Matematica basica

MATEMÁTICA BASICA

José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia. julio- 2009
danojuanos@hotmail.com
danojuanos@tutopia.com
danojuanos@yahoo.com

Algunos de mis apreciados visitantes me proponían un material
elemental dirigido a estudiantes un poco más neófitos, pero
conservando el espíritu inicial que me he propuesto desde la
iniciación de mi trabajo en el ciberespacio. Es ésta la razón para
colocar un cursillo que
sea como una invitación al aprendizaje de la matemática
avanzada en el campo virtual.

CONTENIDO
§1. Fundamentos de Lógica............................................................. 2
§2. Conjuntos................................................................................. 8
2.1 Clases de conjuntos........................................................ 9
2.2 Proposiones condicionales y cuantificadores…………..... 12
§3. Métodos de una demostración................................................... 16
§4. Parejas ordenadas y producto cartesiano................................... 20
§5. Relaciones y funciones.............................................................. 23
§6. Clases de funciones................................................................... 27
6.3 Función inversa............................................................... 28
6.6 Algunas propiedades de las funciones............................ 29
§7. Leyes de composición interna (operaciones)............................. 32
7.2 Clases de leyes de composición...................................... 34
§8. Concepto de Grupo.................................................................. 37
§9. Los números reales.................................................................. 40
9.3 Métodos geométricos y expansión decimal..................... 42
9.4 Propiedades algebráicas.................................................. 42
9.5 Propiedades de orden..................................................... 46
9.6 Propiedades de completitud............................................ 49
§10. Los números naturales........................................................... 52
§11. Los números enteros.............................................................. 54
§12. Números racionales................................................................ 57

J. Darío Sánchez H. MATEMÁTICA BASICA 2

12.6 Construcción de los elementos racionales.................... 58
§13. Acotación. Terminación. Extremación..................................... 61
13.5 Principio de buena ordenación...................................... 64
13.6 Divisibilidad.................................................................. 66
13.7 El algoritmo de Euclides................................................ 69
§14. Teorema fundamental de la aritmética................................... 73
§15. Congruencias......................................................................... 75
§16. Clases Residuales.................................................................. 79
§17. Números complejos............................................................... 83
17.2 Valor absoluto de un número complejo........................ 85
17.3 Imposibilidad de ordenar los números complejos........ 88
17.4 Exponenciales complejas.............................................. 89
17.5 Argumento de un número complejo............................. 90
17.6 Potencias enteras y raíces de números complejos....... 92
17.7 Logaritmos complejos................................................... 92
17.8 Potencias complejas...................................................... 93
Bibliografia...................................................................................... 97

§ 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA

1.1 Los vocablos verdadero y falso son fundamentales en el estudio de
la matemática, se consideran completamente conocidos y se aceptan sin
definir, es decir se admiten intuitivamente como ideas iniciales y se notan

Z , J

1.2 Las oraciones en las cuales se pueden establecer uno de los vocablos
verdadero o falso se denominan proposiciones o afirmaciones. Son
frecuentemente notadas por letras minúsculas :ß ;ß <ß =ß á

EJEMPLOS.Las frases: ¿Cómo estas?, ¿Cuál es tu nombre?, que la suerte te
acompañe; no son proposiciones
Bolivar es un hombre muy conocido, Bogotá es la capital de Bolivia,
Venezuela es la patria del Libertador; son proposiciones.

Toda proposición suele ir acompañada de una tabla


:
Z
J

llamada tabla de verdad y que indica las posibilidades de que la
proposición : sea verdadera o falsa

1.3 Negar una proposición es el procedimiento, mediante el cual una
proposición que es verdadera se convierte en falsa y recíprocamente si es
falsa se convierta en verdadera.
Se usa en estos casos : para la proposición y c: para su negación

: c:
Z J
J Z

1.4 PROPOSICIONES COMPUESTAS. Una propiedad fundamental de las
proposiciones se encuentra en el hecho de poderlas componer para
obtener nuevas oraciones las cuales son nuevamente proposiciones
llamadas proposiciones compuestas y estan caracterizadas por tablas
llamadas tradicionalmente tablas de verdad.

1.4.1 CONJUNCIÓN: Dadas dos proposiciones : y ; la proposición
compuesta : • ; ( : y ; ) es llamada conjunción y está definida por la
siguiente tabla

: ; :•;
Z Z Z
Z J J
J Z J
J J J

es decir su tabla depende estrechamente de los valores de verdad de las
proposiciones componentes.

EJEMPLO.Hoy es lunes y estamos a 28 de frebrero de 1936.
Esta es una conjunción y es una proposición falsa por que estar a 28 de
febrero de 1936 es una proposición falsa.

1.4.2. DISYUNCIÓN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : ” ;
(leáse : o ; ) es una proposición compuesta llamada disyunción y está
definida mediante la tabla


: ; :”;
Z Z Z
Z J Z
J Z Z
J J J

EJEMPLO. Colombia es una nación de América del sur o estamos a 9 de
abril de 1948.
Esta proposición es una disyunción la cual es claramente una proposición
verdadera, por que es verdad que Colombia es una nación de América del
sur.

Se sigue entonces que la veracidad o falsedad de la disyunción o de la
conjunción depende de la verdad o falsedad de las proposiciones
componentes.

Hay una variación de la disyunción que se presenta en proposiones como
"el papa Juan Pablo II está vivo o el papa Juan Pablo II está muerto"
esta es llamada el o exclusivo o el aut y está definida por la siguiente
tabla

: ; :”;
Z Z J
Z J Z
J Z Z
J J J

1.4.3 IMPLICACIÓN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Ê ; es
llamada implicación, la cual se lee de una de las formas siguientes

: implica ;
si : entonces ;
: sólo si ;
: es una condición suficiente para ;
; es una condición necesaria para :

y es una proposición compuesta definida por la tabla


: ; :Í;
Z Z Z
Z J J
J Z Z
J J Z

EJEMPLO. Si no me da pereza, entonces estudio geometría

Es de notar que la mayoria de los enunciados de la matemática están en
forma de implicación, de donde su importancia.

EJEMPLO. Si +ß , y - son las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo entonces - # œ +#  ,# .

1.4.4 EQUIVALENCIA: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Í ; es
llamada equivalencia, la cual se lee de una de las siguientes maneras

: es equivalente a ;
: si y sólo si ;
: es una condición necesaria y suficiente para ;

es una propsición compuesta definida mediante la siguiente tabla

: ; :Í;
Z Z Z
Z J J
J Z J
J J Z

EJEMPLO. Sean + y , números enteros entonces se tiene + Ÿ , si y sólo si
,  + es un número natural.

Los símbolos c, • , ” , ” , Ê , Í
- son referidos como los conectivos
proposicionales.

En adelante, además de :ß ;ß <ß =ß á , usaremos :" ß :# ß :$ ß á como símbolos
para designar proposiciones y nos referiremos a ellos como los símbolos
proposicionales. Tenemos tantos símbolos proposicionales como
números naturales, disponemos de una buena cantidad de ellos,
suficientes para representar cualquier proposición que tengamos en la
memoria; seguramente una persona no alcanza en toda su vida a fijar en
su mente más proposiciones que números. Así, podemos considerar que
cada símbolo proposional representa una única proposición simple.


A cualquier combinación de símbolos proposicionales, se le determina
fórmula, y aquellas para las cuales se les puede construir su tabla de
verdad son frecuentemente llamadas fórmulas bien formadas a0 Þ,Þ0 b.
Las reglas que gobiernan las fórmulas bien formadas son:
a"b Los símbolos proposicionales son fórmulas bien formadas
a#b Si ! es una fórmula bien formada, entonces su negación ac!b es una
fórmula bien formada.
a$b Si ! y " son fórmulas bien formadas entonces también lo son a! • " bß
a! ” " bß a!  " bß a ! Ê " b y a ! Í " b
a%b Una expresión es una fórmula bien formada si y sólo si el que lo sea
”

se sigue de aplicar a"bß a#b y a$b.

La regla a%b significa que las únicas fórmulas bien formadas son las que se
pueden construir combinando a"bß a#b, a$b un número finito de veces.
Como una fórmula bien formada se ha obtenido a partir de finitos
símbolos proposicionales y por aplicación de a"bß a#b y a$b finitas veces,
siempre es posible construir su tabla de verdad: se dan a los símbolos
proposicionales que aparecen en la fórmula bien formada los valores Z ß J
combinándolos adecuadamente para obtener todos los casos posibles y
luego se van construyendo paso a paso las tablas de verdad de las
fórmulas bien formadas que se han ido formando hasta llegar a la de la
fórmula bien formada dada inicialmente (Nótese que si aparecen 8
símbolos proposicionales en una fórmula bien formada, su tabla de
verdad tendrá #8 filas, correspondientes a las #8 formas posibles de
combinar Z y J )

Unos ejemplos aclararán lo dicho: Construir la tabla de verdad de : ” c:,
Ð: ” ;Ñ • c:, y Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ; :

: c: : ” c: ß : ; :”; c: a: ” ; b • ac:b
Z J Z Z Z Z J J
J Z Z Z J Z J J
J Z Z Z Z
J J J Z J

: ; :Ê; : • a: Ê ; b Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ;
Z Z Z Z Z
Z J J J Z
J Z Z J Z
J J Z J Z


Observando las tablas de verdad anteriores, vemos que existen fórmulas
bien formadas como : ” c:, Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ; , tales que en su tabla de
verdad únicamente aparece el valor Z , sin importar la verdad o falsedad
de sus proposiciones componentes; estas fórmulas se llaman tautologías.
Son las fórmulas bien formadas más importantes, debido a que
corresponden a proposiciones compuestas que intuitivamente son
siempre verdaderas, independientemente de la veracidad de sus
proposiciones componentes.

1.5 NEGACIÓN: Es de utilidad conocer la negación de los conectivos
proposicionales y está dado por las siguientes tautologias:

ca: ” ; b Í ac:b • ac; b
ca: • ; b Í ac:b ” ac; b
ca: Ê ; b Í : • ac; b
ac:b Í ;
ca: Í ; b Í œ  Í ca: • c; b ” ac: • ; bd
: Í ac; b

1.6 EJERCICIOS.

1. Negar las siguientes proposiciones
a+b Si el sol sale esta tarde, entonces voy a jugar
a,b Estudiaré sólo si llueve
a- b Comeré frutas si y solamente si es una pera o una manzana
2. Haga los cuadros de verdad para cada una de las proposiciones
siguientes y concluya si son tautologías o no
a + b : • a ; ” < b Í a : • ; b ” a: • < b
a , b : ” a ; • < b Í a : ” ; b • a: ” < b
a- b a: Ê ; b Í ac:b ” ;
a. b a : Í ; b Í a : Ê ; b • a ; Ê < b
a/b cac:b Í :
a0 b : • : Í :
a1 b : ” : Í :
3. De cada una de las expresiones siguientes, diga si es una 0 Þ,Þ0 Þ o no;
dé las razones de sus respuestas:
a+b ac: Ê c; b Ê ca: ” ; b
a,b : Ê  c< • ;
a- b a:" • :# b • :$ Í ac:% ” :$ b
”

a. b aa:" Ê ac:# bb • :" b Ê c:#
a/ b : • ; ” : • <
a0 b a c ” : b Ê a; • < b
a1b ca: • ; b Ê aac:b • ac; bb.


4. Use las tablas de verdad para probar que a: • c:b Ê ; es una
tautología.
5. Sea !ß " fórmulas bien formadas. Se dice que "! implica
tautológicamente a " " si ! Ê " es una tautología. Se dice que " ! es
tautológicamente equivalente a " " si ! implica tautológicamente a " y "
implica tautológicamente a !, o lo que es igual, si ! Í " es una
tautología. Halle cuatro ejemplos de implicaciones tautológicas y cuatro
de equivalencias tautológicas
6. Una contradicción es una 0 Þ,Þ0 compuesta que siempre es falsa,
independientemente de la veracidad de las proposiciones componentes.
Dar cinco ejemplos de contradicciones, demostrando que lo son
mediante tablas de verdad, si es el caso.
7. Dadas las proposiciones :: Hace frío, y ; : Está de noche, y suponiendo
que la primera es verdadera en este momento y la segunda falsa, escriba
en términos de :ß ; y los conectivos, las proposiciones siguientes, y halle
sus valores de verdad:
a+b No está de noche o no hace frío.
a,b Hace frío o no está de noche.
a- b Ni está de noche ni hace frío
a. b Está de noche pero no hace frío.

§2. CONJUNTOS

Otra idea fundamental en el estudio de la matemática, es la de conjunto y
la tomamos sin definir como materia prima. Intuitivamente es una
colección de objetos llamados elementos, esta idea la vemos por ejemplo
en un panal de abejas , en un rebaño de ovejas, en una planta de crianza
de truchas, son ejemplos de conjuntos.
El hecho de pertenecer a un conjunto es otro concepto primitivo y que se
toma como materia prima.
Notacionalmente los conjuntos suelen indicarse por letras del alfabeto en
mayúscula y los elementos que los componen serán indicados por letras
minúsculas en este caso se dice que los conjuntos están dados por
extensión.
Cuando se dan las propiedades que definen a los elementos se dice que
el conjunto se da por comprensión, es cuando se usan los corchetes y las
palabras "conjunto de elementos tales que".
Si denotamos por :aBb a una condición redactada en términos de la letra
B, el conjunto determinado por ella se escribe

eBÎ:aBbf ó eB À :aBbf


A la condición le llamaremos muchas veces una proposición condicional.
Usaremos también la palabra colección como sinónimo de conjunto
La fórmula "+ − Q " es utilizada para indicar "+ es elemento del conjunto
Q " y suele leerse "+ pertenece a Q "

2.1 CLASES DE CONJUNTOS. Los conjuntos se clasifican según el número de
elementos que ellos tienen, así se tendrán conjuntos finitos y conjuntos
infinitos.
El conjunto universal o referencial es un conjunto variable y es el más
grande conjunto que se considere en un determinado problema, por
ejemplo hablando de números el universo podría ser el conjunto de los
números reales o el de los números complejos dependiendo de la teoría,
si es real o si es compleja.
El conjunto vacío es un conjunto que carece completamente de
elementos, se nota por la letra griega F ó ef.

Algunos conjuntos frecuentemente usados y utilizados son:

 œ e!ß "ß #ß á f números naturales
™ œ eá ß  "ß !Þ"ß #ß á f números enteros
 œ ˜BÎB œ + ß + − ™ß , − ™  Ö!×™ números racionales
,
d el conjunto de los números reales
‚ el conjunto de los números complejos

2.1.2 DEFINICIÓN. Sea E un conjunto de un universo dado, un subconjunto
Q de E, notado Q § E, está definido por la proposición condicional


si B − Q entonces B − E

Esta idea puede visualizarse por medio de un diagrama llamado diagrama
de Venn

A
M

U

E © Q Í aB − E Ê B − Q b

Decir que un elemento B no está en E se denota por la proposición
compuesta


B Â E Í caB − Eb

2.1.3 DEFINICIÓN. Un conjunto E se dice igual a un conjunto F si la
siguiente proposición es verdadera

E§F•F §E
 

o sea

E œ F Í aE § F • F § E b
 

2.1.4 PROPOSICIÓN. Sea E un conjunto arbitrario de un universo dado Y
entonces F § E.


DEMOSTRACIÓN. La proposición condicional B − F Ê B − E es siempre
verdadera, pues B − F es falsa

2.1.5 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado. La reunión
de E con F , notada E  F , está definida por la proposición compuesta

B−EF ÊB−E”B−F

es decir, es el conjunto de los elementos que están en E o están en F.
Si hacemos uso de diagrama de Venn tenemos

A
B

E  F œ eBÎB − E ” B − F f

2.1.6 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado, la
intersección de E con F , notado E  F , está definida por la siguiente
proposición

B − E  F Í aB − E • B − F b

es decir, el conjunto de los elementos comunes a E y F ; en diagrama de
Venn se tiene


A
B
U
E  F œ eBÎB − E • B − F f

2.1.7 PROPOSICIÓN. a+b E œ F implica E  F œ E  F œ E œ F
a,b Si E § F entonces E  F œ F y E  F œ E
a- b E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b


E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b
a. b E  F œ E
a/ b E  F œ F  E
a0 b E  F œ F  E
La demostración se propone como ejercicio.

2.1.8 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado, la diferencia
de E con F es notada E  F y está definida por la siguiente proposición

B−EF ÍB−E•BÂF

con diagrama de Venn sería:

A U
B A B B A
U A U B

E  F œ eB − Y ÎB − E • B Â F f

2.1.9 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado Y y tal que
E § F entonces el complemento de E con respecto a F es definido por


CF E œ F  E

Cuando F es el universo Y se dice simplemente el complemento de E
notado CY E ó CE y está definido por la proposición

B − CE Í B Â E

2.1.10 PROPOSICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo Y , entonces
a3b CaE  F b œ aCEb  aCF b


a33b CaE  F b œ aCEb  aCF b
a33b aCEb  E œ F
a3@b aCEb  E œ Y
a@b CaY b œ F
a@3b CaFb œ Y

DEMOSTRACIÓN. Se hacen en forma directa usando las definiciones y la
fórmulas bien formadas dadas en la sección anterior así:
a 3b B − CaE  F b Í B Â aE  F b Í caB − E  F b
Í caB − E ” B − F b Í caB − Eb • caB − F b
Í B Â E • B Â F Í B − CE • B − CF Í B − aCEb  aCF b
Siguiendo el mismo orden de ideas se demuestran las restantes
afirmaciones.

2.2 PROPOSICIONES CONDICIONALES Y CUANTIFICADORES

2.2.1 DEFINICIÓN. Sea E un conjunto de un universo dado, una variable de
E es un símbolo que representa a cualquier elemento de E y una
constante en E es un símbolo que representa exactamente un elemento
de E bien determinado.

2.2.2 DEFINICIÓN. Una proposición condicional es una sucesión de
símbolos envolviendo variables y que se convierten en proposición al
reemplazar estas variables en un universo conveniente y notan

:B Î B − Y ß :C Î C − Y á

siempre y cuando B ó C sean las variables.

EJEMPLOS. a"b :B À B  " œ ! es una sucesión de símbolos
a:B À B  " œ !baB − ™b es la proposición condicional
a#b :B À B#  "  #B œ ! es una sucesión de símbolos
a:B À B#  "  #B œ !baB − d b es la proposición condicional
a$b :B À B#  " œ aB  "baB  "b es una sucesión de símbolos
a:B À B#  " œ aB  "baB  "b baB − d b es la proposición condicional

2.2.3 DEFINICIÓN. Se llama conjunto solución de una proposición
condicional al subconjunto del universo dado, donde la proposición
condicional es verdadera.
Sea a:B baB − Y b y T su conjunto solución entonces

T œ eB − Y Î:B es verdaderaf


2.2.4 PROPOSICIÓN. Sea a:B baB − Y b una proposición condicional, si T es el
conjunto solución de a:B baB − Y b entonces

eB − Y /:B es falsof œ eB − Y Îca:B b es verdadf œ CT

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eBÎcÐ:B Ñf Í c:+ es verdadero es falso
Í + Â eBÎ:B f œ T Í + − CT .
Í :+

2.2.5 PROPOSICIÓN. Sean a:B baB − Y b y a;B baB − Y b dos proposiciones
condicionales con T y U como conjuntos de soluciones entonces

eBÎ:B • ;B f œ T  U

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eBÎ:B • ;B f Í :+ • ;+ es verdadera Í :+ es
verdadera y ;+ es verdadera Í + − T y + − U Í + − T  U.


eB − Y /:B ” ;B f œ T  U

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eB − Y Î:B ” ;B f Í :+ ” ;+ es verdadera Í :+ es
verdadera, ó , ;+ es verdadera Í + − T ” + − U Í + − T  U.


eB − Y Î:B Ê ;B f œ aCT b  U

DEMOSTRACIÓN. Se sabe que a: Ê ; b Í aac:b ” ; b es una tautologia por lo
tanto
eB − Y Î:B Ê ;B f œ eB − Y Îac:B b ” ;B f œ aCT b  UÞ


eB − Y Î:B Í ;B f œ aT  Ub  aCT  CUb

DEMOSTRACIÓN. eB − Y Î:B Í ;B f œ eB − Y Îa:B Ê ;B b • a;B Ê :B bf œ


œ eB − Y Î:B Ê ;B f  eB − Y Î;B Ê :B f œ aCT  U b  aCU  T b œ
œ caCT  U b  CUd  caCT  Ub  T d œ
œ caCT  CUb  aU  CUbd  caCT  T b  aU  T bd
œ aT  Ub  aCT  CUb

2.2.9 Un cuantificador es un símbolo que nos responde a la pregunta
¿Cúantos elementos del universo en consideración satisfacen a una
proposición condicional?
Así los cuantificadores son de dos tipos: existencial y universal
El cuantificador existencial denotado con b y está definido así:
Sea a:B baB − Y b una proposición condicional y T § Y su conjunto solución

entonces
abB − Y ba:B b Í T Á F
léase existe un B en Y tal que :B es verdadera y esto es equivalente a
decir que el conjunto solución de :B no es vacío.
El cuantificador universal notado a, está definido así: Sea a:B baB − Y b una
proposición condicional y sea T § Y es el conjunto solución de :B

entonces
aaB − Y ba:B es verdaderab Í T œ Y
léase para todo B en Y :B es verdadera y esto es equivalente a decir el
conjunto solución de :B es igual al universo.

EJEMPLOS. a"b La proposición condicional aB#  " œ !baB − ‚b tiene conjunto
solución no vacío, entonces se puede usar el cuantificador así
abB − ‚baB#  " œ !b
a#b aB#  " œ aB  "baB  "bbaB − ‚b tiene por conjunto solución al conjunto
‚ entonces se puede usar el cuantificador así:
aaB − ‚baB#  " œ aB  "baB  "bb

2.2.10 NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES

PROPOSICIÓN. a"b cabB − Y ba:B b Í aaB − Y bac:B b
a#b caaB − Y ba:B b Í abB − Y bac:B b

Veamos el caso a#b : Sea T el conjunto solución de :B entonces
caaB − Y ba:B b Í caT œ Y b Í caT œ T  CT b Í CT Á CaT  CT b œ CT  CaCT b
Í CT Á F Í abB − Y bac:B b

EJEMPLO. Todos los hombres son buenos
Cuantificación: Sea Y œ eHombres del mundof
aaB − Y baB es buenob
Si queremos la negación tendríamos


abB − Y baB no es buenob
En español sería: Hay hombres que son malos.

2.3 EJERCICIOS

a"b Tomando como referencia al conjunto de los números reales, hallar
los conjuntos que definen las condiciones siguientes
a+b aB#  )B  "&baB  "b œ !
a,b B#  &B  "& !
a- b B#  #
a#b Resolver el ejercicio a"b tomando como referencial el conjunto ™ de los
enteros.
a$b Resolver el ejercicio a"b considerando como referencial el conjunto
Ö'ß (ß )ß *ß á × de todos los números naturales mayores o iguales a '.
a%b En cada uno de los tres ejercicios anteriores, anteponer a cada
condición un cuantificador adecuado para que se obtenga una
proposición verdadera; dar las razones de sus respuestas.
a&b Escribir la negación de cada una de las proposiciones siguientes:
Todos los hombres son mortales.
aaBbaB  ! œ Bb
abBbaaCbaB  C  !b
a'b Tomando como referencial al conjunto de los números reales, hallar
una condición :aBß C b en dos variables, tal que
abBbaaCba:aBß C bb sea falsa y
aaCbabBba:aBß C bb sea verdadera
a(b a+b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #ß $× o sea T aÖ"ß #ß $×b
a,b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #× (T aÖ"Þ#×b)
a- b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"× (T aÖ"×b)
a. b Hallar todos los subconjuntos del conjunto F.
a/b ¿Podría usted adivinar una relación entre el número de elementos
de un conjunto finito y el número de sus subconjuntos?
a)b Escribir la negación de cada una de las expresiones siguientes:
aaBba:aBb Ê ; aBbb
aaBb:aBb Ê a; aBb ” <aBbb
abBbaaD ba:aBß D b • ; aD bb
a*b Sea W un referencial para una condición :aBb. Sea E © W . Definimos
aaB − Eba:aBbb como aaBbaB − E Ê :aBb es verdaderab. Análogamente,
definimos abB − Eba:aBbb como abBbaB − E • :aBb es verdaderab.
Demuestre que
caaB − Eba:aBbb Í abB − Ebac:aBb b
y que
cabB − Eba:aBbb Í aaB − Ebac:aBbb
a"!b ¿Qué sentido tiene para usted expresiones como


aaBba#  $ œ &bß abBba# † % œ )b ?
¿Son éstas proposiciones? ¿Se podría suprimir el cuantificador?
a""b Dé justificaciones a las equivalencias siguientes:
aaBba: • ; aBbb Í a: • aaBb; aBbb
aaBba: ” ; aBbb Í : ” aaBba; aBbb
abBba: • ; aBbb Ê : • abBba; aBbb
abBba: ” ; aBbb Ê : ” abBba; aBbb
Nota: : es una proposición en la cual no aparece B.
a"#b Escriba en español correcto la negación de las frases siguentes:
a+b Si las Matemáticas son fáciles, aprobaré el curso
a,b Existe un número natural 7 tal que cualquiera sea el natural 8ß 7 Ÿ 8
a- b Si el costo de vida continúa subiendo, algunos tendremos que dejar la
"costumbre burguesa" de comer tres veces al día o trabajar por un
cambio de estructuras.
a. b Todos tenemos problemas y algunos nos dejamos vencer por ellos.
a/b Todos los gatos son pardos o algunos estamos miopes.
a"$b Diga, dando las razones de sus respuestas, cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles no:
a+b Ö"ß "ß #× © Ö"ß #×
a,b Ö"ß #ß #× œ Ö#ß "×
a- b + − ÖÖ+××
a/b E © F Ê E œ F.

§3. MÉTODOS DE UNA DEMOSTRACIÓN

Uno de los criterios de deducción más importantes y el cual es inherente
al hombre, es el dado por la tautología
c : • a: Ê ; b d Ê ;
llamada el modus ponens la cual afirma que con el conocimiento de : y
: Ê ; se deduce la veracidad de ; , es el razonamiento del hombre
prehistórico cuando razonaba así:
Yo mato toro y, si yo mato toro entonces calmo hambre, entonces yo calmo hambre.
Este criterio es utilizado en la mayoria de las pruebas de la matemática
aunque siempre está tácita su utilización. A continuación se darán unos
métodos clásicos de demostración.

3.1 Método trivial ; se trata de estudiar la veracidad de la proposición
: Ê ; estudiando la proposición : en si misma. Si : es falsa no importa
que sea ; , : Ê ; siempre es verdadera.


EJEMPLO. Estamos en el siglo XXII, entonces hoy es viernes, es una
proposición compuesta verdadera por que la hipótesis es falsa.

3.2 Método vacío ; consiste en estudiar la veracidad de la proposición
: Ê ; estudiando la proposición ; en si misma, así si ; es vedadera no
importa cual sea el valor de verdad de : la proposición compuesta : Ê ;
siempre es verdadera.

EJEMPLO.Si Julio César fue un gran guerrero, entonces Bogotá es la capital
de Colombia. Esta proposición es verdadera
En álgebra, si aaB − ™baB#  # œ "bentonces # œ "  ", en una proposición
verdadera.

3.3 Método indirecto ; se aplica en el estudio de la veracidad de la
proposición : Ê ; , procediendo de la siguiente forma
a3b Supóngase que ; es falsa
a33b Con este hecho y otros conocidos dentro de la teoría se
demuestra que : es falsa.
Entonces se tiene que : Ê ; es verdadera. Este método también es
conocido como el contrarrecíproco.

EJEMPLO. Si +# es par entonces + es par

PRUEBA: a3b Supongamos que + no es par
a33b existe 7 −  tal que + œ #7  "
a333b +# œ a#7  "b# œ %7#  %7  " œ #a#7#  #7b  "
así, existe 5 œ #7#  #7 −  tal que +# œ #5  " ó sea que +# no es par.

3.4 Método directo ; se trata de probar que la proposición : Ê ; es
verdadera y se procede así;
a3b Se supone que : es verdadera
a33b Con este hecho y otros bien conocidos de la teoría se
demuestra que ; es verdadera.
Así : Ê ; es verdadera.

EJEMPLO.Si ?EFG es un triángulo rectángulo, entonces +#  , œ - #
donde +ß , son las longitudes de los catetos y - es la longitud de la
hipotenusa.
B
c a

a3b Supongamos que
A C
PRUEBA: b es un triángulo rectángulo


A
c b

a33b con el triángulo B
C
a construimos un cuadrado que
tenga de lado +  , así;
a b
b c a
c

a c c b

b a
a333b El área del cuadrado de lado +  , será
a+  ,b# œ +#  #+,  , #
pero sumando áreas tenemos que
a+  ,b# œ - #  #+,
así
+#  #+,  ,# œ - #  #+,
de donde tenemos
+#  , # œ - #

3.5 Método de contradicción (Absurdo). Sea 7 una teoría y : una
proposición de la teoría, de la cual se desea saber su veracidad. El
método consiste en:
a3b Construir una nueva teoría 7 w obtenida adjuntado a 7 la proposición c:
a33b Se demuestra que la teoría 7 w es contradictoria ó inconsistente,
hallando en 7 w una proposición ; verdadera y c; verdadera.
Así tenemos que : es una proposición verdadera en 7 .

EJEMPLO. No se puede dividir por cero

PRUEBA. a3b Sea 7 la teoría de los números reales y : la proposición: no se
puede dividir por cero.
a33b Sea 7 w la teoría de los números reales en los cuales se puede dividir
por cero.
a333b Consideremos en 7 w la siguiente igualdad
+œ, +ß , − ™  Ö!×
Se multiplica por + ambos miembros de la anterior igualdad obteniéndose
+# œ +,
Agregue  ,# a los dos lados de la igualdad


+#  ,# œ +,  , #
Factorizando se tiene
a+  ,ba+  ,b œ a+  , b,
Como en 7 se puede dividir por cero, entonces simplificamos por a+  ,bß
w

así se obtiene
+, œ,
Como + œ ,ß se tiene
#+ œ +
Simplificando por + se llega a la proposición
#œ"
Así en la teoría 7 w se tendría simultáneamente
#Á" y #œ"
obteniéndose que 7 w es una teoría contradictoria, ( es usual afirmar en
estos casos que 7 w es absurdo)
Luego no se puede dividir por cero.

3.6 Método del contra-ejemplo. Dada una proposición : la cual quiere ser
probada, es decir, la cual se desea adjuntar como verdadera dentro de
una teoría. El método consiste en hallar un ejemplo donde se diga lo
contrario de la proposición deseada, así la proposición queda
automáticamente falsa dentro de la teoría.

EJEMPLO.En la teoría de los números enteros si el cuadrado de un número
entero es impar el número es primo.

PRUEBA. Se usa el método del contra-ejemplo, así )" œ *# es número impar
sin embargo * no es número primo.
Así la proposición es falsa en la teoría de los números enteros.

3.7 EJERCICIOS.

a"b Puede suceder que E  F œ F ; dé un ejemplo en el cual se cumpla
dicha igualdad. ¿Podría idear (demostrándolo) una condición necesaria y
suficiente para que tal iguadad se cumpla?
a#b Se pide lo mismo que en el a"b pero con respecto a E  F œ E.
a$b Demuestre que si E © F y F © G entonces E © G y que si Q © R
entonces T aQ b © T aR b
Aquí T aQ b œ ÖÎ © Q × el conjunto llamado partes de Q .
a%b Pruebe que
E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b
y que
E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b .


a&b Sea W un conjunto referencial y sean Eß F subconjuntos de W :
Demuestre que
E  F œ E  a CW F b .
a'b Puede suceder que E  F œ F; dé dos ejemplos en los cuales se
cumpla dicha igualdad e idee (demostrándolo) una condición necesaria y
suficiente para que tal igualdad se cumpla.
a(b Sean E" ß E# ß á ß E8 conjuntos. Pruebe que si aE" © E# b y aE# © E$ bß yá y
aE8" © E8 b y aE8 © E" b, entonces E" œ E# œ â œ E8 .
a)b Sean T , U subconjuntos de un conjunto referencial W . Demuestre que
T © U si y sólo si aCW Ub © aCW T b.
a*b Pruebe que aE  F b  G § E  aF  G b, pero que en general no se
tiene la contenencia en el sentido contrario. Demuestre además que
E  aF  G b § aE  F b  aE  G b
a"!b Muestre que E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b
E  aF  G b œ aE  F b  aG  Eb
Pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia.
a""b a+b Dé una justificación a la equivalencia
aaBba:aBb • ; aBbb Í ÒaaBba:aBbb • aaBba; aBbbÓ
a,b Úsela para demostrar que
abBba:aBb ” ; aBbb Í abBba:aBbb ” abBba; aBbb.
Ayuda: niegue en los dos lados de la equivalencia anterior
a"#b Análogamente al ejercicio anterior, justifique que
abBba:aBb • ; aBbb Ê cabBba:aBb • abBba; aBbbbd.
a"$b Halle un referencial y condiciones :aBb, ; aBb adecuadas para hacer
ver que en general abBba:aBbb • abBba; aBbb no implica abBba:aBb • ; aBbb.
a"%b Si E es el conjunto de los enteros múltiplos de ' y F el de los
múltiplos de "!, halle E  F y E  F .
a"&b a+b ¿ Podría hallar dos subconjuntos infinitos del conjunto F de los
números naturales, que sean disyuntos?
a,b ¿Podría hallar siete subconjuntos infinitos de  que sean disyuntos
dos a dos?
a- b ¿Será posible hallar 8 ( siendo 8 número natural mayor que ")
subconjuntos infinitos de  que sean disyuntos dos a dos?

§4. PAREJAS ORDENADAS Y PRODUCTO CARTESIANO

4.1 DEFINICIÓN. Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, una pareja
ordenada a+ß ,b de un elementos de E y otro de F está definida por el
siguiente conjunto
a+ß ,b œ ee+fß e+ß , f f


Si + Á , entonces a+ß ,b Á a,ß +b ya que ee+fß e+ß , f f Á ee, fß e+ß , f f pues por
hipotesis + Á ,.

4.2 PROPOSICIÓN. Si a+ß ,b œ a-ß . b, entonces + œ - y , œ .

DEMOSTRACIÓN. Si a+ß ,b œ a-ß . b entonces ee+fß e+ß , f f=ee- fß e-ß . f f. Para que
se tenga la igualdad es natural que los conjuntos de un elemento sean
iguales o sea
e+f œ e- f y e+ß ,f œ e-ß . f
así del primero se tiene + œ - y del segundo e+ß ,f œ e+ß . f se deduce que
, œ ..

4.3 DEFINICIÓN. Sean E y F dos conjuntos de un universo dado. Se define
el producto cartesiano de E por F mediante la siguiente proposición
aBß Cb − E ‚ F Í B − E • C − F
es decir, es el conjunto de parejas ordenadas tales que la primera
componente está en E y la segunda en F . Si hacemos uso de un diagrama
de Venn, podríamos interpretarlo así

AXB

y (x,y)

B

A

E ‚ F œ eaBß CbÎB − E • C − F f
x

4.4 PROPOSICIÓN. Sean Eß F y G conjuntos de un universo dado
a 3b E ‚ a F  G b œ a E ‚ F b  a E ‚ G b
a33b E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b

DEMOSTRACIÓN. a3b Sea : − E ‚ aF  G b Í : œ aBß C b À aBß C b − E ‚ aF  G b
Í B − E • C − F  G Í B − E • aC − F ” C − G b Í aB − E • C − F b ” aB − E • C − G b
Í aBß Cb − E ‚ F ” aBß C b − E ‚ G Í : − E ‚ F ” : − E ‚ G
Í : − a E ‚ F b  aE ‚ G b
Análogamente se procede para a33b


4.5 EJERCICIOS.

a"b Sean Vß Wß X conjuntos de un universo dado. Demostrar que
aV  W b ‚ X § V ‚ aX  W b.
a#b En las hipótesis de a"b demuestre que V ‚ aW  X b § aV  X b ‚ W


a$b Negar las siguientes frases:


Si todos los animales tienen plumas, entonces algunos hombres
tienen cuernos.
Algunos animales son mamiferos y todos tienen piel, es equivalente
a decir que algunas aves tienen piel y todas son ovíparas.
Si todos los toreros son buenos, entonces algún toro Colombiano
embiste.
a%b Cuantifique las siguientes frases:
Los habitantes europeos son todos industriales
En la Universidad Nacional unos estudiantes son físicos
Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo siempre
miden ")!! .
a&b ¿Qué sentido tiene para usted, expresiones como
aaBba#  $ œ &bß abBba# † % œ )b?. ¿Son estas proposiciones? ¿Se podría
suprimir el cuantificador?
a'b Sean Eß F y G conjuntos en un universo, muestre que
E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b
E  aF  G b œ aE  F b  aG  Eb
pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia.
a(b Definimos una nueva operación entre conjuntos llamada la diferencia
simétrica así:
E?F =eBÎB − E  B − F f
a+b Usando una tautología apropiada pruebe la asociatividad de la
”

diferencia simétrica: aE˜F b˜G œ E˜aF˜G b
a,b Demuestre que E˜F œ aE  F b  aF  Eb
a- b Pruebe que la diferencia simétrica es conmutativa
a. b Pruebe que E˜F œ E  F  aE  F b
a/b Usando diagrama de Venn y luego prescindiendo de ellos, halle E˜F,
E˜E y E˜F si E § F .
a)b ¿En qué caso E ‚ F es igual a F ‚ E?


a*b Sea E œ Ö#ß $×, F œ Ö!ß "× y G œ Ö"×. Halle y represente gráficamente los
siguentes conjuntos: E ‚ F , F ‚ aE  G bß aE ‚ F b  aE ‚ G b, E ‚ aF  G b,
a E ‚ G b  a E ‚ G b , E ‚ aF  G b .
a"!b ¿Qué es Ò!Ó ‚ ÖBß C×, donde B y C son números reales?
a""b Si E es un conjunto cualesquiera, ¿qué es E ‚ Ö × ?
Nota: Recuerde que Ö × œ F œ conjunto vacío.
a"#b a+b Represente gráficamente Ò  #ß $Ó ‚ Ò  %ß  "Ó
a,b Idee una representación de a  #ß $b ‚ Ò  $ß  "Ó


a- b ¿Cuál sería la gráfica de Ö#× ‚ a"ß  _b?
a. b Idem. de d ‚ Ö$×.
a"$b Represente gráficamente:
a+b Ð  _ß #Ó ‚ Ð"ß  _Ñ a. b Ð"ß $Ó ‚ Ò  #ß  _Ñ
a,b Ò#ß  _Ñ ‚ Ð"ß  _Ñ a/b Ð  _ß #Ó ‚ Ò  "ß $Ñ
a- b Ò  #ß $Ó ‚ d a0 b d ‚ a  "ß $b
a"%b Demuestre que
E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b
y que
E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b.

§5. RELACIONES Y FUNCIONES

Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, y consideremos su
producto cartesiano E ‚ F . Todo subconjunto de E ‚ F es llamado una
relación de E en F . Puesto que F § E ‚ F entonces el vacío F es también

una relación de E en F , lo mismo puede decirse de E ‚ F que es una
relación de E en F .

EJEMPLO.E œ e+ß ,ß - fß F œ e"ß #ß $f
V" œ ea+ß "bß a+ß #bß a,ß #bß a,ß $bß a-ß "bf
V# œ ea+ß "bfß V$ œ ea+ß "bß a+ß #bß a+ß $bf
son relaciones de E en F .

5.1 DEFINICIÓN. Sea V una relación de E en F , el conjunto
HV œ e+ − EÎab, − F baa+ß , b − V bf
es llamado el dominio de la relación.
De otra manera el conjunto de todos los primeros elementos de las
parejas que forman a V es llamado dominio de la relación.

5.2 DEFINICIÓN. Sea A una relación de E en F . El conjunto F es llamado
codominio de la relación y el conjunto
V/-A œ e, − FÎab+ − Ebaa+ß , b − Abf
es llamado el recorrido de la relación. Es decir el recorrido es el conjunto
de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas que forman la
relación.

EJEMPLO. En el ejemplo anterior se tiene
V/-V " œ e"ß #ß $f HV" œ e+ß ,ß - f
V/-V# œ e"f HV# œ e+f


V/-V$ œ e"ß #ß $f HV$ œ e+f.

5.3 DEFINICIÓN. Sea V una relación de E en F se dice que V es una relación
funcional aó gráfica funcionalb si
a3b El dominio de V es E
a33b La siguiente proposición es siempre verdadera
aaBbaaCbaaD baaBß C b − V • aBß D b − V Ê C œ D b.

EJEMPLOS a"b šaBß CbÎC œ È"  B# › § Ò  "ß "Ó ‚ d es una relación funcional

de Ò  "ß "Ó en d mientras que
K œ eaBß C bÎB#  C # œ "f
no lo es , ya que a!ß "b y a!ß  "b son elementos de K y no se cumple la
condición a33b de la definición.
a#b Sean œ e%ß &ß 'ß (f y ] œ e+ß ,ß -ß .ß /f 0 œ ea%ß +bß a&ß +bß a'ß +bß a(ß /bf es
una relación funcional, mientras que J œ ea%ß +bß a&ß ,bß a'ß . bf no lo es ya
que HJ Á .

5.4 NOTACIÓN. Cuando 0 es una relación funcional, aBß C b − 0 se
acostumbra escribir C œ 0 aBb. También, "0 es una función de en ] " se
escribe

0
0 À ⎯→ ] ó ⎯→ ]

La función 0 descrita en el ejemplo a#b se puede escribir entonces en la
forma

X Y
4 a
5 b
6 c
7 d
e
Así, la condición a3b dada al comienzo significa: de todo elemento de
sale una flecha y la condición a33b de ningún elemento de salen dos o
más flechas. Es de notar que a un elemento de ] pueden llegar varias
flechas o ninguna.

5.5 DEFINICIÓN. Sea un conjunto de un universo dado, se llama diagonal
de al conjunto


? œ eaBß BbÎB − f

EJEMPLO. Si œ e+ß ,ß - f entonces ? œ ea+ß +bß a,ß , bß a-ß - bf

5.6 DEFINICIÓN. Sean e ] conjuntos, sea K § ‚ ] una gráfica o

relación. Se llama gráfica inversa de K al conjunto

K" œ eaBß C bÎaCß Bb − Kf § ] ‚


5.7 DEFINICIÓN. Sean K" § ‚ ] y K# § ] ‚ ^ . se llama gráfica compuesta
 
por K" y K# y se nota K# ‰ K" al conjunto

eaBß D bÎabC − ] baaBß C b − K" • aCß D b − K# bf

nótese que K# ‰ K" § ‚ ^ .


EJEMPLO. a"b Sea œ e"ß #ß $fà ] œ e+ß , fà ^ œ e+ß ‡f consideremos
K" œ ea"ß +bß a#ß +bß a"ß ,bß a$ß ,bf
K# œ ea+ß ˆ bß a+ß ‡bf
K$ œ ea,ß ‡bf
entonces
K# ‰ K" œ ea"ß ˆ bß a"ß ‡bß a#ß ˆ bß a#ß ‡bf y K$ ‰ K" œ ea"ß ‡bß a$ß ‡bf
a#b Sean K" œ eaBß C bÎB − d • C œ B# fß K# œ eB − d • C œ sin Bf
entonces
K# ‰ K" œ eaBß C bÎB − d • C œ sin B# f.

Podemos ahora preguntarnos ¿si al componer dos gráficos funcionales
se obtiene un gráfico funcional?, la respuesta es si. Más exactamente
tenemos.

5.8 PROPOSICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ ^ dos funciones entonces
1 ‰ 0 À ⎯→ ^ es una función

DEMOSTRACIÓN. a3b Como 0 es función se tiene la veracidad de la siguiente
proposición
aaB − babxC − ] baaBß C b − 0 b
y como 1 es también función para cada C − ] habrá un elemento D − ^ tal
que aCß D b − 1. Entonces ligando estas dos afirmaciones tenemos que
aaB − babD − ^ baaBß D b − 1 ‰ 0 b Ê § Ha1 ‰ 0 b §
 
entonces se tiene que
H a1 ‰ 0 b œ
a33b Tomemos aBß D b − 1 ‰ 0 • aBß D w b − 1 ‰ 0 entonces
cabC − ] baaBß C b − 0 • aCß D b − 1bd • cabC w − ] baaBß C w b − 0 • aC w ß D w b − 1bd


de la asociatividad de la conjunción se desprende que
caBß Cb − 0 • aBß C w b − 0 d • caCß D b − 1 • aC w ß D w b − 1d
Como 0 es una función cumple el axioma a33b por lo tanto
C œ C w • caCß D b − 1 • aC w ß D w b − 1d
ahora como 1 es funcional cumple también a33b de donde
D œ Dw
Así como 1 ‰ 0 cumple a3b y a33b de la definición de función se sigue que
1 ‰ 0 es una función de en ^ . En este caso es costumbre escribir
aBß D b − 1 ‰ 0 en la forma D œ a1 ‰ 0 baBbß óß D œ 1a0 aBbb.

5.9 EJERCICIOS

a"b Halle las gráficas inversas de
J œ ˜aBß CbÎB − d  Ö!× • C œ B ™ ; K œ eaBß C bÎB − d • C œ sin Bf
"

a#b Sean K" y K# gráficas de en ] demuestre que
a+b Si K" § K# entonces K" § K#
" "

a,b aK" b œ K"
 
" "

a$b ¿ Que relación encuentra entre dominio Kß recorrido de Kß dominio de
K" y recorrido de K" ?
a%b ¿La relación "B es profesor de C" es una función? ¿Lo sería la relación "B
es alumno de C" ?.
a&b Halle dominio y recorrido de la relación "B es hijo de C" . ¿ es una
función?. Reflexione antes de responder.
a'b Sean E œ Ö!ß &ß (ß %× y F œ Ö"ß #ß $× dos conjuntos. Defina cuatro
funciones de E en F y cuatro de F en E.
a(b Dadas las funciones
a+b 0 aBb œ B#
"
a,b 1aBb œ "  #B# a- b J aBb œ #B  $
a. b KaBb œ  É $B  $
#
a/b ,aBb œ É B#
B"

a0 b ?aD b œ D #  # a1b @aBb œ B#
#
B

3Ñ Calcule su valor en el número real ".
33Ñ Halle los números 0 a)bß 1a"Þ&bß ,ˆ " ‰ß J a!bß Ka  $bß ?a'bß ?a!bß ?a  &bß @a$bß y
@ a !b Þ
&

333Ñ Halle el dominio y el recorrido de cada una de ellas
a)b Consideremos las siguientes funciones:

a+b d ⎯→ d a,b d ⎯→ d a- b d ⎯→ d
J -$ 1

B È B#  & BÈ$ B È B$

a. b a/b d ⎯→ d a0 b d ⎯→ d
3. = P
d ⎯→ d
B È 3. aBb œ B BÈ B B È $B  #


+,=
a1b B È B si B !
d ⎯→ d

B È  B si B  !
es decir, +,=aBb œ B si B ! y si B  !, +,=aBb œ  B (Se llama valor
absoluto de B, en lugar de +,=aBb se acostumbre escribir lBl )
a3b Halle -$ a!bß -$ a  "bß -$ a"!bß 1a  "bß 3. a#bß 3. a  $bß Pa#bß Pa  &bß =a#bß =a!bß
+,=a  #bß +,=a#bß +,=a!bß l  "  l!llÞ
a33b Halle el recorrido de cada una de las funciones inmediatamente
anteriores.

§6. CLASES DE FUNCIONES

6.1 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función. Si el recorrido de 0 es todo ] ,
entonces 0 se llama sobreyectiva o una epiyección o simplemente 0 es
una función de sobre ] .

Puede también decirse en forma equivalente, que 0 À ⎯→ ] es una
función sobre cuando la siguiente proposición es verdadera
aaC − ] babB − baC œ 0 aBbb

6.2 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función. Se dice que 0 es una función
uno a uno ó una inyección si la siguiente proposición es verdadera
aaBbaaCba0 aBb œ 0 aC b Ê B œ C b

Esta proposición es claramente equivalente a
aaBbaaCbaB Á C Ê 0 aBb Á 0 aC bbÞ

EJEMPLO. a"b eaBß CbÎB − d • C œ B$ f es una función uno a uno de d sobre d
a#b 0 œ eaBß C bÎB − d • C œ #B f es una función uno a uno de d en d . No es
sobre, pues el recorrido de 0 no contiene al cero ni a los números
negativos. Se puede volver sobre tomando œ d e ] œ d œ números
reales positivos. Así
0 ⎯→ ]
B È #B
es uno a uno y sobre.

Una función que a la vez es una inyección y una epiyección se le llama
una biyección.


6.3 FUNCIÓN INVERSA

Sea 0 À ⎯→ ] una función. Sabemos que 0 " œ eaCß BbÎaBß C b − 0 f es una
gráfica inversa, nos preguntamos ¿en que caso 0 " es una función?
Veamos antes algunos ejemplos.

f :X Y
1 a
2 b
3 c
4 d
e
o sea 0 œ ea"ß +bß a#ß ,bß a$ß /bß a%ß . bf, la gráfica inversa es
0 œ ea+ß "bß a,ß #ba/ß $bß a.ß %bf. Analizando el dominio de 0 , vemos que
" "

H0 " Á ] . Luego 0 " no puede ser función ¿la causa? puesto que
Recorrido de 0 Á Dominio de 0 " ; tenemos que 0 no es sobre.
Consideremos otro caso dado por

g
X Y
α a
β b
γ c
δ
o sea 1 œ ea!ß +bß a" ß ,bß a# ß - bß a$ ß +bf entonces su gráfica inversa será

1" œ ea+ß !bß a,ß " bß a-ß # bß a+ß $ bf

puesto que ! Á $ y a+ß !b − 1" ß • ß a+ß $ b − 1" , se sigue que 1" no es
función ¿la causa? 1 no es uno a uno.

Estos ejemplos nos dicen que si 0 no es uno a uno ó 0 no es sobre
entonces 0 " no es una función. Es decir, si 0 " es función, entonces 0
debe ser uno a uno y sobre. Como 0 œ a0 " b es una función entonces
"

0 " es también uno a uno y sobre.

En este caso, para todo B − existe C − ] tal que aBß C b − 0 • aCß Bb − 0 "
de donde aBß Bb − 0 " ‰ 0 por lo tanto B œ a0 " ‰ 0 baBb œ ? aBb luego
0 " ‰ 0 œ ? œ .3+198+6 de .

Análogamente, para todo C − ] existe B − tal que aCß Bb − 0 " • aBß C b − 0
entonces aCß Cb − 0 ‰ 0 " entonces C œ a0 ‰ 0 " baC b œ ?] aC b luego
0 ‰ 0 " œ ?] œ .3+198+6 de ] Þ


En forma de diagonal

X Y X-1
Y X Y
-1 -1
x f(x) f (f(x))= x y f (y) f(f (y))= y
∆X ∆Y

6.4 DEFINICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ funciones, se dice que 0 y
1 son funciones inversas si
1 ‰ 0 œ ? y 0 ‰ 1 œ ?]
Las ideas anteriores quedan resumidas en el siguiente teorema

6.5 TEOREMA. Sea 0 À ⎯→ ] una función, 0 tiene función inversa si y sólo
si 0 es uno a uno y sobre.

DEMOSTRACIÓN. a+b " Ê " Sea 0 una función y 1 su inversa
Si 0 aBb œ 0 aBw b entonces 1a0 aBbb œ 1a0 aBw bb
o sea a1 ‰ 0 baBb œ a1 ‰ 0 baBw b entonces ? aBb œ B œ Bw œ ? aBw b
Luego 0 es uno a uno
Ahora como 1 es función se tiene aaC − ] babB − ba1aC b œ Bb entonces
0 a1aCbb œ 0 aBb œ a0 ‰ 1baC b œ ?] aC b œ C
Luego aaC − ] babB − ba0 aBb œ C b así 0 es sobre.
a,b" É " Supongamos que 0 es uno a uno y sobre entonces
aaC − ] babB − ba0 aBb œ C b
pero éste B es único ya que 0 es uno a uno. Si llamamos
1 œ eaCß BbÎC œ 0 aBbf
1 es una función de ] en y evidentemente 1 œ 0 " ya que:
a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ 1aC b œ B œ ? aBb
a0 ‰ 1baCb œ 0 a1aC bb œ 0 aBb œ C œ ?] aC b.

6.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

6.6.1 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función, y E § , llamamos 0 aEb al

conjunto de las imágenes de los elementos de E
0 aEb œ e0 aBbÎB − Ef
Notacionalmente : − 0 aEb Í abB − Eba0 aBb œ :b.

6.6.2 PROPOSICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] una función, E § • F § . Las
 
siguientes proposiciones son verdaderas
a + b 0 a E  F b œ 0 aE b  0 aF b
a , b 0 a E  F b © 0 aE b  0 aF b

DEMOSTRACIÓN. Usando tipo de demostración directa tenemos:


a+b : − 0 aE  F b Í abB − E  F ba0 aBb œ :b Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ :b Í
Í abBbaaB − E ” B − F b • 0 aBb œ :b Í abBbaaB − E • 0 aBb œ :b ” aB − F • 0 aBb œ :bb
Í a: − 0 aEb ” : − 0 aF bb Í : − 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ
a,b : − 0 aE  F b Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ :b
entonces
abBbaB − E • B − F • 0 aBb œ :b
entonces
abBbacB − E • 0 aBb œ :d • cB − F • 0 aBb œ :db
entonces
: − 0 aEb • : − 0 aF b
de donde
: − 0 aEb  0 aF b

La igualdad de a,b no se tiene en general como lo podemos apreciar en el
siguiente ejemplo

EJEMPLO. Sea œ eBß Cß Dß +ß ,ß -ß /ß 0 ß 1f, ] œ e!ß "ß #ß ?ß %f, E œ eBß Cß 1f,
F œ e+ß ,ß -ß 1f y consideremos la función dada por

f: X Y
x α
y
z β
a
b γ
c
e
f ∆
g
ε

tenemos 0 aEb œ e!ß " fß 0 aF b œ e?ß %ß !ß " f, 0 aEb  0 aF b œ Ö!ß " ×, E  F œ Ö1×
y 0 aE  F b œ Ö!×, de aquí tenemos
0 aE  F b œ Ö!× § Ö!ß " × œ 0 aEb  0 aF b

6.6.3 DEFINICIÓN: Sean 0 À ⎯→ ] y H © ] ; se llama imágen recíproca de
H por 0 al conjunto
0 " aHb œ ÖB − Î0 aBb − H×
En el lenguaje de la teoría de conjuntos tenemos
: − 0 " aHb Í 0 a:b − H

EJEMPLO. Sea la función


f:X Y
1 a
2 b
3 c
4 d
5
entonces 0 " aÖ,ß -ß .×b œ Ö"ß $ß %ß &×ß 0 " aÖ.×b œ Fß 0 " aÖ-×b œ Ö%ß &×. Es
evidente que 0 " a] b œ .

6.6.4 PROPOSICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función G © ] y H © ] entonces
0 " aG  Hb œ 0 " aG b  0 " aHb.

DEMOSTRACIÓN. Sea B − 0 " aG  Hb Í 0 aBb − G  H Í 0 aBb − G ” 0 aBb − H
ÍB−0 "
aG b ” B − 0 " aHb Í B − 0 " aG b  0 " aHb.

6.6.5 PROPOSICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función y sea E © . Entonces
tenemos
a+b 0 " a0 aEbb ª E
a,b Si 0 es uno a uno, 0 " a0 aEbb © E

DEMOSTRACIÓN. a+b Sea B − E entonces 0 aBb − 0 aEb usando la definición de
imágenes recíprocas se tiene B − 0 " a0 aEbb
a,b Sea B − 0 " a0 aEbb entonces 0 aBb − 0 aEb teniéndose que
a! b B Â E  a" b B − E
Veamos que a!b es falsa, en esta forma a" b es verdadera y quedará la
”

proposición demostrada.
Si B Â E, como C œ 0 aBb − 0 aEb deberá existir por definición de 0 aEbß un
elemento Bw − E tal que 0 aBw b œ C − 0 aEb entonces 0 aBb œ 0 aBw b y B Á Bw esto
implica que 0 no es uno a uno lo cual está contra la hipótesis de que 0 es
uno a uno

6.7 EJERCICIOS

a"b Hallar las funciones inversas de

a+b d ⎯→ d a,b d ⎯→ d a- b d ⎯→ d
B È B$
a#b Demuestre que si 0 es uno a uno entonces 0 aEb  0 aF b © 0 aE  F b con
B È #B B È B#

lo cual la parte a,b de 6.6.2 se tendría 0 aEb  0 aF b œ 0 aE  F b
a$b Demuestre que 0 " aG  Hb œ 0 " aG b  0 " aHb


a%b Sea 0 À ⎯→ ] y sea H © ] Þ Demuestre que
a+b 0 a0 " aHbb © H
a,b Si 0 es sobre 0 a0 " aHbb œ H
a&b Pruebe que una restricción de una función 0 À E⎯→ F se puede definir
simplemente como una función 1 À G ⎯→ H tal que 1 © 0 y H © F
Nota: significa que aBß C b − 1 Ê aBß C b − 0 es decir,
aB − H97a1ba1aBb œ 0 aBbb
1©0

a'b a+b Si E es un conjunto con diez elementos y F un único elemento,
halle todas las funciones de E en F .
a,b Halle todas las funciones de un conjunto E con tres elementos, en
otro con dos elementos.
a- b Halle todas las funciones de un conjunto E con cuatro elementos en
otro F con dos elementos.
a. b Podría hallar una fórmula para calcular el número de funciones de un
conjunto E con 8 elementos en otro F con 7 elementos. ¿ Podría
justificar dicha fórmula?
a(b Dada la función 0 aBb œ B#  #B  ) de d en d ,
a+b Halle su recorrido.
a,b Restrinja el codominio de 0 para obtener una función sobreyectiva.
a- b Sin variar el codominio de la función en a,b, halle una restricción
biyectiva que sea contínua.
a. b Halle gráfica y algebráicamente la función inversa de la restricción
hallada en a- bÞ
a)b Si 0 À E⎯→ F y 1 À G ⎯→ H son biyecciones, demuestre que la
función inversa de 1 ‰ 0 es 0 " ‰ 1" .
a*b Sean 0 À E⎯→ F biyectiva, 0 " su inversa y R un subconjunto de F.
Pruebe que la imagen recíproca 0 " es igual a la imagen directa de R por
medio de la función inversa 0 " .

§ 7. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA aOPERACIONESb

7.1 DEFINICIÓN: Sea I un conjunto. Una función X de I ‚ I en I
X À I ‚ I ⎯→ I
se llama una ley de composición interna definida en toda parte de I ó
una operación binaria definida en todo I .
En adelante, siempre que digamos ley de composición definida en I , se
entenderá definida en toda parte de I . Se acostumbra notar X aBß C b en la
forma BX C.

EJEMPLOS 1. Una ley de composición interna es la suma de números
naturales

a7ß 8b È  a7ß 8b œ 7  8
 : ‚  ⎯→ 


es decir,
 œ eaa7ß 8bß 7  8bÎ7 −  • 8 − f

2. La suma común y corriente de números reales

aBß Cb È aBß Cb œ B  C
 À d ‚ d ⎯→ d

es claramente una ley de composición interna en d.

Nótese que los ejemplos a"b y a#b son diferentes, aún cuando se notan las
funciones con el mismo signo.

3. Sea I œ e+ß ,f consideremos X œ eaa+ß +bß +bß aa+ß , bß , bß aa,ß +bß +bß aa,ß , bß +bf
se obtiene que X es una ley de composición interna en I ; también se
acostumbra escribir en la forma

+X + œ +ß +X , œ ,ß ,X + œ + y ,X , œ +

ó en un cuadrado de la forma

X + ,
+ + ,
, + +

Así si se quiere hallar BX C, deberá tomarse B sobre la primera columna de
la izquierda y C sobre la primera fila y el resultado está en el cruce de la
fila con la columna correspondiente.

4. Sea I el conjunto de todas las proposiciones. Decimos que dos
proposiciones son iguales, si son equivalentes, es decir : œ ; significa :
es verdadera si y sólo si ; es verdadera.

a:ß ; b È : • ;
Entonces • À I ‚ I ⎯→ I (la conjunción entre proposiciones)

es una ley de composición interna en I .

5. Sea I como en el ejemplo 4. la implicación de dos proposiciones

a:ß ; b È : Ê ;
Ê À I ‚ I ⎯→ I

es una ley de composición interna.

6. Sea un conjunto y denotemos con c ÐÑ al conjunto formado con
todos los subconjuntos de , también llamado partes de . La reunión es
una ley de composición interna definida en cÐÑ
 À c ÐÑ ‚ c ÐÑ⎯→ c ÐÑ
aEß F b È E  F


7. la exponenciación definida en los
aBß Cb È B‡C œ BC
‡ À d ‚ d ⎯→ d

números reales positivos es una ley de composición interna definida en
toda parte de d . Si en lugar de d se toma d , no se tendría definida una
ley de composición definida en toda parte de d ya que B # no es real
"

cuando B  !.

8. Sea un conjunto no vacío. Sea ¹ el conjunto de todas las funciones
de en (¹=e0 Î0 À ⎯→ f)

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À ¹ ‚ ¹ ⎯→ ¹

la composición usual entre funciones, es una ley de composición interna
en ¹.

7.1.2 EJERCICIOS

a"b Sea d el conjunto de los números reales

aBß Cb È B  C
 À d ‚ d ⎯→ d

la diferencia entre números reales, se pregunta ¿es  una ley de
composición interna definida en toda parte de d?

a#b Sea I un conjunto cualquiera y ! − I . ¿ Son

aBß Cb È B ¼ C œ B aBß C b È BX C œ !
¼ : I ‚ I ⎯→ I ß X À I ‚ I ⎯→ I

leyes de composición definidas en toda parte de I ?

a$b Consideremos
aBß Cb È B ƒ C
ƒ À d ‚ d ⎯→ d la división en d entonces ƒ

no es una ley de composición interna definida en toda parte de d ¿por
qué?

7.2 CLASES DE LEYES DE COMPOSICIÓN

a+b Una ley de composición X À I ‚ I ⎯→ I se llama asociativa si y sólo
si
aa+ − I baa, − I baa- − I baa+X , bX - œ +X a,X - bb
Se puede probar fácilmente que las leyes de composición dadas en los
ejemplos a"bß a#bß a$bß a%bß a'b y a)b anteriores son leyes asociativas. Así para
a)b, tenemos
aa0 ‰ 1b ‰ 2baBb œ a0 ‰ 1ba2aBbb œ 0 a1aBbbß
a0 ‰ a1 ‰ 2bbaBb œ 0 aa1 ‰ 2baBbb œ 0 a1a2 aBbbb
aB −
aB −
Como coinciden en todos los puntos de se tiene
a 0 ‰ 1 b ‰ œ 0 ‰ a1 ‰ 2 b
Las leyes de los ejemplos a&b y a(b no son asociativas, puesto que


c a : Ê ; b Ê < d Á c : Ê a; Ê < b d
puesto que si se toman proposiciones :ß ;ß < todas falsas entonces
a: Ê ; b Ê < resulta falsa pero : Ê a; Ê <b es verdadera.
Ahora en a(b se tiene
a#‡$b‡# œ a#$ b Á #ˆ$ ‰ œ #‡a$‡#b
# #

a,b Una ley de composición X se llama conmutativa si
ÐaB − IÑaaC − I baBX C œ CX Bb
Las operaciones binarias de los ejemplos a"bß a#bß a%b y a'b anteriores son
conmutativas, mientras que a$bß a&bß a(bß a)b no son conmutativas. Así en a$b
+X , œ , Á + œ ,X +, en a&b : Ê ; Á ; Ê : en muchos casos, en a(b #$ Á $# y
en a)b 0 ‰ 1 Á 1 ‰ 0 en general

a- b Una ley de composición binaria X en I se llama modulativa si existe
/ − I tal que
ÐaB − IÑa/X B œ BX / œ Bb
/ es llamado el módulo de X .

a"b • À d ‚ d ⎯→ d
aBß Cb È B•C
EJEMPLOS. el producto de números reales es

modulativo pues, ÐaB − dÑaB † " œ " † B œ Bb

a#b Si suponemos que cero es un número natural entonces la suma de
números naturales es modulativa pues; Ða8 − Ña!  8 œ 8  ! œ 8b

a$b Para la suma entre números reales el cero también es el módulo; en el
cunjunto ca b partes de el conjunto vacío es el módulo para la unión
de conjuntos pues, ÐaE − c ÐÑÑaE  F œ F  E œ Eb; en el conjunto ¹ de
todas las funciones definidas sobre un conjunto la aplicación idéntica
de , ó la diagonal de es el módulo para la composición de funciones
pues, Ða0 − ¹Ña0 ‰ ? œ ? ‰ 0 œ 0 b
Claramente los ejemplos a$bß a%b y a&b de la sección 7.1 no son modulativos
lo mismo que a(b ya que " Á " œ .

a. b Una operación X en I modulativa, se llama invertiva si
ÐaB − IÑÐbBw − IÑaBX Bw œ Bw X B œ /b
donde / es el módulo de I para X .

EJEMPLOS. a"b El ejemplo a"b del numeral 7.1 no es invertiva ya que no
existe un número natural Bw tal que &  Bw œ Bw  & œ !

a#b De la misma sección el ejemplo a#b es una ley invertiva; el ejemplo a'b
es de una ley modulativa pero no es invertiva puesto que


ÐaE − c ÐÑÑaE  F œ F  E œ Eb, pero dado E Á F no existe un conjunto
Ew tal que E  Ew œ Ew  E œ F ya que E  Ew ¨ E Á F.

a$b La ley de composición dada en el ejemplo 8 de la sección 7.1 no es
invertiva, pues si 0 À ⎯→ es una función que no es ni uno a uno ni
sobre, no existe 0 w tal que 0 ‰ 0 w œ 0 w ‰ 0 œ ? . Sin embargo en este
conjunto se habla con frecuencia de funciones invertibles a la derecha ó a
la izquierda. Ahora si se toma À como el conjunto de las funciones de
en que son uno a uno y sobre ó sea de las biyecciones entonces

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À À ‚ À ⎯→ À

es una ley de composición invertible.

7.3 EJERCICIOS.

a"b Sea W œ Ö:+<ß 37:+<× y definamos en W una adición así:
W ‚ W ⎯→ W
a:+<ß :+<b È :+<  :+< œ :+<
a:+<ß 37:+<b È :+<  37:+< œ 37:+<
a37:+<ß :+<b È 37:+<  :+< œ 37:+<
a37:+<, 37:+<b È 37:+<  37:+< œ :+<
¿Es una operación eta adición? ¿ en caso de serlo es modulativa e
invertiva?
a#b ¿Es la operación resta entre números reales modulativa e invertiva?.
a$b Busque dos ejemplos más de operaciones no conmutativas y dos de
operaciones modulativas no invertivas.
a%b a+b En un conjunto de dos elementos, defina una operación asociativa
y no conmutativa.
a,b ¿Conoce una operación asociativa y no conmutativa definida en un
conjunto infinito?.
a&b Definamos +  , œ a+  ,b  a+ † ,b siendo + y , números reales
cualesquiera; demostrar que
a+b  es una operación
a,b  es conmutativa
a- b  es asociativa
a. b ¿Bajo qué condiciones  es modulativa?
a/b ¿Es  invertiva?
Nota:  es llamada adiplicación.
a'b Pruebe que para una operación modulativa, el módulo es único
a(b Demuestre que si ‡ es invertiva en W , entonces para un elemento
cualquiera, su inverso es único.


§8. CONCEPTO DE GRUPO

8.1 DEFINICIÓN. Sea K un conjunto en el cual se ha definido una ley de
composición interna X . K se llama un grupo para X , ó la dupla ØKß X Ù se
llama un grupo, si X es una ley de composición que es asociativa,
modulativa e invertiva. Si además X es conmutativa, K se llama un grupo
abeliano o conmutativo.

EJEMPLOSa"b Ødß  Ù, es decir, los números reales con la suma son un
grupo abeliano.

a#b Ød  Ö!×ß •Ù es un grupo abeliano, pues los axiomas de d afirman que
Ða+ − d  Ö!×Ñaa, − d  Ö!×bÐa- − d  Ö!×Ñaa+ † , b † - œ + † a, † - bb
Ða+ − d  Ö!×Ña" † + œ + † " œ +b
Ða+ − d  Ö!×Ñab+w − d  Ö!×ba+ † +w œ +w † + œ "b
Ða+ − d  Ö!×ÑÐa, − d  Ö!×Ña+ † , œ , † +b

a$b Sea À œ e0 À ⎯→Î0 es uno a uno y sobref donde Á F,
consideremos

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À À ‚ À ⎯→ À

como ley de composición en À. Entonces ØÀß ‰ Ù es un grupo no
abeliano. Ya demostramos que la composición de funciones cualesquiera
es asociativa, luego en particular en este caso se tiene la asociatividad.
Como ? es uno a uno y sobre, ? − À, entonces se tiene que la
composición es modulativa y también es invertiva.

a%b Sea K œ ™Îa#b œ ™ÎT +</= œ ˜ ! ß " ™ y considere la tabla
• •
• •
+ ! "
• • •
! ! "
• • •
" " !
la cual define en ™/a#b una operación, asociativa, modulativa ( ! es el
•
módulo), invertiva ˆ !  ! œ ! • "  " œ ! ‰ y conmutativa, Luego Ø™/a#bß  Ù
• • • • • •
es un grupo abeliano.

a&b Consideremos el plano euclidiano y en él un punto fijo T à podemos
rotar alrededor de T el plano un ángulo :
 $'!!  :  $'!!
ó mejor
 #1  :  # 1
se mide en radianes. : es considerado positivo cuando se rota en el
sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y negativo en el
otro sentido. Una rotación del plano en un ángulo : lo denotaremos V: y


es en realidad una aplicación del plano en si mismo, más aún es una
función uno a uno del plano sobre si mismo. Sea
K œ eV: ÎV: es una rotación del planof
Definimos en K la operación

aV: ß V< b È V: ‰ V< œ V:<
‰ À K ‚ K ⎯→ K

Sabemos ya que ‰ es asociativa, además tomando V! como módulo la ley
es modulativa y como
V : ‰ V : œ V ! œ V  : ‰ V : aV:
se sigue que la ley es invertiva. Claramente es conmutativa, luego ØKß ‰ Ù
es un grupo abeliano.

a'b Sea # un plano euclidiano con un sistema de coordenadas
cartesianas. Sabemos que un punto T se determina dando sus
coordenadas aBß Cb. Identifiquemos entonces T con sus coordenadas
aBß Cb. Definimos una función
L> À #⎯→ #
así
L> aaBß C bb œ a>Bß >C b >Á!
Teniéndose que L> es uno a uno, ya que
L> aaBß Cbb œ L> aaB" ß C" bb Í a>Bß >C b œ a>B" ß >C" b Í >B œ >B" • >C œ >C"
como > Á ! podemos simplificar para obtener
B œ B" • C œ C" Í aBß C b œ aB" ß C" b
L> es sobre; puesto que dado aBß Cb − # entonces ˆ B ß C ‰ − # y se tiene que
L> ˆ B ß C ‰ œ aBß C b
> >

Sea ahora L œ šL> À #⎯→ #‚> − d  Ö!×› y definimos en L la siguiente
> >

ley de composición

aL> ß L= b È L> ‰ L= œ L>=
‰ À L ‚ L ⎯→ L

entonces resulta que ‰ es asociativa y conmutativa en L , como se
prueba fácilmente. Además L" es el módulo y
L> ‰ L " œ L" aL>
>

luego la ley es invertiva. Así ØLß ‰ Ù es un grupo abeliano llamado de las
homotecias del plano.

a(b Sea # un plano euclidiano, si aBß Cb − # y +ß , − d definimos la
aplicación X+ß, :#⎯→ # como sigue:
X+ß, aaBß Cbb œ a+  Bß ,  C b
Es fácil ver que X+ß, es uno a uno y sobre. Considérese
Ã œ šX+ß, :#⎯→ #‚+ß , − d ›
al conjunto de todas las posibles X+ß, , y definamos en Ã la siguiente ley
de composición


‰ :Ã ‚ Ã ⎯→ Ã
aX+ß, ß X-ß. b È X+ß, ‰ X-ß. œ X+-ß,.
la cual resulta asociativa y conmutativa en Ã como fácilmente se puede
verificar, X!ß! es el módulo, además como
a
X+ß, ‰ X+ß, œ X!ß! X+ß,
entonces la ley es también inversible, así ØÃ, ‰ Ù es un grupo abeliano
llamado el grupo de las translaciones.

8.2 EJERCICIOS

a"b. Demuestre que L= ‰ L> œ L=> , donde L> se define como en el ejemplo
a'b de la anterior sección.
a#b Dé una interpretación geométrica a los efectos producidos en el plano
por las homotecias y las translaciones.
a$b En el conjunto cociente ™/a5 b œ ˜!ß "ß #ß á ß 5  "™ definimos una
relación muy especial dada por
™Îa5 b ‚ ™Îa5 b ⎯→ ™/a5 b
ˆ+ß ,‰ È +  ,
Demuestre que esta relación es una ley de composición en ™/a5 b y que
esta operación hace de ™/a5 b un grupo conmutativo.
NOTA. Este ejercicio es una generalización del ejemplo a%b de la sección
anterior, donde se ha definido una operación análoga en el conjunto
cociente ™/a#b.
a%b Pruebe que el conjunto I es el módulo de la operación "  " definida
en T aI b œ ÖR ÎR © I× pero que ningún subconjunto propio de I tiene
inverso para ella. ¿Es "  " cancelativa?.
a&b Demuestre que ØT aI bß  Ù no es grupo. ¿Es la unión cancelativa?
a'b Defina una nueva operación entre subconjuntos de I llamada la
diferencia simétrica:
E?F œ ÖB − IÎB − E  B − F×.
Teniéndose en cuenta la tabla de verdad del "o" exclusivo a§1b y la
”

tautología a:  ; b  < Í :  a;  <b (verifíquelo primero), pruebe que:
a+b aE?F b?G œ E?aF ?G b
” ” ” ”

a)b E?F œ aE  F b  aF  Eb
a- b La diferencia simétrica es modulativa, dando el módulo
explícitamente.
a. b "?" es invertiva en T aI bÞ
a/b ØT aI bß ?Ù es un grupo conmutativo.
a0 b La intersección es distributiva con respecto a la diferencia simétrica.
a*b ¿ La operación + — , œ + † ,  + entre números reales es asociativa?


§9. LOS NÚMEROS REALES

9.1 En épocas pasadas bastaban al hombre, para sus necesidades
referentes a conteos y mediciones, los llamados números naturales
"ß #ß á . En cambio hoy en día no es demasiado exigir que un estudiante
de secundaria esté acostumbrado a manejar números como,
È &
È
!ß "ß  #ß "$ß  $ ß  $"ß %#ß  %$")!# ß #ß 1ß Š $‹ ß /ß á />- ,
"(
%
los cuales manejan en calculadoras y computadores, y que son llamados
"números reales", aunque, por otra parte, no se sepa qué son en última
instancia; es decir, que nunca se haya o lo hayan enfrentado con la
pregunta ¿qué es un número real? . En lo que sigue se usarán sin
comentario previo, algunos de los hechos más elementales relativos a
estos números; entre ellos su representación geométrica por medio de
los puntos de una recta

a cada punto de dicha recta ("recta real", ó, "recta numérica") le
corresponde un número, y sólo uno, y a cada número un punto, y sólo
uno, de la recta. En todo caso, y con el objeto de representar los
conceptos, se enunciaran a continuación las propiedades características
de lo números reales, los cuales se llamarán en adelante, salvo que se
advierta lo contrario, simplemente números.
El filósofo griego Pitágoras (hacia el 600 a.C.) sabía ya que la razón < œ .
entre la longitud de la diagonal de un cuadrado a. b y la longitud 6 de su
6

lado, satisface la igualdad
. # œ a<6b# œ 6#  6# a"b
Así pues, razonaba él: existe un "número" < tal que <# œ "  " œ #Þ . Pero
por otra parte, Pitágoras reconoció que < no podía representarse como un
cociente < œ + de enteros. En efecto, tomando + y , primos entre si
ˆ + ‰# œ # Ê +# œ #,#
,

,
Más aún, descomponiendo + en factores primos, resulta que +# es
divisible por # un número par de veces aes decir, + œ #5 b y por lo análogo
# dividirá a #,# un número impar de veces (es decir, #,# œ a#5 b# o sea
%5 # œ #,# Í #5 # œ ,# de donde , œ #7 ) y + no sería primo relativo con ,.
Luego +# œ #,# es imposible para + y , enteros. Unicamente podemos
solucionar este "dilema de Pitágoras" introduciendo los números
irracionales: números que no son cociente de enteros.
Razonamientos análogos demuestran que la razón È$ entre la longitud
de la diagonal de un cubo G y la longitud de su arista.


q

2 =
Estos resultados son casos particulares del siguiente teorema mucho más
general:

9.2 TEOREMA. Sea :aBb œ B8  +" B8"  â  +8 un polinomio con su primer
coeficiente igual a " y los demás +" ß +# ß á ß +8 enteros. Si la ecuación
:aBb œ ! tiene raices racionales, éstas son números enteros.

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que :aBb œ ! para alguna fracción B œ + . ,
Dividiendo + y , por su 7Þ-Þ. (máximo común divisor) puede expresarse B
como cociente B œ 6< de dos enteros <ß 6 primos entre sí. Sustituyendo este
valor en :aBb y quitando denominadores
! œ 68 :ˆ < ‰ œ <8  +" <8" 6  +# <8# 6#  â  +8 68
6
luego
<8 œ  +" <8" 6  â  +8 68
de donde 6 divide a <8 . Esto exige que cualquier factor primo de 6 divide a
<8 y por lo tanto a <. Pero < y 6 no tienen divisores comunes, y por lo
tanto 6 œ „ ", y la fracción dada B œ „" œ „ < es un número entero, lo
<

cual queríamos demostrar.

Para probar la irracionalidad de È#), por ejemplo fundándonos en el
teorema 9.2, procedemos como sigue: Si lBl ', entonces B#  #)  ! , y,
si lBl Ÿ &, entonces B#  #)  !; luego ningún entero puede ser solución de
B#  #) œ !, y por el teorema 9.2 la solución de B# œ #), que es È#) no
puede ser racional.
Otros números irracionales son 1ß / y muchos otros.
Es de notar que la mayoria de los números reales son irracionales e
incluso, a diferencia de È#, no pueden satisfacer ninguna ecuación
algebráica. Este resultado que hemos ampliado, nos indica ya que para
contestar a la pregunta ¿qué es un número real? necesitamos utilizar
ideas enteramente nuevas.
La naturaleza de estas ideas y la relación entre los números reales y los
racionales serán examinadas parcialmente en los parágrafos que siguen.


9.3 MÉTODO GEOMÉTRICO Y EXPANSIÓN DECIMAL

Los griegos de la época clásica usaron un método geométrico de
aproximación para el cálculo de los números reales. Para ellos, un
número era simplemente una razón a+ À ,b entre dos segmentos
rectilíneos + y ,. En consecuencia, dieron construcciones geométricas
para establecer la igualdad entre razones, así como para la adición,
sustración, multiplicación y división de razones. De este modo las leyes
del álgebra aparecen como teoremas geométricos.
La versión griega de la noción de igualdad entre números racionales y
reales se basaba en una condición debida a Eudoxio, que especificaba
cuándo eran iguales dos razones. Esta condición se hacía depender de las
posibilidades de formar geométricamente los múltiplos enteros 7 † + de
un segmento dado + y comparar geométricamente las longitudes de los
dos segmentos. Se estipulaba que a+ À ,b œ a- À . b cuando, para todo par
de enteros positivos 7 y 8
si 7+  8,ß también 7-  8. , si 7+  8,ß también 7-  8. a#b
Algebraícamente, 7+  8, significa que +  7 suponiendo siempre que ,
8

y 7 sean positivos. Entonces a#b puede leerse así:
,

, œ . , cuando cualquier número racional 7 que sea mayor que , es
+ - 8 +

también mayor que . . -

La validez de la condición a#b de Eudoxio expresa, evidentemente, la
circunstancia de que dos números reales positivos a+ À ,b y a- À . b son
diferentes si y sólo si existe algún número racional mayor que uno de
ellos y menor que el otro. También su condición para a+ À ,b  a- À . b tiene
el mismo fundamento y es el siguiente:
<+  6, y <-  6. , para enteros convenientes < y 6 a$b
El estudio geométrico de los números reales es ya desacostumbrado. En
la actualidad se les estudia aritméticamente, mediante aproximaciones
racionales, en expanción decimal (un decimal es, como se sabe, un
número racional cuyo denominador es potencia de diez (10)). Por
ejemplo, el irracional È# se reemplaza en la práctica por las
aproximaciones sucesivas
"ß "Þ%ß "Þ%"ß "Þ%"%ß "Þ%"%#ß á a%b
El número 1 es aproximado análogamente, por los decimales
." œ $Þ"ß .# œ $Þ"%ß .$ œ $Þ"%"ß .% œ $Þ"%"&ß .& œ $Þ"%"&*ß á a&b
y así sucesivamente.

9.4 PROPIEDADES ALGEBRAICAS

Para cada par aBß Cb de números está definido un número ay uno sólob
designado B  C, que es la suma de B con C, y un número (y uno sólo)


designado por BC que es su producto. La operación que al par aBß C b le
hace corresponder en número B  C arepectivamente BC b se llama adición
(respectivamente multiplicación) y se tienen los siguientes axiomas
A.1 La adición y la multiplicación son asociativas, es decir para
cualesquiera números Bß Cß Dß se cumple
B  a C  D b œ aB  C b  D
BaCD b œ aBCbD
A.2 Los números ! y " a! Á "b son módulos para la adición y la
multiplicación respectivamente, en el sentido siguente
B  ! œ !  B œ Bß a B − d
B † " œ " † B œ Bß aB−d
A.3 Dado un número B, existe un número Bw , y uno sólo, tal que
B  Bw œ Bw  B œ !. Éste Bw se llama el opuesto de B y se designa por  B.
Análogamente dado B un número tal que B Á !, existe un número Bww , y
uno sólo, tal que BBww œ Bww B œ ". Este Bww es el inverso de B y se le denota
por B" .
A.4 La adición y la multiplicación son conmutativas, es decir
B  C œ C  Bß BC œ CB
para todo número B y todo número C.
A.5 La adición es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es,
BaC  D b œ BC  BD
cualesquiera que sean los números Bß Cß D
A.6 El número " es diferente al número !.
A.7 Si + œ , y - œ . entonces +  - œ ,  .ß +- œ ,. .

9.4.1 TEOREMA. + † ! œ ! para todo número +

PRUEBA. " œ "  !ß entonces + † " œ +a"  !b de A.2 y A.5
+ œ + † "  + † ! Í + œ +  + † ! aplicando A.7
a  +b  + œ a  +b  a+  + † !b de A.3 y A.1 tenemos
! œ Òa  +b  +Ó  + † ! de A.3
!œ!+†! de A.2 se tiene finalmente
!œ+†!

9.4.2 TEOREMA. Si +, œ !, entonces + œ ! ß óß , œ !.

PRUEBA. Supongamos que + Á !, entonces existe +" por lo tanto
+" a+,b œ +" † ! œ !
pero
+" a+,b œ a+" +b, œ " † , œ ,
por lo tanto
,œ!


9.4.3 TEOREMA. El ! no tiene inverso. Esto es, no hay un número real B tal
que ! † B œ ".

PRUEBA.Conocemos por 9.4.1 que ! † B œ ! . Si tenemos ! † B œ " para algún
B, tendríamos que ! œ ", y , ! Á " por el axioma A.6, esto es una
contradicción.

9.4.4 TEOREMA. (Ley cancelativa de la adición) Si +  , œ +  - entonces
, œ -.

PRUEBA. Si +  , œ +  - , entonces a  +b  a+  , b œ a  +b  a+  - b, usando
el axioma A.1 tenemos ca  +b  +d  , œ ca  +b  +d  - pero de A.3 se
recibe !  , œ !  - finalmente de A.2 se tiene , œ - .

9.4.5 TEOREMA. (Ley cancelativa de la multiplicación) Si +, œ +- y + Á !
entonces , œ -

PRUEBA. Si +, œ +- y + Á !, entonces + tiene inverso +" . Por lo tanto de A.7
se tiene
+" a+,b œ +" a+- b
por A.1 tenemos
a+" +b, œ a+" +b-
usando A.3
"†, œ"†-
por A.2 se llega a
, œ -.

9.4.6 TEOREMA. Para cualquier número + se tiene  a  +b œ +.

PRUEBA. Por definición del opuesto, el número  a  +b es un número B tal
que
a  +b  B œ B  a  + b œ !
Para + por el axioma A.3 se tiene que
a  +b  + œ +  a  + b œ !
luego el número  Þ+ tiene dos opuestos aditivos a saber B y +, pero el
axioma A.3 garantiza que
+ œ B œ  a  + b.
Para mayor seguridad se puede demostrar la unicidad del opuesto


LEMA. El opuesto aditivo es único.
En efecto, sea + un número por el axioma A.3 existe +w tal que
+  + w œ + w  + œ !. Supongamos que hay otro +ww tal que
+  + œ +  + œ !ß resulta entonces que
ww ww

+w œ !  +w œ a+ww  +b  +w œ +ww  a+  +w b œ +ww  ! œ +ww Þ

9.4.7 TEOREMA. Para cualesquiera números + y , se tiene que
a  +b, œ  a+,b.

PRUEBA. Basta probar que
a  +b,  +, œ +,  a+b, œ !
puesto que en esta forma se tiene que a  +b, es el opuesto aditivo de +,
y según el lema anterior a  +b, œ  a+,b.
Ahora por el axioma A.5 tenemos
a  +b,  +, œ Òa  +b  +Ó,
por el axioma A.3 se tiene
a  +b,  +, œ ! † , œ !.

9.4.8 TEOREMA. a  +ba  ,b œ +, cualesquiera sean los números + y ,.

PRUEBA. a  +ba  ,b œ  Ò+a  ,bÓ ¿porqué? _________
œ  Òa  ,b+Ó ¿porqué? _________
œ  Ò  a+,bÓ ¿porqué? _________
œ ,+ œ +, ¿porqué? _________.

9.4.9 TEOREMA. Si + y , son números diferentes de cero cualesquiera,
entonces a+,b" œ +" ," .

PRUEBA. Debemos mostrar que
a+,ba+" ," b œ "
ahora
a+,ba+" ," b œ +c,a+" ," bd œ +c, a, " +" bd
œ +ca,," b+" d œ +c" † +" d œ ++" œ "
como el inverso multiplicativo de a+,b es a+,b" y por la unicidad del
inverso se tiene la igualdad.
Para mayor claridad mostemos que el inverso multiplicativo también es
único; sabemos que para + Á ! existe +w tal que ++w œ +w + œ "ß
supongamos ahora que existe otro número +ww tal que ++ww œ +ww + œ "
tenemos entonces
+ww œ " † +ww œ a+w +b+ww œ +w a++ww b œ +w † " œ +w .


9.4.10 TEOREMA. Para cualesquiera números + y , se tiene
 a+  , b œ a  + b  a  , b

PRUEBA. Nos basta con probar que
a+  , b  c a  + b  a  , bd œ !
En efecto; a+  ,b  ca  +b  a  ,bd œ +  a,  ca  +b  a  , bdb
œ +  a,  ca  ,b  a  +bdb œ +  ac,  a  , bd  a  +bb
œ +  a!  a  +bb œ +  a  +b œ !.

9.4.11 EJERCICIOS.

Pruebe cada una de las siguientes igualdades aclarando los axiomas y
resultado usados
a"b ,a  +b œ  a+,b
a#b a  +ba  ,b œ ,+
a$b +a,  - b œ +,  +-
a%b  ! œ !
a&b +  ! œ +
a'b ,  + œ ,  a  +b
a(b ˆ + ‰ œ ˆ . ‰ Í +. œ ,-
-

a)b ˆ + ‰ „ ˆ . ‰ œ a+.„,-b
,
-

a*b ˆ + ‰  ˆ + ‰ œ !
, ,.

a"!b ˆ + ‰ˆ . ‰ œ ,.
, ,
- +-

a""b ˆ + ‰ Á ! Ê ˆ + ‰ˆ + ‰ œ "
,
,

a"#b a  ,b" œ  a," b
, ,

a"$b Analice todas las demostraciones de los teoremas 9.4.1 a 9.4.10 y
concluya que tipo de demostración fue utilizada.

9.5 PROPIEDADES DE ORDEN

Existe en los números una relación  (es mayor que ) que establece un
orden entre los números y que está regida por los siguientes axiomas
llamados de orden
O.1 Dados dos números reales B, C cualesquiera, se cumple una y una
sola de las tres alternativas siguientes:
B  Cß B œ Cß CB
O.2 Si B  C, y a su vez C  D , entonces B  D .
OA.1 Si B  C entonces B  D  C  D , para todo número D .
OA.2 Si B  ! ß y , C  !, entonces BC  !.


Estos últimos axiomas relacionan las propiedades algebráicas con el
orden.
En lugar de " B  Cß ó, B œ C" se escribe B C . Se acostumbra también
escribir C  Bß y, C Ÿ B en lugar de B  Cß • ß B C .

9.5.1 TEOREMA. Cualesquiera dos desigualdades pueden ser adicionadas.
Esto es, si ,  + y .  - entonces ,  .  +  -

PRUEBA.Por OA.1 se tiene
,  -  +  - • ,  .  ,  - Í ,  .  ,  -ß • ß ,  -  +  -
entonces por O.2 se tendrá
,  .  +  -.

9.5.2 TEOREMA. ,  + si y sólo si ,  +  !

PRUEBA. Si ,  +, entonces por OA.1 se tiene ,  +  +  +. Por lo tanto

Inversamente si ,  +  !ß entonces a,  +b  +  !  + de donde ,  +Þ
,  +  !.

9.5.3 TEOREMA. Una desigualdad es preservada si multiplicamos ambos
miembros, por el mismo número positivo. Esto es
+  , • -  !ß Ê +-  ,-

PRUEBA. Puesto que +  ,ß tenemos +  ,  !. Por lo tanto usando OA.2
tenemos - a+  ,b  ! y por A.5 tenemos -+  -,  !, usando el teorema
9.5.2 tenemos +-  ,- .

9.5.4 TEOREMA. Si +  ! entonces  +  !.

PRUEBA. Si +  ! entonces +  +  !  + (por OA.1). Así !   + Í  +  !

9.5.5 TEOREMA. Si !  +ß entonces  +  !.

PRUEBA. Si !  +, entonces !  +  ! (por 9.5.2) Í  +  !.

9.5.6 TEOREMA. Si ,  + y !  - entonces +-  ,- .


PRUEBA. Si ,  + entonces ,  +  !, y por otro lado si !  -, entonces
 -  !. Por lo tanto a  - ba,  +b  ! Í +-  ,-  ! por el teorema 9.5.2
+-  ,-Þ

9.5.7 EJERCICIOS.

a"b Ordene de menor a mayor los racionales siguientes
#ß $ß &ß (ß %ß (ß &.
" # # $ $ ' %

a#b Determine sobre una recta numérica los puntos de coordenadas
 $ß È$ß È&ß " ß  È'ß !Þ$ß #È#.
a$b Pruebe que no es posible tener B  C • C  B para dos reales
#

cualesquiera.
a%b Haga ver que B Ÿ C Í ÐB  C ” B œ CÑ.
a&b Pruebe que ÐB Ÿ C • C Ÿ BÑ Ê B œ C.
a'b Establezca las propiedades análogas a OA.1 y al teorema 9.5.1
anteriores dadas para la relación " Ÿ ".
a(b Demuestre que si B  ! y D es tal que BD œ ", entonces D  !.
a)b Pruebe que si +  , • -  !, entonces +  - -
,

¿Qué ocurrirá si -  !?
a*b Demuestre que si !  +  ,, entonces !  "  + . "

a"!b Defina y represente gráficamente los intervalos semiabiertos Ð+ß ,Ó y
,

Ò+ß ,Ñ.
Aquí ; Ð+ß ,Ó œ ÖB − dÎ+  B Ÿ ,× y Ð+ß ,Ó œ ÖB − dÎ+ Ÿ B  ,×
a""b ¿Qué significan los intervalos a+ß +b, Ð+ß ,Óß Ò+ß ,Ñ y Ò+ß +Ó ?.
a"#b Halle y represente gráficamente los conjuntos siguientes:
a+b Ò!ß #Ó  Ò#ß 'Ñ a- b Ò  " ß  _Ñ  Ð  _ß #Ñ
a,b Ò!ß #Ó  )#ß 'Ó a. b Ð  _ß $Ñ  Ð  "ß  _Ñ
#

a/b Ð!ß $Ñ  Ò#ß  _Ñ a0 b Ò!ß #Ó  Ò#ß $Ó
a1b Ò!ß $Ó  Ð$ß %Ó a2b Ò  "ß  _Ñ  Ò#ß %Ó.
a"$b Represente los números reales sobre una recta vertical, de tal manera
que el punto correspondiente al " esté por encima del correspondiente al
cero. Si +  ,, ¿cómo estarán ubicados sus puntos correspondientes E y

a"%b ¿Cómo es el producto de los dos números reales negativos?. ¿Cómo
F?

es la suma de dos números negativos?. Demuestre que sus afirmaciones
son verdaderas.
a"&b Demuestre que el cuadrado de un número distinto de cero, es
estrictamente mayor que cero.


9.6 PROPIEDAD DE COMPLECIDAD.

Como era de esperarse, esta propiedad afirma, en total acuerdo con la
intuición, que la recta numérica no tiene huecos, que carece de
discontinuidades: que es completa. Sin embargo, como puede apreciarse
por el lenguaje usado, la propiedad en cuestión no está descrita con
precisión suficiente para ser inequívoca y aceptable. Para lograr la
anhelada precisión puede procederse de la manera siguiente:
En primer lugar una pregunta; si la recta númerica tuviera huecos ¿cómo
podrían detectarse estos?. La existencia de uno de tales huecos o cortes

A C D

automáticamente daría al conjunto de los puntos de la recta, en virtud del
orden que los afecta, una clasificación natural: los puntos que están
antes del corte (puntos AC) y los puntos que están después del corte
(puntos CD). Todo punto es un AC ó un CD ( pero no las dos cosas al
tiempo), además, todo punto anterior a un AC es un AC y todo punto
posterior a un CD es un CD. Por último, no existiría un punto tal que todo
punto anterior a él fuera un AC y todo punto posterior a él fuera un CD,
(este elemento "sería" precisamente el que falta).
Más formalmente se procede así: una cortadura aElF b es una clasificación
de todos los números en dos conjuntos ó clases E y F de tal manera que:
a3b Hay números en ambas clases (es decir, que ninguna de las dos clases
es vacía)
a33b Si + − E y , − F , entonces +  ,
Dada la cortadura aElF b, como las clases E y F no son vacías existe por
lo menos un número + − E y un número , − F , y por la condición a33b se
debe tener que +  ,

a b
Si un número B  +, entonces como debe estar clasificado, se encontrará
en E ó en F, pero como por a33b no puede estar en F, entonces
necesariamente estará en E. Análogamente, todo número mayor que ,
debe pertenecer a F .

A a b B
Por otra parte, los elementos entre + y , también deben estar
clasificados, luego las clases Eß F deben tener una disposición como la
siguiente


A a b B
Si existe un número - mayor o igual que todos los de E y menor o igual
que todos los de F, este número - se llama número ó punto frontera de
la cortadura aElF b.
Intuitivamente puede verse que si existiera una cortadura aElF b sin
frontera, la recta tendría un hueco, ó corte, es decir, no sería continua la
recta númerica.
En este caso dado un elemento + de E, siempre existiría otro elemento
+w − E tal que +w  +; análogamente para F (aa, − F bab, w − F bÎ, w  ,). Luego
ningún elemento de E ó de F podría ser frontera, y como cada número
real debe estar en E ó en F , entonces no existiría punto frontera alguno.
La última propiedad de los números reales asegura la inexistencia de
estos "huecos" ó "discontinuidades" en el conjunto de los reales:

V. Toda cortadura aElF b en el conjunto de los números reales determina
un número - que es su frontera.

Si el número - perternece a la clase E, entonces E es el conjunto de todos
los números menores o iguales que - y entonces - es el mayor de los
elementos de E ó el "máximo" de E.
Si - − F , entonces E es el conjunto de los números menores que - y F es
el conjunto de los números mayores o iguales que - , siendo - el menor
de los elementos de F , ó el "mínimo" de F.
Las propiedades que se acaban de enunciar caracterizan al conjunto de
los números reales, en el sentido siguiente: si un sistema tiene
esencialmente estas propiedades, entonces salvo notaciones usadas, este
sistema es idéntico al de los números reales.
Es claro que los números reales tienen muchas propiedades pero, cada
una de ellas es consecuencia estrictamente lógica de los axiomas antes
enunciados. Como ejemplo consideremos el siguiente teorema conocido
como la propiedad Arquimediana de los números.

9.6.2 TEOREMA. Si B e C son números reales positivos y si se localizan
sucesivamente Bß #Bß $Bß %Bß á entonces llega un momento en que estos
puntos sobrepasan a C, es decir, existe un número entero 8 tal que
8B  C.
Este hecho, de tan grande evidencia intuitiva, puede sin embargo
demostrarse usando sólamente propiedades características de los
números reales.
En efecto; si todos los múltiplos Bß #Bß $Bß %Bß á de B fueran Ÿ C, llamando
F la clase de los números , que son mayores ó iguales que cada uno de
los 8B entonces, si E œ CF se tiene


a3b E Â F pues todos los múltiplos 8B están en ella (cada uno de ellos es
menor que el siguiente). F tampoco es vacío pues por ejemplo C es un
número que está en esta clase.
a33b Si + − E y , − F , entonces + es menor que algún 8B y , será mayor o
igual que este 8B, luego +  ,.
Como además es claro que todos los números están clasificados,
resultando que aElF b es una cortadura. Si - es la frontera de aElF b
entonces todos los múltiplos de B serían menores o iguales que -, en
particular, para todo natural 8 se cumpliría a8  "bB Ÿ - o lo que es lo
mismo, 8B Ÿ -  B es decir, que todos los múltiplos de B serían también
menores o iguales que -  B

(n+1)x c
Luego, si 5 es un número entre -  B y - ( por ejemplo 5 œ -  B ) siendo
#
mayor que todos los 8B debería estar en F y siendo menor que - debería
estar en E, pero esto no es posible porque E y F no pueden tener
elementos comunes. En consecuencia debe existir un múltiplo de B mayor
que C.

Como se vio hace un instante, dados dos números diferentes B e C, es
fácil hallar números que estén entre ellos, por ejemplo D œ BC tiene esta
#
propiedad.
Sin embargo usando la propiedad Arquimediana (9.6.2) puede
demostrarse que entre dos números reales distintos B e C ( tales que
B  C por ejemplo) siempre se halla una fracción 7 Ð7ß 8 enteros con
8
8 Á !Ñ.
La idea de la demostración es ésta: las fracciones
# " ! " # $
á ß  8ß  8ß 8ß 8ß 8ß 8ß á
están repartidas a igual distancia unas de otras sobre la recta, para
asegurar que una de ellas está entre B e C basta tomar 8  C  B, en
"

efecto, como C  B entonces C  B  ! luego existe 8 −  tal que
8aC  Bb  " es decir 8  C  B.
"

Si además 7 es el menor de los enteros que son mayores que 8B, es decir
7  8B pero 7  " Ÿ 8B o también 7" Ÿ B entonces
œ 7"  8  B  aC  Bb œ C
8
7 "
8 8
y como 7  8B entonces 7  B, luego
8
B  7  C.
8
Nos resta preguntar ¿dónde se usó la propiedad Arquimediana?


9.7. EJERCICIOS

". Demostrar que si aPlY b y aPw lY w b son cortaduras en el cuerpo de los
racionales, cualquier número racional con una excepción a lo más, puede
escribirse como B  C aB − Pß C − Pw b o como ?  @ a? − Y ß @ − Y w b
#. Demostrar que para todo %  ! existe un 8 bastante grande para que
"!8  %.
$. A veces se define una cortadura de Dedekin en un campo ordenado J
como un par de subconjuntos Pw y Y w de J tales, que cualquier elemento
de J esté siempre en Pw o en Y w , y tal que B  C siempre que B − Pw e
C − Y w . Por adición y supresión de convenientes números particulares,
demostrar que cualquier cotadura aPw lY w b de este tipo da una cotadura
aPlY b en sentido del texto, y viceversa.
%. Si > es un elemento de un dominio ordenado H con !  >  ", demostrar
que = œ #  > tienen las propiedades =  "ß => Ÿ ".
&. Sea H un dominio ordenado "completo". a+b Si H no es isomorfo con ™,
demostrar que H contiene un elemento > con !  >  ". a,b Si , y - son
elementos positivos cualesquiera de H, demostrar que >8 ,  - para algún
8.
'.Demuestre que d satisface la propiedad arquimediana: dados
C − d • B  !, existe un natural 8 tal que 8B  C.
(. Demuestre que dado cualquier real, siempre existe un real
estrictamente mayor y otro estrictamente menor.
). Pruebe que todo subconjunto de d no vacío y acotado inferiormente
posee inf en d .
*. Pruebe que  no es un subconjunto superiormente acotado de d.

§ 10. LOS NÚMEROS NATURALES.

Se trata con seguridad del conjunto pionero en el estudio de la
matemática, pues acogiéndonos al concepto del matemático aleman
Leopoldo Kronecker nos atrevemos a decir que: "el buen Dios nos dió los
números naturales; el resto ha sido obra del hombre". Hacemos a
continuación una presentación, de estos números, desde un punto de
vista axiomático como sigue:

10.1 DEFINICIÓN. Los números naturales, denotados por el símbolo , son
un conjunto, dos de cuyos elementos son denotados con los símbolos ! y
" a! Á "b, junto con dos operaciones llamadas adición y multiplicación,
denotadas por  y • respectivamente. Las siguientes propiedades
algebráicas debe satisfacer la adición


1A 7  8 œ 8  7 para todo 7 −  y para todo 8 − 
Esta propiedad es la ley conmutativa de la adición
2A a8  7b  : œ 8  a7  :b para todo 8ß 7ß : − 
3A a8 −  Ê 8  ! œ 8
4A 8 œ 7 Í 8  " œ 7  " para todo 8ß 7 − 
5A 8 −  Ê ! Á 8  " − 
Las siguientes propiedades algebráicas deben satisfacer la multiplicación
1M 8•7 œ 7•8 para todo 8ß 7 − 
2M 8•a7•:b œ a8•7b•: para todo 8ß 7ß : − 
3M 8 −  Ê "•8 œ 8
La siguiente propiedad algebráica adicional debe cumplirse
D 8•a7  :b œ 8•7  8•: para todo 8ß 7ß : − .
Finalmente en adición a las anteriores propiedades algebráicas, la
siguiente propiedad, que es llamada el principio de inducción
matemática, debe tenerse
MI Si W © , es tal que ! −  y
"8 − W Ê 8  " − W " en verdadera
entonces W œ .

Veamos algunos resultados que se deducen de la definición anterior y
que se hacen como una ilustración

10.2 TEOREMA. Si 8 −  y 8 † ! œ ! entonces a8  "b † ! œ !

PRUEBA. a 8  "b † ! œ ! † a 8  " b œ ! † 8  ! † " œ !  ! œ !

10.3 TEOREMA. Si 8 −  y 8 Á ! entonces 8 œ 5  " para algún 5 − 

PRUEBA. Sea W œ Ö!×  Ö5  "Î5 − ×. W tiene las siguientes propiedades
a3b ! − Ö!× Ê ! − W
a33b Supóngase que 8 − W . Pero, puesto que W © , tenemos que 8 −  y
además 8  " − Ö5  "Î5 − ×, por lo tanto 8  " − W .
Luego W cumple las hipótesis de MI, siguiéndose que W œ . Concluimos
así que si 8 −  y 8 Á ! entonces 8 − Ö5  "Î5 − × esto indica que
8 œ 5  " para algún 5 − .

En la construcción de los números naturales el resultado dado por (10.3)
es utilizado como la propiedad del "sucesor", el axioma MI es conocido
como el principio de inducción. Dada nuestra pobreza en el campo de la
lógica matemática y el espíritu de este trabajo no nos entramos en lo
profundo del conjunto de los números naturales pero invitamos a


nuestros cibernautas a que estudien el libro introducción a la teoría de
conjuntos capítulo IV pg 153 del profesor José M. Muñoz Quevedo y
publicado por la Universidad Nacional en 1994 donde se hallan los
números naturales con lujo de detalles.

10.4 EJERCICIOS

Utilice el principio de inducción para dar solución a los problemas " a $
siguientes:
". Si W © ™ tal que el cero es su primer elemento, y se 8 − W entonces
8  " − Wß ¿Cuál es el conjunto W ?
#. Si W © ™ es tal que el primer elemento es  "! y el sucesor de
cualquier elemento de W es también elemento de W . Halle el conjunto W .
$. Encuentre el subconjunto W de ™ constituído precisamente por
aquellos 8 tales que $8  " es divisible (exactamente!) por #.
%. ¿Cuál sería el subconjunto E de ™ tal que
a3w b # es el último elemento
a33w b el antecesor de cualquier elemento de E está también en E ?
Nota: Si 8 − E, entonces a 8  " se le llama el antecesor y a 8  " el
sucesor.

§11. LOS NUMEROS ENTEROS

En el conjunto de los números naturales y desde un punto de vista
algebráico, se tiene la tendencia a estudiar ecuaciones de la forma más
elemental posible como &  B œ # , ó problema como, dados 7ß 8 − 
hallar B tal que 7  B œ 8. Este problema no tiene en general solución en
 y para tratar de hallarle una solución se procede a extender  y esta
extensión es conocida como el conjunto de los números enteros y es el
conjunto donde la resta ó diferencia es una operación y donde tenga
sentido de hablar de perdidas y ganancias o de temperaturas bajo cero o
negativas y que presentamos en una forma axiomática en la siguiente
definición:

11.1 DEFINICIÓN. Sea Q un conjunto que es dado por e  8Î8 − f.
Entonces los números enteros, denotados por el símbolo ™, es el
conjunto formado por Q  , junto con dos operaciones, la adición y la
multiplicación denotadas  y • respectivamente, y donde las siguientes
propiedades se deben cumplir:
1. El subconjunto  © ™ junto con las operaciones  y • forman el
sistema de los números naturales.


2. Las operaciones  y • satisfacen las propiedes algebráicas 1A, 2A,
3A, 4A, 1M, 2M, 3M y D para los elementos tomados en ™
3. Para todo D − ™ existe  D − ™ tal que D  a  D b œ a  D b  D œ !
Nótese que así Ø™,+Ù es un grupo abeliano.

11.1.2 DEFINICIÓN. Un conjunto W es llamado un dominio de integridad
cuando entre sus elementos están definidas dos operaciones, notadas
aditiva y multiplicativamente, con las propiedades:
DI.1. aa+ − Wbaa, − WbŠ +†,−W unívocamente‹, de modo que sean validas la
+,−W

ley distributiva, las dos leyes asociativas y las dos conmutativas
aaB−WbaB!œBb
DI.2 ab! − Wbab" − Wb tales que ! Á " y Š aaB−WbaB†"œBb ‹
DI.3 aa+ − Wbß la ecuación +  B œ ! tiene solución en W dada por B œ  +
Dl.4 Se cumple la ley de simplificación para el producto, es decir
aaB − W  Ò!Ób a+ † B œ , † B Ê + œ , b.

Según esta definición ™, el conjunto de los números enteros, es un
dominio de integridad.

Veamos algunos resultados destacados en ™

11.2 TEOREMA. Si +ß , − ™ entonces existe un único elemento B − ™ tal que
+  B œ ,.

DEMOSTRACIÓN. La dividimos en dos partes a saber
a!b Si +ß , − ™, entonces +  B œ , para algún B − ™
a" b Si +ß , − ™, +  B œ ,, y , +  C œ ,, entonces B œ C
a!b Supóngase +ß , − ™, hay dos posibilidades
a3b Si + −  entonces B œ a  +b  ,, puesto que tenemos
+  B œ +  Òa  +b  ,Ó œ Ò+  a  +bÓ  , œ !  , œ ,
a33b Si + − Q , entonces + œ  8 para algún 8 − . En este caso
tomamos B œ 8  , teniéndose
+  B œ a  8b  a8  , b œ Òa  8b  8Ó  , œ !  , œ ,
así en este caso B − ™ y +  B œ ,.
a" b Supongamos +  B œ , y +  C œ ,, donde +ß ,ß Bß C − ™ entonces
+  B œ +  C. Presentándose dos casos nuevamente
a3b Si + − , entonces obtenemos
B œ !  B œ Òa  +b  +Ó  B œ a  +b  a+  Bb œ
œ a  +b  a+  C b œ Òa  +b  +Ó  C œ !  C œ C
a33b Si + œ  8 para algún 8 − , entonces
B œ B  ! œ B  a+  8b œ aB  +b  8 œ a+  Bb  8
œ a+  C b  8 œ aC  +b  8 œ C  a+  8b œ C  ! œ C
En cada caso B œ CÞ


11.3 DEFINICIÓN. Para cada +ß , − ™, se define ,  + al único número B − ™
tal que +  B œ ,. La operación en ™ así definida por el símbolo  es
llamada sustracción.

Como los números enteros ™ son la base de la aritmética en los
parágrafos 14, 15 y 16 destacaremos algunas otras de sus múltiples
propiedades y aplicaciones.

11.3.1 EJERCICIO.

a"b Demuestre que Ø™,- Ù no es un grupo.
Demostrar utilizando el principio de inducción matemática
a#b a8 "ß "  $  &  á  a#8  "b œ 8#
a$b a8 "ß "  %  (  á  a$8  #b œ 8a$8"b
a%b a8 "ß &8 "  %8
#

a&b a8 R ß %8  " es divisible aexactamenteb por $Þ
a'b "#  ##  $#  â  8# œ 8a8"ba#8"b ß a8 ".
+ˆ<8" "‰
a(b aa8 "bŠ+  +<  +<#  â  +<8 œ ‹
'
cuando < Á ".
a)b Probar que las siguientes reglas valen en todo dominio de integridad:
<"

a3b a+  ,b  a-  . b œ a+  - b  a,  . b
a33b a+  ,b  a-  . b œ a+  . b  a,  - b
a333b a+  ,ba-  . b œ a+-  ,. b  a+.  ,- b
a3@b a+  ,b œ a-  . b si, y sólo si, +  . œ ,  -
a*b ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de números son dominios de
integridad?
a+b Todos los enteros pares
a,b Todos los enteros impares
a- b Todos los números de la forma +  +È# con + y , números
enteros
a. b Todos los números reales de la forma +  , † & % , donde + y , son
"

números enteros
a/b Todos los números reales de la forma +  , † È*, donde + y ,
%

son
números enteros
a0 b Todos los números enteros positivos.
a1b Todos los números racionales enteros cuyo denominador sea "
o una potencia de #


§12. NUMEROS RACIONALES

Nuevamente una propiedad algebráica nos permite la extensión de los
números enteros al tratar de solucionar el problema:
"dados +ß , − ™ hallar un número B tal que +B œ ,".
Este problema por lo general no tiene solución de ™ y con esta idea se
extiende el conjunto ™ a uno que lo contenga y donde este problema
tenga solución. En seguida damos una presentación de la extensión de ™
en la forma siguiente.

12.1 DEFINICIÓN. Un cuerpo J es un conjunto en el cual se tienen
definidas dos leyes de composición distintas, las cuales se notan con 
y • aadición y multiplicaciónb para las cuales ØJ ß  Ù y ØJ ß •Ù son grupos
abelianos y además
B•aC  D b œ B•C  B•D para todo Bß Cß D − J
Nótese que si J es un cuerpo para cada + Á ! existe +" "inverso"
multiplicativo que satisface la ecuación ++" œ +" + œ "

12.2 TEOREMA. Sea J un cuerpo, la división (exepto por cero) es una
operación en J  Ö!×.

PRUEBA. Basta demostrar que para todo + Á ! y todo , − J la ecuación
+B œ , tiene una única solución B − J
Si + Á !, entonces existe +" − J , podemos así construir un elemento
B œ +" ,
el cual por sustitución directa se prueba que +B œ ,.
Supongamos por otra parte que +B œ , y +C œ ,, entonces +B œ +C, de
aquí +" a+Bb œ +" a+C b Í a+" +bB œ a+" +bC de donde se tiene B œ C.
La solución de +B œ , es denotada + ó , ƒ +, teniéndose así definida la
,

división en J . En particular +" œ + .
"

12.3 TEOREMA. En todo cuerpo J , los cocientes obedecen a las siguientes
leyes ( en donde , Á ! y . Á !)
a"b ˆ + ‰ œ ˆ . ‰ Í +. œ ,-
-

a#b ˆ + ‰ „ ˆ . ‰ œ +.„,-
,
-

a$b ˆ + ‰ˆ . ‰ œ ,.
, ,.
- +-

a%b ˆ + ‰  ˆ  + ‰ œ !
,

a&b Si ˆ + ‰ Á !, entonces ˆ + ‰ˆ + ‰ œ ".
, ,
,
, ,

PRUEBA. a"b ˆ + ‰ œ ˆ . ‰ Í +," œ -. " , así
-

+. œ +a,," b. œ +a, " ,b. œ a+, " b,. œ a-. " b., œ - a. " . b, œ -,
,


Recíprocamente
+
, œ +,
"
œ ," + œ ," +a.. " b œ , " a+. b. " œ , " a-, b. " œ
œ ," a,- b. " œ a," ,b-. " œ -. " œ . -

a#b Sabemos que B œ + e C œ . son las soluciones de las ecuaciones ,B œ +
,
-

y .C œ - . Estas ecuaciones pueden combinarse para dar
,. aB „ C b œ +. „ ,-
Así pues, B „ C es la única solución ˆ +.„,- ‰ de la ecuación a,. bD œ +. „ ,-
.,B œ +.ß ,.C œ ,-ß

a$b Como antes, las ecuaciones ,B œ + • .C œ - pueden combinarse para
,.

dar
a,. baBCb œ a,Bba.Cb œ +-
de la cual sale BC œ +-
a%b Sustituyendo en a#b tenemos
,.

ˆ + ‰  ˆ  + ‰ œ +,,+ œ !a,# b" œ !
a&b Sustituyendo en a$b tenemos ˆ + ‰ˆ + ‰ œ +, . Pero ,+ es la única
, , ,#
, +,
, +,
solución de la ecuación
a,+bB œ +,
Como B œ " satisface a está ecuación se tendrá +, œ ". ,+

EJEMPLO. Se sigue de los axiomas de d que d es un cuerpo.

12.4 DEFINICIÓN. Un subcuerpo O de un cuerpo dado J es un subconjunto
de J que es así mismo un cuerpo respecto a las operaciones de adición y
multiplicación en J restingidas a O .

12.5 TEOREMA. Un subcuerpo W de un cuerpo J es un subconjunto que
contiene al cero y la unidad de J , además es cerrado para la adición,
cerrado para la multiplicación, para cada + − W se tiene que  + − W y si
+ Á ! entonces +" − W , y recíprocamente.

EJEMPLO. d ŠÈ#‹ œ š+  ,È#‚+ − dß , − d › es un subcuerpo de los
números reales.

12.6 CONSTRUCCIÓN DE LOS ELEMENTOS RACIONALES

Los enteros solos no forman un cuerpo, la construcción de los números
racionales a partir de los enteros como una extensión, es esencialmente
la construcción de un cuerpo que contenga a los enteros como
subconjunto. Naturalmente este cuerpo deberá además, contener las
soluciones de todas las ecuaciones del tipo ,B œ + con coeficientes
enteros + y , Á !. La construcción abstracta de los "números racionales"
que resuelvan estas ecuaciones se sigue, simplemente, introduciendo


ciertos símbolos nuevos < œ a+ß ,bß a los que llamaremos pares, cada uno
de los cuales es solución de una ecuación
,B œ +
Debemos hacer ver que estos nuevos entes puedan igualarse, sumarse y
multiplicarse, exáctamente como los cocientes en un cuerpo.

12.6.1 DEFINICIÓN. El conjunto  de números racionales está constituído
por todos los pares a+ß ,b de enteros + y , Á !. La igualdad entre pares se
rige por el convenio siguiente
a+ß ,b œ a+w ß ,w b Í +,w œ +w ,
Mientras que la suma y el producto se definen así
a+ß ,b  a+w ß ,w b œ a+, w  +w ,ß ,, w b
a+ß ,b•a+w ß ,w b œ a++w ß ,, w b
Los resultados son siempre pares teniendo por segundo componente a
,,w Á !.

12.6.2 PROPIEDAD. Si a+ß ,b œ a+w ß ,w b
entonces se tiene
a+ß ,b  a+ww ß ,ww b œ a+w ß ,w b  a+ww ß , ww b

En efecto, como a+ß ,b œ a+w ß ,w b entonces +,w œ +w , así,
a+ß ,b  a+ww ß ,ww b œ a+,ww  +ww ,ß ,, ww b
y
a+w ß ,w b  a+ww ß ,ww b œ a+w ,ww  +ww ,w ß ,w ,ww b
ahora
a+,ww  +ww ,b,w ,ww œ a+,ww ba,w ,ww b  a+ww , b,w ,ww œ ,ww a+,w b,ww  +ww a,,w b,ww œ
œ ,ww a+w ,b,ww  +ww a,w ,b,ww œ a+w ,ww ba,,ww b  a+ww ,w ba,,ww b œ a+w ,ww  +ww ,w ba,,ww b
Luego
a+,ww  + ww , ba,w ,ww b œ a+w ,ww  +ww ,w ba,,ww b
de donde
a+,ww  + ww ,ß ,,ww b œ a+w ,ww  +ww ,w ß ,w ,ww b
y se tiene
a+ß ,b  a+ww ß ,ww b œ a+w ß ,w b  a+ww ß , ww b.

Pueden probarse ahora varias leyes algebráicas para los números
racionales que hemos definido. Así, en la ley distributiva se puede reducir
simultáneamente ambos miembros de la igualdad de acuerdo con la
definición, del siguiente modo ( supongamos que <ß <w y <ww están en )

<a<w  <ww b <<w  <<ww
a+ß ,bca+w ß ,w b  a+ww ß ,ww bd a+ß , ba+w ß , w b  a+ß , ba+ww ß , ww b
a+ß ,ba+w ,ww  +ww ,w ß ,w ,ww b a++w ß ,, w b  a++ww ß ,,ww b
a++w ,ww  ++ww ,w ß ,,w ,ww b a++w ,,ww  ++ww ,,w ß ,,w ,, ww b


Estos dos resultados dan parejas iguales, ya que el segundo resultado
difiere del primero sólo en la presencia de un factor , en todos los
términos. Pero un factor extra en un par, da siempre otro par igual, pues
a,Bß ,C b œ aBß C b Í ,BC œ ,BC Í BC œ BC , ya que , Á !
Esta demostración explícita de la ley distributiva para números racionales
aó paresb es sólo un ejemplo del método. Por el mismo empleo directo de
las definiciones y de las leyes de los enteros, se prueban la
conmutatividad y la asociatividad, en efecto
CONMUTATIVIDAD
<  <w <w  < <<w <w <
a+ß ,b  a+w ß ,w b a+ ß , w b  a+ß , b
w
; a+ß , ba+w ß , w b a+ ß , ba+ß , b
w w

a+,w  +w ,ß ,,w b œ a+w ,  +, w ß , w , b a++w ß ,, w b œ a+w +ß , w , b

a<  < w b  < <  a<w  <ww b
ASOCIATIVIDAD

ca+ß ,b  a+w ß ,w bda+ww ß ,ww b a+ß , b  Òa+w ß , w b  a+ww ß , ww bÓ
a+,  + ,ß ,, b  a+ ß , b
w w w ww ww
a+ß , b  a+w ,ww  +ww ,w ß ,w ,ww b
a+,w ,ww  +w ,,ww  +ww ,,w ß ,,w ,ww b œ a+,w ,ww  +w ,,ww  +ww ,,w ß ,,w ,ww b
a<•<w b<ww <a+w <ww b
Òa+ß ,ba+w ß ,w bÓa+ww ß , ww bß a+ß , bÒa+w ß , w ba+ww ß , ww bÓ
a++w ß ,,w ba+ww ß ,ww b a+ß ,ba+w +ww ß , w , ww b
a++w +ww ß ,,w ,ww b œ a++w +ww ß , ,w ,ww b

Un elemento idéntico para la adición es el par a!ß "b ya que
a!ß "b  a+ß ,b œ a! † ,  " † +ß " † , b œ a+ß , b
La ley de simplificación se conserva y el par a"ß "b es el elemento idéntico
para la multiplicación. El opuesto de a+ß ,b es
 a+ß ,b œ a  +ß ,b
Se cumplen pues todos los postulados que definen a un cuerpo. En
resumen tenemos

12.7 TEOREMA. El conjunto  de los números racionales, constituido por
todos los pares de números enteros es un cuerpo y definiendo
a+ß ,b œ +,
se tiene que
 œ ˜a+ß ,bÎa+ß ,b œ + ß + − ™ß , − ™  Ö!×™.
,

12.8 EJERCICIO.

". Admitiendo que el conjunto de los números reales es un cuerpo
¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subcuerpos de d ?
a+b Todos los enteros positivos
a,b Todos los números de la forma +  ,È$ con + − ß , − 


a- b Todos los números de la forma +  ,È& con + y , números racionales.
a. b Todos los números racionales no enteros.
$

a/b Todos los números de la forma +  ,È& con + y , números racionales.
#. Hallar el número racional cuyo desarrollo decimal es !Þ$$%%%%á
$. Demostrar que el desarrollo decimal de B termina en cero (ó en nueve)
si B es racional y su denominador es de forma #8 &7 , donde 7 y 8 son
enteros positivos o nulos y recíprocamente.
%. Demostrar que È#  È$ es irracional
&Þ Si +ß ,ß -ß . son racionales y B es irracional, demostrar que
a+B  ,bÎa-B  . b es, en general irracional. ¿Cuándo se presentan
excepciones?
'. Dado cualquier real B  !, encontrar un número irracional comprendido
entre ! y B.
(. Si +  . siendo ,  !ß .  !, demostrar que ,. está comprendida entre
,
- +-

, y ..
+ -

). Sean + y , enteros positivos. Demostrar que È# siempre está
comprendido entre dos fracciones + y +#, . ¿Cuál de las fracciones está
È# ?
, +,
más próximo a
*. Designemos por + y , las raíces de la ecuación cuadrática B#  B  " œ !
y sea B8 œ ++, . Demostrar que B" œ "ß B# œ "ß B$ œ #ß á ß B8" œ B8  B8" .
8
,8

"!. Determinar para qué valores del entero 8 " número È8  "  È8  "
es racional, y para cuáles es irracional.

§ 13. ACOTACIÓN. TERMINACIÓN. EXTREMACIÓN.

13.1 DEFINICIÓN. Sea P un conjunto ordenado, es decir un conjunto en
donde se cumplen los axiomas O1,O2, AO1, y AO2 de la sección 9.5. Se
dice que un subconjunto E de P aE © Pb es acotado superiormente por un
elemento B − P si
aa+ − Eba+ Ÿ Bb
Se dice que E es acotado inferiormente por un elemento C − P si
aa+ − EbaC Ÿ +b
En estos casos decimos que B es una cota superior de E y que C es una
cota inferior de E.
E se dice acotado si lo es superior e inferiormente.

EJEMPLOS a"b El conjunto ˜B/B œ 8 ß 8 −   Ö!×™ œ ˜"ß # ß $ ß á ß 8 ß á ™ es un
" " " "

conjunto acotado, pues, " es la cota superior y ! es la cota inferior.
a#b El conjunto E œ ÖB − dÎB#  #× no es un conjunto acotado ¿porqué?


13.2 DEFINICIÓN. Sea E un conjunto de números reales acotado
superiormente. Supongamos que exista un número real B que satisface
las dos condiciones siguientes
a+b B es una cota superior de E
a,b Si C es otra cota superior de E, entonces B Ÿ C
Entonces el número B es llamado extremo superior del conjunto E.
Análogamente se define el extremo inferior ( a+w b C es una cota inferior de
E y a,w b si C" es otra cota inferior de E, entonces C" Ÿ C ).
Cuando un conjunto es tal que admite extremo superior y extremo
inferior entonces se dice que es un conjunto terminado.

NOTACIÓN. Al extremo superior se le suele llamar el supremun y se nota
sup. Al extremo inferior se llama con frecuencia infimun y se le nota inf.
Sea supE el supremun de un conjunto E si supE − E entonces el supE es
llamado máximo de E. Por analogía si infE − E, entonces el infimun de E
es llamado mínimo de E.

NOTA.Sea E un conjunto acotado y sea B œ supE entonces se suele escribir
aDado %  !bab+ − EbaB  %  +b
Análogamente si > œ infE entonces se suele caracterizar con la siguiente
proposición
aDado %  !bab+w − Eba>  %  +w b.

13.3 TEOREMA. Sean E y F dos conjuntos acotados de números reales con
+ œ supEß , œ supF . Designemos por G al conjunto
G œ eB  CÎB − Eß C − F f
entonces +  , œ supG .

PRUEBA. Si D − G entonces D œ B  C Ÿ +  ,, de modo que +  , es una cota
superior de G . Sea - otra cota superior de G . Tenemos que +  , Ÿ - , para
ello sea %  ! un número positivo dado, existe un número B − E y existe
un número C − F tales que
+% B ß ,% C
Por la adición de estas desigualdades, encontramos
+  ,  #%  B  C Ÿ -
Esto es +  , Ÿ -  #%. Pero % es arbitrario, resulta así
+, Ÿ-

13.3.1 DEFINICIÓN. Un subconjunto de números reales se dice mayorado
cuando admite cotas superiores y minorado cuando admite cotas
inferiores. Un conjunto se dice extremado ó limitado cuando admite cota
inferior y cota superior.


A continuación enunciamos el axioma de completez para los números
reales, el cual, en este momento, estamos preparados para probarlo.

13.4 aG w b Si un conjunto de números reales es mayorado, entonces
tiene supremun.
Dualmente se tiene si es un conjunto de números reales que está
minorado entonces tiene ínfimun.

DEMOSTRACIÓN. Sea F el conjunto de las cotas superiores de , entonces,
por hipótesis F Â F, pues es mayorado. Sea ahora E œ CF el conjunto
de los números que no son cotas superiores de , es decir, E es el
conjunto de todos los números + tales que existe un elemento B − tal
que B  +. Entonces E tampoco es vacío pues cualquier número menor
que un elemento de ( que no es vacío) pertenece a E.
Además
a3b Es claro que cada número real está en E o en F pero no en ambos
a33b Si + − E y , − F , entonces +<,, en efecto, si + − E entonces existe
B − tal que +  B y como , − F, , es una cota superior de entonces
B Ÿ , así
+  B•BŸ,
luego por la transitividad se tiene +  ,.
Concluimos así que aElF b es una cortadura, entonces por el axioma G de
los números reales aElF b tiene un punto frontera. Sea - la frontera de
esta cortadura teniéndose que - no está en E puesto que si esto ocurriera
existiría un elemento B de tal que -  B pero entonces los elementos
entre - y B estarían en E (por ser menores que B) y serían mayores que -
(que es la frontera). Luego - es el mínimo de F es decir, es la mínima cota
superior de o sea el supremum de .
Análogamente se demuestra que todo conjunto no vacío y minorado tiene
ínfimun.
Nota. Cuando este resultado se generaliza a conjuntos ordenados y
cadenas de orden, es conocido como el lema de Zorn.

13.4.1 EJERCICIOS

". Demostrar que el sup y el inf de un conjunto son únicos cuando existe.
#. Hallar el sup y el inf de cada uno de los siguientes conjuntos de
números reales
a+b Todos los números de la forma #:  $;  &< , donde :ß ; y < toman
todo los valores enteros positivos.
a,b W œ ÖBÎ$B#  "!B  $  !×.
a- b W œ ÖBÎaB  +baB  ,baB  - baB  . b  !×, siendo +  ,  -  . .


$. Sean W un conjunto de números reales acotados superiormente,
+ œ supW y % un número positivo. Demostrar que existe por lo menos un
número B − W tal que +  %  B Ÿ +.
%. Sean E y F dos conjuntos de números reales acotados superiormente,
+ œ supaEb y , œ supaF b. Si G es el conjunto de los números reales
formados, considerando todos los productos de la forma BC, donde B − E
e C − F , demostrar que, en general, +, Á supaG b.
&. Sean B un número real  !, y 5 un entero positivo  ". Representemos
por +! el mayor entero Ÿ B y suponiendo que +! ß +" ß á ß +8" hayan sido
definidos , representemos por +8 el mayor entero tal que
+ !  +"  5 #  â  5 8 Ÿ B .
+ +

a+b Demostrar que ! Ÿ +3 Ÿ 5  " para 3 œ "ß #ß á
5 # 8

a,b Explicar cómo pueden obtenerse geométricamente los números

a- b Demostrar que la serie +!  +"  5#  â converge y tiene por suma B
+! ß + " ß + # ß á
+

a. b Demostrar que B es el sup del conjunto de las sumas parciales de serie
5 #

dada en a- b
Nota. La serie dada en a- b origina un desarrollo decimal de B en el sistema
de base 5 .

13.5 PRINCIPIO DE BUENA ORDENACIÓN

Los números enteros poseen otra propiedad importante no caracterizada
algebráicamente y no compartida por otros sistemas de números. Tal
propiedad es la siguiente:
Cualquier subconjunto de números enteros positivos que contenga al
menos un elemento, contiene elemento mínimo.
En otras palabras, cualquier selección dada de números enteros positivos
contiene un entero positivo 7 tal que cualquiera que sea el entero + en la
selección dada se tiene 7 Ÿ +.
Por ejemplo el más pequeño entero positivo par es #.
Más generalmente, un conjunto de números se llama bien ordenado si
cualquiera de sus subconjuntos no vacíos contiene un elemento mínimo.
Así pues, el principio anterior indica que los enteros positivos están bien
ordenados.

13.5.1 TEOREMA. No hay ningún número entero entre ! y ".

PRUEBA. Esto se ve inmediatamente sin más que echar una ojeada al orden
natural de los enteros pero lo que pretendemos es probarlo utilizando
las hipótesis fundamentales (postulados), sin necesidad de utilizar la
referida serie de enteros (en el caso !ß "). Daremos una prueba indirecta
(vea 3.3). Si hay un entero - tal que !  -  ", sea G el conjunto de todos


los enteros - tales que !  -  ", entonces G Â F. Por el principio de la
buena ordenación, existe un entero 7 que es el mínimo para G y tal que
!  7  ". Multiplicando esta desigualdad por 7 obtenemos
!  7#  7
Entonces 7 es otro número entero de G , menor que el supuesto mínimo
#

de G . Esta contradicción demuestra el teorema.

13.5.2 TEOREMA. Un conjunto W de números enteros positivos que incluya
al " y que incluya al 8  " siempre que incluya a 8, incluye también a
cualquier entero positivo.

PRUEBA. Bastará probar que el conjunto W w de todos los números enteros
positivos no contenidos en W es vacío. Supongamos que W w no sea vacío,
por el principio de buena ordenación W w contendrá un elemento mínimo
7. Pero 7 Á " por hipótesis, luego por el teorema anterior, 7  " y 7  "
deberá ser positivo. Como además 7  "  7 resulta que, por la
definición de 7, 7  " debe estar en W . Se deduce de la hipótesis que
a7  "b  " œ 7, así 7 − W • 7 − W w o sea 7 − W • 7 Â W esta contradicción
demuestra el teorema.

13.5.3 EJERCICIOS

". Demostrar que para cualquier entero +ß +  " es el mayor entero menor
que +.
#. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son bien ordenados?
a+b Todos los enteros positivos impares
a,b Todos los negativos pares
a- b Todos los enteros mayores que  (
a. b Todos los enteros impares mayores que 249.
$. Probar que todo subconjunto de un conjunto ordenado está bien
ordenado.
%. Demostrar que el conjunto de enteros que contiene a  "!!! y que
contiene a B  ", si contiene a B, contiene a todos los enteros positivos.
&. a+b Un conjunto W de enteros tiene al entero , como "cota inferior" si
, Ÿ B para todo B en W ; el mismo , puede pertenecer o no pertenecer a W .
Demostrar que cualquier W no vacío que tiene una cota inferior, tiene un
elemento mínimo.
a,b Demostrar que cualquier conjunto de enteros no vacío que tiene una
"cota superior" contiene un elemento máximo.


13.6 DIVISIBILIDAD

Una ecuación +B œ , con coeficientes enteros, no siempre tiene solución
entera. Cuando existe tal solución, se dice que , es divisible por +

13.6.1 DEFINICIÓN. Un entero , es divisible por un entero + cuando hay
algún entero . tal que , œ +. . Entonces escribimos +l,, diremos también
que , es un múltiplo de + y que + es un factor o divisor de ,Þ
+l, Í b. − Î , œ +.
He aquí una nueva relación "+l,". Son propiedades de esta relación la
reflexividad y la transitividad
+l+ß +l, • ,l- Ê +l-
La primera propiedad es trivial pues + œ + † " Í +l+
La segunda tiene por hipótesis directa que , œ +." ß y - œ ,.# , siendo ." y .#
dos enteros adecuados; de lo cual resulta
- œ +a." .# b como ." † .# − ™ Í +l-

13.6.2 TEOREMA. Los únicos divisores enteros de " son „ ".

PRUEBA. El teorema afirma que si dos enteros + y , son tales que +, œ " se
debe tener + œ „ " y , œ „ ", en efecto, +, œ " así l+,l œ l+ll,l œ ". Como
+ Á !ß , Á !, l+l y l,l son enteros positivos y no hay enteros entre ! y ", por
la ley de tricotomía
l+l " y l,l "
Si los dos signos ó en el peor de los casos uno, son desiguales el
producto l+ll,l no puede ser igual a ". Entonces l+l œ " • l,l œ " y por lo
tanto + œ „ " y , œ „ ".
Como + œ + † " œ a  +ba  "b todo entero + es divisible por +ß  +ß " y  ".
Los números + y  + por dividirse mutuamente, se llaman "asociados".

13.6.3 DEFINICIÓN. Dos enteros + y , se llaman asociados si se verifican
las relaciones +l, y ,l+. Los asociados de " se llaman unidades.
Esta definición significa que un entero es una unidad si y sólo si es un
divisor de ", con esto, el teorema 13.6.2 establece, simplemente que las
únicas unidades son „ ". Si + y , son asociados, + œ ,." y , œ +.# . Luego
+ œ +a." .# b y por la ley de simplificación queda
" œ ." .#
O sea que ." es un divisor de " y por lo tanto, ." œ „ ". Por lo tanto es
, œ +." œ „ +, así que los únicos asociados de + son „ +.
Dos enteros + y , son asociados si y sólo si l+l œ l,l.


13.6.4 DEFINICIÓN. Un entero : es primero si, siendo distinto de ! y de
„ ", es divisible únicamente por „ " y „ :.
Los primeros números primos son
#ß $ß &ß (ß *ß ""ß "$ß "(ß "*ß #$ß #*ß $"ß á
Todo número que no es primo puede descomponerse en un producto de
factores primos:

EJEMPLO. "#) œ #( à *! œ "! ‚ * œ # † & † $# à '(# œ *' † ( œ ( † "# † ) œ ( † $ † #&

Se observa por experiencia, que obtenemos los mismos factores primos
cualesquiera que sea el método de descomposición. Esta unicidad la
demostraremos al estudiar el 7Þ-Þ. .

13.6.5 DEFINICIÓN. Para todo B − d, lBl œ œ
B si B !
 B si B  !

13.6,6 TEOREMA. Para todo B − dß lBl !.

PRUEBA. a"b Si B !, entonces lBl ! porque en este caso lBl œ B.
a#b Si B  !, entonces  B  !. Por lo tanto lBl  ! porque aquí lBl œ  B.

13.6.7 TEOREMA. Para cualquier B − d , l  Bl œ lBl

PRUEBA. a"b Si B !, entonces  B Ÿ !, así lBl œ B y por lo tanto
lBl œ  a  Bb œ B, siguiéndose que lBl œ l  Bl
a#b Si B  !, entonces  B  !, así lBl œ  B ahora l  Bl œ  B por lo tanto
lBl œ l  Bl

13.6.8 TEOREMA. Para cualesquier B − d se tiene lBl BÞ

PRUEBA. Si B !, esto es verdad porque B B.
Si B  ! entonces B  lBl puesto que lBl !.

13.6.9 TEOREMA. lBCl œ lBllCl para todo Bß C − d

PRUEBA. Cuando B es reemplazado por  B esto es B  ! • C  !ß
lBCl œ  BC œ lBllCl. Análogamente si B  ! • C  !. Ahora si B ! • C !
entonces lBCl œ BC œ lBllCl.
Finalmente si B  ! • C  !, entonces BC  ! • a  Bba  C b  ! luego
lBCl œ BC œ a  Bba  C b œ lBlCl.


13.6.10 TEOREMA. Sea +  !ß entonces lBl  + Í  +  B  +

-a a
|a |
PRUEBA. a"b Si B ! entonces lBl  + indica que B  +, además ! Ÿ B  +
a#b Si B  !, entonces lBl  + indica que  B  +, ó,  +  B aquí lBl  + es
verdad cuando  +  B  !.
Por lo tanto lBl  + implica  +  B  +

13.6.11 TEOREMA. Para cualesquiera +ß , − d se tiene l+  ,l Ÿ l+l  l,l.
Esta desigualdad es llamada desigualdad triangular.

PRUEBA. Caso 1. Supongamos que +  , !. En este caso l+  ,l œ +  ,
pero + Ÿ l+l y , Ÿ l,l así +  , Ÿ l+l  l,l luego l+  ,l Ÿ l+l  l,l
Caso 2. Supóngase que +  ,  ! entonces a  +b  a  , b  ! aplicando el
caso 1 tenemos la  +b  a  ,bl Ÿ l  +l  l  ,l pero
la  +b  a  ,bl œ l  a+  , bl œ l+  ,l y l  +l œ l+lß l  ,l œ l,l
Luego
l+  ,l Ÿ l+l  l,l

1.3.6.12 EJERCCIOS.

a"b Demuestre que si , Á ! entonces ¸ " ¸ œ "

a#b Demostrar que para todo + − d y todo , − d  Ö!× se tiene
, l,l

¸ + ¸ œ l+l
a$b Demuestre que para tado +ß , − d se tiene l+  ,l l+l  l,l
, l,l

a%b Demostrar que para todo +ß , − d se tiene l+  ,l l+l  l,l.
a&b Demostrar que para todo +ß , − d se tiene kl+l  l,lk Ÿ l+  ,l
a'b Demuestre el recíproco del teorema 13.6.10.
a(b Demostrar que si +l, y +l- , entonces +la,  - b
a)b Demostrar que si , es positivo y no primo, entonces tiene un divisor
positivo . Ÿ È,.
a*b Presentar la lista de todos los primos positivos menores de "!!.
(Sugerencia: Suprimir los múltiplos #ß $ß &ß ( y usar el ejercicioa)b)
a"!b Si +l,, demostrar que l+l Ÿ l,l, cuando es , Á !.


13.7 EL ALGORITMO DE EUCLIDES

El proceso ordinario de dividir un entero + por otro , nos da un cociente
; y un resto <. El resultado
+ <
, œ ; ,
puede expresarse sin usar explícitamente las fracciones, así

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN: Para dos enteros + y , con ,  ! existen dos
enteros ; y <, tales que
+ œ ,;  < à !Ÿ<,

13.7.1 IMAGEN GEOMÉTRICA. Si imaginamos los números enteros
representados sobre el eje real, los posibles múltiplos ,; de , forman un
conjunto de puntos equidistantes sobre el eje

-6b -5b -4b -3b 2b -b 0 b 2b 3b 4b 5b 6b 7b

El punto respectivo de + debe caer en uno de los intervalos determinados
por esos puntos, por ejemplo, en el intervalo ,; y ,a;  "bß excluyendo el
punto ,a;  "b. Esto significa que + œ ,;  < siendo < menor que la
amplitud , del intervalo. Esta imagen sugiere la siguiente demostración,
basada solo en los postulados.
Existen ciertamente algunos múltiplos enteros de , que no exceden a +,
por ejemplo, como ,  !, , " así
a  l+lb, Ÿ  l+l Ÿ +
Por lo tanto, el conjunto de las diferencias +  ,B contiene por lo menos
un entero no negativo, a saber +  a  l+lb,. De aquí, por el postulado de
buena ordenación existe un mínimo no negativo para +  ,B, al que
llamaremos +  ,; œ <. Por construcción, < !; mientras que si < ,,
entonces +  ,a;  "b œ <  , ! sería menor que +  ,; , contra lo
afirmado al elegir ; . Concluimos pues que ! Ÿ <  , y que
+ œ ,;  a+  ,; b œ ,;  <.

13.7.2 COROLARIO. Dados los dos enteros + y , , quedan determinados
unívocamente el cociente ; y el resto <, que satisfacen a
+ œ ,;  <ß !Ÿ<,

DEMOSTRACIÓN. Suponiendo que sea + œ ,;  < œ ,; w  <w , verificándose
! Ÿ <  , y ! Ÿ <w  ,. Entonces <  <w œ , a; w  ; b es en valor absoluto
menor que ,, y es múltiplo de ,, luego debe ser cero. De aquí que < œ <w ß
,; œ ,<w ß ; œ ; w .


Frecuentemente debemos considerar conjuntos de enteros, semejantes a
eá ,  'ß  $ß !ß $ß 'ß *ß á f formados por todos los múltiplos de $. Estos
conjuntos tienen la propiedad de que la suma o diferencia de dos
cualesquiera de ellos pertenece al conjunto. En general, un conjunto W de
números enteros, se llama cerrado para al adición y cerrado para la
sustracción, cuando W contiene la suma +  , y la diferencia +  , de dos
enteros cualesquiera + y , de W . Todos los enteros pares ( positivos,
negativos y cero) forman un conjunto cerrado para suma y sustracción.
Más generalmente, el conjunto de todos los múltiplos B7 de un entero 7,
es cerrado para la adición y sustración, pues B7 „ C7 œ aB „ C b7 es
múltiplo de 7. Ahora vamos a probar que estos conjuntos constituidos
por los múltiplos de un entero son los únicos conjuntos de enteros que
tienen dicha propiedad.

13.7.3 TEOREMA. Todo conjunto no vacío de números enteros, cerrado
para la adición y sustracción consiste del cero o contiene un número
positivo mínimo del cual son múltiplos todos los demás.

PRUEBA. Sea W el conjunto y supongamos aW Á Fb que contiene un
elemento + Á !, por definición W contendrá a la diferencia +  + œ ! y
por lo tanto la diferencia !  + œ  +. Luego W contiene al menos un
número positivo + ó  +. El principio de buena ordenación nos dice que
en W hay un mínimo positivo ,.
El conjunto W debe contener todos los múltiplos de , en en efecto,
procediendo por inducción se ve en primer lugar que contiene a , † " y
seguidamente si está ,5 tiene que estar ,5  , œ ,a5  "b. Los múltiplos
negativos tal como  ,8 œ !  ,8 también están en W por ser diferencia
entre ! y 8,. Pero W no puede contener enteros no múltiplos de ,, pues si
hubiera uno digamos + no múltiplo de ,, estaría también en W el resto de
la división de ambos, < œ +  ,; . Pero < no es negativo y es menos que ,,
que es el mínimo entero positivo en W , luego debe ser < œ ! y + œ ,; .

13.7.4 DEFINICIÓN. Un entero . se llama máximo común divisor Ð7Þ-Þ.Ñ de
dos enteros + y ,, si es simultánemente divisor de + y ,, y además es
múltiplo de cualquier otro divisor común.

En el lenguaje objeto de la teoría de números, el 7Þ-Þ. debe cumplir las
tres propiedades siguientes
si . = 7Þ-Þ.Ö+ß ,×, .l+ • .l,ß y, -l+ • -l. Ê -l.
Por ejemplo, $ y  $ son máximos comunes divisores de ' y *. De
acuerdo con la definición, si hay varios 7Þ-Þ. de dos números, cada uno


de ellos debe dividir al otro, luego serán asociados y difieren sólo en el
signo. Del par „ . de máximos comunes divisores de + y , el número
positivo se indicará con el símbolo
7Þ-Þ.Ö+ß ,× œ a+ß , b.
Nótese que el calificativo "máximo" en la definición de 7Þ-Þ. no significa
en principio que a7Þ-Þ. b tenga mayor magnitud que cualquier otro divisor
común - , sino que a7Þ-Þ. b es el múltiplo de cualquier tal - .

13.7.5 TEOREMA. Si dos enteros cualesquiera + Á !, , Á !, tienen un 7Þ-Þ.
positivo a+ß ,b, entonces éste puede expresarse como
a+ß ,b œ =+  >, =ß > − ™
Una expresión como =+  >, es llamada una "combinación lineal" con
coeficientes enteros.

PRUEBA. Consideremos los números de la forma =+  >,, para todos los
casos
a=" +  >" ,b „ a=# +  ># ,b œ a=" „ =# b+  a>" „ ># b,
Por lo tanto, el conjunto W de todos los enteros de la forma =+  >, es
cerrado para la adición y sustracción, y por el teorema 13.7.3 estará
constituido por los múltiplos de un número entero positivo . œ =+  >,.
Por esta fórmula, es claro que todo - factor común de + y , debe ser un
factor común de . . Además los enteros dados + œ " † +  ! † ,ß
, œ ! † +  " † , pertenecen ambos a W , luego serán múltiplos del mínimo
número . del conjunto W . En otras palabras, . es un divisor común al cual
dividen todos los demás divisores comunes, luego . œ a+ß ,b.

Análogamente, el conjunto Q de todos los múltiplos comunes de + y , es
cerrado para la adición y sustracción, su mínimo elemento positivo 7 es
un múltiplo común que divide a todos los demás múltiplos comunes y se
llama el mínimo común múltiplo a7Þ-Þ7b de + y ,.

13.7.6 TEOREMA. Dos enteros cualesquiera + y , tienen un mínimo común
múltiplo 7Þ-Þ7Ö+ß ,× œ Ò+ß ,Ó, el cual es divisor de todos los múltiplos
comunes, siendo él a su vez un múltiplo común.

Para hallar explícitamente el 7Þ-Þ. de dos enteros + y ,ß se puede utilizar
el llamado algoritmo de Euclides.
Sean + y , enteros positivos, ya que un entero negativo puede reeplazarse
por su asociado positivo sin alterar el (o sea
7Þ-. a+ß ,b œ 7Þ-Þ. a  +ß , b). El algoritmo de la división da
7Þ-Þ.

+ œ ,;"  <" ß + Ÿ <"  , a"b


Cualquier entero que divida a los enteros + y ,, divide al resto <" ,
recíprocamente, todo divisor común de , y <" es divisor de +, como
resulta por a"b. Los divisores comunes del par +ß , son pues, los mismos
que los del par ,ß <" así que a+ß ,b œ a,ß <" b. Esta reducción puede repetirse
con , y <" , e iterar el proceso

, œ <" ;#  <# !  <#  <"

a#b
<" œ <# ;$  <$ !  <$  < #
ã ã
<8# œ <8" ;8  <8 !  <8  ;8"
<8" œ <8 ;8"

Como el resto disminuye constantemente, habrá finalmente un resto !
como hemos indicado en la última igualdad. Este razonamiento nos dice
que el 7Þ-Þ. buscado es
a+ß ,b œ a,ß <" b œ a<" ß <# b œ â œ a<8" ß <8 b
Pero la última igualdad de a#b muestra que <8 es divisor de <8" así que el
7Þ-Þ. de ambos es el propio <8 . El 7Þ-Þ. de dos enteros dados +ß ,, es el
último resto distinto de cero que se obtiene aplicándole el algoritmo de
Euclides.
El mismo algoritmo puede utilizarse para representar explícitamente al
7Þ-Þ. como combinación lineal =+  >,. Esto se consigue expresando los
restos sucesivos <3 mediante + y , en esta forma:
<" œ +  ,;" œ +  a  ;" b,
<# œ ,  ;# <" œ a  ;# b+  a"  ;" ;# b,
ã
La forma de estas igualdades, indica que puede obtenerse <8 como
combinación lineal de + y , con coeficientes enteros = y > en cuya
expresión intervienen los cocientes ;3 .
La forma a+ß , b œ =+  >, del 7Þ-Þ. es de gran utilidad. Una consecuencia
importante es que si un número primo divide a un producto de dos
factores, debe dividir por lo menos a uno de ellos.

13.7.7 TEOREMA. Si : es un numero primo, :l+, Ê :l+ ” :l,.

PRUEBA. Por definición de número primo, los únicos factores de : son „ "
y „ :. Si la conclusión :l+ es falsa, los únicos divisores comunes de : y +
son „ ", así que " es un 7Þ-Þ. de + y :, y por lo tanto, " œ =+  >:.
Multiplicando por , resultará:
, œ =+,  >:,
Los dos términos de la derecha son divisibles por : luego , será divisible
por :, que es la segunda alternativa del enunciado.


Si a+ß ,b œ " diremos que + y , son primos entre si. En otras palabras, dos
enteros + y , son primos entre si, si no tienen divisores comunes salvo
„ ". La demostración del teorema 13.7.7 prueba también la siguiente
generalización

13.7.8 TEOREMA. Si a+ß - b œ " y -l+,, entonces se debe tener -l,

De aquí resulta una consecuencia, relativa a un entero 7 que sea
múltiplo de dos números primos entre si + y - . Pues el número 7 que es
de la forma 7 œ +. , es divisible por - , así que por el teorema 13.7.8, será
-l. y 7 œ +. œ +a-. w b luego el producto +- divide a 7. Esto demuestra

13.7.9 TEOREMA. Supuesto que a+ß - b œ ", +l7 • -l7 Ê +-l7.

13.8 EJERCICIOS

a"b Mediante el algoritmo de Euclides, calcular el 7Þ-Þ. de
a+b a"%ß $&b a,b a""ß "&b a- b a")!ß #&#b
a. b a#)($ß ''%$b a/b a%"%)ß (')%b a0 b a"!!"ß ('&&b
a#b Escribir aBß Cb en la forma =B  >C a=ß > son enterosb, en los tres primeros
casos del ejercicio a"b
a$b Demostrar que a!ß +b œ l+l para cualquier entero +Þ
a%b Si +  !, demostrar que a+-ß +- b œ +a,ß - b
a&b Demostrar que ,l- y l-l  ,ß implica - œ !
a'b a+b Demostrar que tres enteros cualesquiera, +ß ,ß -ß tienen un 7Þ-Þ.
que puede expresarse en la forma =+  >,  ?-
a,b Demostrar que aa+ß ,bß - b œ a+ß a,ß - bb œ aa+ß - bß , b

§14 TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARTMÉTICA.

ENUNCIADO: Todo entero distinto de cero puede expresarse como el
producto de „ " por factores primos positivos. Esta expresión es única,
salvo el orden en que los factores se consideren.
Que todo entero + pueda escribirse como un tal producto, puede
demostrarse descomponiéndolo sucesivamente en factores menores. Este
proceso supone el segundo principio de inducción completa el cual
enunciamos a continuación
Principio de inducción- segunda forma: Sea :a8b una proposición
condicional en la variable libre 8 −  si
a3b :a!b es verdadera y
a33b :a8  "b es verdadera cada vez que :a8b es verdadera ( es decir
aa8 − ba:a8b Ê :a8  "bb).


Entonces :a8b es verdadera para todo número natural, es decir,
aa8 − ba:a8bb.
Sea :a+b la proposición que dice: "+ puede descomponerse en factores
como expresa el enunciado del teorema". Si + œ " ó si + es primo, :a+b es
evidentemente cierta. Si + no es un número primo tendrá un divisor
positivo ,, distinto de " y de +, así que + œ ,- con ,  +ß -  +. Pero, de
acuerdo con el segundo principio de inducción, podemos suponer que
:a,b y :a- b son verdaderas, así que , y - puede expresarse como producto
de factores primos
, œ :" : # â:< ß - œ ;" ;# â;=
obteniéndose para + la expresión completa.
+ œ ,- œ :" : # â:< ;" ;# â;=
que es la forma requerida.
Para demostrar la unicidad, consideremos dos posibles descomposiciones
en factores primos del entero +:
+ œ a „ "b:" : # â:7 œ a „ "b;" ;# â;8
Como todos los números primos :4 y ;4 son positivos, las unidades „ " de
ambas descomposiciones han de ser iguales. El factor :" es un divisor de
+ œ „ ;" ;# â;8 , así que la aplicación del teorema 13.7.7 asegura que :"
divide por lo menos a su factor ;4 de este producto. Como :" divide a ;4 y
los dos son primos, se deberá tener :" œ ;4 ordenando el producto para
que ;4 aparezca de primero y simplificando :" con ;4 queda
:2 : 3 â:7 = ; '2 ; '3 â; '8
donde los acentos indican los ;3 en el nuevo orden. Podemos continuar
este proceso hasta que en uno de los dos miembros de la igualdad no
quede ningún factor. Tampoco podrán quedar en el otro, así 7 œ 8.
Hemos pues identificado las dos descomposiciones, sin más que
reordenar los factores del segundo miembro, como asegurábamos en el
teorema de unicidad. En una descomposición puede aparecer un número
primo : varias veces. Agrupando los factores, podemos escribir
+ œ „ :"" :/# â:88 , asiendo a!  :"  : #  â  :8 b
/
#
/

El teorema de unicidad demuestra, que el exponente /3 , corresponde al
factor primo :3 , queda determinado de modo único para cada entero +.

14.1 EJERCICIOS

". Describir un proceso sistemático para hallar el 7Þ-Þ. y el 7Þ-Þ7 de dos
enteros, de los que se conoce la descomposición en factores primos,
ilustrándolo con + œ #"'ß , œ $'! y + œ "%%ß , œ '#& ( Sugerencia: Es
conveniente usar los exponentes ! para los factores primos que dividen a
uno de los números + o ,, pero no al otro)


#. Si Z: a+b indica el exponente de la más alta potencia del primo : divisor
de +ß demostrar las fórmulas
a"b Z: a+  ,b minÖZ: a+bß Z: a,b×
a#b Z: aa+ß , bb œ min ÖZ: a+bß Z: a,b× aaß b œ 7Þ-Þ. b
a$b Z: a+ † ,b œ Z: a+b  Z: a,b
a%b Z: aÒ+ß ,Ób œ maxÖZ: a+bß Z: a, b×Þ aÒß Ó œ 7Þ-Þ7b
$Þ Si l+l œ #Z: a+b , para Z: como en el ejercicio 2, demostrar que
l+,l œ l+l † l,l y l+  , l Ÿ maxal+lß l, lb
%. Mediante las fórmulas del ejercicio #, demostrar que para números
enteros positivos + y ,, +, œ a+ß ,bÒ+ß ,Ó.
&. Demostrar que el número de primos es infinito aEuclídesb(Sugerencia:
Si :" ß :# ß á ß :8 son 8 primos, el producto :" † :# â:8  " no es divisible por
ninguno de estos primos)
'Þ Si un producto 78 positivo es un cuadrado y si a7ß 8b œ ", demostrar
que 7 y 8 son ambos cuadrados.

§15 CONGRUENCIAS

Al numerar las horas del día, se acostumbra a contar sólo hasta "# y
volver a empezar. Esta sencilla idea de prescindir de los múltiplos de un
número fijo, "# en este caso, es la base de la noción aritmética de
congruencias. Diremos que dos enteros son congruentes "módulo "#" si
difieren en un entero múltiplo de "#. Por ejemplo ( y "* son congruentes
y se escribe
( ´ "*a79. "#b

15.1 DEFINICIÓN. + ´ ,a79.Þ7b significa que 7la+  , bÞ

Se puede decir igualmente que + ´ ,a79.Þ7bß cuando la diferencia +  ,
pertenece al conjunto de los números múltiplos de 7. Todavía cabe otra
definición, basada en que el resto de la división de + por 7 es único.
Podemos, pues establecer lo que sigue:

15.2 TEOREMA. La condición necesaria y suficiente para que dos enteros +
y , sean congruentes módulo 7, es que den el mismo resto al dividirlos
por 7.

PRUEBA. Como + ´ ,a79.Þ7b, si y sólo si + ´ , a79.Þ  7b bastará
demostrar este teorema en el caso 7  !. Supongamos primero que


+ ´ ,a79.Þ7b, entonces +  , œ -7 para algún entero - . Dividiendo , por
7, se obtendrá un resto <, dado por ,  7; œ <ß ! Ÿ <  7. entonces
+ œ ,  -7 œ a;7  <b  -7 œ a;  - b7  <
Esta ecuación indica que < es el resto de + al dividirlo por 7; sea, que + y
, dan el mismo resto al dividirlos por 7.
Recíprocamente, supongamos que el resto es igual y que por ende
, œ 7; w  <
En este caso +  , œ a;  ; b7 Í a+  , bl7, así que + ´ , a7.Þ7b
+ œ 7;  <ß
w

La relación de congruencia para un módulo fijo 7 tiene para enteros
cualesquiera +ß ,ß - las siguientes propiedades que recuerdan propiedades
análogas de la igualdad
Reflexiva: + ´ +a79.Þ7b
Simétrica: + ´ ,a79.Þ7b Ê , ´ +a79.Þ7b
Transitiva: + ´ ,a79.Þ7b • , ´ - a79.Þ7b Ê + ´ - a79.Þ7b
Cada una de estas leyes se demuestra con la definición de congruencia.
La ley de simetría así dada, requiere simplemente que
7la+  ,b Ê 7la,  +b
La hipótesis es +  , œ .7 y la conclusión 7la,  +bß puesto que
,  + œ a  . b7.
La relación de congruencia para un módulo fijo tiene otra propiedad que
también recuerda a las de la igualdad; las sumas y productos de enteros
congruentes son también congruentes.

15.3 TEOREMA. Si + ´ ,a79.Þ7b para todo entero B resulta:
+  B ´ ,  Ba79.Þ7bß +B ´ ,Ba79.Þ7bß a  +b ´ a  , ba79.Þ7b.
También aquí la prueba se reduce a recordar la definición. Así la hipótesis
es que +  , œ 57 para algún 5 ; de aquí podemos obtener las
conclusiones en la forma
7la+  B  ,  Bbß 7la+B  ,Bbß 7la  +  , b
La ley de simplificación, válida en las igualdades, no lo es en las
congruencias. Así # † ( ´ # † "a79.Þ"#b, pero no es ( ´ "a79.Þ"#b.
Esto sucede por ser # divisor del módulo, así que la diferencia # † (  #
será divisible por "# en tanto se conserve el factor # . Puede enunciarse la
ley de simplificación algo modificada.

15.4 TEOREMA. Si - es un número primo con 7
-+ ´ -,a79.Þ7b Ê + ´ , a79.Þ7b.

PRUEBA. De acuerdo con la definición, la hipótesis nos dice que 7la+-  +,b,
o sea, 7l- a+  ,b y por ser 7 primo con - usando el teorema 13.7.8 resulta
que 7la+  ,b, esto es + ´ ,a79.Þ7b.


El estudio de las ecuaciones lineales puede extenderse a las congruencias

15.5 TEOREMA. Si - es primo con 7, la congruencia -B ´ ,a79.Þ7b tiene
una solución entera B. Dos soluciones cualesquiera B" y B# son
congruentes módulo 7.

PRUEBA. Por hipótesis, a-ß 7b œ ", luego " œ =-  >7 para dos enteros
convenientes = y >. Multiplicando por , tenemos
, œ ,=-  ,>7
Esto último se puede escribir así
,  ,=- œ a,>b7 Í , ´ a,=b- a79.Þ7b.
Esto expresa que B œ ,= es la solución de , ´ -Ba79.Þ7b.
Por otra parte, dos soluciones B" y B# de esta congruencia se tiene
, ´ -B" a79.Þ7b • , ´ -B# a79.Þ7b
por ser la relación de congruencia simétrica y transitiva se tiene que
-B" ´ -B# a79.Þ7b
Como - es primo con 7, se puede simplificar a15.4b y resulta
B" ´ B# a79.Þ7b.

Un caso particular importante se presenta cuando el módulo 7 es primo,
entonces todo entero no divisible por 7 es primo con él. Esto nos
demuestra el siguiente resultado.

15.6 COROLARIO. Si : es primo y - ´ !a79.Þ:b entonces -B ´ , a79.Þ:b tiene
Î
solución única módulo :.

Consideremos ahora congruencias simultáneas.

15.7 TEOREMA. Si los módulos 7" y 7# son primos entre si, las
congruencias
B ´ ," a79.Þ7" bß B ´ ,# a79.Þ7# b
tienen una solución común, B. Dos soluciones cualesquiera son
congruentes módulo 7" 7# .

PRUEBA. La primera congruencia tiene como solución ," ; la solución más
general es B œ ,"  C7" para algún entero C . Esta debe verificar la segunda
congruencia
,"  C7" ´ ,# a79.Þ7# b
o
C7" ´ a,#  ," ba79.Þ7# b


como 7" y 7# son primos entre si, podemos resolver esta congruencia
por el método de (15.5).
Supongamos ahora que B y Bw son dos soluciones del sistema, se tendrá
Bw  B ´ !a79.Þ7" b y Bw  B ´ !a79.Þ7# b
Como 7" y 7# son primos entre si, la diferencia Bw  B es divisible por
7" 7# . Así que B ´ Bw a7" 7# b.
El mismo método de resolución se aplica a dos o más congruencias de la
forma +3 B ´ ,3 a79.Þ73 b con 7Þ-Þ.Ö+3 ß 73 × œ " y con los módulos primos
entre si dos a dos.

15.8 EJERCICIOS.

"Þ Demuestre las siguientes propiedades de la divisibilidad
a+b 8l8
a,b .l8 • 8l7 implica .l7à .ß 8ß 7 − ™
a8 − ™

a- b .l8 • .l7 Ê .la+8  ,7bà .ß 8ß 7ß +Þ, − ™
a. b .l8 Ê +.l+8à +ß .ß 8 − ™
a/b +.l+8 • + Á !ß Ê ß .l8
a0 b "l8
a1b 8l!
a8 − ™

a2b !l8 Ê 8 œ !
a8 − ™

a3b .l8 • 8 Á ! Ê l.l Ÿ l8l
a4b .l8 • 8l. Ê l.l œ l8l
a5 b .l8 • . Á ! Ê ˆ 8 ‰l8
.
En lo que sigue las letras +ß ,ß -ß á Bß Cß D representan números enteros.
Probar que las siguientes afirmaciones son verdaderas
a#b Si a+ß ,b œ " • -l+ • .l,ß entonces a-ß . bÑ œ " (aß b œ 7Þ-Þ. )
a$b Si a+ß ,b œ a+ß - b œ ". entonces a+ß ,- b œ "
a%b Si a+ß ,b œ " entonces a+  ,ß +  ,b es ó "ß ó #
a&b Si a+ß ,b œ " y si .la+  ,b, entonces a+ß . b œ a,ß . b œ "
a'b Si a+ß ,b œ " entonces a+  ,ß +#  +,  , # b es ó ", ó $.
a(b Si a+ß ,b œ " entonces ˆ+8 ß , 5 ‰ œ " a8 "ß a5 ".
a)b Un número racional + con a+ß ,bÓ œ " es llamada una fracción
,
reductible. Si la suma de dos fracciones reductibles es un número entero,
digamos +  . œ 8, probar que l+l œ l.l.
-

a*b Para cada una de las afirmaciones siguientes dar una demostración ó
,

hallar un contra-ejemplo
a+b Si ,# l8 y +# l8 • +# Ÿ , # , entonces +l,.
a,b Si ,# es el cuadrado más grande que es divisor de 8, entonces
+# l8 Ê +l,


§16 CLASES RESIDUALES

Desde la más remota antigüedad, el hombre ha distinguido los enteros
"pares" #ß %ß 'ß )ß á ß de los "impares" "ß $ß &ß (ß á . Las siguientes leyes de
cálculo entre pares e impares son también conocidas:
par+par=impa+impar=par, par+impar=impar
par † par=par † impar=par, impar † impar=impar
Estas igualdades pueden considerarse, no como teorema relativo a los
enteros ordinarios, sino como definición de dos operaciones "adición" y
"multiplicación", en una nueva álgebra de los dos elementos "par" e
"impar"
Esta álgebra puede también considerarse como un álgebra de restos
módulo #. Los enteros pares son aquellos que dividos por # dan resto !,
mientras que los impares dan resto ". Estos dos restos, pueden sumarse
y multiplicarse del modo ordinario, cuidando luego de reemplazar el
resultado por su resto módulo #. Esto nos da una tabla
!!œ""œ! !"œ"
!†!œ!†"œ! "†"œ"
que en esencia es la misma tabla para pares e impares. Inversamente,
puede decirse que la igualdad "  " œ ! es un nuevo modo de escribir la
congruencia "  " ´ !a79.Þ#b.
Un álgebra análoga N8 ß de 8 elementos, resultará partiendo de las
congruencias módulo 8. En la última sección a§15b hemos visto que la
congruencia tiene las propiedades características de la igualdad,
reflexiva, simétrica y transitiva, y las congruencias pueden ser
multiplicadas y sumadas, como las igualdades. En efecto, el teorema 15.4
muestra que si + ´ ,a79.Þ8b y - ´ . a79.Þ8b resulta
+  - ´ ,  . a79.Þ8b y +- ´ ,. a79.Þ8b a"b
El álgebra N8 de los elementos módulo 8 se obtiene reemplazando la
congruencia módulo 8 por la igualdad. Según a"b la suma y el producto de
dos enteros están unívocamente determinados con este nuevo significado
de igualdad. Cualquier entero es igual a uno de los 8 restantes posibles
!ß "ß #ß á ß 8  "
Dos de estos restos pueden sumarse (o multiplicarse) en la forma
habitual reduciendo luego el resultado a su resto módulo 8, del que
viene a ser "igual"
Las tablas para el caso 8 œ & son las siguientes


+ 0 1 2 3 4 . 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 4
2 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 3
3 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 2
4 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

16.1 TEOREMA. En el sistema N8 de enteros módulo 8, son válidas para la
adición y multiplicación todas las propiedades enumeradas a
continuación:
a3b ØN8 ß adiciónÙ grupo abeliano
a33b aB † C b † D œ B † aC † D b para todo Bß Cß D − N8
a33b B † C œ C † B para todo Bß C − N8
a3@b Existe " − N8 tal que B † " œ " † B œ B para todo B − N8
a@b B † aC  D b œ B † C  B † D para todo Bß Cß D − N8
y no cumple la ley de simplificación a‡ b, es de notar que se entenderá
B œ C si y sólo si B ´ C a79.Þ8b.
.
a b para la multiplicación módulo 8
‡

.

PRUEBA. Acabamos de ver que dos elementos cualesquiera definen
unívocamente su suma y su producto. Consideremos la ley distributiva.
Cómo
+Ð,  -Ñ œ +,  +-
para enteros cualesquiera se debe tener
+a,  - b ´ a+,  +- ba79.Þ8b
que es la ley distributiva para nuestro nuevo concepto de igualdad en N8 .
El mismo tipo de razonamiento se aplica a las otras leyes, que se
expresan mediante identidades entre sumas y elementos negativos. Los
primeros miembros de cada identidad son congruentes módulo 8 con los
segundos miembros. Por lo cual las correspondientes expresiones en
N8 son iguales.
El único postulado que no se conserva inalterado es la ley de
simplificación del producto. Esta ley equivale a asegurar la no existencia
de divisores de ! en N8 , así que +, œ ! deberá implicar + œ !ß ó, , œ !. Pero
estas igualdades se traducen en N8 por congruencias entre enteros, de
modo que tal ley equivaldría a decir:
Si +, ´ !a79.Þ8b entonces + ´ !a79.Þ8b ó , ´ !a79.Þ8b
Esto, a su vez equivale a decir que
8l+, Ê 8l+ ,ó, 8l,


Pero esta propiedad es cierta si 8 es primo. Si 8 no es primo, admite una
descomposición 8 œ +, sin que 8l+ ni 8l, ( como ' œ $ † #ß 'l$ † # sin, 'l$ ni
'l#). Luego, en este caso N8 no satisface la ley de simplificación.

16.2 Para que la ley de simplificación de la multiplicación sea válida en
N8 , es necesario y suficiente que 8 sea un número primo.

Hay otro modo más sistemático para construir el álgebra de los enteros
módulo 8Þ El artificio de reemplazar congruencia por igualdad significa,
esencialmente, que todos los enteros que dan el mismo resto en su
división por 8 pueden agruparse y cada grupo viene a ser un "número"
nuevo. Cada uno de tales grupos se llama una "clase residual". Para el
módulo & hay cinco clases residuales, corresponientes a los posibles
restos
!ß "ß #ß $ß %
algunas de estas clases son:

" œ eá ß  "%ß  *ß  %ß "ß 'ß ""ß "'á f
•
# œ eá ß  "$ß  )ß  $ß #ß (ß "#ß "(ß á f
•
$ œ eá ß  "#ß  (ß  #ß $ß )ß "$ß ")ß á f
•

Para cada módulo 8 la clase residual <8 determinada por un resto < con
! Ÿ <  8, está formada por todos los enteros +ß que dan el mismo resto <
en su división por 8. Todos los enteros perteneciente a la misma clase,
son congruentes módulo 8. Hay 8 clases residuales módulo 8, a saber
!8 ß "8 ß #8 ß á ß a8  "b8
Las operaciones algebráicas en N8 pueden efectuarse directamente sobre
estas clases. Supongamos que la suma de dos restos < y = dan en N8 un
resto >, o sea
<  = ´ >a79.Þ8b
El mismo resultado se obtendria si en vez de tomar los restos < y =,
tomásemos otros elementos en las clases correspondientes. Si + está en
<8 y , en =8 , entonces +  , está en la clase >8 , que contiene a su suma >,
pues
+ ´ <a79.Þ8b • , ´ =a79.Þ8b Ê +  , ´ <  = ´ >a79.Þ8b
En general el álgebra N8 puede definirse como el álgebra de las clases
residuales; para sumar (ó multiplicar) dos clases se eligen dos elementos
+ y , representativos de estas clases y se busca la clase residual que
contiene la suma (ó al producto) de estos elementos representativos. Si +8
indica la clase residual que contiene a +, ésta puede formularse así:
a+  , b 8 œ + 8  , 8 , a+,b8 œ +8 ,8
Por ejemplo, la suma "&  #& œ $& de las clases residuales escritas antes
puede hallarse sumando dos elementos elegidos como representantes de


la mismas, '  a  "$b por ejemplo, obteniéndose así a  (b, que está en la
clase $& . Otras elecciones como
 *  a  $b œ  "#ß ""  ( œ ")ß  "%  "( œ $
darán siempre la misma suma $& .

Las clases residuales que hemos definido mediante los restos, pueden
definirse también directamente mediante las congruencias según el
método que será tratado por los lectores interesados.

16.2 EJERCICIOS

a"b Resolver las siguientes congruencias
a+b $B œ #a79.Þ&b a,b #B ´ %a79.Þ"!b
a- b #%$B  "( ´ "!"a79.Þ(#&b a. b %B  $ ´ %a79.Þ&b


a/b 'B  $ ´ %a79.Þ"!b a0 b 'B  $ ´ "a79.Þ"!b
a#b Demostrar que la relación + ´ ,a79.Þ7b es reflexiva y transitiva.
a$b Demostrar directamente que + ´ ,a79.Þ7b y - ´ . a79.Þ7b implica
+  - ´ ,  . a79.Þ7b y +- ´ ,. a79.Þ7b
a%b +Ñ Demostrar que la congruencia +B ´ ,a79.Þ7b tiene solución si y sólo
si, a+ß 7bl,. [aß b œ 7Þ-Þ. ]
,Ñ Demostrar que si a+ß 7bl,, la congruencia tiene exactamente a+ß 7b
soluciones incongruentes módulo 7. [Sugerencia: Dividir +ß , y 7 por
a+ß 7b.]
a&b Si 7 es entero, mostrar que 7# ´ ! ó "a79.Þ7b
a'b Demostrar que B# ´ $&a79.Þ"!!b no tiene solución.
a(b Demostrar que si B# ´ 8a79.Þ'&b tiene una solución, también tiene
solución B# ´ '&  8a79.Þ'&b. Generalizar este resultado.
a)b Si B es un número impar no divisible por $, mostrar que B# ´ "a79.Þ#%b
a*b Resolver las congruencias simultanes:
+Ñ B ´ #a79.Þ&b $B ´ "a79.Þ)b
,Ñ $B ´ #a79.Þ&b #B ´ "a79.Þ$b
a"!b En una isla desierta, cinco hombres y un mono recogen cocos
durante el día, y después duermen. El primer hombre se despierta y
decide tomar su parte. Divide los cocos en cinco grupos iguales, y le
sobra un coco, que lo da al mono. Después toma su parte y vuelve a
dormirse. Entonces despierta el segundo hombre, y haciendo un montón
con los cocos que quedaron, lo divide en cinco partes iguales, y le sobra
un coco, que da al mono. Sucesivamente ocurre lo mismo con cada uno
de los tres hombres restantes. Encontrar el número mínimo de cocos que
formaban el montón original. (Sugerencia: Añadir 4 cocos).
a""b Construir las tablas de adición y multiplicación para N$ y N% .
a"#b Calcular en N( : a$ † %b † &ß $ † a% † &bß $ † a%  &bß $ † %  $ † &
a"$b Hallar todos lo divisores de cero en N#' y N#% .


a"%b Determinar exactamente el conjunto de sumas B  C y productos BC,
para B en %) ß C en %) ¿Cómo están relacionados los conjuntos %)  %) y
%) † %) ?
a"&b Demostrar la ley asociativa para la adición de clases residuales, como
en el caso de las congruencias módulo 8.

§17. NÚMEROS COMPLEJOS.

Hemos llegado a nuestro último parágrafo, dedicado al estudio del
sistema de los números complejos, el cual presentaremos, siguiendo el
formato ideado por el matemático irlandés Sir William R. Hamilton, en la
forma más completa posible.

‚ œ eaB" ß B# b − d ‚ dÎB" ß B# son realesf

Se define en ‚ la adición y la multiplcación en la forma

aBß Cb È B  C œ aB" ß B# b  aC" ß C# b œ aB"  C" ß B#  C# b
 À ‚ ‚ ‚⎯→ ‚

aBß Cb È B•C œ aB" ß B# b•aC" ß C# b œ aB" C"  B# C# ß B" C#  B# C" b
• À ‚ ‚ ‚⎯→ ‚

Además en ‚ se define la igualdad así

B − ‚ß C − ‚, B œ C Í aB" ß B# b œ aC" ß C# b Í B" œ C" • B# œ C#

Tomando B − ‚, entonces B œ aB" ß B# b en esta representación

B" es llamado la parte real de B
B# es llamado la parte imaginaria de B

17.1 TEOREMA. Con la suma y multiplicación así definida en ‚, entonces se
tiene que ‚ es un cuerpo. Llamado el cuerpo de los números complejos.
DEMOSTRACIÓN. a3b Ø‚ß  Ù es un grupo abeliano, en efecto
G1. aB  Cb  D œ aB"  C" ß B#  C# b  aD" ß D# b œ aaB"  C" b  D" ß aB#  C# b  D# b
œ aB"  aC"  D" bß B#  aC#  D# bb œ aB" ß B# b  aC"  D" ß C#  D# b
œ B  caC" ß C# b  aD" ß D# bd œ B  aC  D b
G2. B  C œ aB" ß B# b  aC" ß C# b œ aB"  C" ß B#  C# b œ aC"  B" ß C#  B# b
œ aC" ß C# b  aB#  B# b œ C  B
G3. +  B œ + Í a+" ß +# b  aB" ß B# b œ a+"  B" ß +#  B# b œ a+" ß +# b
por la igualdad entre parejas se tiene


+"  B" œ +" • +#  B# œ +#
Pero en d estas ecuaciones tienen por solución única

Luego B œ a!ß !b es el módulo aditivo
B" œ B# œ !

G4. +  B œ ! Í a+" ß +# b  aB" ß B# b œ a!ß !b Í a+"  B" ß +#  B# b œ a!ß !b
por la igualdad entre parejas se recibe
+"  B" œ ! • +#  B# œ !
Cuyas soluciones en d son

Luego B œ a  +" ß  +# b œ  + teniéndose la invertiva de la adición
B" œ  +" • B# œ  +#

a33b Ø‚,•Ù es también un grupo abeliano, efectivamente se tiene que:
G1. aB † Cb † D œ caB" ß B# b † aC" ß C# bd † aD" ß D# b œ aB" C"  B# C# ß B" C#  B# C" baD" , D# b
œ aaB" C"  B# C# bD"  aB" C#  B# C" bD# ß aB" C"  B# C# bD#  aB" C#  B# C" bD" b
œ aB" C" D"  B# C# D"  B" C# D#  B# C" D# ß B" C" D#  B# C# D#  B" C# D"  B#C"D" b a"b
Por otra parte tenemos
BaCD b œ aB" ß B# bcaC" ß C# b † aD" ß D# bd œ aB" ß B# baC" D"  C# D# ß C" D#  C# D" b
œ aB" aC" D"  C# D# b  B# aC" D#  C# D" bß B" aC" D#  C# D" b  B# aC" D"  C# D# bb
œ aB" C" D"  B" C# D#  B# C" D#  B# C# D" ß B" C" D#  B" C# D"  B# C" D"  B#C#D# b a#b
comparando a"b y a#b, y usando la definición de igualdad se concluye que
aB † C b † D œ B † aC † D b
G2. B † C œ aB" ß B# b † aC" ß C# b œ aB" C"  B# C# ß B" C#  B# C" b œ
œ aC" B"  C# B# ß C# B"  C" B# b
œ aC" ß C# b † aB" ß B# b œ C † B
teniéndose la abelianidad del producto.
G3. Cálculo del módulo multiplicativo. Suponiendo + Á !;
+ † B œ + Í a+" ß +# baB" ß B# b œ a+" ß +# b
lo cual es completamente equivalente a
a+" B"  +# B# ß +" B#  +# B" b œ a+" ß +# b
de donde se desprende el siguiente sistema simultáneo de ecuaciones
lineales
+" B"  +# B# œ +"
+" B#  +# B" œ +#
el cual resolvemos por el método de eliminación
#
+" +# B"  +# B# œ +" +#
#
 + " + # B"  + " B # œ  + " + #
entonces
-a+"  +# bB# œ !
# #

como +"  +# Á !, pues + Á !, en general se tiene que B# œ !Þ
# #

Ahora
# #
+ " B "  + " + # B# œ + "
# #
+ # B "  + " + # B# œ + #
entonces recibimos
a + "  + # bB " œ + "  + # Ê B " œ "
# # # #


así B œ a"ß !b es el módulo multiplicativo.
G4. Dado + Á ! calculemos su inverso multiplicativo;
+ † B œ a"ß !b Í a+" ß +# baB" ß B# b œ a"ß !b
lo cual podemos también escribir así
a+" B"  +# B# ß +" B#  +# B" b=a"ß !b
de la definición de igualdad, recibimos el siguiente sistema simultáneo de
ecuaciones
+" B"  +# B# œ "
+" B#  +# B" œ !
usando el método de eliminación tenemos
#
+ " B "  + " + # B# œ + "
#
+ # B "  + " + # B# œ !
de donde se tiene
a+"  +# bB" œ +" Í B" œ +#+" #
# #
+ " #

y por otra parte
+# +#
B# œ  +" B" œ  # #
+" +"
así
B" œ Š +#+" # ß  +#
#‹ œ a+" ß +# b" œ +"
a333b Se tiene la ley distributiva, en efecto
+ #
+" +"
" #

BaC  D b œ aB" ß B# bcaC" ß C# b  aD" ß D# bd œ aB" ß B# baC"  D" ß C#  D# b
œ aB" aC"  D" b  B# aC#  D# bß B" aC#  D# b  B# aC"  D" bb
œ aB" C"  B" D"  B# C#  B# D# ß B" C#  B" D#  B# C"  B# D" b
Ahora, por otro lado
BC  BD œ aB" ß B# baC" ß C# b  aB" ß B# baD" ß D# b œ
œ aB" C"  B# C# ß B" C#  B# C" b  aB" D"  B# D# ß B" D#  B# D" b
œ aB" C"  B# C#  B" D"  B# D# ß B" C#  B# C"  B" D#  B# D" b
De la definición de igualdad se sigue que
BaC  D b œ BC  BD .

17.2 VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Vamos a generalizar el concepto de valor absoluto dado para los
números reales

17.2.1 DEFINICIÓN. Si B œ aB" ß B# b, entonces definimos el módulo o valor
absoluto de B, como el número real no negativo lBl dado por
lBl œ ÈB#  B#
" #

17.2.2 TEOREMA. El valor absoluto así definido cumple las siguientes
propiedades


a+b la!ß !bl œ !, y lBl  ! si B Á !
a,b lBCl œ lBllCl para todo Bß C − ‚
a- b ¹ B ¹ œ lBl si C Á !
a. b laB" ß !bl œ lB" l
C lCl

DEMOSTRACIÓN. Las igualdades a+b y a. b son inmediatas
Para demostrar a,b escribimos B œ aB" ß B# b, C œ aC" ß C# b así que
BC œ aB" C"  B# C# ß B" C#  B# C" b
obteniendo
lBCl# œ aB" C"  B# C# b#  aB" C#  B# C" b#
œ B# C"  B# C#  B" C#  B# C" œ aB"  B# baC"  C# b
"
# # # # # # # # # # #

œ lBl# lCl#
La ecuación a- b puede deducirse de a,b escribiéndola de la forma
lBl œ lCl¹ B ¹
C
Geométricamente, lBl representa la longitud del segmento que une el
origen con el punto B. Más generalmente, lB  Cl es la distancia entre los
puntos B y C colocados en un plano cartesiano.

17.2.3 DEFINICIÓN. Si + − d entonces + puede considerarse como un
número complejo imponiendo la identificación
+ œ a+ß !b
en esta forma d © ‚, diciéndose que los reales quedan encajados dentro
de los complejos.

17.2.4 TEOREMA. La ecuación B# œ a  "ß !b œ  " tiene por solución a a!ß "b
y a!ß  "b

PRUEBA. Efectivamente, supongamos que B œ aB" ß B# b y que
B# œ aB" ß B# baB" ß B# b œ  " œ a  "ß !b
Por la definición de multiplicación se recibe
aB#  B# ß #B" B# b œ a  "ß !b
" #
de donde se desprende el siguiente sistema cuadrático
B#  B# œ  "
" #
#B" B# œ !
la segunda de estas dos ecuaciones afirma que
B" œ ! ó B# œ !
Si B" œ ! en la primera ecuación se tiene
B# œ " Í B# œ „ "
#
en este caso se tendría que
B œ a!ß "b ó B œ a!ß  "b
que son las dos soluciones deseadas.


Si B# œ !, entonces de la primera ecuación tendríamos
B# œ  "
"
como B" − d , esta ecuación no tiene solución.

17.2.6 DEFINICIÓN. Es universalmente denotado el número complejo a!ß "bß
solución de B# œ  ", con la letra 3, así
3 œ a!ß "b.
En esta forma si B − ‚ se sigue de 17.2.4 que
B œ aB" ß B# b œ aB" ß !b  a!ß B# b œ B"  aB# ß !ba!ß "b
B œ B"  B# 3
que es la forma clásica para un número complejo.

En esta forma si B − ‚ ( se dice si B es un número complejo ) entonces
B œ a+ß ,b œ +  3,
+ es llamado la parte real y se nota
+ œ V/B
, se le llama la parte imaginaria y se le nota
, œ 7 B
Una primera operación que se define en ‚ß es llamada conjugación la
cual consiste en cambiarle el signo a la parte imaginaria , es decir,

-984 À ‚⎯→ ‚
D œ +  3, È D œ +  3,

Son propiedades de la conjugación las siguientes:
1. D „ A œ D „ A
2. D † A œ D † A
3. D œ D
4. ˆ A ‰ œ A
D D

5. V/ D œ DD#
6. 7 D œ DD#3

17.2.7 Si B y C son números complejos, tenemos
lB  Cl Ÿ lBl  lCl
PRUEBA. Como no contamos con la desigualdad de Cauchy-Schwarz,
procedemos en la siguiente forma:
Sean Bß C − ‚ entonces B œ aB" ß B# b • C œ aC" ß C# b con B" ß B# ß C" ß C# − d
entonces B" C#  B# C" − d por los postulados de d se sigue que
aB" C#  B# C" b# !
de donde
B# C#  #B" C" B# C#  B# C" !
"
#
#
#

Í #B" B# C" C# Ÿ B# C#  B# C"
"
# # #


Í B# C"  #B" B# C" C#  B# C# Ÿ B" C"  B" C#  B# C"  B# C#
# # # # # # # # # #

Í aB" C"  B# C# b# Ÿ aB#  B# baC"  C# b
" #
# #
" #
Tomando raiz cuadrada a los dos lados tenemos
B" C"  B# C# Ÿ ÈaB#  B# baC"  C# b
Í #aB" C"  B# C# b Ÿ #ˆ ÈaB#  B# baC"  C# b‰
# #
" #
# #
" #
sumando cantidades iguales la desigualdad se mantiene
B#  B#  #aB" C"  B# C# b  C"  C# Ÿ B#  B#  #ˆ ÈaB#  B# baC"  C# b‰  C"  C#
" #
# #
" # " #
# # # #

Esta desigualdad la podemos transformar en la forma equivalente
siguiente
aB#  #B" C"  C" b  aB#  #B# C#  C# b Ÿ
# #

Ÿ ˆÈB#  B# ‰  #ˆ ÈaB#  B# baC"  C# b‰  ˆÈC"  C# ‰
" #
# # # # # #

Í aB"  C" b#  aB#  C# b# Ÿ ˆÈB#  B#  ÈC"  C# ‰
" # " #
# # #

Í kaB"  C" ß B#  C# bk# Ÿ alaB" ß B# bl  laC" ß C# blb#
" #

Tomando raiz cuadrada llegamos a la desigualdad deseada
lB  Cl Ÿ lBl  lCl
Esta desigualdad es conocida como la desigualdad triangular

17.3 IMPOSIBILIDAD DE ORDENAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Todavía no hemos definido una relación de la forma B  C si B y C son
números complejos arbitrarios, por la razón de que es imposible dar una
definición de  para números complejos que posea todas las
propiedades expresadas por los axiomas O1, O2, AO1, y AO2 dadas en
9.5.
Para justificarlo, supongamos que fuera posible definir una relación de
orden  que cumpliera los axiomas O1,O2,AO1, y AO2. Entonces,
puesto que 3 Á !, tendríamos, o bien
3! ó 3!
según el axioma de tricotomia. Supongamos 3  !.
Tomando B œ C œ 3 y según AO2 tendríamos
3#  !
pero 3# œ  ", así  "  !, sumando " a los dos miembros llegaríamos a
que !  ", lo cual es contradictorio. Por lo tanto el supuesto 3  ! nos
lleva a una contradicción. Un razonamiento parecido demuestra que no
podemos tomar 3  !. Por lo tanto, los números complejos no pueden ser
ordenados de manera que los axiomas O1, O2, AO1 y AO2 se satisfagan.

17.4 EXPONENCIALES COMPLEJOS

La exponencial /B aB − d b es dada por la serie


$ % 8
/ B œ "  B  " B#  B  B  â  B  â
# $x %x 8x
Queremos ahora definir /D , cuando D es un número complejo. Vamos a
hacerlo de manera que las propiedades principales de la función
exponencial real se conserven. Las citadas propiedades para B − d vienen
dadas por la ley de exponentes
/B" /B# œ /B" B#
y por el hecho de que
/! œ "
Daremos una definición de /D para D complejo que conserve tales
propiedades y que se reduzca a la exponencial ordinaria cuando D es
real.
Si escribimos D œ B  3C aBß C − d b, con objeto de que se mantenga la ley
de exponentes, es necesario que sea
/B3C œ /B /3C
Queda por definir lo que significa /3C .

17.4.1 DEFINICIÓN. Si D œ B  3C , definimos /D œ /B3C como el número
complejo
/D œ /B acos C  3sin C b.

Tal definición coincide claramente con la función exponencial ordinaria
cuando D es real ( esto es, C œ !). Tenemos ahora que la ley de
exponentes se cumple.

17.4.2 TEOREMA. Si D" œ B"  3C" • D# œ B#  3C# son números complejos, se
verifica
/D" D# œ /D" /D#

PRUEBA. /D" œ /B" acos C"  3sin C" b
/D# œ /B# acos C#  3sin C# b
/ / œ /B" /B# ccos C" cos C#  sin C" sinC#  3acos C" sinC#  sin C" sin C# bd
D" D #

Ahora bien: /B" /B# œ /B" B# , puesto que B" y B# son reales. Así mismo,
cos C" cos C#  sin C" sinC# =cosaC"  C# b
y
cos C" sinC#  sin C" sin C# œ sinaC"  C# b
y por consiguiente
/D" /D# œ /B" +B# ccosaC"  C# b  3sinaC"  C# bd œ /D" D#

Ahora vamos a obtener algunas propiedades importantes de la
exponencial compleja.

17.4.3 TEOREMA. /D nunca es cero


PRUEBA. /D /D œ /! œ ". Luego /D no puede ser cero.

17.4.4 TEOREMA. Si B es real, entonces k/3B k œ ".
PRUEBA. k/3B k œ cos# B  sin# B œ " y k/3B k  !.
#

17.4.5 TEOREMA. /D œ ", si D es múltiplo entero de #13, y recíprocamente.

PRUEBA. Si D œ #138, siendo 8 entero, entonces
/D œ cosa#18b  3sina#18b œ "
Inversamente, supongamos que /D œ " • D œ B  3C. Esto significa que
/B cosC œ " y /B sinC œ !. Ya que /B Á !, es necesario que sin C œ ! Í C œ 5 1
siendo 5 un número entero. Pero cosa5 1b œ a  "b5 . Por lo tanto
/B cosa5 1b œ ". Siendo por otra parte /B  !, 5 debe ser par, es decir,
C œ #18. Por eso /B œ " luego B œ !. El teorema está probado.

17.4.6 TEOREMA /D" œ /D# , si D"  D# œ #138 a8 − ™b y recíprocamente.

PRUEBA.Si /D" œ /D# , entonces /D" D# œ " y de 17.4.5 se tiene D"  D# œ #138.
Inversamente si D"  D# œ #138 entonces /D" D# œ /#138 œ " Ê /D" œ /D#

17.5 ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Si el punto D œ aBß C b œ B  C3 se representa en coordenadas polares < y ),
podemos escribir B œ <cos ) y C œ <sin ), es decir

z = (x,y)

y

θ
x

D œ <cos )  3sin )
Los dos números < y ) determinan unívocamente a D . Inversamente el
número positivo < viene determinado unívocamente por D pues < œ lDl. Sin
embargo , D determina el ángulo ) salvo múltiplos de #1. Existen una
infinidad de valores de ) que satisfacen las ecuaciones


B œ lDlcos )ß C œ lDlsin )
pero, naturalmente, dos cualesquiera de ellos difieren en un múltiplo de
#1. Cada uno de estos valores de ) es un argumento de D pero uno de
ellos se distingue y se llama el argumento principal de D .

17.5.1 DEFINICIÓN. Sea D œ B  3C un número complejo no nulo. El número
real único ) que satisface las condiciones
B œ lDlcos )ß C œ lDlsin ) 1) Ÿ 1
se llama el argumento principal de D , y se representa por
)=argaD b
La anterior discusión origina inmediatamente el siguiente teorema.

17.5.2 TEOREMA. Todo número complejo D Á ! puede ponerse en la forma
D œ </3) , donde < œ lDl y ) œ argaD b  #18, siendo 8 un número entero.

NOTA. Tal método de representación de los números complejos es
especialmente útil en relación con la multiplicación y la división, pues
tenemos
ˆ<" /3)" ‰ˆ<# /3)# ‰ œ <" <# /3a)" )# b
y
<" /3)"
< /3)#
œ <# /3a)" )# b
<
"
#

17.5.3 TEOREMA. Si D" D# Á !, se verifica
argaD" D# b œ argaD" b  argaD# b  #18aD" ß D# b

Ú!
donde
si  1  argaD" b  argaD# b Ÿ 1
8a D " ß D # b œ Û " si  #1  argaD" b  argaD# b Ÿ  1
Ü  " si 1  argaD" b  argaD# b Ÿ #1

PRUEBA. Pongamos D" œ lD" l/3)" ß D# œ lD# l/3)# , donde )" œ argaD" b y )# œ argaD# b.
Entonces D" D# œ lD" D# l/3a)" )# b . Puesto que  1  )" Ÿ 1 y  1  )# Ÿ 1,
tenemos

Este entero 8 es precisamente el entero 8aD" ß D# b ( existe 8 tal que
 #1  ) "  ) # Ÿ # 1

 1  )"  )#  #18  1) dado en el enunciado del teorema, y para él
tenemos
argaD" ß D# b œ )"  )#  #18.

17.6 POTENCIAS ENTERAS Y RAICES DE NÚMEROS COMPLEJOS

17.6.1 DEFINICIÓN. Dados un número complejo y un entero 8, definimos la
potencia 8-ésima de D así


D ! œ "ß D 8" œ D 8 D si 8 !
D 8 œ aD " b si 8  ! y D Á !
8

17.6.2 TEOREMA. Dados dos enteros 7 y 8, tenemos
D 8 D 7 œ D 87 y aD" D# b8 œ D" D#
8 8

17.6.3 TEOREMA. Si D Á !, y 8 es un entero positivo, existen exactamente
8 números distintos D! ß D" ß á ß D8" (llamados raíces 8-ésimas de D ). tales
que
8
D5 œ Dß para 5 œ !ß "ß #ß á ß 8  "
Además, estas raíces se obtienen utilizando las fórmulas
D5 œ V/3)5 donde V œ lDl 8 y )5 œ argaD b  #15 a5 œ !ß á ß 8  "b
"
8 8

NOTA. Las 8 raíces 8-ésimas son los vértices de un polígono regular
inscrito en el círculo de radio < œ lDl 8 y centro en el origen.
"

PRUEBA. Los 8 números complejos V/3)5 ß ! Ÿ 5 Ÿ 8  "ß son distintos y cada
uno es una raíz 8-ésima de D , ya que
ˆV/3)5 ‰8 œ V 8 /38)5 œ lDl/3ÒargaD b#15Ó œ D
Demostremos ahora que no existen otras raíces 8-ésimas de D .
Admitamos que A œ E/3! es un complejo tal que A8 œ D .
En tal caso lAl8 œ lDl, y por lo tanto E8 œ lDlß E œ lDl 8 . Por consiguiente, de
"

A8 œ D se deduce
/38! œ /3ÒargaD bÓ , que implica 8!  argaD b œ #15
luego
! œ argaD b#15
8
Pero mientras 5 va recorriendo todos los valores enteros, A toma
sólamente los valores distintos D! ß D" ß á ß D8" .

17.7 LOGARITMOS COMPLEJOS

Según hemos visto /D nunca es cero. Es natural preguntar si existen otros
valores que /D no pueda alcanzar. El próximo teorema demuestra que el
único valor excepcional es el cero.

17.7.1 TEOREMA. Si D es un número complejo distinto de cero existen
números complejos A tales que /A œ D . Uno de tales A es el número
complejo
loglDl  3argaD b
y todos los demás tienen la forma
loglDl  3argaD b  #813 a8 − ™b


PRUEBA.Ya que
/loglDl3argaD b œ /loglDl /3argaD b œ lDl/3argaD b œ D
vemos que
A œ loglDl  3argaD b
es una solución de la ecuación /A œ D . Pero si A" es alguna otra solución,
entonces
/A œ /A" Í /A" A œ " Í A"  A œ #813
así
A" œ loglDl  3argaD b  #813.

17.7.2 DEFINICIÓN. Sea D Á ! un número complejo dado. Si A es un
número complejo tal que /A œ D , entonces A es llamado un logaritmo de
D . El valor particular de A dado por
A œ loglDl  3argaD b
se denomina el logaritmo principal de D , y se representará simplemente
por
A œ P91aD b

17.7.3 TEOREMA. Si D" D# Á !, se verifica que
P91aD" D# b œ P91aD" b  P91aD# b  #138aD" ß D# b

PRUEBA. P91aD" D# b œ loglD" D# l  3argaD" D# b
œ loglD" l  loglD# l  3cargaD" b  argaD# b  #18aD" D# bd
Å
œ eloglD" l  3argaD" bf  ÖlogaD# b  3argaD# b×  #138aD" ß D# b
"(Þ&Þ$

œ P91aD" b  P91aD# b  #138aD" ß D# b.

17.8 POTENCIAS COMPLEJAS

Utilizando logaritmos complejos podemos ahora dar una definición de
potencias complejas de números complejos.

17.8.1 DEFINICIÓN. Si D Á ! y si A es cualquier número complejo definimos
D A œ /AP91aD b .

a"b 33 œ /3P91a3b œ /3ˆ3 # ‰ œ / #
1 1
EJEMPLOS

a#b a  "b3 œ /3P91a"b œ /3a31b œ /1

a$b Si 8 es un número entero, entonces


D 8" œ /a8"bP91aD b œ /8P91aD b /P91aD b œ D 8 D

17.8.2 TEOREMA. D A" D A# œ D A" A#

PRUEBA. D A" A# œ /aA" A# bP91aD b œ /A"P91aD b /A#P91aD b œ D A" D A#

17.8.3 TEOREMA. aD" D# bA œ D" D# /#138aD" ßD# b
A A

donde 8aD" ß D# b es el entero dado en 17.5.3

PRUEBA. aD" D# bA œ /AP91aD" D# b œ /AcP91aD" bP91aD# b#138aD"ßD# bd
œ /AP91aD" bAP91aD# b#13A8aD"ßD# b œ /AP91aD" b /AP91aD# b /#13A8aD"ßD#b
œ D" D# /#138aD" ßD# b
A A

17.9 EJERCICIOS.
a"b Halle P91a3b
a#b Halle P91a  3b
a$b Demestre que P91a  "b œ 13
a%b Demuestre que si B − d y B  ! entonces logB œ P91aBb
a&b Pruebe que P91a"  3b œ logÈ#  1 3
a'b Demostrar que
%

+Ñ lDl# œ D † D ,Ñ D  D œ #V/D -Ñ D  D œ #¼7D
/Ñ ! D5 œ ! D 5
8 8
.Ñ D  A œ D  A 0 Ñ /3) œ /3) ß ) − d
5œ" 5œ"
1Ñ D œ D 2Ñ lDl œ lDl 3Ñ l/3) l œ "ß )−d

5Ñ Œ # D5  œ # D 5 6Ñ ˆ A ‰ œ
8 8
D D
4Ñ D † A œ D † A A

7Ñº # D5 º œ # lD5 l 8Ñ ¸ A ¸ œ
5œ" 5œ"
8 8
D lDl
66Ñ lD" † D# l œ lD" l † lD# l lAl ß AÁ!
5œ" 5œ"
˜Ñ lD  Al Ÿ lD  lAl
8 9Ñ lDl  lAl Ÿ lD … Al Ÿ lDl  lAl

:Ñ Si lDl  lAl entonces "
Ÿ "

;Ñ º ! D5 º Ÿ ! lD5 l (por inducción)
lD…Al lDllAl
8 8

<Ñ ÈlDl#  lAl# Ÿ lDl  lAl =Ñ lD  Al#  lD  Al# œ #alAl#  lDl # b
5œ" 5œ"

a(b Encuentre los vértices de un polígono regular de 8 lados, si su centro
está en D œ ! y uno de sus vértices es D! .
a)b Calcular:
+Ñ È" ,Ñ È  " -Ñ a&  "#3b"!! .Ñ ˆ &"#3 ‰
"!!

/Ñ È3
% %

0 Ñ Èa#  %3b 1Ñ loga  /# b 2Ñ loga  /3 b
%$3
% %

3Ñ a&  "#3b'(3 4Ñ a&  "#3b'(3 5Ñ a  &  "#3b'(3


6Ñ a  &  "#3b'(3 7Ñ loga&  "#3b
"
8Ñ 3 3
˜Ñ a#3b #
"
!Ñ 13
a*b Resolver las ecuaciones:
8

+Ñ log D œ 13 # ,Ñ log D œ "  $13 -Ñ /D  3 œ !
.Ñ /D  3 œ !
a"!b Hallar el conjunto de puntos del plano que determinan cada una de
/Ñ cosh D œ ' 0 Ñ sin D œ #

las siguientes relaciones:
+Ñ V/ D # Ÿ ! ,Ñ 1 Ÿ arg D Ÿ #$
$
1
-Ñ lD  $3l œ & .Ñ lD  $3l œ &
/Ñ lD  $3l  & 0 Ñ lD  $l  lD  $l œ ) 1ÑlD  +l œ <ß + − ‚ß <  !
" #
2Ñ ¼7 D   $ 3Ñ D  D œ " 4Ñ & Ÿ lD  $3l Ÿ )
5Ñ D œ $3  &/3) ß ) − Ò!ß #1Ó 6Ñ lD  $l  lD  #l  )
#
:Ñ d/ D "  !
a""b Resolver las ecuaciones
66Ñ ¼7 D ! 9Ñ !  ¼7 D  $

+Ñ D $  $D #  $D  ) œ ! ,Ñ D %  %D $  'D #  %D  "! œ !
-Ñ cos B  3sin B œ sin B  3cosBß para B − d
a"#b ¿En qué vector anúmerob se transforma el vector anúmerob #  3È$
después de una rotación de a"b 1 ß a#b de  1 ?
a"$b Demostrar que si D œ B  3C entonces B œ DD , C œ DD
# #

a"%b Escribir en forma compleja y determinar el conjunto de puntos dado
# #3

por cada una de las siguientes relaciones:
+Ñ C œ B ,Ñ C œ 7B  ,ß 7ß , − d , fijos, Bß C − d
-Ñ B#  C # œ +# ß Bß C − d , + real fijo
.Ñ B#  C #  #+B œ ! Bß C − dß + real fijo
# #
/Ñ B#  C# œ "ß Bß C − dß +  !ß ,  !
a"&b Demostrar que
+ ,

"  D  D  D  â  D œ œ D"
D 8" "
# $ 8 ß DÁ"

a"'b A partir del ejercicio 15, demostrar que
8" ß D œ"

cos 8 )sina8"b )
"  cos)  cos#)  â  cos 8) œ # #
ß ) Á #5 1ß 5 − ™
a"(b Demostrar que
sin )
#

+Ñ arcsin D œ 3logŠ3D  È"  D # ‹
,Ñ arccos D œ  3logŠD  ÈD #  "‹
-Ñ arctan D œ # logˆ 3D ‰
3

.Ñ arccos2 D œ logŠD  ÈD #  "‹
3D

/Ñ arcsin2 D œ logŠD  ÈD #  "‹
0 Ñ arctan2 D œ " logˆ "D ‰
1Ñ kcos# D k œ cos# B  sin2# Cß
# "D
D œ B  3C .
a")b Si "ß Aß A son raíces cúbicas de ", probar que
#

3Ñ a"  A# b œ A, con A Á "
%


33Ñ a"  Aba"  A# bˆ"  A% ‰a"  A& b œ *ß A Á "
( sugerencia "  A  A# œ !ß A Á ")
a"*b Probar o refutar cada una de las siguientes afirmaciones (justifique la
respuesta).
a+b k /3D k œ "ß a,b /3D œ /3D ß D − ‚
a- b cos# D  sin# D œ "ß D − ‚ a. b lsin Dl Ÿ "ß
D−‚

a/b sin D œ sin Dß
D−‚
D − ‚.
a#!b Probar que cos&) œ 'cos& )  #!cos$ )  &cos)
a#"b La distancia entre dos números complejos D y A se define por
. aDß Ab œ lD  Al. Demostrar que . es una métrica sobre ‚, esto es, para
todo Aß Dß > − ‚
a+b . aAß D b œ . aDß Ab
a,b . aAß D b Ÿ . aAß >b  . a>ß D b
a- b . aAß D b !ß y , . aAß D b œ !, cuando A œ D
a##b Demostrar que en general a+7 b 8 Á Š+ 8 ‹ . Si 7 y 8 son números
" " 7

primos relativos se tiene que a+7 b 8 œ Š+ 8 ‹ y por lo tanto
" " 7

a+7 b 8 œ Š+ 8 ‹ /3 8 a)#5 1b ß
" " 7 7
!Ÿ5Ÿ8
W?1/</8-3+ À Tome + œ a  "b
#

a#$b Demostrar que para el valor principal en general se tienen las
%

siguientes desigualdades:
a+b aAD b+ Á A+ D + a,b ˆ A ‰ Á A+ ß D Á !
+ +

a- b logD + Á +logD a. b aD + b, Á D +,
D D

a#%b Supóngase que D" ß D# ß D$ son tres números complejos tales que
lD" l œ lD# l œ lD$ l œ " y D"  D#  D$ œ !. Demostrar que D" ß D# ß D$ son los
vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia unitaria.
a#&b Determinar los puntos D œ B  3C del plano complejo que satisface la
desigualdad lD  "l Ÿ #lD  "l.
a#'b Sea T aD b œ +! D 8  +" D 8"  +# D 8#  â  +8 un polinomio de grado
8 " y de coeficientes reales. Demostrar, que si ! es una raíz de T aD b œ !,
entonces ! lo es también.
a#(b Demostrar que los puntos D œ B  3C que satisfacen lD  "l Ÿ %  lD  "l
son los puntos, interiores a la elipse B  C$ œ " o pertenecen a ella.
# #

a#)b Probar que si D! es una raíz cúbica de un número D , y si "ß Aß A# son
%

las raíces cúbicas de la unidad, entonces D! ß D! Aß D! A# son las raíces
cúbicas de D . Pártase de este resultado para determinar las raíces cúbicas
de  ).
a#*b Encuentre la ecuación de la elipse con focos „ 3 que pasa por el
punto "  3. En geometría analítica, ¿cuál es la fórmula correspondiente? .
a$!b Encuentre la hipérbola con focos " e 3 que pasa por el origen. ¿Cuál
es la fórmula correspondiente en geometría analítica?.


a$"b Encuentre la parábola de foco "  3 y con la resta V/ D  ¼7 D œ !
como directriz.
a$#b Escriba en forma compleja la ecuación general de una hipérbola con
focos + y ,.
a$$b Pruebe que lDl Ÿ lV/ Dl  l¼7 Dl Ÿ È#lDl

BIBLIOGRAFIA

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Ò&Ó Burnett R. Toskey. College Algebra a Modern Approach. Addison-
Wesley P.C. a1962b
Ò'Ó Mariño Rafael, Fundamentos de Matemáticas. Universidad Nacional de
Colombia. a1966b
Ò(Ó Muñoz. J.M., Introducción a la teoría de conjuntos. Universidad
Nacional de Colombia. a1994b
Ò)Ó Muñoz.J.M y Sánchez.J.D., Precálculo. Universidad Nacional de
Colombia.a1992b
Ò)Ó Neal H. McCoy, Introduction to Modern Algebra. Boston. Allyn and
Bacon. Inc. a1961b.

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Espero que el lector haya obtenido algún provecho de este trabajo en el aprendizaje
de la matemática avanzada. En esta forma se completa la parte del Álgebra
propuesta en este proyecto de aprendizaje en matemática avanzada. Exitos y
bienvenidos a la investigación por internet. Cualquier comentario favor hacerlo
llegar a:
danojuanos@hotmail.com,
danojuanos@tutopia.com
Agradezco a Esperanza y Nohora el tiempo que dedicaron a revisar el castellano para que no se
fueran tantos errores ya que el programa que uso para la escritura no tiene corrector .
Copyright© Darío Sánchez Hernández

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