Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de presentar ejemplos de problemas de texto resueltos con este método.

1. SISTEMAS
LINEALES DE
INECUACIONES
Alejandro Camblor Fernández
Departamento de Matemáticas
IES Rey Pelayo
Cangas de Onís

2. ÍNDICE
 Inecuaciones lineales de dos incógnitas ............................
 Sistemas de inecuaciones lineales ......................................
 Problemas textuales
 de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) ...........
 de programación lineal (2º bachillerato) ..................

3. 1/4
La solución de una inecuación de dos incógnitas
es un semiplano.
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.


4. 2/4
Resuelve la inecuación: 5x + 2 y ≤ 3
Represento la recta: 5x + 2 y = 3
3 − 5x
Despejo la variable y: y=
2
Tabla de valores: x y
1 -1
3 -6
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación:
5( 0 ) + 2 ( 0 ) ≤ 3 → 0 ≤ 3
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano
en el que está es la solución.


5. 3/4
Algunas inecuaciones son sencillas:
a x≥0
) b) y ≤ 0 c) x < 3 d ) x > −2 e) y ≥ −4
Si la inecuación tiene una sola variable, la
recta es paralela a alguno de los ejes.
b d
Asocia cada inecuación con su solución
c
e a


6. 4/4
Resuelve las inecuaciones:
a 2 x + 3y ≥ 6
) b) 2 x ≥ y c) x − 2 y < −4 d ) 3x − 4y > 7
Asocia cada inecuación con
su solución
d c
b a


7. 1/5
La solución de un sistema de inecuaciones de
dos incógnitas es una región (si existe).
Los pasos a seguir para resolverla son:
1er paso: representar la recta (cambiamos el símbolo
por un igual)
2º paso: elegir un punto del plano (que no esté en la
recta anterior) y estudiar cómo responde a la
inecuación.
3er paso: colorear el semiplano solución.


8. 2/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 3x − y = −1
Despejo la variable y: y = 3x + 1
Tabla de valores: x y
1 4
-2 -5
Elijo el punto (2,2), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 3( 2 ) − ( 2 ) ≤ −1 → 4 ≤ −1
Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

9. 3/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 2 x + 3y = 7
7 − 2x
Despejo la variable y: y=
3
Tabla de valores: x y
2 1
-2 3
Elijo el punto (0,0), que no está en la
recta, y estudio cómo responde la
inecuación: 2 ( 0 ) + 3( 0 ) > 7 → 0 > 7
Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el
semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN.

10. 4/5
3x − y ≤ −1
Resuelve el sistema de inecuaciones: 
2 x + 3y > 7
1er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación
2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación
3er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores


11. 5/5
Resuelve los sistemas de inecuaciones:
a x + y ≥ 3
) b ) 2 x + y > −4 c) 3x + y ≤ 9 d ) x + y ≤ 4
 
2 x − y < 4 2 x + y ≤ 6 
x − y < −1  x + y > −1 


y > −6  x < 3
y ≤ 6
Asocia cada sistema con su solución
d
a
c
b


12. 1/9
Problemas de texto con inecuaciones
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones.
2º paso: resolver el sistema dibujando la región
solución.
3er paso: resolver el problema, dando la solución con
una frase si es posible.


13. 2/9
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para fabricar la de
manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de
azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar?
1er paso: Organizamos los datos en una Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.)
Tarta
tabla y hallamos las inecuaciones
Chocolate x 0’5x 5x
0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
 Manzana y 1y 6y

x ≥ 0 Disponible 9 60
y ≥ 0

2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

14. 3/9
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0

15. 4/9
5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores
La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen
los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas)


16. 5/9
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
Asocia cada problema con su solución
d a b c


17. 6/9
Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de
acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo?
x : ca ida
 nt d de nev a nor l
er s maes ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
 nt d de nev a
er s de l o ( en decena )
uj s
3x + 3y ≤ 12
3x + 6y ≤ 18

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


18. 7/9
Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema,
¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar?
x : ca ida
 nt d de bolos
l t
ipo A ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
 nt d de bolos
l t B ( en decena )
ipo s
0 ' 5 x + 0 ' 25 y ≤ 2
0 ' 25 x + 0 ' 25 y ≤ 1' 5

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


19. 8/9
Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede
fabricar de cada tipo?
x : ca ida
nt d de bicis de paseo ( en decena )
s
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
nt d de bicis de mont ñ
aa ( en decena )
s
x + 2 y ≤ 8
3x + 2 y ≤ 12

Planteamos las inecuaciones: 
x ≥ 0
y ≥ 0

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


20. 9/9
ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar?
x : ca ida
nt d de microbuses
Definimos las incógnitas: 
y : ca ida
nt d de a obuses
ut
25 x + 50 y ≥ 200
x + y ≤ 6

x ≥ 0

Planteamos las inecuaciones: y ≥ 0

x ≤ 5

y ≤ 4

Hallamos y representamos los semiplanos
solución de cada inecuación, y la región solución
del sistema:


21. 1/6
Problemas de programación lineal
Los pasos a seguir para resolverlo son:
1er paso: plantear el sistema de inecuaciones e identificar la
función objetivo.
2º paso: resolver el sistema de inecuaciones dibujando la
región solución.
3er paso: dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el
punto de la región solución que la optimiza.
4º paso: escribir la solución con una frase si es posible.


22. 2/6
Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos; para
fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se
vende a 12 € y la de manzana a 15 €. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué
cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima?
1er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones
Tarta Cantidad Azúcar (kg) Huevos (u.) 0 ' 5 x + y ≤ 9
5 x + 6y ≤ 60
Chocolate x 0’5x 5x 

x ≥ 0
Manzana y 1y 6y y ≥ 0

Disponible 9 60
La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor
posible: v a = 12 x + 15 y
ent

23. 3/6
2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación 0' 5x + y ≤ 9
Represento la recta: 0' 5x + y = 9 Tabla de valores:
Despejo la variable y: y = 9 − 0' 5x x y
2 8
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 6 6
0 ' 5( 0 ) + ( 0 ) ≤ 9 → 0 ≤ 9
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.
3er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación 5 x + 6y ≤ 60
Represento la recta: 5 x + 6y = 60 Tabla de valores:
60 − 5 x
Despejo la variable y: y= x y
6
6 5
Elijo el punto (0,0), que no está en la recta,
y estudio cómo responde la inecuación: 12 0
5( 0 ) + 6( 0 ) ≤ 60 → 0 ≤ 60
Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

24. 4/6
4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones
x≥0 y≥0
5º paso: Busco la región solución del sistema como
intersección de los semiplanos anteriores
La solución del problema está en esta región.
Realmente, sólo valen los valores x e y no
decimales (los puntos de intersección de las
cuadrículas).
6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo
v a = 12 x + 15 y
ent
El vector de la función objetivo es: ( − 15,12 ) ∞( − 5,4)
Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

25. 5/6
7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está
más alejado.
Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el
mismo valor a la función objetivo. Con cada recta
paralela cambia el valor de la función objetivo:
paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo,
y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la
región factible más alejados están los valores
óptimos: máximo y mínimo.
Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores
decimales de x e y no tienen sentido en este problema.
SOLUCIÓN: Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se
obtienen 147 €.


26. 6/6
Resuelve los problemas:
a) Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de
lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 € en la normal y de 240
en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de
cada tipo para maximizar el beneficio?
b) Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que
el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 1’19 € el tipo A y a 0’89 € el tipo B. Si se
dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para
maximizar la venta?
c) Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg
de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la
vende a 120 € y la de montaña a 90 €. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo?
d) ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4
autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 € y el autobús a 375 €.
¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar?
a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de 8.400 €.
b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de 59’40 €.
c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de 5.100 €.
d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de 2.000 €. 