El documento aborda temas de matemáticas básicas del segundo bimestre, incluyendo operaciones algebraicas, ecuaciones y funciones. Se explican conceptos como polinomios, monomios, y métodos de factorización, así como la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. También se incluye información sobre la distancia entre puntos y la ecuación de la recta.

1. ESCUELA : NOMBRES MATEMÁTICA BÁSICA II BIMESTRE FECHA : Ing. Jorge Guamán Jaramillo ABRIL – AGOSTO 2009 ASISTENCIA GERENCIAL Y RR.PP. CICLO: Segundo

2. SUMARIO Segundo Bimestre 1. Operaciones Algebraicas - Polinomios 2. Ecuaciones; definición, factorización. 3. Funciones, distancia entre puntos y sistemas de ecuaciones lineales.

3. Expresiones Algebraicas Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o bien a toda combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos de suma, resta, multiplicación y división, en un número finito.

4. Un polinomio es una expresión algebraica que puede tener una o más variables, y por lo general esta ordenado en forma ascendente o descente con respecto a una de sus variables. GRADO DEL POLINOMIO : Si tiene una variable : - El grado viene dado por el mayor exponente de la variable. POLINOMIO

5. Si tiene 2 ó mas variables . El grado del polinomio viene dado por la sumatoria de los exponentes de cada una de las variables y la mayor suma representa el grado del polinomio. Ejm: x 2 y + 12x 4 y 3 + 3xy 6 Grado= ? MONOMIO  Expresión con un sólo término BINOMIO  Expresión con 2 términos TRINOMIO  Expresión con 3 términos

6. OPERACIONES ALGEBRAICAS Recuerde: “Para realizar operaciones con polinomios, estos deben poseer términos semejantes, es decir poseer factores idénticos.” SUMA: Se suman únicamente los coheficientes de los términos semejantes

7. Resta: Se coloca el minuendo con sus propios signos y luego el sustraendo con los signos cambiados (ley de signos) Multiplicación: Mutiplicamos términos por término utilizando la propiedad distributiva, y por último simplificamos el resultado.

8. Ejercicio Realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación de los siguientes polinomios: P(x) = x 3 + 2x 2 – 3x + 12 Q(x) = x – 3+ 5x 2 + 2x 3

9. División. 1. Se ordena el polinomio con relación a una letra, iniciando por le mayor, en forma decreciente. 2. luego se comparar término a termino cambiando de signo.. Sucesivamente hasta que el residuo sea cero o el mínimo. Dividir: 5

10. 2. ECUACIONES Se define la ecuación como una igualdad que contiene una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas ó variables (en ellas siempre aparece el signo “=“). GRADO DE LA ECUACIÓN: Al igual que los polinomios, se escoje el término con el mayor exponente o la mayor suma de las variables que conforman la ecuación.

11. AXIOMAS DE LAS IGUALDADES Si se suma una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, ésta no altera. Si se resta una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si se multiplica por una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, ésta no se altera. Si se divide para una misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, ésta no se altera.

12. Resolver las ecuaciones 1. 2. 4x – (3x – 4) = 6x – (3 – 8x) + (-2x + 29) 3(2x – 4) – 5(x + 6) = -6(5x – 18) + (x + 3)

13. FACTORIZACIÓN Consiste en representar un número en productos de números menores. La factorización es la operación contraria a la multiplicación. Métodos de Factorización: Factor Común: Determinar si existe un factor que se repite en todos los términos. Ejemplos: 1) xm - ym + xn - yn 2) 24a 3 b 2 - 12a 3 b 3

14. Trinomio Cuadrado Perfecto. Si el primer y tercer término tiene raiz cuadrada exacta El segundo Término es el doble producto de las raíces de los otros dos términos.

15. Ejemplo: x 2 + 4x + 4 Procedimiento para factorizar Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo x , 2. Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces (x + 2)(x + 2). Este producto es la expresión factorizada (x + 2) 2 .

16. EJERCICIOS 1. Factorar 49y 2 + 14y + 1 2. Factorar 81z 2 - 180z + 100 3.Factorar 25x 2 + 30xy + 9y 2 (5x + 3y) 2

17. FUNCION CUADRÁTICA. Ecuaciones de la forma ax² + bx + c = 0 Esta formula sirve para calcular las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado con incógnita Resolver:

18. Ejercicios Resolver: 1) 2x 2 – 7x + 3 = 0 2) y 2 - 5y + 6 = 0 3) 9x 2 + 6x + 1 = 0

19. FUNCIONES: y = f(x) = x Relación entre los elementos de dos conjuntos. Conceptos: Dominio El dominio de f es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los elementos para los cuales la función está definida. Recorrido o codominio El recorrido o conjunto de llegada de f es el conjunto “y”

20. Ejemplos: f(x) = x +1 El dominio y codominio son los números reales R. g(x) = x ² en cambio, si bien su dominio es R , sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y + ∞ que sean el cuadrado de un número real.

21. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EL ORDEN DE LOS PUNTOS NO CAMBIA EL RESULTADO, DE ESTA MANERA CUALQUIERA DE LOS PUNTOS INVOLUCRADOS PUEDEN SER P1 O P2. CALCULAR LA DISTANCIA ENTRE LOS PUNTOS: (1,1) Y (2,3)

22. Función Lineal Esta dada por f(x) = ax + b, si b=0, la gráfica pasa por el origen del plano cartesiano. Ecuación de la Recta: y = mx + b , en donde m = pendiente de la recta, b es la ordenada en el origen de la recta.

23. PENDIENTE DE LA RECTA Ecuaciones de la forma punto-pendiente La ecuación de la recta que pasa por un punto (x 1 , y 1 ) con pendiente m en la forma punto-pendiente es y – y 1 = m(x – x 1 ) .

24. Ejercicios: Hallar la ecuación de la recta dado: 1) m = -3, punto (8, 0) 2) m = -2, punto (4, 2) 3) puntos: (0, 5) y (3, 3) 4) puntos: (-2, 3) y (-1, -6) Ejercicio de práctica: Halla la ecuación dado: 1) m = 5 y el punto (-7, -2) 2) puntos: (3, 1) y (-3, -1)

25. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Métodos de resolución: Eliminación por sustitución Despejar variable de cualquier ecuación y reemplazarla en la segunda ecuación. Eliminación por igualdad Despejar una variable en ambas ecuaciones y posteriormente igualamos estos resultados. Eliminación por reducción Igualar los coheficientes de un incógnita en ambas ecuaciones, a fin de eliminarlas. Solución Gráfica.

26. EJEMPLOS Resolver el siguiente sistema de ecuaciones : x + y + z = 11 2x – y + z = 5 3x + 2y + z = 24

27. Rta sistema de ecuaciones: X= 4 Y = 5 Z = 2 GRACIAS….. Messenger: jorgedu_1@hotmail.com Correo: [email_address] Fono: 2570275 ext 2315/2744