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Matemáticas
Financieras
Tema 1.1
Tópicos Fundamentales
Tasas de Referencia
• Tasa de interés Interbancaria de
Equilibrio
TIIE
TIIE
• Costo porcentual Promedio de
Captación
CPP
CPP
• Costo de Captación a Plazo
CCP
CCP
• Certificados de Tesorería de la
Federación
Cetes
Cetes
• Tasa de interés interbancaria
mexicana (tasa privada)
Mexib
or
Mexib
or
Tasas
Activas
Tasas
Activas
• Tasas de
interés
que
cobran las
institucion
es de
crédito
Tasas
Pasivas
Tasas
Pasivas
• Tasas de
interés
que pagan
las
institucion
es de
crédito
Otros
• Parte proporcional
respecto a un total
Porcent
aje
Porcent
aje
• Es una unidad de
100%
Puntos
porcentua
les
Puntos
porcentua
les
• Es la centésima
parte de un punto
porcentual
Punt
os
Base
Punt
os
Base
90%
90%
75pp=75%
75pp=75%
75Pb=0.75
75Pb=0.75
Tema 1.2
Elementos del Interés
Simple
Tópicos fundamentales
• Dinero que se paga por el uso del dinero ajeno
• Rendimiento que se tiene al invertir en forma
productiva el dinero
Interés
(I)
Interés
(I)
• Cantidad de dinero tomada en préstamo o
invertida
Capital o
Principal
(P)
Capital o
Principal
(P)
• Suma del interés del capital mas el interés
pagado
Monto o Valor
Futuro (F)
Monto o Valor
Futuro (F)
• Suma del interés del capital mas el interés
pagado
Tasa de
Interés
(i)
Tasa de
Interés
(i)
F=P+I
F=P+I
i
i
4.1.2. Hace 10 meses, Paola depositó $75,000 en una cuenta bancaria. Si hoy retiró el dinero y le
entregaron $82,500, identifica el capital y el monto y calcule el interés ganado ¿Cuál fue la tasa de
interés pactada?
4.1.2. Hace 10 meses, Paola depositó $75,000 en una cuenta bancaria. Si hoy retiró el dinero y le
entregaron $82,500, identifica el capital y el monto y calcule el interés ganado ¿Cuál fue la tasa de
interés pactada?
F=P+I
F=P+I 82′
500=75′
000+(75′
000×i)
82′
500=75′
000+(75′
000×i) 10%
10%
4.1.3. Suponga que usted recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19,600. Si
el interés fue de $1’200, ¿Qué capital le prestaron? ¿A que tasa de interés?
4.1.3. Suponga que usted recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19,600. Si
el interés fue de $1’200, ¿Qué capital le prestaron? ¿A que tasa de interés?
F=P+I
F=P+I 19′
600=P+1,200
19′
600=P+1,200 18,400
18,400
6.52%
6.52%
4.1.5. La tasa de interés anual que se aplica a los usuarios de cierta tarjeta de crédito es la TIIE mas 1,800
Pb. Si la TIIE es de 8.46% anual, ¿Cuál es la tasa de interés aplicable?
4.1.5. La tasa de interés anual que se aplica a los usuarios de cierta tarjeta de crédito es la TIIE mas 1,800
Pb. Si la TIIE es de 8.46% anual, ¿Cuál es la tasa de interés aplicable?
%=Pb/100
%=Pb/100 %=1,800/100
%=1,800/100 26.46%
26.46%
4.1.6. Alfonso consigue un préstamo por $120,000 a una año y medio de plazo, con una tasa de interés
simple de 2.35% mensual. Si el interés se paga al final de cada mes ¿Cuánto deberá pagar?, si paga al
final de plazo ¿Cuánto?
4.1.6. Alfonso consigue un préstamo por $120,000 a una año y medio de plazo, con una tasa de interés
simple de 2.35% mensual. Si el interés se paga al final de cada mes ¿Cuánto deberá pagar?, si paga al
final de plazo ¿Cuánto?
I=P�
I=P×� I=120,000×.0235
I=120,000×.0235 2,820
2,820
50,760
50,760
4.1.7. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al
comprar mercancía por $18,300 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de interés igual a la tasa de
Cetes a plazo de 28 días mas 18 pp? Suponga que el Cete a 28 días es de 9.27% anual
4.1.7. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al
comprar mercancía por $18,300 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de interés igual a la tasa de
Cetes a plazo de 28 días mas 18 pp? Suponga que el Cete a 28 días es de 9.27% anual
18,715.87
18,715.87
4.1.16. Una persona obtiene $3,000 cada trimestre por concepto de intereses de una inversión al 10%.
¿Qué capital tiene invertido esta persona?
4.1.16. Una persona obtiene $3,000 cada trimestre por concepto de intereses de una inversión al 10%.
¿Qué capital tiene invertido esta persona?
I=P�
I=P� 120,000
120,000
4.1.21. Irma compro acciones de una empresa productora de latas de aluminio para envasar diferentes tipos de
bebidas por US$70,000 y después de 8 meses, el valor de sus acciones de incrementó US$15,000. además le
pagaron dividendos por un total de US$22,000. calcule la tasa de interés simple anual que ganó con su inversión
4.1.21. Irma compro acciones de una empresa productora de latas de aluminio para envasar diferentes tipos de
bebidas por US$70,000 y después de 8 meses, el valor de sus acciones de incrementó US$15,000. además le
pagaron dividendos por un total de US$22,000. calcule la tasa de interés simple anual que ganó con su inversión
79.2857%
79.2857%
4.1.31. Una persona invierte un total de US$100,000 en bonos, papel comercial y en depósito a plazo fijo que le
producen intereses de 10%, 13% y 7.5%, respectivamente. La cantidad invertida en papel comercial es el doble
de la invertida en bonos. ¿Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de UD$ 5,572.50?
4.1.31. Una persona invierte un total de US$100,000 en bonos, papel comercial y en depósito a plazo fijo que le
producen intereses de 10%, 13% y 7.5%, respectivamente. La cantidad invertida en papel comercial es el doble
de la invertida en bonos. ¿Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de UD$ 5,572.50?
B27,000
B27,000 PC54,000
PC54,000 B19,000
B19,000
Tema 1.3
Valor Presente y Futuro en
Interés Simple
Valor Futuro
$100
0 1 2 3 4 5
5%
$125
��=��(1+(��))
��=��(1+(��))
Valor Futuro
Valor Futuro
Tasa de
Interés
Tasa de
Interés
5%
5%
5% 5%
Interés Total
$25
Interés Total
$25
Valor
presente
Valor
presente
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• t = Tiempo
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• t = Tiempo
Valor Presente
$100
0 1 2 3 4 5
5%
$125
��=
��
1+(��)
��=
��
1+(��)
Valor Futuro
Valor Futuro
Tasa de
Descuento
Tasa de
Descuento
5%
5%
5%
5%
Descuento
Total $25
Descuento
Total $25
Valor
Presente
Valor
Presente
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• t = Tiempo
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• t = Tiempo
Calcule el valor presente de $16,000 que vencen dentro de 5 meses, si la tasa de interés es de 27.48%
Calcule el valor presente de $16,000 que vencen dentro de 5 meses, si la tasa de interés es de 27.48%
$14,356.21
$14,356.21
��=
��
1+(��)
��=
��
1+(��)
��=
16,000
1+(0.2748
12
×5)
��=
16,000
1+(0.2748
12
×5)
Antonio Solís, firmó un pagaré el 14 de Febrero del 2010 con vencimiento el 26 de Diciembre del mismo
año por la cantidad de $74,100.00 a favor del Sr. Armando Ibarra, con una tasa del 32% hasta la fecha de
su vencimiento y un interés moratorio del 48%, obtenga…
a) Cual es el valor de vencimiento del pagaré anterior
b) Si el pagaré se pagó 16 días después del vencimiento, cual es el valor
Antonio Solís, firmó un pagaré el 14 de Febrero del 2010 con vencimiento el 26 de Diciembre del mismo
año por la cantidad de $74,100.00 a favor del Sr. Armando Ibarra, con una tasa del 32% hasta la fecha de
su vencimiento y un interés moratorio del 48%, obtenga…
a) Cual es el valor de vencimiento del pagaré anterior
b) Si el pagaré se pagó 16 días después del vencimiento, cual es el valor
$94,848.00
$94,848.00
��=��[1+(��)]
��=��[1+(��)] ��=74,100
[1+(0.32
360
×315)]
��=74,100
[1+(0.32
360
×315)]
I=P�
I=P×� I=74,100 ×(0.48
360
×16)
I=74,100 ×(0.48
360
×16) $1,580.80
$1,580.80
$96,428.80
$96,428.80
4.2.2 Calcule el interés simple ordinario y exacto de 17,000 dólares, del 4 de enero
al 21 de agosto de año bisiesto. La tasa de interés es de 5.75% anual
4.2.2 Calcule el interés simple ordinario y exacto de 17,000 dólares, del 4 de enero
al 21 de agosto de año bisiesto. La tasa de interés es de 5.75% anual
I=P�
I=P�
I=17,000×(0.0575
360
×230)
I=17,000×(0.0575
360
×230) $ 624.51
$ 624.51
4.2.3 Calcule el interés simple comercial y exacto de $130,000 prestados a una
tasa de interés igual a la TIIE vigente al momento del préstamo + 8 pp, del 7 de
julio al 10 de noviembre TIIE 11.30%
4.2.3 Calcule el interés simple comercial y exacto de $130,000 prestados a una
tasa de interés igual a la TIIE vigente al momento del préstamo + 8 pp, del 7 de
julio al 10 de noviembre TIIE 11.30%
I=17,000×(0.0575
365
×230)
I=17,000×(0.0575
365
×230) $ 615.96
$ 615.96
I=P�
I=P�
I=130,000×(0.193
360
×126)
I=130,000×(0.193
360
×126) $8,781.50
$8,781.50
I=130,000×(0.193
365
×126)
I=130,000×(0.193
365
×126) $8,661.21
$8,661.21
4.2.4 Encuentra el valor presente de 13,000 dólares utilizando una tasa de interés
de 0.5% mensual, nueve meses antes del vencimiento. Interprete el resultado.
4.2.4 Encuentra el valor presente de 13,000 dólares utilizando una tasa de interés
de 0.5% mensual, nueve meses antes del vencimiento. Interprete el resultado.
$12,440.19
$12,440.19
��=
��
1+(��)
��=
��
1+(��)
��=
13,000
1+(.005×9)
��=
13,000
1+(.005×9)
4.2.6 El 16 de junio de 2010 se firmó un pagaré con vencimiento al 31 de julio del mismo
año. Si el valor de vencimiento es de $52,765 y la tasa de interés se pactó al 2.275%
mensual, obtenga
a) El capital prestado
b) El valor presente al 10 de julio de 2010
4.2.6 El 16 de junio de 2010 se firmó un pagaré con vencimiento al 31 de julio del mismo
año. Si el valor de vencimiento es de $52,765 y la tasa de interés se pactó al 2.275%
mensual, obtenga
a) El capital prestado
b) El valor presente al 10 de julio de 2010
$51,023.81
$51,023.81
��=
��
1+(��)
��=
��
1+(��)
��=
52,765
1+(.02275
30
×45)
��=
52,765
1+(.02275
30
×45)
$51,937.89
$51,937.89
��=
52,765
1+(.02275
30
×21)
��=
52,765
1+(.02275
30
×21)
4.2.8 El 7 de febrero Armando invirtió $87,000 en un pagaré con rendimiento liquidable al
vencimiento, ganando un interés de 12.5%. ¿Cuál será el monto para el 8 de mayo, fecha
de vencimiento de la inversión?
4.2.8 El 7 de febrero Armando invirtió $87,000 en un pagaré con rendimiento liquidable al
vencimiento, ganando un interés de 12.5%. ¿Cuál será el monto para el 8 de mayo, fecha
de vencimiento de la inversión?
$89,718.75
$89,718.75
��=��[1+(��)]
��=��[1+(��)] ��=87,000
[1+(0.125
360
×90)]
��=87,000
[1+(0.125
360
×90)]
4.2.13 Gustavo firma un pagaré por un préstamo de $7,000 a una tasa de 3.57% mensual a 60 días de
plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés moratorio de 30% más de la tasa normal.
Calcule el interés moratorio y la cantidad total a pagar si el documento es liquidado 14 días después
de la fecha de vencimiento.
4.2.13 Gustavo firma un pagaré por un préstamo de $7,000 a una tasa de 3.57% mensual a 60 días de
plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés moratorio de 30% más de la tasa normal.
Calcule el interés moratorio y la cantidad total a pagar si el documento es liquidado 14 días después
de la fecha de vencimiento.
$7,499.80
$7,499.80
��=��[1+(��)]
��=��[1+(��)] ��=7,000
[1+(.0357
30
×60)]
��=7,000
[1+(.0357
30
×60)]
$ 151.60
$ 151.60
��=7,000
[(.0464
30
×14)]
��=7,000
[(.0464
30
×14)]
Tema 1.4
Amortización con Interés
Simple
Tipos de Amortización
Tabla de Amortización
con Interés Global
Mes Amortización Intereses Abono
1 1,500.00 285.00 1,785.00
2 1,500.00 285.00 1,785.00
3 1,500.00 285.00 1,785.00
4 1,500.00 285.00 1,785.00
5 1,500.00 285.00 1,785.00
6 1,500.00 285.00 1,785.00
10,710.00
El Sr. Medina compra un refrigerador
a crédito, cuyo precio de contado es
de $9,000, bajo las siguientes
condiciones de pago: sin enganche,
tasa de interés global de 38% y 6
meses para pagar
El Sr. Medina compra un refrigerador
a crédito, cuyo precio de contado es
de $9,000, bajo las siguientes
condiciones de pago: sin enganche,
tasa de interés global de 38% y 6
meses para pagar
Tabla de Amortización
sobre Saldos Insolutos
El Sr. Medina compra un refrigerador
a crédito, cuyo precio de contado es
de $9,000, bajo las siguientes
condiciones de pago: sin enganche,
tasa de interés global de 38% y 6
meses para pagar
El Sr. Medina compra un refrigerador
a crédito, cuyo precio de contado es
de $9,000, bajo las siguientes
condiciones de pago: sin enganche,
tasa de interés global de 38% y 6
meses para pagar
Mes Saldo Inicial Amortización Intereses Abono Saldo Final
1 9,000.00 1,500.00 285.00 1,785.00 7,500.00
2 7,500.00 1,500.00 237.50 1,737.50 6,000.00
3 6,000.00 1,500.00 190.00 1,690.00 4,500.00
4 4,500.00 1,500.00 142.50 1,642.50 3,000.00
5 3,000.00 1,500.00 95.00 1,595.00 1,500.00
6 1,500.00 1,500.00 47.50 1,547.50
-
9,997.50
Interés Compuesto
Tema 2
Elementos
Valor Presente y
Futuro en Interés
Compuesto
VALOR FUTURO INTERÉS
COMPUESTO
0 1 2 3 4 5
��=��(1+�)�
��=��(1+�)�
Valor Futuro
Valor Futuro
5%
Tasa de
Interés
Tasa de
Interés
5%
5%
5% 5%
Interés
Simple $25
Interés
Simple $25
$100
Valor
presente
Valor
presente
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• n = Tiempo
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• n = Tiempo
$105 $110.2
5
$115.7
6
$121.5
5
$127.6
3
Interés
Compuesto
$27.63
Interés
Compuesto
$27.63
VALOR PRESENTE
INTERÉS COMPUESTO
0 1 2 3 4 5
� �=
��
(1+�)
�
� �=
��
(1+�)
�
Valor Futuro
Valor Futuro
5%
Tasa de
Descuento
Tasa de
Descuento
5%
5%
5% 5%
$100
Valor
presente
Valor
presente
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• n = Tiempo
Donde:
• VP= Valor Presente
• VF= Valor Futuro
• i = Tasa de Interés
• n = Tiempo
$105 $110.2
5
$115.7
6
$121.5
5
$127.6
3
CAPITALIZACIONES
Periodo de
Capitalizació
n
Frecuencia
de
Capitalizació
n
Año 1
Semestre 2
Cuatrimestre 3
Trimestre 4
Bimestre 6
Mes 12
Quincena 24
Semana 52
Día 365
¿En cuanto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es de 18% compuesto cada cuatrimestre?
¿En cuanto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es de 18% compuesto cada cuatrimestre?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital que, colocado al 17.5548% capitalizable quincenalmente, ha
proporcionado un interés compuesto igual a 30% del capital?
¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital que, colocado al 17.5548% capitalizable quincenalmente, ha
proporcionado un interés compuesto igual a 30% del capital?
3 x=�(1+
0.18
3 )
�
3 x=�(1+
0.18
3 )
�
3 �
�
=(1.06 )�
3 �
�
=(1.06 )�
3=(1.06)�
3=(1.06)�
log3=nlog1.06
log3=nlog1.06 n=
log 3
log 1.06
n=
log 3
log 1.06 18.8542Tr
18.8542Tr
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
1.3 x=�(1+
0.175548
24 )
�
1.3 x=�(1+
0.175548
24 )
�
1.3 �
�
=(1.0073)�
1.3 �
�
=(1.0073)�
1.3=(1.007314)�
1.3=(1.007314)�
log1.3=nlog1.007314
log1.3=nlog1.007314 n=
log 1.3
log 1.007314
n=
log 1.3
log 1.007314 36Qn
36Qn
5.1.4. El costo actual del pasaje en el transporte colectivo de la ciudad es de $5 y se prevén aumentos de 15% cada
año durante 5 años. ¿Cuál será el precio del pasaje al cabo de 5 años?
5.1.4. El costo actual del pasaje en el transporte colectivo de la ciudad es de $5 y se prevén aumentos de 15% cada
año durante 5 años. ¿Cuál será el precio del pasaje al cabo de 5 años?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=5(1+.15)5
VF=5(1+.15)5
10.0568
10.0568
5.1.8. En 1626 Peter Minuit de la compañía de las Indias Occidentales Holandesas, compró a los indígenas que
habitaban la Isla de Manhattan los derechos de la Isla por una cantidad equivalente a unos 80 dólares de 2002. Si
ese dinero se hubiera invertido de 1626 a 2010 al 5% de interés capitalizable anualmente ¿Cuánto dinero se tendría
al inicio de 2011?
5.1.8. En 1626 Peter Minuit de la compañía de las Indias Occidentales Holandesas, compró a los indígenas que
habitaban la Isla de Manhattan los derechos de la Isla por una cantidad equivalente a unos 80 dólares de 2002. Si
ese dinero se hubiera invertido de 1626 a 2010 al 5% de interés capitalizable anualmente ¿Cuánto dinero se tendría
al inicio de 2011?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=80(1+.05)384
VF=80(1+.05)384
10,959,249,893.4
10,959,249,893.4
5.1.12. Una persona tiene que elegir entre invertir $80,000 al 9% capitalizable cada 14 días por año, o hacerlo al
10.4% con capitalización bimestral por un año ¿Qué es mejor?
5.1.12. Una persona tiene que elegir entre invertir $80,000 al 9% capitalizable cada 14 días por año, o hacerlo al
10.4% con capitalización bimestral por un año ¿Qué es mejor?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=80,000(1+
.09
25.7143)
25.7143
VF=80,000(1+
.09
25.7143)
25.7143
87,520.1936
87,520.1936
5.1.14. Las ventas de un almacén de abarrotes se han incrementado a un promedio de 5% mensual. Si el mes
pasado se tuvieron ventas por $1,160,000. ¿Cuál será el volumen estimado de ventas para dentro de 6 meses?, ¿ En
que porcentaje aumentaron las ventas en el lapso de 6 meses?
5.1.14. Las ventas de un almacén de abarrotes se han incrementado a un promedio de 5% mensual. Si el mes
pasado se tuvieron ventas por $1,160,000. ¿Cuál será el volumen estimado de ventas para dentro de 6 meses?, ¿ En
que porcentaje aumentaron las ventas en el lapso de 6 meses?
VF=1,160,000(1+.05)6
VF=1,160,000(1+.05)6
1,554,510.9431
1,554,510.9431
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=80,000 (1+
.104
6 )
6
VF=80,000 (1+
.104
6 )
6
88,688.97
88,688.97
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
% ∆=
(�1 −�0
�0
)
% ∆=
(�1 −�0
�0
) %∆=(1,554,510.9431−1,160,000
1,160,000 )
%∆=(1,554,510.9431−1,160,000
1,160,000 ) 34.0096%
34.0096%
5.1.21 Una inversión de 20 000 € se efectúa a 10 años. Durante los primero 6 años la tasa de interés
compuesto cada semestre es de 8% anual. Posteriormente, la tasa desciende a 5% anual capitalizable
semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta a 7% capitalizable cada
mes. ¿Cuál es el monto final de la inversión?
5.1.21 Una inversión de 20 000 € se efectúa a 10 años. Durante los primero 6 años la tasa de interés
compuesto cada semestre es de 8% anual. Posteriormente, la tasa desciende a 5% anual capitalizable
semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta a 7% capitalizable cada
mes. ¿Cuál es el monto final de la inversión?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=20,000(1+
.08
2 )
12
VF=20,000(1+
.08
2 )
12
32,020.6444
32,020.6444
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=32,020.6444 (1+
.05
2 )
3
VF=32,020.6444 (1+
.05
2 )
3
34,482.7317
34,482.7317
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
VF=34,482.7317 (1+
.07
12 )
30
VF=34,482.7317 (1+
.07
12 )
30
41,056.5436
41,056.5436
5.1.26 ¿Cuál es el valor presente de $41 012 a pagar dentro de 8 meses, si la tasa de interés
es 2.1% mensual capitalizable cada quincena?
5.1.26 ¿Cuál es el valor presente de $41 012 a pagar dentro de 8 meses, si la tasa de interés
es 2.1% mensual capitalizable cada quincena?
VP=
��
(1+�)
�
VP=
��
(1+�)
� 34,700.03
34,700.03
VP=
41,012
(1+
.021
2 )
16
VP=
41,012
(1+
.021
2 )
16
5.1.28 Un padre de familia desea tener $100,000 disponibles para cuando su hija ingrese a la
universidad dentro de 3 años y costear con ese dinero los dos primeros semestres de su
carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años
tenga los $100 000? La tasa que el banco le paga es de 14% CON CAPITALIZACION
BIMESTRAL.
5.1.28 Un padre de familia desea tener $100,000 disponibles para cuando su hija ingrese a la
universidad dentro de 3 años y costear con ese dinero los dos primeros semestres de su
carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años
tenga los $100 000? La tasa que el banco le paga es de 14% CON CAPITALIZACION
BIMESTRAL.
VP=
��
(1+�)
�
VP=
��
(1+�)
� 66,022.4789
66,022.4789
VP=
100,000
(1+
.14
6 )
18
VP=
100,000
(1+
.14
6 )
18
5.1.42 Pedro es un beneficiario de un fideicomiso creado por sus padres para él cuando nació.
Si la cantidad original ahorrada fue de $53 000 y actualmente el monto es de $346 172, ¿Qué
edad tiene actualmente Pedro? El dinero gana un interés de 9.42% capitalizable cada mes.
5.1.42 Pedro es un beneficiario de un fideicomiso creado por sus padres para él cuando nació.
Si la cantidad original ahorrada fue de $53 000 y actualmente el monto es de $346 172, ¿Qué
edad tiene actualmente Pedro? El dinero gana un interés de 9.42% capitalizable cada mes.
VP=
��
(1+�)
�
VP=
��
(1+�)
�
�=
log
��
��
log (1+�)
�=
log
��
��
log (1+�)
�=
log
346,172
53,000
log(1+
.0942
12 )
�=
log
346,172
53,000
log(1+
.0942
12 ) 240m=20Años
240m=20Años
5.1.46 El señor Lomelí tiene la opción de liquidar una deuda pagando 2,300 ahora o pagar
2,800 dentro de 7 meses. Si opta por hacerlo dentro de siete meses, ¿Qué tasa de interés
anual se le carga, sabiendo que los intereses se capitalizan cada quincena?
5.1.46 El señor Lomelí tiene la opción de liquidar una deuda pagando 2,300 ahora o pagar
2,800 dentro de 7 meses. Si opta por hacerlo dentro de siete meses, ¿Qué tasa de interés
anual se le carga, sabiendo que los intereses se capitalizan cada quincena?
VF=VP(1+�)�
VF=VP(1+�)�
2,800=2,300(1+�)14
2,800=2,300(1+�)14
�=
�
√��
��
−1
�=
�
√��
��
−1 �=
14
√2,800
2,300
−1
�=
14
√2,800
2,300
−1
1.415% Q
1.415% Q
33.96%
33.96%
Tasa de Interés
Nominal y Efectiva
��=(1+
�
�)
�
−1
��=(1+
�
�)
�
−1
Donde:
• ie = Interés efectivo
• i = Interés Nominal
• m = capitalización
• P = Periodos de Capitalización
Donde:
• ie = Interés efectivo
• i = Interés Nominal
• m = capitalización
• P = Periodos de Capitalización
���=(1+
�
� )
�
−1
���=(1+
�
� )
�
−1
5.3.12 Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa efectiva de 14.32% en las inversiones
depositadas en su nuevo fondo de inversión. Calcule la tasa de interés nominal si la capitalización es diaria.
5.3.12 Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa efectiva de 14.32% en las inversiones
depositadas en su nuevo fondo de inversión. Calcule la tasa de interés nominal si la capitalización es diaria.
��=(1+
�
�)
�
−1
��=(1+
�
�)
�
−1
5.3.18. El 11 de mayo se invierten 13 800 dólares a una tasa efectiva de 8.5% ¿Cuál será el
monto el 22 de septiembre del mismo año?
5.3.18. El 11 de mayo se invierten 13 800 dólares a una tasa efectiva de 8.5% ¿Cuál será el
monto el 22 de septiembre del mismo año?
��=(1+
�
�)
�
−1
��=(1+
�
�)
�
−1
.1432=(1+
�
360 )
360
−1
.1432=(1+
�
360 )
360
−1 360
√1.1432=(1+
�
360)
360
−1
360
√1.1432=(1+
�
360)
360
−1
1.00037182285=1+
�
360
1.00037182285=1+
�
360 (0.00037182285)×360=i
(0.00037182285)×360=i i=.1338=13.385%
i=.1338=13.385%
.085=(1+
�
360 )
360
−1
.085=(1+
�
360 )
360
−1
TasaNominal=8.1589%
TasaNominal=8.1589%
VF=13,800(1+
.081589
360 )
134
VF=13,800(1+
.081589
360 )
134
14,225.47
14,225.47
5.3.22 Juan Pablo tiene dinero invertido en una Sociedad de Inversión que paga intereses
diariamente. Durante el periodo de 2 años, en el que no realizo depósitos ni retiros, su cuenta
paso de $90,000 a $108,900. Calcule
La tasa nominal anual
La tasa efectiva anual
La tasa efectiva del periodo de inversión (dos años)
5.3.22 Juan Pablo tiene dinero invertido en una Sociedad de Inversión que paga intereses
diariamente. Durante el periodo de 2 años, en el que no realizo depósitos ni retiros, su cuenta
paso de $90,000 a $108,900. Calcule
La tasa nominal anual
La tasa efectiva anual
La tasa efectiva del periodo de inversión (dos años)
�=
�
√��
��
−1
�=
�
√��
��
−1 �=
7 20
√108,900
90,000
−1
�=
7 20
√108,900
90,000
−1
�������=0.0264 %
�������=0.0264 %
������=9.53%
������=9.53%
��=(1+
�
�)
�
−1
��=(1+
�
�)
�
−1 ��=(1+
.0953
360 )
360
−1
��=(1+
.0953
360 )
360
−1 ��=10 %
��=10 %
��=(1+
.0953
360 )
720
−1
��=(1+
.0953
360 )
720
−1 ��=21%
��=21%
Tasas de Interés Equivalentes
TASA EQUIVALENTE
Dos tasas de interés anuales
con diferentes periodos de
capitalización son
equivalentes si producen el
mismo monto compuesto al
final del plazo dado
Dos tasas de interés anuales
con diferentes periodos de
capitalización son
equivalentes si producen el
mismo monto compuesto al
final del plazo dado
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]�
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]�
Donde:
i = Interés
q = Capitalización equivalente
M = capitalización tasa conocida
Donde:
i = Interés
q = Capitalización equivalente
M = capitalización tasa conocida
¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto que la tasa de 18%
capitalizable cada mes?
¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto que la tasa de 18%
capitalizable cada mes?
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]�
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]� ���=[(1+
.18
12 )
12
2
−1]2
���=[(1+
.18
12 )
12
2
−1]2
18.6887%
18.6887%
5.3.4 ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada
semana, produce igual monto que 11% capitalizable cada mes?
5.3.4 ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada
semana, produce igual monto que 11% capitalizable cada mes?
5.3.1 ¿Qué tasa de interés capitalizable cada mes produce el mismo
monto que la tasa de 34.6% capitalizable trimestralmente?
5.3.1 ¿Qué tasa de interés capitalizable cada mes produce el mismo
monto que la tasa de 34.6% capitalizable trimestralmente?
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]�
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]� ���=
[(1+
0.11
12 )
12
52
−1
]52
���=
[(1+
0.11
12 )
12
52
−1
]52 10.96%
10.96%
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]�
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]� ���=[(1+
0.346
4 )
4
12
−1]12
���=[(1+
0.346
4 )
4
12
−1]12 33.64%
33.64%
5.3.2 Calcule la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa de 27.4%
capitalizable cada bimestre
5.3.2 Calcule la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa de 27.4%
capitalizable cada bimestre
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]�
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]� ���=
[(1+
0.274
6 )
6
3
−1
]3
���=
[(1+
0.274
6 )
6
3
−1
]3 28.0256%
28.0256%
5.3.3 Calcule la tasa de interés anual con capitalización cada 14 días equivalente a la tasa de 18%
capitalizable cada 91 días
5.3.3 Calcule la tasa de interés anual con capitalización cada 14 días equivalente a la tasa de 18%
capitalizable cada 91 días
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]�
���=[(1+
�
�)
�
�
−1]� ���=[(1+
0.18
3.956)
3.956
25.7143
−1]25.7143
���=[(1+
0.18
3.956)
3.956
25.7143
−1]25.7143 17.6629%
17.6629%
5.3.30 Se invierte una determinada cantidad de dinero durante un año. En el primer semestre del año se gana
una tasa de interés de 13% capitalizable cada mes y, en el segundo semestre, la tasa de interés es del 14.5%
capitalizable cada bimestre.
a) Calcule la tasa nominal capitalizable cada quincena que acumularía el mismo monto en un año
b) Calcule la tasa de interés efectiva que acumularía el mismo monto en un año
5.3.30 Se invierte una determinada cantidad de dinero durante un año. En el primer semestre del año se gana
una tasa de interés de 13% capitalizable cada mes y, en el segundo semestre, la tasa de interés es del 14.5%
capitalizable cada bimestre.
a) Calcule la tasa nominal capitalizable cada quincena que acumularía el mismo monto en un año
b) Calcule la tasa de interés efectiva que acumularía el mismo monto en un año
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]�
���=
[(1+
�
�)
�
�
−1
]�
���=
[(1+
0.065
6 )
6
12
−1
]12
���=
[(1+
0.065
6 )
6
12
−1
]12
6.4825%
6.4825%
���=[(1+
0.0725
3 )
3
12
−1]12
���=[(1+
0.0725
3 )
3
12
−1]12 7.1852%
7.1852%
13.6677%
13.6677%
��=(1+
�
�)
�
−1
��=(1+
�
�)
�
−1 ��=(1+
0.136677
24 )
24
−1
��=(1+
0.136677
24 )
24
−1 14.6013%
14.6013%
Aplicaciones de
Interés Compuesto
TEMA 3.1
Ecuaciones de Valor
DEFINICIÓN
Es una igualdad que establece que la suma
de los valores de un conjunto de deudas es
igual a la suma de los valores de un conjunto
de deudas propuesto para reemplazar al
conjunto original, una vez que sus valores de
vencimiento se han trasladados a una fecha
común llamada fecha focal o fecha de
valuación
Es una igualdad que establece que la suma
de los valores de un conjunto de deudas es
igual a la suma de los valores de un conjunto
de deudas propuesto para reemplazar al
conjunto original, una vez que sus valores de
vencimiento se han trasladados a una fecha
común llamada fecha focal o fecha de
valuación
Javier tiene una deuda que debe saldar de la siguiente forma: $12,200 en este momento y
$16,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda hoy ¿Cuánto
tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% capitalizable cada mes?
Javier tiene una deuda que debe saldar de la siguiente forma: $12,200 en este momento y
$16,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda hoy ¿Cuánto
tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% capitalizable cada mes?
0 1
2
Meses
12,2
00
16,4
00
� � =
��
(1+�)
�
� � =
��
(1+�)
�
� � =
16,400
(1+
0.24
12 )
2
� � =
16,400
(1+
0.24
12 )
2
15,763.17
15,763.17
12,200.00
12,200.00
27,963.17
27,963.17
Una deuda de $30,000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10,000 a los
4 meses y otro por $15,000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si
se acuerda un interés de 2.3% mensual capitalizable cada mes
Una deuda de $30,000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10,000 a los
4 meses y otro por $15,000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si
se acuerda un interés de 2.3% mensual capitalizable cada mes
0 6
1
2
1 2 3 4 5 7 8 9 10
1
1
30,0
00
Deuda
Original
15,0
00
10,0
00 x
Deuda
Propuesta
1.- Determinar punto focal
1.- Determinar punto focal
2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto
focal
2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto
focal
3.- Determinar la ecuación
3.- Determinar la ecuación
� �=
30,000
(1+0.023)
3
� �=
30,000
(1+0.023)
3
� �=
�
(1+0.023)
3
� �=
�
(1+0.023)
3
��=10,000(1+.023)5
��=10,000(1+.023)5
15,000
15,000
28,021.69=11,204.13+15,000+
�
1.070599
28,021.69=11,204.13+15,000+
�
1.070599
30,000
(1+0.023)
3
=10,000(1+.023)5
+15,000+
�
(1+0.023)
3
30,000
(1+0.023)
3
=10,000(1+.023)5
+15,000+
�
(1+0.023)
3
�=1,945.88
�=1,945.88
Rigoberto debe pagar $27,810 dentro de 4 meses y $46,560 dentro de 8 meses. Le propone a su acreedor
liquidar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 5 meses y el segundo al cabo de 11 meses. Obtenga
el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 23% capitalizable cada quincena
Rigoberto debe pagar $27,810 dentro de 4 meses y $46,560 dentro de 8 meses. Le propone a su acreedor
liquidar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 5 meses y el segundo al cabo de 11 meses. Obtenga
el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 23% capitalizable cada quincena
0 6
1
2
1 2 3 4 5 7 8 9 10
1
1
27,8
10
Deuda
Original
x x
Deuda
Propuesta
1.- Determinar punto focal
1.- Determinar punto focal
2.- Obtener valores presente o futuro
según caso hacía el punto focal
2.- Obtener valores presente o futuro
según caso hacía el punto focal
3.- Determinar la ecuación
3.- Determinar la ecuación
�
�
31,782.74+49,302.17=2.1212�
31,782.74+49,302.17=2.1212�
27,810(1+
0.23
24 )
14
+46,560(1+
0.23
24 )
6
=�(1+
0.23
24 )
12
+�
27,810(1+
0.23
24 )
14
+46,560(1+
0.23
24 )
6
=�(1+
0.23
24 )
12
+�
�=38,224.89
�=38,224.89
46,5
60
��=27,810(1+
0.23
24 )
14
��=27,810(1+
0.23
24 )
14
��=46,560(1+
0.23
24 )
6
��=46,560(1+
0.23
24 )
6
��=�(1+
0.23
24 )
12
��=�(1+
0.23
24 )
12
5.4.14 ¿Qué cantidad de dinero es necesario depositar hoy en un fondo de inversión que paga 1.15% mensual
capitalizable cada quincena, con el fin de retirar 20,000 dentro de 6 meses, 40,000 dentro de un año y tener un
saldo en la cuenta igual a la tercera parte del capital inicial dentro de un año y medio
5.4.14 ¿Qué cantidad de dinero es necesario depositar hoy en un fondo de inversión que paga 1.15% mensual
capitalizable cada quincena, con el fin de retirar 20,000 dentro de 6 meses, 40,000 dentro de un año y tener un
saldo en la cuenta igual a la tercera parte del capital inicial dentro de un año y medio
20,0
00
Original
x
x/
3
Propues
ta
2.- Determinar punto focal
2.- Determinar punto focal
2.- Obtener valores presente o futuro
según caso hacía el punto focal
2.- Obtener valores presente o futuro
según caso hacía el punto focal
3.- Determinar la ecuación
3.- Determinar la ecuación
�=18,670.22+34,857.72+
�
3.6878
�=18,670.22+34,857.72+
�
3.6878
�=
20,000
(1+
0.0115
2 )
12
+
40,000
(1+
0.0115
2 )
24
+
�
3
(1+
0.0115
2 )
36
�=
20,000
(1+
0.0115
2 )
12
+
40,000
(1+
0.0115
2 )
24
+
�
3
(1+
0.0115
2 )
36
�=73,443.39
�=73,443.39
40,0
00
0 6
1
2
1 2 3 4 5 7 8 9
1
0
1
3
1
4
1
5
16
1
7
1
8
1
1
1.- Obtener línea del Tiempo
1.- Obtener línea del Tiempo � � =
20,000
(1+
0.0115
2 )
12
� � =
20,000
(1+
0.0115
2 )
12 � � =
40,000
(1+
0.0115
2 )
24
� � =
40,000
(1+
0.0115
2 )
24
� � =
�
3
(1+
0.0115
2 )
36
� � =
�
3
(1+
0.0115
2 )
36
�
�
TEMA 3.2
Capitalización Continua
MONTO COMPUESTO 1,000 A
30%
Capitalizació
n
Periodos
por Año
Monto
Compuesto
Anual 1 1,300.00000
0
Semestral 2 1,322.50000
0
Trimestral 4 1,335.46914
0
Mensual 12 1,344.88882
4
Quincenal 24 1,347.35105
0
Semanal 52 1,348.69563
5
Diaria 365 1,349.69248
8
Por Hora 8760 1,349.85187
3
Capitalización Continua:
Existe un punto mas allá del
cual el monto compuesto no
aumentará ya, sin importar
la frecuencia con que se
capitalice el interés.
Capitalización Continua:
Existe un punto mas allá del
cual el monto compuesto no
aumentará ya, sin importar
la frecuencia con que se
capitalice el interés.
�=����
�=����
Se invierten $100,000 a una tasa de interés de 20%, calcule el monto compuesto después de 3 años
si el interés se capitaliza…
a) Trimestralmente
b) Mensualmente
c) Semanalmente
d) Continuamente
Se invierten $100,000 a una tasa de interés de 20%, calcule el monto compuesto después de 3 años
si el interés se capitaliza…
a) Trimestralmente
b) Mensualmente
c) Semanalmente
d) Continuamente
�=100,000(1+
0.20
4 )
12
=179,585.63
�=100,000(1+
0.20
4 )
12
=179,585.63
�=100,000(1+
0.20
12 )
36
=181,313.04
�=100,000(1+
0.20
12 )
36
=181,313.04
�=100,000(1+
0.20
52 )
156
=182,002.29
�=100,000(1+
0.20
52 )
156
=182,002.29
�=100,000�0.20×3
=182,211.88
�=100,000�0.20×3
=182,211.88
Tema 4
Anualidades Vencidas
Características
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
0 1 2 3 4 5
X
Valor
presente
Valor
presente
5%
$100
5% 5
%
5% 5%
$100 $100 $100
Tasa de
Interés o de
Descuento
Tasa de
Interés o de
Descuento
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Valor Futuro
Valor Futuro
X
$100
$100
Plazo de la Anualidad
Plazo de la Anualidad
Tema 4.4
Valor Futuro de las
Anualidades Vencidas
Valor Futuro Anualidad
Vencida
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
0 1 2 3 4 5
5%
$100
5% 5
%
5% 5%
$100 $100 $100
Tasa de
Interés o de
Descuento
Tasa de
Interés o de
Descuento
Valor Futuro
Valor Futuro
A
$100
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono ���� =�[(1+�)�
−1
� ]
���� =�[(1+�)�
−1
� ]
• Valor Futuro Anualidad Vencida
���� =�[(1+�)�
−1
� ]
���� =�[(1+�)�
−1
� ]
El padre de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria.
Planea depositar $3,000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa
es del 8.4%.
a) ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?
b) ¿De cuanto serán los intereses?
El padre de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria.
Planea depositar $3,000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa
es del 8.4%.
a) ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?
b) ¿De cuanto serán los intereses?
�� �� =3,000
[(1+
0.084
12 )
96
−1
0.084
12
]
�� �� =3,000
[(1+
0.084
12 )
96
−1
0.084
12
]
�
¿�� ¿�� =$ 408,673.23
�
¿�� ¿�� =$ 408,673.23
�¿120,673.23
�¿120,673.23
¿Cuánto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana 8.55% capitalizable quincenalmente
para tener $200,000 al final de 5 años? ¿Cuánto se genero de intereses?
¿Cuánto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana 8.55% capitalizable quincenalmente
para tener $200,000 al final de 5 años? ¿Cuánto se genero de intereses?
���� =�[(1+�)�
−1
� ]
���� =�[(1+�)�
−1
� ] �=
�� �� �
(1+�)
�
−1
�=
�� �� �
(1+�)
�
−1
�=
200,000×0.003563
(1+0.003563)
120
−1
�=
200,000×0.003563
(1+0.003563)
120
−1
�
¿�� ¿�� =$1,338.64
�
¿�� ¿�� =$1,338.64 �¿39,363.20
�¿39,363.20
• Valor Futuro Anualidad Vencida
� ��=�[(1+�)�
−1
� ]
� ��=�[(1+�)�
−1
� ]
6.2.2. Una familia desea empezar a ahorrar para un viaje a Hawái, el cual se tiene pensado
realizarlo dentro de 2 años. Con este fin se depositan $3,500 cada fin de quincena en una
cuenta que general intereses a una tasa de 1.31% mensual capitalizable cada quincena. Calcule
el monto y los intereses ganados.
6.2.2. Una familia desea empezar a ahorrar para un viaje a Hawái, el cual se tiene pensado
realizarlo dentro de 2 años. Con este fin se depositan $3,500 cada fin de quincena en una
cuenta que general intereses a una tasa de 1.31% mensual capitalizable cada quincena. Calcule
el monto y los intereses ganados.
� �� =3500
[(1+
0.0131
2 )
48
−1
0.0131
2
]
� �� =3500
[(1+
0.0131
2 )
48
−1
0.0131
2
]
�
¿ � ¿�� =$ 196,659.49
�
¿ � ¿�� =$ 196,659.49
�¿120,673.23
�¿120,673.23
6.2.4. Se depositan 3 500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante
ocho años y medio. Si no se realiza ningún retiro, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de
interés es de 5.5% semestral capitalizable cada semestre.
6.2.4. Se depositan 3 500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante
ocho años y medio. Si no se realiza ningún retiro, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de
interés es de 5.5% semestral capitalizable cada semestre.
� ��=�[(1+�)�
−1
� ]
� ��=�[(1+�)�
−1
� ] � ��=3500[(1+0.055)17
−1
0.055 ]
� ��=3500[(1+0.055)17
−1
0.055 ] �
¿ � ¿�� =$ 94,487.40
�
¿ � ¿�� =$ 94,487.40
• Valor Futuro Anualidad Vencida
�=
� �� �
(1+�)�
−1
�=
� �� �
(1+�)�
−1
6.2.15. Si el dinero gana un interés de 1% mensual convertible cada mes, ¿cuento debe ahorrar
cada mes una persona que desea tener $100 000 en 5 años? ¿Cuál es el interés total ganado?
6.2.15. Si el dinero gana un interés de 1% mensual convertible cada mes, ¿cuento debe ahorrar
cada mes una persona que desea tener $100 000 en 5 años? ¿Cuál es el interés total ganado?
26,533.31
26,533.31
1,224.44
1,224.44
6.2.17. Una empresa debe saldar una deuda de valor de vencimiento por cinco millones de
pesos, dentro de 5 años. Para pagar la deuda, se decide crear un fondo de ahorro con depósitos
mensuales iguales a una tasa de interés de 7.92% capitalizable cada mes. ¿Qué cantidad se
debe depositar cada mes en el fondo de ahorro? ¿Cuál es el interés total ganado.
6.2.17. Una empresa debe saldar una deuda de valor de vencimiento por cinco millones de
pesos, dentro de 5 años. Para pagar la deuda, se decide crear un fondo de ahorro con depósitos
mensuales iguales a una tasa de interés de 7.92% capitalizable cada mes. ¿Qué cantidad se
debe depositar cada mes en el fondo de ahorro? ¿Cuál es el interés total ganado.
�=
100,000×0.01
(1+0.01)
60
−1
�=
100,000×0.01
(1+0.01)
60
−1
�=
� �� �
(1+�)�
−1
�=
� �� �
(1+�)�
−1
�
¿ � ¿�� =908,561.23
�
¿ � ¿�� =908,561.23
68,190.64
68,190.64
�=
5,000,000 ×(0.0792
12 )
(1+
0.0792
12 )
60
−1
�=
5,000,000 ×(0.0792
12 )
(1+
0.0792
12 )
60
−1
6.2.31. Se desea acumular $170,000 mediante depósitos quincenales vencidos de
$5,000 en una cuenta de inversión, la cual gana intereses de 10% anual
capitalizable cada quincena. ¿Cuántos depósitos completos de $5,000 deberán
hacerse y cual será el valor del pago complementario?
6.2.31. Se desea acumular $170,000 mediante depósitos quincenales vencidos de
$5,000 en una cuenta de inversión, la cual gana intereses de 10% anual
capitalizable cada quincena. ¿Cuántos depósitos completos de $5,000 deberán
hacerse y cual será el valor del pago complementario?
�=
� �� �
(1+�)�
−1
�=
� �� �
(1+�)�
−1
31.8636
31.8636
31��5,000
31��5,000
�=
���(��
�
+1)
���(1+�)
�=
���(��
�
+1)
���(1+�)
1��4,910.66
1��4,910.66
Tema 4.2
Valor Actual de las
Anualidades vencidas
Valor Presente Anualidad
Vencida
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
0 1 2 3 4 5
5%
$100
5%
5
%
5% 5%
$100 $100 $100
Tasa de
Interés o de
Descuento
Tasa de
Interés o de
Descuento
Valor
Presente
Valor
Presente
A
$100
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono ����=�[1−(1+�)−�
� ]
����=�[1−(1+�)−�
� ]
• Valor Presente Anualidad Vencida
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
¿Cuál es el valor presente de $10,000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si
la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral?
¿Cuál es el valor presente de $10,000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si
la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral?
� � �� =10,000
[1−(1+
0.14
4 )
−16
0.14
4
]
� � �� =10,000
[1−(1+
0.14
4 )
−16
0.14
4
] �
¿�� ¿��=$120,941.17
�
¿�� ¿��=$120,941.17
La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $65,000. Ella escogió no recibir todo el dinero en
una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se
encuentra invertido al 18% anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar?
La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $65,000. Ella escogió no recibir todo el dinero en
una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se
encuentra invertido al 18% anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar?
�=
���� × �
1−(1+�)
− �
�=
���� × �
1−(1+�)
− �
�=
650,000×0.015
(1+0.015)
−144
�=
650,000×0.015
(1+0.015)
−144
�
¿�� ¿��=$11,044.28
�
¿�� ¿��=$11,044.28
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
• Valor Presente Anualidad Vencida
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
���� =�[1−(1+�)−�
� ]
6.2.6. Obtenga el valor presente de $7 200 semestrales durante 5 años
y medio a una tasa de interés de 28% capitalizable en forma semestral.
Interprete el resultado obtenido.
6.2.6. Obtenga el valor presente de $7 200 semestrales durante 5 años
y medio a una tasa de interés de 28% capitalizable en forma semestral.
Interprete el resultado obtenido.
���� =7,200
[1 −(1+
0.28
2 )
−11
0.28
2
]
���� =7,200
[1 −(1+
0.28
2 )
−11
0.28
2
] �=39,259.68
�=39,259.68
6.2.7. Ruth acordó hacer 20 pagos mensuales de $5 399 para saldar un
préstamo personal. La tasa de interés que le cobran es de 28.75%
capitalizable cada mes. Calcule e interprete el valor presente de la
anualidad.
6.2.7. Ruth acordó hacer 20 pagos mensuales de $5 399 para saldar un
préstamo personal. La tasa de interés que le cobran es de 28.75%
capitalizable cada mes. Calcule e interprete el valor presente de la
anualidad.
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] �=5,399
[1 −(1+
0.2875
12 )
−20
0.2875
1 2
]
�=5,399
[1 −(1+
0.2875
12 )
−20
0.2875
1 2
] �=85,000
�=85,000
• Valor Presente Anualidad Vencida
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ]
6.2.13. Laura esta por jubilarse y recibirá $11 000 cada mes, durante 25 años, de
su fondo de retiro. Si el valor promedio del dinero es de 13% capitalizable cada
mes, ¿Cuánto hay en este momento en el fondo de retiro?
6.2.13. Laura esta por jubilarse y recibirá $11 000 cada mes, durante 25 años, de
su fondo de retiro. Si el valor promedio del dinero es de 13% capitalizable cada
mes, ¿Cuánto hay en este momento en el fondo de retiro?
�=11,000
[1−(1+
0.13
12 )
− 300
0.13
12
]
�=11,000
[1−(1+
0.13
12 )
− 300
0.13
12
] �=975,319.7089
�=975,319.7089
6.2.20. El señor Villa piensa comprar una camioneta solicitando un préstamo
personal a 3 años y a una tasa de interés de 15% compuesto cada mes. El precio
de contado de la camioneta es de $195 700. ¿De qué cantidad serían los pagos
mensuales? ¿Cuánto interés se paga por el crédito?
6.2.20. El señor Villa piensa comprar una camioneta solicitando un préstamo
personal a 3 años y a una tasa de interés de 15% compuesto cada mes. El precio
de contado de la camioneta es de $195 700. ¿De qué cantidad serían los pagos
mensuales? ¿Cuánto interés se paga por el crédito?
�=
� �
1−(1+�)
− �
�=
� �
1−(1+�)
− � �=
195,700 ×
0.15
12
1−(1+
0.15
12 )
−144
�=
195,700 ×
0.15
12
1−(1+
0.15
12 )
−144
�=6,784.0048
�=6,784.0048
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ]
48,524
48,524
Anualidades
Anticipadas
Valor Futuro Anualidad
Anticipada
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
0 1 2 3 4 5
5%
$100
5% 5
%
5% 5%
$100 $100 $100
Tasa de
Interés
Tasa de
Interés
Valor Futuro
Valor Futuro
A
$100
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono ����=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
����=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
Valor Actual Anualidad
Anticipada
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
Periodo de Pago o
Periodo de Renta
0 1 2 3 4 5
5%
$100
5% 5
%
5% 5%
$100 $100 $100
Tasa de
Descuento
Tasa de
Descuento
Valor
Presente
Valor
Presente
A $100
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
Anualidad,
Renta, Pago
Periódico,
Abono
����=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
����=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
6.20 Francisco deposita $5 000 al inicio de cada mes en una cuente de inversión.
Si la tasa de interés es de 1% mensual capitalizable cada mes.
a) Obtenga el monto al cabo de 3 años
b) ¿Cuál es el interés ganado en los 3 años?
c) Calcule el valor presente de la anualidad.
6.20 Francisco deposita $5 000 al inicio de cada mes en una cuente de inversión.
Si la tasa de interés es de 1% mensual capitalizable cada mes.
a) Obtenga el monto al cabo de 3 años
b) ¿Cuál es el interés ganado en los 3 años?
c) Calcule el valor presente de la anualidad.
�� ��= �[(1+�)�
− 1
� ](1+�)
�� ��= �[(1+�)�
− 1
� ](1+�) �=5,000[(1+0.01)36
−1
0.01 ](1+0.01)
�=5,000[(1+0.01)36
−1
0.01 ](1+0.01)
�¿�=217,538.24
�¿�=217,538.24
� =� − �
� =� − � �=217,538.24−(5,000)(36)
�=217,538.24−(5,000)(36) �¿ �=37,538.24
�¿ �=37,538.24
����= �[1−(1+�)−�
� ](1+�)
����= �[1−(1+�)−�
� ](1+�) �=5,000[1−(1+0.01)−36
0.01 ](1+0.01)
�=5,000[1−(1+0.01)−36
0.01 ](1+0.01)
�¿�=152,042.90
�¿�=152,042.90
6.21 Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 12 años, al
comienzo de cada mes, $150 000 en un fondo para la depreciación de su
maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 12 años,
si ha estado produciendo 9.6% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales
se hicieran al final de cada mes, ¿Cuál sería el monto?
6.21 Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 12 años, al
comienzo de cada mes, $150 000 en un fondo para la depreciación de su
maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 12 años,
si ha estado produciendo 9.6% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales
se hicieran al final de cada mes, ¿Cuál sería el monto?
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�) �=150,000
[(1+(0.096
12 ))
144
−1
0.096
12
](1+
0.096
12 )
�=150,000
[(1+(0.096
12 ))
144
−1
0.096
12
](1+
0.096
12 ) 40,635,832.1
40,635,832.1
6.22 Un automóvil se puede comprar a crédito mediante 48 abonos mensuales anticipados
de $4 800. Si la tasa de interés es de 16% capitalizable cada mes, ¿Cuál es el valor de
contado del automóvil?
6.22 Un automóvil se puede comprar a crédito mediante 48 abonos mensuales anticipados
de $4 800. Si la tasa de interés es de 16% capitalizable cada mes, ¿Cuál es el valor de
contado del automóvil?
6.24 Dentro de 6 años la compañía fabricante de armas de fuego El Tiro Perfecto, S.A.,
necesitara $7,000,000 para remplazar maquinaria depreciada. ¿Cuál será el importe del
depósito trimestral que tendrá que hacer la empresa a partir de este momento, en un
fondo de depreciación que paga 11.3% convertible cada trimestre para acumular dicha
cantidad de dinero?
6.24 Dentro de 6 años la compañía fabricante de armas de fuego El Tiro Perfecto, S.A.,
necesitara $7,000,000 para remplazar maquinaria depreciada. ¿Cuál será el importe del
depósito trimestral que tendrá que hacer la empresa a partir de este momento, en un
fondo de depreciación que paga 11.3% convertible cada trimestre para acumular dicha
cantidad de dinero?
����=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
����=�[1−(1+�)−�
� ](1+�) �=4,800
[1 −(1+
0.16
12 )
−48
0.16
12
](1+
0.16
12 )
�=4,800
[1 −(1+
0.16
12 )
−48
0.16
12
](1+
0.16
12 ) �=171,628.50
�=171,628.50
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�) �=
��
[(1+�)�
−1](1+�)
�=
��
[(1+�)�
−1](1+�)
�=
(7,000,000)(0.113
4 )
[(1+
0.113
4 )
24
−1
](1+
0.113
4 )
�=
(7,000,000)(0.113
4 )
[(1+
0.113
4 )
24
−1
](1+
0.113
4 )
�=202,119.21
�=202,119.21
6.25 El beneficiario de una herencia puede optar por recibir
$1,000,000 de inmediato o recibir 40 pagos iguales cada 4 meses,
el primero de ellos se hace de inmediato. ¿cuál será el valor del
pago cuatrimestral si el dinero este invertido al 11.55% anual?
6.25 El beneficiario de una herencia puede optar por recibir
$1,000,000 de inmediato o recibir 40 pagos iguales cada 4 meses,
el primero de ellos se hace de inmediato. ¿cuál será el valor del
pago cuatrimestral si el dinero este invertido al 11.55% anual?
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�) �=
��
[1−(1+�)−�
](1+�)
�=
��
[1−(1+�)−�
](1+�) �=47,569.86
�=47,569.86
�=
(1,000,000)(0.1155
3 )
[1−(1+
0.1155
3 )
− 40
](1+
0.1155
3
)
�=
(1,000,000)(0.1155
3 )
[1−(1+
0.1155
3 )
− 40
](1+
0.1155
3
)
6.27 ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $18 781.27
cada uno se deben hacer acumular un monto de $250 000? La tasa
de interés es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre.
6.27 ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $18 781.27
cada uno se deben hacer acumular un monto de $250 000? La tasa
de interés es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre.
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�) �=
���
[ ��
�(1+�)
+1
]
���(1+�)
�=
���
[ ��
�(1+�)
+1
]
���(1+�)
0.0514
¿
(250,000 ) ¿
��� ( 1 +0.0514 )
��� ¿
�=¿
0.0514
¿
(250,000 ) ¿
��� ( 1 +0.0514 )
��� ¿
�=¿
�=10
�=10
6.27 ¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $1 240.70 cada uno deben
hacerse para amortizar una deuda de $16,000, si hay que pagar intereses de
27% capitalizable cada mes?
6.27 ¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $1 240.70 cada uno deben
hacerse para amortizar una deuda de $16,000, si hay que pagar intereses de
27% capitalizable cada mes?
6.28 Una tienda departamental ofrece un televisor de pantalla LED de 32” en
$29 900, si se paga de contado. A crédito se puede comprar mediante abonos
mensuales anticipados de $2 000 cada uno. Calcule el número de pagos
mensuales que deberán hacerse, si la tasa de interés es de 30% capitalizable
cada mes.
6.28 Una tienda departamental ofrece un televisor de pantalla LED de 32” en
$29 900, si se paga de contado. A crédito se puede comprar mediante abonos
mensuales anticipados de $2 000 cada uno. Calcule el número de pagos
mensuales que deberán hacerse, si la tasa de interés es de 30% capitalizable
cada mes.
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�) �=−
���
[1−
��
�(1+�)]
���(1+�)
�=−
���
[1−
��
�(1+�)]
���(1+�)
�=−
���
[1 −
(16,000)(0.27
12 )
(1,240.70)(1+
0.27
12 )]
���(1+
0.27
12 )
�=−
���
[1 −
(16,000)(0.27
12 )
(1,240.70)(1+
0.27
12 )]
���(1+
0.27
12 ) �=15
�=15
�=−
���
[1−
��
�(1+�)]
���(1+�)
�=−
���
[1−
��
�(1+�)]
���(1+�)
�=−
���
[1−
(29,900)(0.025)
(2,000)(1+0.025) ]
��� (1+0.025)
�=−
���
[1−
(29,900)(0.025)
(2,000)(1+0.025) ]
��� (1+0.025) �=18.36801581
�=18.36801581
6.3.3 ¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se
depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros? La tasa de interés es de 7.35%
anual capitalizable cada dos meses. Calcule el total de intereses ganados.
6.3.3 ¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se
depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros? La tasa de interés es de 7.35%
anual capitalizable cada dos meses. Calcule el total de intereses ganados.
�=49,205.50
�=49,205.50
�=13,205.50
�=13,205.50
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�) � =750
[(1+
0. 0735
6 )
48
−1
0.0 735
6
](1+
0.0735
6 )
� =750
[(1+
0. 0735
6 )
48
−1
0.0 735
6
](1+
0.0735
6 )
�=(� )−[( �)(�)]
�=(� )−[( �)(�)] �=(49,205.50)−[(750)(48)]
�=(49,205.50)−[(750)(48)]
6.3.5 José Luis renta su departamento en $5,500 mensuales anticipados. En cuanto
recibe el dinero, lo invierte a una tasa de interés de 15% capitalizable en forma
mensual. Si el arrendatario pagó siempre la renta por mes vencido, ¿Qué pérdida
le significo a José Luis en un año?
6.3.5 José Luis renta su departamento en $5,500 mensuales anticipados. En cuanto
recibe el dinero, lo invierte a una tasa de interés de 15% capitalizable en forma
mensual. Si el arrendatario pagó siempre la renta por mes vencido, ¿Qué pérdida
le significo a José Luis en un año?
�=71,616.14
�=71,616.14
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�)
�=�[(1+�)�
−1
� ](1+�) � =5,500
[(1+
0.15
12 )
12
− 1
0. 15
12
](1+
0.15
12 )
� =5,500
[(1+
0.15
12 )
12
− 1
0. 15
12
](1+
0.15
12 )
�=70,731.99
�=70,731.99
�=�[(1+�)�
−1
� ]
�=�[(1+�)�
−1
� ] � =5,500
[(1+
0.15
12 )
12
− 1
0. 15
12
]
� =5,500
[(1+
0.15
12 )
12
− 1
0. 15
12
]
� =� �� − � ��
� =� �� − � �� �=71,616.14−70,731.99
�=71,616.14−70,731.99 �=884.11
�=884.11
6.3.10 Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero par que su hijo
estudie la especialidad en robótica, la cual dura 6 cuatrimestres, y el dinero
depositado es una cuenta bancaria gana 3% cuatrimestral. ¿Qué cantidad de
dinero debe depositarse en la cuenta si la colegiatura cuatrimestral es de $26 350
y debe pagarse por adelantado?
6.3.10 Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero par que su hijo
estudie la especialidad en robótica, la cual dura 6 cuatrimestres, y el dinero
depositado es una cuenta bancaria gana 3% cuatrimestral. ¿Qué cantidad de
dinero debe depositarse en la cuenta si la colegiatura cuatrimestral es de $26 350
y debe pagarse por adelantado?
6.3.16 En una tienda de artículos deportivos vende una bolsa de dormir en $6 800.
Se puede comprar a crédito en 8 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés
es de 23% compuesto cada mes, calcule el valor del pago mensual y el interés total
que se paga el financiamiento.
6.3.16 En una tienda de artículos deportivos vende una bolsa de dormir en $6 800.
Se puede comprar a crédito en 8 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés
es de 23% compuesto cada mes, calcule el valor del pago mensual y el interés total
que se paga el financiamiento.
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=147,025.28
�=147,025.28
�=26,350[1−(0.03)−6
0.03 ](1+0.03)
�=26,350[1−(0.03)−6
0.03 ](1+0.03)
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=�[1−(1+�)−�
� ](1+�)
�=907.54
�=907.54
6′
800= �
[1−(1+
0.23
12 )
−8
0.23
12
](1+
0.23
12 )
6′
800= �
[1−(1+
0.23
12 )
−8
0.23
12
](1+
0.23
12 )
�=460.32
�=460.32
�=(�)−[( �)(�)]
�=(�)−[( �)(�)] �=(6,800)−[(907.54)(8)]
�=(6,800)−[(907.54)(8)]
Vencidas
Los depósitos o abonos se dan al final del período
Valor Presente Valor Futuro
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
presente.
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
futuro.
Vencidas
Los depósitos o abonos se dan al final del período
Valor Presente Valor Futuro
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
presente.
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
futuro.
Anticipadas
Los depósitos o abonos se dan al principio del período
Valor Presente Valor Futuro
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
presente.
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
futuro.
Anticipadas
Los depósitos o abonos se dan al principio del período
Valor Presente Valor Futuro
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
presente.
Se buscan lo montos
relacionados con un valor en el
futuro.
Anualidades
Diferidas
Tema 6
DEFINICIÓN
Es aquella cuyos pagos comienzan después de un
intervalo de tiempo determinado desde el momento en
que la operación quedo formalizada
El momento en que la operación queda formalizada
recibe el nombre de Momento Inicial o de Convenio
El momento que transcurre entre el momento inicial y
el inicio de los pagos se llama Periodo de Gracia o
Periodo de Diferimiento
0 2 3 4 6 9
7
1 5 8
$100 $100 $100 $100 $100
$100
Dentro de 4 meses se hará el primer pago de una anualidad vencida de
$100 mensuales y cuyo plazo es de 6 meses
Dentro de 4 meses se hará el primer pago de una anualidad vencida de
$100 mensuales y cuyo plazo es de 6 meses
Comienzo del
plazo de la
anualidad vencida
Comienzo del
plazo de la
anualidad vencida
0 2 3 4 6
1 5
Periodo de
gracia
Periodo de
gracia
Plazo de la
Anualidad
Plazo de la
Anualidad
0 2 3 4 6 9
7
1 5 8
$100 $100 $100 $100 $100
$100
Comienzo del
plazo de la
anualidad vencida
Comienzo del
plazo de la
anualidad vencida
0 2 3 4
1 5
Periodo de
gracia
Periodo de
gracia
Plazo de la
Anualidad
Plazo de la
Anualidad
ANTICIPADA
ANTICIPADA
VENCIDA
VENCIDA
6.32 Antonio compra una laptop mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de
4,100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio
de contado de la “lap”, si se está cobrando una tasa de interés de 33% capitalizable cada
mes? ¿Cuánto se paga de intereses?
6.32 Antonio compra una laptop mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de
4,100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio
de contado de la “lap”, si se está cobrando una tasa de interés de 33% capitalizable cada
mes? ¿Cuánto se paga de intereses?
0 2 3 4 6 9
7
1 5 8
4,10
0
4,10
0
4,10
0
4,10
0
4,10
0
4,10
0
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] � (1+
0.33
12 )
2
=4,100
[1 −(1+
0.33
12 )
−6
(0.33
12 ) ]
� (1+
0.33
12 )
2
=4,100
[1 −(1+
0.33
12 )
−6
(0.33
12 ) ]
1.05575625�=22,395.70379
1.05575625�=22,395.70379 21,213
21,213
�=( �)(�)−(�)
�=( �)(�)−(�) 3,387
3,387
0 2 3 4 6
1 5
P
6.33 Durante este mes, Mueblería el Portal ofrece la promoción “Compre ahora y pague
después”, que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en 8 mensualidades,
empezando 4 meses después de la compra. ¿Cuál será la mensualidad que deberá pagar
la señora Arrieta, si compro una lavadora en 5,520 y le cargan un interés de 3.54%
mensual capitalizable cada mes?
6.33 Durante este mes, Mueblería el Portal ofrece la promoción “Compre ahora y pague
después”, que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en 8 mensualidades,
empezando 4 meses después de la compra. ¿Cuál será la mensualidad que deberá pagar
la señora Arrieta, si compro una lavadora en 5,520 y le cargan un interés de 3.54%
mensual capitalizable cada mes?
0 2 3 4 6 11
7
1 5 8
A A A A A
A
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] (5,520)(1+0.0354)3
= �
[1−(1+0.0354)−8
(0.0354) ]
(5,520)(1+0.0354)3
= �
[1−(1+0.0354)−8
(0.0354) ] 892.86
892.86
0 2 3 4 8
1 5
5,520
A
6.34 Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses.
6.34 Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses.
�=(�)(�)(�)+(�)
�=(�)(�)(�)+(�) 586.22
586.22
�=(5,520)(0.0354)(3)
�=(5,520)(0.0354)(3)
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] 5,520=�
[1−(1+0.0354)−8
(0.0354) ]
5,520=�
[1−(1+0.0354)−8
(0.0354) ] 804.37
804.37
El precio de contado de una casa es de 400,000. Se puede comprar a crédito mediante un
enganche del 10% del precio de contado y el resto mediante pagos mensuales vencidos de
7,000. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de interés es de 1.75% mensual
capitalizable cada mes, calcule el número de pagos mensuales que deben hacerse. En caso
necesario, ajuste la mensualidad a la parte entera del resultado obtenido.
El precio de contado de una casa es de 400,000. Se puede comprar a crédito mediante un
enganche del 10% del precio de contado y el resto mediante pagos mensuales vencidos de
7,000. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de interés es de 1.75% mensual
capitalizable cada mes, calcule el número de pagos mensuales que deben hacerse. En caso
necesario, ajuste la mensualidad a la parte entera del resultado obtenido.
7,00
0
7,00
0
7,00
0
7,00
0
7,00
0
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] 360,000(1.0175)3
=7,000
[1−(1.0175)−�
(0.0175) ]
360,000(1.0175)3
=7,000
[1−(1.0175)−�
(0.0175) ]
170.5081
170.5081
0 2 3 4
1 n
360,00
0
0 2 3 4 6 7
1 5 8 n
El señor González tiene actualmente 50 años de edad y una compañía de seguros le presenta
un plan personal de jubilación. Este consiste en que, mediante un pago inmediato de 87,690,
la empresa ofrece pagar, transcurridos 15 años, una renta de 10,000 al final de cada mes,
durante 15 años determine la tasa de interés anual capitalizable cada mes que paga la
empresa.
El señor González tiene actualmente 50 años de edad y una compañía de seguros le presenta
un plan personal de jubilación. Este consiste en que, mediante un pago inmediato de 87,690,
la empresa ofrece pagar, transcurridos 15 años, una renta de 10,000 al final de cada mes,
durante 15 años determine la tasa de interés anual capitalizable cada mes que paga la
empresa.
10,0
00
10,0
00
10,0
00
10,0
00
10,0
00
�=�[1−(1+�)−�
� ]
�=�[1−(1+�)−�
� ] 87,690(1+�)180
=10,000
[1−(1+�)−180
(�) ]
87,690(1+�)180
=10,000
[1−(1+�)−180
(�) ]
14.30%
14.30%
0 2 3 4
1 180
87,690
0 2 3 180
1
87,690
10,000
=
[1−(1+�)−180
�(1+�)180 ]
87,690
10,000
=
[1−(1+�)−180
�(1+�)180 ] 8.769=
[1− (1+�)− 180
�(1+�)180 ]
8.769=
[1− (1+�)− 180
�(1+�)180 ]
El señor Estrada debe pagar una deuda de 75,000 de la siguiente forma cinco pagos
mensuales consecutivos de 14,000, empezando dentro de 4 meses a partir de hoy, y un pago
final en el mes 12. Si la tasa de interés es de 2.85% mensual capitalizable cada mes,
encuentre el valor del pago final.
El señor Estrada debe pagar una deuda de 75,000 de la siguiente forma cinco pagos
mensuales consecutivos de 14,000, empezando dentro de 4 meses a partir de hoy, y un pago
final en el mes 12. Si la tasa de interés es de 2.85% mensual capitalizable cada mes,
encuentre el valor del pago final.
14,0
00
14,0
00
14,0
00
X
14,0
00
22,156.83
22,156.83
75,000
0 2 3 4
1
14,0
00
5 7 8 1
2
6

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  • 3. Tasas de Referencia • Tasa de interés Interbancaria de Equilibrio TIIE TIIE • Costo porcentual Promedio de Captación CPP CPP • Costo de Captación a Plazo CCP CCP • Certificados de Tesorería de la Federación Cetes Cetes • Tasa de interés interbancaria mexicana (tasa privada) Mexib or Mexib or Tasas Activas Tasas Activas • Tasas de interés que cobran las institucion es de crédito Tasas Pasivas Tasas Pasivas • Tasas de interés que pagan las institucion es de crédito
  • 4. Otros • Parte proporcional respecto a un total Porcent aje Porcent aje • Es una unidad de 100% Puntos porcentua les Puntos porcentua les • Es la centésima parte de un punto porcentual Punt os Base Punt os Base 90% 90% 75pp=75% 75pp=75% 75Pb=0.75 75Pb=0.75
  • 5. Tema 1.2 Elementos del Interés Simple
  • 6. Tópicos fundamentales • Dinero que se paga por el uso del dinero ajeno • Rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero Interés (I) Interés (I) • Cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida Capital o Principal (P) Capital o Principal (P) • Suma del interés del capital mas el interés pagado Monto o Valor Futuro (F) Monto o Valor Futuro (F) • Suma del interés del capital mas el interés pagado Tasa de Interés (i) Tasa de Interés (i) F=P+I F=P+I i i
  • 7. 4.1.2. Hace 10 meses, Paola depositó $75,000 en una cuenta bancaria. Si hoy retiró el dinero y le entregaron $82,500, identifica el capital y el monto y calcule el interés ganado ¿Cuál fue la tasa de interés pactada? 4.1.2. Hace 10 meses, Paola depositó $75,000 en una cuenta bancaria. Si hoy retiró el dinero y le entregaron $82,500, identifica el capital y el monto y calcule el interés ganado ¿Cuál fue la tasa de interés pactada? F=P+I F=P+I 82′ 500=75′ 000+(75′ 000×i) 82′ 500=75′ 000+(75′ 000×i) 10% 10% 4.1.3. Suponga que usted recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19,600. Si el interés fue de $1’200, ¿Qué capital le prestaron? ¿A que tasa de interés? 4.1.3. Suponga que usted recibió un préstamo y al final de 4 meses debe pagar un monto de $19,600. Si el interés fue de $1’200, ¿Qué capital le prestaron? ¿A que tasa de interés? F=P+I F=P+I 19′ 600=P+1,200 19′ 600=P+1,200 18,400 18,400 6.52% 6.52%
  • 8. 4.1.5. La tasa de interés anual que se aplica a los usuarios de cierta tarjeta de crédito es la TIIE mas 1,800 Pb. Si la TIIE es de 8.46% anual, ¿Cuál es la tasa de interés aplicable? 4.1.5. La tasa de interés anual que se aplica a los usuarios de cierta tarjeta de crédito es la TIIE mas 1,800 Pb. Si la TIIE es de 8.46% anual, ¿Cuál es la tasa de interés aplicable? %=Pb/100 %=Pb/100 %=1,800/100 %=1,800/100 26.46% 26.46% 4.1.6. Alfonso consigue un préstamo por $120,000 a una año y medio de plazo, con una tasa de interés simple de 2.35% mensual. Si el interés se paga al final de cada mes ¿Cuánto deberá pagar?, si paga al final de plazo ¿Cuánto? 4.1.6. Alfonso consigue un préstamo por $120,000 a una año y medio de plazo, con una tasa de interés simple de 2.35% mensual. Si el interés se paga al final de cada mes ¿Cuánto deberá pagar?, si paga al final de plazo ¿Cuánto? I=P×� I=P×� I=120,000×.0235 I=120,000×.0235 2,820 2,820 50,760 50,760
  • 9. 4.1.7. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por $18,300 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de interés igual a la tasa de Cetes a plazo de 28 días mas 18 pp? Suponga que el Cete a 28 días es de 9.27% anual 4.1.7. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por $18,300 a un mes de plazo, si le cargan una tasa de interés igual a la tasa de Cetes a plazo de 28 días mas 18 pp? Suponga que el Cete a 28 días es de 9.27% anual 18,715.87 18,715.87 4.1.16. Una persona obtiene $3,000 cada trimestre por concepto de intereses de una inversión al 10%. ¿Qué capital tiene invertido esta persona? 4.1.16. Una persona obtiene $3,000 cada trimestre por concepto de intereses de una inversión al 10%. ¿Qué capital tiene invertido esta persona? I=P×� I=P×� 120,000 120,000
  • 10. 4.1.21. Irma compro acciones de una empresa productora de latas de aluminio para envasar diferentes tipos de bebidas por US$70,000 y después de 8 meses, el valor de sus acciones de incrementó US$15,000. además le pagaron dividendos por un total de US$22,000. calcule la tasa de interés simple anual que ganó con su inversión 4.1.21. Irma compro acciones de una empresa productora de latas de aluminio para envasar diferentes tipos de bebidas por US$70,000 y después de 8 meses, el valor de sus acciones de incrementó US$15,000. además le pagaron dividendos por un total de US$22,000. calcule la tasa de interés simple anual que ganó con su inversión 79.2857% 79.2857% 4.1.31. Una persona invierte un total de US$100,000 en bonos, papel comercial y en depósito a plazo fijo que le producen intereses de 10%, 13% y 7.5%, respectivamente. La cantidad invertida en papel comercial es el doble de la invertida en bonos. ¿Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de UD$ 5,572.50? 4.1.31. Una persona invierte un total de US$100,000 en bonos, papel comercial y en depósito a plazo fijo que le producen intereses de 10%, 13% y 7.5%, respectivamente. La cantidad invertida en papel comercial es el doble de la invertida en bonos. ¿Cuánto tiene en cada tipo de inversión si el interés total semestral es de UD$ 5,572.50? B27,000 B27,000 PC54,000 PC54,000 B19,000 B19,000
  • 11. Tema 1.3 Valor Presente y Futuro en Interés Simple
  • 12. Valor Futuro $100 0 1 2 3 4 5 5% $125 ��=��(1+(�×�)) ��=��(1+(�×�)) Valor Futuro Valor Futuro Tasa de Interés Tasa de Interés 5% 5% 5% 5% Interés Total $25 Interés Total $25 Valor presente Valor presente Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • t = Tiempo Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • t = Tiempo
  • 13. Valor Presente $100 0 1 2 3 4 5 5% $125 ��= �� 1+(�×�) ��= �� 1+(�×�) Valor Futuro Valor Futuro Tasa de Descuento Tasa de Descuento 5% 5% 5% 5% Descuento Total $25 Descuento Total $25 Valor Presente Valor Presente Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • t = Tiempo Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • t = Tiempo
  • 14. Calcule el valor presente de $16,000 que vencen dentro de 5 meses, si la tasa de interés es de 27.48% Calcule el valor presente de $16,000 que vencen dentro de 5 meses, si la tasa de interés es de 27.48% $14,356.21 $14,356.21 ��= �� 1+(�×�) ��= �� 1+(�×�) ��= 16,000 1+(0.2748 12 ×5) ��= 16,000 1+(0.2748 12 ×5)
  • 15. Antonio Solís, firmó un pagaré el 14 de Febrero del 2010 con vencimiento el 26 de Diciembre del mismo año por la cantidad de $74,100.00 a favor del Sr. Armando Ibarra, con una tasa del 32% hasta la fecha de su vencimiento y un interés moratorio del 48%, obtenga… a) Cual es el valor de vencimiento del pagaré anterior b) Si el pagaré se pagó 16 días después del vencimiento, cual es el valor Antonio Solís, firmó un pagaré el 14 de Febrero del 2010 con vencimiento el 26 de Diciembre del mismo año por la cantidad de $74,100.00 a favor del Sr. Armando Ibarra, con una tasa del 32% hasta la fecha de su vencimiento y un interés moratorio del 48%, obtenga… a) Cual es el valor de vencimiento del pagaré anterior b) Si el pagaré se pagó 16 días después del vencimiento, cual es el valor $94,848.00 $94,848.00 ��=��[1+(�×�)] ��=��[1+(�×�)] ��=74,100 [1+(0.32 360 ×315)] ��=74,100 [1+(0.32 360 ×315)] I=P×� I=P×� I=74,100 ×(0.48 360 ×16) I=74,100 ×(0.48 360 ×16) $1,580.80 $1,580.80 $96,428.80 $96,428.80
  • 16. 4.2.2 Calcule el interés simple ordinario y exacto de 17,000 dólares, del 4 de enero al 21 de agosto de año bisiesto. La tasa de interés es de 5.75% anual 4.2.2 Calcule el interés simple ordinario y exacto de 17,000 dólares, del 4 de enero al 21 de agosto de año bisiesto. La tasa de interés es de 5.75% anual I=P×� I=P×� I=17,000×(0.0575 360 ×230) I=17,000×(0.0575 360 ×230) $ 624.51 $ 624.51 4.2.3 Calcule el interés simple comercial y exacto de $130,000 prestados a una tasa de interés igual a la TIIE vigente al momento del préstamo + 8 pp, del 7 de julio al 10 de noviembre TIIE 11.30% 4.2.3 Calcule el interés simple comercial y exacto de $130,000 prestados a una tasa de interés igual a la TIIE vigente al momento del préstamo + 8 pp, del 7 de julio al 10 de noviembre TIIE 11.30% I=17,000×(0.0575 365 ×230) I=17,000×(0.0575 365 ×230) $ 615.96 $ 615.96 I=P×� I=P×� I=130,000×(0.193 360 ×126) I=130,000×(0.193 360 ×126) $8,781.50 $8,781.50 I=130,000×(0.193 365 ×126) I=130,000×(0.193 365 ×126) $8,661.21 $8,661.21
  • 17. 4.2.4 Encuentra el valor presente de 13,000 dólares utilizando una tasa de interés de 0.5% mensual, nueve meses antes del vencimiento. Interprete el resultado. 4.2.4 Encuentra el valor presente de 13,000 dólares utilizando una tasa de interés de 0.5% mensual, nueve meses antes del vencimiento. Interprete el resultado. $12,440.19 $12,440.19 ��= �� 1+(�×�) ��= �� 1+(�×�) ��= 13,000 1+(.005×9) ��= 13,000 1+(.005×9) 4.2.6 El 16 de junio de 2010 se firmó un pagaré con vencimiento al 31 de julio del mismo año. Si el valor de vencimiento es de $52,765 y la tasa de interés se pactó al 2.275% mensual, obtenga a) El capital prestado b) El valor presente al 10 de julio de 2010 4.2.6 El 16 de junio de 2010 se firmó un pagaré con vencimiento al 31 de julio del mismo año. Si el valor de vencimiento es de $52,765 y la tasa de interés se pactó al 2.275% mensual, obtenga a) El capital prestado b) El valor presente al 10 de julio de 2010 $51,023.81 $51,023.81 ��= �� 1+(�×�) ��= �� 1+(�×�) ��= 52,765 1+(.02275 30 ×45) ��= 52,765 1+(.02275 30 ×45) $51,937.89 $51,937.89 ��= 52,765 1+(.02275 30 ×21) ��= 52,765 1+(.02275 30 ×21)
  • 18. 4.2.8 El 7 de febrero Armando invirtió $87,000 en un pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento, ganando un interés de 12.5%. ¿Cuál será el monto para el 8 de mayo, fecha de vencimiento de la inversión? 4.2.8 El 7 de febrero Armando invirtió $87,000 en un pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento, ganando un interés de 12.5%. ¿Cuál será el monto para el 8 de mayo, fecha de vencimiento de la inversión? $89,718.75 $89,718.75 ��=��[1+(�×�)] ��=��[1+(�×�)] ��=87,000 [1+(0.125 360 ×90)] ��=87,000 [1+(0.125 360 ×90)] 4.2.13 Gustavo firma un pagaré por un préstamo de $7,000 a una tasa de 3.57% mensual a 60 días de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés moratorio de 30% más de la tasa normal. Calcule el interés moratorio y la cantidad total a pagar si el documento es liquidado 14 días después de la fecha de vencimiento. 4.2.13 Gustavo firma un pagaré por un préstamo de $7,000 a una tasa de 3.57% mensual a 60 días de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés moratorio de 30% más de la tasa normal. Calcule el interés moratorio y la cantidad total a pagar si el documento es liquidado 14 días después de la fecha de vencimiento. $7,499.80 $7,499.80 ��=��[1+(�×�)] ��=��[1+(�×�)] ��=7,000 [1+(.0357 30 ×60)] ��=7,000 [1+(.0357 30 ×60)] $ 151.60 $ 151.60 ��=7,000 [(.0464 30 ×14)] ��=7,000 [(.0464 30 ×14)]
  • 19. Tema 1.4 Amortización con Interés Simple
  • 21. Tabla de Amortización con Interés Global Mes Amortización Intereses Abono 1 1,500.00 285.00 1,785.00 2 1,500.00 285.00 1,785.00 3 1,500.00 285.00 1,785.00 4 1,500.00 285.00 1,785.00 5 1,500.00 285.00 1,785.00 6 1,500.00 285.00 1,785.00 10,710.00 El Sr. Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $9,000, bajo las siguientes condiciones de pago: sin enganche, tasa de interés global de 38% y 6 meses para pagar El Sr. Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $9,000, bajo las siguientes condiciones de pago: sin enganche, tasa de interés global de 38% y 6 meses para pagar
  • 22. Tabla de Amortización sobre Saldos Insolutos El Sr. Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $9,000, bajo las siguientes condiciones de pago: sin enganche, tasa de interés global de 38% y 6 meses para pagar El Sr. Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $9,000, bajo las siguientes condiciones de pago: sin enganche, tasa de interés global de 38% y 6 meses para pagar Mes Saldo Inicial Amortización Intereses Abono Saldo Final 1 9,000.00 1,500.00 285.00 1,785.00 7,500.00 2 7,500.00 1,500.00 237.50 1,737.50 6,000.00 3 6,000.00 1,500.00 190.00 1,690.00 4,500.00 4 4,500.00 1,500.00 142.50 1,642.50 3,000.00 5 3,000.00 1,500.00 95.00 1,595.00 1,500.00 6 1,500.00 1,500.00 47.50 1,547.50 - 9,997.50
  • 25. Valor Presente y Futuro en Interés Compuesto
  • 26. VALOR FUTURO INTERÉS COMPUESTO 0 1 2 3 4 5 ��=��(1+�)� ��=��(1+�)� Valor Futuro Valor Futuro 5% Tasa de Interés Tasa de Interés 5% 5% 5% 5% Interés Simple $25 Interés Simple $25 $100 Valor presente Valor presente Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • n = Tiempo Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • n = Tiempo $105 $110.2 5 $115.7 6 $121.5 5 $127.6 3 Interés Compuesto $27.63 Interés Compuesto $27.63
  • 27. VALOR PRESENTE INTERÉS COMPUESTO 0 1 2 3 4 5 � �= �� (1+�) � � �= �� (1+�) � Valor Futuro Valor Futuro 5% Tasa de Descuento Tasa de Descuento 5% 5% 5% 5% $100 Valor presente Valor presente Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • n = Tiempo Donde: • VP= Valor Presente • VF= Valor Futuro • i = Tasa de Interés • n = Tiempo $105 $110.2 5 $115.7 6 $121.5 5 $127.6 3
  • 28. CAPITALIZACIONES Periodo de Capitalizació n Frecuencia de Capitalizació n Año 1 Semestre 2 Cuatrimestre 3 Trimestre 4 Bimestre 6 Mes 12 Quincena 24 Semana 52 Día 365
  • 29. ¿En cuanto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es de 18% compuesto cada cuatrimestre? ¿En cuanto tiempo se triplicará un capital si la tasa de interés es de 18% compuesto cada cuatrimestre? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� ¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital que, colocado al 17.5548% capitalizable quincenalmente, ha proporcionado un interés compuesto igual a 30% del capital? ¿Cuánto tiempo ha estado invertido un capital que, colocado al 17.5548% capitalizable quincenalmente, ha proporcionado un interés compuesto igual a 30% del capital? 3 x=�(1+ 0.18 3 ) � 3 x=�(1+ 0.18 3 ) � 3 � � =(1.06 )� 3 � � =(1.06 )� 3=(1.06)� 3=(1.06)� log3=nlog1.06 log3=nlog1.06 n= log 3 log 1.06 n= log 3 log 1.06 18.8542Tr 18.8542Tr VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� 1.3 x=�(1+ 0.175548 24 ) � 1.3 x=�(1+ 0.175548 24 ) � 1.3 � � =(1.0073)� 1.3 � � =(1.0073)� 1.3=(1.007314)� 1.3=(1.007314)� log1.3=nlog1.007314 log1.3=nlog1.007314 n= log 1.3 log 1.007314 n= log 1.3 log 1.007314 36Qn 36Qn
  • 30. 5.1.4. El costo actual del pasaje en el transporte colectivo de la ciudad es de $5 y se prevén aumentos de 15% cada año durante 5 años. ¿Cuál será el precio del pasaje al cabo de 5 años? 5.1.4. El costo actual del pasaje en el transporte colectivo de la ciudad es de $5 y se prevén aumentos de 15% cada año durante 5 años. ¿Cuál será el precio del pasaje al cabo de 5 años? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=5(1+.15)5 VF=5(1+.15)5 10.0568 10.0568 5.1.8. En 1626 Peter Minuit de la compañía de las Indias Occidentales Holandesas, compró a los indígenas que habitaban la Isla de Manhattan los derechos de la Isla por una cantidad equivalente a unos 80 dólares de 2002. Si ese dinero se hubiera invertido de 1626 a 2010 al 5% de interés capitalizable anualmente ¿Cuánto dinero se tendría al inicio de 2011? 5.1.8. En 1626 Peter Minuit de la compañía de las Indias Occidentales Holandesas, compró a los indígenas que habitaban la Isla de Manhattan los derechos de la Isla por una cantidad equivalente a unos 80 dólares de 2002. Si ese dinero se hubiera invertido de 1626 a 2010 al 5% de interés capitalizable anualmente ¿Cuánto dinero se tendría al inicio de 2011? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=80(1+.05)384 VF=80(1+.05)384 10,959,249,893.4 10,959,249,893.4
  • 31. 5.1.12. Una persona tiene que elegir entre invertir $80,000 al 9% capitalizable cada 14 días por año, o hacerlo al 10.4% con capitalización bimestral por un año ¿Qué es mejor? 5.1.12. Una persona tiene que elegir entre invertir $80,000 al 9% capitalizable cada 14 días por año, o hacerlo al 10.4% con capitalización bimestral por un año ¿Qué es mejor? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=80,000(1+ .09 25.7143) 25.7143 VF=80,000(1+ .09 25.7143) 25.7143 87,520.1936 87,520.1936 5.1.14. Las ventas de un almacén de abarrotes se han incrementado a un promedio de 5% mensual. Si el mes pasado se tuvieron ventas por $1,160,000. ¿Cuál será el volumen estimado de ventas para dentro de 6 meses?, ¿ En que porcentaje aumentaron las ventas en el lapso de 6 meses? 5.1.14. Las ventas de un almacén de abarrotes se han incrementado a un promedio de 5% mensual. Si el mes pasado se tuvieron ventas por $1,160,000. ¿Cuál será el volumen estimado de ventas para dentro de 6 meses?, ¿ En que porcentaje aumentaron las ventas en el lapso de 6 meses? VF=1,160,000(1+.05)6 VF=1,160,000(1+.05)6 1,554,510.9431 1,554,510.9431 VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=80,000 (1+ .104 6 ) 6 VF=80,000 (1+ .104 6 ) 6 88,688.97 88,688.97 VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� % ∆= (�1 −�0 �0 ) % ∆= (�1 −�0 �0 ) %∆=(1,554,510.9431−1,160,000 1,160,000 ) %∆=(1,554,510.9431−1,160,000 1,160,000 ) 34.0096% 34.0096%
  • 32. 5.1.21 Una inversión de 20 000 € se efectúa a 10 años. Durante los primero 6 años la tasa de interés compuesto cada semestre es de 8% anual. Posteriormente, la tasa desciende a 5% anual capitalizable semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta a 7% capitalizable cada mes. ¿Cuál es el monto final de la inversión? 5.1.21 Una inversión de 20 000 € se efectúa a 10 años. Durante los primero 6 años la tasa de interés compuesto cada semestre es de 8% anual. Posteriormente, la tasa desciende a 5% anual capitalizable semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta a 7% capitalizable cada mes. ¿Cuál es el monto final de la inversión? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=20,000(1+ .08 2 ) 12 VF=20,000(1+ .08 2 ) 12 32,020.6444 32,020.6444 VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=32,020.6444 (1+ .05 2 ) 3 VF=32,020.6444 (1+ .05 2 ) 3 34,482.7317 34,482.7317 VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� VF=34,482.7317 (1+ .07 12 ) 30 VF=34,482.7317 (1+ .07 12 ) 30 41,056.5436 41,056.5436 5.1.26 ¿Cuál es el valor presente de $41 012 a pagar dentro de 8 meses, si la tasa de interés es 2.1% mensual capitalizable cada quincena? 5.1.26 ¿Cuál es el valor presente de $41 012 a pagar dentro de 8 meses, si la tasa de interés es 2.1% mensual capitalizable cada quincena? VP= �� (1+�) � VP= �� (1+�) � 34,700.03 34,700.03 VP= 41,012 (1+ .021 2 ) 16 VP= 41,012 (1+ .021 2 ) 16
  • 33. 5.1.28 Un padre de familia desea tener $100,000 disponibles para cuando su hija ingrese a la universidad dentro de 3 años y costear con ese dinero los dos primeros semestres de su carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años tenga los $100 000? La tasa que el banco le paga es de 14% CON CAPITALIZACION BIMESTRAL. 5.1.28 Un padre de familia desea tener $100,000 disponibles para cuando su hija ingrese a la universidad dentro de 3 años y costear con ese dinero los dos primeros semestres de su carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años tenga los $100 000? La tasa que el banco le paga es de 14% CON CAPITALIZACION BIMESTRAL. VP= �� (1+�) � VP= �� (1+�) � 66,022.4789 66,022.4789 VP= 100,000 (1+ .14 6 ) 18 VP= 100,000 (1+ .14 6 ) 18 5.1.42 Pedro es un beneficiario de un fideicomiso creado por sus padres para él cuando nació. Si la cantidad original ahorrada fue de $53 000 y actualmente el monto es de $346 172, ¿Qué edad tiene actualmente Pedro? El dinero gana un interés de 9.42% capitalizable cada mes. 5.1.42 Pedro es un beneficiario de un fideicomiso creado por sus padres para él cuando nació. Si la cantidad original ahorrada fue de $53 000 y actualmente el monto es de $346 172, ¿Qué edad tiene actualmente Pedro? El dinero gana un interés de 9.42% capitalizable cada mes. VP= �� (1+�) � VP= �� (1+�) � �= log �� �� log (1+�) �= log �� �� log (1+�) �= log 346,172 53,000 log(1+ .0942 12 ) �= log 346,172 53,000 log(1+ .0942 12 ) 240m=20Años 240m=20Años
  • 34. 5.1.46 El señor Lomelí tiene la opción de liquidar una deuda pagando 2,300 ahora o pagar 2,800 dentro de 7 meses. Si opta por hacerlo dentro de siete meses, ¿Qué tasa de interés anual se le carga, sabiendo que los intereses se capitalizan cada quincena? 5.1.46 El señor Lomelí tiene la opción de liquidar una deuda pagando 2,300 ahora o pagar 2,800 dentro de 7 meses. Si opta por hacerlo dentro de siete meses, ¿Qué tasa de interés anual se le carga, sabiendo que los intereses se capitalizan cada quincena? VF=VP(1+�)� VF=VP(1+�)� 2,800=2,300(1+�)14 2,800=2,300(1+�)14 �= � √�� �� −1 �= � √�� �� −1 �= 14 √2,800 2,300 −1 �= 14 √2,800 2,300 −1 1.415% Q 1.415% Q 33.96% 33.96%
  • 36. ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ � �) � −1 Donde: • ie = Interés efectivo • i = Interés Nominal • m = capitalización • P = Periodos de Capitalización Donde: • ie = Interés efectivo • i = Interés Nominal • m = capitalización • P = Periodos de Capitalización ���=(1+ � � ) � −1 ���=(1+ � � ) � −1
  • 37. 5.3.12 Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa efectiva de 14.32% en las inversiones depositadas en su nuevo fondo de inversión. Calcule la tasa de interés nominal si la capitalización es diaria. 5.3.12 Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa efectiva de 14.32% en las inversiones depositadas en su nuevo fondo de inversión. Calcule la tasa de interés nominal si la capitalización es diaria. ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ � �) � −1 5.3.18. El 11 de mayo se invierten 13 800 dólares a una tasa efectiva de 8.5% ¿Cuál será el monto el 22 de septiembre del mismo año? 5.3.18. El 11 de mayo se invierten 13 800 dólares a una tasa efectiva de 8.5% ¿Cuál será el monto el 22 de septiembre del mismo año? ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ � �) � −1 .1432=(1+ � 360 ) 360 −1 .1432=(1+ � 360 ) 360 −1 360 √1.1432=(1+ � 360) 360 −1 360 √1.1432=(1+ � 360) 360 −1 1.00037182285=1+ � 360 1.00037182285=1+ � 360 (0.00037182285)×360=i (0.00037182285)×360=i i=.1338=13.385% i=.1338=13.385% .085=(1+ � 360 ) 360 −1 .085=(1+ � 360 ) 360 −1 TasaNominal=8.1589% TasaNominal=8.1589% VF=13,800(1+ .081589 360 ) 134 VF=13,800(1+ .081589 360 ) 134 14,225.47 14,225.47
  • 38. 5.3.22 Juan Pablo tiene dinero invertido en una Sociedad de Inversión que paga intereses diariamente. Durante el periodo de 2 años, en el que no realizo depósitos ni retiros, su cuenta paso de $90,000 a $108,900. Calcule La tasa nominal anual La tasa efectiva anual La tasa efectiva del periodo de inversión (dos años) 5.3.22 Juan Pablo tiene dinero invertido en una Sociedad de Inversión que paga intereses diariamente. Durante el periodo de 2 años, en el que no realizo depósitos ni retiros, su cuenta paso de $90,000 a $108,900. Calcule La tasa nominal anual La tasa efectiva anual La tasa efectiva del periodo de inversión (dos años) �= � √�� �� −1 �= � √�� �� −1 �= 7 20 √108,900 90,000 −1 �= 7 20 √108,900 90,000 −1 �������=0.0264 % �������=0.0264 % ������=9.53% ������=9.53% ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ .0953 360 ) 360 −1 ��=(1+ .0953 360 ) 360 −1 ��=10 % ��=10 % ��=(1+ .0953 360 ) 720 −1 ��=(1+ .0953 360 ) 720 −1 ��=21% ��=21%
  • 39. Tasas de Interés Equivalentes
  • 40. TASA EQUIVALENTE Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al final del plazo dado Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización son equivalentes si producen el mismo monto compuesto al final del plazo dado ���=[(1+ � �) � � −1]� ���=[(1+ � �) � � −1]� Donde: i = Interés q = Capitalización equivalente M = capitalización tasa conocida Donde: i = Interés q = Capitalización equivalente M = capitalización tasa conocida
  • 41. ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto que la tasa de 18% capitalizable cada mes? ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto que la tasa de 18% capitalizable cada mes? ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���=[(1+ .18 12 ) 12 2 −1]2 ���=[(1+ .18 12 ) 12 2 −1]2 18.6887% 18.6887%
  • 42. 5.3.4 ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada semana, produce igual monto que 11% capitalizable cada mes? 5.3.4 ¿Cuál es la tasa de interés anual que, capitalizada cada semana, produce igual monto que 11% capitalizable cada mes? 5.3.1 ¿Qué tasa de interés capitalizable cada mes produce el mismo monto que la tasa de 34.6% capitalizable trimestralmente? 5.3.1 ¿Qué tasa de interés capitalizable cada mes produce el mismo monto que la tasa de 34.6% capitalizable trimestralmente? ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ 0.11 12 ) 12 52 −1 ]52 ���= [(1+ 0.11 12 ) 12 52 −1 ]52 10.96% 10.96% ���=[(1+ � �) � � −1]� ���=[(1+ � �) � � −1]� ���=[(1+ 0.346 4 ) 4 12 −1]12 ���=[(1+ 0.346 4 ) 4 12 −1]12 33.64% 33.64%
  • 43. 5.3.2 Calcule la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa de 27.4% capitalizable cada bimestre 5.3.2 Calcule la tasa nominal capitalizable cada cuatrimestre equivalente a la tasa de 27.4% capitalizable cada bimestre ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ 0.274 6 ) 6 3 −1 ]3 ���= [(1+ 0.274 6 ) 6 3 −1 ]3 28.0256% 28.0256% 5.3.3 Calcule la tasa de interés anual con capitalización cada 14 días equivalente a la tasa de 18% capitalizable cada 91 días 5.3.3 Calcule la tasa de interés anual con capitalización cada 14 días equivalente a la tasa de 18% capitalizable cada 91 días ���=[(1+ � �) � � −1]� ���=[(1+ � �) � � −1]� ���=[(1+ 0.18 3.956) 3.956 25.7143 −1]25.7143 ���=[(1+ 0.18 3.956) 3.956 25.7143 −1]25.7143 17.6629% 17.6629%
  • 44. 5.3.30 Se invierte una determinada cantidad de dinero durante un año. En el primer semestre del año se gana una tasa de interés de 13% capitalizable cada mes y, en el segundo semestre, la tasa de interés es del 14.5% capitalizable cada bimestre. a) Calcule la tasa nominal capitalizable cada quincena que acumularía el mismo monto en un año b) Calcule la tasa de interés efectiva que acumularía el mismo monto en un año 5.3.30 Se invierte una determinada cantidad de dinero durante un año. En el primer semestre del año se gana una tasa de interés de 13% capitalizable cada mes y, en el segundo semestre, la tasa de interés es del 14.5% capitalizable cada bimestre. a) Calcule la tasa nominal capitalizable cada quincena que acumularía el mismo monto en un año b) Calcule la tasa de interés efectiva que acumularía el mismo monto en un año ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ � �) � � −1 ]� ���= [(1+ 0.065 6 ) 6 12 −1 ]12 ���= [(1+ 0.065 6 ) 6 12 −1 ]12 6.4825% 6.4825% ���=[(1+ 0.0725 3 ) 3 12 −1]12 ���=[(1+ 0.0725 3 ) 3 12 −1]12 7.1852% 7.1852% 13.6677% 13.6677% ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ � �) � −1 ��=(1+ 0.136677 24 ) 24 −1 ��=(1+ 0.136677 24 ) 24 −1 14.6013% 14.6013%
  • 47. DEFINICIÓN Es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento se han trasladados a una fecha común llamada fecha focal o fecha de valuación Es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuesto para reemplazar al conjunto original, una vez que sus valores de vencimiento se han trasladados a una fecha común llamada fecha focal o fecha de valuación
  • 48. Javier tiene una deuda que debe saldar de la siguiente forma: $12,200 en este momento y $16,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda hoy ¿Cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% capitalizable cada mes? Javier tiene una deuda que debe saldar de la siguiente forma: $12,200 en este momento y $16,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda hoy ¿Cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24% capitalizable cada mes? 0 1 2 Meses 12,2 00 16,4 00 � � = �� (1+�) � � � = �� (1+�) � � � = 16,400 (1+ 0.24 12 ) 2 � � = 16,400 (1+ 0.24 12 ) 2 15,763.17 15,763.17 12,200.00 12,200.00 27,963.17 27,963.17
  • 49. Una deuda de $30,000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10,000 a los 4 meses y otro por $15,000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si se acuerda un interés de 2.3% mensual capitalizable cada mes Una deuda de $30,000 con intereses incluidos, vence en un año. El deudor da un abono de $10,000 a los 4 meses y otro por $15,000 a los 9 meses. Encuentre la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento, si se acuerda un interés de 2.3% mensual capitalizable cada mes 0 6 1 2 1 2 3 4 5 7 8 9 10 1 1 30,0 00 Deuda Original 15,0 00 10,0 00 x Deuda Propuesta 1.- Determinar punto focal 1.- Determinar punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 3.- Determinar la ecuación 3.- Determinar la ecuación � �= 30,000 (1+0.023) 3 � �= 30,000 (1+0.023) 3 � �= � (1+0.023) 3 � �= � (1+0.023) 3 ��=10,000(1+.023)5 ��=10,000(1+.023)5 15,000 15,000 28,021.69=11,204.13+15,000+ � 1.070599 28,021.69=11,204.13+15,000+ � 1.070599 30,000 (1+0.023) 3 =10,000(1+.023)5 +15,000+ � (1+0.023) 3 30,000 (1+0.023) 3 =10,000(1+.023)5 +15,000+ � (1+0.023) 3 �=1,945.88 �=1,945.88
  • 50. Rigoberto debe pagar $27,810 dentro de 4 meses y $46,560 dentro de 8 meses. Le propone a su acreedor liquidar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 5 meses y el segundo al cabo de 11 meses. Obtenga el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 23% capitalizable cada quincena Rigoberto debe pagar $27,810 dentro de 4 meses y $46,560 dentro de 8 meses. Le propone a su acreedor liquidar mediante dos pagos iguales; el primero dentro de 5 meses y el segundo al cabo de 11 meses. Obtenga el valor de los pagos, si ambas partes acuerdan utilizar una tasa de interés de 23% capitalizable cada quincena 0 6 1 2 1 2 3 4 5 7 8 9 10 1 1 27,8 10 Deuda Original x x Deuda Propuesta 1.- Determinar punto focal 1.- Determinar punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 3.- Determinar la ecuación 3.- Determinar la ecuación � � 31,782.74+49,302.17=2.1212� 31,782.74+49,302.17=2.1212� 27,810(1+ 0.23 24 ) 14 +46,560(1+ 0.23 24 ) 6 =�(1+ 0.23 24 ) 12 +� 27,810(1+ 0.23 24 ) 14 +46,560(1+ 0.23 24 ) 6 =�(1+ 0.23 24 ) 12 +� �=38,224.89 �=38,224.89 46,5 60 ��=27,810(1+ 0.23 24 ) 14 ��=27,810(1+ 0.23 24 ) 14 ��=46,560(1+ 0.23 24 ) 6 ��=46,560(1+ 0.23 24 ) 6 ��=�(1+ 0.23 24 ) 12 ��=�(1+ 0.23 24 ) 12
  • 51. 5.4.14 ¿Qué cantidad de dinero es necesario depositar hoy en un fondo de inversión que paga 1.15% mensual capitalizable cada quincena, con el fin de retirar 20,000 dentro de 6 meses, 40,000 dentro de un año y tener un saldo en la cuenta igual a la tercera parte del capital inicial dentro de un año y medio 5.4.14 ¿Qué cantidad de dinero es necesario depositar hoy en un fondo de inversión que paga 1.15% mensual capitalizable cada quincena, con el fin de retirar 20,000 dentro de 6 meses, 40,000 dentro de un año y tener un saldo en la cuenta igual a la tercera parte del capital inicial dentro de un año y medio 20,0 00 Original x x/ 3 Propues ta 2.- Determinar punto focal 2.- Determinar punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 2.- Obtener valores presente o futuro según caso hacía el punto focal 3.- Determinar la ecuación 3.- Determinar la ecuación �=18,670.22+34,857.72+ � 3.6878 �=18,670.22+34,857.72+ � 3.6878 �= 20,000 (1+ 0.0115 2 ) 12 + 40,000 (1+ 0.0115 2 ) 24 + � 3 (1+ 0.0115 2 ) 36 �= 20,000 (1+ 0.0115 2 ) 12 + 40,000 (1+ 0.0115 2 ) 24 + � 3 (1+ 0.0115 2 ) 36 �=73,443.39 �=73,443.39 40,0 00 0 6 1 2 1 2 3 4 5 7 8 9 1 0 1 3 1 4 1 5 16 1 7 1 8 1 1 1.- Obtener línea del Tiempo 1.- Obtener línea del Tiempo � � = 20,000 (1+ 0.0115 2 ) 12 � � = 20,000 (1+ 0.0115 2 ) 12 � � = 40,000 (1+ 0.0115 2 ) 24 � � = 40,000 (1+ 0.0115 2 ) 24 � � = � 3 (1+ 0.0115 2 ) 36 � � = � 3 (1+ 0.0115 2 ) 36 � �
  • 53. MONTO COMPUESTO 1,000 A 30% Capitalizació n Periodos por Año Monto Compuesto Anual 1 1,300.00000 0 Semestral 2 1,322.50000 0 Trimestral 4 1,335.46914 0 Mensual 12 1,344.88882 4 Quincenal 24 1,347.35105 0 Semanal 52 1,348.69563 5 Diaria 365 1,349.69248 8 Por Hora 8760 1,349.85187 3 Capitalización Continua: Existe un punto mas allá del cual el monto compuesto no aumentará ya, sin importar la frecuencia con que se capitalice el interés. Capitalización Continua: Existe un punto mas allá del cual el monto compuesto no aumentará ya, sin importar la frecuencia con que se capitalice el interés. �=���� �=����
  • 54. Se invierten $100,000 a una tasa de interés de 20%, calcule el monto compuesto después de 3 años si el interés se capitaliza… a) Trimestralmente b) Mensualmente c) Semanalmente d) Continuamente Se invierten $100,000 a una tasa de interés de 20%, calcule el monto compuesto después de 3 años si el interés se capitaliza… a) Trimestralmente b) Mensualmente c) Semanalmente d) Continuamente �=100,000(1+ 0.20 4 ) 12 =179,585.63 �=100,000(1+ 0.20 4 ) 12 =179,585.63 �=100,000(1+ 0.20 12 ) 36 =181,313.04 �=100,000(1+ 0.20 12 ) 36 =181,313.04 �=100,000(1+ 0.20 52 ) 156 =182,002.29 �=100,000(1+ 0.20 52 ) 156 =182,002.29 �=100,000�0.20×3 =182,211.88 �=100,000�0.20×3 =182,211.88
  • 56. Características Periodo de Pago o Periodo de Renta Periodo de Pago o Periodo de Renta 0 1 2 3 4 5 X Valor presente Valor presente 5% $100 5% 5 % 5% 5% $100 $100 $100 Tasa de Interés o de Descuento Tasa de Interés o de Descuento Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Valor Futuro Valor Futuro X $100 $100 Plazo de la Anualidad Plazo de la Anualidad
  • 57. Tema 4.4 Valor Futuro de las Anualidades Vencidas
  • 58. Valor Futuro Anualidad Vencida Periodo de Pago o Periodo de Renta Periodo de Pago o Periodo de Renta 0 1 2 3 4 5 5% $100 5% 5 % 5% 5% $100 $100 $100 Tasa de Interés o de Descuento Tasa de Interés o de Descuento Valor Futuro Valor Futuro A $100 Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono ���� =�[(1+�)� −1 � ] ���� =�[(1+�)� −1 � ]
  • 59. • Valor Futuro Anualidad Vencida ���� =�[(1+�)� −1 � ] ���� =�[(1+�)� −1 � ] El padre de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar $3,000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa es del 8.4%. a) ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? b) ¿De cuanto serán los intereses? El padre de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Planea depositar $3,000 en una cuenta de ahorro al final de cada mes durante los próximos 8 años. Si la tasa es del 8.4%. a) ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años? b) ¿De cuanto serán los intereses? �� �� =3,000 [(1+ 0.084 12 ) 96 −1 0.084 12 ] �� �� =3,000 [(1+ 0.084 12 ) 96 −1 0.084 12 ] � ¿�� ¿�� =$ 408,673.23 � ¿�� ¿�� =$ 408,673.23 �¿120,673.23 �¿120,673.23 ¿Cuánto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana 8.55% capitalizable quincenalmente para tener $200,000 al final de 5 años? ¿Cuánto se genero de intereses? ¿Cuánto tiene que depositar cada quincena en una inversión que gana 8.55% capitalizable quincenalmente para tener $200,000 al final de 5 años? ¿Cuánto se genero de intereses? ���� =�[(1+�)� −1 � ] ���� =�[(1+�)� −1 � ] �= �� �� ×� (1+�) � −1 �= �� �� ×� (1+�) � −1 �= 200,000×0.003563 (1+0.003563) 120 −1 �= 200,000×0.003563 (1+0.003563) 120 −1 � ¿�� ¿�� =$1,338.64 � ¿�� ¿�� =$1,338.64 �¿39,363.20 �¿39,363.20
  • 60. • Valor Futuro Anualidad Vencida � ��=�[(1+�)� −1 � ] � ��=�[(1+�)� −1 � ] 6.2.2. Una familia desea empezar a ahorrar para un viaje a Hawái, el cual se tiene pensado realizarlo dentro de 2 años. Con este fin se depositan $3,500 cada fin de quincena en una cuenta que general intereses a una tasa de 1.31% mensual capitalizable cada quincena. Calcule el monto y los intereses ganados. 6.2.2. Una familia desea empezar a ahorrar para un viaje a Hawái, el cual se tiene pensado realizarlo dentro de 2 años. Con este fin se depositan $3,500 cada fin de quincena en una cuenta que general intereses a una tasa de 1.31% mensual capitalizable cada quincena. Calcule el monto y los intereses ganados. � �� =3500 [(1+ 0.0131 2 ) 48 −1 0.0131 2 ] � �� =3500 [(1+ 0.0131 2 ) 48 −1 0.0131 2 ] � ¿ � ¿�� =$ 196,659.49 � ¿ � ¿�� =$ 196,659.49 �¿120,673.23 �¿120,673.23 6.2.4. Se depositan 3 500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante ocho años y medio. Si no se realiza ningún retiro, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de interés es de 5.5% semestral capitalizable cada semestre. 6.2.4. Se depositan 3 500 dólares en una cuenta de ahorros al final de cada semestre, durante ocho años y medio. Si no se realiza ningún retiro, ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta? La tasa de interés es de 5.5% semestral capitalizable cada semestre. � ��=�[(1+�)� −1 � ] � ��=�[(1+�)� −1 � ] � ��=3500[(1+0.055)17 −1 0.055 ] � ��=3500[(1+0.055)17 −1 0.055 ] � ¿ � ¿�� =$ 94,487.40 � ¿ � ¿�� =$ 94,487.40
  • 61. • Valor Futuro Anualidad Vencida �= � �� � (1+�)� −1 �= � �� � (1+�)� −1 6.2.15. Si el dinero gana un interés de 1% mensual convertible cada mes, ¿cuento debe ahorrar cada mes una persona que desea tener $100 000 en 5 años? ¿Cuál es el interés total ganado? 6.2.15. Si el dinero gana un interés de 1% mensual convertible cada mes, ¿cuento debe ahorrar cada mes una persona que desea tener $100 000 en 5 años? ¿Cuál es el interés total ganado? 26,533.31 26,533.31 1,224.44 1,224.44 6.2.17. Una empresa debe saldar una deuda de valor de vencimiento por cinco millones de pesos, dentro de 5 años. Para pagar la deuda, se decide crear un fondo de ahorro con depósitos mensuales iguales a una tasa de interés de 7.92% capitalizable cada mes. ¿Qué cantidad se debe depositar cada mes en el fondo de ahorro? ¿Cuál es el interés total ganado. 6.2.17. Una empresa debe saldar una deuda de valor de vencimiento por cinco millones de pesos, dentro de 5 años. Para pagar la deuda, se decide crear un fondo de ahorro con depósitos mensuales iguales a una tasa de interés de 7.92% capitalizable cada mes. ¿Qué cantidad se debe depositar cada mes en el fondo de ahorro? ¿Cuál es el interés total ganado. �= 100,000×0.01 (1+0.01) 60 −1 �= 100,000×0.01 (1+0.01) 60 −1 �= � �� � (1+�)� −1 �= � �� � (1+�)� −1 � ¿ � ¿�� =908,561.23 � ¿ � ¿�� =908,561.23 68,190.64 68,190.64 �= 5,000,000 ×(0.0792 12 ) (1+ 0.0792 12 ) 60 −1 �= 5,000,000 ×(0.0792 12 ) (1+ 0.0792 12 ) 60 −1
  • 62. 6.2.31. Se desea acumular $170,000 mediante depósitos quincenales vencidos de $5,000 en una cuenta de inversión, la cual gana intereses de 10% anual capitalizable cada quincena. ¿Cuántos depósitos completos de $5,000 deberán hacerse y cual será el valor del pago complementario? 6.2.31. Se desea acumular $170,000 mediante depósitos quincenales vencidos de $5,000 en una cuenta de inversión, la cual gana intereses de 10% anual capitalizable cada quincena. ¿Cuántos depósitos completos de $5,000 deberán hacerse y cual será el valor del pago complementario? �= � �� � (1+�)� −1 �= � �� � (1+�)� −1 31.8636 31.8636 31��5,000 31��5,000 �= ���(�� � +1) ���(1+�) �= ���(�� � +1) ���(1+�) 1��4,910.66 1��4,910.66
  • 63. Tema 4.2 Valor Actual de las Anualidades vencidas
  • 64. Valor Presente Anualidad Vencida Periodo de Pago o Periodo de Renta Periodo de Pago o Periodo de Renta 0 1 2 3 4 5 5% $100 5% 5 % 5% 5% $100 $100 $100 Tasa de Interés o de Descuento Tasa de Interés o de Descuento Valor Presente Valor Presente A $100 Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono ����=�[1−(1+�)−� � ] ����=�[1−(1+�)−� � ]
  • 65. • Valor Presente Anualidad Vencida ���� =�[1−(1+�)−� � ] ���� =�[1−(1+�)−� � ] ¿Cuál es el valor presente de $10,000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral? ¿Cuál es el valor presente de $10,000 depositados en una cuenta al final de cada trimestre durante 4 años, si la tasa de interés es de 14% capitalizable en forma trimestral? � � �� =10,000 [1−(1+ 0.14 4 ) −16 0.14 4 ] � � �� =10,000 [1−(1+ 0.14 4 ) −16 0.14 4 ] � ¿�� ¿��=$120,941.17 � ¿�� ¿��=$120,941.17 La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $65,000. Ella escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido al 18% anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar? La señora Aguilar es la beneficiaria de un seguro de vida por $65,000. Ella escogió no recibir todo el dinero en una sola exhibición, sino recibir un ingreso mensual fijo durante los próximos 12 años. Si el dinero se encuentra invertido al 18% anual capitalizable cada mes, ¿Qué cantidad mensual recibirá la señora Aguilar? �= ���� × � 1−(1+�) − � �= ���� × � 1−(1+�) − � �= 650,000×0.015 (1+0.015) −144 �= 650,000×0.015 (1+0.015) −144 � ¿�� ¿��=$11,044.28 � ¿�� ¿��=$11,044.28 ���� =�[1−(1+�)−� � ] ���� =�[1−(1+�)−� � ]
  • 66. • Valor Presente Anualidad Vencida ���� =�[1−(1+�)−� � ] ���� =�[1−(1+�)−� � ] 6.2.6. Obtenga el valor presente de $7 200 semestrales durante 5 años y medio a una tasa de interés de 28% capitalizable en forma semestral. Interprete el resultado obtenido. 6.2.6. Obtenga el valor presente de $7 200 semestrales durante 5 años y medio a una tasa de interés de 28% capitalizable en forma semestral. Interprete el resultado obtenido. ���� =7,200 [1 −(1+ 0.28 2 ) −11 0.28 2 ] ���� =7,200 [1 −(1+ 0.28 2 ) −11 0.28 2 ] �=39,259.68 �=39,259.68 6.2.7. Ruth acordó hacer 20 pagos mensuales de $5 399 para saldar un préstamo personal. La tasa de interés que le cobran es de 28.75% capitalizable cada mes. Calcule e interprete el valor presente de la anualidad. 6.2.7. Ruth acordó hacer 20 pagos mensuales de $5 399 para saldar un préstamo personal. La tasa de interés que le cobran es de 28.75% capitalizable cada mes. Calcule e interprete el valor presente de la anualidad. �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] �=5,399 [1 −(1+ 0.2875 12 ) −20 0.2875 1 2 ] �=5,399 [1 −(1+ 0.2875 12 ) −20 0.2875 1 2 ] �=85,000 �=85,000
  • 67. • Valor Presente Anualidad Vencida �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] 6.2.13. Laura esta por jubilarse y recibirá $11 000 cada mes, durante 25 años, de su fondo de retiro. Si el valor promedio del dinero es de 13% capitalizable cada mes, ¿Cuánto hay en este momento en el fondo de retiro? 6.2.13. Laura esta por jubilarse y recibirá $11 000 cada mes, durante 25 años, de su fondo de retiro. Si el valor promedio del dinero es de 13% capitalizable cada mes, ¿Cuánto hay en este momento en el fondo de retiro? �=11,000 [1−(1+ 0.13 12 ) − 300 0.13 12 ] �=11,000 [1−(1+ 0.13 12 ) − 300 0.13 12 ] �=975,319.7089 �=975,319.7089 6.2.20. El señor Villa piensa comprar una camioneta solicitando un préstamo personal a 3 años y a una tasa de interés de 15% compuesto cada mes. El precio de contado de la camioneta es de $195 700. ¿De qué cantidad serían los pagos mensuales? ¿Cuánto interés se paga por el crédito? 6.2.20. El señor Villa piensa comprar una camioneta solicitando un préstamo personal a 3 años y a una tasa de interés de 15% compuesto cada mes. El precio de contado de la camioneta es de $195 700. ¿De qué cantidad serían los pagos mensuales? ¿Cuánto interés se paga por el crédito? �= � � 1−(1+�) − � �= � � 1−(1+�) − � �= 195,700 × 0.15 12 1−(1+ 0.15 12 ) −144 �= 195,700 × 0.15 12 1−(1+ 0.15 12 ) −144 �=6,784.0048 �=6,784.0048 �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] 48,524 48,524
  • 69. Valor Futuro Anualidad Anticipada Periodo de Pago o Periodo de Renta Periodo de Pago o Periodo de Renta 0 1 2 3 4 5 5% $100 5% 5 % 5% 5% $100 $100 $100 Tasa de Interés Tasa de Interés Valor Futuro Valor Futuro A $100 Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono ����=�[(1+�)� −1 � ](1+�) ����=�[(1+�)� −1 � ](1+�)
  • 70. Valor Actual Anualidad Anticipada Periodo de Pago o Periodo de Renta Periodo de Pago o Periodo de Renta 0 1 2 3 4 5 5% $100 5% 5 % 5% 5% $100 $100 $100 Tasa de Descuento Tasa de Descuento Valor Presente Valor Presente A $100 Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono Anualidad, Renta, Pago Periódico, Abono ����=�[1−(1+�)−� � ](1+�) ����=�[1−(1+�)−� � ](1+�)
  • 71. 6.20 Francisco deposita $5 000 al inicio de cada mes en una cuente de inversión. Si la tasa de interés es de 1% mensual capitalizable cada mes. a) Obtenga el monto al cabo de 3 años b) ¿Cuál es el interés ganado en los 3 años? c) Calcule el valor presente de la anualidad. 6.20 Francisco deposita $5 000 al inicio de cada mes en una cuente de inversión. Si la tasa de interés es de 1% mensual capitalizable cada mes. a) Obtenga el monto al cabo de 3 años b) ¿Cuál es el interés ganado en los 3 años? c) Calcule el valor presente de la anualidad. �� ��= �[(1+�)� − 1 � ](1+�) �� ��= �[(1+�)� − 1 � ](1+�) �=5,000[(1+0.01)36 −1 0.01 ](1+0.01) �=5,000[(1+0.01)36 −1 0.01 ](1+0.01) �¿�=217,538.24 �¿�=217,538.24 � =� − � � =� − � �=217,538.24−(5,000)(36) �=217,538.24−(5,000)(36) �¿ �=37,538.24 �¿ �=37,538.24 ����= �[1−(1+�)−� � ](1+�) ����= �[1−(1+�)−� � ](1+�) �=5,000[1−(1+0.01)−36 0.01 ](1+0.01) �=5,000[1−(1+0.01)−36 0.01 ](1+0.01) �¿�=152,042.90 �¿�=152,042.90 6.21 Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 12 años, al comienzo de cada mes, $150 000 en un fondo para la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 12 años, si ha estado produciendo 9.6% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales se hicieran al final de cada mes, ¿Cuál sería el monto? 6.21 Una compañía constructora debe invertir durante los próximos 12 años, al comienzo de cada mes, $150 000 en un fondo para la depreciación de su maquinaria. ¿Cuál será el monto de este fondo de depreciación al cabo de 12 años, si ha estado produciendo 9.6% capitalizable cada mes? Si los depósitos mensuales se hicieran al final de cada mes, ¿Cuál sería el monto? �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=150,000 [(1+(0.096 12 )) 144 −1 0.096 12 ](1+ 0.096 12 ) �=150,000 [(1+(0.096 12 )) 144 −1 0.096 12 ](1+ 0.096 12 ) 40,635,832.1 40,635,832.1
  • 72. 6.22 Un automóvil se puede comprar a crédito mediante 48 abonos mensuales anticipados de $4 800. Si la tasa de interés es de 16% capitalizable cada mes, ¿Cuál es el valor de contado del automóvil? 6.22 Un automóvil se puede comprar a crédito mediante 48 abonos mensuales anticipados de $4 800. Si la tasa de interés es de 16% capitalizable cada mes, ¿Cuál es el valor de contado del automóvil? 6.24 Dentro de 6 años la compañía fabricante de armas de fuego El Tiro Perfecto, S.A., necesitara $7,000,000 para remplazar maquinaria depreciada. ¿Cuál será el importe del depósito trimestral que tendrá que hacer la empresa a partir de este momento, en un fondo de depreciación que paga 11.3% convertible cada trimestre para acumular dicha cantidad de dinero? 6.24 Dentro de 6 años la compañía fabricante de armas de fuego El Tiro Perfecto, S.A., necesitara $7,000,000 para remplazar maquinaria depreciada. ¿Cuál será el importe del depósito trimestral que tendrá que hacer la empresa a partir de este momento, en un fondo de depreciación que paga 11.3% convertible cada trimestre para acumular dicha cantidad de dinero? ����=�[1−(1+�)−� � ](1+�) ����=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=4,800 [1 −(1+ 0.16 12 ) −48 0.16 12 ](1+ 0.16 12 ) �=4,800 [1 −(1+ 0.16 12 ) −48 0.16 12 ](1+ 0.16 12 ) �=171,628.50 �=171,628.50 �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �= �� [(1+�)� −1](1+�) �= �� [(1+�)� −1](1+�) �= (7,000,000)(0.113 4 ) [(1+ 0.113 4 ) 24 −1 ](1+ 0.113 4 ) �= (7,000,000)(0.113 4 ) [(1+ 0.113 4 ) 24 −1 ](1+ 0.113 4 ) �=202,119.21 �=202,119.21
  • 73. 6.25 El beneficiario de una herencia puede optar por recibir $1,000,000 de inmediato o recibir 40 pagos iguales cada 4 meses, el primero de ellos se hace de inmediato. ¿cuál será el valor del pago cuatrimestral si el dinero este invertido al 11.55% anual? 6.25 El beneficiario de una herencia puede optar por recibir $1,000,000 de inmediato o recibir 40 pagos iguales cada 4 meses, el primero de ellos se hace de inmediato. ¿cuál será el valor del pago cuatrimestral si el dinero este invertido al 11.55% anual? �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �= �� [1−(1+�)−� ](1+�) �= �� [1−(1+�)−� ](1+�) �=47,569.86 �=47,569.86 �= (1,000,000)(0.1155 3 ) [1−(1+ 0.1155 3 ) − 40 ](1+ 0.1155 3 ) �= (1,000,000)(0.1155 3 ) [1−(1+ 0.1155 3 ) − 40 ](1+ 0.1155 3 ) 6.27 ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $18 781.27 cada uno se deben hacer acumular un monto de $250 000? La tasa de interés es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre. 6.27 ¿Cuántos depósitos semestrales anticipados de $18 781.27 cada uno se deben hacer acumular un monto de $250 000? La tasa de interés es de 5.14% semestral capitalizable cada semestre. �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �= ��� [ �� �(1+�) +1 ] ���(1+�) �= ��� [ �� �(1+�) +1 ] ���(1+�) 0.0514 ¿ (250,000 ) ¿ ��� ( 1 +0.0514 ) ��� ¿ �=¿ 0.0514 ¿ (250,000 ) ¿ ��� ( 1 +0.0514 ) ��� ¿ �=¿ �=10 �=10
  • 74. 6.27 ¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $1 240.70 cada uno deben hacerse para amortizar una deuda de $16,000, si hay que pagar intereses de 27% capitalizable cada mes? 6.27 ¿Cuántos pagos mensuales anticipados de $1 240.70 cada uno deben hacerse para amortizar una deuda de $16,000, si hay que pagar intereses de 27% capitalizable cada mes? 6.28 Una tienda departamental ofrece un televisor de pantalla LED de 32” en $29 900, si se paga de contado. A crédito se puede comprar mediante abonos mensuales anticipados de $2 000 cada uno. Calcule el número de pagos mensuales que deberán hacerse, si la tasa de interés es de 30% capitalizable cada mes. 6.28 Una tienda departamental ofrece un televisor de pantalla LED de 32” en $29 900, si se paga de contado. A crédito se puede comprar mediante abonos mensuales anticipados de $2 000 cada uno. Calcule el número de pagos mensuales que deberán hacerse, si la tasa de interés es de 30% capitalizable cada mes. �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=− ��� [1− �� �(1+�)] ���(1+�) �=− ��� [1− �� �(1+�)] ���(1+�) �=− ��� [1 − (16,000)(0.27 12 ) (1,240.70)(1+ 0.27 12 )] ���(1+ 0.27 12 ) �=− ��� [1 − (16,000)(0.27 12 ) (1,240.70)(1+ 0.27 12 )] ���(1+ 0.27 12 ) �=15 �=15 �=− ��� [1− �� �(1+�)] ���(1+�) �=− ��� [1− �� �(1+�)] ���(1+�) �=− ��� [1− (29,900)(0.025) (2,000)(1+0.025) ] ��� (1+0.025) �=− ��� [1− (29,900)(0.025) (2,000)(1+0.025) ] ��� (1+0.025) �=18.36801581 �=18.36801581
  • 75. 6.3.3 ¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros? La tasa de interés es de 7.35% anual capitalizable cada dos meses. Calcule el total de intereses ganados. 6.3.3 ¿Cuál será el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan 750 dólares en una cuenta de ahorros? La tasa de interés es de 7.35% anual capitalizable cada dos meses. Calcule el total de intereses ganados. �=49,205.50 �=49,205.50 �=13,205.50 �=13,205.50 �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) � =750 [(1+ 0. 0735 6 ) 48 −1 0.0 735 6 ](1+ 0.0735 6 ) � =750 [(1+ 0. 0735 6 ) 48 −1 0.0 735 6 ](1+ 0.0735 6 ) �=(� )−[( �)(�)] �=(� )−[( �)(�)] �=(49,205.50)−[(750)(48)] �=(49,205.50)−[(750)(48)] 6.3.5 José Luis renta su departamento en $5,500 mensuales anticipados. En cuanto recibe el dinero, lo invierte a una tasa de interés de 15% capitalizable en forma mensual. Si el arrendatario pagó siempre la renta por mes vencido, ¿Qué pérdida le significo a José Luis en un año? 6.3.5 José Luis renta su departamento en $5,500 mensuales anticipados. En cuanto recibe el dinero, lo invierte a una tasa de interés de 15% capitalizable en forma mensual. Si el arrendatario pagó siempre la renta por mes vencido, ¿Qué pérdida le significo a José Luis en un año? �=71,616.14 �=71,616.14 �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) �=�[(1+�)� −1 � ](1+�) � =5,500 [(1+ 0.15 12 ) 12 − 1 0. 15 12 ](1+ 0.15 12 ) � =5,500 [(1+ 0.15 12 ) 12 − 1 0. 15 12 ](1+ 0.15 12 ) �=70,731.99 �=70,731.99 �=�[(1+�)� −1 � ] �=�[(1+�)� −1 � ] � =5,500 [(1+ 0.15 12 ) 12 − 1 0. 15 12 ] � =5,500 [(1+ 0.15 12 ) 12 − 1 0. 15 12 ] � =� �� − � �� � =� �� − � �� �=71,616.14−70,731.99 �=71,616.14−70,731.99 �=884.11 �=884.11
  • 76. 6.3.10 Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero par que su hijo estudie la especialidad en robótica, la cual dura 6 cuatrimestres, y el dinero depositado es una cuenta bancaria gana 3% cuatrimestral. ¿Qué cantidad de dinero debe depositarse en la cuenta si la colegiatura cuatrimestral es de $26 350 y debe pagarse por adelantado? 6.3.10 Un padre de familia ha destinado cierta cantidad de dinero par que su hijo estudie la especialidad en robótica, la cual dura 6 cuatrimestres, y el dinero depositado es una cuenta bancaria gana 3% cuatrimestral. ¿Qué cantidad de dinero debe depositarse en la cuenta si la colegiatura cuatrimestral es de $26 350 y debe pagarse por adelantado? 6.3.16 En una tienda de artículos deportivos vende una bolsa de dormir en $6 800. Se puede comprar a crédito en 8 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés es de 23% compuesto cada mes, calcule el valor del pago mensual y el interés total que se paga el financiamiento. 6.3.16 En una tienda de artículos deportivos vende una bolsa de dormir en $6 800. Se puede comprar a crédito en 8 mensualidades anticipadas. Si la tasa de interés es de 23% compuesto cada mes, calcule el valor del pago mensual y el interés total que se paga el financiamiento. �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=147,025.28 �=147,025.28 �=26,350[1−(0.03)−6 0.03 ](1+0.03) �=26,350[1−(0.03)−6 0.03 ](1+0.03) �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=�[1−(1+�)−� � ](1+�) �=907.54 �=907.54 6′ 800= � [1−(1+ 0.23 12 ) −8 0.23 12 ](1+ 0.23 12 ) 6′ 800= � [1−(1+ 0.23 12 ) −8 0.23 12 ](1+ 0.23 12 ) �=460.32 �=460.32 �=(�)−[( �)(�)] �=(�)−[( �)(�)] �=(6,800)−[(907.54)(8)] �=(6,800)−[(907.54)(8)]
  • 77. Vencidas Los depósitos o abonos se dan al final del período Valor Presente Valor Futuro Se buscan lo montos relacionados con un valor en el presente. Se buscan lo montos relacionados con un valor en el futuro. Vencidas Los depósitos o abonos se dan al final del período Valor Presente Valor Futuro Se buscan lo montos relacionados con un valor en el presente. Se buscan lo montos relacionados con un valor en el futuro. Anticipadas Los depósitos o abonos se dan al principio del período Valor Presente Valor Futuro Se buscan lo montos relacionados con un valor en el presente. Se buscan lo montos relacionados con un valor en el futuro. Anticipadas Los depósitos o abonos se dan al principio del período Valor Presente Valor Futuro Se buscan lo montos relacionados con un valor en el presente. Se buscan lo montos relacionados con un valor en el futuro.
  • 79. DEFINICIÓN Es aquella cuyos pagos comienzan después de un intervalo de tiempo determinado desde el momento en que la operación quedo formalizada El momento en que la operación queda formalizada recibe el nombre de Momento Inicial o de Convenio El momento que transcurre entre el momento inicial y el inicio de los pagos se llama Periodo de Gracia o Periodo de Diferimiento
  • 80. 0 2 3 4 6 9 7 1 5 8 $100 $100 $100 $100 $100 $100 Dentro de 4 meses se hará el primer pago de una anualidad vencida de $100 mensuales y cuyo plazo es de 6 meses Dentro de 4 meses se hará el primer pago de una anualidad vencida de $100 mensuales y cuyo plazo es de 6 meses Comienzo del plazo de la anualidad vencida Comienzo del plazo de la anualidad vencida 0 2 3 4 6 1 5 Periodo de gracia Periodo de gracia Plazo de la Anualidad Plazo de la Anualidad 0 2 3 4 6 9 7 1 5 8 $100 $100 $100 $100 $100 $100 Comienzo del plazo de la anualidad vencida Comienzo del plazo de la anualidad vencida 0 2 3 4 1 5 Periodo de gracia Periodo de gracia Plazo de la Anualidad Plazo de la Anualidad ANTICIPADA ANTICIPADA VENCIDA VENCIDA
  • 81. 6.32 Antonio compra una laptop mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de 4,100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la “lap”, si se está cobrando una tasa de interés de 33% capitalizable cada mes? ¿Cuánto se paga de intereses? 6.32 Antonio compra una laptop mediante el pago de 6 mensualidades sucesivas de 4,100 cada una, pagando la primera 3 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la “lap”, si se está cobrando una tasa de interés de 33% capitalizable cada mes? ¿Cuánto se paga de intereses? 0 2 3 4 6 9 7 1 5 8 4,10 0 4,10 0 4,10 0 4,10 0 4,10 0 4,10 0 �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] � (1+ 0.33 12 ) 2 =4,100 [1 −(1+ 0.33 12 ) −6 (0.33 12 ) ] � (1+ 0.33 12 ) 2 =4,100 [1 −(1+ 0.33 12 ) −6 (0.33 12 ) ] 1.05575625�=22,395.70379 1.05575625�=22,395.70379 21,213 21,213 �=( �)(�)−(�) �=( �)(�)−(�) 3,387 3,387 0 2 3 4 6 1 5 P
  • 82. 6.33 Durante este mes, Mueblería el Portal ofrece la promoción “Compre ahora y pague después”, que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en 8 mensualidades, empezando 4 meses después de la compra. ¿Cuál será la mensualidad que deberá pagar la señora Arrieta, si compro una lavadora en 5,520 y le cargan un interés de 3.54% mensual capitalizable cada mes? 6.33 Durante este mes, Mueblería el Portal ofrece la promoción “Compre ahora y pague después”, que consiste en pagar el precio de todas las mercancías en 8 mensualidades, empezando 4 meses después de la compra. ¿Cuál será la mensualidad que deberá pagar la señora Arrieta, si compro una lavadora en 5,520 y le cargan un interés de 3.54% mensual capitalizable cada mes? 0 2 3 4 6 11 7 1 5 8 A A A A A A �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] (5,520)(1+0.0354)3 = � [1−(1+0.0354)−8 (0.0354) ] (5,520)(1+0.0354)3 = � [1−(1+0.0354)−8 (0.0354) ] 892.86 892.86 0 2 3 4 8 1 5 5,520 A 6.34 Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses. 6.34 Resuelva el problema anterior si durante el periodo de gracia hay servicio de intereses. �=(�)(�)(�)+(�) �=(�)(�)(�)+(�) 586.22 586.22 �=(5,520)(0.0354)(3) �=(5,520)(0.0354)(3) �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] 5,520=� [1−(1+0.0354)−8 (0.0354) ] 5,520=� [1−(1+0.0354)−8 (0.0354) ] 804.37 804.37
  • 83. El precio de contado de una casa es de 400,000. Se puede comprar a crédito mediante un enganche del 10% del precio de contado y el resto mediante pagos mensuales vencidos de 7,000. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de interés es de 1.75% mensual capitalizable cada mes, calcule el número de pagos mensuales que deben hacerse. En caso necesario, ajuste la mensualidad a la parte entera del resultado obtenido. El precio de contado de una casa es de 400,000. Se puede comprar a crédito mediante un enganche del 10% del precio de contado y el resto mediante pagos mensuales vencidos de 7,000. Si se da un periodo de gracia de 3 meses y la tasa de interés es de 1.75% mensual capitalizable cada mes, calcule el número de pagos mensuales que deben hacerse. En caso necesario, ajuste la mensualidad a la parte entera del resultado obtenido. 7,00 0 7,00 0 7,00 0 7,00 0 7,00 0 �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] 360,000(1.0175)3 =7,000 [1−(1.0175)−� (0.0175) ] 360,000(1.0175)3 =7,000 [1−(1.0175)−� (0.0175) ] 170.5081 170.5081 0 2 3 4 1 n 360,00 0 0 2 3 4 6 7 1 5 8 n
  • 84. El señor González tiene actualmente 50 años de edad y una compañía de seguros le presenta un plan personal de jubilación. Este consiste en que, mediante un pago inmediato de 87,690, la empresa ofrece pagar, transcurridos 15 años, una renta de 10,000 al final de cada mes, durante 15 años determine la tasa de interés anual capitalizable cada mes que paga la empresa. El señor González tiene actualmente 50 años de edad y una compañía de seguros le presenta un plan personal de jubilación. Este consiste en que, mediante un pago inmediato de 87,690, la empresa ofrece pagar, transcurridos 15 años, una renta de 10,000 al final de cada mes, durante 15 años determine la tasa de interés anual capitalizable cada mes que paga la empresa. 10,0 00 10,0 00 10,0 00 10,0 00 10,0 00 �=�[1−(1+�)−� � ] �=�[1−(1+�)−� � ] 87,690(1+�)180 =10,000 [1−(1+�)−180 (�) ] 87,690(1+�)180 =10,000 [1−(1+�)−180 (�) ] 14.30% 14.30% 0 2 3 4 1 180 87,690 0 2 3 180 1 87,690 10,000 = [1−(1+�)−180 �(1+�)180 ] 87,690 10,000 = [1−(1+�)−180 �(1+�)180 ] 8.769= [1− (1+�)− 180 �(1+�)180 ] 8.769= [1− (1+�)− 180 �(1+�)180 ]
  • 85. El señor Estrada debe pagar una deuda de 75,000 de la siguiente forma cinco pagos mensuales consecutivos de 14,000, empezando dentro de 4 meses a partir de hoy, y un pago final en el mes 12. Si la tasa de interés es de 2.85% mensual capitalizable cada mes, encuentre el valor del pago final. El señor Estrada debe pagar una deuda de 75,000 de la siguiente forma cinco pagos mensuales consecutivos de 14,000, empezando dentro de 4 meses a partir de hoy, y un pago final en el mes 12. Si la tasa de interés es de 2.85% mensual capitalizable cada mes, encuentre el valor del pago final. 14,0 00 14,0 00 14,0 00 X 14,0 00 22,156.83 22,156.83 75,000 0 2 3 4 1 14,0 00 5 7 8 1 2 6