Manual de Matemáticas financieras.pdf

Ing. José Santos Calvillo Daniel. Enero 2017
ESCUELA SUPERIOR DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN INCORPORADA
A LA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE COAHUILA

I. ELVALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
1.1 Interés simple.
1.1.1 Interés simple y monto o valor futuro simple.
1.1.2 Valor presente a interés simple.
1.1.3 Tasa de interés.
1.1.4 Descuento simple.
1.1.5 Equivalencia entre tasas de descuento simple e interés simple.
1.1.6 Descuento de pagarés.
1.2 Interés compuesto.
1.2.1 Interés compuesto y monto o valor futuro compuesto.
1.2.2 Tasa de interés nominal y por periodo de conversión.
1.2.3 Valor presente a interés compuesto.
1.2.4 Depreciación.
1.2.5 Tasa de interés efectiva 𝑖𝐸 o tasa anual equivalente TAE.
1.2.6 Tasa de interés nominal iN o TIN, dada TAE o viceversa.
1.2.7 Tasa de interés equivalente 𝑖𝑒𝑞 capitalizable q veces.
1.2.8 Tasa de interés real 𝑖𝑅 o TIR.
1.2.9 Ecuación de valor.

1.2.10 Tiempo equivalente.
1.2.11 Deducción de la regla práctica para hallar tiempo equivalente.
1.3 Problemas propuestos.
II. SERIES UNIFORMES DE FLUJOS DE EFECTIVO.
2.1 Anualidades ordinarias o vencidas.
2.1.1 Valor presente de una anualidad vencida.
2.1.2 Valor futuro de una anualidad vencida.
2.1.3 Amortización de una anualidad vencida.
2.1.4 Fondo de amortización o capitalización de una anualidad vencida.
2.1.5 Interés en el valor de un bien adquirido.
2.1.6 Extinción de deudas consolidadas mediante la emisión de bonos.
2.2 Anualidades anticipadas.
2.2.1 Valor presente de una anualidad anticipada.
2.2.2 Valor futuro de una anualidad anticipada.
2.2.3 Amortización de una anualidad anticipada.
2.2.4 Fondo de amortización o capitalización de una anualidad anticipada.
2.3 Anualidades diferidas.
2.3.1 Valor presente de una anualidad diferida.

2.3.2 Valor futuro de una anualidad diferida.
2.3.3 Amortización de una anualidad diferida.
2.3.4 Fondo de amortización o capitalización de una anualidad diferida.
III. SERIESVARIABLES DE FLUJO DE EFECTIVO.
3.1 Gradientes aritméticos.
3.1.1 Valor presente de un gradiente aritmético vencido.
3.1.2 Valor futuro de un gradiente aritmético vencido.
3.1.3 Valor primera cuota de un gradiente aritmético dado valor presente.
3.1.4 Valor primera cuota de un gradiente aritmético dado valor futuro.
3.2 Gradientes geométricos.
3.2.1 Valor presente de un gradiente geométrico vencido.
3.2.2 Valor futuro de un gradiente geométrico vencido.
3.2.3 Valor primera cuota de un gradiente geométrico dado valor presente.
3.2.4 Valor primera cuota de un gradiente geométrico dado valor futuro.
BIBLIOGRAFÍA.

1.1 Interés simple.
1.1.1 Interés simple y monto o valor futuro simple.
El interés simple se expresa como el producto del capital C por la tasa de interés
simple i. Si el capital C se invierte por t periodos anuales, el interés total será
una progresión aritmética (P.A) I = Cit otra forma de expresarlo es I = Pit o como
diferencia entre valor futuro y presente: I = F – P.
El monto o valor futuro describe el proceso de crecimiento de la inversión a futuro
a un interés y periodos dados. Así, el valor de la inversión después de 1 año será
F = P + I; ahora bien, si este aplazamiento se repite por t veces, el valor futuro
será, tal y como se establece en una P.A, F = P (1 + it).
Ejemplos:
1. Se invierten $ 2000 a una tasa de interés simple anual del 12%. Calcule el
Interés y el monto simple después de 6 años.
I = $ 2,000(0.12)(6) = $ 1440; F = P + I = $ 2,000 + $1,440 = $ 3,440

2. Hallar el interés simple exacto y ordinario de $ 1,200 por 100 días al 6% anual.
Interés exacto I = $ 1,200(0.06)
100
365
= $ 19.73 * Exacto: año de 365 días.
Interés ordinario I = $ 1,200(0.06)
100
360
= $ 20.00 * Ordinario: año de 360 días.
3. Determinar, por sistema bancario, el interés sobre $ 3,575 al 4
3
4
% por 80 días.
I = $ 3,575(0.0475)
80
360
= $ 37.74 * Sistema bancario 360 días por año.
4. Considere el préstamo del banco a una persona por $ 5,000 al interés mensual
del 1%. Cada mes paga $200 más el interés vencido. ¿Cuánto pagará en total?
1º.mes, 200 + 5000(0.01) = 250; 2º mes, 200 + 4800(0.01) = 248; y así, la P.A.
250, 248, 246… con d = - 2 y número de pagos n =
5000
200
= 25, siendo el último
pago L = a + (n – 1) d = 250 + 24(- 2) = $ 202 y la suma de la P.A. 𝑆𝑛 =
𝑛
2
𝑎 + 𝑙 .
𝑺𝟐𝟓 =
25
2
(250 + 202) = $ 5,650 (Sumatoria de una Progresión Aritmética).

1.1.2 Valor presente a interés simple.
El valor presente actualiza flujos de dinero futuro. Esto es: P =
𝐅
(𝟏 + 𝒊𝐭)
.
La ecuación anterior puede generalizarse para actualizar diferentes montos que
están a diferentes escalas temporales: 𝐏𝐭 =
𝐅𝟏
( 𝟏+𝒊𝐭𝟏)
+
𝐅𝟐
( 𝟏+𝒊𝐭𝟐)
+
𝐅𝟑
( 𝟏+𝒊𝐭𝟑)
+…+
𝐅𝐧
( 𝟏+𝒊𝐭𝐧)
.
Ejemplos:
1. ¿Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo del 30% y un
documento a 3 meses con valor nominal de $ 3,600, si la tasa de interés es
igual a la TIIE (Tasa de interés interbancaria de equilibrio) más 9 puntos
porcentuales y, que el día de la compra fue del 4.8%?
i = 4.8 % + 9% = 13.8%
P =
𝐅
(𝟏 + 𝒊𝐭)
$ 3600
1+0.138(
3
12
)
= $ 3,479.94; P =
3479.94
0.70
= $ 4,971.35

I. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO.
2. ¿Cuánto deberá invertirse al 5.1% anual en febrero 15, para disponer de $ 7,000
en mayo 9, $ 15,500 en junio 20, y de $ 10,000 el 23 de diciembre?
𝑃𝑡 =? 𝑃𝑡 =
𝐹1
( 1+𝑖𝑡1)
+
𝐹2
( 1+𝑖𝑡2)
+
𝐹3
( 1+𝑖𝑡3)
+ … +
𝐹𝑛
( 1+𝑖𝑡𝑛)
𝑃3
𝑃2
𝑃1
7000 15500 10000
Feb. 15 Mayo 9 Junio 20 Dic. 23
83 días 42 días 186 días
𝐏𝒕 =
𝟕𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎.𝟎𝟓𝟏
𝟖𝟑
𝟑𝟔𝟎
+
𝟏𝟓𝟓𝟎𝟎
𝟏+𝟎.𝟎𝟓𝟏
𝟏𝟐𝟓
𝟑𝟔𝟎
+
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟏+𝟎.𝟎𝟓𝟏
𝟑𝟏𝟏
𝟑𝟔𝟎
= $ 31 726. 96

3. Un pagaré a 10 meses por $ 3,000, al 6%, es suscrito el día de hoy. Determinar
su valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento del 5%.
F = P (1 + it) = 3000 1 + 0.06
10
12
= $ 3150 (Valor de vencimiento).
P =
3150
1+0.06
6
12
= $ 3,073.17 (Valor 6 meses antes del vencimiento).
4. Si una suma de $ 5,000 genera otra de $ 6,000 en un año. ¿Cuál es el redito?
El rédito (r) es el rendimiento generado por un capital, en porcentaje.
r =
𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝐝𝐢𝐧𝐞𝐫𝐨
𝐃𝐢𝐧𝐞𝐫𝐨 𝐫𝐞𝐜𝐢𝐛𝐢𝐝𝐨
=
I
P
=
F−P
P
=
6000 − 5000
5000
= 0.2 = 20%
5. Si en el ejemplo anterior, el dinero se invierte por dos años, ¿Cuál es el redito?
r =
I
P
=
F−P
P
=
6000 − 5000
5000
= 0.2 = 20%
Nota: El rédito es el mismo porque aquí no se considera el factor temporal.

1.1.3 Tasa de interés.
La tasa de interés, a diferencia del rédito, considera tiempo 𝒊 =
𝐫
𝐭
=
𝐈
𝐏
𝐭
=
𝐈
𝐏𝐭
.
Ejemplos:
1. Si una suma de $ 5,000 genera otra de $ 6,000 en un año, ¿cuál es la tasa de
interés?
𝒊 =
1000
5000(1)
= 20%
2. Si la misma suma del ejemplo 1 se invierte a 2 años, ¿cuál es la tasa de interés?
𝒊 =
1000
5000(2)
= 10%
3. Si una suma de $ 4,000 genera otra de $ 6,000 dentro de un año, ¿Cuál será la
tasa de interés?
𝒊 =
2000
4000(2)
= 50%

1.1.4 Descuento simple.
Para el cálculo del descuento debe conocerse valor de vencimiento D = Fdt.
Para hallar el valor presente de la deuda P = F – D = F (1 – dt).
Ejemplos.
1. Calcular el descuento aplicado sobre una deuda de $ 15, 000 con vencimiento
en 9 meses, a una tasa de descuento del 6%.
D = Fdt = 15,000(0.06)
9
12
= $ 675.00
2. Hallar el descuento simple sobre una deuda de $ 3,500 por 60 días al 4% de
descuento simple. Hallar el valor presente de la deuda.
D = Fdt = 3,500(0.04)
60
360
= $ 23.33; P = F – D = 3500 – 23.33 = $ 3476.67
3. Hallar valor presente de una deuda de $ 6,000 a dos años, al 4% de descuento.
P = F (1 – dt) = $ 6,000 1 − 0.04(2) = $ 5, 520

1.1.5 Equivalencia entre tasas de descuento simple e interés simple.
Si F = P (1 + 𝒊t) y P = F (1 – dt), igualando valores presentes es
1
1+𝒊t
= 1 – dt; y,
despejando para cada caso i =
𝐝
(𝟏−𝐝𝐭)
y d =
𝐢
(𝟏+𝐢𝐭)
.
Ejemplos:
1. ¿Que tasa de interés es equivalente a una de descuento del 5% por 9 meses?
i =
𝐝
(𝟏−𝐝𝐭)
=
0.05
1−(0.05)
9
12
= 5.2%
2. ¿Cuál será la tasa de descuento equivalente a la de interés del 5% en 9 meses?
d =
𝐢
(𝟏+𝐢𝐭)
=
0.05
1+(0.05)
9
12
= 4.8%
Nota: A tasas iguales, la equivalencia en i es mayor que en d como se observa.

1.1.6 Descuento de pagarés.
Llamado descuento bancario, dados un valor nominal (Valor inscrito en la
obligación) y una tasa de interés simple, se obtiene su valor de vencimiento a la
tasa de interés dada y, luego, su valor presente a la tasa de descuento señalada.
Ejemplos:
1. Un banco carga 6% de interés simple por adelantado (6% descuento simple) en
préstamos a corto plazo. Si X firma un documento por $ 12,000 a 5 meses, ¿Qué
cantidad recibirá del banco?
P = F (1 – dt) = 12,000 1 − (0.06)
5
12
= $ 11,700.00
2. Determinar el valor del documento a 5 meses que X debe firmar con el objeto
de recibir los $ 12,000 del problema anterior.
F =
𝑃
(1−𝑑𝑡)
=
12000
1−(0.06)
5
12
= $ 12, 307.69

3. Un pagaré firmado por $ 30,000 a 6 meses, con intereses al 6% fechado el 20 de
marzo, fue descontado el 7 de julio al 5%. Hallar el importe de la operación.
$ 30,000 P = F(1 – dt) F = P(1 + it)
20/03 07/07 75 días antes 20/09
F = 30000 1 + 0.06(
6
12
) = $ 30,900 (Valor de vencimiento)
P = 30,900 1 − 0.05
75
360
= $ 30,578.12 (Valor 75 días antes del vencimiento).
4. Una persona firma un documento por $ 15,000 a 11 meses con el 6% de interés
simple; si desea pagarlo 6 meses después de haberlo firmado, a una tasa de
descuento del 5%, ¿cuál será su valor?
F = 15,000 1 + 0.06
11
12
= $15,825 (Valor de vencimiento).
P = 15,825 1 − 0.05
5
12
= $ 15,495.31 (Valor 5 meses antes del vencimiento).

1.2 Interés compuesto.
1.2.1 Interés compuesto y monto o valor futuro compuesto.
El valor futuro compuesto es 𝐅 = 𝐏 𝟏 + 𝐢 𝐧
donde 𝒊 =
𝐣
𝐦
es la tasa por periodo.
De forma general, para flujos anuales de inversión, el valor futuro compuesto es:
𝐅𝐭= 𝐏𝟏(𝟏 + 𝒊)𝐧𝟏+ 𝐏𝟐(𝟏 + 𝒊)𝐧𝟐 + ,…, + 𝐏𝐧 (𝟏 + 𝒊)𝐧𝐭
= 𝐧=𝟏
𝐧=𝐭
(𝟏 + 𝒊)𝐧𝐭
.
El interés compuesto es: I = F – P = P(1 + 𝑖)n − P = 𝐏 𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 .
Ejemplos:
1. Si se invierte un capital de $ 3,000, al 6% convertible mensualmente, ¿cuánto
habrá en el fondo después de 6 años? ¿Cuál será el interés compuesto?
𝒊 =
𝐣
𝐦
=
𝟔%
12
= 0.5% mensual; t = 6 años; número de periodos totales n = 72
𝐅 = 𝐏(𝟏 + 𝒊)𝐧 = 3000 (1.005)72= $ 4,296.13
I = F – P = $ 1,296.13

2. Un padre deposita 600,000 pesos hoy, 300,000 dos años más tarde y 400,000
dentro de cinco años. La tasa de interés es del 8% anual y fallece dentro de diez
años, ¿cuánto dejará de herencia?
600,000 300,000 400,000 Ft=?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝐅𝐭= 𝐏𝟏(𝟏 + 𝒊)𝐧𝟏+ 𝐏𝟐(𝟏 + 𝒊)𝐧𝟐 + ,…, + 𝐏𝐧 (𝟏 + 𝒊)𝐧𝐭 = 𝐧=𝟏
𝐧=𝐭
(𝟏 + 𝒊)𝐧𝐭
𝐅𝐭 = 600 000(1.08)10 + 300,000(1.08)8 + 400,000(1.08)5 = $ 2, 438, 365. 29

3. Cada mes Julia deposita $ 1,000 en un plan de ahorros que gana intereses al
0.5% mensual (después del segundo depósito). Calcule el valor de su ahorro:
a. Inmediatamente después de efectuar el vigésimo quinto depósito.
b. Después de realizar su enésimo depósito.
Se trata de una sucesión o progresión geométrica P.G de la siguiente forma:
sn = a + ar1 + ar2 +…+ arn-1 con r = (1 + i); es decir: a = 1,000, i = 0.005, n = 25
sn= 1, 000 + 1, 000(1.005)1 + 1, 000(1.005)2 +… + 1, 000(1.005)24 = Sn =
a( rn−1)
r−1
a. 𝐒𝟐𝟓 =
1000 (1.005)25−1)
0.005
= 200,000 (1.005)25−1 = $ 26, 559. 12
b. 𝐒𝒏 =
1000 (1.005)n−1)
0.005
= 200,000 (𝟏. 𝟎𝟎𝟓)𝐧−𝟏

1.2.2 Tasa de interés nominal 𝐢𝐍 y por periodo de conversión.
La tasa 𝐢𝐍 es anual, aunque los intereses se capitalicen de forma semestral,
trimestral, mensual etc. El número de veces en el año en que éstos se convierten
en capital es 𝒊 =
𝒋
𝒎
=
𝒊𝑵
𝒏
, donde 𝒋 = 𝒊𝑵 y m = n es la frecuencia de conversión.
1.2.3 Valor presente a interés compuesto.
El valor actual o presente P de una cantidad, es aquel dado en una fecha anterior
a su vencimiento F, se formula como 𝐏 =
𝐅
(𝟏+𝐢)𝐧 = F 𝟏 + 𝐢 −𝐧.
De manera más general, para actualizar flujos de efectivo de un capital futuro F:
𝐏𝐧 =
𝐅𝟏
(𝟏+𝐢)𝟏 +
𝐅𝟐
(𝟏+𝐢)𝟐 +,…,+
𝐅𝐧
(𝟏+𝐢)𝐧 = 𝐅𝟏(𝟏 + 𝐢)−𝟏
+ 𝐅𝟐(𝟏 + 𝐢)−𝟐
+ ⋯ + 𝐅𝐧(𝟏 + 𝐢)−𝐧
.
Ejemplos:
1. ¿Cuánto dinero estarás dispuesto a gastar hoy para evitar un gasto de 600 mil
pesos dentro de 8 años, si la tasa de interés es del 24% anual?
𝐏 =
𝐅
(𝟏+𝐢)𝐧 = 𝐅(𝟏 + 𝐢)−𝐧 = 600, 000(1.24)−8 = $ 107, 344.00

2. Cuanto representan, a valor actual, los siguientes flujos de dinero que se van a
obtener, durante los 5 años siguientes, si son estimados a una tasa efectiva del
10% convertible anualmente.
30,000 en 1 año.
40,000 en 2 años.
50,000 en 3 años. 𝑷𝒏 =
30,000
(1.10)1 +
40,000
(1.10)2 +
50,000
(1.10)3 +
60,000
(1.10)4 +
100,000
(1.10)5 = $ 𝟐𝟎𝟎, 𝟗𝟔𝟗. 𝟐𝟔
60,0000 en 4 años.
100,000 en 5 años.
3. Suponiendo una tasa de rendimiento efectivo del 5%, hallar el valor presente de
una deuda de $30,000 contratada al 8% convertible trimestralmente, pagaderos
en 6 años.
𝐅 = 𝐏(𝟏 + 𝐢)𝐧 = 30,000(1.02)24 = $ 48,253.12
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝐢)−𝐧 = 48,253.12(1.05)−6 = $ 36,007.22

1.2.4 Depreciación. Es la pérdida de valor de un bien o activo físico por el paso
del tiempo y puede ser simple o compuesta.
La depreciación simple es una depreciación tipo aritmético y, el método usado
para calcularla es el de la línea recta, que supone que la depreciación anual es
la misma para toda la vida útil del activo, con un fondo de reserva al final. Si C
es costo inicial, S valor de salvamento y n los años de vida útil, el cálculo del
descuento simple es D =
𝐶−𝑆
𝑛
; para el cálculo que incluya valor de salvamento P
y 𝐏𝟎 como costo original, el descuento por depreciación es P = 𝐏𝟎(1 – dt).
Ejemplos:
1. Se compra un equipo de cómputo por $ 16,000 y se calcula su vida útil de 4
años antes de ser reemplazado por uno más moderno. Si su valor de desecho es
de $ 2,500, ¿cuál será su depreciación anual?
𝐃 =
𝐂−𝐒
𝐧
=
𝟏𝟔,𝟎𝟎𝟎 −𝟐,𝟓𝟎𝟎
𝟒
= $ 3,375 por año.

2. Una empresa instala una máquina con un costo de $ 1,700. El valor de la
máquina se deprecia anualmente en $ 150 y su valor de desecho es de $ 200.
¿Cuál es su vida útil?
Se tiene una P.A: 1,550, 1,550 + 1(−150) , 1,550 + 2(−150) ,…, donde:
l = 𝑃 + 𝑛 − 1 𝑑; sustituyendo: 200 = 1550 + (n – 1)( – 150); n = 10 años vida útil.
O bien: P = 𝑃0(1 – dt); sustituyendo: 200 = 1700 1 −
150
1700
𝑡 ; t = 10 años vida útil.
3. Una máquina cuyo costo es $ 5,000 tiene una vida útil de 5 años, con un valor de
salvamento de $ 500. Encontrar la depreciación.
𝐃 =
𝐂−𝐒
𝐧
= =
5000− 500
5
= $ 900 Depreciación promedio anual.

La depreciación compuesta es una depreciación geométrica donde se van
descontando porcentajes fijos anualmente, por lo cual, al término de su vida útil su
valor en libros será P = P0 (𝟏 − 𝐝)𝐧.
Ejemplos:
1. Una máquina se deprecia anualmente a una tasa del 20% de su valor. El costo
original fue $ 10, 000 y su valor de desecho $ 3,000. Encuentre la vida útil de la
máquina, hasta que el valor depreciado sea menor que el valor de desecho.
Elaborar la tabla de depreciación.
Dado que el valor de la máquina se deprecia cada año en 20% de su valor al
inicio del año: Al iniciar se tiene una P.G: 10000 (0.80)0; al final del 1er año:
10000(0.80)1; al final del 2º año:10000(0.80)2; del 3ºaño:10000(0.80)3; del 4º año:
10000(0.80)4; del 5º: 10000(0.80)5; y, al final del 6º: 10, 000(0.80)6 = $ 2,621.44
O bien, 3000 = 10, 000 (0.80)n
; y, usando logaritmos: n = 5. 39551 años.

Tabla de depreciación compuesta.
Tiempo
(años) “n”
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor en libros al final
del año “r”
0 0 0 $ 10,000.00
1 $ 2,000.00 $ 2,000.00 $ 8,000.00
2 $1,600.00 $ 3,600.00 $ 6,400.00
3 $1,280.00 $ 2,710.00 $ 5,120.00
4 $1,024.00 $ 3,734.00 $ 4,096.00
5 $ 819.20 $ 4,553.20 $ 3,276.80
5.39551 $ 276.80 $ 4,830.00 $ 3,000.00
6 $ 655.36 $ 5,208.56 2,621.44

2. Una máquina se deprecia anualmente al 10% de su valor. Si su costo fue $10,000
y el valor de desecho $ 5,314.41, calcular la vida efectiva de la máquina.
P = P0 (𝟏 − 𝐝)𝐧 = 10, 000 (0.90)n= $ 5,314.41
(0.90)n=
$5314.41
$10,000
= 0.531441; usando logaritmos: n =
Log 0.531441
Log (0.90)
= 6 años.
3. Una camioneta se deprecia anualmente al 20% de su valor. Si su costo fue
$200,000 y el valor de salvamento $ 20,000, calcular su vida útil.
P = P0 (𝟏 − 𝐝)𝐧
= 200, 000 (0.80)n
= $ 20,000
(0.80)n=
$20,000
$200,000
= 0.1; usando logaritmos: n =
Log 0.1
Log (0.80)
= 10.3 años.

1.2.5 Tasa de interés efectiva 𝒊𝑬 o tasa anual equivalente TAE.
Indica realmente el interés devengado: 𝐢𝐄 = TAE = (𝟏 +
𝐢𝐍
𝐧
)𝐧
−𝟏 = (𝟏 + 𝒊)𝐧
−𝟏.
Ejemplos:
1. Cuál es la tasa efectiva de interés anual equivalente para un 15% de interés
compuesto mensualmente?
𝐢𝐄 = TAE = (𝟏 +
𝟎.𝟏𝟓
𝟏𝟐
)𝟏𝟐
−𝟏 = (𝟏. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟐
−𝟏 = 0. 16075 = 16.08% anualizado.
2. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés anual equivalente para ese mismo 15% de
interés, pero compuesto trimestralmente?
𝐢𝐄 = TAE = (𝟏 +
𝟎.𝟏𝟓
𝟒
)𝟒
−𝟏 = (𝟏. 𝟎𝟑𝟕𝟓)𝟒
−𝟏= 0.15865 = 15.86% anualizado.
3. Cuál es la tasa efectiva de interés anual equivalente al 15% de interés, pero
compuesto semestralmente.
𝐢𝐄 = TAE = (𝟏 +
𝟎.𝟏𝟓
𝟐
)𝟐−𝟏 = (𝟏. 𝟎𝟕𝟓)𝟐−𝟏= 0.155625 = 15.56% anualizado.

1.2.6 Tasa de interés nominal 𝐢𝐍 𝐨 𝐓𝐈𝐍, dada TAE o viceversa.
Es la tasa expresada anualmente que genera intereses varias veces al año.
𝐢𝐍 = 𝐓𝐈𝐍 = 𝐧 (𝐓𝐀𝐄 + 𝟏)
𝟏
𝐧 – 𝟏 . Ejemplos:
1. Determinar TIN convertible semestralmente que produce un 30% anual.
𝐓𝐈𝐍 = 𝟐 (𝟏. 𝟑𝟎)
𝟏
𝟐 – 𝟏 = 0.28035 = 28.04%
2. Se compra un bono con descuento del 3%, anual, ¿cuál será la equivalencia
entre tasas TIN y TAE de interés compuesto capitalizable mensualmente?
𝒊 =
𝐝
𝟏 –𝐝
=
0.03
1 −0.03
=
0.03
0.97
= 0.030927835 = 3.09%; es decir, 𝐢𝐍 = 3.09% anual.
𝐢𝐄 = 𝐓𝐀𝐄 = (1 +
0.0309
12
)12
−1 = 0.031341399 ≅ 3.13% anualizado.
𝐢𝐍 = 𝐓𝐈𝐍 = 𝐧 (𝐓𝐀𝐄 + 𝟏)
𝟏
𝐧 – 𝟏 = 12 (1.031341399)
1
12 – 1 ≅ 3.09% anual.

3. Si en el ejemplo anterior, del bono con descuento del 3% anual, se pidiera la
equivalencia entre las tasas TAE y TIN de forma semestral, ¿cuál sería ésta?
𝒊 =
𝐝
𝟏 –𝐝
=
0.03
1 −0.03
=
0.03
0.97
= 0.030927835 = 3.09%; es decir, 𝐢𝐍 = 3.09% anual.
𝐢𝐄 = 𝐓𝐀𝐄 = (𝟏 +
𝟎.𝟎𝟑𝟎𝟗
𝟐
)𝟐
−𝟏 = (1.01545)2
−1 = 0.031138702 ≅ 3.11% anualizado.
𝐢𝐍 = 𝐓𝐈𝐍 = 𝒏 (𝐓𝐀𝐄 + 𝟏)
𝟏
𝐧 – 𝟏 = 2 (𝟏. 𝟎𝟑𝟏𝟏𝟑𝟖𝟕𝟎𝟐)
𝟏
𝟐 – 𝟏 = 0.309 = 3.09% anual.
Nota: Como se observa en los dos últimos ejemplos, la TIN es la tasa de interés
nominal obtenida de la tasa de descuento del 3%, tal y como en la fórmula
se indica 𝐢𝐍 = 𝐓𝐈𝐍.

1.2.7 Tasa de interés equivalente 𝐢𝐞𝐪 capitalizable q veces.
Sea iN la TIN capitalizable n veces en un año, e 𝑖𝑒𝑞 la tasa de interés equivalente
capitalizable q veces en un año. Si se invierte un capital P a tasa iN, el monto al
cabo de t años es: F1 = P 1 +
iN
n
n
. La misma cantidad invertida al 𝑖𝑒𝑞 dará:
F2 = P 1 +
𝑖𝑒𝑞
q
q
; igualando y elevando a la potencia
1
𝑞
: 1 +
iN
n
n
q
= 1 +
ieq
q
;
despejando: 𝒊𝒆𝒒 = 𝒒 𝟏 + 𝒊
𝒏
𝒒 − 𝟏 = Tasa de interés equivalente, donde 𝒊 =
iN
n
Ejemplos:
1. ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto
que la tasa de 18% capitalizable cada mes?
18% capitalizable cada mes 𝒊 =
iN
n
=
18%
12
= 1.5% mensual; n = 12 y q = 2
𝐢𝐞𝐪 = 𝑞 1 + 𝑖
𝑛
𝑞 − 1 = 2 1.015
12
2 − 1 = 18.69% anual capitalizable 2 veces.

2. ¿Qué tasa de interés capitalizable trimestralmente produce el mismo monto que
la tasa de 24.4% capitalizable cada mes?
24.4% capitalizable cada mes 𝒊 =
iN
n
=
24.4%
12
= 2.0333% mensual; n = 12 y q = 4
𝐢𝐞𝐪 = 4 1.020333
12
4 − 1 = 24.89% anual capitalizable 4 veces.
3. ¿Qué tasa de interés capitalizable bimestralmente produce el mismo monto que
la tasa de 20% compuesta mensualmente?
20% capitalizable cada mes 𝒊 =
iN
n
=
20%
12
= 1.66667% mensual; n = 12 y q = 6
𝒊𝐞𝐪 = 6 (1.0166667)
12
6 −1 = 20.17% anual capitalizable 6 veces.

1.2.8 Tasa de interés real 𝒊𝐑 o TIR.
Tasa que el mercado financiero podría pagar a cualquier inversionista en
ausencia de inflación. Fisher establece relación entre tasas nominales, efectivas,
de inflación y reales, como: (1 +
𝑖𝑁
𝑛
)𝑛 = 𝑖𝐸 + 1 = (𝑖𝑓 + 1)(𝑖𝑅 + 1); donde:
𝑖𝑅 =
1+ 𝑖𝐸
1+ 𝑖𝑓
− 1, que al simplificar: 𝒊𝐑 =
𝒊𝐄 – 𝒊𝐟
𝟏+ 𝐢𝒊
.
Ejemplos:
1. El banco “Confianza” ofrece una tasa una TIR del 5% sobre un capital invertido
en un año, con una inflación esperada del 2%, mientras que el banco “Crece +”
oferta una TIN del 6% sobre el mismo capital invertido a un año. ¿Cuál de las
dos tasas es más conveniente para nuestra inversión?
Si 𝒊𝐑 =
𝒊𝐄 – 𝒊𝐟
𝒊𝐟 + 𝟏
; 𝐢𝐄 = 𝐢𝐑 𝐢𝐟 + 𝟏 + 𝐢𝐟 = 0.05 (1.02) + 0.02 = 0.071 = 7.1%
𝐢𝐄 nominal efectivo 7.1% mayor que 𝐢𝐄 nominal efectivo 6%; por lo tanto:
5% de interés real es mayor al 6% de interés nominal descontando inflación.

2. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que genera un interés del 31%
anual, si durante el año la inflación fue del 15%?
𝐢𝐑 =
𝒊𝐄 − 𝒊𝐟
𝒊𝐟+𝟏
=
𝟎.𝟑𝟏 − 𝟎.𝟏𝟓
𝟏.𝟏𝟓
= 0.1391 = 13.91% anual.
3. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que genera un interés del 24%
anual, si durante el año la inflación fue del 12%?
𝐢𝐑 =
𝒊𝐄 − 𝒊𝐟
𝒊𝐟+𝟏
=
𝟎.𝟐𝟒 − 𝟎.𝟏𝟐
𝟏.𝟏𝟐
= 0.1071 = 10.71% anual.
1.2.9 Ecuación de valor.
Equivalencia financiera planteada algebraicamente en una fecha focal, entre
dos conjuntos de obligaciones cuyos vencimientos se hacen coincidir de tal
manera que su suma algebraica sea cero.

Ejemplos:
1. M debe a N $ 10,000 y $ 30,000 pagaderos en 2 y 5 años respectivamente.
Acuerdan que M liquide sus deudas con un solo pago al final de 3 años al 6%
convertible semestralmente. ¿De cuánto ha de ser dicho pago?
10,000 Fecha 30,000
Focal
0 1 2 3 4 5 7 8 9 10
X
10,000(1.03)2
+ 30,000 (1.03)−4
= X = Ecuación de valor
X = $ 37,263.61

2. Una persona se compromete a pagar $1, 000,000 dentro de 6 meses, $1,
500,000 en 12 meses y $2, 000,000 dentro de 18 meses. La persona aduce
dificultades para pagar y solicita pagar: $1, 200,000 hoy, $1, 200,000 dentro de
10 meses y el resto dentro de 20 meses. Cuánto deberá pagar en el mes 20?
Suponga que la tasa mensual es 1,5% y la fecha focal es el instante cero.
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝒊)− 𝐧
1, 000,000 (1.015)−6
+ 1, 500,000 (1.015)−12
+ 2, 000,000 (1.015)−18
= 1,200,000 + 1, 200,000 (1.015)−10 + X (1.015)−20 Ecuación de valor.
X = $ 1, 973, 069. 61
1, 500,000
0 6
1, 200,000
12 18
1, 200,000
1, 000,000
2, 000,000
X
10 20

3. Se adquirió una maquinaria hace 2 años y aún quedan 2 cuotas por pagar:
$15,000 dentro de 2 meses y $ 25,000 en 4 meses. Calcular el pago único que
se hará en 3 meses para cancelar ambas deudas, si la tasa de interés es del
24.6% convertible mensualmente.
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝒊)− 𝐧
15,000 25,000
Fecha focal
0 1 2 4
X
24.6% convertible mensualmente = 2.05% mensual.
15,000(1.0205)1
+ 25,000 (1.0205)−1
= X Ecuación de valor.
X = $ 39,805.30

1.2.10 Tiempo equivalente.
Tiempo por transcurrir entre un pago y una fecha promedio de vencimiento.
Ejemplos:
1. En un año se desea sustituir 5 pagos de montos y vencimientos en el diagrama,
por un pago único equivalente. La tasa de sustitución es 46% anual simple.
Calcular fecha media equivalente usando el 13 de abril como fecha focal
F = P (1 + it) (59 días) 3,000 4,000 𝐏 =
𝐅
𝟏+𝐢𝐭
5,000
1,000 2,000 Fecha focal (30 días) (45 días)
t = ?
02/13 03/13 04/13 05/13 06/27
(31 días) 15,000
1000 1 + 0.46
59
365
+2000 1 + 0.46
31
365
+3000+
4000
1+0.46
30
365
+
5000
1+0.46
75
365
=
15000
1+0.46
𝑡
365
Reduciendo y despejando: t =
15,000−14,574.99
18.3684806
≅ 𝟐𝟑 𝐝í𝐚𝐬 después del 04/13 (05/06)

2. Cuál es el tiempo equivalente para el pago de $1000 con vencimiento en un año,
y $ 3,000 en dos años, suponiendo un rendimiento de 4% convertible
trimestralmente?
i =
j
m
=
4%
4
= 1 % trimestral = 0.01; m = 8 periodos de interés.
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝒊)− 𝐧 3,000
1,000
Fecha focal n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4,000
4000 (1.01)−𝑛 = 1000 (1.01)− 4 + 3000 (1.01)− 8
(1.01)−n = 0.9328575, usando logaritmos:
- n ln(1.01) = ln (0.9328575) ; despejando, n = 6.984976072 ≅ 7 periodos.

3. ¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de $ 2,000 con vencimiento en un
año, y $ 4,000 con vencimiento en dos años suponiendo un rendimiento de 6%
convertible semestralmente?
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝒊)− 𝐧
Fecha focal $ 2,000 $ 4,000
0 1 n 2 3 4 periodos de interés.
6000 (1.015)−𝑛 = 2000(1.015)− 2+ 4000 (1.015)− 4
6000(1.015)−𝑛= $ 5,710.06
(𝟏. 𝟎𝟏𝟓)−𝐧
=
5,710.06
6,000.00
= 0.95167666; usando logaritmos:
n = 3.33 ≅ 3
𝟏
𝟑
periodos = 1 año 8 meses.

1.2.11 Deducción de la regla práctica para hallar tiempo equivalente.
𝐏 = 𝐅(𝟏 + 𝐢)− 𝐧
Fecha focal $ A $ B $ C
a b c
(A + B + C)
(A + B + C) (𝟏 + 𝒊)−𝒏= A (𝟏 + 𝒊)−𝒂+ B (𝟏 + 𝒊)−𝒃+ C (𝟏 + 𝒊)−𝒄 Ecuación general.
Despejando: 𝒏 =
𝑨𝒂+𝑩𝒃+𝑪𝒄
𝑨+𝑩+𝑪
= Tiempo equivalente.
Donde A, B y C son deudas y a, b y c periodos respectivos.
Nota: n solo depende de las deudas y periodos respectivos, no del interés.

Ejemplos:
1. Resolver ejemplo 3 anterior, del tiempo equivalente, aplicando la regla práctica.
En este caso A = 2,000, a = 2; B = 4,000, b = 4; A + B = 6,000
𝑛 =
𝐴𝑎+𝐵𝑏
𝐴+𝐵
=
2000(2)+4000(4)
6000
= 3.33333 periodos = 20 meses exactos.
2. Una persona debe pagar $1, 000 en tres meses, $1,500 en diez meses y $2,000
en un año. La persona desea hacer un solo pago de $4,500 para cancelar las tres
deudas. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada mensualmente,
hallar la fecha en que debe efectuarse el pago aplicando la regla práctica.
Con fecha focal el inicio, A = 1,000, a = 3; B = 1,500, b = 10; C = 2,000, c = 12
𝑛 =
𝐴𝑎+𝐵𝑏+𝐶𝑐
𝐴+𝐵+𝐶
=
1000 3 +1500 10 +2000(12)
4500
= 9.333333 periodos = 9 meses, diez días.
Nota. Se obtiene un resultado más exacto que con la ecuación de valor; y, para
su aplicación, la tasa de interés es despreciable.

1.3 Problemas propuestos:
1. Considere el préstamo del banco a una persona por la cantidad de $ 30,000 a
un interés mensual del 2%. Cada mes paga $ 2,400 al capital más el interés
mensual del balance pendiente. ¿Cuánto deberá pagar en total?
2. Cada mes una persona deposita $2000.00 en una cuenta que gana intereses al
1.5% mensual (después del segundo depósito). Calcule el valor de su ahorro:
a. Inmediatamente después de efectuar el vigésimo depósito.
b. Después de realizar su enésimo depósito.
3. Hallar la tasa de descuento equivalente a una tasa de interés del 18% en 1 año.
4. Hallar el valor presente de una deuda de $6,000 a dos años, a una tasa de
descuento simple del 4%.
5. Un pagaré a 6 meses por $5000, al 7%, es suscrito el día de hoy. Determinar su
valor dentro de 4 meses, suponiendo un rendimiento del 6%.
6. Se invierte un capital de $5,000 a un plazo de 3 años y tasa de interés del 9%
compuesto trimestralmente. Hallar el interés compuesto.

7. ¿Cuánto dinero debe depositar una persona, al 6.5% de interés anual con el
objeto de acumular 300 mil pesos dentro de 5 años?
8. Un automóvil se deprecia anualmente al 20% de su valor. Si el costo fue
$200,000 y su valor de salvamento $20,000, encuentre la vida útil del vehículo,
hasta que el valor depreciado sea menor al valor de salvamento.
9. Determinar la TIN convertible trimestral que produce una TAE del 40% anual.
10. ¿Qué tasa de interés capitalizable semestralmente produce el mismo monto
que la tasa de 18% capitalizable cada trimestre?
11. Cuál es el tiempo equivalente para el pago de $2,000 con vencimiento en un
año, y $4,000 con vencimiento en dos años suponiendo un rendimiento de 6%
convertible semestralmente?. Considere como fecha focal el inicio.
12. X debe pagar $2, 000 en 4 meses, $3,000 en 9 meses y $4,000 en un año. La
persona desea hacer un solo pago de $9,000 para cancelar las tres deudas. Si
la tasa de interés es del 24% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la
fecha en que debe efectuarse el pago aplicando la regla práctica.

II. SERIES UNIFORMES DE FLUJO DE EFECTIVO.
2.1 Anualidades ordinarias o vencidas.
Son aquellas en las que los pagos se hacen al final de cada intervalo de pago.
Cuando las cuotas se destinan para formar un capital, reciben el nombre de
fondos y, cuando sirven para cancelar una deuda, se llaman amortizaciones.
Se trata el caso simple en anualidades ciertas. Sus fórmulas derivan de una P.G.
Ejemplo: Al cumplir 65 años, M adquiere una anualidad que le pagará USD 10,000
anuales en los próximos 13 año y el primer pago lo recibirá al cumplir 66 años. Si
se le ofrece el 8% de interés anual, cuánto depositará para adquirir tal anualidad?
La suma a V.P es: P13 = 10000(1.08)−1 + 10000(1.08)−2 + ⋯ + 10000(1.08)−13
Siendo 𝒂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟏. 𝟎𝟖 −𝟏; 𝒓 = 𝟏. 𝟎𝟖 −𝟏; n = 13; 𝒍 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 (𝟏. 𝟎𝟖)−𝟏𝟑(T. último).
𝐒𝐧 =
𝒂𝟏(𝒓𝒏−𝟏)
𝒓−𝟏
=
10000 1.08 −1 1.08 −13−1
1.08 −1−1
=
−𝟓,𝟖𝟓𝟒.𝟔𝟓
−𝟎.𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕𝟒
= USD 79,037.76
Otra forma: 𝐒𝐧 =
𝒂𝟏(𝟏−𝒓𝒏)
𝟏−𝒓
=
10000 1.08 −1 1− 1.08 −13
1− 1.08 −1 =
𝟓,𝟖𝟓𝟒.𝟔𝟓
𝟎.𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕𝟒𝟎𝟕𝟒
= USD 79,037.76

2.1.1Valor presente de una anualidad vencida.
El valor presente de una anualidad vencida de n pagos de A pesos cada uno,
pagados al final de cada periodo, a una tasa 𝒊 por periodo es: V.P = A
P
A
, 𝒊, n .
O bien: 𝐏 = 𝐀 ∗ 𝒂𝒏 𝒊 = 𝑨
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝒏
𝒊
. Otra forma es: P = 𝐴
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖(1+𝑖)𝑛 .
Ejemplos:
1. Si retomamos el problema de la persona, que al cumplir 65 años desea adquirir
una anualidad que le pagará USD 10,000 cada año en los próximos 13 años, y que
el primer pago lo recibirá al cumplir 66 años, ofreciéndole el 8% de interés
anual; para saber de cuanto ha de ser su depósito, calcular su valor usando esta
fórmula:
P = 𝐀
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧
𝒊
= 10000
𝟏− 𝟏.𝟎𝟖 − 𝟏𝟑
𝟎.𝟖
= 10,000 (7.90377594) = USD 79,037.76

2. Para liquidar una deuda al 6% convertible mensual, M acuerda pagar $5000 al
final de cada mes por 17 meses y un pago final de $9,525 un mes después.
¿Cuál fue el importe de la deuda?
𝐏 = 5,000 ∗ a17
1
2
%
+ 9,525(1.005)−18
= 5000
1− (1.005)− 17
0.005
+ 9525 1.005 −18 = $ 90,000.31
3. Después de pagar un enganche de $20,000 por un automóvil, el señor Murphy
pagó $2000 por mes, durante 36 meses, al 12% anual, compuesto
mensualmente, sobre el saldo insoluto. ¿Cuál es el costo original del auto? ¿Qué
proporción de los pagos correspondía a cargos por interés?
𝐏 = 2,000 ∗ a36 1% = 2,000
1− (1.01)− 36
0.01
= $ 60,215.01
𝐂𝐨𝐬𝐭𝐨 = $ 80,215.01
Cargo por intereses = 2000(36) – 60,215.01 = $ 11,784.99

2.1.2 Valor futuro de una anualidad vencida.
De F = P(1 + 𝑖)n y P = 𝐴
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧
𝒊
; 𝐅 = A ∗ sn 𝑖. Esto es: F = 𝐀
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧
𝒊
1 + 𝑖 𝑛.
Multiplicando por 1 + 𝑖 𝑛 se obtiene: F = 𝑨
(𝟏+𝒊)𝒏 −𝟏
𝒊
=V.F anualidad vencida.
Ejemplos:
1. En los últimos 10 años, X ha depositado 5000 € al final de cada año en una
cuenta de ahorro, la cual le paga el 3
𝟏
𝟐
% efectivo. ¿Cuánto había en la cuenta
inmediatamente después de haber hecho el décimo depósito?
𝐅 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝐬𝟏𝟎 𝟑
𝟏
𝟐
%
= 5, 𝟎𝟎𝟎
(𝟏.𝟎𝟑𝟓)𝟏𝟎−𝟏
𝟎.𝟎𝟑𝟓
= 58,656.97 €
2. Hallar el monto de una anualidad ordinaria de $1500.00 mensuales durante 3
años 6 meses, al 6% convertible mensualmente.
𝐅 = 𝟏, 500 ∗ s42 0.5% = 1,500
(1.005)42 −1
0.005
= $ 69,909.81

3. La señora Cortés planea realizar el pago máximo de USD 2000 el 31 de enero
de cada año en una cuenta de retiro individual (Inversión deducible de
impuestos IRA por sus siglas en inglés) que genera intereses con una tasa
efectiva de 9% por año. Después de que realiza el pago número 25 el 31 de
enero del año siguiente a su retiro, ¿cuánto dinero tendrá en su IRA?
𝐅 = 2,000 ∗ s25 9% = 2,000
(1.09)25 −1
0.09
= USD 169,401.79
2.1.3 Amortización de una anualidad vencida.
Una pregunta a plantearse es: ¿de cuanto ha de ser el pago parcial para
amortizar un préstamo al final del término de una deuda? En este caso se
habla de un pago periódico que va a ir amortizando el préstamo. Para
responder de cuanto debe ser este pago parcial, basta despejar A en términos
de P: 𝐀 =
𝐏
𝐚𝐧 𝐢
=
𝐏𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧. Ejemplos:

1. Se debe pagar un préstamo de $50,000 durante cinco años, en parcialidades
iguales al final de cada año, al 8% anual sobre el saldo insoluto. Si el cálculo
de interés se hace al final de cada año, hallar el valor de cada pago parcial,
para amortizar la deuda al final de cinco años. Hacer la tabla de amortización.
𝐀 =
50,000
a5 8%
=
Pi
1− 1+i − n = $12, 522.82 anuales
Final del
periodo (años)
Saldo insoluto Intereses
cargados
Pago anual Amortización
0 $ 50,000.00 ---- ---- ----
1 $ 41,477.18 $ 4,000.00 $ 12,522.82 $ 8,522.82
2 $ 32,272.53 $ 3,318.17 $ 12,522.82 $ 9,204.65
3 $ 22,331.51 $ 2,581.80 $ 12,522.82 $ 9,941.02
4 $ 11,595.21 $ 1,786.52 $ 12,522.82 $ 10,736.30
5 $ 0.00 $ 927.61 $ 12,522.82 $ 11,595.21
Totales $ 12,614.10 $ 62,614.10 $ 50,000.00

2. Una deuda de $22,000, con intereses al 24% anual, compuesto mensualmente,
se va a amortizar mediante pagos mensuales iguales en los próximos 2 años, el
primero con vencimiento al término de un mes. Hallar el pago.
𝐀 =
22,000
a24 2%
=
P𝒊
1− 1+𝒊 − n =
22000(0.02)
1−(1.02)−24 = $ 1,163.16
3. En enero de 2016 nos hicieron un préstamo de $50,000. Si la tasa era del 20%
anual, ¿a cuánto ascienden las anualidades a pagar durante 10 años?
𝐀 =
50,000
a10 20%
=
P𝒊
1− 1+𝒊 − n =
50,000 (0.20)
1− 1.20 − 10 = $ 11, 926.14
2.1.4 Fondo de amortización o capitalización de una anualidad vencida.
Método para liquidar una deuda por el cual el deudor crea un fondo por
separado haciendo depósitos periódicos iguales durante el plazo. Esto es:
A =
F
sn i
= F
𝒊
1+𝒊 n –1
; o bien: 𝐀 =
𝐅𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 –𝟏
.

Ejemplos:
1. La vida útil de una máquina es 5 años. Con el fin de reemplazarla una empresa
establece un fondo, realizando depósitos anuales en una cuenta bancaria que
paga el 10% efectivo. Si se estima que el nuevo equipo costará USD 12,000,
¿Cuál será el valor de cada depósito anual? Elaborar la tabla de capitalización.
𝐀 =
𝟏𝟐,𝟎𝟎𝟎
𝐬𝟓 𝟏𝟎%
=
𝐅𝐢
𝟏+𝒊 𝐧 –𝟏
=
12,000(0.10)
1.10 5 −1
= USD 1,965.57 anuales.
Periodo
(años)
Capital al inicio
del periodo
Interés
ganado
Depósito a final
del periodo
Monto al final
del periodo
1 0.00 0.00 USD 1,965.57 USD 1,965.57
2 USD 1,965.57 USD 196.56 USD 1,965.57 USD 4,127.70
3 USD 4,127.70 USD 412.77 USD 1,965.57 USD 6,506.04
4 USD 6,506.04 USD 650.60 USD 1,965.57 USD 9,122.21
5 USD 9,122.21 USD 912.22 USD 1,965.57 USD 12,000.00
Totales USD 2,172.15 USD 9,827.85

2. ¿Qué cantidad anual tendría que depositarse por 5 años para tener una suma
actual equivalente de una inversión de $90,000 a un interés del 10% efectivo?
En este caso primero se encuentra el monto de la inversión P de $ 90,000
𝐅 = 𝐏(𝟏 + 𝒊)𝐧 = $90,000 (1.10)5 = $ 144,945.90
A continuación se encuentra el depósito anual para el monto acumulado F.
𝐀 =
144,945.90
s5 10%
=
F𝒊
1+𝒊 n –1
=
144,945.90(0.10)
1.10 5 −1
= $ 23,741.77 anuales.
3. Una persona estimó en Diciembre del 1990 retirarse 25 años después, para lo
cual consideró que un fondo de USD 2, 500,000.00 sería suficiente para vivir su
vejez tranquila. ¿Cuánto tuvo que depositar anualmente, al final de cada año a
partir del 1991, en un fondo que paga 9.6% efectivo?
𝐀 =
2,500,000
s24 9.6%
=
Fi
1+i n –1
=
2,500,000(0.096)
1.096 24 −1
= USD 29,906.07 anuales.

2.1.5 Interés en el valor de un bien adquirido.
Interés del comprador + interés del vendedor = precio de venta.
El interés del comprador, es la parte pagada, y del vendedor, la parte por pagar.
Ejemplos:
1. Se compra una casa en $750,000 con $300,000 iniciales y el saldo se amortiza
al 6% convertible mensualmente, mediante pagos al final de cada mes en los
próximos 10 años. ¿Cuál es el interés después del 50º pago periódico?
P = $750,000 – $300,000 = $450,000; n = 120 meses; i =
6%
12
=
1
2
% mensual
𝐀 =
450,000
a
120
1
2
%
=
Pi
1− 1+i − n =
450,000(0.005)
1− (1.005)−120 = $ 4,995.92 mensuales.
Después del 50º. Pago es 120-50 = 70 pagos antes del vencimiento:
𝐏 = 4,995.92
1− (1.005)− 70
0.005
= $ 294,456.62 (interés del vendedor).
$ 750,000 – $ 294,456.62 = $ 455,543.38 (interés del comprador).

2. Un pequeño comerciante pide un préstamo de $20,000 para renovar su tienda.
Acuerda amortizar su deuda, capital e intereses al 4
1
2
% anual con ocho pagos
iguales por los próximos 8 años, el primero con vencimiento en un año. Hallar:
a. El costo anual de la deuda.
b. El capital insoluto justamente después del 6º pago.
c. En cuanto se reduce la deuda con el 6º pago.
a. 𝐀 =
20,000
a
8 4
1
2
%
=
𝐏𝐢
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧 =
20,000(0.045)
1− (1.045)−8 = $ 3,032.19 anuales.
b. Después del 6º. Pago: 𝑃 = 3,032.19
1− (1.045)− 2
0.045
= $ 5,678.28
c. Saldo de la deuda: $20,000 – $5,678.28 = $ 14, 321.72

3. Una deuda de $3,600 al 6% convertible semestralmente se va a amortizar con
pagos semestrales de $900 cada uno, el primero con vencimiento al término de
6 meses, junto con un pago parcial final si fuera necesario. Construir una tabla.
900 ∗ an 3% = 3,600; 𝐚𝐧 𝟑% =
3,600
900
= 4 pagos completos de $ 900 c/u.
4 pagos completos para amortizarla y un pago final de $ 295.17 para cancelarla.
Periodo Capital insoluto
al principio del
periodo
Interés vencido al
final del periodo
Pago Capital pagado
al final del
periodo
1 $ 3,600.00 $ 108.00 $ 900.00 $ 792.00
2 $ 2,808.00 $ 84.24 $ 900.00 $ 815.76
3 $ 1,992.24 $ 59.77 $ 900.00 $ 840.23
4 $ 1,152.01 $ 34.56 $ 900.00 $ 865.44
5 $ 286.57 $ 8.60 $ 295.17 $ 286.57
Totales $ 295.17 $ 3,895.17 $ 3,600.00

2.1.6 Extinción de deudas consolidadas mediante la emisión de bonos.
Cuando una deuda contraída mediante la emisión de bonos con intereses es
amortizada, cada pago se aplica para cubrir los intereses correspondientes
vencidos y para redimir un cierto número de bonos. Los pagos no pueden
permanecer iguales, pero, tienen que ser lo más similares posible. En este
sentido, si la denominación de los bonos es de $ 100 y se dispone de $ 712.86,
serán redimidos 7 bonos; si se dispone de $ 763.49, se redimirán 8 bonos.
Ejemplos:
1. Se desea construir una tabla para liquidar, por medio de 6 pagos anuales lo
más iguales posible, una deuda de $ 30,000 contraída mediante emisión de
bonos de $100 con intereses al 5%.
𝐀 =
30,000
a6 5%
=
P𝒊
1− 1+𝒊 − n =
30,000 (0.05)
1−(1.05)−6 = $ 5910.52 pagos anuales iguales.

2. Una deuda de $ 500,000 distribuida en 100 bonos de $1,000, 500 bonos de $
500 y 1500 bonos de $ 100, que pagan intereses de 4% convertible
semestralmente, será amortizada en los próximos 5 años mediante pagos
semestrales lo más iguales posible. Construir una tabla.
𝐀 =
30,000
a6 5%
=
P𝒊
1− 1+𝒊 − n =
500,000 (0.02)
1−(1.02)−10 = $ 55,663.26 pagos semestrales iguales.
Periodo
(años)
Capital insoluto al
inicio del periodo
Interés
vencido
Número de bonos (de
$ 100 c/u) retirados
Pago
periódico
1 $ 30,000 $ 1,500 44 $ 5,900
2 $ 25,600 $ 1,280 46 $ 5,880
3 $ 21,000 $ 1,050 49 $ 5,950
4 $ 16,100 $ 805 51 $ 5,905
5 $ 11,000 $ 550 54 $ 5950
6 $ 5,600 $ 280 56 $ 5,880
Totales $ 5,465 300 $ 35,465

Tabla de amortización.
Periodo Capital
insoluto
Interés
vencido
Número de bonos redimidos
$1,000 $500 $100
Pago
semestral
1 $ 500,000 $ 10,000 10 50 107 $ 55,700
2 $ 454,300 $ 9,086 10 50 116 $ 55,686
3 $ 407,700 $ 8,154 10 50 125 $ 55,654
4 $ 360,200 $ 7,204 10 50 135 $ 55,704
5 $ 311,700 $ 6,234 10 50 144 $ 55,634
6 $ 262,300 $ 5,246 10 50 154 $ 55,646
7 $ 211,900 $ 4,238 10 50 164 $ 55,638
8 $ 160,500 $ 3,210 10 50 175 $ 55,710
9 $ 108,000 $ 2,160 10 50 185 $ 55,660
10 $ 54,500 $ 1,090 10 50 195 $ 55,590
Totales $ 56,622 100 500 1500 $ 556,622

3. Una deuda de $ 100,000 en forma de bonos de $ 1,000 que devengan intereses
al 3% se amortizarán durante los próximos 5 años mediante pagos anuales lo
más iguales posible. Encontrar el valor de cada pago periódico, si los bonos
están cotizados en el mercado de valores a 90.
Si un bono es cotizado en 90, una deuda de $ 1,000 puede comprarse en $ 900.
Así, el V.P de la deuda es $90,000 y la tasa de interés:
pago por interés
precio
=
30
900
= 3
1
3
%
𝐀 =
𝟗𝟎,𝟎𝟎𝟎
𝐚
𝟓 𝟑
𝟏
𝟑%
=
𝐏𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧=
90,000 (0.03333333333)
1−(1.03333333333)−5 = $ 19,839.33 pagos anuales iguales.
2.2 Anualidades anticipadas.
Su pago periódico vence al inicio del intervalo.
2.2.1Valor presente de una anualidad anticipada.
En este caso, solo se le agrega el factor 𝟏 + 𝒊 al valor presente de la anualidad
vencida; así: 𝐏 = 𝐀 ∗ 𝒂𝒏−𝟏 𝒊 + 1 = 𝐀
𝟏− 𝟏+𝒊 −𝐧
𝒊
𝟏 + 𝒊 . Ejemplos:

1. Una renta mensual es $4,000 pagados a inicios de cada mes. ¿Cuál es la renta
anual equivalente pagada por adelantado, al 18% compuesto mensualmente?
𝐏 = A
1− 1+𝒊 −n
𝒊
1 + 𝒊 = 4,000
1− 1.015 −12
0.015
1.015 = $ 44,284.47
2. En lugar de estar pagando una renta de $1,250 mensuales, al principio de cada
mes, por los próximos 10 años, M decide comprar la casa. ¿Cuál es el valor
actual de los 10 años de renta al 24% convertible mensualmente?
𝐏 = A
1− 1+𝒊 −n
𝒊
1 + 𝒊 =1,250
1− 1.02 −𝟏𝟐𝟎
0.02
1.02 = $ 57,828.12
3. En un almacén se vende un mueble por $4,600.00 al contado o mediante pagos
mensuales anticipados de $511.69. Si el interés es del 29.4% convertible
mensualmente (2.45% mensual), ¿Cuántos pagos es necesario hacer?
Despejando: 1 − 1 + 𝒊 −n =
Pi
A(1+𝒊)
; 1.0245 −n = 1 −
4600(0.0245)
511.69(1.0245)
= 0.785016552
−𝑛 =
log (0.785016552)
log(1.0245)
; multiplicando por (−1), n = 10 pagos mensuales.

2.2.2 Valor futuro de una anualidad anticipada.
En este caso, solo se agrega (1 + 𝒊) al valor futuro de la anualidad vencida:
𝐅 = 𝐀
(𝟏+𝒊)𝐧 −𝟏
𝒊
(1 + 𝒊)
Ejemplos:
1. Los días 15 de cada mes, X invierte $1000 en un fondo que paga el 9%
convertible mensualmente ¿Cuánto habrá en el fondo justamente antes del
10º depósito?
𝐹 = 𝐴
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
(1 + 𝑖)
0 1 2 3 7 8 9 10
100 100 100 100 100 100 n n+1 periodos interés.
𝐅 = 𝐀
(𝟏+𝒊)𝐧 −𝟏
𝒊
(𝟏 + 𝐢) = 1,000
1.0075 𝟗 −1
0.0075
(1.0075) = $ 9,344.34

2. M desea que el beneficio de un seguro de vida de $ 1, 500,000 sea invertido al
3% y que, de dicha cantidad su viuda reciba $ 75,000 anuales, haciéndose el
primer pago inmediatamente, y durante todo el tiempo que viva. En la fecha de
pago siguiente a la muerte de su esposa, el sobrante del fondo será dado a su
hija. Si su esposa muere 7 años, 9 meses después de su esposo, ¿Cuánto recibirá
su hija? Tomar como fecha focal el final del 8º año.
𝐹 = 𝐴
(1+𝑖)𝑛 −1
𝑖
(1 + 𝑖)
Fecha focal
1,500,000 X
0 1 2 6 7 8 9
75000 75000 75000 75000 75000 n n+1 periodos interés.
75,000
1.03 8 − 1
0.03
1.03 + X = 1,500,000 1.03 8 = Ecuación de valor
Despejando: X = 1,500,000 1.03 8
- 75,000
1.03 8 −1
0.03
(1.03)= $ 1, 213,222.16

3. Los días primeros de cada mes, M invierte $2,000 en un fondo que paga el 18%
convertible trimestralmente ¿Cuánto habrá en el fondo justamente antes del 6º
depósito?
𝐅 = 𝐀
(𝟏+𝒊)𝐧 −𝟏
𝒊
(𝟏 + 𝒊) = 2,000
1.045 𝟓 −1
0.045
(1.045) = $ 11,433.78
2.2.3 Amortización de una anualidad anticipada.
Se utilizan las mismas fórmulas de anualidades anticipadas a valor presente,
solo basta con despejar la variable A; así: 𝐀 =
𝐏
𝐚𝐧−𝟏 𝒊 + 𝟏
=
𝐏𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 −𝐧 (𝟏+𝒊)
Ejemplos:
1. Una deuda de $50,000 al 9% convertible trimestralmente va a ser liquidada
mediante 8 pagos trimestrales iguales, el primero con vencimiento el día de
hoy. Hallar el pago trimestral.
A =
P𝒊
1− 1+𝒊 −n (1+𝒊)
=
50,000 (0.0225)
1− 1.0225 −8 (1.0225)
= $ 6,747.41

2. Una deuda de $ 5000 con intereses al 5% convertible semestralmente se va a
amortizar mediante pagos semestrales iguales en los próximos 3 años, el
primero con vencimiento el día de hoy. Hallar el pago.
A =
𝐏𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 −𝐧 (𝟏+𝒊)
=
5,000 (0.025)
1− 1.025 −6 (1.025)
= $ 885.61
3. Que suma debe depositarse al principio de cada año, en un fondo que abona
el 6% para proveer la sustitución de los equipos de una compañía cuyo costo
es de $ 2,000,000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se
estima en el 10% del costo.
$2, 000,000 – 200,000 = 1, 800,000
A =
𝐏𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 −𝐧 (𝟏+𝒊)
=
1,800,000 (0.06)
1− 1.06 −5 (1.06)
= $ 403,125.96

2.2.4 Fondo de amortización o capitalización de una anualidad anticipada.
Se utiliza la misma fórmula del monto de una anualidad anticipada. Esto es:
𝐅 = 𝐀
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
𝟏 + 𝒊 ; y, a partir de ésta se despeja la variable A.
Por lo tanto: 𝐀 =
𝐅𝒊
𝟏+𝒊 𝐧−𝟏 (𝟏+𝒊)
.
Ejemplos:
1. Dentro de 5 años la compañía ABC necesitará $ 120,000 para remplazar
maquinaria desgastada. ¿Cuál será el pago semestral que tendrá que hacer
desde ahora en un fondo que paga el 7% compuesto semestral, por 5 años,
para acumular dicha suma?
A =
𝐅𝐢
𝟏+𝒊 𝐧−𝟏 (𝟏+𝐢)
=
120,000 (0.035)
1.035 10−1 (1.035)
= $ 9,883.06

2. Un empresario debe pagar dentro de 6 meses la cantidad de $40,000. Para
asegurar el pago, el contralor propone acumular un fondo mediante depósitos
mensuales efectuados los días primeros de cada mes, a una cuenta que paga el
30% de interés convertible mensualmente. De cuanto ha de ser cada depósito.
A =
𝐅𝐢
𝟏+𝐢 𝐧−𝟏 (𝟏+𝐢)
=
40,000(0.025)
1.025 6−1 (1.025)
= $ 6,109.27
3. La vida útil de un equipo es de 5 años. Con el fin de reemplazarlo al final de
este tiempo, la compañía establece un fondo de amortización efectuando
depósitos anuales anticipados en un banco que paga el 9.6% anual. Si se
estima que el equipo costará $ 42,740, hallar el valor del depósito.
A =
𝐅𝐢
𝟏+𝐢 𝐧−𝟏 (𝟏+𝐢)
=
42,740(0.096)
1.096 5−1 (1.096)
= $ 6,438.58

2.3 Anualidades diferidas.
Es aquella cuyo primer pago se hace tiempo después del término del primer
periodo de interés (k + 1).
A A … A A
⋯ ⋯
0 1 2 k k+1 k+2 (k+n) – 1 k+n periodos interés.
k tiempo diferido n = plazo de la anualidad
2.3.1Valor presente de una anualidad diferida.
Se trata como anualidad vencida o anticipada. Conocido ese valor, se descuenta
por el tiempo diferido k, para regresarlo a la fecha de iniciación del periodo
aplazado. En este caso, al valor presente de la anualidad vencida, se le agrega el
factor (𝟏 + 𝒊)−𝐤
. Así:
𝐏 = A 𝑎𝑘+𝑛 𝑖 − 𝑎𝑘 𝑖 = 𝐀
𝟏− (𝟏+𝒊)−𝐧
𝒊
(𝟏 + 𝒊)−𝐤
=
𝐀
𝐢
𝟏 + 𝐢 −𝐤
− (𝟏 + 𝐢)−(𝐤+𝐧)
.

Ejemplos:
1. Un puente recién construido no necesitará reparación hasta el término de 5
años, cuando se requerirán $ 300,000 para reparaciones. Se estima que de ahí
en adelante se necesitarán $ 300,000 al final de cada año en los próximos 20
años. Hallar el valor presente X del mantenimiento del puente, sobre la base
de 3% efectivo.
En este caso A = 300,000, k = 4; n = 21; k + n = 25 periodos de interés.
P = 𝐀
𝟏− (𝟏+𝒊)−𝐧)
𝒊
(𝟏 + 𝒊)−𝐤
= 300,000
1− (1.03)−21
0.03
(1.03)−4
= $ 4, 108,814.78
O bien:
P =
𝐀
𝒊
𝟏 + 𝒊 −𝐤 − (𝟏 + 𝒊)−(𝐤+𝐧) =
300,000
0.03
1.03 −4 − (1.03)−25 = $4, 108,814.78

2. Un granjero compró un tractor el 1º de marzo, comprendiendo que haría pagos
mensuales de $20,000 durante 24 meses, el primero con vencimiento el 1º de
octubre. Si el interés es al 12% convertible mensualmente, hallar el valor de
contado equivalente.
En este caso A = 20,000, k = 6; n = 24; k + n = 30 periodos de interés.
P = 𝐀
𝟏− (𝟏+𝒊)−𝐧)
𝒊
(𝟏 + 𝒊)−𝐤 = 20,000
1− (1.01)−24
0.01
(1.01)−6 = $ 400,244.63
3. El 1º de junio de 1988 se compra un negocio con $100,000 de cuota inicial y 10
pagos trimestrales $25,000 cada uno, el primero con vencimiento el 1º de junio
de 1991. ¿Cuál es el valor de contado del negocio, suponiendo intereses al 6%
convertible trimestralmente?
P = 𝐀
𝟏− (𝟏+𝐢)−𝐧
𝐢
(𝟏 + 𝐢)−𝐤 = 25,000
1− (1.015)−10
0.015
(1.015)−11 = $ 195, 725.47
Valor de contado = 100,000 + 195,725.47 = $295,725.47

2.3.2 Valor futuro de una anualidad diferida.
Se calcula como si se tratara de anualidades vencidas o anticipadas, puesto que
no se gana interés en el tiempo diferido. En este caso, solo se calcula el valor
futuro tomando en cuenta únicamente el tiempo de la anualidad.
Usando las mismas fórmulas de anualidades vencidas o anticipadas, su valor es:
F = 𝐀 ∗ 𝐬 (𝐤+𝐧)−𝐤 𝐢 = 𝐀 ∗ 𝐬𝐧 𝐢 =𝐀
(𝟏+𝒊)𝐧 −𝟏
𝒊
.
Ejemplos:
1. Después de 5 años, y al final de cada año una empresa va a invertir USD 10,000
anuales durante 20 años. ¿Qué cantidad se acumulará si la tasa de interés
otorgada es del 8% efectiva?
F = 𝐀 ∗ 𝐬𝟐𝟎 𝟖% = 10,000
(1.08)20−1
0.08
= $ 457,619.64
Nota. Solo se calcula el monto de una anualidad ordinaria de 20 pagos vencidos.

2. Una tienda pone en el mes de mayo su plan de ventas “compre ahora y pague
hasta el mes de agosto”. Una persona decide aprovechar la oferta y adquiere 3
trajes que le entregan inmediatamente. Si acuerda pagar mediante 4
mensualidades de $ 975 cada una a partir de agosto, al 24.9% anual
convertible mensualmente, ¿cuál fue el precio total que pagó al final de su
último pago?
F = 𝐴 ∗ 𝑠4 2.075% = 975
(1.02075)4−1
0.02075
= $ 4,023.08
3. Una persona de 20 años desea invertir, a partir de que cumpla 30 años, una
cantidad de $ 8,000 anuales al principio de cada año. ¿Qué cantidad habrá
acumulado cuando cumpla 60 años, si el banco le otorga una tasa de interés
efectiva del 12% anual?
En este caso se trata de una anualidad anticipada:
F = 𝐴 ∗ 𝑠30 12% = $ 8,000
1.12 30 −1
0.12
(1.12) = $ 2, 162,340.85

2.3.3 Amortización de una anualidad diferida.
Solo basta despejar la variable A del valor presente de la anualidad diferida.
A =
𝐏
𝒂𝐤+𝒏 𝒊− 𝒂𝒌 𝒊
=
𝑷𝒊
𝟏− (𝟏+𝒊)−𝒏 (𝟏+𝒊)−𝒌 =
𝑷𝒊
𝟏+𝒊 −𝒌− (𝟏+𝒊)−(𝒌+𝒏) . Ejemplos:
1. Si hoy se adquiere una deuda de $50,000 con intereses al 5% convertible
semestralmente, que se va a amortizar en 6 pagos semestrales, el primero
con vencimiento dentro de dos años, hallar el pago semestral.
A =
𝑃
𝑎9 2.5%− 𝑎3 2.5%
=
𝑃𝑖
1+𝑖 −𝑘− (1+𝑖)−(𝑘+𝑛) =
50,000(0.025)
1.025 −3− (1.025)−9 = $ 𝟗, 𝟕𝟕𝟓. 𝟒𝟕
2. Una huerta valuada en $150,000 se vende con $50,000 de cuota inicial,
acordando pagar el saldo al 5% convertible semestral con 10 pagos
semestrales iguales de A pesos c/u, el primero con vencimiento en 4 años.
A =
𝑃
𝑎9 2.5%− 𝑎3 2.5%
=
𝑃𝑖
1+𝑖 −𝑘− (1+𝑖)−(𝑘+𝑛) =
100,000(0.025)
1.025 −7− (1.025)−17 = $ 13, 581.78

3. Que renta semestral se recibirá durante 6 años, una inversión de $120,000 al
8% convertible semestralmente, si se desea recibir el primer pago en 8 años?
A =
𝐏
𝐚𝟐𝟕 𝟒%− 𝐚𝟏𝟓 𝟐.𝟓%
=
𝑃𝑖
1+𝑖 −𝑘− (1+𝑖)−(𝑘+𝑛) =
120,000(0.04)
1.04 −15− (1.04)−27 = $ 23,027.33
2.3.4 Fondo de amortización de una anualidad diferida.
Se usan las mismas fórmulas de valor futuro de una anualidad vencida o
anticipada, según sea el caso, basta despejar la variable A.
A =
𝑭
𝒔𝒌+𝒏 𝒊− 𝒔𝒌 𝒊
=
𝑭
𝒔𝒏 𝒊
=
𝑭𝒊
(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
. Ejemplos:
1. Una empresa necesitará al final de 5 años $60,000 para remplazar equipo de
cómputo, ¿cuál será el pago semestral al final del segundo año, que se hará en
un fondo que paga 7% compuesto semestral, para acumular dicha suma?
𝐀 =
𝐅𝐢
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
=
60,000 (0.035)
1.035 6−1
= $ 9,160.09 semestrales.

2. Se estima que una empresa no necesitará reemplazar su equipo sino hasta el
término de 5 años, en que necesitará de una cantidad de $ 50,000 para ese fin,
por ello el contralor propone la creación de un fondo de amortización para
reunir dicha cantidad. ¿De cuánto debe ser el depósito semestral hecho a partir
del término del 1er. año para cubrir dicho monto, si el banco paga el 12%
convertible semestralmente?
𝐀 =
𝐅𝐢
(𝟏+𝐢)𝐧−𝟏
=
50,000(0.06)
(1.06)8−1
= $ 5,051.80 semestrales.
3. Resolver el problema anterior para depósitos trimestrales y tasa del 12%
convertible trimestralmente.
A =
Fi
(1+i)n−1
=
50,000(0.03)
(1.03)16−1
= $ 2,480.54 trimestrales.

2.4 Problemas propuestos:
1. Para garantizar la educación de su hijo, un padre decide depositar $3,000.00 al
final de cada mes en un banco que otorga intereses a una tasa del 9%,
compuesta mensualmente. Si el ahorro comenzó cuando el niño tenía tres años,
¿Cuánto dinero habrá cuando el hijo cumpla 18 años?
2. Después de pagar un enganche de $30,000 por un automóvil, una persona
paga $3,200.00 por mes, durante 48 meses, al 18% anual, compuesto
mensualmente, sobre el saldo insoluto. ¿Cuál fue el costo original del auto?
¿Qué proporción de los pagos corresponde a cargos por interés?
3. Una deuda de $50,000, con intereses al 24.6% anual, compuesto mensualmente,
se va a amortizar mediante pagos mensuales iguales en los próximos 5 años, el
primero con vencimiento al término de un mes. Hallar el pago. Comprobar el
resultado exhibiendo la tabla de amortización.

4. La vida útil de un camión de carga adquirido por una compañía es de 5 años.
Con el fin de poder reemplazarlo por uno nuevo al final de ese tiempo, la
empresa establece un fondo, realizando depósitos anuales en una cuenta
bancaria que paga el 12% efectivo. Si se estima que el nuevo camión costará
$450,000.00 ¿Cuál será el valor de cada uno de los depósitos anuales? Elaborar
la tabla de capitalización.
5. ¿Qué es más conveniente, comprar un automóvil en $275,000.00 de contado o
pagar $50,000 iniciales y $20,000 al final de cada mes por los próximos 12
meses, suponiendo intereses calculados al 9% convertible mensualmente?
6. Al comprar X un automóvil nuevo de $375,000.00 le reciben su coche usado en
$125,000.00. ¿Cuánto tendrá que pagar en efectivo si el saldo restante l0o
liquidará mediante el pago de $12,500.00 al final de cada mes durante 18
meses, cargándole intereses al 8% convertible mensualmente?

7. Una ciudad emite $100,000.00 en bonos a 20 años y constituye un fondo para
redimirlos a su vencimiento. ¿Cuánto debe tomarse anualmente de los
impuestos para este propósito si el fondo produce el 3%?
8. ¿Como beneficiaria de una póliza de $1000,000.00 de seguro de vida una
viuda recibe $100,000.00 inmediatamente y posteriormente $50,000.00 cada 3
meses. Si la compañía paga intereses al 4%convertible trimestralmente:
a. ¿Cuántos pagos completos de $50,000.00 recibirá?
b. ¿Que suma adicional, con el último pago completo concluirá el beneficio?
9. Un equipo con costo de $64,000.00 y una vida útil de 8 años, tiene un valor de
salvamento de $4,000.00 al final de su vida útil. Hallar el valor en libros al final
del 5º año si se utiliza el método de fondo de amortización con intereses al 4%.
10. Una persona deposita $100,000.00 en una cuenta que paga el 5% semestral. Si
esta persona quisiera retirar cantidades iguales al final de cada semestre
durante 5 años, ¿de qué tamaño sería cada retiro?

III. SERIES VARIABLES DE FLUJO DE EFECTIVO.
3.1 Gradientes aritméticos.
Serie variable de pagos periódicos en que cada pago, hecho al final del periodo,
es igual al anterior, incrementado o disminuido en una cantidad constante G.
Crecientes (+ G).
Decrecientes ( - G).
Crecimiento lineal o constante (+ G).
An = A1 + n − 1 G = Valor de una cuota cualquiera.
A1 + n − 2 G n − 2 G (Aritmética creciente)
A1+ 2 G 2 G
A1+ G 1 G
A1
0 1 2 3 n – 1 n periodos de interés.

3.1.1 Valor presente de un gradiente aritmético vencido.
Serie de pagos que llevan una parte fija o anualidad y otra variable o gradiente.
Si P =
𝐹
(1+𝑖)𝑛 =
𝐴1
(1+𝑖)1 +
𝐴1
(1+𝑖)2 + ⋯ +
(𝑛−1)𝐺
(1+𝑖)𝑛 . Agrupando y reordenando:
P = 𝑨𝟏
𝟏− (𝟏+𝒊)− 𝒏
𝒊
±
𝑮
𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝒏
𝒊
−
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏 ; +𝐆, 𝐂𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞; −𝐆, 𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 .
𝐀𝟏
𝟏− (𝟏+𝒊)− 𝐧
𝒊
= Parte fija o Anualidad.
±
𝐆
𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝐧
𝒊
−
𝐧
𝟏+𝒊 𝐧 = Parte variable o Gradiente.
O bien: 𝐏 = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊(𝟏+𝒊)𝒏 ±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊(𝟏+𝒊)𝒏 −
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏 .
Si el Gradiente aritmético es infinito, su valor presente será: 𝐏 =
𝐀𝟏
𝒊
+
𝐆
𝒊𝟐

Ejemplos:
1. El Ing. Antonio Méndez está planeando un retiro por 15 años con el objeto de
tener su pensión y compensar los efectos anticipados de la inflación, para tener
USD 5000 al final del primer año y aumentar la cantidad que retira en USD 1000
cada uno de los años siguientes. ¿Cuánto dinero deberá tener en su fondo al
principio de su retiro, si el dinero gana 6% al año, capitalizado anualmente?
P = 𝐴1
1− (1+𝑖)− 𝑛
𝑖
+
𝐺
𝑖
1− 1+𝑖 − 𝑛
𝑖
−
𝑛
1+𝑖 𝑛 . (Se usa + G por ser creciente).
P = 5,000
P
A, 6%, 15 + G
P
G
, 6%, 15 .
𝐏 = 5,000
1−(1.06)−15
0.06
+
1000
0.06
1−(1.06)−15
0.06
−
15
(1.06)15 = USD 106,115.82

2. Roxana compró un predio un 8 de enero, el promotor de bienes raíces le
comenta que ellos venden a plazo de 10 años y solo reciben pagos anuales, los
cuales serán de $6000 con disminución de $500 cada año. ¿Cuánto dinero debe
depositar ahora en un fondo que le ofrece rendimientos del 5% anual
capitalizado cada año, para poder saldar su adeudo al final del año 10.
P = 𝐴1
1− (1+𝑖)− 𝑛
𝑖
−
𝐺
𝑖
1− 1+𝑖 − 𝑛
𝑖
−
𝑛
1+𝑖 𝑛 . (Se usa − G por ser decreciente).
P = 6,000 𝑃/ 𝐴, 5%, 10 − 500
𝑃
𝐺
, 5%, 10 .
P = 6,000
1− (1.05)− 10
0.05
−
500
0.05
1− 1.05 − 10
0.05
−
10
1.05 10 = $ 30,504.39

III. SERIESVARIABLES DE FLUJO DE EFECTIVO.
3. Dado el flujo de caja siguiente, hallar valor presente equivalente, al 2% mensual.
1200
600 800 1000
400 400 400
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 periodos.
1º Anualidad a V.P a mes 3: 𝑃3 = 400
1− (1.02)−3
0.02
= $ 1153. 55
Trasladar al momento 0 (3 antes): 𝑷𝟎 =
𝑃3
1+𝑖 𝑛 =
1153.55
1.02 3 = $ 1087. 02
2º Gradiente a mes 7: 𝑃(3→7) = 600
1−(1.02)−4
0.02
+
200
0.02
1−(1.02)−4
0.02
−
4
(1.02)4 = $ 3408.11
Trasladar al momento 0 (7 antes): 𝑷𝟎 =
𝑃3
1+𝑖 𝑛 =
3408.11
1.02 7 = $ 2,966.96
3º. El V.P de toda la serie será: $ 1087. 02 + $ 2,966.96 = $ 4,053.98 USD.

4. Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir
anualmente una pensión de $120, 000 anuales, la cual se incrementará $8,000
cada año? El fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6.5% anual.
Nota. En este caso se trata de un Gradiente Aritmético infinito, en el cual se
desea calcular el valor presente, por lo cual el modelo matemático a utilizar es:
𝐏 =
𝐀𝟏
𝐢
+
𝐆
𝐢𝟐 =
120,000
0.065
+
8,000
(0.065)2 = $ 3, 739,644.97
El futuro pensionado deberá cancelar $ 3, 739,644.97 para recibir dicha pensión
de por vida.

Para problemas con valor presente de gradientes aritméticos anticipados y
diferidos, las fórmulas consideran agregar los factores para cada caso.
Valor presente de un gradiente aritmético anticipado. Agregar factor (𝟏 + 𝒊).
P = A1
1+𝑖 n−1
𝑖(1+𝑖)n ±
G
𝑖
1+𝑖 n−1
𝑖(1+𝑖)n −
n
1+𝑖 n (1 + 𝑖); o bien:
𝐏 = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝐢(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 ±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝐢(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏 −
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
Valor presente de un gradiente aritmético diferido: Agregar factor 𝟏 + 𝒊 −𝐤.
P = A1
1+𝑖 n−1
𝑖(1+𝑖)n ±
G
𝑖
1+𝑖 n−1
𝑖(1+𝑖)n −
n
1+𝑖 n 1 + 𝑖 −𝑘; o bien:
𝐏 = 𝐀𝟏
𝟏+𝐢 𝐧−𝟏
𝐢 𝟏+𝐢 𝐧+𝐤 ±
𝐆
𝒊
𝟏+𝐢 𝐧−𝟏
𝐢 𝟏+𝐢 𝐧+𝐤 −
𝐧
𝟏+𝐢 𝐧+𝐤 .
* k = número de periodos diferidos.

3.1.2 Valor futuro de un gradiente aritmético vencido.
Para hallar el valor futuro, basta reemplazar el valor presente del gradiente
obtenido, en la fórmula del monto compuesto F = P(1 + 𝑖)n.
Si F = P(1 + 𝒊)n y P = A1
1− (1+𝒊)− n
i
±
G
i
1− 1+i − n
i
−
n
1+i n , entonces:
F = 𝐴1
1− (1+𝑖)− 𝑛
𝑖
±
𝐺
𝑖
1− 1+𝑖 − 𝑛
𝑖
−
𝑛
1+𝑖 𝑛 (1 + 𝑖)𝑛; o bien:
F = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
− 𝐧 ; (+ G, Creciente; − G, Decreciente).

Ejemplos:
1. Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en
la gráfica? El banco reconoce una tasa de interés del 6% semestral.
F = 𝐴1
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
+
𝐺
𝑖
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
− 𝑛 ; se usa (+ G).
33,000
28,000
23,000
18000
13000
8000
0 1 2 3 4 5 6
𝐅 = 8,000
1.06 6 −1
0.06
+
5,000
0.06
1.06 6 −1
0.06
− 𝟔 = $ 137,079.09

2. Hallar el valor futuro de las cuotas mostradas en el problema anterior, pero
depositadas en orden inverso, empezando por la cuota más alta. (Se usa – G).
33,000 F =33,000
1.06 6 −1
0.06
−
5,000
0.06
1.06 6 −1
0.06
− 𝟔 = $ 148,908.97
28,000
23,000
18000
13000
8000
0 1 2 3 4 5 6
3. Hallar el valor futuro en el problema anterior pero, a una tasa del 8% semestral.
𝐅 = 33,000
1.08 6 −1
0.08
−
5,000
0.08
1.08 6 −1
0.08
− 6 = $ 158,590.10

Para problemas con valor futuro de gradientes aritméticos anticipados y
diferidos, las fórmulas consideran agregar los factores para cada caso.
Valor futuro de un gradiente aritmético anticipado. Se agrega el factor (𝟏 + 𝒊).
𝑭 = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
− 𝐧 𝟏 + 𝒊 .
Valor futuro de un gradiente aritmético diferido. Se agrega el factor (𝟏 + 𝒊)−𝒌
.
𝑭 = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
− 𝐧 (𝟏 + 𝒊)−𝒌
O bien: F = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊(𝟏+𝒊)𝒌 ±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊(𝟏+𝒊)𝒌 −
𝒏
𝟏+𝒊 𝒌 ; (+ G, Creciente; − G, Decreciente).

3.1.3 Valor primera cuota de un gradiente aritmético dado valor presente.
1ª Cuota de un gradiente aritmético vencido.
Despejando 𝐴1 de P: 𝑨𝟏 =
𝑷 ∓
𝑮
𝒊
𝟏− 𝟏+𝒊 − 𝒏
𝒊
−
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏
𝟏− (𝟏+𝒊)− 𝒏
𝒊
; − 𝐂𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞; + 𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 .
Ejemplos:
1. Se tiene un crédito para vivienda contratado a 15 años (n = 180 meses) y a
una tasa del 24% nominal anual (2% mensual). Calcular:
a. El valor de la cuota inicial por cada millón de pesos de préstamo, si estas se
incrementan en $ 200 mensuales (−𝐺) a partir de la segunda cuota.
𝑨𝟏 =
1000,000 −
200
0.02
1−(1.02)−180
0.02
−
180
(1.02)180
1−(1.02)−180
0.02
=
$565,117.35
48.58440731
= $ 11,631.66

b. Los valores 𝐏𝟏𝟐𝟎 𝐲 𝐏𝟏𝟓𝟎 y elaborar tabla amortización reducida.
𝑃120 = ?
𝐴1 𝐴1 + G 𝐴1 + 120 G A121 = A1 + 120G
0 1 2 120 121 180 $11,631.66 + 120($200)=$ 35, 631.66
𝑃150 = ?
⋯ 𝐴1 + 120 G 𝐴1 + 150 G A151 = A1 + 150G
121 150 151 180 $11,631.66 + 150($200)=$ 41,631.66
𝐏𝟏𝟐𝟎 = $35,631.66
1− 1.02 −60
0.02
+
200
0.02
1− 1.02 − 60
0.02
−
60
1.02 60 = $ 1, 403,327.61
𝐏𝟏𝟓𝟎 = $41,631.66
1− 1.02 −30
0.02
+
200
0.02
1− 1.02 −30
0.02
−
30
1.02 30 = $ 990,744.91
Nota. La deuda asciende a $1, 403,327.61 con 120 cuotas y solo desciende a
partir de la cuota 150, por lo cual deben plantearse cuotas más altas.

Tabla de amortización gradiente aritmético creciente (reducida).
𝑐𝑢𝑜𝑡𝑎𝑠 =
𝑛
2
𝐴1 + 𝐴180 =$ 5, 315,698.80; 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟é𝑠 = $ 4,315,698.80
Cuota Valor cuota Interés Capital Saldo
0
1
2
...
.
121
.
.
151
…
180
---
A1 = $ 11,631.66
A2 = $ 11,831.66
…
.
A121 = $ 35,631.66
.
.
A151 = $ 41,631.66
…
A180 = $ 47, 431.66
---
$ 20,000.00
$ 20,167.37
...
.
---
($ 8,368.34)
($ 8,335.71)
...
.
$ 1,000,000.00
$ 1,008,368.34
$ 1,016.704.05
…
P120 = $ 1,403,327.61
.
.
P150 = $ 990,744.91
…
- 0 -

2. Replanteando el problema del crédito para vivienda anterior, pero, con cuotas
que disminuyen $ 200 mensuales a partir de la segunda cuota. Calcular:
a. El valor de la cuota inicial por cada millón de pesos de préstamo.
𝐀𝟏 =
1000,000 +
200
0.02
1−(1.02)−180
0.02
−
180
(1.02)180
1−(1.02)−180
0.02
= $ 29,533.81
b. Los valores P120 y P150
𝐴121 = 𝐴1 − 120𝐺 = $ 29,533.81 − $ 24,000 = $ 5,533.81
𝐴151 = 𝐴1 − 150𝐺 = $ 29,533.81 − $ 30,000 = − $ 466.19
𝐏𝟏𝟐𝟎 = $5,533.81
1− 1.02 −60
0.02
+
200
0.02
1− 1.02 −60
0.02
−
60
1.02 60 = $ 357,099.65
𝐏𝟏𝟓𝟎 = − $466.19
1− 1.02 −30
0.02
+
200
0.02
1− 1.02 −30
0.02
−
30
1.02 30 = $ 47,902.29
Nota. La deuda desciende a $ 357, 099.65.61 con 120 cuotas; y, al llegar 151 ya no
hay pago, tomándose ésta como capital. De ahí iniciar con cuotas altas es mejor.

Para problemas que tengan que ver con determinar valor de primera cuota en
gradientes aritméticos anticipados y diferidos, dado VP, las fórmulas son:
1ª Cuota gradiente aritmético anticipado dado valor presente.
De V.P. Anticipado 𝑃 = 𝐴1
1+𝑖 𝑛−1
𝑖(1+𝑖)𝑛−1 ±
𝐺
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
𝑖(1+𝑖)𝑛−1 −
𝑛
1+𝑖 𝑛−1 ; despejando:
𝑨𝟏 =
𝑷 ∓
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊 (𝟏+𝒊)𝒏−𝟏−
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏
; − 𝐆, 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆; + 𝐆, 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 .
1ª. Cuota gradiente aritmético diferido dado valor presente.
De V.P. Diferido 𝑃 = 𝐴1
1+𝑖 𝑛−1
𝑖 1+𝑖 𝑛+𝑘 ±
𝐺
𝑖
1+𝑖 𝑛−1
𝑖 1+𝑖 𝑛+𝑘 −
𝑛
1+𝑖 𝑛+𝑘 ; despejando:
𝑨𝟏 =
𝑷 ∓
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝒏+𝒌−
𝒏
𝟏+𝒊 𝒏+𝒌
𝟏+𝒊 𝒏−𝟏
𝒊 𝟏+𝒊 𝒏+𝒌
; (− 𝐆, 𝑪𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆; + 𝐆, 𝑫𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆).

3.1.4 Valor primera cuota de un gradiente aritmético dado valor futuro.
1ª Cuota gradiente aritmético vencido dado valor futuro.
De F = 𝑨𝟏
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
±
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
− 𝐧 ; 𝑨𝟏 =
𝐅 ∓
𝑮
𝒊
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
− 𝐧
𝟏+𝒊 𝐧 −𝟏
𝒊
: − 𝐂; + 𝐃 .
Ejemplos:
1. Si una persona acumuló $160,000 durante 1 año, efectuando pagos mensuales
que se incrementan en $ 2,000 cada una a partir de la segunda cuota, a la tasa
del 12% nominal anual compuesto mensualmente, ¿cuál será el valor de la
primera cuota y de cada una de las 11 restantes?
Se trata de hallar 1ª cuota gradiente aritmético vencido y creciente a VF ( – G).
𝑨𝟏 =
160,000 −
2,000
0.01
(1.01)12−1
0.01
− 12
1.01 12 −1
0.01
=
23,499.40
12.68250301
= $ 1,852.90

2. Una persona creó un fondo de $ 180,000 en un año, efectuando pagos
mensuales que se incrementan en $ 2,000 cada una a partir de la segunda
cuota, a la tasa del 18% nominal anual compuesto mensualmente, ¿cuál será el
valor de la primera cuota?
𝐀𝟏 =
180,000 −
2,000
0.015
(1.015)12−1
0.015
− 12
1.015 12 −1
0.015
=
41,171.81
13.04121143
= $ 3,157.05
3. Un empresario creó un fondo de $ 400,000 en un año, para reemplazar
maquinaria, efectuando pagos mensuales que se incrementan en $ 4,000 cada
una a partir de la segunda cuota, a la tasa del 24 % nominal anual compuesto
mensualmente, ¿cuál será el valor de la primera cuota?
𝐀𝟏 =
400,000 −
4,000
0.02
(1.02)12−1
0.02
− 12
1.02 12 −1
0.02
=
117,582.05
13.41208973
= $ 8,766.87

Para problemas que tengan que ver con determinar valor de primera cuota en
gradientes aritméticos anticipados y diferidos, dado VF, las fórmulas son:
1ª Cuota gradiente aritmético anticipado dado valor futuro.
De F = 𝐴1
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
±
𝐺
𝑖
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
− 𝑛 1 + 𝑖 ;
𝑨𝟏 =
𝐅 ∓
𝐺
𝑖
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
− 𝑛 (𝟏+𝒊)
1+𝑖 𝑛 −1
𝑖
; − 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒; +𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 .
1ª. Cuota gradiente aritmético diferido dado valor futuro.
De F = 𝐴1
1+𝑖 n −1
𝑖(1+𝑖)k ±
𝐺
𝑖
1+𝑖 n −1
𝑖(1+𝑖)k −
𝑛
1+𝑖 𝑘 ;
𝑨𝟏 =
F ∓
𝑮
𝒊
1+𝑖 n −1
𝑖(1+𝑖)k −
𝑛
1+𝑖 𝑘
1+𝑖 n −1
𝑖(1+𝑖)k
; − 𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒; +𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 .

3.2 Gradientes geométricos.
Serie variable de pagos en que cada uno es igual al anterior, multiplicado por
una razón constante; (1 + G) si es creciente; o, por (𝟏 − 𝐆) si es decreciente.
La ley de formación es 𝑨𝒏 = 𝑨𝟏 𝟏 ± 𝑮 𝒏−𝟏; (+ G, Creciente; −G, Decreciente).
Crecimiento exponencial. A1 (1 + G)n−1 = Valor cuota cualquiera.
A1(1 + G)n−2 (Geométrica creciente)
⋯
A1(1 + G)2
A1(1 + G)1
A1
0 1 2 3 n - 1 n periodos de interés.

3.2.1 Valor presente de un gradiente geométrico vencido.
Valor actual de una serie de pagos o cuotas a una tasa de interés efectiva 𝒊. Así:
P =
𝐀𝟏
𝐆−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 ; Creciente cuando 𝐆 ≠ 𝒊.
Para G = 𝒊, P =
𝐴1
𝐺−𝑖
1+𝐺
1+𝑖
𝑛
− 1 = 𝒍𝒊𝒎
𝒊→𝑮
𝑨𝟏
𝒅
𝒅𝒊
(𝑮−𝒊)
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 ; P =
∗ 𝐧 𝐀𝟏
(𝟏+𝒊)
; Creciente.
* Aplicando Regla de L´ Hopital para salvar indeterminaciones
0
0
. (Derivar).
P =
𝐀𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 −
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
: Decreciente cuando 𝑮 ≠ 𝒊.
P =
𝐀𝟏
𝟐𝒊
𝟏 −
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
; Decreciente si 𝐆 = 𝒊.
Si el gradiente creciente es infinito: P =
𝐀𝟏
(𝒊−𝐆)
, para G < 𝒊; para 𝐆 > 𝒊, 𝐏 = ∞

Ejemplos:
1. ¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagarán en su
etapa de jubilación 24 pagos anuales, iniciando en $ 200,000 y con incrementos
del 10% anual? Suponga una tasa anualizada efectiva del 7%.
V.P. Creciente con 𝐺 ≠ 𝑖: P =
200,000
0.03
1.10
1.07
24
− 1 = $ 6, 278,943.36
2. Resolver el problema anterior, pero, a una tasa anualizada efectiva del 10%.
V.P. Creciente con G = 𝑖: 𝐏 =
𝐧𝐀𝟏
(𝟏+𝒊)
=
24(200,000)
(1.10)
= $ 4, 363,636.36
3. Hallar el valor presente de una serie de pagos que inician con $ 8,000
bimestrales y a partir del segundo bimestre decrecen en 1% bimestral. El
tiempo de pago son 3 años al 1% bimestral
V.P. Decreciente con G = 𝑖: P =
8,000
0.02
1 −
0.99
1.01
18
= $ 120,932.82

Para problemas de valor presente (VP) que tengan que ver con gradientes
geométricos anticipados, solo se agrega el factor (1 + 𝑖) al valor presente de
gradientes geométricos vencidos. Esto es:
Valor presente de un gradiente geométrico anticipado.
P =
𝐀𝟏
𝐆−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 (𝟏 + 𝒊); Creciente, si G ≠ 𝒊.
P =
𝐧𝐀𝟏
(𝟏+𝒊)
(𝟏 + 𝒊) = 𝐧 𝐀𝟏; Creciente si 𝐆 = 𝒊.
P =
𝐀𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 −
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊); Decreciente si G ≠ 𝒊.
P =
𝐀𝟏
𝟐𝒊
𝟏 −
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊); Decreciente cuando 𝐆 = 𝒊.
* n = número de periodos totales.

Para problemas de valor presente (VP) que tengan que ver con gradientes
geométricos diferidos solo se le agrega el factor 1 + 𝑖 −𝑘al valor presente de
gradientes geométricos vencidos. Esto es:
Valor presente de un gradiente geométrico diferido.
P =
𝐀𝟏
𝐆−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 𝟏 + 𝒊 −𝒌; Creciente, si G ≠ 𝒊.
P =
𝐧𝐀𝟏
(𝟏+𝒊)
𝟏 + 𝒊 −𝒌; Creciente si 𝐆 = 𝒊
P =
𝐀𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 −
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
𝟏 + 𝒊 −𝒌; Decreciente si G ≠ 𝒊
P =
𝐀𝟏
𝟐𝒊
𝟏 −
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
𝟏 + 𝒊 −𝒌
; Decreciente cuando 𝐆 = 𝒊
* k = número de periodos diferidos.

3.2.2 Valor futuro de un gradiente geométrico vencido.
Para hallar el valor futuro (VF), basta con reemplazar el valor presente vencido,
obtenido en las ecuaciones para valor futuro. F = P(1 + 𝑖)n.
F =
𝐴1
𝐺−𝑖
1+𝐺
1+𝑖
𝑛
− 1 (𝟏 + 𝒊)𝒏
=
𝐀𝟏
𝐆−𝒊
𝟏 + 𝑮 𝒏
− 𝟏 + 𝒊 𝒏
; Creciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝐴1
𝐺+𝑖
1 −
1−𝐺
1+𝑖
𝑛
(𝟏 + 𝒊)𝒏 =
𝑨𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 + 𝒊 𝒏 − 𝟏 − 𝑮 𝒏 ; Decreciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝒏𝑨𝟏
(𝟏+𝒊)
(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝒏𝑨𝟏 𝟏 + 𝒊 𝒏−𝟏
; Creciente para G = 𝒊.
F =
A1
2𝑖
1 −
1−𝑖
1+𝑖
𝑛
(1 + 𝑖)n
; Decreciente para 𝐆 = 𝒊.
Ejemplos:

1. Si el valor presente de la pensión de un trabajador que le pagarán durante su
época de jubilación 24 pagos anuales, iniciando en $ 200,000 al final de su
primer año y con incrementos del 10% anual, es de $ 6, 278,943.36, a una tasa
de interés anualizada del 7%, ¿cuál será su valor futuro?
𝐅 = 𝐏(𝟏 + 𝒊)𝐧 = $ 6, 278,943.36 1.10 24 = $ 61, 845,913.58
2. José obtuvo un préstamo del banco, el valor de la primera cuota de un total de
60 cuotas mensuales es de $ 1,500 y su valor se va incrementando un 2%
mensual. Su la tasa de interés es del 20.4% nominal actual (1.7% mensual
efectivo), con capitalización al vencimiento del mes:
a. ¿De cuánto fue el préstamo? 𝐏 =
1,500
0.003
1.02
1.017
60
− 1 = $ 96, 654.79
b. ¿Cuál será el valor cuota 56? 𝐀𝟓𝟔 = 𝐴1 (1 + G)n−1
= 1, 500 (1.02)55
= $ 4,457.60
c. ¿Cuál es el valor futuro de la deuda? 𝐅 = $ 96,654.79(1. 017)60
= $ 265,754.46

3. Una persona que se piensa jubilar en 5 años, empieza a ahorrar en el banco, en
abonos mensuales variables y crecientes cada mes. Si la primera cuota
abonada es de $ 4,000 y luego la irá incrementando en 2% cada mes, a una tasa
de interés pagada por el banco del 18% nominal anual, con capitalización
mensual (1.5% mensual), ¿cuánto tendrá ahorrado al inicio de su retiro?
Datos:
𝐀𝟏 = 4000 P =
𝐀𝟏
𝐆−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏
4000
0.005
1.02
1.005
60
− 1 = $ 114, 597. 20
G = 2%
i = 1.5%
n = 60 periodos F = $ 114, 597. 20 (1.015)60 = $ 279, 986.15
F = ?

Para problemas de valor futuro en un gradiente geométrico anticipado, solo se
agrega el factor (𝟏 + 𝒊)𝐧+𝟏 al valor presente de gradientes vencidos. Esto resulta
de multiplicar (1 + 𝑖) de VP anticipado, por (1 + 𝑖)𝑛 del monto F = P (1 + 𝑖)𝑛.
Valor futuro de un gradiente geométrico anticipado.
F =
𝑨𝟏
𝑮−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝐧+𝟏; Creciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝑨𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 −
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝐧+𝟏; Decreciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝒏𝑨𝟏
(𝟏+𝒊)
(𝟏 + 𝒊)𝒏+𝟏 = 𝒏 𝑨𝟏 𝟏 + 𝒊 𝒏; Creciente para 𝐆 = 𝒊.
F =
𝑨𝟏
𝟐𝒊
𝟏 −
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝐧+𝟏
; Decreciente para 𝐆 = 𝒊.

Para problemas de valor futuro en un gradiente geométrico diferido solo se
agrega el factor (𝟏 + 𝒊)𝐧−𝐤 al valor presente de gradientes vencidos. Esto resulta
de multiplicar (1 + 𝑖)𝑛 del monto, por (1 + 𝑖)−𝑘 del periodo diferido. Esto es:
Valor futuro de un gradiente geométrico diferido.
F =
𝑨𝟏
𝑮−𝒊
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝒌
; Creciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝐀𝟏
𝐆+𝒊
𝟏 −
1−𝐺
1+𝒊
𝑛
(𝟏 + 𝒊)𝐧−𝐤
; Decreciente para 𝐆 ≠ 𝒊.
F =
𝐧𝐀𝟏
(𝟏+𝒊)
(𝟏 + 𝒊)𝐧−𝐤; Creciente para 𝐆 = 𝒊.
F =
𝐀𝟏
𝟐𝒊
𝟏 −
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝐧−𝐤; Decreciente para 𝐆 = 𝒊.
𝒏 − 𝒌 = número de periodos totales – número de periodos diferidos.

3.2.3 Valor primera cuota de un gradiente geométrico dado valor presente.
1ª Cuota gradiente geométrico vencido dado V.P. Despejando 𝑨𝟏 de P:
Cuando (𝐆 ≠ 𝒊): 𝑨𝟏 =
𝑷(𝑮−𝒊)
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
−𝟏
; Creciente; 𝐀𝟏 =
𝐏(𝐆+𝒊)
𝟏−
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.
Cuando (𝐆 = 𝒊): 𝐀𝟏 =
𝐏(𝟏+𝒊)
𝐧
; Creciente; 𝐀𝟏 =
𝟐𝐏𝒊
𝟏−
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.
Ejemplos:
1. Encontrar valor primera cuota de un gradiente geométrico vencido y
creciente cuyo valor actual es $ 100, 000 y desea liquidarse en 12 meses a
una tasa anual del 18% (1.5% mensual) que se incrementa un 3% cada mes.
𝐀𝟏 =
𝐏(𝐆−𝒊)
1+𝐺
1+𝑖
𝑛
−1
=
100000(0.03−0.015)
1.03
1.015
12
−1
= $ 7,792.67

2. Resolver problema anterior si tasa de interés y crecimiento son 1.5% mensual.
𝐀𝟏 =
P(1+𝑖)
n
=
100,000(1.015)
12
= $ 8,458.33
3. Encontrar valor primera cuota de un gradiente geométrico vencido y
decreciente cuyo valor actual es de $ 100, 000 y desea liquidarse en 12 meses a
una tasa de interés mensual del 1.8% y de decrecimiento un 3% cada mes.
𝐀𝟏 =
P(G+𝑖)
1−
1−𝐺
1+𝑖
𝑛 =
100,000(0.048)
1−
0.97
1.018
12 = $ 10, 912.27
4. Resolver problema anterior si tasa de interés y decrecimiento son 1.8%/mes.
𝐀𝟏 =
2P𝑖
1−
1−𝑖
1+𝑖
𝑛 =
2(100,000)(0.018)
1−
0.982
1.018
12 = $ 10,261.65

Para problemas que tengan que ver con determinar valor primera cuota, en
gradientes geométricos anticipados y diferidos dado V.P, solo se agregan los
factores (𝟏 + 𝒊) y 𝟏 + 𝒊 −𝐤 de anticipadas y diferidas, a las cuotas vencidas.
1ª Cuota gradiente geométrico anticipado dado valor presente.
Cuando (𝑮 ≠ 𝒊): 𝐀𝟏 =
𝐏(𝐆 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏
; Creciente; y, 𝐀𝟏 =
𝐏(𝐆 + 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
𝟏−
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.
Cuando (𝑮 = 𝒊): 𝐀𝟏 =
𝐏(𝟏+𝒊)𝟐
𝒏
𝟐𝐏𝒊 (𝟏 + 𝒊)
𝟏−
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.
1ª Cuota gradiente geométrico diferido dado valor presente.
Cuando (𝑮 ≠ 𝒊): 𝐀𝟏 =
𝐏(𝐆 − 𝒊) 𝟏 + 𝒊 −𝐤
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
− 𝟏
𝐏(𝐆 + 𝒊) 𝟏 + 𝒊 −𝐤
𝟏−
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.
Cuando (𝑮 = 𝒊): 𝐀𝟏 =
𝐏(𝟏 + 𝐢) 𝟏 + 𝒊 −𝐤
𝐧
𝟐𝐏𝐢 𝟏 + 𝒊 −𝐤
𝟏−
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏 ; Decreciente.

3.2.4 Valor primera cuota de un gradiente geométrico dado valor futuro.
1ª Cuota de un gradiente geométrico vencido dado valor futuro.
Despejando 𝐴1 de F:
𝑨𝟏 =
𝑭(𝑮 − 𝒊)
𝟏 + 𝑮
𝟏 + 𝒊
𝒏
−𝟏 (𝟏+𝒊)𝒏
; Creciente para (𝑮 ≠ 𝒊)
𝑨𝟏 =
𝐅(𝐆 + 𝒊)
𝟏−
𝟏 − 𝑮
𝟏 + 𝒊
𝒏
(𝟏+𝐢)𝐧
; Decreciente para (𝑮 ≠ 𝒊)
𝑨𝟏 =
𝐅(𝟏+𝒊)
𝒏 𝟏+𝒊 𝒏; Creciente para (𝑮 = 𝒊)
𝑨𝟏 =
𝟐𝐅𝒊
𝟏−
𝟏 − 𝒊
𝟏 + 𝒊
𝒏
(𝟏 + 𝒊)𝐧
; Decreciente para (𝑮 = 𝒊)
Ejemplos:

1. Encuentra el valor de la primera de 30 cuotas mensuales si estas crecen 15%
mensual a una tasa de interés mensual del 10%, cuando estas acumulan un
fondo de $ 6, 826,731.76
𝐀𝟏 =
F(G − 𝑖)
1 + 𝐺
1 + 𝑖
𝑛
−1 (1+i)n
=
6,826,731.76(0.05)
1 .15
1.10
30
−1 (1.10)30
= $ 7,000
mensual a una tasa de interés mensual del 15%, cuando estas acumulan un
fondo de $ 6, 826,731.76
𝐀𝟏 =
𝐅(𝟏+𝒊)
𝒏 𝟏+𝒊 𝒏 =
6,826,731.76(1.15)
30 1.15 30 = $ 3,952.34

Para problemas que tengan que ver con determinar el valor de la primera cuota
de un gradiente geométrico anticipado, solo se le agrega el factor (𝟏 + 𝒊) al valor
de la primera cuota del Gradiente geométrico vencido en valor futuro. Esto es:
1ª Cuota gradiente geométrico anticipado dado valor futuro.
𝐀𝟏 =
𝐅(𝐆 − 𝒊)(𝟏 + 𝒊)
(𝟏 + 𝐆)𝐧
(𝟏 + 𝒊)𝐧 −𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝐧
; Creciente para 𝑮 ≠ 𝒊
𝐀𝟏 =
𝐅(𝐆 + 𝒊)(𝟏+ 𝒊)
𝟏−
(𝟏 − 𝐆)𝐧
(𝟏 + 𝒊)𝐧 (𝟏 + 𝒊)𝐧
; Decreciente para 𝑮 ≠ 𝒊
𝐀𝟏 =
𝐅(𝟏+𝒊)𝟐
𝐧(𝟏+𝒊)𝐧; Creciente para 𝑮 = 𝒊
𝐀𝟏 =
𝟐𝐅𝒊 (𝟏 + 𝒊)
𝟏−
(𝟏 − 𝒊)𝐧
(𝟏 + 𝒊)𝐧 (𝟏 + 𝒊)𝐧
; Decreciente para 𝑮 = 𝒊

Para problemas que tengan que ver con determinar el valor de la primera cuota
de un gradiente geométrico diferido, solo se le agrega el factor 𝟏 + 𝒊 𝒏−𝐤
al
valor de la primera cuota del gradiente geométrico vencido en valor futuro. Asi:
1ª Cuota gradiente geométrico diferido dado valor futuro.
𝐀𝟏 =
𝐅(𝐆 − 𝒊)
𝟏+𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
−𝟏 (𝟏 + 𝒊)𝐧−𝐤
; Creciente para 𝑮 ≠ 𝒊
𝐀𝟏 =
𝐅(𝐆 + 𝒊)
𝟏−
𝟏−𝑮
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏 +𝒊)𝐧−𝐤
; Decreciente para 𝑮 ≠ 𝒊
𝐀𝟏 =
𝐅(𝟏+ 𝒊 )
𝐧(𝟏+ 𝒊)𝐧−𝐤; Creciente para 𝑮 = 𝒊
𝐀𝟏 =
𝟐𝐅𝒊
𝟏−
𝟏−𝒊
𝟏+𝒊
𝒏
(𝟏+ 𝒊)𝐧−𝐤
; Decreciente para 𝑮 = 𝒊

1. Cuál sería el valor presente de una serie de 9 pagos anuales variables,
empezando por $ 500 al final del primer periodo y, aumentando $100 a la
anualidad a partir del segundo periodo, si la tasa de interés es del 5% efectivo.
2. Calcular monto de una serie de cuotas periódicas mensuales vencidas, donde la
primera renta es $ 5,750 y las subsecuentes se incrementan $450.cada una de
ellas. Considere la tasa del 29.4% nominal anual capitalizable mensualmente.
3. Un instrumento financiero me ofrece 12 pagos que crecen a una tasa de 7%
anual siendo el primer pago de $ 3,000 dentro de un año. Si la tasa de interés es
del 10%, ¿Cuánto vale ese instrumento en el periodo cero?
4. ¿Cuál es el valor de la prima de un seguro que proyecta realizar pagos
mensuales de forma indeterminada, iniciando en $ 2,000, con incrementos del
2% mensual? Suponga que se otorga una tasa del 1.5% efectivo mensual.

5. Una empresa acuerda con su banco un préstamo el cual se pagará en 12 cuotas
mensuales. Si el primer pago es de $ 6,000 y los pagos sucesivos disminuyen
cada uno en $800.
a. ¿Cuál será el valor del último pago?
b. ¿Cuál será el valor final de los pagos, suponiendo una tasa de interés del 30%
nominal convertible mensualmente?
6. Una persona obtuvo un préstamo del banco, el valor de la primera cuota de un
total de 30 cuotas mensuales es de $2,000 y su valor se va incrementando un 2%
mensual. Su la tasa de interés es del 18% nominal actual (1.5% mensual
efectivo), con capitalización al vencimiento del mes:
a. ¿De cuánto fue el préstamo?
b. ¿Cuál es el valor de la cuota 25?
c. ¿Cuál es el valor final de la deuda.

7. Hallar el valor futuro de una serie de 8 pagos anuales depositados en orden
creciente empezando por $ 20,000, al final del primer año aumentando en
$ 2,000 cada año después del primer pago. El banco reconoce una tasa de
interés del 8% efectivo anual.
mensual a una tasa de interés mensual del 6%, cuando estas acumulan un fondo
de $ 1, 500,000.
9. Se desea conocer el monto acumulado de un fondo de inversión constituido por
10 depósitos mensuales que crecen a una tasa del 3.5%. La tasa de interés
pagada es del 18% convertible mensualmente y el importe del primer depósito
es $ 3,000.

BIBLIOGRAFÍA.
Ayres, Jr. Frank (1994). Matemáticas financieras. Ed. Mc Graw Hill, México. 1994.
Castagna Alonso Aldo, Prof.. Matemáticas Financieras.
https://www.academia.edu/36962109/MATEM%C3%81TICAS_FINANCIERAS.
Mis Apuntes docentes.(2017). Asignatura Matemáticas financieras. Escuela Superior
de Contaduría y Administración E.S.C.A. Nueva, Rosita, Coahuila, México.
Morales C. Carlos Mario (2012). Matemáticas financieras. Editorial propia. Medellín.
Unidad 3: Anualidades y Gradientes.
https://www.academia.edu/6849108/Carlos_Mario_Morales_C_2012.
Portus Govinden Lincován (1997). Matemáticas financieras. Ed. Mc Graw Hill México.

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