distribuciones de probabilidad

1. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
KASSANDRA GÓMEZ
2º C

2. DISTRIBUCIÓN DE
BERNOULLI
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y
observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la
probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo
sea (fracaso). podríamos por tanto definir este experimento
mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0 si el
suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota
X~Ber(p)
P (0)= P(X=0) =1-P (FRACASO)
P (1)= P(X=1) = P (ÉXITO)

4. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Sólo puede tener dos posibles resultados A y A'. Usualmente A
recibe el nombre de éxito, además representaremos como
p = p(A) y
q = 1-p=p(A').
A la función de probabilidad de una variable aleatoria X
resultado de contar el número de éxitos al repetir n veces una
experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la
llamamos distribución binomial y la representamos por
B (n, p)

6. DISTRIBUCION DE POISSON
 El numero d ensayos n y la probabilidad de éxito p son
diferentes, pero el número promedio de éxitos, que es
igual al producto np, es el mismo.
en esta distribución el número de éxitos que ocurren por
unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar
y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro
intervalo dado
x!

8. T- STUDENT
 la distribución t (de Student) es una distribución de
probabilidad que surge del problema
de estimar la media de una población normalmente
distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.

9.  La distribución t de Student es la distribución de probabilidad
del cociente
 Donde:
 Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
 V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
 Z y V son independientes
 Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable
aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con
parámetro de no-centralidad .

10. EJEMPLO:
 Sea T ~ Weibull(0.5,3)
a) Determinar
b) Determinar
c) Determinar P(T
 P (T>5) =1-P(T1) = 1 – e-

11. GAMMA

12.  Se puede caracterizar del modo siguiente:
Si se está interesado en la ocurrencia de un evento
generado por un proceso de Poisson de media
lambda, la variable que mide el tiempo transcurrido
hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una
distribución gamma con parámetros
a= nlambda(escala) y p=n (forma).
Se denota Gamma(a,p).

13. EJEMPLO:
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una
cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros
a=0,81 y p=7,81, calcúlese:
1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas
Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100
Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

14. DISTRIBUCION NORMAL
 Una distribución normal de media μ y desviación
típica σ se designa por N (μ, σ).
El área del recinto determinado por la función y el
eje de abscisas es igual a la unidad.

15. Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja
un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a
la derecha.
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la
curva.

16. Distribución normal estándar
N (0, 1)
 La distribución normal estándar, o tipificada o
reducida, es aquella que tiene por media el valor cero,
μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
 La probabilidad de la variable X dependerá del área del
recinto sombreado en la figura. Y para calcularla
utilizaremos una tabla.

17. Distribución normal estándar
N (0, 1)
Para poder utilizar la tabla tenemos que
transformar la variable X que sigue una
distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga
una distribución N (0, 1).

18.  La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k),
siendo z la variable tipificada.
 Estas probabilidades nos dan la función de
distribución Φ (k).
 Φ (k) = P (z ≤ k)

19. EJEMPLO:
 La resistencia de una aleación de aluminio se
distribuye normalmente con media de 10 giga
pascales (Gpa) desviación estándar de 1.4 Gpa.
 ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de
esta aleación tenga resistencia mayor a 12 GPa?
 Determine el primer cuartil de la resistencia de
esta aleación.
 Determine el 95º. Percentil de la resistencia de
esta aleación.

20.  RESULTADOS
 µ = 10
σ = 1.4
 A) z = (12 -10)/1.4 = 1.43 el área ala derecha de z = 1.43
es 1 – 0.9236 = 0.0764
 B) la puntuación de z en el 25 º percentil es -0.67
 El 25 º percentil es entonces 10 - 0.67 (1.4) = 9.062
Gpa.
 C) la puntuación de z en el 95 º percentil es 1.645
El 25 º percentil es entonces 10 + 1.645(1.4) = 12.303
Gpa.

21. CONCLUSIÓN:
 Con ayuda de éstas distribuciones podemos resolver
problemas que se nos presenten, ya sea laborales
(producción, etc.) y de otras situaciones (juegos de azar:
tirar una moneda, los tiros que hagamos para anotar en
un juego, actividades de la casa), siempre y cuando
sepamos como usarlas, será mas fácil y sencillo
encontrar la solución.