Material Informativo Semana N ° 7.pptx

Ingeniería de Minas
SESIÓN 07:
Definición elementos y ecuaciones de La
Circunferencia Parábola..

Hebeth Gabriel Cueva Valladolid
LOGRO DE LA SESIÓN
Logro de la sesión:
• Al finalizar la sesión, el estudiante reconoce las diversas ecuaciones
de la circunferencia y parábola, resuelve ejercicios de circunferencia,
referentes a la distancia de un punto a la Circunferencia y la ecuación
de una recta tangente a la Circunferencia,problemas aplicados a la
ingeniería donde utiliza conceptos y propiedades de la parábola.

• ¿Cuál es la utilidad de la Circunferencia?
La circunferencia es uno de los elementos de la geometría más importantes que están
normalmente en la vida, aunque no lo parezca y desde los tiempo antiguos que es usada.
En los relojes, en la
antigüedad éstos eran
circulares, y para dividir la
circunferencia en 12 partes
exactamente iguales, que a
futuro podrán dar una
medición de hora perfecta, es
necesario usar criterios de
ángulos de la circunferencia.
En el transporte se utiliza
principalmente en las
ruedas.
En los deportes la
circunferencia por lo general
está presente en la mayoría
de las distintas disciplinas.

•¿Para qué me sirve el estudio de
• la Parábola ?
• SECCIONES CÓNICAS
La parábola es una curva que tienen una gran importancia en Física y que se ajusta a la descripción o a la
representación matemática de muchos fenómenos.
También tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas veces no nos fijemos o no seamos conscientes
de ello, tenemos muchas parábolas a nuestro alrededor.
Cualquier cuerpo lanzado al aire de
forma oblicua u horizontal describe
un movimiento parabólico bajo la
acción de la gravedad.
Los chorros y las gotas de agua que
salen de los caños de la numerosas
fuentes que podemos encontrar en
las ciudades
Cuando un haz luminoso de forma
cónica se proyecta sobre una pared.

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que están a una misma distancia
de otro punto fijo del mismo plano denominado centro.
CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2
Ecuación Canónica
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Ecuación General
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
ARCO
RADIO
DIÁMETRO
TANGENTE
PUNTO DE TANGENCIA
Área = 𝜋𝑟2
𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 2𝜋𝑟

Centro: Es el punto interior equidistante de todos los puntos de la
circunferencia.
Radio: Es el segmento de recta que une el centro de la circunferencia
con un punto cualquiera de la misma.
Cuerda: Es un segmento que une dos puntos cualesquiera que
pertenecen a la circunferencia.
Diámetro: Es el segmento que une dos puntos
de la circunferencia y pasa por el centro. El diámetro es la mayor
cuerda que se pueda trazar a una circunferencia.
Arco: Es la parte de una circunferencia comprendida entre dos puntos
de ella.
Recta secante: Es la línea que corta a la circunferencia
en dos puntos.
Recta tangente: Es la línea que toca a la circunferencia en un solo
punto. El punto donde toca a la circunferencia se llama punto de
tangencia. Una recta tangente siempre es perpendicular al radio que
va desde el punto de tangencia hasta el centro de la circunferencia.
Elementos
ARCO
RADIO
DIÁMETRO
SECANTE

Determine la ecuación general de la circunferencia cuyo centro es (1, −2) y
pasa por el punto (3, 5).
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑟 = 1 − 3 2 + −2 − 5 2
𝑟 = 4 + 49
𝑟 = 53
𝑥 − 1 2 + 𝑦 − (−2) 2 = 53
2
𝑥 − 1 2
+ 𝑦 + 2 2
= 53
𝑑 𝐶, 𝑃 = 𝑥1 − 𝑥2
2 + 𝑦1 − 𝑦2
2
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2
𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑦2 + 4𝑦 + 4 − 53 = 0
𝒞: 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 4𝑦 − 48 = 0

Se requiere factorizar mediante la
técnica de completar cuadrados para
expresar un trinomio en la forma de un
binomio cuadrado.
Conversión de forma general a
forma ordinaria
Ecuación General
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟2

Determine la ecuación ordinaria de la circunferencia:
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑥 − 1 2
𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥 + 4𝑦 − 11 = 0
𝑦 + 2 2
+ = 11 +1+4
𝑥 − 1 2 + 𝑦 + 2 2 = 16
Es el número que estoy completando,
y para mantener la igualdad debo
aumentarlo en el otro miembro de la
ecuación.
𝑥 − 1 2
= 𝑥2
+ 2𝑥 + 1

Es una recta que toca a la circunferencia en un punto, forma un ángulo
recto con el radio vector de la circunferencia, que a su vez puede estar
contenida en una recta Normal a la recta Tangente. Ambas rectas son
siempre perpendiculares.
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
𝑚1 = −
1
5
La Recta
𝑚
=
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥
𝑦 − 𝑦0
= 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
𝑚1∙ 𝑚2 = −1

Hallar la ecuación general de la recta tangente a la
circunferencia 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 10 en el punto
𝑄 5, 2
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑚1=
3 − 2
2 − 5
= −
1
3
𝑦 − 2 = 3 𝑥 − 5
𝑦 − 3 = 3𝑥 − 15
𝐿𝑇: 3𝑥 − 𝑦 − 12 = 0
La Recta
𝑚
=
𝑦1 − 𝑦2
𝑥1 − 𝑥
𝑦 − 𝑦0
= 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
−
1
3
∙ 𝑚2 = −1
𝑚2 =3
𝑚1∙ 𝑚2 = −1
Reemplazando:

EJERCICIOS
1. Dada 4𝑥2 + 4𝑦2 + 12𝑥 − 1 = 0 determine si es un punto, una circunferencia o un conjunto vació. Si es una
circunferencia, encuentre su centro y radio.
SOLUCIÓN:
𝑥 +
3
2
2
+ 𝑦2
=
1
4
+
9
4
𝑥2 + 𝑦2 + 3𝑥 −
1
4
= 0
𝑟 = 5 2
𝑥 +
3
2
2
+ 𝑦2 =
5
2
𝐶 −
3
2
, 0
𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
RPTA:

EJERCICIOS
2. Determinar los valores de 𝑘 para que la recta 𝐿: 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑘 = 0 sea tangente a la circunferencia.
𝐶: 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 + 6𝑦 − 39 = 0
SOLUCIÓN:
𝑘 = 14 ; 𝑘 = −38
𝑥 − 2 2
+ 𝑦 + 3 2
= 52
𝑑 𝐶, 𝐿 = 𝑟
3 2 − 2 −3 + 𝑘
9 + 4
= 52
𝑘 + 12 = 26
𝐶 2, −3 ; 𝑟 = 52
𝑘 = 14 𝑘 = −38

1. Determinar los valores de 𝑘 para que la recta
𝐿: 𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑘 − 15 = 0 sea tangente a la circunferencia 𝐶: 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 8𝑦 − 1 = 0

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro la porción de la recta 𝐿: 2𝑥 −
3𝑦 + 12 = 0, comprendida en el segundo cuadrante.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje 𝑋 en 𝑆(4,0) y pasa por el punto
𝑇(7,1).

4. Una circunferencia pasa por los puntos 𝐴(−3,3) y 𝐵(1,4), su centro está sobre la recta 𝐿: 3𝑥 −
2𝑦 − 23 = 0. Hallar su ecuación.

5. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴(7, −5) y es tangente a la recta
𝐿: 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0 en el punto 𝐵(3, −1).

Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un recta
fija 𝐿𝐷 llamada directriz y de un punto fijo 𝐹 denominado foco.
PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘
Ecuación Canónica
𝑥2 = 4𝑝𝑦
Ecuación General
𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐿𝐷: 𝑦 = 𝑘 − 𝑝
𝑝 = Parámetro
𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘
𝐿𝑅 = Lado recto
𝐹 = Foco (ℎ, 𝑘 + 𝑝)

Distancia focal o parámetro (𝒑): Es la distancia del foco al
vértice y se le asigna la letra 𝑝
Eje de simetría (𝑳𝟏 ): Recta perpendicular a la directriz 𝐿𝐷
que pasa por el vértice y el foco.
Directriz(𝑳𝑫 ): Recta fija que dista p del vértice.
Foco (𝑭): Es un punto tal que cada punto de la parábola
posee la misma distancia que hasta la recta directriz.
Vértice (𝑽): Es el punto de intersección de la parábola con
eje de simetría.
Cuerda (𝑪𝑬): Es el segmento de la recta que une dos puntos
cualesquiera de la parábola.
Cuerda focal (𝑨𝑩): Segmento de la recta que une los puntos
de la parábola pasando por el foco.
Lado recto (𝑳𝑹): Es una cuerda focal perpendicular al eje de
simetría.
Elementos
𝐿𝐷
𝐿𝑅
𝑉
𝐹
𝑝
A
B
C
E

Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.
PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑥 − ℎ 2
= −4𝑝 𝑦 − 𝑘
Ecuación Canónica
𝑥2
= −4𝑝𝑦
Ecuación General
𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑝 = Parámetro
𝐿𝑅 = Lado recto
𝐹 = Foco

Observa la orientación y las ecuaciones de la parábola.
PARÁBOLA
Ecuación Ordinaria
𝑦 − 𝑘 2
= 4𝑝 𝑥 − ℎ
Ecuación Canónica
𝑦2
= 4𝑝𝑥
Ecuación General
𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝑝 = Parámetro
𝑉 = Vértice ℎ, 𝑘
𝐹 = Foco

Bosqueje la gráfica de la ecuación 4𝑦2
+ 12𝑦 + 16𝑥 + 25 = 0 y
determine el vértice, foco, lado recto y la ecuación de la recta
directriz.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑦 +
3
2
2
= −4𝑥 −
25
4
+
9
4
𝑦2
+ 3𝑦 + 4𝑥 +
25
4
= 0
𝑦 +
3
2
2
= −4𝑥 − 4
𝑦 +
3
2
2
= −4 𝑥 + 1
𝑉 −1, −
3
2
4𝑝 = −4
𝑝 = −1
𝐹 = −1 − 1, −
3
2
= −2, −
3
2
𝐿𝑅 = 4𝑝 = −4 = 4
𝐿𝐷: 𝑥 = −1 + 1
𝑥 = 0
𝒑 < 𝟎

Bosqueje la gráfica de la ecuación 𝑥2 − 14𝑥 − 12𝑦 + 29 = 0 y
determine el vértice, foco, lado recto y la ecuación de la recta
directriz.
Ejemplo.
SOLUCIÓN:
𝑥 − 7 2
= 12𝑦 − 29 + 49
𝑥 − 7 2
= 12𝑦 + 20
𝑥 − 7 2
= 12 𝑦 +
20
12
𝑉 7, −
5
3
4𝑝 = 12
𝑝 = 3
𝐿𝑅 = 4𝑝 = 12 = 12
𝐿𝐷: 𝑦 = −
5
3
− 3
𝑦 = −
14
3
𝑥 − 7 2
= 12 𝑦 +
5
3
𝑝 > 0

1. Halle la ecuación general de la parábola con vértice en (3, 5) y foco en −3, 5 .
SOLUCIÓN:
𝑝 ⇒ 36 = 6
𝑝 ⇒ 𝑑 𝑉, 𝐹 = 3 − (−3) 2 + 5 − 5 2
𝑦2
+ 24𝑥 − 10𝑦 − 47 = 0
𝑦 − 5 2 = −24 𝑥 − 3
𝑦2 − 10𝑦 + 25 = −24𝑥 + 72
𝑝 < 0
EJERCICIOS

EJERCICIOS
2. Dados los puntos −1, 2 ; 0, −1 ; 2, 1 . Determine la ecuación de la parábola que
pase por los tres puntos dados, tal que su eje focal sea paralelo al eje 𝑌.
SOLUCIÓN:
𝒫: 4𝑥2
− 5𝑥 − 3𝑦 − 3 = 0
RPTA:
−𝐸 + 𝐹 = 0 𝐸 = 𝐹
1 − 𝐷 + 3𝐸 = 0
4 + 2𝐷 + 2𝐸 = 0
8𝐸 = −6
𝐸 = −
3
4
= 𝐹
4 + 2𝐷 + 2 −
3
4
= 0
𝐷 = −
5
4
𝑥2
−
5
4
𝑥 −
3
4
𝑦 −
3
4
= 0

1. Grafique la cónica y halle: el vértice, el foco y la ecuación de la recta directriz de la parábola:
𝑥2
− 4𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

2. Señale la ecuación de la parábola que tiene su vértice en 𝑉(−2,1) y cuyos extremos del lado
recto son (−4,0) y (0,0).

3. Una parábola tiene por vértice (2,1) y foco (2,4) Determinar la longitud de su lado recto.

Calcula la altura de un punto de un arco parabólico de 18 metros de altura y 24 metros de
base situada a una distancia de 8 metros del centro del arco

4. Los puntos 𝐴(13, 𝑎) y 𝐵(4, 𝑏) pertenecen a una parábola de vértice 𝑉(ℎ, 1) Además el eje
focal es paralelo al eje de las abscisas ,su parámetro es 𝑝 y 𝐴, 𝐵 están contenidos en la recta
2𝑥 − 𝑦 − 13 = 0. Hallar 𝑎ℎ + 𝑏𝑝.

1. Los elementos principales para la ecuación de la circunferencia son el centro y el radio.
1. El centro y un punto de la circunferencia forma una recta, ésta es perpendicular con la recta
tangente en ese punto, entonces se cumple que:
𝑚1∙ 𝑚2 = −1
1. Los elementos principales para la ecuación de la parábola son el vértice y el parámetro.
2. El parámetro indica la orientación de la parábola.
3. Se cumple que la distancia de cualquier punto de la parábola al 𝐹 y a 𝐿𝐷 es la misma.
Conclusiones:

Kreyszig Erwin (2010). Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería I
(3a Ed.): Mexico:Limusa Wiley -.(P30).(Libros Maestría En Arquitectura)
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/discovery/fulldisplay?docid=alma991000238649707001&context=L
&vid=51UCV_INST:UCV&lang=es&search_scope=MyInstitution&adaptor=Local%20Search%20Engine&ta
b=LibraryCatalog&query=any,contains,Kreyszig%20Erwin&offset=0
Larson Ron (2010). Cálculo 01 De Una Variable (9a Ed.): México: McGraw-Hill Interamericana Editores S.
A. De C. V. -.(P16).(Libros Ingeniería Civil)
https://ucv.primo.exlibrisgroup.com/discovery/fulldisplay?docid=alma991000237349707001&context=L
&vid=51UCV_INST:UCV&lang=es&search_scope=MyInstitution&adaptor=Local%20Search%20Engine&ta
b=LibraryCatalog&query=any,contains,C%C3%A1lculo%2001%20De%20Una%20Variable&offset=0
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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