El documento presenta un examen de acceso a la universidad en matemáticas, con puntos a calificar según la opción elegida (a o b). Incluye problemas sobre funciones, sistemas de ecuaciones, integrales, y límites, con instrucciones específicas para cada sección. Asimismo, proporciona ejemplos de cálculos necesarios para resolver los problemas planteados.

1. UNGE MATEÁTICAS II (FASE GENERAL) A/B
PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
CÓDIGO DE EXAMEN 18062015
ATENCIÓN:
1. La puntuación máxima de la prueba es de 10 puntos. Cada pregunta va acompañada de su máxima
calificación, en el caso de ser contestada correctamente.
2. La prueba consta de dos opciones (A y B), de las que solo debe elegir una. Una vez seleccionada la
opción solamente se valorarán las respuestas a las cuestiones de la misma
OPCIÓN A
1) Dada la función 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+1
a) Dominio de la función
b) Puntos de corte con los ejes
c) Zonas de crecimiento, decrecimiento y puntos máximos y mínimos
d) Zonas de concavidad, convexidad y puntos de inflexión
2) Discutir según el valor del parámetro m y resolver cuando sea posible el siguiente
sistema de ecuaciones.
{
−𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0
𝑚𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 0
𝑥 + 3𝑦 = 0
3) Calcular la integral de la siguiente función:
∫(2𝑥3
− 3𝑠𝑒𝑛𝑥 + 5√ 𝑥)𝑑𝑥
OPCIÓN B
1) Determinar el valor del parámetro “a” para que la siguiente función sea continua.
{
𝑥 + 1 si 0≤ x ≤1
3 − 𝑎𝑥2
si x > 1
2) Utilizando las definiciones de suma de matrices y producto por un escalar,
determinar X e Y tales que:
2𝑋 + 3𝑌 = 𝐴
−𝑋 − 𝑌 = 𝐵
Siendo:
𝐴 = (
1 3
2 4
1 2
) 𝐵 = (
−1 0
−1 −3
1 −1
)
3) Calcular el límite de la siguiente función
lim
𝑥→3
√ 𝑥 + 1 − 2
𝑥 − 3

2. SOLUCIÓN
OPCIÓN B
1. Determinar el valor del parámetro “a” para que la siguiente función sea continua
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
3 − 𝑎𝑥2
𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑓(1) = 1 + 1 = 2 lim
𝑥→1+
3 − 𝑎𝑥2
= 3 − 𝑎
𝑓(1) = lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) 2 = 3 − 𝑎 ⇒ 𝑎 = 3 − 1 ⇒ 𝑎 = 1
2. Utilizando las definiciones de suma de matrices y producto por un escalar, determinar
𝑋 e 𝑌 tales que:
2𝑋 + 3𝑌 = 𝐴
−𝑋 − 𝑌 = 𝐵
siendo: 𝐴 = (
1 3
2 4
1 2
) y 𝐵 = (
−1 0
−1 −3
1 −1
)
2𝑋 + 3𝑌 = (
1 3
2 4
1 2
)
−2𝑋 − 2𝑌 = (
−2 0
−2 6
2 −2
)
⇒ 𝑌 = (
−1 3
0 10
3 0
) ⟹ −𝑋 = (
−2 3
−1 7
4 −1
) ⟹ 𝑋 = (
2 −3
1 −7
−4 1
)
3. Calcular el límite de la siguiente función
lim
𝑥→3
√ 𝑥 + 1 − 2
𝑥 − 3
lim
𝑥→3
√ 𝑥 + 1 − 2
𝑥 − 3
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
√4 − 2
3 − 3
=
0
0
(𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛) ⟹ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
√ 𝑥 + 1 − 2
𝑥 − 3
∙
√ 𝑥 + 1 + 2
√ 𝑥 + 1 − 2
= lim
𝑥→3
𝑥 + 1 − 4
(𝑥 − 3)(√ 𝑥 + 1 + 2)
= lim
𝑥→3
(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)(√ 𝑥 + 1 + 2)
= lim
𝑥→3
1
√ 𝑥 + 1 + 2
=
1
√4 + 2
=
1
4