x
i sen
x
i sen
x
i sen
x x
x x
i sen
x
i sen
x x
i sen
x
z i tg
x
calcula la raiz cuadrada de i
Sea x i y la raiz cuadrada de i x i y i x i y i
a
x i y i
x y xy i i
x i y i
xy
x y
x y
xy
x y
xy
x y
x y
x x y y xy x e y signo
asi que la solucion es z i y z i
i i i sen i sen
i i sen i sen
k i sen k k i sen k
k z i sen i i
k z i sen i sen i
Resuelve la ecuacion seguiente z
z i sen z
k
i sen
k
z
k
i sen
k
por ultimo el conjunto de soluciones son
Para k z i sen i
Para k z i sen i sen i
Otro metodo
Recordatorio
z z x iy x iy y y
x x
z z z z z z
a
3
3
2
1
1
1
2 2
1
2 2
1
2
1
1
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 3
1 3 1 3 1 3
1 3
2 1 3
1 3
2 3
1
2
2 3
1
2 3
2
1
1 2 2 3 2
6
2 1 2 1 2
2
0
2
6
2
2
2
6
2
2
1 3 2
2
1
2
3
2 3 3 2 3 3
1 3 2 3 3 2 3 3
2 3 2 3 2 2 6 6
0 2 6 6 2
2
3
2
1
2
6
2
2
1 2 6 6 2 6 6 2
6
2
2
16 0
16 16 1 16 16 4
2
4
2
2 4
2
4
2
0 2 4 4 2 2
1 2 4
3
4
3
2 4 4 2 2
2 2 4
5
4
5
2 4 4 2 2
3 2 4
7
4
7
2 2 4 2 4 2 2
R
2 2
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
2
1
2
1
1
2
4
4 4
4
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3
3
2 2
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- - - - - - - - - - - - -
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- + = -
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= - =- +
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+ =
-
+ +
-
+
= =
-
+
-
= - = -
= =
-
+ +
-
+ = - + - +
- - - - - - - - - - - - -
+ =
=- = - = + =
+
+
+
=
+
+
+
= = + = +
= = + = - + - =- +
= = + = + + + =- -
= = + = - + - = -
= + = + =
=
= = =
l l l l
l
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S
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S
S
S
S
S
W
V
X
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X
X
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X
X
X
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X
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X
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Z
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G
G

Ejercicio
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. . . .
. .
: . .
. . .
.
,
min
min
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
Sea la ecuacion E z i z i z i una de las soluciones es z
encuentra las otras dos
Conociendo una de las soluciones que es z utilizaremos el esquema de Horner para factorizar
Esquema de Horner o bien por Rufini
i i i
i i
i i i
z i z i z i z z i z i
z i z i calculando el discri ante de la ecuacion
i i asi que z
i
i
i
las soluciones de la ecuacion E son i i
sea P z iz i z i z i
Demuestra que la ecuacion P z tiene por solucion un imaginario puro
hallar las otras soluciones
sea z la solucion tal que z a i a esto implica que P a i
P a i i a i i a i i a i i
a a a i a i a i i
a a
a a a
a a a a
a sustituyendo en se comprueba que a
asi que podemos afirmar que P z es divisible por z i
Para hallar las otras soluciones basta con factorizar
P z z i i z az b iz i z i z i
resolviendo se halla el valor de a y b pero yo voy a utilizar el esquema de Horner
i i i i
i i i
i i i i
Asi que P z iz i z i z i z i iz i z i
Ahora resolvamos la ecuacion iz i z i
El discri ante i i i i i i
i como es un numero complejohallemos su raiz cuadrada
Ecuaciones de segundo grado ax bx c
Esquema de Horner
RECORDATORIO
si x a
b
si x a
b i
si se calcula la raiz cuadrada de de los resultados y se escoge uno de ellos
2 1 3 1 0 1
1
1 2 2 3 1
1 1 1 2 1
1 1 2 1 0 0
2 1 3 1 0 1 1 2 1 0
1 2 1 0
1 2 4 1 1 1 2
1 2 1 1
1 1
2 2 10 4 56 51 27 96
0
0
0 2 2 10 4 56 51 27 96 0
2 20 8 56 51 27 96 0 0
8 56 96 0 2
2 20 51 27 0 1
2 8 56 96 0 7 12 0
7 4 1 12 1 2
7 1
3
4
1 3
3
3 2 2 2 10 4 56 51 27 96
2 20 8 56 51 27 96
3 6 24 42 27 96
2 14 8 32 9 0 0
2 2 10 4 56 51 27 96 3 2 14 8 32 9
2 14 8 32 9 0
14 8 4 2 32 9 196 64 72 224 256 60 32
60 32
1
2
1
2
0 2 0 2
2
0
R
C
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3 2
3 2 2
2
2
2 3
3 2
0 0
3 2
3 2 2
2
3 2
2 2
2
2 3 2
3 2 2
2
2
1 2 1 2
2
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1
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b
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D
D
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D D
D
D
D
D
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- - -
- - - +
- - - + +
- + + + - = - - + - + =
- + - + =
= - + - - + = =
+
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+
+
- - - - - - - - - - - - -
= + + + - - -
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= + + + - - - =
- - + + - - = +
- + - =
- + - =
- + - = - + =
= - - = = = =
-
= - + + = + + + - - -
+ - - -
- - + +
+ - +
= + + + - - - = - + + + -
+ + + - =
= + - - = - - + - = -
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-
-
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- -
+ + =
Q
Q
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E
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G
G
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int
exp
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
mod
cos cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
Ejercicio
Recuerda
Respuesta
sea x i y i i x i y i
x y
xy
x y
x y xy i i
xy
x y
x y
la segunda ecuacion nos indica que x e y son de dist o signo
x x x
y y y
asi que tenemos i y i cogiendo una de ellas por ejemplo i
iz i z i
z i
i i
i
i i i
i
i i i
Por ultimo la solucion es i
i i
Escribir en forma onencial y trigonometrica el complejo
z x i senx
x i senx
sea z x i senx
e e
i i
e e e e
e
e
i i
e e
e
e
z
e
e
e
e
e
e
e
sea z x i senx
e e
i i
e e e e
e
e
i i
e e
e
e
z
e
e
e
e
e
e
luego z e
e
e
e e
e e nx i sen nx
z x i senx
x i senx
z
z
se observa que z es el conjugado de z asi que z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
r
z
siendo r ulo de z
z
r
r i sen
r
r n i sen n
n i sen n
Para obtener z en funcion de x sabemos que z x i senx tg x
senx
arctg x
senx
arctg
x
sen x
arctg
x
x
arctg
x
x x
arctg x
x
arctg tg
x
otro metodo
x
e e
senx i
e e
z z z z a b i tg a
b
Argz
60 32 60 32 60 32
68 3
2 32 2
60 1
2 60 32
2 32
60
60 32 4624 68
2
1 3 2 128 64 8
3 1 2 8 4 2
8 2 8 2 8 2
2 14 8 32 9 0
4
14 8 8 2
4
14 8 8 2
2
3 11
4
14 8 8 2
2
5 3
3 2
5 3
2
3 11
1
1
1 1 2 2 1 2 2
1
2
1
2
1
1
2
1
1 1 2 2 1 2 2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2 2
2 2
1 1 1
1 1
1
1
1 1
1
1
2
2 2
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ix ix ix ix ix ix
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ix ix ix
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ix
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ix
ix
ix
ix
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ix ix ix ix ix ix
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ix ix ix
ix
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ix
ix
ix
ix
ix
ix
ix n
ix
ix ix n
ix n inx
n n n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
ix ix ix ix
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
1 2 1
2
2 3
1
1
2 2 2
2
2
2 2
2
1
2 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
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d d d
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a a
a a
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a a
D D
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+ =
=-
- =
- + = -
=-
- =
= = + = + - = =
+ = = =
- = = =
= - =- + = -
+ + + - =
=
- - -
= - - - +
=
- +
- - + -
=
- +
- + - +
- - - - - - - - - - - - -
= + -
+ +
= + + = +
+
+
-
= +
+
+
-
= +
+
+
-
= + = +
= + - = +
+
-
-
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+
-
-
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+
-
-
= + = +
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=
+
+
= = = +
= + -
+ +
= =
= = = =
=
+
=
+
= +
= + + = + = +
=
+
= +
-
= +
- +
= +
-
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=
-
= = + = =
- - - -
- - - -
-
- -
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- -
S
S
T
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Q
Q
T
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Q
Q
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Q
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Q
Q
Q
Q
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V
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V
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Y
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Z
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G
G
J

Calcula los ¼complejos seguientes en forma binomica,trigonometrica,polar e exponencial
obteniendo a la vez sus opuestos y conjugados y por ultimo representalos graficamente.
z 3 , z 2 2i , z 3 i , z
1 3 i
i
, z
1 i
1 i 3i
Ejercicio
Ejercicio
1 2 3 4 5
,
.
.
,
.
,
. . .
. . . . . . . . . . . .
, .
, . , ,
. .
,
.
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. . ,
. . . . . . . . . . . .
Respuesta
cos cos cos
lg exp
cos
lg
cos cos cos
exp
lg
cos cos
exp
lg
cos
cos cos
x
luego z n i sen n n
x
i sen n
x
z nx i sen nx e
Sean z i
i
z i
i
escriba z z y z z en forma a ebraica trigonometrica onencial y cartesiana
deducir los valores de y sen
z i
i
i
i i i i i
i forma a ebraica
z i sen i sen i sen forma trigonomertica
z e forma onencial z forma cartesiana
z i
i
i
i i i i i forma a ebr
z i i sen i sen forma trigo
z e forma o z i z forma cartesiana
z z i i i i i forma a ebr
z z e e e i sen z z cartesiana
se deduce que
sen sen
numeros
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 3 1 3
1 2
3 2 2
12
23
12
23
2 2
1 3 1 3
1
1
4
1 3 3 3 1 3
2
1
2
3
3 3 3 3 3
2
3
2
2
1
2
3
1 2
3 2 2
1 2
1 2
5
1 3 2 2 6 2 2 2 5
2
5 5 2 2
2
2
2
2
2
2 4 4 2 4
5
4
5
2 2 2 2 2
2
1
2
3
2 2 2
2
1 3 1
2
2
1 3 1 3
2 2 2 12
23
12
23
2
2 6
2
2 6
2 12
23
2
2 6
12
23
4
2 6
2 12
23
2
2 6
12
23
4
2 6
1
2
1
2
.
.
a b c d
90
e
53
inx
i
i
i i i
1 2
1 2 1 2
1
1
1
3
2
1
2
2
2
4
5
2 2
1 2
1 2
3
2
4
5
12
23
1 2
,
,
,
,
=- = + = - =
-
=
+
- -
a a a
r r
r r r
r
r
r r r
r
r
r
r r r
r r
r r
r r
= = + = + = + =
- - - - - - - - - - - - -
= -
- + + +
=- -
-
= -
- + + +
+
+
=
- + - + + + - -
=
-
+
=- + = - + - = +
= -
=- -
-
+
+
=- - + + =- + =- -
= - - = + + + = +
= =- - - -
= -
+ - - = - + = + + -
= = = +
+ -
=
+
=
+
=
-
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-
- - - - - - - - - - - - -
-
-
r
r
r r r
T
T
R
R
R
R
R
S
S
R
T
R
S
S
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R
T
S
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Q
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Y
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W
W
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X
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:
:
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
z z z Arg z Arg z Arg z Arg z
z i sen e
Conjugado z i sen e
Opuesto z i sen e
z i
Arg z arctag
z
z i sen e
Conjugado z i i sen e
Opuesto z i i sen e
z i
Arg z arctag
z
z i sen e
Opuesto z i i sen e
z
i
i
calculemos antes i i i asi que
z
i
i
i i i
i i
z
i
Arg z arctag
z
z
i
i sen e
Conjugado z
i
i sen e
Opuesto z
i
i sen e
z i
i i
calculemos antes i i i i i asi que
z i
i i
i i i sen e
Opuesto z i i sen e
Respuesta
Recuerda
3 3 1 3 3 3
3 3 3 3
3 3 0 0 3 3
2 2
2
2
1 4
2 2 8
8 4 4 8 8
2 2 8 4 4 8 8
2 2 8 4
5
4
5
8 8
3
3
1
3
3 1 2
2 3 3 2 2
3 2 3 3 2 2
3 2 3
2
3
2
2 2
1 3
1 1 1
1 3 1 3
1
1 3
1
1 3
1 3
4
1 3
4
1 3
4
1
4
3
3 3 3
2
4
1
4
3
4
1
2
1
4
1 3
2
1
3
2
3
2
2
1
2
1
4
1 3
2
1
3
2
3
2
2
1
2
1
4
1 3
2
1
3 3 2
1
2
1
1
1 3
1
1
1 3
3 3 3 2 2 3 3
3 3 2 2 3 3
3 3 2 2 3 3
1
2
3
4
5
.
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.
.
.
.
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a
i
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b
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i
c
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d
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cuadrante
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i
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d
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0
0
1
2 2
4
4
4
4
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5
4
5
4
2 2
3
3
3
3
3
2
3
2
90
90 4 22 2
90
3
2
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
3
53
53 4 13 1
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2
2
2
2
2
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r
r
r
r
r
r
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1 2 3
444
4 444
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1 2 3
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mod arg
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cos
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cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
Sea el numero complejo z i
a Halla el ulo y umento de z
b Halla su forma trigonometrica polar e onencial
c Halla ulo y Argumento de las raices cubicas de z
z i i
Arg z arctag
z
z i i sen e
z i sen aplicando de Moivre
z
k
i sen
k
k i sen k
para k z i sen z
Arg z
z
para k z i sen z
Arg z
z
para k z i sen z
Arg z
z
Calcula z
z i sen hay soluciones de z
z k i sen k
k
i sen
k
k
para k z i sen i i
para k z i sen i i
para k z i sen i sen i i
para k z i sen i sen i
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
Respuesta
a b
c
z hay n soluciones de z
Recuerda
2 1
2 1 2 2
2
2
4 4
3
2 2 4 2
2 2
2
2
2
2 4
5
4
5
2 2
2 4
5
4
5
2 3
4
5
2
3
4
5
2
2 12
5
3
2
12
5
3
2
0 2 12
5
12
5
12
5
2
1 2 12
13
12
13
12
13
2
2 2 12
21
12
21
12
21
2
64
64 64 1 64 6
64 2 2 64 6
2
6
2
0 2 6 6 2 2
3
2
1
3
1 2 2 2 2 0 1 2
2 2 6
5
6
5
2 6 6 2 2
3
2
1
3
3 2 6
7
6
7
2 6 6 2 2
3
2
1
3
4 2 6
9
6
9
2 2 2 2 2
5 2 6
11
6
11
2 6 6 3
Z
.
tercer cuadrante
i
n
2 2
4
5
4
5
3 3 3
1
3 3 3
0
3
0
0
0
3
1
3
1
0
0
3
2
3
2
0
0
3
6
6 6 6
1
6
1
6
0
1
2
6 6
3
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4
6
3
6
3
5
2 6 2 6
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mod arg exp
exp
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Halla las Raices cubicas de la unidad
z z z z z
z z
z
z z b ac z a
b i i
las soluciones son z z
i
z
i
z z i sen
k
i sen
k
k Z
para k z i sen
para k z i sen i sen i sen
z
i
para k z i sen i sen i sen
z
i
Hallar ulo y umento de z i
i
z y z y resalos en su forma
trigonometrica onencial y binomica
sea z i
Argz arctag cuadrante
z
z e
sea z i
Argz arctag cuadrante
z
z e
z
z
i
i
Arg z
z
Argz Argz
z
z
z
z
z
z
e e
z z
z
i
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Arg z
z
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z
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z z
z
e i sen i
z z
z
Arg z Argz porque
z z
z e
z e i sen i
z z
z
Arg z Argz
z z z
z e
z e i sen i
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
Respuesta
segundo metodo
1 1 0 1 1
1 0
1
1 0 4 1 4 3 2 2
1 3
1 2
1 3
2
1 3
1 1 0 0 3
2
3
2
0 0 0 1
1 3
2
3
2
3 3 3 3
2
1 3
2 3
4
3
4
3 3 3 3
2
1 3
1
1
3 5
1
1
1
1 4
1 1 2
2
1
1
1
4 4
1 1 2
2
1
1
4 4 2
2
2
1
1
1
1
5 2
5
2 2 2
1 1
2 2 1
3 3
3 2 3 0
3 3 3
3 3
3 3 3 2 2 3 3
5 5
5 2 2
3
5 5 5 5
5 5
5 5 5 2
3
2
3
5 5
i
i
i i
i
i
i
i
porque
i
i
3 3 2
2
2 2
1 2 3
3 3 3
1
0
1
1
2
2
5
1
1
1
1
4
2
2
2
2
2
4
2
1
2
1
1 2
2
1
2
1
2
1
2 2
2
1
5 5
2
1
5
2
1
2
1
5
2
1 5 5
2
1
5
2
2
1
5
2
2
2
1
5
2
2
2
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1
5
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2
2
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ln ln ln ln ln
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Ejercicio
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
Demuestra que z i i
i
i
i
i
i
i
i i
i i sen e k
asi que z z i e i i k k k
Resuelve la ecuacion z z
Sabemos que por regla general z
e e e e
e e a
multiplicando la ecuacion a por e queda de la seguiente forma
e e sustituyendo e por a queda la ecuacion asi a a a a
a sustituyendo a por e nos queda e e i sen e
e e iz e iz i k
multiplicando por i queda la igualdad asi z k i
z i z
Hallar z z
z
z
z z
z i
i z i
z
z i i i i
i i i
Halla las raices en C de la ecuacion i z i
i z i z i
i
i
i
i
i i
i
z
Arg z arctag
z
z i sen
z k i sen k k i sen k k Z
para k z i sen
para k z i sen
para k z i sen i sen
i sen
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
Respuesta
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1 1 2
2 2
2 2
2 2 4
2
2 2 2 4 0
4 1 0 4 1 0 4 4 3 0
2 3 2 3 2 3 0 0 2 3
2 3 2 3 2 2 3
2 2 3
1 3 3
3
1 3
3
1
3
3
3
1
3
3
1
3
1 3
1
1 3
3
1 3
3
1 3
1 3
1 3
3 1 3
4
3 1 3
1 2 0
1 2 0 1
2
1
2
1
1
2
2 2
1
1
1
4
1 1 2
2 4 4
2 4 2 4 2 2 12 3
2
12 3
2
0 2 12 12
1 2 12
7
12
7
2 2 12
15
12
15
2 4 4
2 4 4
1
1
R
Z
Z R
C
i k
i k
iz iz iz iz
iz iz
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iz iz iz i
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cuarto cuadrante
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2 2
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0 2 0 2
1 2
2
1 1
2
1
1
3
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3
3
3
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0
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6 7 8
44444 44444

Hallar i , i , i
—i i 1 1 —
o bien
—i i i i —
o bien
i i i
i
1
i
1
i
1
i
i
i —
o bien
Calcula en forma trigonometrica , exponencial polar z 1 i y z
Ejercicio
Ejercicio
Recuerda e cos i.sen , cos
2
e e
, sen
2i
e e
z z
Z r cos 2k i.sen 2k r cos n i.sen n
i
i
i
Euler
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1
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1
Respuesta
1
Respuesta
i i si y solo si b
x
a
4
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i
1
mod arg
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos cos
Sea z i tag halla su ulo y umento
sen sen
z i tag i sen i sen i sen
i sen
sen
i sen
z i sen
si k k k Z
z i sen
Arg z
z
si k k k Z
z i sen
Arg z
z
y cartesiana
Sea z i z
Argz arctag
z
luego z e
z i z e e i sen
z i i z
Argz Argz
z z
z e i sen
Halla las Raices cuartas de
z i sen i sen
Ejercicio
Respuesta
De Moivre
Ejercicio
Respuesta
Recuerda
i i i i i i
resta asi que i i
resta asi que i i i
resta asi que i i
1
1
1
1 1
0 2 2 2 2
0 2 2 2
3
2
1
1
1
4
1 1 2
2
1 2 4 4 4 4 4 0
1 1
4
4 4 4 4 4 0
16
16 16 1 16 0 0 16 0 0
12 4 3 0 1
37 4 9 1
139 4 34 3
1 1
34
x b
12 37 139
12 4 3 3
37 4 9
139 4 34 3
4
34
3
4
n n
i
i i i i
n n n
n.2k 2k 0
exp
i
i i
onencial Trigonometrica polar binomica cartesiana
i
cuarto cuadrante
2 2
2 2
4
4 4
4
4
4 4
4 4 4 4
1
12 0
37 1
139 3
1 2 3 4
,
(
,
(
,
, &
d
d
= = =
= =
= = =
-
=
= -
= + =
+
=
-
=
= + + + = +
=
= -
-
=
= -
2 1 1
1 1 1
a a a a
a r a r a a
a
a a a a
a
a
a a a a
a
a a
a a
a a
a a a
a a a
a
r
r a
r
r
a a a
a
a
a
r
r a
r
r
a r a r a
r a
a
r
r r
r
r r
= +
- = - =-
= + = + = + -
-
=
+
-
= -
-
+ +
= - + -
=-
=
+ +
=- - + -
= -
=-
- - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - -
= -
=
-
=
-
= + - =
=
= - = = = = - + - = = - = -
= - = -
=- =
= =
= = + = =- = -
- - - - - - - - - - - - -
= = = + = +
= = =
= = =
- =- - =
= =- =- =
-
- - -
- -
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r
r
r
r
r
r
a
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r r
-
- -
-
- -
l l
l
l
l
l
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Q
Q
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Q
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Q
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Q
Q
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Q Q Q T
Q Q
Q Q
V
V
V
V
V
V
V
V
X
V
V
V
V
X
V
V
VV
X
V
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VV
V
V
V
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V
V
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V VV V V
Y
V V
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$
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$
Z
[

]
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]
]
G
G
G
E H
6 7 8
44444 44444
6 7 8
4444444444444 4444444444444 6 7 8
444 444
6 7 8
444444444
4 444444444
4
M L L
V
V
V

.
.
.
. .
.
. .
. .
. . . . . . . . . . . .
,
.
.
.
. .
.
. . .
. . . . . . . . . . . .
:
:
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
mod
lg
k
i sen
k
z
k
i sen
k
k Z
para k z i sen
para k z i sen i
para k z i sen
para k z i sen i sen
i sen i
Halla el numero complejo z en forma binomica sabiendo
que una de sus raices tercera es i
z i sea z i
z
Argz arctag
z
z k i sen k
z k i sen k
z k i sen k
z k i sen k i sen
i sen
z i sen i asi que z i
Halla el valor de a y b para que i
b ai
sea real y de ulo
i
b ai
lo primero la transformaremos en forma a ebraica
i
b ai
i
b ai
i
i b a i b a b a i b a
b a i b a
i
b ai b a i b a
para que sea real b a a b
sabemos que i
b ai b a i b a a b b a
a ab b a ab b
a b
a b a a a a b
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
Respuesta
16 4
0 2
4
0 2
2 2 2
0 2 0 0 2
1 2 2 2 2
2 2 2
3 2 2
3
2
3
2 2 2
2 2 2 2
1
1 1
1
1
4
1 1 2
2 4 2 4 2
2 4 2 4 2
2 4 2 4 2
2 2 4
3
2 4
3
2 2 2 4 4
2 2 4 4
2 2 4 4 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
4 4
2 2 2 2
8
2 2 2
4
2 2 4 0
2 2 4 4 4 2
16
2 2
2
16
2 2
2 16 16 8
2 2
2 2
4
0
1
2
3
3
0
0
0
0
2 2
0
3
3 3
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
A
A
A
A
(
,
( ,
,
, , , , ,
d
r r
r r
r r
r r
r r
r
r
r
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r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
-
=
+
+
+
= +
= = + =
= = + =
= = + =-
= = + = + + +
= - - =-
- - - - - - - - - - - - -
-
= - = -
=
-
=
-
= + - =
=
-
+ +
-
+
=
-
+ +
-
+
=
-
+ +
-
+
=
-
+ +
-
+ = - + -
= - -
= - - =
-
- =- -
- - - - - - - - - - - - -
-
-
-
-
-
-
= -
-
+
+
= +
+ + -
=
+ + -
=
+ + -
-
-
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+ + -
- = =
-
-
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+ + -
=
+
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-
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+ + + - +
=
+
= + = + = = = =
-
l l
Q
S
S
S
S
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S
S
S
S
Q
Q
Q
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S
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S
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S
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Q
S
S
S
Q
Q
Q
S
S
S
S
S
S
S S
S
S
Q
S
S
S
S
V
V
X
X
V
V
V
X
X
X
V
X
V
X
X
X
X
X
XX
V
V
V
VV
XX
V
X
X
X
X
X
X
X
X
XX
X
X
X
X
V
X
X
X
X
X
XX
# #
& &
G
G

Describir el conjunto de puntos del plano determinado por las seguientes ecuaciones.
a z i 2 , b z 2 z 1 , c z.z 4 , d z 3i 2 , e z 1 y Img z 0
z i 2
z i a bi i a i b 1 z i a b 1 luego z i 2 a b 1 2
a b 1 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el interior del circulo de
centro 0,1 y radio 2
z 2 z 1
z 2 z 1 a 2 b a 1 b a 2 b a 1 b
a 2 a 1
a 4a 4 a 2a 1 2a 3 2a 3 a 2
3
asi que el conjunto de puntos buscados es S a bi/a 2
3
y a,b R
z.z 4
z.z z a b 4 asi que el conjunto de puntos buscados es el exterior del circulo
de centro 0,0 y radio 2
z 3i 2
z 3i 2 a b 3 2 a b 3 4 2
asi que el conjunto de puntos buscados es un circulo de centro 0,3 y radio 2
z 1 y Img z 0
Img z 0 b 0 , z 1 a b 1 a b 1
a b 1 nos indica que la solucion es el conjunto de puntos interiores del circulo
pero cuidado b es positiva asi que la solucion es el interior del mediocirculo
. . . . . . . . . . . .
.
. . .
.
.
. .
.
.
.
Ejercicio
Respuesta:
a
b
c
d
e
Ejercicio
Respuesta:
Recuerda:
Recuerda:
Ecuacion circonferencia: x a y b r siendo a,b centro , r radio
x a y b r solucion region interna x a y b r solucion regi—
n externa
z a bi
afijo de z a,b
parte Imaginaria Img z b
parte real Re z a
z a bi z z.z
. .
cos cos
cos
cos cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos
cos
cos cos cos
cos cos
Escribir y sen en funcion de seno y eno
i sen
i sen i sen i sen
i sen
i sen
sen i sen sen
i sen
sen sen sen
sen
i sen n i sen n Moivre
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
3 3
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
n
3
3 2 2 3
3
3 2 2 3
2 3
3 2
, +
+
, , ,
,
, , , ,
, ,
, , ,
A
,
A A
,
d
- - - - =
-
- = + - = + - - = + - - + -
+ -
- -
- - - + - + - + - +
- -
- + - + - - - -
= +
= = +
- =
- = + - = + - = =
+ +
+
- - - - - - - - - - - - -
- + - = =
- + - - + -
= +
=
= =
= =
= - =
2 2 1 2
2
2 2 2
2
2 2 2 1
1
2
2
1 2
2 2 1 1 1
1
#
#
# #
#
# $
a a
a a
a a a a a a
a a
a a
a a a a a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a
+ =
+ + +
+
+ =
- + -
+
= -
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+ = +
Q
Q
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Q
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V V
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G
G
G
G
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a
b
b
b
b
b
b
b
b
J

Resuelve en la seguiente ecuac sabiendo que 1 i es una de las soluciones
2z bz 2 0 siendo b,z
como 1 i es una de las soluciones de la ecuac 2 1 i b 1 i 2 0
4i b 1 i 2 0 b 1 i
2 4i
1 i
1 i
3 i b 3 i
como ya sabemos que en las ecuaciones de ¼grado az bz c 0
siendo z y z las soluciones
z .z a
c
z z a
b
asi que z .z 2
2
1 siendo z 1 i z 1 i
1
z 1 i
1
1 i
1 i
z 2
1 i
. . . . . . . . . . . .
Resuelve la ecuac : z z 1 i z 2 2i 0 a
sabiendo que 2 es una de las soluciones,representa graficamente las soluciones.
como 2 es una solucion z 2 z az b 0 , determinemos los coeficientes a y b.
z 2 z az b z z a 2 b 2a z 2b z z 1 i z 2 2i
aplicando igualdad de dos polinomios 2b 2 2i b 1 1
b 2a 1 i
a 2 1 a 1
luego a z 2 z z 1 i 0
z z 1 i 0 2
z 2 0 1
2 z z 1 i 0 1 4.1. 1 i 1 4 4i 1 4i 4i 1 2i
z 2
1 1 2i
i
1 i , ,
. . . . . . . . . . . .
: . . .
Ejercicio
Respuesta:
Ejercicio
Respuesta:
Ejercicio
ion
ion
segundo
ion
asi que S i i
Resuelve la Ecuacion E z i z i z i sabemos que admite
una raiz imaginaria pura
2 1
3 4 1 12 9 12 0
C
C
2 2
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2 1 2 2 2
3 2
2
2 3 2 3 2
2
2
2 2
fijate
2 2
bien
3 2
(
, ,
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(
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d
3
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+
+ + =
+ + + + + =
+ + + = = +
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-
-
=- - =- -
+ + =
=
+ =
-
= = = + = + = + -
-
=
-
- - - - - - - - - - - - -
+ + - + + + =
-
- + + + =
+ + + = + + + + + = + + - + + +
= + = +
+ =- +
+ = =-
+ - + + =
- + + =
+ =
- + + = = - - + = - - = - + = -
=
-
=
-
- - - - - - - - - - - - -
= - -
- + + + + - =
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
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V
V
V
V
V
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V
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Z
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G E
G
G
H
6 7 8
4444
4 4444
4 6 7 8
44444 44444
K

Ejercicio
:
.
. . .
, .
.
:
. . .
. . . .
. .
: . . . .
.
. . . . . .
.
.
. . .
. .
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. . . . . . . . . . . .
, ,
. .
. .
. .
. . .
.
, .
tan
min
lg
lg
cos
cos cos
cos cos cos
cos cos cos
sea esa raiz imaginaria pura a i con a la solucion de la ecuacion E
nos queda asi i a i a i a i i a a a a a
a a a
a a a a a
remplazando los resultados en la ecuacion para ver cual de los dos es verdadero
a a
Por lo to a asi que la raiz imaginaria pura de la ecuacion E es i
para factorizar la ecuacion E utilizemos el esquema de Horner
i i i
i i i i
i i i
por conseguiente E z i z i z i z i z i z i
Ahora resolvamos la ecuacion z i z i utilizando el disri ante
i i i i i como es un numero complejo
tenemos que hallar la raiz cuadrada de i pero fijaros en i cuando la hemos calculado
hay un enorme parecido eso me lleva a pensar en calcular i i pero yo tengo
pero yo tengo i asi que el cuadrado suyo es i i i
i i luego z
i i
i i i
i
i i i
i
asi que el conjunto se soluciones de la ecuacion E es S i i i
Sea z
cis
i
escribe z en forma trigonometrica y a ebraica
halla las raices cubicas de z
sean z z z las raices cubicas de z representalas en la grafica y que forman
calcula z z z en forma a ebraica y z z z en forma trigonometrica
Antes de nada hallemos la forma trigo de i i i sen
i i sen i i sen
i i sen i sen i sen
i i i
Respuesta
Respuesta sabemos que x x y sen x senx cis i sen
3 4 12 9 12 0 4 12 3 12 9 0
4 12 0 2
4 3 0 3 1 0 1
3
2
1 1 4 4 12 0 3 3 4 9 3 12 27 36 3 12 0
3 3
1 3 4 1 12 9 12
3 3 3 9 9 12
1 3 4 3 0 0
3 4 1 12 9 12 3 3 4 3 0
3 4 3 0
3 4 1 4 3 9 1 6 16 12 8 6
8 6 3
3 9 6 1 1 8 6
8 6 3 1 9 6 1 8 6
8 6 3 1
2
3 3 1
2
3 3 1
2
4 2
2
2
3 3 1
2
2 4
1 2
3 1 2 2
16 3
4
3
1
2
3
4
3 2
2
3
2
1 2 6 6
3 2 6 6 3 2 6
7
6
7
3 2 6 6 2 6 6 2 6 6
3 2
2
3
2
1 2 3
R
,
3 2 3 2 2
3 2
2
3 3
3 2 2
2
2
2
2
2
2
2 3
2
7
0 1 2
0
2
1
2
2
2
0
2
1
2
2
2
7 7
7 7 7 7
7 7 6
,
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U U
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,
,
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r
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r r r r
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r
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r r r
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D
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- - + =
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= - - + = - - + = - - + =
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- - +
- - + +
- + + + + - = - - + + + =
- + + + =
= - + - + = - + - - =- -
- - +
- = - - = -
- - - =- - + =- -
=- - = - =
+ -
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-
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+ + -
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= + -
- - - - - - - - - - - - -
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-
+ +
- = - = -
- =
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-
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-
- = - - + - - = + - + = - +
- = - + = - +
- = - =- = +
R
R
Q
R
Q
S
Q
S
Q
Q
Q
Q
S
R
Q
Q
Q
Q
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Q
Q
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V
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X X
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, ,
.
. .
. . .
cos cos
cos
cos
lg
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
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Antes se vio que i i sen i sen
i i sen e
Por conseguiente z
cis
i
e
e
e e i sen
z
cis
i
i i forma a ebraica
raiz cubica de z raiz cubica de i i i sen
i k i sen k
k
i sen
k
para k z i sen i i
para k z i sen i i
para k z i sen
i sen
i
z M z M z M
significa que el triangulo M M M tiene tres lados iguales
a decir que el triangulo M M M es un triangulo equilatero
z i i z i z i i
z z z i i i
z z z i i i i
z z z i sen Forma trigonometrica
M M M M M M
M M M M M M
5 5
3 2 6 6 2 6 6
3 2 6 6 2
2 3
4
3
2
2
2 2 2 2 2
2 3
4
3
2 8
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 6 3
2
6 3
2
0 2 6 6 2
2
3
2
1 3
1 2 2 2 2 2
2 2 6
7
6
7
2
6 6
3
3 1 0 2 3 1
3 3 2 3 0 3 3
12
3 2 2 3 2 4 3 2 2 3
2 2 3 4 2 2 3 0 0
2 2 3 4 2 2 3 2 1 3 2 1 3 4 16 1 3 64
64
.
.
.
. .
cos
i
i
i
i i
forma trigonometrica
sen
7 7 7
7 7 7 6
5
4
7
4 3
4
7 6
5
3 6
5
6
8
3 2 3
4
7
3
3 3
3
3
1
3
3
3
1
0
1
2
6 6
0 0 1 1 2 2
0 1 0 2 1 2
0 1 0 2 1 2 0 2 3
0 2 3
0
2 2
1
2 2
2
2 2
0
2
1
2
2
2
0
2
1
2
2
2
0
2
1
2
2
2
,
, ,
K K K
,
r r
r
r
r
r
r r
r
r r
r
r r
r
r
r
r
r r r r
r r
r r
r r
r
r
r
r
r r
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+ + = - - + + = +
= - - + = - + - =- + =-
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r
r
r
r r r
r r
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- -
R
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R
R
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Q
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S
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Q
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T
S
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R
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S S
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W
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X X
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S
S
S
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V
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W
W
W
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6 7 8
444444 444444 6 7 8
444444
4 444444
4
6 7 8
444444444444444 444444444444444
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exp lg
cos
lg
cos cos
cos
cos
cos
lg
cos
cos cos
cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos
Ejercicio
Respuesta
Sean z i z i z z
z
Escribir z z z en forma trigonometrica onencial a ebraica y cartesiana
Deducir los valores de y sen
Demuestra que z es un imaginario puro
Calcula las raices cubicas de z en forma a ebraica
z i i i sen i sen
z i sen e
z i i i sen e
z z
z
i
i
i
i i i i
i
z z
z
i
e
e
e i sen
Igualando la forma trigonometrica y a ebraica de z queda asi
i sen i
sen sen
z e e i sen i sen
z i sen i queda demostrado que z es un imaginario puro
raiz cubica de z
z e e e e
k
i sen
k
k z i sen i
k z i sen i sen
i sen
z sen sen i sen sen
i
z i i
k z i sen i sen
z i sen i sen por el apartado
z i i
4 4
1 3
1
2
12
7
12
7
3
4
1 2
2
2
2
2
2 4 4 2 4 4
2 4
3
4
3
2 1 1
3 2
2
3
2
1 2 6 6 2 3 1
3
1
3
3
3 1
3 3 1
4
1 3 1 3
4
1 3
4
1 3
4
1 3
4
1 3
2
2
2
2
2
2
12
7
12
7
4
1 3
4
1 3
2
2
12
7
12
7
4
1 3
4
1 3
2
2
12
7
4
1 3
12
7
4
2 6
2
2
12
7
4
1 3
12
7
4
2 6
2
2
2
2
2
2
2
7
2
7
2
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 4 3
2
4 3
2
0 2 4 4 2
2
2
2
2
1 2 4 3
2
4 3
2
2 12
11
12
11
2 4 3 4 3
2 4 3 4 3 4 3 4 3
2
2 2
2 1
2 2
2 3
2 2
2 3
2 2
2 1
2
4
2 6
4
2 6
2
4
1 3
4
1 3
2 2 4 3 4 3 2 12
19
12
19
2 12
7
12
7
2 12
7
12
7
2
2
4
2 1 3
4
2 1 3
2
4
1 3
4
1 3
1
2
3
4
.
.
.
.
.
. .
. . . .
lg
exp
lg exp
lg exp
forma a ebraica
i
forma onencial forma cartesiana
forma a ebraica
i
forma onencial forma cartesiana
a ebraica
i
i
i
onencial trigonometrico cartesiana
i i
i i i k i
k
3
3
1 2 3
2
1
1 2 3
3
6
1
1
1
4
3
2
6
2
1
2
1
6
4
3
12
7
3
3
6
12
7
6
2
7
3
6
3
6
1
1
3 4
3
3 3
4
3 3
1
6
4
3
2 3
1
6 4 3
2
6
1 0
6 6
1 1
6 6
6
1 1
6
6
1 1
6 2
3
1 2
6 6
1 2
6 6
1 2
6 2
3
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8
8
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r r
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r r r r r r
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Z
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44444444444444
4 44444444444444
4
6 7 8
44
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4
6 7 8
44
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4
6 7 8
444444444
4 444444444
4
6 7 8
4444444444 4444444444
6 7 8
444 444
6 7 8
444
4 444
4
6 7 8
444 444
6 7 8
444444444444444 444444444444444
6 7 8
444 444
6 7 8
444444444 444444444
M

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.
.
. .
. . . . . .
. .
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. .
.
:
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cos cos
cos cos cos cos cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
Calcula el numero complejo z i i
sea z i
Arg z arctag primer cuadrante
z
z e
luego z e
sea z i
Arg z arctag cuarto cuadrante
z
z e
luego z e
Por ultimo z i sen i sen
z i sen i sen
z
Transformar z a i
a i
a R a la forma trigonometrica
calcula
i
i
w i
i
w y Lnw
a a sen a sen a sena a
haciendo cambio variable a tag
a i
a i
i tag
i tag
i
sen
i
sen
i sen
i sen
i sen
i sen
i sen
i sen
a i
a i
sen
sen i sen
i sen e
i
i
i
i
i tag
i tag
i sen
i sen
i sen e
w i
i
haciendo cambio variable tag tag k k
luego w i
i
i sen i e
w w w i i i
Lnw Ln i Lne i k k Z
Ejercicio
Respuesta
Ejercicio
Respuesta
Recuerda
1 3 1 3
1 3
1
3
3
1 3 2
2
2
1 3
1
3
3
1 3 2
2
2
2 3
5
3
5
2 3
5
3
5
2 3
5
3
5
2 3
5
3
5
2 2 3
5
2 3
2
2 3
2
2 3 2 3 2 2
1
2
1
1
3 3
3 3
1
1
2 2 2
2
1
1
1 2
1 2
1
2
2
1
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
2 2
2 2 2 2 2
3 3
3 3
1 3
3
1 3
3
1 6
1 6
6 6
6 6
3 3
1
1
2 1 4 2 4 2 2
1
1
2 2
2 2
.
.
.
.
i
i
i
i
i
i
i
i
5 5
1
1
1
1
3
1
5 5 3
5
2
2
2
2
3
2
5 5 3
5
5 5
5 5 5 6 6
6 6 6 5
93 93
2 2
2 2
2 2
3
2
93 4 23 4 23
93 2
(
(
A ( (
d
d
r
r
r r r r
r r r r r
r
r r
r
r r
a
a
a
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a a a a
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r
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r r
r r
r r
a r a r
r a
r
r
r r
r
r
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-
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-
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- - - - - - - - - - - - -
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Q
Q
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Q
Q
Q
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X
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X
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X
V
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X
X X
Z
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Z
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Ejercicio
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. .
.
. .
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cos cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos
lg
cos cos cos cos cos
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
A
Resuelve z z
a primera vista se ve que no es una solucion de la ecuacion asi que podemos dividir por z
z z
z
z
z
z
z z
z
z
z
haciendo cambio de variable w z
z
queda la ecuacion de la seguiente forma w
w i sen w i sen k
i sen
k
Para k w i sen i
Para k w i sen sen i i
Para k w i sen i sen i
Para k w i sen i sen i
Como sabemos que w z
z
wz w z z w w z w
w
w
w
hora solo queda sustituir para hallar los valores de z z z z
z w
w
z w
w
z w
w
z w
w
calcula la raiz cuadrada de z i
z i i i sen i sen
i sen
z k i sen k k i sen k
Para k z i sen
Para k z i sen i sen
si llegaran a pedirnos las raices cuadradas de z en forma a ebraica tenemos que descomponer
y saber que a b a b senasenb sen a b sena b senb a
16 1 1 0
1 1
16 1 1 0
1
16 1
1
1
1
0
1
1
16
1
2 1
1
2
1
1
2
2 2 2 4
2
4
2
0 2 4 4 4
2
4
2
1 2 2 4 2 4 2 4 4 4
2
4
2
2 2 4 4 2 4 4 4
2
4
2
3 2 4
7
2 4 4
7
2 4 4 4
2
4
2
1
1
1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
1 3
8
1 3 8
2
2
3
2
1
4
1
6 6 4
1
6 6
4
1
6 6
4
1
6
7
2 6
7
2 2 12
7
12
7
0 2 12
7
12
7
1 2 12
7
12
7
2 12
7
12
7
12
7
3 4
4 4
4 4
4
4
4
4
4 4
4
4
4
4
4 4
4 4 1 4
1
1
0
1
1
1 1
2
1 1
3
1 1
0 1 2 3
0
0
0
1
1
1
2
2
2
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3
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1
1
0
1
1
1 1
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-
- -
Q
T
R
S
Q
Q
S
Q
T
S
S
S
S
S
S
Q
Q
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:
det min
mod arg
cos cos
cos
cos sec cos
cos cos cos
Ejercicio
Ejercicio
Respuesta
Respuesta
Respuesta
l
Resuelve la Ecuacion E z i z m i z m i m
er e el valor del parametro m sabiendo que una de las soluciones es i
como i es una solucion significa que i i i m i i m i
i i m i m m i m m i m
m
m
asi que la ecuacion E queda de la seguiente manera z i z i z i
y es divisible por z i
i i i
i i i i
i i i
E z i z i z i
z i z i
z i
z i z i b ac i i i
como es un numero complejo calculemos las raices cuadradas de
sea x iy una raice cuadrada de x iy i x iy y i
x y
xy
x y
x x y y x e y signo
uego las raices cuadradas de i son i y i escogiendo uno de los dos
podemos deducir las soluciones de la ecuacion z i z i son z
i i
z i
i
por ultimo el conjunto de las soluciones es S i i i
Demostrar que si z
z
i siendo z z
sea z x iy entonces x iy
x i y
x iy
x i y
x iy
x iy
x y
x iy x x ixy iy ixy y
x y
x y iy
i
x y
x y
x y x y z z
Sea z e halla el ulo y umento de z y de z z
sen a sena a a
a
a
e e
sena i
e e a a
e i sen e i sen i sen
Esquema de Horner
Recuerda
1 3 10 4 2 0
2
2 2 1 3 2 10 2 4 2 0
8 4 12 2 20 8 4 0 16 8 4 2 0 4 2 0
16 8 0
2
2
1 3 2 10 8 2 0
2
1 1 3 2 10 16 8
2 2 2 2 16 8
1 1 4 8 0 0
2 1 4 8 0 1 4 8 0
2
1 4 8 0 4 1 4 1 4 8 16 30
16 30 16 30
34 3
2 30 2
16 1
1 3 2 18 3 3 1 2 50 5 2
16 30 3 5 3 5
1 4 8 0 2
1 3 5
1 3
2 2 2 2 2 1 3
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
0 1 0 1 1 1
2 2 1 1
2 2 2
1 2
2 2
1
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. . . .
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i
i i i i
i i
3 2
3 2
3 2
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2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 3
2 3
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
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D D D
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Ejercicio
Ejercicio
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cos
cos cos
cos
cos cos cos cos cos cos
cos
cos
arg
cos
cos
cos
arg
cos cos
cos
cos cos
int cos
cos
sec tan
sec
tan
tan
Respuesta
Respuesta
Modulo y umento de z
z e e e e e e e y como
lo que significa que asi que z e
Arg z
z
z i sen i sen i sen e
como por conseguiente
Arg z
z
Modulo y umento de z z
z z e e e e e e e e e e e e
Arg z z
z z
Sea z i sen
i
Calcula en funcion de el z y z
z i sen
i
e
i sen
i sen e ver ejercicio anterior
en este ervalo
z
e
e
e por lo to
Arg z
z
Hallar el lugar geometrico del afijo de z sabiendo que los afijos de los numeros complejos
z z es alineados
sean los puntos A afijo del numero complejo tiene de coordenadas
B afijo de z x i y tiene de coordenadas x y
C afijo de z x y xy i tiene de coordenadas x y xy
los puntos A B C es alineados si y solo si el area del triangulo ABC es o sea que
S
x y xy
x y y x y x y x x y
x y
y
La solucion es
x y circulo de centro A y radio
y eje de las abscisas eje x
Otro metodo
1
1 1 2 2 2 2 4 2 4
2 0 1 2 2 1
2
1 2 2
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 2 4 2 0
1
2
1 2 2
1
1 1 1 1 1 2
1
1 1 2
1
1
1
1
2 2
2 4 4
1 2 2
2 2 2 2 0
2
2
4
2
2
1 1
1 1 0
1 1 2 1 2
0
2
1
1 2 1
1
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0 2 0 2 1 1 0
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0
1 1 1 0 1
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r a r a
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a a a a
a
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a a a a a a a a a a a
a
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Ejercicio
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tan
tan
tan
mod mod
mod
Ejercicio
Recuerda
Recuerda
Respuesta
Respuesta
d
Hallar el conjunto de puntos M afijo del numero complejo z en cada caso
a z b z i c z z i d z z i
z z z z
z z r
A afijo de z
M afijo de z
AM r M al circulo de centro A y radio r
z z z z
B afijo de z
A afijo de z
M afijo de z
M a la mediatriz AB
AM BM M equidis te de A y B
z
A afijo del numero complejo tiene por coordenadas
M afijo del numero complejo z
M al circulo de centro A y radio
z i z i
asi que
A afijo del numero complejo i tiene por coordenadas
M al circulo de centro A y radio
z z i z z i
B afijo del numero complejo i tiene por coordenadas
M Pertenece a la mediatriz de AB
z z i z z i z z i
B afijo del numero complejo i tiene por coordenadas
M Pertenece a la mediatriz de AB
sean z z y z tres numeros complejos de ulo compare los ulos
de los seguientes numeros complejos z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z
Calculemos z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z
En conclusion z z z z z z z z z tienen mismo ulo
a
b
c
3 3 1 3 2 2 3 4 1 2
3 3
3 3 0
3
1 3 1 3
1 1 1
3
2 2 3 2 2 3
2 3 2 3
2 2 0
4 1 2 4 1 2 4 1 2
1 2 1 2
4 4 0
1
3
3 3
X X X
1
1
1 2
2
1
1 2 3
1 2 3 1 2 2 3 1 3
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3
2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
1 3 2 2 1 3 3 1 2
1 2 2 3 1 3
2
1 2 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3
1 2 1 2
1 1
1 2 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1
2 3 1 3 1 3 1 2 1 3 2 3 1 3 1 3
1 1
1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 1 2 1 3 2 2 1 3 3 1 2
1 2 3
2
1 2 2 3 1 3
2
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: tan
cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
det min
cos
cos
Resuelve z i y demuestre que los afijos A B C y D de las soluciones forman un cuadrado
dis cia entre A y B es
ABCD forman un cuadrado Ssi y forman un angulo de grados
z i z i
w i
Arg w arctag
w
z i k i sen k
k
i sen
k
z
k
i sen
k
k
Para k z i sen i i A
Para k z i sen i sen i B
Para k z i sen i sen i C
Para k z i sen i sen i D
ver imagen de ABCD
A B C D
ahora queda er ar el angulo que forman
a producto escalar de dos vectores
Por ultimo podemos confirmar que los puntos ABCD forman una cuadrado
Ejercicio
Respuesta
Recuerda AB
AB BC CD DA
AB AB
BC BC
CD CD
DA DA
AB BC CD DA
AB BC AB BC AB BC
AB BC
AB BC
AB BC
AB BC
AB BC
8 8 3
90
8 8 3 8 8 3
8 8 3
8
8 3
3 3
2
8 8 3 16
8 8 3 16 3
2
2 3
2
2 2 12
2
2 12
2
2
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0 2 6 6 2 2
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2
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3
6 2
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3 1 1 3 3 1 1 3
1 3 3 1 1 3 3 1 8
1 3 3 1 1 3 3 1 8
1 3 3 1 1 3 3 1 8
1 3 3 1 1 3 3 1 8
1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 3 1 3 1 1 3 0
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cos
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4444444 4444444
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444444 444444
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Ejercicio
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Respuesta
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cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
Ejercicio
Recuerda
Respuesta
Sabemos que a b c y sena senb senc tal que a b c
Demostrar que a b c y sen a sen b sen c
sena senb senc
a b c a b c i sena senb senc
a i sena b i senb c i senc e e e
e e e e e e e e e e e e
e e e e e e
Por otra parte la ecuacion a b c i sena senb senc
a i sena b i senb c i senc
a i sen a b i sen b c i sen c e e e
e e e multiplicando la por e queda de la seguiente manera
e e e asi que la ecuacion queda de esta forma e e e
a i sen a b i sen b c i sen c i
a b c i sen a sen b sen c i sen a sen b sen c
a b c
Resuelve la ecuacion z z z
a primera vista se ve que z es una solucion asi que aplicando el esquema de Horner
asi que el polinomio queda factorizado de la seguiente manera z z z z z
sabemos que a b a b a ab b z z z z z z
Resolvamos z z
z
i i
i
i
la solucion de la ecuacion z z z es S
i i
e i sen sen sen
a i b c i d b d
a c
z z
3
0 0
2 2 2 0 2 2 2 0
0
0
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0 0
0 2 2 2 0
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1 0
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